广东惠州市高二数学《圆与圆的位置关系》学案.doc
《圆与圆的位置关系》 学案
28.2.4《圆与圆的位置关系》 学案教学目标：1.使学生了解圆与圆位置关系的定义，2.掌握用数量关系来识别圆与圆的位置关系。
重点难点：用数量关系识别圆与圆的位置关系是本节课的教学重点，又是本节课的教学难点。
研讨过程：一、认识生活中有关圆与圆的位置关系的一些图形在现实生活中，圆与圆有不同的位置关系，如下图所示：圆与圆的位置关系除了以上几种外，还有其他的位置关系吗？我们如何判断圆与圆的位置关系呢？这些问题待学习完这节课后就可以得到解决。
二、用公共点的个数阐述两圆的位置关系请同学们在纸上画一个圆，把一枚硬币当作另一个圆，在纸上移动这枚硬币，观察两圆的位置关系和公共点的个数。
上图（1）、（2）、（3）所示，两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中 又叫做外离， 又叫做内含。
中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，上图（4）、（5）所示．其中 又叫做外切， 又叫做内切。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图 所示。
（填写序号）奥运会五环三、用数量关系识别两圆的位置关系思考：如果两圆的半径分别为3和5，圆心距（两圆圆心的距离）d 为9，你能确定他们的位置关系吗？若圆心距d 分别为8、6、4、2、1、0时，它们的位置关系又如何呢？利用以上的思考题让同学们画图或想象，概括出两圆的位置关系与圆心距、两圆的半径具有什么关系。
（1）两圆外离d R r ⇔>+； （2）两圆外切d R r ⇔=+； （3）两圆外离R r d R r ⇔-<<+； （4）两圆外离d R r ⇔=-；（5）两圆外离0d R r ⇔≤<-； （填<、=、>号）两圆的位置关系可表示成下列数轴的形式。
要判断两圆的位置关系，要牢牢抓住两个特殊点，即外切和内切两点，当圆心距刚好等于两圆的半径和时，两圆 ，等于两圆的半径差时，两圆 。
若圆心距处于半径和与半径差之间时，两圆 ，大于两圆半径和时，两圆 ，小于两圆半径差时，两圆 。
广东惠州市高二数学《圆与圆的位置关系》学案
广东惠州市高二数学《圆与圆的位置关系》学案【学习目标】1.理解并掌握圆与圆的位置关系的五种情形。
2.能熟练运用几何法和代数法分析圆与圆的位置关系。
3.会求两圆的公共弦方程及公共弦长。
【重点难点】教学重点：圆与圆的五种位置关系.教学难点：会灵活运用几何法或代数法判断圆与圆的位置关系.【使用说明及学法指导】1．先速读一遍教材P 129—P 130，再结合“预习案”进行二次阅读并回答，时间不超过10分钟．2．本课必须记住的内容：通过半径的和差来判断圆与圆的位置关系．预习案一、知识梳理1. 设两圆的连心线长为l ，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当 时，圆C 1与圆C 2相离；（2）当 时，圆C 1与圆C 2外切；（3）当 时，圆C 1与圆C 2相交；（4）当 时，圆C 1与圆C 2内切；（5）当 时，圆C 1与圆C 2内含.2.由两个圆的方程组成一个方程组，若方程组没有实数解，则两圆有 个公共点，即两圆 ；若方程组仅有一组实数解，则两圆有 个公共点，即两圆 ；若方程组仅有一组实数解，则两圆有 个公共点，即两圆 。
二、问题导学怎样判断直线与圆的位置关系？圆与圆的位置关系是否能采用类似的方法？三、预习自测1.两圆034222=++++y x y x 和062222=-+-+y x y x 的位置关系是（ ）A 相离B 相切C 相交D 内含2.圆221:()(2)9C x m y -++=与圆222:(1)()4C x y m ++-=外切，则m 的值为（ ）.A. 2B. －5C. 2或－5D. 不确定3.判断下列两圆的位置关系：（1）()()()()16521222222=-+-=-++y x y x 与 （2）02760762222=-++=-++x y x x y x 与4.两圆：x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0及x 2+y 2 + 4x + 2y – 4 =0的公共弦所在直线方程为 .探究案【例1】已知圆1C ：22660x y x +--=①，圆2C ：22460x y y +--=②（1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.【例2】求经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，并且圆心在直线40x y --=上的圆的方程.【例3】求圆22412390x y x y ++-+=关于直线3450x y --=的对称圆方程.课堂检测：1.圆x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是（ ）.A.相离B.外切C.相交D.内切2.集合A ＝｛（x ，y ）|x 2＋y 2＝4｝，B ＝｛（x ，y ）|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2｝，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是 .3.求经过点M （2，－2）以及圆4062222=+=-+y x x y x 与交点的圆的方程。
人教A版 4.2.2圆与圆的位置关系(学案)
4.2.2圆与圆的位置关系单县五中邓雪云【学习目标】1.理解圆与圆的位置关系的种类。
2.会判断圆与圆的位置关系。
【学习重点，难点】重点：判断两圆的位置关系【学习过程】一、知识链接1圆与圆的位置关系有哪几种？判断方法是怎样的？.2. 直线与圆的位置关系及判断方法二、合作探究例1、已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0圆C2: x2+y2-4x-4y-2=0试判断圆C1与圆C2的关系总结与思考：圆与圆的位置关系的判定方法及特点【巩固练习】1.（2012.山东卷文）圆（x+2）2+y2=4与圆（x-2）2+(y-1)2=9（）A 内切B 相交C 外切D 相离【变式】求经过两圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0C2:x2+y2-4x-4y-2=0交点的直线方程探索发现：两圆相交时，相交弦所在直线方程为【跟踪练习】已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0(1)求两圆公共弦所在的直线方程(2)求公共弦的长度例2、求过点A（0,6）且与圆C：x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程三、反馈练习1.圆：x2+y2-2x-2y+1=0与圆：x2+y2-4x-4y-17=0的位置关系是（）A . 相切 B. 相离C.内含D. 相交2.若圆：x2+y2-2x-5=0与圆：x2+y2+2x-4y-4=0的交点为 A,B ，则线段AB的垂直平分线方程是（）A x+y-1=0B 2x-y+1=0C x-2y+1=0D x-y+1=03.过两圆x2 + y2 + 6x –4 = 0 和x2 + y2 + 6y –28 = 0的交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆方程是 ( )A.x2+y2-x-5y+2=0。
B.x2+y2-x-5y-2=0C.x2+y2-x+7y-32=0D.x2+y2+x+7y+32=04、已知圆 C1: x2+y2+4x–3=0与圆C2: x2+y2–4y–3 =0(1)求过两圆交点的直线方程(2)求公共弦的长四、课堂小结五、作业习题4.2 A组，4题、9题、10题。
圆与圆的位置关系教学设计
圆与圆的位置关系教学设计教学背景：高二学生正处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，过分抽象的问题，学生往往感到乏味而难以准确的理解。
而多媒体具有形象、直观的特点，利用它为学生构建思维想象的平台，营造良好的学习氛围，充分调动学生学习的自觉性，引导学生积极地开展思维活动，主动地获取知识。
符合学生认知规律。
从具体事物到抽象理论。
通过学生的直接感知去理解知识，用以达到以快乐的形式去追求知识的目的。
设计理念：学生的发展是新课程标准实施的出发点和归宿，课程改革的重点是面向全体学生，以学生的发展为主体，转变学生的学习方式。
“圆与圆的位置关系”这一课题，以全新的自主的学习方式让学生接受问题挑战，充分展示自己的观点和见解，给学生创设一种宽松、愉快、和谐、民主的科研氛围，让学生感受“两圆位置关系”的探究发现过程，体验成功的快乐，为终身学习与发展打下基础。
教学目标：1.掌握通过圆心距d 和两圆半径R 、r 的关系来确定两圆的位置关系，2.解决在两圆不同的位置关系下，有关圆的问题。
能力目标：1.通过本节课的学习，可培养学生空间想象能力，观察能力、探索能力、数形结合能力、归纳概括能力，并以以上能力为载体培养学生思维能力及创新能力。
2.培养学生运用运动变化的观点来分析、探讨问题的能力。
情感目标：1.通过合作交流、自主评价，改进学生的学习方式，及学习质量，激发学生的兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲，点燃起学生智慧的火花，使学生积极思维，勇于探索，主动地去获取知识。
2.让学生在猜想与探究的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动参与、合作意识，勇于创新 和实践的科学精神。
教学重点：1.圆与圆位置关系的发现及确定方法。
2.解决在两圆不同的位置关系下，有关圆的问题。
教学难点: 圆与圆位置关系的数量关系的发现及应用。
教学过程： 一、 问题情境师创设问题情境：观察下面几幅取自生活的图片，看一下图片中出现的圆之间是怎样的位置关系呢？ 师提问：圆与圆之间存在着几种位置关系？它们分别是什么？生回答：外离，外切，相交，内切，内含（数学来源于生活，通过生活中的实例，引出课题，激发学生的学习兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲。
数学教案圆和圆的位置关系位置对应数学教案
数学教案圆和圆的位置关系位置对应数学教案教学目标：1.学生能够正确理解和运用圆和圆的位置关系的相关术语和概念。
2.学生能够通过观察和推理，准确描述和判断圆和圆的位置关系。
3.学生能够应用所学的知识，在解决实际问题中分析和解释圆和圆的位置关系。
教学重点：1.圆和圆的位置关系的基本概念和术语。
2.圆与圆之间的相交关系和包含关系。
教学难点：学生能够准确判断和描述圆与圆的相交关系和包含关系。
教学准备：1.教师准备多个不同大小的纸圆或圆形物体。
2.教师准备相关课件或黑板。
教学过程：引入新知识：1.教师出示几个不同大小的纸圆或圆形物体，引导学生观察并描述它们之间的位置关系。
2.教师提问学生：你们观察到了什么？这些圆之间有什么样的位置关系？请描述出来。
讲解重点概念：1.教师引导学生观察和描绘不同的圆与圆之间的位置关系，如相切、相交、内切、外切等。
2.教师讲解并板书相关概念和术语，如相切、相交、内切、外切、内含、外离等。
并解释每个术语的意义和特点。
判断与应用：1.教师给学生出示多个不同的圆，让学生分组讨论并判断圆与圆的位置关系。
2.学生通过观察和推理，准确描述和判断圆与圆的位置关系，并在小组中发表自己的观点和理由。
3.学生将自己的判断和理由呈现给全班，并与其他小组进行讨论和交流。
解决实际问题：1.教师出示一些关于圆与圆的位置关系的问题，让学生运用所学的知识，分析和解决问题。
2.学生在小组中合作，共同讨论和解决问题，并将他们的解决方法和答案呈现给全班。
拓展练习：1.学生在课后完成一些相关练习题，巩固所学的知识和技能。
2.学生可以在生活中继续观察和记录圆与圆的位置关系，并尝试解释和应用它们。
课堂总结：1.教师对本节课所学的知识进行总结，并提醒学生在实践中继续应用所学的技能和方法。
2.学生可以就本节课的学习效果和困难之处进行反馈，并提出问题和建议。
教学延伸：。
人教版高中数学必修二 4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用 学案+课时训练
人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案【学习目标】1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0≤d＜|r1－r2| ⎭⎬⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[思考辨析学练结合]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切[解析]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．[答案] B知识点2 直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考辨析学练结合]一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．[答案] B【合作探究析疑解难】考点1 圆与圆位置关系的判定[典例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[分析]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解答]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，C 2(2a,1)，半径r 1＝4，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切；当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交．(3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离．(4)当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．考点2 两圆相交有关问题[典例2] 求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． [分析] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2[解答] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解， 两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.考点3 直线与圆的方程的应用探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[分析]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．[分析]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－(202)2＝20(千米)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．[典例3] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．图4-2-1[分析]建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．[解答]以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[方法总结]解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[跟踪练习]3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．【学习检测巩固提高】1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.[答案] B2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m [解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．[答案] B3．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__.[解析]圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．4．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ [34，＋∞) __. [解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA .设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)． 5．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0， 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ))． ∵圆心C 在公共弦所在直线上，∴4·－(12λ－12)2(1＋λ)＋3·－(16λ－2)2(1＋λ)－2＝0， 解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.人教版高中数学必修二第4章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系课时检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0.解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．[答案] A2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)， 半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．[答案] B3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案] B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25[解析]设动圆圆心为P(x，y)，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.[答案] A5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝()A．5B．4C．3D．2 2 [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.[答案] C6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[解析]半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.7．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.[答案] D8．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．[答案] A9．已知两圆相交于两点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 [解析] 两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1. ∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.[答案] C10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝.[解析]两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a的距离d＝|1a|，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a＝1.[答案] 112．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.[解析]C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－513．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是.[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2，∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．[答案]外切14．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是.[解析]已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y －2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝215．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. [解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r2＝8，∴|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．16．求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0， 得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72， 半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.17．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．18．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用课时检测一、选择题1．已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是() A．30－105B．5－5C．5D．25[解析]x2＋y2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.[答案] A2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB 的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－02－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.[答案] A3．方程y＝－4－x2对应的曲线是()[解析]由方程y＝－4－x2得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．[答案] A4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A．π4B．3π4C．3π2D．π[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的1 4.[答案] D5．方程1－x2＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是()A．k＝－2B．k∈(－2，2)C．k∈[－1,1)D．k＝2或－1≤k<1[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝ 2.[答案] D6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A ．24B ．16C ．8D ．4[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．[答案] C7．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 5[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.[答案] D8．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎨⎧ b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)．[答案] D9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．40 6 [解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD＝12×10×46＝20 6.[答案] B10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A．4π5B．3π4C．(6－25)πD．5π4[解析]原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝45，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为25，面积最小为4π5，故选A．[答案] A二、填空题11．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB 的方程是________．[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0.[答案]x＋3y＝012．已知M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是.[解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．[答案] (－3,32]13．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 .[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．[答案] B 景点在小路的投影处14．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是 .[解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43. [答案] [0，43]三、解答题15．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 16．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A 、B 、P 在此圆上，故有⎩⎨⎧ 182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0.将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.17．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.18．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。
新教材人教A版选择性必修第一册 2.5.2 圆与圆的位置关系 学案
2.5.2圆与圆的位置关系素养目标·定方向课程标准学法解读1．了解圆与圆的位置关系．2．掌握圆与圆的位置关系的判断方法．3．能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(数学抽象)2．能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系．(数学运算)3．能综合应用圆与圆的位置关系解决问题．(逻辑推理)必备知识·探新知知识点两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d＞__r1＋r2__d＝__r1＋r2____|r1－r2|__＜d＜__r1＋r2__d＝__|r1－r2|__d＜__|r1－r2|__C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E21－4F1＞0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2＞0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系__相交____外切或内切____外离或内含__两圆的位置关系？提示：不能．已知两圆只有一个交点只能得出两圆内切或外切．关键能力·攻重难题型探究题型一判断两圆的位置关系典例1已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax －2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含？[分析]先求出圆心距，与两半径的和或差比较求出a的值．[解析]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1．∴|C1C2|＝(a－2a)2＋(1－1)2＝a．(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．(4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含．[规律方法]判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系．(2)代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题．【对点训练】❶(1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(B) A．内切B．相交C．外切D．相离(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有__4__条．[解析](1)两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为(－2－2)2＋(0－1)2＝17，则R－r＜17＜R＋r，所以两圆相交，选B．(2)到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝(3＋1)2＋(－1－2)2＝5．半径之和为3＋1＝4，因为5＞4，所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．题型二两圆相切问题典例2求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．[分析]设圆的方程，利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得．[解析]设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则(a－1)2＋b2＝r＋1．①又所求圆过点M的切线为直线x＋3y＝0，故b＋3a－3＝3．②|a＋3b|2＝r．③解由①②②组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－43，r＝6．故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36．[规律方法]处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．【对点训练】❷已知圆O1：x2＋y2－82x－82y＋48＝0，圆O2过点A(0，－4)，若圆O2与圆O1相切于点B(22，22)，求圆O2的方程．[解析]圆O1的方程变为(x－42)2＋(y－42)2＝16，所以圆心O1(42，42)，因为圆O2与圆O1相切于点B(22，22)，所以圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设为(a，a)，因为圆O2过点A(0，－4)，所以圆O2与圆O1外切，因为圆O2过B(22，22)，所以a2＋(a ＋4)2＝2(a－22)2，所以a＝0，所以圆O2的方程为x2＋y2＝16．题型三两圆相交问题角度1与弦长相关的问题典例3已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0．(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．[解析] (1)将两圆方程配方化为标准方程，C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10．则圆C 1的圆心为(1，－5)，半径r 1＝52； 圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径r 2＝10．又|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10．∴r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0．(3)解法一：两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0 ①x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0 ② 两式相减得x ＝2y －4 ③，把③代入②得y 2－2y ＝0，∴y 1＝0，y 2＝2．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－4，y 1＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝2. ∴交点坐标为(－4,0)和(0,2)．∴两圆的公共弦长为(－4－0)2＋(0－2)2＝25．解法二：两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 两式相减得x －2y ＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程；由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝52．圆心C 1到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35， ∴两圆的公共弦长为2r 2－d 2＝250－45＝25．角度2 圆与圆位置关系的应用典例4 已知圆C 满足：圆心在直线x ＋y ＝0上，且过圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的交点A ，B ．(1)求弦AB 所在的直线方程和圆C 的方程；(2)过点M (－4,1)的直线l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程．[解析] (1)由题意：圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的交点A (－4,0)，B (0,2)．两式相减得：4x －8y ＋16＝0，即x －2y ＋4＝0，所以弦AB 所在的直线方程为x －2y ＋4＝0．圆心在直线x ＋y ＝0上，设圆心为(a ，－a )，那么它到两交点A ，B 的距离相等，故有(a ＋4)2＋a 2＝a 2＋(2＋a )2，可得：a ＝－3，即圆心(－3,3)，r 2＝10，圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10．(2)当k 存在时，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋4)，即kx －y ＋1＋4k ＝0，直线l 被圆C截得的弦长为6，即9＝r 2－d 2，所以d 2＝1．即|－3k －3＋1＋4k |k 2＋1＝1，可得：k ＝34，所以直线l 的方程为3x －4y ＋16＝0；当k 不存在时，直线l 的方程为x ＋4＝0．直线l 被圆C 截得的弦长为6，符合题意．故所求直线l 的方程为x ＋4＝0或3x －4y ＋16＝0．[规律方法] 求两圆公共弦长的方法1．代数法：求交点的坐标，利用两点间的距离公式求出公共弦长．2．几何法：利用圆的半径、公共弦的一半、圆心到弦的垂线段构成的直角三角形，根据勾股定理求出公共弦长．【对点训练】❸ 已知圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －4)2＋(y －4)2＝R 2(R ＞0)．(1)R 为何值时，圆C 1与圆C 2外切；(2)在(1)的条件下，设切点为P ，过P 作直线l 与圆C 1相交于E 点，若|PE |＝2，求直线l 的方程．[解析] (1)由已知圆的方程可得：C 1(0,0)，C 2(4,4)，则|C 1C 2|＝42＝R ＋1，所以R ＝42－1．(2)因为C 1(0,0)，C 2(4,4)，所以P 为直线C 1C 2与圆C 1的交点，在第一象限．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝1，得P ⎝⎛⎭⎫22，22 ． 当直线斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，所以l ：kx －y ＋22(1－k )＝0，则圆心C 1到直线l 的距离d ＝12－⎝⎛⎭⎫222＝⎪⎪⎪⎪－22k ＋221＋k 2，解得：k ＝0，此时直线方程为y ＝22．当直线斜率不存在时直线方程为x ＝22也满足条件，故所求直线l 的方程为y ＝22或x ＝22．易错警示两圆的位置有关系考虑不全面致错典例5求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．[错解]由题意知，所求圆的圆心为C(a,4)，半径为4，故可设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－4)2＝16．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心为A(2,1)，半径为3．由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7，∴(a－2)2＋(4－1)2＝72，解得a＝2±210，故所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16．[辨析]两圆相切可为内切和外切，不要遗漏．[正解]设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．由圆C与直线y＝0相切且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a，－4)．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3．由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1．①当圆心为C1(a,4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a＝2±210，故所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16．②当圆心为C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a＝2±26．故所求圆的方程为(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16．综上所述，所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16或(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16．[误区警示]两圆相切包括外切与内切，外切时，圆心距等于两圆半径之和，内切时，圆心距等于两圆半径差的绝对值．在题目没有说明是内切还是外切时，要分两种情况进行讨论．解决两圆相切问题，常用几何法．。
人教版(B版2019课标)高中数学选择性必修一2.3.4圆与圆的位置关系_学案
圆与圆的位置关系【学习目标】1．经历探索两个圆位置关系的过程，了解圆与圆之间的位置关系。
2．理解两圆的位置与圆心距d、半径R和r的数量关系。
【学习重难点】掌握圆与圆的五种位置关系。
圆与圆的五种位置关系的判断。
【学习过程】一、知识归纳：（1）圆与圆的位置关系：________、________、________、________、________。
（2）两圆位置与两园半径及圆心距间的数量关系：记大圆半径R，小圆半径r，两圆心距为d，则：相离⇔________、外切⇔________、相交⇔________、内切⇔________、内含⇔________。
二、自主学习知识回顾：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系。
新知探索：操作：剪一小圆，将圆心置于图中的直线m上并沿m移动观察：移动的小圆与图一中圆的位置，并将结果记录下来：________、________、________、________、________。
思考：两园的位置关系与什么有关？存在怎样的关系？________________________________________。
三、探究若⊙O1半径为R=5，⊙O2半径为r=3，当两圆心距为下列值时，确定两圆的位置关系？（1）1；（2）2；（3）3；（4）7；（5）8；（6）9。
若⊙O1半径为5，两圆心距为8，当⊙O2半径为何值时，两圆外离？外切？相交？内切？内含？如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1m的水泥管，两两相切地堆放在一起，求最高点到地面的距离？四、自主检测1．下列说法正确的是（）A．没有公共点的两圆或内含或外离；B．相交两圆的交点关于连心线对称；C．相切两圆的圆心距必须经过切点；D．相切两圆的连心线必须经过切点。
2．已知半径分别为r和2r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是（）A．0＜d＜3r；B．r＜d＜3r；C．r＜d＜2r；D．r≤d≤3r。
3．已知两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过O2，则四边形O1AO2B是（）A．平行四边形；B．菱形；C．矩形；D．正方形。
20-(教学案)2.2.3圆与圆的位置关系(2)
一个变元的二次方 2、方法二（方程法） ：将圆与圆的方程联立成方程组 程，判别式为△，则 △<0 方程组无解 直线和圆外离； △=0 方程组仅有一解 直线和圆相切； △>0 方程组有两组不同解 直线和圆相交
消元
典例探究 例 1 已知圆 C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圆 C2：x2+y2-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系.
课题 学习目标 教学重点、 难点 教学方法 学习要点及自主学习导引
2.2.3 圆与圆的位置关系（2） 1. 掌握圆与圆位置关系的判定 2. 圆系方程的掌握 教学重点：圆与圆的位置关系 教学难点：圆系方程
编号
20
学习心得
1、两个圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含 如何判断圆与圆的位置关系 方法一（几何法） ：设两圆连心的距离为 d ，两圆的半径为 R、r，则 ①两圆外离 没有公共点 ②两圆外切 有唯一的公共点 有两个公共点 ③两圆相交 ④两圆内切 有唯一的公共点 ⑤两圆内含 没有公共点
1
变式 2：求以圆 C1 ： x2 y 2 12x 2 y 13 0 和圆 C2 ： x2 y 2 12x
16 y 25 0 公共弦为直径的圆的方程.
变式 3：已知圆 C1：x2+y2+2x-6y+1=0,圆 C2：x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所 在的直线方程及公共弦长.
例 3、已知两圆 C1 ： x y 6 y 0 ， C2 ： x 2 3
2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
y 1 1 .
2
（1）求证两圆外切，且 x 轴是它们的一条外公切线； （2）求出它的另一条外公切线方程.
圆与圆的位置关系(17页)高二数学北师版选择性必修1
2. 仔细说说，如何判断两圆位置关系？
回顾：结合本节课所学，回答下列问题？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
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若将两个圆的方程相减，得到 <m></m> ，所得方线方程.特性是它过两圆的交点，是两个相交圆的公共弦的方程.
例3:已知圆 <m></m> 和圆 <m></m> .（1）求证：圆 <m></m> 和圆 <m></m> 相交.（2）求圆 <m></m> 和圆 <m></m> 的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
授课老师：
时间：2024年9月1日
d>r1+r2
d=r1+r2
|r1-r2|<d<r1+r2
d=|r1－r2|
d<|r1－r2|
例1:画图并判断圆C1：x2 +y2 +2x=0 和圆C2：x2 +y2–2y =1的位置关系.
解：如图，由已知，得C1：(x+1)2+y2=1,圆心C1(-1,0),半径r1=1.
∴圆C1与圆C2相交.
（2）将圆 <m></m> 和圆 <m></m> 的方程相减，得 <m></m> ，所以两圆的公共弦所在直线的方程为 <m></m> ，圆心 <m></m> 到直线 <m></m> 的距离为 <m></m> ，故公共弦长为 <m></m> .
2.5.2 圆与圆的位置关系
思考题 1 (1)已知圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2
＝16，则圆 C1 与圆 C2 的位置关系为( )
√A.内含
C.相交
B.外切 D.外离
【解析】 由题意可知，圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1 的圆心为 C1(2，3)，半 径 r＝1，
第20页
思考题 2 若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2x＋ay－8＝0 的公共弦长为 2 2，
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课时学案
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题型一 两圆位置关系的判断
例 1 已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0 与圆 C2：x2＋y2＋2x－2my ＋m2－3＝0，则 m 为何值时：
(1)两圆外离； 【思路分析】 根据圆与圆的位置关系来判定. 【解析】 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，r1＝3，C1(m，－2)， C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，r2＝2，C2(－1，m). (1)若两圆外离，则 （m＋1）2＋（m＋2）2>3＋2，(m＋1)2＋(m＋2)2>25， m2＋3m－10>0，解得 m<－5 或 m>2.
课内导航
1 课前自学 2 课时学案 3 课后巩固
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2.5.2 圆与圆的位置关系
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[素养目标] 1.了解圆与圆的位置关系.(数学抽象)2.掌握圆与圆的位置关系 的判定方法.(数学运算)3.能利用圆与圆的位置关系解决有关问题.(逻辑推理、数学 运算)
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课前自学
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知识点 两圆位置关系的判断
A.4
B.5
C.6
√D.4 或 6
【解析】 由题设 O1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，则 O1(3，4)且半径 r1＝1；
学案(第7课时)圆与圆的位置关系
与圆有关的位置关系(第4课时)教学过程一、复习引入请同学们独立完成下题．在你的随堂练习本上，画出直线L和圆的三种位置关系，并写出等价关系．lll二、探索新知请每位同学完成下面一段话的操作几何，四人一组讨论你能得到什么结论．（1）在一张透明纸上作一个⊙O1，再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2，把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系？（2）设两圆的半径分别为r1和r2（r1<r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，•你又能得到什么结论？可以发现，可以会出现以下五种情况：O2 O1(a)O2O1(b)O2O1(c)O2 O1(d)O2O1(e)(O2)O1(f)（1）图（a）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离；（2）图（b）中，两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．（3）图（c）中，两个圆有两个公共点，那么就说两个圆相交．（4）图（d）中，两个圆只有一个公共点，•那么就说这两个圆相切．•为了区分（e）和（d）图，把（b）图叫做外切，把（d）图叫做内切．（5）图（e）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，•为了区分图（e）和图（e），把图（a）叫做外离，把图（e）叫做内含．图（f）是（e）甲的一种特殊情况──圆心相同，我们把它称为同心圆．问题（分组讨论）如果两圆的半径分别为r1和r2（r1<r2），圆心距（•两圆圆心的距离为d，请你们结合直线和圆位置关系中的等价关系和刚才五种情况的讨论，•填完下列空格：两圆的位置关系d与r1和r2之间的关系外离外切相交内切内含老师分析点评：外离没有交点，因此d>r1+r2；外切只有一个交点，结合图（a），也很明显d=r1+r2；相交有两个交点，如图两圆相交于A、B两点，连接O1A和O2A，很明显r2-r1<d<r1+r2；内切是内含加相切，因此d=r2-r1；内含是0≤d<r2-r1（其中d=0，两圆同心）反之，同样成立，•因此，我们就有一组等价关系（老师填完表格）．例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．（1） (2)例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？（2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．三、巩固练习教材P101 练习．四、应用拓展例3．如图1所示，半径不等的⊙O1、⊙O2外离，线段O1O2分别交⊙O1、⊙O2于点A、B，MN为两圆的内公切线，分别切⊙O1、⊙O2于点M、N，连结MA、NB．（1）试判断∠AMN与∠BNM的数量关系？并证明你的结论．（2）若将“MN”为两圆的内公切线改为“MN为两圆的外公切线”，•其余条件不变，∠AMN与∠BNM是否一定满足某种等量关系？完成下图并写出你的结论．(1) (2)五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆和圆位置关系的概念：两个圆相离（外离、内含），相切（外切、•内切），相交．2．设两圆的半径为r1，r2，圆心距为d（r1<r2）则有：外离⇔d>r1+r2外切⇔d=r1+r2相交⇔r2-r1<d<r1+r2内切⇔d=r2-r1内含⇔0≤d<r2-r1（当d=0时，两圆同心）六、布置作业AO图1O O B AM 1．教材P102 复习巩固6、7 P103 综合运用11、13．2．选用课时作业设计．第四课时作业设计一、 选择题．1．已知两圆的半径分别为5cm 和7cm ，圆心距为8cm ，那么这两个圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离2．半径为2cm 和1cm 的⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，且O 1A ⊥O 2A ，则公共弦AB的长为（• ）．A ．55cm B ．255cm C ．5cm D ．455cm3．如图所示，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，•设⊙O 1的半径为y ，AM=x ，则y 关于x 的函数关系式是（ ）． A ．y=14x 2+x B ．y=-14x 2+x C ．y=-14x 2-x D ．y=14x 2-x二、填空题．1．如图1所示，两圆⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B两点，则O1O2所在的直线是公共弦AB 的________．(1) (2) (3)2．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足______•时，•两圆相交；•当d•满足_______时，两圆不外离．3．如图2•所示，•⊙O 1•和⊙O 2•内切于T ，•则T•在直线________•上，•理由是_________________；若过O 2的弦AB 与⊙O 2交于C 、D 两点，若AC ：CD ：BD=2：4：3，则⊙O 2与⊙O 1半径之比为________．三、综合提高题．1．如图3，已知⊙O 1、⊙O 2相交于A 、B 两点，连结AO 1并延长交⊙O 1于C ，连CB 并延长交⊙O 2于D ，若圆心距O 1O 2=2，求CD 长．2．如图所示，是2004年5月5日2时48分到3时52分在北京拍摄的从初六到十五的月全食过程．用数学眼光看图（a ），可以认为是地球、•月球投影（两个圆）的位置关系发生了从外切、相交到内切的变化；2时48•分月球投影开始进入进球投影的黑影（图（b ）），接着月球投影沿直线OP 匀速的平行移动进入地球投影的黑影（图24-87（c ），3时52分，这时月球投影全部进入地球投影的（图（d ）），•设照片中地球投影如图（2）中半径为R 的⊙O ，月球投影如图24-87（b ）中半径为r 的小圆⊙P ，这段时间的圆心距为OP=y ，求y 与时间t （分）的函数关系式，并写出自变量的取值范围．3．如图所示，点A 坐标为（0，3），OA 半径为1，点B 在x 轴上．（1）若点B 坐标为（4，0），⊙B 半径为3，试判断⊙A 与⊙B 位置关系； （2）若⊙B 过M （-2，0）且与⊙A 相切，求B 点坐标．Ay x O。
3945圆与圆的位置关系学案
圆与圆的位置关系学习目标1、了解圆与圆之间的五种位置关系2、经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程，并运用相关结论解决有关问题 学习重、难点重点：圆与圆的位置关系难点：根据两圆半径与圆心距的关系判断两圆位置关系 学习过程： 一、情境创设我们已经研究过点与圆、直线与圆的位置关系，如何判断点与圆、直线与圆的位置关系呢？圆与圆又有怎样的位置关系呢？ 二、探索活动活动一 操作、思考1、在回忆、思考点与圆、直线与圆的位置关系的基础上，研究圆与圆的位置关系。
将一个圆固定，另一个圆逐步向它移动，观察两圆的位置发生的变化，描述这种变化。
平面内，两圆相对运动，可以得到以下不同的位置关系：（1） （2） （3） （4） （5） 2、两圆的五种位置关系⑴两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，两圆外离（图1） ⑵两圆有惟一公共点，且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，两圆外切（图2）⑶两个圆有两个公共点时，两圆相交（图3）⑷两圆有惟一公共点，且除了这个公共点以外，一个圆上点都在另一个圆的内部时，两圆内切（图4），两圆外切与内切统称两个圆相切。
⑸两圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，两圆内含（图5），同心圆是两圆内含的特例。
3、按公共点的个数分类可分为三类①相离 ②相切 ③相交活动二 探索两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系O 1O 2O 1O 2O 1O 2O 1O 2O 1O 2外离 内含 外切内切先由学生从五种位置关系的图形中探索，再进行总结： 若两圆的半径分别为R 、r ，圆心距为d ，那么 两圆外离 d ＞ R ＋r 两圆外切 d = R ＋r 两圆相交 R －r ＜ d ＜R ＋r （R ≥r ） 两圆内切 d = R －r （R ＞ r ） 两圆内含 d ＜ R －r （R ＞ r ） 三、例题教学例1 已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为r 1、r 2，圆心距d=5，r 1=2. ⑴ 若⊙O 1与⊙O 2外切，求r 2；⑵ 若r 2=7，⊙O 1与⊙O 2有怎样的位置关系？ ⑶ 若r 2=4，⊙O 1与⊙O 2有怎样的位置关系？ 四、跟踪练习1. (2009台州)大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（ ） A ．外离 B ．外切 Ｃ．相交 D ．内含2. （2009宜宾）若两圆的半径分别是2cm 和3cm ，圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离3. （2009泸州）已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距020=7cm ，则两圆的位置关系为 A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 4. （2009湖州）已知1O ⊙与2O ⊙外切，它们的半径分别为2和3，则圆心距12O O 的长是（ ）A ．12O O =1 B ．12O O ＝5 C ．１＜12O O ＜５ D ．12O O ＞５ 5. （2009衡阳）两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程0342=+-x x 的两个根，则两圆的位置关系是 （ ）A ．相交B ．外离C ．内含D ．外切 6. (2009重庆)已知⊙1O 的半径为3cm ，⊙2O 的半径为4cm ，两圆的圆心距21O O 为7cm ，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系为 。
人教B版必修2圆与圆的位置关系学案
4.2.2 圆与圆的位置关系一．学习目标1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．二．学法指导及要求：1、认真研读教材99---101页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，研究最佳答案准备展示,不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
（尤其是：圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法必需牢记）3、A:自主学习；B:合作探究；C ：能力提升三．学习过程（一）【问题导学】A1. 两圆位置关系：相离、外切、相交，内切、内含B2. 判断两圆位置关系的方法：法1：代数法：将两圆的方程联立成方程组，消元变换成一元二次方程，判断根的情况 （1）如果有解，则两圆，有公共点 ①方程组有两组实数解时，两圆 ②方程组有一组实数解时，两圆 （2）如果无解，则两圆， 法 二 ：几何法： (1) 如果d > R + r , 则：两圆（2）如果 d < R - r ，则：两圆 （3）如果 d = R - r ，则：两圆（4）如果 R - r < d < R - r ，则两圆(5) 如果d = R + r , 则两圆 B3.判断两圆位置关系的方法的步骤：交点 ---- 联立方程组的解 ---- 根的判别式 ---- 代数法距离 ---- 与半径的比较 ------ 大小的关系 ---- 几何法（二）【自学检测】——小试牛刀A1. 圆0222=-+x y x 和0422=++y y x 位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切B2．两圆012422=++-+y x y x 和014422=--++y x y x 的公切线有_________条． C3．求圆0422=-+y x 和0124422=-+-+y x y x 的公共弦的长_____________．（三）【合作、探究、展示】 A 例1.已知圆C1：013222=++++y x y x ，圆C 2：023422=++++y x y x ，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系.说明：用两种方法判定。
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广东惠州市高二数学《圆与圆的位置关系》学案【学习目标】
1.理解并掌握圆与圆的位置关系的五种情形。
2.能熟练运用几何法和代数法分析圆与圆的位置关系。
3.会求两圆的公共弦方程及公共弦长。
【重点难点】
教学重点：圆与圆的五种位置关系.
教学难点：会灵活运用几何法或代数法判断圆与圆的位置关系.
【使用说明及学法指导】
1．先速读一遍教材P129— P130，再结合“预习案”进行二次阅读并回答，时间不超过2．本课必须记住的内容：通过半径的和差来判断圆与圆的位置关系．
预习案
一、知识梳理
1.设两圆的连心线长为 l ，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当时，圆 C1与圆C2 相离；
（2）当时，圆 C 与圆 C 外切；
1 2
（3）当时，圆1 与圆
2 相交；
C C
（4）当时，圆 C1 与圆C2 内切；
（5）当时，圆 C1 与圆C2 内含 .
2.由两个圆的方程组成一个方程组，若方程组没有实数解，则两圆有
即两圆；若方程组仅有一组实数解，则两圆有
即两圆；若方程组仅有一组实数解，则两圆有
即两圆。
二、问题导学
怎样判断直线与圆的位置关系？圆与圆的位置关系是否能采用类似的方法？
三、预习自测
1. 两圆 x 2 y 2 2x 4 y 3 0 和 x2 y 2 2x 2 y 6 0的位置关系是（
A相离B 相切 C 相交 D 内含
2. 圆 C1 : ( x m) 2 ( y 2)2 9 与圆 C2: ( x 1)2 ( y m)2 4 外切，则 m的值为（
A. 2
B. － 5
C. 2 或－ 5
D. 不确定
3.判断下列两圆的位置关系：
（ 1）
x 2 2
y
2 2 1 2 2
y
5 2 16
与 x
10分钟．
个公共点，
个公共点，
个公共点，
）
）.
（ 2）x2 y 2 6x 7 0与 x2 y 2 6x 27 0
4. 两圆：x 2 + y2 + 6 x + 4 y = 0 及 x 2+y2 + 4 x + 2 y– 4 =0 的公共弦所在直线方程为.
探究案
【例 1】已知圆C1： x2 y2 6x 6 0 ①，圆C2：x2 y2 4 y 6 0 ②
（1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.
【例 2 】求经过两圆x2y2 6 x 4 0 和 x2y2 6 y 28 0 的交点，并且圆心在直线
x y 4 0 上的圆的方程 .
【例 3】求圆 x2y2 4 x 12y 39 0 关于直线 3x 4 y 5 0 的对称圆方程.
课堂检测：
1. 圆x 2＋y 2－ 2 x ＝ 0 和x 2＋y 2＋ 4 ＝ 0 的位置关系是（）.
y
A. 相离
B. 外切
C. 相交
D. 内切
2.集合 A＝｛（ x，y）| x2＋ y2＝4｝，B＝｛（x， y）|( x－3)2＋( y－4)2＝ r 2｝，其中 r ＞0，若 A∩
B 中有且仅有一个元素，则r 的值是.
3. 求经过点 M（ 2，－ 2）以及圆x2 y 2 6x 0与 x2 y 2 4 交点的圆的方程。
4.求圆x2y2 4 0 与圆 x2y24x 4 y 120 的公共弦的长。