江西省南昌市进贤一中2021届高三数学暑期摸底考试试题理 【含答案】

8．在
ABC
中，
sin
A
5 13
，
cos
B
3 5
，则
cos
C
=
（
）
56 A． 65
33 B． 65
56 16 C． 65 或 65
16 D． 65
9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）
2 A． 3
4 B． 3
1 C． 3
1 D． 6
n
n
10．定义
ui
i 1
为 n 个正数 u1, u2 , u3,un 的“快乐数”.若已知正项数列
的取值范围是
1 2
,
e 3
e 3
,
.
13． 3
14．1 15．4 16．10
由题意可知，四面体 ABCD 是由下方图形中的长方体切割得到， A, B, C, D 为长方体的四个
顶点，则四面体 ABCD 的外接球即为长方体的外接球
设长方体长、宽、高分别为 a, b, c
a2 c2 6 b2 c2 5 则 a2 b2 9
以 AB 为直径的圆过点 F2 AF2 BF2 0
又 F2 1, 0
AF2
1
x1,
y1
，
BF2
1
x2
,
y2
AF2
BF2
1
x1 1
x2
y1 y2
1 x1
x2
x1x2
kx1
mkx2
m
k2 1
x1x2 km 1x1 x2 m2 1
2m2 2 k 2 1 1 2k 2
DP DC
n n
x x
3z 3y
0
0
，令
x
3 ，则 y 1， z 1
n 3,1, 1
设直线 PB 与平面 PDC 所成角为
PB
n
sin
PB
n
23 6 5
10 5
10 即直线 PB 与平面 PDC 所成角的正弦值为： 5
20．（1）由题意知， F1 c,0 ， F2 c, 0
ex t 0
另一个解由方程 x 2
确定，且这个解不等于 1.
g x
令
ex x
x2
0 gx
，则
x 1ex x 22
0
，所以函数
g
x
在
(0,
+¥
) 上单调递增，
g x g 0 1 g 1 e
t1 te
从而
2 ，且
3 .所以，当 2 且 3 时，
f
x
ex x
t
ln
x
x
2 x
恰有两个极值点，即实数 t
ABC
sin A C sin B B 0, ，又
2 cos
B
1 ，即
cos
B
1 2
由
B
0,
得：
B
3
sin B 0
（2）由余弦定理 b2 a2 c2 2ac cos B 得： a2 c2 ac 4
又 a2 c2 2ac （当且仅当 a c 时取等号）
ac 4
即
max
p 3 1 所求概率为： 21 7
x 3 2 1 0 1 2 3 0
（2）由题意得：
7
；
y 10.2 8.5 7.2 5.7 4.5 3.11.4 5.8
5
；
7
xi yi 310.2 28.5 7.2 0 4.5 2 3.1 31.4 39.9
i 1
；
7
xi2 9 4 1 0 1 4 9 28
（范2围）．若函数
f
(x)
在
0,
2
上存在极值，求实数
a
的取
值
四、选做题二选一（10 分）
坐标原点为极点， x 轴的正半轴x为极12 轴 建23立t极(t 坐标系，
以 曲
2线2．C 已的知极直坐线标l方的程参为数方程2为cos y
.
1 2
t
为参数），
（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
江西省南昌市进贤一中 2021 届高三数学暑期摸底考试试题 理
一、单选题
1．已知函数
f
(x)
lg(1
x)
的定义域为
M
，函数
g(x)
1 x
的定义域为
N
，则
M N （ ）
x x 1
A．
{x
B．
x
1
且
x
0}
{x x 1}
C．
{x
D．
x
1
且
x
0}
z 2i (i 2．若复数 1 i 是虚数单位），则 z 的共轭复数 z （ ）
P(1 , 0) （2）设点 2
，直线 l 与曲线 C
交于
A, B 两点，求
PA
PB
的值.
f (x) x 1 x 5 , x R
23．设函数
.
（1）求不等式 f (x) 10 的解集；
（2）如果关于 x 的不等式 f (x) a (x 7)2 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围.
7．某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为 40 分钟，第一节课上课
的时间为 7：50～8：30，课间休息 10 分钟.某同学请假后返校，若他在 8：50～9：30 之间
随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于 20 分钟的概率为（ ）
1 A． 5
1 B． 4
1 C． 3
1 D． 2
过 F2 作抛物线 C 的切线，设其中一个切点为 A ，若点 A 恰好在以 F1, F2 为焦点的双曲线上，
则双曲线的离心率为（ ）
A． 2 1
B． 2 2 1
C． 2 1
6 2 D． 2
12．设函数
f
x
ex x
t
ln
x
x
2 x
恰有两个极值点，则实数 t
的取值范围是（
）
A．
,
1 2
B．
k2 1
设 Ax1, y1 ， B x2, y2
x2
y2
1
2
由 y kx m 得： 1 2k 2 x2 4kmx 2m2 2 0
16k 2m2 4 1 2k 2
则
2m2 2 0 ，即： 2k 2 m2 1 0
x1
x2
4km 1 2k 2
x1 x2 ，
2m2 2 1 2k 2
（2）若 PB 6, AB PA 2 ，求直线 PB 与平面 PDC 所成角的正弦值.
C
20．己知椭圆
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
的离心率为
2 2 ， F1, F2 分别是椭圈 C 的左、右焦
点，椭圆 C
的焦点
F1
到双曲线
x2 2
y2
1
渐近线的距离为
3 3.
(1)求椭圆 C 的方程；
三、解答题（17－21 题 12 分）
17． ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知 2b cos B a cos C c cos A .
（1）求 ÐB 的大小；
（2）若 b 2 ，求 ABC 面积的最大值.
18． 2013 年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由 2012 年
i 1
bˆ 39.9 1.425
28
， aˆ 5.8
线性回归直线为： yˆ 1.425x 5.8
1.425 0 2012 年至 2018 年贫困发生率逐年下降，平均每年下降1.425%
当 x 2019 2015 4 时， y 1.425 4 5.8 0.1
2019 年的贫困发生率预计为 0.1% 19．（1）证明：取 AD 中点 E ，连接 PE ， BE ， BD
n
n
xi x yi y xi yi nx y
bˆ i1 n
i1 n
, aˆ y bˆx
xi x 2
i 1
xi2 nx 2
i 1
( bˆ 的值保留到小数点后三位）
19．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， PA PD, DAB 60 .
（1）证明： AD PB ；
底的10.2% 下降到 2018 年底的1.4% ，创造了人类减贫史上的的中国奇迹.“贫困发生率”
是指低于贫困线的人口占全体人口的比例， 2012 年至 2018 年我国贫困发生率的数据如下表：
年份 t
贫困发生率
y %
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
10.2
8.5
7.2
5.7
a2 b2 c2 10
即长方体体对角线长度为： 10
R 10
长方体外接球半径为体对角线长度一半，即
2
四面体 ABCD 外接球表面积： S 4 R2 10
本题正确结果：10
2sin B cos B sin Acos C sin C cos A sin A C
17．（1）由正弦定理得：
D． c a b
y 2 x y 4 5．已知实数 x, y 满足约束条件 x y 1 ，则 z 3x y 的最小值为（ ）
A．11
B．9
C．8
D．3
m 6．“
4 3
”是“直线
x
my
4m
2
0
与圆
x2
y2
4
相切”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4 a2 c2 ac 2ac ac ac
1 4sin B 3 三角形面积 S 的最大值为： 2
18．（1）由数据表可知，贫困发生率低于 5% 的年份有 3 个
从 7 个贫困发生率中任选两个共有： C72 21种情况 选中的两个贫困发生率低于 5% 的情况共有： C32 3 种情况
an
的前 n 项的
“快乐数”为
1 3n
1
，则数列
(an
36 2)(an1
2)
的前
2019
项和为（
）
2018 A． 2019
2019 B． 2020
2019 C． 2018
2019 D百度文库 1010
11．已知点 F1 是抛物线 C : x2 2 py 的焦点，点 F2 为抛物线 C 的对称轴与其准线的交点，
(2)直线
l
:
y
kx
m
k
0 与椭圆
C
交于
A,
B
两点，以线段
AB
为直径的圆经过点
F2
，
25
且原点 O 到直线 l 的距离为 5 ，求直线 l 的方程.
21．已知函数 f (x) aex sin x ，其中 a R ， e 为自然对数的底数.
（1）当 a 1时，证明：对 x [0, ), f (x)…1 1；
理科数学答案 1．D 2．D 3．C 4．A 5．C 6．A 7．B 8．D 9．A 10．B 11．C
12．C
由题意知函数
f
x的定义域为(0, +¥
)，
f x
x 1ex
x2
t
1 x
1
2 x2
x 1ex
t x 2
x 1x 2
ex x2
t
x2
x2
.
( ) 因为 f x恰有两个极值点，所以 f ¢ x = 0 恰有两个不同的解，显然 x 1 是它的一个解，
A．1 i
B．1 i
C． 1 i
D． 1 i
( x 1)6
3．二项式
x 的展开式中的常数项为（ ）
A．－15
B．20
C．15
D．－20
4．已知
x
0,1 ，令
a
logx 5 ， b
cos x ， c
3x ，那么 a，，
b
c 之间的大小关系为（
）
A． a b c
B． b a c
C． b c a
4.5
3.1
1.4
（1）从表中所给的 7 个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于 5% 的概率； （2）设年份代码 x t 2015 ，利用线性回归方程，分析 2012 年至 2018 年贫困发生率 y 与年份代码 x 的相关情况，并预测 2019 年贫困发生率.
附：回归直线 yˆ bˆx aˆ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
y 2x
双曲线方程知，其渐近线方程为：
2
d c 3
焦点 F1 到双曲线渐近线距离：
3 3 ，解得： c 1
e c 2 由椭圆离心率 a 2 得： a 2
b2 a2 c2 1
x2 y2 1
椭圆 C 的方程为： 2
（2）原点 O 到直线距离为：
m k2 1
25 5
，整理得：
m2
4 5
四边形 ABCD 为菱形 AD AB
又 DAB 60 ABD 为等边三角形，又 E 为 AD 中点 PA AD ， E 为 AD 中点 AD PE
AD BE
BE, PE 平面 PBE ， BE PE E AD 平面 PBE
又 PB 平面 PBE AD PB （2）以 E 为原点，可建立如下图所示空间直角坐标系：
1 2
,
C．
1 2
,
e 3
e 3
,
D．
,
1 2
e 3
,
二、填空题
13．已知 a, b 均为单位向量，若
a
2b
3
，则
a
与
b
的夹角为________.
f (x) a 2
14．若
2x 1 是奇函数，则 a _______.
1 1
1 1
15．数式
1 中省略号“···”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如
由题意知： AD AB 2 ， AE 1 ， PE PA2 AE2 3 ， BE PB2 PE2 3
P 0,0, 3 B 0, 3,0 D 1,0,0 C 2, 3,0
则
，
，
，
PB 0, 3, 3 DP 1, 0, 3 DC 1, 3, 0
，
，
设平面 PDC 的法向量 n x, y, z
11 t
t 5 1
下方法求得：令原式=t，则 t ，则 t2 t 1 0 ，取正值得
2 .用类似方法可得
12 12 __________. 16．在四面体 ABCD 中，若 AB CD 5 ， AC BD 6 ， AD BC 3 ，则四面 体 ABCD 的外接球的表面积为_______.