大专高等数学复习资料
专科高数知识点总结
专科高数知识点总结1.微积分微积分是专科高等数学中的一个重要分支，它主要包括极限、导数、积分和微分方程等内容。
微积分的基本概念是极限，包括函数极限和数列极限。
函数的极限是指当自变量趋于某一值时，函数的取值趋于某一确切值的过程，它是微积分的基础。
导数是描述函数变化率的概念，它是函数在某一点处的变化率，可以通过函数的极限来定义。
积分是导数的逆运算，它可以用来求解曲线下的面积、求解定积分以及解决微分方程等问题。
微分方程是微积分和方程的结合，它是描述自变量和相关变量之间关系的数学方程，包括常微分方程、偏微分方程和微分方程的解法等内容。
2.线性代数线性代数是专科高等数学中的另一个重要分支，它包括矩阵、向量、空间、特征值和特征向量等内容。
矩阵是线性代数中的基本概念，它是由数字排成的矩形数组，可以用来表示线性方程组、线性变换和向量空间等概念。
向量是线性代数中的另一个基本概念，它可以用来表示方向和大小，包括向量的线性组合、向量的内积和外积等内容。
空间是线性代数中的几何概念，它主要涉及 n 维空间、子空间和正交性等内容。
特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们可以用来描述线性变换的特征和性质，包括矩阵对角化和矩阵的谱分解等内容。
3.概率论概率论是专科高等数学中的另一个重要分支，它主要包括概率的基本概念、随机变量、概率分布、期望和方差、大数定律和中心极限定理等内容。
概率的基本概念包括事件、样本空间、概率的定义和概率的性质等内容。
随机变量是描述随机事件结果的数学描述，包括离散型随机变量和连续型随机变量等内容。
概率分布是描述随机变量取值的规律，包括离散型概率分布和连续型概率分布等内容。
期望和方差是描述随机变量的平均值和波动程度的概念，它们可以用来描述随机变量的特征和性质。
大数定律和中心极限定理是描述随机现象统计规律的重要定理，它们可以用来描述样本均值的收敛性和极限分布等内容。
4.常微分方程常微分方程是专科高等数学中的另一个重要分支，它主要包括一阶和高阶常微分方程、线性和非线性常微分方程、常系数和变系数常微分方程以及常微分方程的解法等内容。
高数大一必考知识点总结专科
高数大一必考知识点总结专科高等数学作为大一学生必修的一门课程，是培养学生数学思维和分析问题能力的重要基础课。
为了帮助大家更好地复习和总结这门课程，下面将对高数大一必考的知识点进行总结。
一、函数与极限1. 函数的概念与性质2. 函数的基本初等函数3. 极限的概念及相关性质4. 极限的计算方法5. 无穷大与无穷小的概念及性质6. 函数的连续性及其判定方法二、导数与微分1. 导数的概念及相关性质2. 常见函数的导数计算3. 高阶导数与高阶微分4. 微分中值定理及其应用5. 函数的凸凹性与拐点6. 泰勒展开与近似计算三、积分与定积分1. 不定积分的概念及基本性质2. 常见函数的不定积分计算3. 定积分的概念及其性质4. 定积分的计算方法5. 牛顿—莱布尼茨公式与应用6. 曲线的弧长与曲面的面积四、微分方程1. 微分方程的概念与基本形式2. 一阶微分方程的解法3. 可降阶的高阶微分方程4. 齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程5. 可降次的高阶线性微分方程6. 常系数线性微分方程及其特解五、空间解析几何1. 空间直线与平面的方程2. 直线与平面的位置关系3. 空间曲线与曲面的方程4. 曲线与曲面的位置关系5. 空间向量与向量运算6. 空间向量的线性相关性与线性无关性六、多元函数与多元微积分1. 多元函数的概念与性质2. 偏导数的定义与计算3. 方向导数与梯度4. 极值与条件极值5. 多元函数的二阶偏导数及其性质6. 重积分与二重积分的计算七、级数与幂级数1. 级数的概念与性质2. 常见级数的判敛方法3. 幂级数的收敛半径与收敛域4. 幂级数的求和与展开5. 函数展开成幂级数的形式6. 泰勒级数与幂级数的应用以上就是高数大一必考的知识点总结，希望对大家复习和备考有所帮助。
只有掌握了这些基础知识，才能在高等数学学习中更加游刃有余，为将来的学习打下坚实的基础。
祝大家取得优异的成绩！。
专科大一下高数知识点
专科大一下高数知识点高数（高等数学）是大学数学课程中的一门重要学科。
在专科大一下学期，学生们将继续学习高等数学的相关知识点，这些知识点将为他们在未来的学习和职业生涯中打下坚实的基础。
本文将着重介绍专科大一下学期的高数知识点。
1. 一元函数和极限1.1 函数的定义和性质在高数中，函数是自变量和因变量之间的关系。
我们需要了解函数的定义、定义域、值域等基本概念，以及函数的奇偶性、单调性、周期性等性质。
1.2 函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值趋近于某个常数。
我们需要学习函数极限的计算方法，包括极限的性质、极限存在准则等。
2. 导数与微分2.1 导数的概念与计算导数描述了函数在某一点的变化率，我们需要学习导数的定义和计算方法，包括基本初等函数的导数、导数的四则运算和链式法则等。
2.2 微分的概念与计算微分是导数的一个应用，描述了函数在某一点的局部线性近似。
我们需要学习微分的定义和计算方法，包括微分的性质和微分公式等。
3. 积分与应用3.1 不定积分和定积分积分是导数的逆运算，不定积分和定积分是积分的两种基本概念。
我们需要学习积分的定义和计算方法，包括不定积分的基本性质和常用积分公式，以及定积分的几何意义和计算方法。
3.2 积分的应用积分的应用非常广泛，包括面积与弧长的计算、物理中的质量、质心与力矩等问题。
我们需要学习积分在几何、物理等领域的具体应用方法。
4. 函数的级数展开4.1 幂级数和泰勒级数幂级数是一种无穷项的函数展开形式，泰勒级数是一种特殊的幂级数。
我们需要学习幂级数和泰勒级数的定义、收敛半径、级数和函数的关系等。
4.2 幂级数的计算我们需要学习幂级数的计算方法，包括常用函数的幂级数展开、级数之间的运算和级数的逐项求导与逐项积分等。
通过学习以上专科大一下高数知识点，学生们将能够进一步理解数学的基本概念和原理，掌握基本的数学计算和分析方法，为接下来的学习和应用打下坚实的基础。
大专大一高数复习知识点
大专大一高数复习知识点高等数学是大学本科数学的基础课程之一，也是许多理工科专业学生所必修的课程。
在大专大一阶段，复习高数的基础知识点对于学生们构建数学思维、打好数学基础非常重要。
本文将为大专大一学生总结复习高等数学的重要知识点。
一、函数与极限1. 函数的定义与性质函数是自变量与因变量之间的一种对应关系，可用图象、公式、表格或文字描述。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。
2. 极限的概念与性质极限是函数在某一点或无穷远处的稳定取值。
重要性质有极限存在性、极限唯一性、极限的四则运算法则等。
3. 无穷小与无穷大无穷小是当自变量趋于某一点或无穷远时，函数取值趋于零的量；无穷大是当自变量趋于某一点或无穷远时，函数取值趋于无穷大的量。
二、导数与微分1. 导数的定义与计算导数表示函数在某一点的变化率或瞬时速度，可用极限表示。
常见导数的计算方法有定义法、几何法、运算法则等。
2. 函数的微分微分是导数的几何解释，表示函数在某一点的线性逼近。
微分具有线性性、可加性和微分中值定理等重要性质。
3. 高阶导数与高阶微分高阶导数表示函数的导数再次求导，高阶微分表示函数的高阶导数的微分。
三、定积分与不定积分1. 定积分的概念与性质定积分表示函数在一定区间内与x 轴构成的面积，是一个数值。
定积分具有可加性、积分区间的可加性、积分中值定理等重要性质。
2. 不定积分的概念与计算不定积分是原函数的集合，表示函数的反导数。
常见的求不定积分方法有基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
3. 微积分基本定理微积分基本定理将定积分与不定积分联系起来，其中第一型基本定理说明了定积分与不定积分的关系，第二型基本定理能够通过原函数计算定积分。
四、级数1. 数列与级数的概念数列是一组按照一定规律排列的数；级数是数列的和。
常见级数包括等差数列、等比数列等。
2. 幂级数与收敛域幂级数是形如∑aₙxⁿ 的级数，收敛域是使级数收敛的 x 的取值范围。
大专大一数学基础知识点
大专大一数学基础知识点数学是一门基础学科，对于大专大一学生来说，掌握数学的基础知识点是非常重要的。
在这篇文章中，我将介绍一些大专大一数学的基础知识点，帮助大家更好地理解和应用数学。
一、代数与函数1.1. 代数基础知识- 数与运算：整数、有理数、实数、复数的概念及其基本运算规则；- 代数式与方程式：包括多项式、等式、不等式等的基本概念和运算法则；- 四则运算：加减乘除的运算规则。
1.2. 函数与方程- 函数的概念：自变量、因变量、定义域、值域等；- 基本函数类型：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等；- 方程与不等式：线性方程、二次方程、绝对值方程和不等式等。
二、几何与三角学2.1. 几何基础知识- 点、线、面的基本概念及性质；- 平行与垂直：平行线的性质、垂直线的性质；- 三角形与四边形：三角形的分类、四边形的性质；- 圆的基本性质：圆周长、面积的计算公式。
2.2. 三角学- 角度的概念与计算：度量角度、角度的运算规则；- 三角函数：正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义和性质；- 三角函数的应用：解三角形、解三角方程等。
三、微积分基础3.1. 极限与连续- 极限的概念与性质：极限存在的条件、极限运算法则；- 函数的连续性：连续函数的定义和性质。
3.2. 导数与微分- 导数的概念与计算：导数的定义、基本导数公式；- 函数的增减性与极值：一阶导数与函数的单调性、二阶导数与函数的凸凹性；- 微分的应用：局部线性近似、极值问题的求解。
四、概率与统计4.1. 概率- 随机试验与事件：随机试验的概念、事件的概率；- 概率的计算：古典概型、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式。
4.2. 统计- 统计数据的描述：样本均值、中位数、标准差等统计量的计算；- 抽样与统计推断：点估计、区间估计、假设检验等。
通过对大专大一数学基础知识点的学习，我们可以更好地理解并应用数学知识。
这些基础知识点对于大一学生来说是奠定数学学科基础的重要一步，也是后续学习更高级数学概念的基础。
专科数学知识点大全总结
专科数学知识点大全总结第一章：代数1.1 一元一次方程一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程。
通常的形式为ax+b=0，其中a、b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的方法包括加减消去法、代入法、等价变形法等。
1.2 一元二次方程一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。
通常的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次方程的方法包括配方法、求根公式、完全平方式等。
1.3 多项式与因式分解多项式是由多个单项式相加减而成的代数式。
因式分解是将多项式分解成若干个不可再分解的乘积的过程。
进行因式分解时，我们可以采用提公因式法、分组法、通式法等。
1.4 分式与分式方程分式是指一个整式除以另一个整式所得到的数，分式方程即含有分式的方程。
解分式方程的方法包括通分法、变形法、代入法等。
1.5 指数与对数指数是乘积的简写形式，对数是幂的简写形式。
指数的运算包括乘方运算、指数运算法则等，对数的运算包括对数函数的性质、对数方程的解法等。
第二章：几何2.1 点、线、面及其性质点是几何中最基本的概念，线是由一系列相邻点组成的，面是由线段组成的。
这些基本几何概念的性质包括点的构成要素、线的分类及性质、平面的性质和分类等。
2.2 直线与射影直线是不加限制地延伸的痕迹，射影是从一个点向另一个点的直线上引出的一段有向线段。
直线和射影的运用包括平行线与垂直线的判定、夹角的性质、射影的运算等。
2.3 三角形与相似三角形三角形是由三条边及其夹角所围成的图形，相似三角形是指对应角相等、对应边成比例的三角形。
三角形的运用包括三角形的分类、三角形的性质及三角形的应用等。
2.4 四边形与多边形四边形是指由四条边及其内角所围成的图形，多边形是指由多条边及其内角所围成的图形。
四边形与多边形的运用包括多边形的分类、四边形的性质及多边形的面积等。
2.5 圆与圆的运算圆是指到圆心的距离相等的点的集合，圆的运算包括圆的分类、圆的性质、圆的公式及圆的应用等。
《高等数学》(专科升本科)复习资料
《高等数学》（专科升本科）复习资料一、复习参考书：全国各类专科起点升本科教材高等数学（一）第3版 本书编写组 高等教育出版社 二、复习内容及方法：第一部分 函数、极限、连续复习内容函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。
数列的极限与函数的极限概念。
收敛数列的基本性质及函数极限的四则运算法则。
数列极限的存在准则与两个重要的函数极限。
无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。
常见的求极限的方法。
连续函数的概念及基本初等函数的连续性。
函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性质，初等函数的连续性。
闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、介值定理与零点存在定理。
复习要求会求函数的定义域与判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。
掌握数列极限的计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四则运算法则、两个重要极限等常见方法计算函数的极限。
掌握理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在求函数极限的时候能使用等价代换。
理解函数连续性的定义，会求给定函数的连续区间及间断点；；能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。
重要结论1. 两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函数；奇函数与偶函数之积必为奇函数；奇（偶）函数的复合必为偶函数； 2. 单调有界数列必有极限；3. 若一个数列收敛，则其任一个子列均收敛，但一个数列的子列收敛，该数列不一定收敛；4. 若一个函数在某点的极限大于零，则一定存在该点的一个邻域，函数在其上也大于零；5. 无穷小（大）量与无穷小（大）量的乘积还是无穷小（大）量，但无穷小量与无穷大量的乘积则有多种可能6. 初等函数在其定义域内都是连续函数；7. 闭区间上的连续函数必能取到最大值与最小值。
重要公式1. 若,)(lim ,)(lim 0B x g A x f x x x x ==→→则AB x g x f x g x f x x x x x x =⋅=⋅→→→)(lim )(lim )]()([lim 0；BA x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000。
(完整版)高等数学复习资料大全
《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
高等数学复习资料大全
高等数学复习资料大全高等数学复习资料大全一、函数的极限1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。
2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。
（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。
（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。
（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。
3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。
4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。
5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。
（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。
6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k)^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。
二、导数与微分1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。
2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。
3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。
4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。
5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。
三、不定积分1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x)进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。
2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。
高职高考数学复习资料
高职高考数学复习资料高职高考数学复习资料高职高考是许多学生选择的一条适合自己的教育路径，而数学作为高职高考的一门重要科目，对于学生来说也是一项必须重点复习的内容。
本文将为大家提供一些高职高考数学复习资料，希望能够帮助到正在备考的同学们。
一、基础知识的复习高职高考数学的基础知识主要包括数与代数、函数与方程、几何与三角、概率与统计等方面。
在复习过程中，可以通过查阅教材、习题集等资料，对这些基础知识进行系统性的复习。
同时，也可以通过参加一些线上线下的数学培训班，听取专业老师的讲解和解题技巧，加深对基础知识的理解和掌握。
二、题型分析与解题技巧高职高考数学试卷的题型主要包括选择题、填空题、解答题等。
在复习过程中，可以通过分析历年的高职高考数学试卷，总结出各个题型的出题规律和解题技巧。
例如，在选择题中，可以通过排除法、代入法等方法快速找出正确答案；在填空题中，可以通过代数运算、几何关系等方法找到正确的填空数字；在解答题中，可以通过列方程、画图等方法解决问题。
掌握这些解题技巧，可以在考试中更加高效地解决各类数学题目。
三、习题的练习与巩固练习是提高数学水平的关键。
在复习过程中，可以通过做大量的习题来巩固所学的知识。
可以选择一些习题集，按照章节进行有针对性的练习。
在练习过程中，可以注重对错题的分析和总结，找出自己的薄弱环节，并进行有针对性的复习。
同时，也可以通过参加模拟考试，检验自己的学习效果，找出不足之处，并加以改进。
四、拓展知识与应用能力的培养高职高考数学试卷中，通常会涉及到一些拓展知识和应用能力的考查。
为了更好地应对这些题目，可以通过阅读相关的数学书籍、参加数学竞赛等方式，拓宽自己的数学知识面。
同时，也可以通过解决一些实际问题，培养自己的应用能力。
例如，可以通过解决一些与工作、生活相关的数学问题，提高自己的数学思维能力和解决实际问题的能力。
总之，高职高考数学的复习是一个系统性的过程，需要学生们进行有计划、有针对性的复习。
大学高等数学第二册复习资料
大学高等数学第二册复习资料第一章一元函数微分学1. 函数的极限1.1 无穷大与无穷小在微积分中，我们常常需要研究函数在某一点附近的变化情况。
为此，引入了极限的概念。
在这一小节中，我们将学习无穷大与无穷小的定义以及它们之间的关系。
1.2 极限的定义极限的定义是微积分的基础，我们通过一些具体的例子来介绍极限的概念和求解方法。
1.3 一些重要的极限在微积分的应用中，有一些特殊的极限需要我们掌握。
这些极限在求解一些复杂问题时经常会出现，并且在证明一些定理时也起到关键作用。
2. 导数与微分2.1 导数的概念导数是一元函数微分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
2.2 导数的计算我们将介绍一些计算导数的方法，例如使用定义计算导数、使用基本导数公式以及利用导数的运算法则等。
2.3 高阶导数和隐函数求导在实际问题中，我们常常需要求解高阶导数或者对隐函数进行求导。
这些都是导数计算的一些扩展应用。
3. 微分学的基本定理与应用3.1 微分学的基本定理微分学的基本定理是微积分中的一些重要定理，它们建立了微积分的基础和框架。
3.2 微分学的应用微积分的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域，都会用到微积分的相关概念和方法。
第二章一元函数积分学1. 不定积分与积分的定义1.1 不定积分的概念不定积分是微积分的重要内容，它是导数运算的逆运算。
1.2 积分的定义与性质我们将介绍积分的几何意义、定义和一些基本性质，例如积分的线性性、积分中值定理等。
2. 定积分2.1 定积分的概念定积分是微积分中的重要工具，在实际问题中有着广泛的应用。
2.2 定积分的计算我们将介绍一些定积分的计算方法，例如分部积分法、换元积分法、定积分的性质等。
2.3 定积分的应用定积分在几何学、物理学等领域有着广泛的应用，例如计算曲线的长度、面积等。
3. 微积分基本定理与应用3.1 微积分基本定理微积分基本定理是微积分中的重要定理，它将微积分的导数和积分联系起来。
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高等数学第一章 函数与极限第一节 函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）(){},|U a x x a δδ=-<(){},|0U a x x a δδ=<-<第二节 数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞= 【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞→lim第三节 函数的极限○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞→lim第四节 无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小； （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节 极限运算法则○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<()()()()000lim 00x x f x g x f x g x →⎧⎪⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9x x x →--【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23333311limlim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()0233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 【题型示例】求值：93lim 23--→x x x【求解示例】36x →===第六节 极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim0=→x x x 0000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫⎪⎝⎭（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-）○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x【求解示例】()()211121212122121122122121lim21221232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦解：()()12lim 1212121212122lim 121x x x x x x x x x ee e e+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+⎛⎫⎪+⎝⎭====第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★）1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1UU U U U U U e +- 2．U U cos 1~212-（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim,0,000020=++=+⋅+=++⋅+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为第八节 函数的连续性○函数连续的定义（★）()()()000lim lim x x x x f x f x f x -+→→==○间断点的分类（P67）（★）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x a e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0fg C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章 导数与微分第一节 导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=b ax e x f x1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩ ∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程 （或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程） 【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()()()1y f a x a f a -=--' 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节 反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数()x f1-的导数【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11fx f x -'⎡⎤=⎣⎦' ○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设(ln y e =，求y '【求解示例】(22arcsi y ex a e e e ''='⎛⎫' ⎪+=⎝⎛⎫⎪ =⎝⎭=解：⎛ ⎝第四节 高阶导数 ○()()()()1n n fx fx -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（★） 【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数 【求解示例】()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ()()()()()2311121y x x --'⎡⎤'''=-⋅+=-⋅-⋅+⎣⎦……()1(1)(1)(1)nn n y n x --=-⋅-⋅+！第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★） 【题型示例】试求：方程ye x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由ye x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1yy e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111法线方程：()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd【求解示例】1.()()t t dx dy ϕγ''= 2.()22dy d y dx dxt ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭=' 第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节 函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★） ()dx x f dy ⋅'=第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★） 【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈， 使得()()cos sin 0ff ξξξξ'+=成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导；2．又∵()()00sin00f ϕ==()()sin 0f ϕπππ== 即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x >时，xe e x >⋅ 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，xe e x >⋅ 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+；2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立，化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=， 即证得：当1x >时，xe e x >⋅第二节 罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件，则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅【求解示例】()10000201ln ln lim ln lim lim lim 111lim 0x x L x x x x x x x x x x x x x a ααααααα∞∞-'→→→→→'⋅===⋅'⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=解： （一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭【求解示例】200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：()()()()000002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0lim xx x →【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()10lim cos sin xx x x →+【求解示例】()()()()()1000000lim ln ln 10ln cos sin cos sin ,ln ,ln cos sin ln 0limln limln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x xx x L x x yy x x x x y x x y xx x y x y xx x x x x x x y e e e e→→→'→→→→+=+=+→='+⎡⎤--⎣⎦====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得⑸0∞型（对数求极限法） 【题型示例】求值：tan 01lim xx x →⎛⎫⎪⎝⎭【求解示例】()()tan 00200020*******,ln tan ln ,1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln lim limlim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li xx x x L x x x L x y y x x x y x y x x x xx x x xx x x x x →→∞∞'→→→'→→⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫→=⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=-=-=-⎛⎫'⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'==='解：令两边取对数得对求时的极限，00lim ln ln 002sin cos m 0,1lim =lim 1x x yy x x x xy e e e →→→→⋅====从而可得○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）00001∞⎧⎪∞-∞−−→←−−⋅∞←−−⎨∞⎪∞⎩∞(1)(2)(3)⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★） 【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间 【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导∴()261812f x x x '=-+2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==4．∴函数f x 的单调递增区间为,1,2,-∞+∞； 单调递减区间为()1,2【题型示例】证明：当0x >时，1xe x >+ 【证明示例】1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >）2．()10xx e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1xe x >+【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<○连续函数凹凸性（★★★）【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩3．（四行表）x(,0)-∞ 0(0,1) 1(1,2) 2(2,)+∞y '-++- y '' ++--y1 (1,3) 5 4．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸；⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节 函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系（★★★）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],ab 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值 【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=， 解得：121,1x x =-= ．（三行表）x1- ()1,1-1 (]1,3()f x ' 0+-()f x极小值极大值4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节 函数图形的描绘（不作要求） 第七节 曲率（不作要求）第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：（★★）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）()()()()1212k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 第二节 换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★） （()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰【题型示例】求221dx a x +⎰【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d Ca x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求【求解示例】()()121212x x C=+=+=○第二类换元法（去根式）（★★）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用）⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：t =，于是2t b x a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctan xt a=，则原式可化为sec a t ；⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：asin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsin xt a=，则原式可化为cos a t ；bsec x a t =（02t π<<），于是arccos at x =，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求（一次根式） 【求解示例】2221t x t dx tdttdt dt t C Ct =-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求（三角换元）【求解示例】()()2sin ()2222arcsincos 22cos 1cos 221sin 2sin cos 222x a t t xt adx a ta a tdt t dta a t t C t t t C ππ=-<<==−−−−−−→=+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰第三节 分部积分法 ○分部积分法（★★）⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '⋅=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-⎰⎰⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判断a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2x e x dx ⋅⎰【求解示例】()()222222222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C⋅===-=-⋅=-⋅=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：【题型示例】求sin x e xdx ⋅⎰【求解示例】()()()()sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x xx x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd ee x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx⋅=-=-+=-+=-+=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ⋅=-+-⎰⎰即：∴()1sin sin cos 2xxe xdx e x x C ⋅=-+⎰第四节 有理函数的不定积分 ○有理函数（★）设：()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()kx a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）；即：()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则参数n a m =-22b c ax bx c a x x a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭则参数,b cp q a a ==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为：()()()()()()122k lP x P x P x Q x x a x px q =+-++其中()()()()1122...k kkP x A A A x a x a x a x a =+++----()()()()2112222222...ll llP x M x N M x N x px q x px q x px q M x N x px q ++=++++++++++++参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求21x dx x +⎰（构造法） 【求解示例】()()()221111111111ln 112x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x Cx +-++⎛⎫==-+ ⎪+++⎝⎭=-+=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰第五节 积分表的使用（不作要求）第五章 定积分极其应用第一节 定积分的概念与性质 ○定积分的定义（★）()()01lim nbiiai f x dx f x I λξ→==∆=∑⎰（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）○定积分的性质（★★★）⑴()()b baaf x dx f u du =⎰⎰ ⑵()0a af x dx =⎰ ⑶()()b ba akf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⑷（线性性质）()()()()1212b b ba a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ ⑸（积分区间的可加性）()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0baf x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()b baaf x dxg x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰○积分中值定理（不作要求） 第二节 微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ 【题型示例】求21cos 2limt xx e dt x -→⎰【求解示例】()2211cos cos 2002lim lim 解：t t x x x L x d e dt e dt dx x x--'→→='⎰⎰()()()()2222221cos cos000cos 0cos cos 0cos 010sin sin limlim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim21lim sin cos 2sin cos 21122xxx x xL x xxx x x e ex x e xxdx e dx x x ex ex xe x x x x e e---→→-'→--→-→-⋅-⋅-⋅==⋅='⋅+⋅⋅=⎡⎤=+⋅⎣⎦=⋅=第三节 定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法（★★★） ⑴（第一换元法）()()()()b ba a f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 【题型示例】求20121dx x +⎰【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法）设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足： a ．,αβ∃，使得()(),a b ϕαϕβ==；b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续 则：()()()baf x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰。
高数知识点总结大专
高数知识点总结大专一、微积分1. 函数与极限函数是一种最基本的数学概念，微积分的核心概念之一就是函数的极限。
通过对函数在某点附近的取值进行分析，可以得到函数在该点的极限值。
极限的概念是微积分理论的起点，它的引入为后续的微分和积分的定义打下了基础。
2. 导数导数是描述函数变化率的重要工具，它可以用来求函数在某一点的斜率，也可以用来表示函数的增长速度。
导数的概念是微积分理论的重要组成部分，它可以帮助我们分析函数在不同点的性质和特征。
3. 微分微分是导数的反向运算，它是用来描述函数在某一点的局部线性近似的工具。
微分的概念可以帮助我们求函数在某一点的切线方程，也可以用来求函数在该点的局部最值。
4. 积分积分是对函数在某一区间上的累积求和，它可以表示函数在该区间上的总变化量。
积分的概念是微积分理论的另一个重要组成部分，它可以帮助我们求函数在某一区间上的平均值、面积、体积等性质。
5. 不定积分与定积分不定积分是对函数的积分运算，它可以得到函数的原函数。
定积分是对函数在某一区间上的积分运算，它可以得到函数在该区间上的累积变化量。
不定积分和定积分是微积分理论中的重要内容，它们可以帮助我们求解各种实际问题。
二、多元函数微积分1. 多元函数的极限多元函数是指自变量和因变量都是多个变量的函数，它的极限是对函数在某点附近的取值进行分析，可以得到函数在该点的极限值。
多元函数的极限是微积分理论的延伸，它可以帮助我们分析多元函数在不同点的性质和特征。
2. 偏导数偏导数是描述多元函数变化率的重要工具，它可以用来求多元函数在某一点的斜率、增长速度等性质。
偏导数的概念是多元函数微积分的核心内容，它可以帮助我们分析多元函数在不同方向上的变化情况。
3. 方向导数方向导数是描述多元函数在某一方向上变化率的工具，它可以用来求多元函数在某一点沿某一方向的变化速度。
方向导数的概念可以帮助我们分析多元函数在不同方向上的特征和性质。
4. 多元函数的微分多元函数的微分是对多元函数在某一点的局部线性近似，它可以用来求函数在该点的切平面方程。
专科大一数学复习知识点
专科大一数学复习知识点数学是一门基础学科，对于专科大一学生而言，建立起扎实的数学基础非常重要。
下面将为大家整理出专科大一数学课程的复习知识点，希望对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限1. 函数的定义和性质- 函数的定义及其表示方法- 奇偶函数和周期函数的概念2. 极限的概念和性质- 数列极限的定义和性质- 函数极限的定义和性质- 极限的运算法则二、导数与微分1. 导数的定义和性质- 导数的定义及其几何意义- 导数的四则运算法则- 求导法则：链式法则、乘法法则、除法法则 - 高阶导数的定义和求法2. 微分的概念和应用- 微分的定义及其几何意义- 微分中值定理及其应用- 高阶导数与函数的性态三、积分与应用1. 不定积分的概念和性质- 不定积分的定义- 基本积分表及其运算定理- 函数的原函数与不定积分的关系2. 定积分的概念和性质- 定积分的定义及其几何意义- 定积分的运算法则- 牛顿—莱布尼茨公式与定积分的应用3. 微积分基本定理和应用- 微积分基本定理的两个部分及其应用 - 平均值定理和区间内的数值问题四、高等代数1. 矩阵与行列式- 矩阵的定义、运算及其基本性质- 行列式的定义、性质及其运算法则- 逆矩阵及其求法2. 线性方程组- 线性方程组的概念及其解的存在唯一性 - 线性方程组的解的性质与判别法- 线性方程组的求解方法五、概率与统计1. 概率基本概念- 随机试验及其基本概念- 事件与事件的关系- 概率的定义及其性质2. 随机变量和概率分布- 随机变量的定义及其分类- 离散型和连续型随机变量的概率分布 - 随机变量的期望与方差3. 统计基本概念- 总体与样本的概念- 统计量的概念及其性质- 抽样分布及其应用六、数学建模1. 建模的基本思路和方法- 建模的基本过程与思路- 常见的数学建模方法与技巧2. 常见的数学模型- 数量关系模型- 质量关系模型- 概率关系模型总结：以上就是专科大一数学课程的复习知识点的整理，希望能为大家的学习提供一定的帮助与指导。
大一专科高数知识点
大一专科高数知识点高等数学作为大学专业数学的基础课程之一，在大一的学习过程中具有重要的地位和作用。
下面将介绍大一专科高数的一些重要知识点，帮助同学们更好地掌握和理解这门课程。
一、数列与数学归纳法1. 数列的定义和性质：数列是按一定顺序排列的一系列数的集合。
数列的一般形式为：a<sub>n</sub> = u<sub>1</sub>,u<sub>2</sub>, u<sub>3</sub>, ..., u<sub>n</sub>，其中a<sub>n</sub>表示数列的第n个数。
数列的性质包括有界性、有序性、单调性等。
2. 数列的分类：常见的数列有等差数列、等比数列、等差数列、递推数列等。
对于不同类型的数列，可以通过其通项公式或递推公式进行描述。
3. 数学归纳法的基本思想和应用：数学归纳法是证明数学命题的一种重要方法。
它包括基本步骤和归纳假设两个关键要素。
在解决数列问题、证明数学公式等方面，数学归纳法经常被使用。
二、函数与极限1. 函数的概念与性质：函数是一种数学关系，它将一个集合中的每个元素和另一个集合中的唯一元素相对应。
常见的函数类型包括线性函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
2. 函数的运算：函数之间可以进行加、减、乘、除和复合等运算。
对于给定的函数，我们可以通过运算得到新的函数。
3. 极限的概念与性质：极限是函数在某点或无穷远处的趋势或趋近程度。
极限的计算可以通过极限定理和极限运算法则进行。
三、导数与微分1. 导数的定义和性质：导数描述了函数在某一点处的变化率。
函数在某一点的导数可以通过极限的方法求得。
导数具有线性性、乘法法则、链式法则等性质。
2. 导数的应用：导数的应用广泛，包括函数的极值问题、曲线的切线问题、函数的图像和函数的增减性等方面。
3. 微分的概念和性质：微分是导数的一个重要应用，它刻画了函数在某一点附近的局部线性近似。
专科大一高数上册知识点总结
专科大一高数上册知识点总结一、函数与极限在高等数学中，函数与极限是一个非常基础且重要的概念。
从定义上讲，函数是一种变量之间的关系，而极限则是描述函数在某一点无限接近于某个值的情况。
1.1 函数的性质与分类函数可分为一次函数、多次函数、反函数等。
一次函数是最简单的一种函数，它的表达式通常为 y = ax + b 的形式，其中 a 和 b 是常数。
多次函数则包括了二次函数、三次函数等，其表达式包含多项式。
反函数是指与原函数之间存在一一对应关系的函数。
1.2 供求关系与三要素在函数中，供求关系是经常被涉及的概念。
其中，需求与供给的对应关系在经济学中十分重要。
供求曲线主要受到三个要素的影响，即需求、供给和价格。
1.3 极限的定义与性质极限是函数中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点上的趋势。
极限具有唯一性、有界性、保号性等性质，这些性质对于求解极限问题非常有用。
二、导数与微分导数与微分是高等数学中的另一大重点，它们是研究函数变化率的重要工具，在微积分的各个领域中都有广泛的应用。
2.1 导数的定义与性质导数描述了函数在某一点上的变化率，它的定义是函数在该点上的极限。
导数具有五个重要的性质，即和式法、积法、商法、复合函数导数法以及反函数导数法。
2.2 常用导数公式与计算技巧在求解导数的过程中，掌握常用的导数公式和计算技巧可以大大提高计算效率。
如幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数以及三角函数的导数等。
2.3 微分的概念与应用微分是导数的微小变化量，它是研究函数局部变化的重要工具。
微分可以应用于求解最值问题、两曲线的斜率问题以及函数的局部线性化近似等问题。
三、三角函数与函数的图象三角函数与函数的图象是高等数学中一个非常有趣且重要的部分。
它们描述了函数的周期性、振荡性和变化规律。
3.1 常用三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等，它们都具有特定的图象和性质。
正弦函数和余弦函数的图象是波浪形的，而正切函数在一定区间内是周期性的。
专科大一高数基础知识点
专科大一高数基础知识点高等数学是大学学习中的一门重要的基础课程，对于专科大一的学生来说，高等数学的学习是他们进入大学学习的第一个挑战。
在学习高等数学之前，我们首先需要了解一些基础知识点，以便能够更好地掌握这门课程。
1. 数列与数列极限数列是指按一定规律排列的一组数。
数列中的每一个数称为数列的项。
数列的极限是指当项数趋于无穷大时，数列的值也趋于某个数值。
数列极限的计算可以通过求出项数趋于无穷大时数列的极限值的方法。
常见的数列极限有等比数列、等差数列等。
2. 函数与函数极限函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一种映射关系。
函数极限是指当自变量趋于某个值时，函数的值也趋于某个数值。
函数极限可以通过逐渐减小自变量的变化范围，来逐渐逼近函数极限值的方法进行计算。
函数极限的计算有很多方法，常见的有极限的四则运算法则、极限的夹逼定理等。
3. 导数与微分导数是函数在某一点的变化率，可以理解为函数在该点的斜率。
导数的计算可以通过求函数的导函数来实现，导函数是原函数的导数函数。
微分是导数的一个重要应用，它描述了函数在某一点的变化情况。
微分的计算可以通过求函数的微分形式来实现。
导数和微分在实际应用中有着广泛的应用，如速度与加速度的计算等。
4. 积分与定积分积分是导数的逆运算，它描述了函数的累加变化情况。
积分的计算可以通过求函数的原函数来实现，原函数是给定函数的积分函数。
定积分是积分的一种特殊形式，表示在给定区间上的积分值。
积分和定积分在应用中有着广泛的应用，如曲线下面积的计算等。
5. 三角函数与极坐标三角函数是高等数学中的重要内容之一，常见的有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数在几何、物理等学科中有着广泛的应用。
极坐标是一种极坐标系，用角度和距离来表示点的位置。
极坐标在空间曲线的表示、极限的计算等方面有着重要的应用。
以上是专科大一高数基础知识点的简要介绍。
掌握这些基础知识点对于在大学学习及日后的学习和工作都有着重要的意义。
大一专科 高数复习
0 mn m m 1 a0 x a1 x am1 x am a0 lim mn n n 1 x b x b x bn1 x bn b0 0 1 m n
高数总复习
定义： 绝对值可以无限增大的变量
无穷大量 主要性质： 有界量与无穷大量的和还是无穷大量.
高数总复习
极限的计算类型
有界量与无穷小量的乘积还是无穷小量. 类型一： 类型二：利用无穷小量与无穷大量的倒数关系计算 类型三： 用极限的四则运算求极限
P( x) P( x0 ) lim x x0 Q( x) Q( x0 )
1 1 lim 1 e 或 lxi m 1 x x e 0 x x
x
类型五： 利用等价无穷小量代换求极限 常见等价无穷小量归纳如下： 当 x 0 时，
高数总复习
x ~ ln(1 x) ~ sin x ~ arcsin x ~ arctan x
高数总复习
4 求 y f ( x) 的极值的步骤: 1) 求出定义区间 2) 求 f '( x) 0 和 f '( x)不存在的点 3)
(a, x1 )
y' y
x1 ( x1 , x2 )
x1 x2 xn
( xn , b)Biblioteka 极大 极小
4) 求出各极值点的函数值，即函数的极值
如果所求极限呈现 等形式不能直接用极限 法则,必须先对原式进行恒等变形(约分,通分,有理化， 变量代换等)，然后再求极限．
0 0,
类型四： 利用重要极限 重要极限之一： 1.
si n x lim 1 x 0 x
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数学教学部期末工作指导
《高等数学》（48学时）
（通信、物联、软件、网络、计媒、嵌设、系统、移设、电商专业）一、复习要点
范围：第5章常微分方程，第6章无穷级数，第8章矩阵及其应用，第10章应用概率，第13章命题逻辑
要求：1. 一阶微分方程的解法，二阶常系数线性齐次微分方程的解法；
2．正项级数敛散性的判别法，交错级数收敛的判别定理（莱布尼茨定理）；极限的性质与运算法则；
3．幂级数的收敛半径与收敛区间，以及幂级数在收敛域内的和函数；
4．矩阵的运算，三阶行列式的计算，矩阵的初等变换（求方阵的逆，解线性方程组，求矩阵的秩，解矩阵方程），线性方程组有解判别定理；
5. 古典概型的概率计算，n重伯努利概型概率的计算，利用完备性计算连续型随机变量的概率密度函数，以及随机变量落在某一区间的概率，随机变量的数学期望与方差；
6．利用真值表证明命题公式等价。
二、期末教学要求
希望任课教师认真按学院要求作好各项教学工作，确保教学任务的顺利完成。
针对期末考试前有实训的班级一定要督促学生做好复习工作。
三、阅卷事宜
请任课教师在考试完领取试卷（考试时间：第19周）。
四、本学期结束前要上交的教学文件
1．期末考试试卷（请将成绩登记在试卷袋上并签名）
2．原始成绩登记册（其上应登记有平时作业成绩、期中考试成绩、期末考试成绩、总评成绩等）
3．总评成绩打印稿（总评成绩登录校园网的教务查询系统进行录入并打印）4．考试总结表的打印稿和电子稿（空表见下页）
5．总评成绩计算方法：学习过程评价（即平时作业、期中考试等）成绩占40%，
结果性评价（即期末考试）成绩占60%
数学教学部2013．06
文理学院高等数学课程
12 /13 学年第二学期期末考试总结表
一、概述
课程名称高等数学课程类型公共基础课
命题人刘冰
年级/班级通信、物联、软件、网络、计媒、嵌设、系统、移设、电商专业阅卷人阅卷方式单独阅卷
二、试卷命题分析
三、学生成绩汇总
四、学生失分原因分析及改进教学的建议。