关于高等数学B上复习资料归纳
高数b常用公式手册完整版
高数b常用公式手册 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】常用高数公式1、乘法与因式分解公式2、三角不等式3、一元二次方程的解4、某些数列的前n项和5、二项式展开公式6、基本求导公式7、基本积分公式8、一些初等函数两个重要极限9、三角函数公式正余弦定理10、莱布尼兹公式11、中值定理12、空间解析几何和向量代数13、多元函数微分法及应用14、多元函数的极值15、级数16、微分方程的相关概念1、乘法与因式分解公式1.11.21.4 123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-+--+ （n 为奇数）2、三角不等式2.12.22.32.42.63、一元二次方程 的解3.2(韦达定理)根与系数的关系：4、某些数列的前n 项和4.24.34.75、二项式展开公式6、基本求导公式：7、基本积分公式：8、一些初等函数： 两个重要极限：9、三角函数公式：xx x x x x x xx ax x e e a a a x x C C a xx x x 221cos 1sec )(tan sin )(cos cos )(sin 1)(ln ln 1)(log )(ln )(()((0)(=='-='='='='='='='='-为实数）为常数）αααα22222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin cot csc )(csc tan sec )(sec sin 1csc )(cot x x arc x x x x x x xx x x x x xx x +-='+='--='-='⋅-='⋅='-=-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⋅+=⋅+-==+==+=-+=++-=++=Cx xdx x C x dx x x Cx xdx x dx C x xdx x dx Cx x dxCx x dxCx x xdx Cx x xdx csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos arcsin 1arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec 2222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=+=+=+=+=-≠++==+Cx xdx C x xdx Ca a dx a C e dx e Cx dx x C x dx x Cdx xxx x cos sin sin cos ln ln 1)1(101αααα·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαcot cot 1cot cot )cot(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(±⋅=±⋅±=±=±±=±·倍角公式：·半角公式：·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：x arc x x x cot 2arctan arccos 2arcsin -=-=ππ10、高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：11、中值定理与导数应用：12、空间解析几何和向量代数：13、多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：14、多元函数的极值及其求法：15、级数常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ix ix ix e e x e e x x i x e 或： 16、微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数非齐次线性微分方程：。
高数B()~章知识点总结
第6章 定 积 分§6. 1 定积分的概念与性质1．概念 定积分表示一个和式的极限1()lim ()nb i iai f x dx f x λξ→==∆∑⎰[],1lim ()na b n i i n i f x ξ→∞=∆∑等分其中：{}n x x x ∆∆∆=,,,max 21 λ，1--=∆i i i x x x ；[]1,i i i x x ξ-∈；几何意义：表示()y f x =，0y =，x a =，x b =所围曲边梯形面积的代数和 可积的必要条件：()f x 在区间[]b a ,上有界 可积的充分条件：（可积函数类）（1）若()f x 在[]b a ,上连续，则()ba f x dx ⎰必存在；（2）若()f x 在[]b a ,上有界，且只有有限个第一类间断点，则()baf x dx ⎰必存在；（3）若()f x 在[]b a ,上单调、有界，则()ba f x dx ⎰必存在。
2. 性质（1） (())0baf x dx '=⎰； ()()bbaaf x dx f t dt =⎰⎰（2） ()()b a abf x dx f x dx =-⎰⎰； ()0aaf x dx =⎰（3） ()b akdx k b a =-⎰； badx b a =-⎰（4） []()()()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰（5） ()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（6）若()()f x g x ≤，[]b a x ,∈， 则()()b baaf x dxg x dx ≤⎰⎰推论1：若()0f x ≥，[]b a x ,∈， 则()0baf x dx ≥⎰推论2：()()b b aaf x dx f x dx ≤⎰⎰（7）若()m f x M ≤≤，[]b a x ,∈， 则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰（8）若()f x 在[]b a ,上连续，()g x 在[]b a ,上不变号，存在一点(,)a b ξ∈()()()()b baaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰特别地，若()1g x =，则至少存在一点[],a b ξ∈，或(,)a b ξ∈，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰⇒ 1()()b af f x dx b a ξ=-⎰（9）若()f x 在[]b a ,上连续，则其原函数()()xax f t dt ϕ=⎰可导，且()(())()x adx f t dt f x dx ϕ'==⎰ （10）若()f x 在[]b a ,上连续，且()()F x f x '=，则()()()()bb aaf x dx F x F b F a ==-⎰§6. 2 定积分的计算1. 换元法 []()()()()bx t af x dxf t t dt βϕαϕϕ=⎰⎰2. 分部法 bbbaaaudv uv vdu =-⎰⎰，或bbbaaauv dx uv vu dx ''=-⎰⎰3. 常用公式 （1）[]02()()()()()0()a a aaf x dx f x f x dx f x f x dx f x -⎧⎪=+-=⎨⎪⎩⎰⎰⎰为偶函数为奇函数（2）0()()()a aaf xg x dx C g x dx -=⎰⎰，其中()()f x f x C +-=，()g x 为连续偶函数（3）000()()()()a T T anT Tf x dx f x dxf x dx n f x dx+⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰⎰⎰，其中()()f x T f x += （4）22002200(sin )(cos )(sin ,cos )(cos ,sin )f x dx f x dx f x x dx f x x dxππππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ （5）202201cos 2cos sin 1sin 2n n n n n nxdxx xdx xdxπππ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰（6）2000(sin )(sin )(sin )2f x dx xf x dx f x dx πππππ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰（7）⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰为奇数为偶数n n dx x dx x n nsin 4sin 2020ππ（8）2200(1)!!!!2sin cos (1)!!!!n nn n n x dx x dx n n n πππ-⎧⎪⎪==⎨-⎪⎪⎩⎰⎰为偶数为奇数（9）()()()()()()()()()()x x f t dt f x x f x x ψϕψψϕϕ'''=-⎰（10）222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰§6. 3 广义积分1. 无限区间的积分（无穷积分） （1）定义与性质()lim ()ba ab f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰，若极限存在，则原积分收敛；()lim ()bba a f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰，若极限存在，则原积分收敛；()()()ccf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，必须右边两积分都收敛，原积分才收敛； ()a f x dx +∞⎰，()bf x dx +∞⎰，()akf x dx +∞⎰，具有相同敛散性；[]()()af xg x dx +∞±⎰()()aaf x dxg x dx +∞+∞=±⎰⎰，即收敛积分和仍收敛（2）审敛法比较审敛法：设0()()f x g x ≤≤，则()()()()a a aa g x dx f x dx f x dx g x dx +∞+∞+∞+∞⎧⇒⎪⎨⎪⇒⎩⎰⎰⎰⎰收敛 收敛发散 发散比较法的极限形式： 设()lim ()x af x lg x +→=，则0()()0a a l g x dx f x dx l +∞+∞≤<+∞⎧⎨<≤+∞⎩⎰⎰收敛性相同与发散性相同柯西审敛法：设lim ()p x x f x l →+∞=，则0,1()0,1al p f x dx l p +∞≤<+∞>⎧=⎨<≤+∞≤⎩⎰收敛发散特别地，11p ap dx x p +∞>⎧=⎨≤⎩⎰收敛发散绝对收敛与条件收敛：()()()aaa f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰收敛，则收敛， 称绝对收敛发散，而收敛，称条件收敛2. 无界函数的积分（瑕积分）（1）定义与性质()lim ()bb a a f x dx f x dx εε+-→=⎰⎰（lim ()x bf x -→→∞），若极限存在，则原积分收敛； 0()lim ()bba a f x dx f x dx εε++→=⎰⎰（lim ()x af x +→→∞），若极限存在，则原积分收敛； ()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（lim ()x cf x →→∞），两积分都收敛，原积分才收敛；()ba f x dx ⎰，()bakf x dx ⎰，具有相同敛散性；[]()()baf xg x dx ±⎰()()b baaf x dxg x dx =±⎰⎰，即收敛积分和仍收敛（2）审敛法比较审敛法：设(),()f x g x 非负，且lim ()x af x +→=+∞，lim ()x ag x +→=+∞若0()()f x g x ≤≤，则()()()()b b aa bb aag x dx f x dx f x dx g x dx ⎧⇒⎪⎨⎪⇒⎩⎰⎰⎰⎰收敛收敛发散发散比较法的极限形式：若()lim ()x af x lg x +→=，则 0()()0bb aal g x dx f x dx l ≤<+∞⎧⎨<≤+∞⎩⎰⎰收敛性相同与发散性相同柯西审敛法：若lim ()()p x ax a f x l +→-=，或lim()()px bb x f x l -→-=，则 0,01()0,1bal p f x dx l p ≤<+∞<<⎧=⎨<≤+∞≥⎩⎰收敛发散特别地，1()()1b b ppaa p dx dx x ab x p <⎧⎨--≥⎩⎰⎰收敛或发散§6. 5 典型例题解析1．变限积分的求导与应用 解题思路 （1）利用公式()()()()()()()()()()x x f t dt f x x f x x ψϕψψϕϕ'''=-⎰（2）若被积函数含积分限变量，需用变量代换化为变限积分的一般形式求解；（3）变限积分是由积分限位置变量决定的函数，它与积分变量无关。
高等数学b2大一知识点
高等数学b2大一知识点高等数学是大一学生在理工科、经济学等领域中必修的一门课程。
在高等数学B2中，学生将进一步学习微分学和积分学的更深层次的知识和应用。
本文将对高等数学B2课程中的一些重要知识点进行探讨和解释。
一、微分学微分学是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化和变化率。
在高等数学B2中，学生会深入学习函数的导数和微分的性质，以及一些常见函数的导数公式。
1. 函数的导数函数的导数在微分学中有着重要的地位。
导数定义了函数的变化率，可以表示函数在某一点处的斜率。
导数的求解方法有很多种，常见的方法包括用导数的定义计算、使用导数的性质进行运算等。
2. 常见函数的导数公式在微分学中，有很多常见函数的导数公式。
例如，对于多项式函数，其导数可以通过求取每一项的导数再求和得到。
对于指数函数和对数函数，其导数具有特定的性质和公式。
此外，三角函数和反三角函数的导数也是微分学中的重要内容。
3. 微分的应用微分的应用非常广泛，特别是在物理学和工程学中。
例如，通过对物体的位移函数进行微分，可以得到速度函数；再次对速度函数进行微分，可以得到加速度函数。
在经济学中，微分还可以用来解释供求关系、市场竞争等经济现象。
二、积分学积分学是微分学的逆向过程，研究的是函数的面积和变化量。
在高等数学B2中，学生将学习积分的定义、性质以及一些常见函数的积分法。
1. 积分的定义积分的定义是通过分割一个区间，将函数的值进行求和得到。
其中，定积分是指将函数在一个区间上的面积进行计算。
不定积分是指求取函数的原函数，即求取导数的逆过程。
2. 常见函数的积分法在积分学中，有很多常见函数的积分法。
例如，多项式函数的积分可以通过反向运用导数的公式进行计算。
三角函数和反三角函数的积分具有一些特殊的形式和性质。
此外，指数函数和对数函数的积分也有一些特定的方法。
3. 积分的应用积分的应用也非常广泛，特别是在物理学和统计学中。
例如，在物理学中，通过对速度函数进行积分，可以得到位移函数；再次对位移函数进行积分，可以得到加速度函数。
《高等数学B》答案
《高等数学B 》复习资料一、选择题：A 、奇函数；B 、偶函数；C 、非奇非偶函数；D 、既是奇函数又是偶函数；E 、不能确定。
若)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，则下列函数是： 1、)]([x g f （ B ）； 2、)]([x f g （ B ）；A.x y =； B 、1+-=x y ； C 、1+=x y ； D.5132+=x y ； E 、5132-=x y 。
3、 曲线x y ln 2+=在点1=x 的切线方程是（ C ）；4、 曲线53)12()25(+=+x y 在点)51,0(-处的切线方程是（ E ）； A 、不存在； B 、1； C 、0； D 、-1； E 、2。
5、函数|sin |)(x x f =在点0=x 处的导数是（ A ）； 6、函数x x f sin )(=在点0=x 处的导数是（ B ）；A 、 -1；B 、-3；C 、3；D 、-9；E 、-12。
若3)(0'-=x f ，则： 7、=--+→h h x f h x f h )2()(lim000（ D ）；8、=-+→hx f h x f h )()(lim000（ B ）；A.满足罗尔定理条件；B.满足拉格朗日中值定理条件；C.满足柯西定理条件；D.三个定理都不满足；E.不能确定。
9、652+-=x x y 在]3,2[上（ A ）； 10、)1ln(2x y +=在]3,0[上（ B ）； A 、c x f +)(； B 、)(x f ； C 、dx x f )(； D 、dx x f )('； E 、)('x f ；设)(x f 在],[b a 上可积，则： 11、=⎰dx x f d )('（ D ）； 12、=⎰dx x f dxd)('（ E ）；A 、x y x x f y x f x ∆∆--→∆),(),(lim 00000；B 、xy x x f y x f x x x ∆∆--→∆),(),(lim 00'00'0；C 、y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000；D 、y y x f y y x f y y y ∆-∆+→∆),(),(lim 00'00'0；E 、yy x f y y x f x x y ∆-∆+→∆),(),(lim 00'00'0。
高等数学B(上)复习资料
华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导一、 求函数值 例题：1、若2()f x x =，()x x e ϕ=，则(())f x ϕ= ． 解：()22(())()xx x f x f e ee ϕ===2、若(1)21f x x -=+，则()f x = ． 解：令1x t -=，则1x t =+ 所以()2(1)123f t t t =++=+即 ()23f x x =+二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小：无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题：1、320sin 3lim x xx →=？ 解：当0sin3~3x x x →，， 原式=3200(3)lim lim270x x x x x→→==2、0sin3limx xx→=？解：原式=03lim 3x xx →=3、201-cos limx xx→=？ 解：当210cos ~2x x x →，1-原式=220112lim 2x xx →=4、0ln(13)lim x x x →+=？解：当03)~3x x x →，ln(1+原式=.03lim 3x x x →=.5、201lim x x e x→-=？解：当201~2x x e x →-，原式=.02lim 2x x x →=.三、 多项式之比的极限2lim 03x xx x →∞=+，2211lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x→∞+=∞四、 导数的几何意义（填空题）0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为： 曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为： 例题：1、曲线44xy x +=-在点(2,3)M 的切线的斜率．解：222(4)'(4)(4)(4)(4)x x x x x x y x =='+--+-'=- 2、曲线cos x xy e =在点(0,1)M 处的切线方程．解：2(cos )'cos ()()x x x x x x e x e y e =='-'= 所以曲线cos x xy e=在点(0,1)M 处的切线方程为：1(0)y x -=--，即10x y +-=3、曲线y =在点(1,1)M 处的切线方程． 解：53112233x x y x =='=-=-所以曲线y =在点(1,1)M 处的切线方程为：21(1)3y x -=--，即2350x y +-=五、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分 复合函数求导的链式法则： 微分：()dy f x dx '= 例题：1、设y =，则'y =？解：()()1'2221112y x x -'=+⋅+=2、设2sin y x =，则'y =？ 解：()''222cos 2cos y x xx x =⋅=3、设sin 2x y =，则dy =？解：()''sin sin 2ln 2sin 2cos ln 2x x y x x =⋅= 则dy =sin 2cos ln 2x x dx 4、设sin x y e =，则dy =？ 解：()''cos cos xx xx y e eee =⋅=所以cos x x dy e e dx = 5、设2x y e-=，则dy =？（答案：22x xedx --）六、 运用导数判定单调性、求极值 例题：1、求ln y x x =的单调区间和极值． 解：定义域(0,)x ∈+∞令ln 10y x '=+=，求出驻点1x e -=函数的单调递减区间为1(0,]e -，单调递增区间为1(,)e -+∞极小值为11()y e e =-．2、求x y xe -=的单调区间和极值． 解：定义域(,)x ∈-∞+∞令(1)0x x x y e xe x e --'=-=-=，求出驻点1x =函数的单调递减区间为[1,)+∞，单调递增区间为(,1)-∞，极大值为1(1)y e -=． 3、求函数.2()x f x e-=.的单调区间和极值．解：定义域(,)x ∈-∞+∞ 令2()2x f x xe-'=-，得0x =极大值为(0)1f =．4、求函数31()3f x x x =-的极值．答案：极小值为2(1)3y =-，极大值为2(1)3y -=七、 隐函数求导 例题：1、求由方程2sin 0x e y xy +-=所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 解：方程两边关于x 求导，得：即 2cos 2xy e y y xy-'=-2、求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dy dx． 解：方程两边同时关于x 求导，得： 即3、求由方程sin()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 答案： cos()1cos()dy x y dx x y +=-+4、求由方程ln ln 0xy x y ++=所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 答案： dy y dx x =-八、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理 例题：1、求极限011lim 1sin x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 解：原式0sin (1)lim (1)sin x x x x e e x→--=-20sin (1)lim x x x e x→--=.()0sin ~,1~xx x x e x →- 当时，. 2、求极限30sin lim tan x x x x →-00⎛⎫⎪⎝⎭ 解：原式=3sin limx x xx→-()0tan ~x x x → 当时， =22012lim 3x xx → 2101cos ~2x x x ⎛⎫→- ⎪⎝⎭ 当时， 3、求201lim x x e x x →--00⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案：12） 九、 原函数、不定积分的概念及其性质 知识点：设()()F x f x '=，则称()F x 是()f x 的一个原函数，()F x C +是()f x 的全体原函数，且有：例题：1、( )是函数33x x +的原函数．A ．233x + B ．421342x x + C ．42x x + D ．421142x x +解：因为42313342x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以421342x x +是33x x +的原函数．2、( )是函数2cos x x 的原函数． A ．22sin x -B ．22sin xC ．21sin 2x -D ．21sin 2x解：因为22211sin (cos )2cos 22x x x x x '⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭g所以21sin 2x 是2cos x x 的原函数．3是( )的原函数A ．12xBC ．ln xD解：因为'=的原函数．4、( )是函数1x的原函数．A ．21xB ．21x -C ．ln x -D ．ln ||x解：因为()1ln ||x x'=所以ln ||x 是1x的原函数．十、 凑微分法求不定积分（或定积分）简单凑微分问题：2x e dx ⎰，sin 4xdx ⎰，cos5xdx ⎰,ln ln xd x ⎰ 一般的凑微分问题：⎰，⎰，sin 1cos x dx x +⎰，ln x dx x ⎰例题： 1、⎰解：注意到2(1)2x x '-=-原式=()2112x --⎰C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭参考公式 2、⎰解：注意到2(23)6x x '-=-原式21=(23)6x --3223x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=319C -+ 3、sin 1cos x dx x+⎰解：注意到(1cos )sin x x '+=-原式1=(1cos )1cos d x x -++⎰1ln ||dx x C x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=ln |1cos x |C -++ 4、5x e dx +⎰解：原式=5(5)x e d x ++⎰()x x e dx e C =+⎰参考公式=5x e C ++5、cos5xdx ⎰ 解：原式1cos5(5)5xd x =⎰()cos sin xdx x C =+⎰参考公式 6、sin 3xdx ⎰ 解：原式1sin3(3)3xd x =⎰()sin cos xdx x C =-+⎰参考公式 十一、 不定积分的第二类换元法——去根号（或定积分）等 例题： 1、求不定积分t =，则221ln(1)x e t x t =-⇒=-原式=22121211t dt dt t t t ⋅=--⎰⎰2、4⎰．t =，则22x t dx tdt =⇒= 当0042x t x t ====时，；当时，原式=2200111221+t 1+tt tdt dt +-⋅=⎰⎰3、1⎰t =，则21x t =-，2dx tdt =当0x =时，1t =；当1x =时，t =原积分211)2t t tdt =-⋅ 十二、 不定积分的分部积分法（或定积分）诸如sin x xdx ⎰，cos x xdx ⎰，x xe dx ⎰，x xe dx -⎰，ln x xdx ⎰，可采用分部积分法分部积分公式：()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰ 例题：1、求不定积分sin x xdx ⎰． 解 sin (cos )x xdx xd x =-⎰⎰2、求不定积分x xe dx -⎰ 解 x x xe dx xde --=-⎰⎰3、求不定积分ln x xdx ⎰解 21ln ln ()2x xdx xd x =⎰⎰十三、 定积分的概念及其性质知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等 例题：1、定积分23ax a x e dx -⎰等于 ．解： 因为23x x e 是x 的奇函数，所以原式=0 2、定积分23sin aa x xdx -⎰等于 ．解： 因为23sin x x 是x 的奇函数，所以原式=0 3、定积分22sin 1x xdx x π-π+⎰等于 ． 解： 因为22sin 1x xx+是x 的奇函数，所以原式=0十四、 变上限积分函数求导 例题：1、 设函数()f x 在[,]a b 上连续，3()()x aF x f t dt =⎰，则()F x '=（ C ）．A ．()f xB ．3()f xC ．233()x f xD ．23()x f x2、设21()arctan x f x tdt =⎰，则()f x '=22arctan x x ．3、设30()sin xf x t dt =⎰，则()f x '=3sin x ．十五、 凑微分法求定积分（或不定积分） 思想与不定积分类似 例题：1、10x ⎰解：注意到32(1)3x x '+=原式301(1)3x =+⎰3223x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=13029 十六、 定积分的第二类换元法——去根号（或不定积分， 思想与不定积分类似 例题：1、4⎰．t =，则22x t dx tdt =⇒= 当0042x t x t ====时，；当时，原式=2200111221+t 1+tt tdt dt +-⋅=⎰⎰2、1⎰t =，则21x t =-，2dx tdt =当0x =时，1t =；当1x =时，t =原积分211)2t t tdt =-⋅ 十七、 定积分的分部积分法（或不定积分） 思想与不定积分类似 例题：1、求定积分20sin x xdx π⎰． 解220sin (cos )x xdx xd x ππ=-⎰⎰2、求定积分10x xe dx -⎰ 解11xx xe dx xde --=-⎰⎰十八、 求平面图形面积知识点：X 型积分区域的面积求法 Y 型积分区域的面积求法通过作辅助线将已知区域化为若干个X 型或Y 型积分区域的面积求法 例题：1、求由ln y x =、0x =，ln 2y =及ln 7y =所围成的封闭图形的面积．解：由ln y x =得y x e =面积为ln 7ln 2(0)y S e dy =-⎰2、计算由曲线y =1y =及0x =所围成的图形的面积．解：由1y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩A 为(1,1)面积为1(1S dx =-⎰3、求由曲线1y x =与直线y x =及2x =所围成的平面图形的面积．解：由2y xx =⎧⎨=⎩得交点A 为(2,2)由1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得交点B 为(1,1)面积为211()S x dx x =-⎰。
高等数学b复习题
高等数学b复习题高等数学B复习题在大学学习的过程中，高等数学B是一门重要的课程，它涉及到微积分、线性代数、概率统计等多个方面的知识。
为了更好地掌握这门课程，复习题是不可或缺的。
本文将围绕高等数学B的复习题展开讨论，帮助读者更好地复习这门课程。
一、微积分微积分是高等数学B中最重要的部分之一。
在复习微积分时，我们可以从以下几个方面入手：1. 导数与微分导数与微分是微积分的基础概念。
我们可以通过计算导数、求解极值、应用微分等方式来复习这一部分知识。
例如，可以选择一些典型的函数进行求导，如多项式函数、三角函数等，通过计算导数的过程来熟悉导数的定义和性质。
2. 积分与定积分积分与定积分是微积分的另一个重要概念。
在复习这一部分时，可以选择一些典型的函数进行积分计算，如多项式函数、三角函数等。
同时，还可以通过解决一些应用题，如求曲线下面积、求曲线长度等，来加深对积分的理解。
3. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域。
在复习微分方程时，可以选择一些常见的微分方程进行求解，如一阶线性微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程等。
同时，还可以通过解决一些实际问题的微分方程模型，如弹簧振动问题、人口增长问题等，来加深对微分方程的理解。
二、线性代数线性代数是高等数学B中的另一个重要部分。
在复习线性代数时，我们可以从以下几个方面入手：1. 矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数的基础概念。
在复习这一部分时，可以选择一些典型的矩阵与行列式进行计算，如矩阵的加减乘除、行列式的计算等。
同时，还可以通过解决一些线性方程组的问题，如高斯消元法、矩阵求逆等，来加深对矩阵与行列式的理解。
2. 向量空间与线性变换向量空间与线性变换是线性代数的另一个重要概念。
在复习这一部分时，可以选择一些典型的向量空间与线性变换进行计算，如向量的线性组合、向量的内积、线性变换的矩阵表示等。
同时，还可以通过解决一些线性变换的问题，如矩阵的相似对角化、线性变换的特征值与特征向量等，来加深对向量空间与线性变换的理解。
高等数学b上教材习题答案
高等数学b上教材习题答案第一章：导数与微分1.1 导数的概念与计算1.2 导数的几何意义与应用第二章：微分中值定理与导数的应用2.1 微分中值定理2.2 泰勒展开式2.3 各种形式的不定型2.4 一元函数的单调性与极值2.5 导数的应用第三章：不定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式3.3 第一类换元法3.4 第二类换元法3.5 分部积分法3.6 有理函数的积分3.7 函数的定积分与微积分基本定理3.8 第一类曲线积分与换元法第四章：定积分的应用4.1 轴线分割法与几何量的计算4.2 平面图形的面积4.3 等面积曲线第五章：定积分与微分方程5.1 不定积分与常微分方程5.2 可分离变量方程5.3 齐次方程5.4 一阶线性微分方程5.5 高阶线性非齐次微分方程5.6 简单常系数线性微分方程第六章：向量与多元函数的微分学6.1 向量的概念与运算6.2 曲线的切线与法线6.3 多元函数的极限与连续6.4 多元函数的偏导数6.5 隐函数与参数方程求导6.6 多元复合函数的导数6.7 多元函数的微分6.8 多元函数的极值与条件极值6.9 向量场与梯度第七章：多元函数的积分学7.1 重积分的概念与性质7.2 重积分的计算方法7.3 重积分的应用7.4 曲线与曲面积分第八章：无穷级数与幂级数8.1 数项级数8.2 无穷级数的收敛性8.3 正项级数的审敛法8.4 幂级数的收敛性8.5 幂级数的和函数与展开式8.6 幂级数的运算8.7 幂级数的收敛半径与收敛区间第九章：多元函数积分学的应用9.1 空间曲线与空间曲线积分9.2 向量场与曲面积分9.3 散度与环量9.4 斯托克斯公式9.5 高斯公式第十章：常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.2 含有分离变量的一阶方程10.3 齐次方程与可降阶的齐次方程10.4 一阶线性微分方程10.5 二阶常系数齐次线性微分方程10.6 二阶常系数非齐次线性微分方程10.7 可降阶的线性微分方程10.8 二阶线性微分方程的振动方程以上是《高等数学B上教材》的习题答案，包括了各章节的主要内容和格式。
大一高数b2知识点总结
大一高数b2知识点总结大一高等数学B2知识点总结高等数学是大学数学课程中的基础课程之一，对于学习理工科及相关专业的学生来说尤为重要。
其中，大一下学期的高等数学B2是高等数学的延续和深化，内容相对较为复杂。
本文将对大一高等数学B2的主要知识点进行总结，帮助读者理清思路，更好地掌握这门课程。
一、数列与级数1. 数列的概念和性质数列由一系列有序数构成，可以分为等差数列、等比数列等特殊类型。
数列的极限是数列研究的重要内容之一。
2. 数列的极限数列的极限是指当自变量趋于无穷大时，函数值趋于某个确定的值。
极限的定义、计算和性质是数列与级数章节的重点内容。
3. 数列极限存在准则存在着许多判定数列极限存在的准则，如夹逼准则、单调有界准则等。
通过应用这些准则，可以更方便地判断数列的极限是否存在。
4. 无穷级数级数是指将一系列数相加而得到的无穷和。
级数的概念、性质以及级数的收敛与发散等都是需要掌握的重要知识点。
二、函数的微分学1. 导数的概念与几何意义导数是函数微分学中的重要工具，表示函数在某一点的变化率。
理解导数的概念以及其在几何上的意义，对于后续的微分学习具有重要意义。
2. 导数的计算法则微分学中有一系列计算导数的法则，如常数法则、幂函数法则、和差商法则等。
这些法则的灵活应用可以大大简化计算过程。
3. 高阶导数与隐函数求导导数的概念不仅可以推广到高阶导数，还可以应用于隐函数求导的问题。
高阶导数和隐函数求导的应用非常广泛，需要掌握相应的计算方法。
4. 函数的极值与最值导数的概念与函数的极值与最值有着密切的联系。
通过求解导数为零的点或者利用导数的符号变化可以确定函数的极值与最值。
三、不定积分与定积分1. 基本不定积分不定积分是定积分的重要前提，学习基本不定积分的计算方法是掌握定积分的基础。
2. 定积分的概念与性质定积分是对函数在一定区间上的加和操作，可以理解为曲线下的面积。
定积分的计算和性质是学习定积分的重点。
3. 定积分的计算方法定积分的计算可以通过数值积分法、换元积分法、分部积分法等方法进行。
大一高等数学b知识点
大一高等数学b知识点一、导数与微分在大一高等数学B课程中，导数与微分是非常重要的知识点。
导数是描述函数变化率的工具，它表示函数在某一点的瞬时变化速率。
微分是导数的一种运算形式，它可以用来近似计算函数在某一点的函数值。
1. 导数的定义导数的定义是函数在某一点的极限值，表示函数在该点的瞬时变化率。
导数可以通过求极限的方式来计算。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗导数的计算可以应用各种求导法则，如常数法则、幂法则、指数函数与对数函数的导数、三角函数的导数等。
2. 微分的定义微分是导数的一种运算形式，表示函数在某一点的线性逼近。
对于函数f(x)，它在点x处的微分可以表示为：df(x) = f'(x)dx微分的计算常常用于近似计算函数值，通过微分可以得到函数的线性近似公式。
二、常微分方程常微分方程是大一高等数学B课程中的另一个重要知识点。
它描述了未知函数及其导数之间的关系，并且通常包含一个或多个初始条件。
1. 一阶常微分方程一阶常微分方程表示函数的导数只涉及一阶导数的方程。
一阶常微分方程可以分为可分离变量方程、一阶线性方程、齐次方程、一阶 Bernoulli 方程等几种类型。
2. 高阶常微分方程高阶常微分方程表示函数的导数涉及多阶导数的方程。
高阶常微分方程通常可以通过特征根法、常数变易法、幂级数法等方式求解。
三、多元函数与偏导数多元函数与偏导数是大一高等数学B课程的重点内容之一。
多元函数是指依赖于多个变量的函数，而偏导数是多元函数关于其中一个变量的导数。
1. 多元函数的定义与性质多元函数是指依赖于多个变量的函数，例如f(x,y)。
多元函数的定义与一元函数类似，可以进行加减乘除、求导等运算。
2. 偏导数的定义与计算偏导数是多元函数对其中一个变量的导数，其他变量视为常数。
对于多元函数f(x,y)，它的偏导数可以表示为：∂f/∂x, ∂f/∂y偏导数的计算可以应用各种求导法则，与一元函数的导数计算类似。
高数B1复习知识点
高等数学上册知识点一、 函数与极限（一） 函数1、函数定义及性质，常用的经济函数； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数（5类）：图像特征，性质 4、函数的连续性与间断点；（重点） 间断点：第一类，第二类；5、 闭区间上连续函数的性质. （二） 极限1、 定义2、 无穷小（大）量无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 3、 求极限的方法1）极限运算准则及函数连续性； 2） 两类重要极限：（重点）a)1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 3）等价无穷小代换：（重点）二、 导数与微分（一） 导数1、定义，左（右）导数定义 2、几何意义； 3、可导与连续的关系； 4、 求导的方法1）导数定义；（重点） 2）基本公式； 3）四则运算； 4）复合函数求导（链式法则）；（重点） 5）隐函数求导数；（重点） 6）参数方程求导；（重点） 7）对数求导法. （重点） 8）抽象函数求导（重点） 5、高阶导数：定义，计算 6、 导数在经济中的应用：边际函数、弹性函数（二） 微分 1）定义； 2） 可微与可导的关系：可微⇔可导，且()dy f x dx '=（重点）三、 微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理1、 Rolle 定理：（重点），Lagrange 中值定理（重点）；（二） 洛必达法则（重点）（三） 单调性及极值1、 单调性判别法：（重点）2、 极值及其判定定理：a) 第一充分条件：（重点）b) 第二充分条件：（重点）3、 凹凸性及其判断，拐点1）判定定理（重点）：3）拐点：坐标))(,(00x f x .4、最值及其判断，经济应用. （重点）（四） 不等式证明1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；（重点）3、 利用极值（最值）.（五） 渐近线铅直渐近线，水平渐近线.四、 不定积分（一） 概念和性质1、 原函数： 定义（重点）2、 不定积分：定义，性质.3、 基本积分表（13个公式）；（重点）（二） 换元积分法（重点）1、第一类换元法（凑微分）： 2、 第二类换元法（三角代换、倒代换、根式代换等）：（三） 分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv （重点）（四） 有理函数积分1、“拆”；五、 定积分（一） 概念与性质：1、 定义：2、 性质：（7条）（二） 微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）（重点）1、 变上限积分：定义，求导公式2、 （牛顿-莱布尼茨公式）（三） 本文档部分内容来源于网络，如有内容侵权请告知删除，感谢您的配合！ （四）1、。
高等数学b上册教材
高等数学b上册教材高等数学是大学数学的一门重要课程，其中的上册内容主要涵盖了数列、函数、极限、连续等基础知识。
本教材将以清晰易懂、逻辑严谨为指导原则，为学生提供系统性的学习内容与方法。
第一章数列与极限1.1 数列的概念与性质数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的集合。
本章将着重介绍数列的概念、性质和表示方法，包括等差数列、等比数列等特殊类型的数列。
1.2 数列的极限数列的极限是数列收敛性的重要概念，对于理解极限与数列的关系至关重要。
本小节将深入探讨数列极限的定义、性质和判定方法，让学生能够准确理解数列极限的概念。
第二章函数与连续性2.1 函数的概念与性质函数是描述自变量和因变量之间关系的规则，是高等数学中最基本、最重要的概念之一。
本章将详细介绍函数的定义、性质和表示方法，使学生能够正确理解函数的本质。
2.2 基本初等函数基本初等函数是一类常用的数学函数，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
本小节将着重介绍这些函数的定义、性质和常见变换形式，为学生打下坚实的基础。
2.3 极限与连续性极限与连续性是函数学习中的重要概念，对于理解函数的性质和应用具有关键作用。
本小节将深入研究极限的定义、连续性的判定、中值定理等内容，帮助学生掌握函数的极限性质。
第三章导数与微分3.1 导数的定义导数是函数变化率的精确描述和刻画，是微积分学的核心概念之一。
本章将系统介绍导数的定义、性质和计算方法，让学生能够正确理解导数概念的几何和物理意义。
3.2 常见函数的导数常见函数的导数计算是导数学习中的重要内容，也是解决实际问题的基础。
本小节将讲解常见初等函数的导数计算方法，并结合实例进行说明，培养学生的计算能力。
3.3 微分中值定理微分中值定理是微分学中的重要定理，用于研究函数在某一区间上的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
本小节将详细介绍拉格朗日中值定理和柯西中值定理等内容，帮助学生理解微分中值定理的应用。
通过本教材的学习，学生将全面掌握高等数学B上册的核心知识与方法。
高数B1复习知识点
高数B1复习知识点本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March高等数学上册知识点一、 函数与极限（一） 函数1、函数定义及性质，常用的经济函数； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数（5类）：图像特征，性质 4、函数的连续性与间断点；（重点） 间断点：第一类，第二类；5、 闭区间上连续函数的性质. （二） 极限1、 定义2、 无穷小（大）量无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 3、 求极限的方法1）极限运算准则及函数连续性； 2） 两类重要极限：（重点）a)1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 3）等价无穷小代换：（重点）二、 导数与微分（一） 导数1、定义，左（右）导数定义 2、几何意义； 3、可导与连续的关系； 4、 求导的方法1）导数定义；（重点） 2）基本公式； 3）四则运算； 4）复合函数求导（链式法则）；（重点） 5）隐函数求导数；（重点） 6）参数方程求导；（重点） 7）对数求导法. （重点） 8）抽象函数求导（重点） 5、高阶导数：定义，计算 6、 导数在经济中的应用：边际函数、弹性函数（二） 微分 1）定义； 2） 可微与可导的关系：可微⇔可导，且()dy f x dx '=（重点）三、 微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理1、 Rolle 定理：（重点），Lagrange 中值定理（重点）；（二） 洛必达法则（重点）（三） 单调性及极值1、 单调性判别法：（重点）2、 极值及其判定定理：a) 第一充分条件：（重点）b) 第二充分条件：（重点）3、 凹凸性及其判断，拐点1）判定定理（重点）：3）拐点：坐标))(,(00x f x .4、最值及其判断，经济应用. （重点）（四） 不等式证明1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；（重点）3、 利用极值（最值）.（五） 渐近线铅直渐近线，水平渐近线.四、 不定积分（一） 概念和性质1、 原函数： 定义（重点）2、 不定积分：定义，性质.3、 基本积分表（13个公式）；（重点）（二） 换元积分法（重点）1、第一类换元法（凑微分）： 2、 第二类换元法（三角代换、倒代换、根式代换等）：（三） 分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv （重点）（四） 有理函数积分1、“拆”；五、 定积分（一） 概念与性质：1、 定义：2、 性质：（7条）（二） 微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）（重点）1、 变上限积分：定义，求导公式2、 （牛顿-莱布尼茨公式）。
高等数学B1复习内容总结
第1章函数第2章极限与连续一、基本内容1、了解极限的定义2、掌握极限的性质与运算3、求极限：极限存在准则，两个重要极限，无穷小的等价代换4、无穷小的阶5、函数的连续与间断6、闭区间上连续函数的性质第3章导数一、基本内容1．导数的定义：（三种定义形式总结）2．可导与连续的关系：可导一定连续，连续未必可导3．基本求导法则和基本求导公式：4．复合函数求导数(一阶，二阶)：5．隐函数求导数(一阶，二阶)：6．幂指函数求导数（对数求导法）：7．抽象函数求导数(一阶，二阶)：8．简单的高阶导数：9．函数的微分：10．可导和可微的关系：第四章中值定理与导数的应用1．微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日定理，栖西定理2．洛必达法则求极限：0,0∞∞；0,⋅∞∞-∞；001,,0∞∞3．函数性态研究：单调性与极值，最值，凹向性与拐点，渐近线4．导数在几何上的应用，导数在经济问题中的应用第五章 不定积分一、不定积分的定义、性质1、原函数、不定积分的定义原函数：I x ∈∀，)()('x f x F =，称)(x F 为)(x f 的一个原函数。
不定积分：C x F dx x f +=⎰)()(2、不定积分的性质符号性：)(]')([x f dx x f =⎰ dx x f dx x f d )(])([=⎰C x F dx x F +=⎰)()(' ⎰+=C x F x dF )()(齐性⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( 0≠k加性[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰二、基本积分公式1、基本公式(1)C dx =⎰0 (2)C x dx x ++=+⎰111ααα（1-≠α） (3)C x dx x +=⎰||ln 1 )0(≠x (4)C a adx a x x +=⎰ln 1 (5)C e dx e x x +=⎰ (6)C x xdx +-=⎰cos sin (7)C x xdx +=⎰sin cos (8)C x xdx +-=⎰cot csc 2(9)C x xdx +=⎰tan sec 2 (10)C x xdx x +=⎰sec tan sec(11)C x xdx x +-=⎰csc cot csc (12)C x dx x +=-⎰arcsin 112 (13)C x dx x+=+⎰arctan 112 2、补充公式(1)tan ln |cos |xdx x c =-+⎰ (2)⎰xdx cot c x +=|sin |ln (3)221ln 2dx a x c a x a a x +=+--⎰ (4)⎰-22ax dx c a x a x a ++-=ln 21 (5)⎰+22x a dx 1arctan x c aa =+ (6)arcsin x c a =+⎰ (7)⎰+22x a dx c a x x +++=||ln 22 (8)⎰xdx csc c x x +-=|cot csc |ln (9)⎰xdx sec c x x ++=|tan sec |ln三、积分法1、常用的凑微分法 (1) 212xdx d x ⎛⎫= ⎪⎝⎭2221()()2xf x dx f x dx ⇒=⎰⎰ (2) ()1ln dx d x x =1(ln )(ln )ln f x dx f x d x x⇒=⎰⎰d=2f dx f ⇒=⎰⎰(4) ()()x x x x x x e dx de e f e dx f e de =⇒=⎰⎰(5) ()sin cos sin (cos )(cos )cos xdx d x xf x dx f x d x =-⇒=-⎰⎰(6) ()cos sin cos (sin )(sin )sin xdx d x xf x dx f x d x =⇒=⎰⎰ (7)()2211tan (tan )(tan )tan cos cos dx d x f x dx f x d x x x=⇒=⎰⎰ (8) ()2211cot (cot )(cot )cot sin sin dx d x f x dx f x d x x x=-⇒=-⎰⎰ (9) 2211arctan (arctan )(arctan )arctan 11dx d x f x dx f x d x x x=⇒=++⎰⎰arcsin (arcsin )(arcsin )arcsin d x f x dx f x d x =⇒=⎰ (11) sec tan sec sec tan (sec )(sec )sec x xdx d x x xf x dx f x d x =⇒=⎰⎰ (12) csc cot (csc )csc cot (csc )(csc )csc x xdx d x x xf x dx f x d x =-⇒=-⎰⎰2、常用换元法(1) 若被积函数中含有22x a -，令t a x sin =，)2,2(ππ-∈t (2) 若被积函数中含有22x a +，令t a x tan =，)2,2(ππ-∈t (3) 若被积函数中含有22a x -，令t a x sec =，)2,0(π∈t (4) 倒代换法，令1x t=(5) (R x dx ⎰，令t =(6) 2(,)R x ax bx c dx ++⎰，配方(7) 负代换：x t =- (8) 2π代换：2x t π=± (9) π代换：x t π=±(10) 周期代换：x T t =±4、分部积分(1) uvdx ⎰ 利用“LIATE ”或“对反幂三指”规则凑成分部积分公式计算(2) 被积函数为一个函数，不能利用换元积分，则直接利用分部积分公式(3) 良性循环的分部积分(4) 换元积分+分部积分(5) 递推公式第六章 定积分一、基本内容1、定积分的定义及性质2、微积分基本定理3、不定积分的定义、性质，换元积分法与分部积分法4、定积分的计算5、反常积分6、定积分的应用。
高等数学b学习资料-3.1不定积分的概念及其线性法则
7. co cx o s2sxsix ndx.
1
8. co 2xssi2n xdx.
9. si2n2xdx.
1.0 ex1dx.
说明 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形 才能使用基本积分表.
1 . x (x 3x )d x.
解
x(
x3x)dx
(x2 3x4 3)dx2x52
ta x c n x o C ,s
y(0 )5, C6, 故所求曲线方程为 y ta x c n x o 6 .s
例3 已 f (x s ) 知 2 c i2 n x o 1 , 求 s f ( x ) . 解 由 f(sx )i n 2 c2 o x 1 s32si2nx,
两 个的 差是 一个 ______；
2、 f (x)的________称为 f (x) 的不 定积 分；
3、把 f (x)的一 个原 函数 F (x)的图形叫做函数 f (x)
的________，它的方 程是 y F (x) ， 这 样不 定积
f ( x )dx 在 几 何 上 就 表 示 _ _ _ __ _ _ _ ， 它 的 方 程 是
xC, x 0
假设有原函数 F(x) F(x) C,
x0
xC, x 0
但 F (x )在 x 0 处 不 可 微 ， 故假设错误
所以 f (x)在 ( ,)内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
一 、填 空题 ：
练习题
1、一 个 已 知 的 函 数 ， 有 ______个 原 函 数 ， 其 中 任 意
x2 1
三、一曲线通过点( e2 , 3)，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
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华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导一、 求函数值 例题：1、若2()f x x =，()x x e ϕ=，则(())f x ϕ= ． 解：()22(())()xx x f x f e ee ϕ===2、若(1)21f x x -=+，则()f x = ． 解：令1x t -=，则1x t =+ 所以()2(1)123f t t t =++=+即 ()23f x x =+二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小：无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题：1、320sin 3lim x x x →=？ 解：当0sin3~3x x x →，， 原式=3200(3)lim lim270x x x x x→→==2、0sin3lim x xx →=？解：原式=03lim3x xx→=3、201-cos limx xx→=？ 解：当210cos ~2x x x →，1-原式=220112lim 2x xx →=4、0ln(13)lim x x x →+=？解：当03)~3x x x →，ln(1+原式=.03lim3x xx→=. 5、201lim x x e x→-=？解：当201~2x x e x →-，原式=.02lim 2x x x →=.三、 多项式之比的极限2lim 03x xx x →∞=+，2211lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x→∞+=∞ 四、 导数的几何意义（填空题）0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为： 曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为： 例题： 1、曲线44xy x+=-在点(2,3)M 的切线的斜率．解：222(4)'(4)(4)(4)(4)x x x x x x y x =='+--+-'=- 2、曲线cos x xy e =在点(0,1)M 处的切线方程．解：2(cos )'cos ()()x x x x x x e x e y e =='-'= 所以曲线cos x xy e=在点(0,1)M 处的切线方程为： 1(0)y x -=--，即10x y +-=3、曲线y =(1,1)M 处的切线方程． 解：53112233x x y x =='=-=-所以曲线y =在点(1,1)M 处的切线方程为：21(1)3y x -=--，即2350x y +-=五、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分 复合函数求导的链式法则： 微分：()dy f x dx '= 例题：1、设y ='y =？解：()()1'2221112y x x -'=+⋅+=2、设2sin y x =，则'y =？ 解：()''222cos 2cos y x xx x =⋅=3、设sin 2x y =，则dy =？解：()''sin sin 2ln 2sin 2cos ln 2x x y x x =⋅=则dy =sin 2cos ln 2x x dx 4、设sin x y e =，则dy =？ 解：()''cos cos xx xx y e eee =⋅=所以cos x x dy e e dx = 5、设2x y e-=，则dy =？（答案：22x xedx --）六、 运用导数判定单调性、求极值 例题：1、求ln y x x =的单调区间和极值． 解：定义域(0,)x ∈+∞令ln 10y x '=+=，求出驻点1x e -=函数的单调递减区间为1(0,]e -，单调递增区间为1(,)e -+∞极小值为11()y e e =-．2、求x y xe -=的单调区间和极值． 解：定义域(,)x ∈-∞+∞令(1)0x x x y e xe x e --'=-=-=，求出驻点1x =函数的单调递减区间为[1,)+∞，单调递增区间为(,1)-∞， 极大值为1(1)y e -=． 3、求函数.2()x f x e-=.的单调区间和极值．解：定义域(,)x ∈-∞+∞ 令2()2x f x xe -'=-，得0x =(,0)-∞(0,)+∞极大值为(0)1f =．4、求函数31()3f x x x =-的极值．答案：极小值为2(1)3y =-，极大值为2(1)3y -=七、 隐函数求导 例题：1、求由方程2sin 0x e y xy +-=所确定的隐函数()y y x =的导数dy dx． 解：方程两边关于x 求导，得：即 2cos 2xy e y y xy-'=-2、求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dy dx． 解：方程两边同时关于x 求导，得： 即3、求由方程sin()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 答案： cos()1cos()dy x y dx x y +=-+4、求由方程ln ln 0xy x y ++=所确定的隐函数()y y x =的导数dydx． 答案： dy y dx x=-八、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理 例题：1、求极限011lim 1sin x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 解：原式0sin (1)lim (1)sin x x x x e e x→--=-20sin (1)lim x x x e x→--=.()0sin ~,1~xx x x e x →- 当时，. 2、求极限3sin limtan x x x x →-00⎛⎫ ⎪⎝⎭解：原式=3sin limx x xx→-()0tan ~x x x → 当时， =22012lim 3x xx → 2101cos ~2x x x ⎛⎫→- ⎪⎝⎭ 当时， 3、求201lim x x e x x →--00⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案：12） 九、 原函数、不定积分的概念及其性质 知识点：设()()F x f x '=，则称()F x 是()f x 的一个原函数，()F x C +是()f x 的全体原函数，且有： 例题：1、( )是函数33x x +的原函数．A ．233x +B ．421342x x +C ．42x x +D ．421142x x +解：因为42313342x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以421342x x +是33x x +的原函数．2、( )是函数2cos x x 的原函数． A ．22sin x -B ．22sin xC ．21sin 2x -D ．21sin 2x解：因为22211sin (cos )2cos 22x x x x x '⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭g所以21sin 2x 是2cos x x 的原函数．3是( )的原函数A ．12xB．C ．ln xD解：因为'=的原函数．4、( )是函数1x的原函数．A ．21xB ．21x- C ．ln x -D ．ln ||x解：因为()1ln ||x x'= 所以ln ||x 是1x的原函数．十、 凑微分法求不定积分（或定积分）简单凑微分问题：2x e dx ⎰，sin 4xdx ⎰，cos5xdx ⎰,ln ln xd x ⎰一般的凑微分问题：dx ⎰，⎰，sin 1cos x dx x +⎰，ln xdx x⎰例题： 1、dx ⎰解：注意到2(1)2x x '-=-原式=()2112d x --⎰dx C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式 2、⎰解：注意到2(23)6x x '-=-原式21=(23)6x --3223x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=319C -+ 3、sin 1cos x dx x+⎰解：注意到(1cos )sin x x '+=-原式1=(1cos )1cos d x x -++⎰1ln ||dx x C x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=ln |1cos x |C -++ 4、5x e dx +⎰解：原式=5(5)x e d x ++⎰()x x e dx e C =+⎰参考公式=5x e C ++5、cos5xdx ⎰解：原式1cos5(5)5xd x =⎰()cos sin xdx x C =+⎰参考公式 6、sin 3xdx ⎰解：原式1sin3(3)3xd x =⎰()sin cos xdx x C =-+⎰参考公式十一、 不定积分的第二类换元法——去根号（或定积分）知识点：等 例题： 1、求不定积分t =，则221ln(1)x e t x t =-⇒=-原式=22121211t dt dt t t t ⋅=--⎰⎰2、4⎰．t =，则22x t dx tdt =⇒= 当0042x t x t ====时，；当时，原式=2200111221+t 1+tt tdt dt +-⋅=⎰⎰3、1⎰t =，则21x t =-，2dx tdt =当0x =时，1t =；当1x =时，t =原积分211)2t t tdt =-⋅十二、 不定积分的分部积分法（或定积分）诸如sin x xdx ⎰，cos x xdx ⎰，x xe dx ⎰，x xe dx -⎰，ln x xdx ⎰，可采用分部积分法分部积分公式：()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰ 例题：1、求不定积分sin x xdx ⎰． 解 sin (cos )x xdx xd x =-⎰⎰2、求不定积分x xe dx -⎰ 解 x x xe dx xde --=-⎰⎰3、求不定积分ln x xdx ⎰解 21ln ln ()2x xdx xd x =⎰⎰十三、 定积分的概念及其性质知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等 例题：1、定积分23ax a x e dx -⎰等于 ．解： 因为23x x e 是x 的奇函数，所以原式=0 2、定积分23sin aa x xdx -⎰等于 ．解： 因为23sin x x 是x 的奇函数，所以原式=0 3、定积分22sin 1x xdx x π-π+⎰等于 ． 解： 因为22sin 1x xx+是x 的奇函数，所以原式=0 十四、 变上限积分函数求导 例题：1、 设函数()f x 在[,]a b 上连续，3()()x a F x f t dt =⎰，则()F x '=（ C ）．A ．()f xB ．3()f xC ．233()x f xD ．23()x f x2、设21()arctan x f x tdt =⎰，则()f x '=22arctan x x ． 3、设30()sin xf x t dt =⎰，则()f x '=3sin x ． 十五、 凑微分法求定积分（或不定积分）思想与不定积分类似例题：1、10x ⎰ 解：注意到32(1)3x x '+=原式301(1)3x =+⎰3223x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭参考公式=13029 十六、 定积分的第二类换元法——去根号（或不定积分，思想与不定积分类似例题：1、40⎰．t =，则22x t dx tdt =⇒=当0042x t x t ====时，；当时，原式=2200111221+t 1+t t tdt dt +-⋅=⎰⎰ 2、10⎰t =，则21x t =-，2dx tdt =当0x =时，1t =；当1x =时，t =原积分211)2t t tdt =-⋅ 十七、 定积分的分部积分法（或不定积分）思想与不定积分类似例题：1、求定积分20sin x xdx π⎰．解 2200sin (cos )x xdx xd x ππ=-⎰⎰ 2、求定积分10x xe dx -⎰ 解 1100x x xe dx xde --=-⎰⎰ 十八、 求平面图形面积知识点：X 型积分区域的面积求法Y 型积分区域的面积求法通过作辅助线将已知区域化为若干个X 型或Y 型积分区域的面积求法例题：1、求由ln y x =、0x =，ln 2y =及ln 7y =所围成的封闭图形的面积． 解：由ln y x =得y x e =面积为ln 7ln 2(0)y S e dy =-⎰2、计算由曲线y =1y =及0x =所围成的图形的面积．解：由1y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩A 为(1,1)面积为10(1S dx =-⎰3、求由曲线1y x=与直线y x =及2x =所围成的平面图形的面积． 解：由2y x x =⎧⎨=⎩得交点A 为(2,2) 由1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得交点B 为(1,1) 面积为211()S x dx x =-⎰。