《勾股定理》典型例题

《勾股定理》典型例题分析

一、知识要点：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果

直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。公式的变形：a 2 = c 2

- b 2， b 2= c 2-a 2

。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2

，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.

该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.

②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.

③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角

. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数

满足a 2 + b 2= c 2

的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：

（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10) (7，24，25) (8，15，17 )(9，40，41 )

4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析

考点一：利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

2. 如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3<

S 1 D. S 2- S 3=S 1

3、如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

S 3

S 2

S 1

5、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、

34S S 、，1234S S S S +++则=___________。

考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边

1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边的平方为 ． 2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是

3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．

4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）A ． 2倍 B ． 4倍 C ． 6倍 D ． 8倍

5、在Rt △ABC 中，∠C=90°

①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。

6、如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2

-，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2n

B 、n+1

C 、n 2

－1

D 、1n 2

+

7、在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）

A. 222a b c +=

B. 222a c b +=

C. 222

c b a += D.以上都有可能

8、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、242

c m

B 、36 2

c m

C 、482

c m

D 、602

c m

9、已知x 、y 为正数，且│x 2

-4│+（y 2

-3）2

=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）

A 、5

B 、25

C 、7

D 、15

考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例、如图1所示，等腰

中，

，

是底边上的高，若

，求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．

考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题

1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）

A. 4，5，6

B. 2，3，4

C. 11，12，13

D. 8，15，17 2、若线段a ，b ，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ）

A 、2∶3∶4

B 、3∶4∶6

C 、5∶12∶13

D 、4∶6∶7 3、下面的三角形中：

①△ABC 中，∠C=∠A －∠B ；②△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3； ③△ABC 中，a ：b ：c=3：4：5；④△ABC 中，三边长分别为8，15，17． 其中是直角三角形的个数有（ ）．A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4、若三角形的三边之比为

2:122

，则这个三角形一定是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.不等边三角形

5、已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2

)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形 6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )

A ． 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 7、若△ABC 的三边长a,b,c 满足222a b c 20012a 16b 20c +++=++，试判断△ABC 的形状。

8、△ABC 的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c 是3的倍数，则c 应为 ，此三角形为 。 例3：求