1.1.2___余弦定理(1)

2
同理，cos B 2 A 30, B 45, C 105 2
练习：
1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 7,b=3,c=2,则 A=( ).
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
2.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a= 3,b=2,A=60°,则 c=( ). A.12 B.1 C. 3 D.2
【方法指导】已知角 B 及其对边,使用余弦定理,获得边 c 的一元二次方程,解出 c 的值;再使用 余弦定理及三角形内角和公式计算剩余两角的大小.
法一：由余弦定理得 b2=c2+a2-2cacos B, 即 c2-9c+18=0,解得 c=3 或 c=6.
当 c=3 时,cos A=
=- ,
当 c=6 时,cos A=
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cosB
c2 a2 b2 2ab cosC
应用：已知两边和一个夹角，求第三边．
由余弦定理变型得：
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac cos C a 2 b 2 c 2
12 ( 3)2 21 3 1 7
2
22 4
BC 7 2
用余弦定理,可解决两类问题：
A
b
c
C
a
B
①已知两边和它们的夹角, 求 第三边和其它两个角；
②已知三边，求三个角.
思考：余弦定理的使用范围是什么？
若三角形ABC为直角三角形， 则余弦定理的表达式有怎样的变化？
△ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a= 5,c=2,cos A=23,则 b=( ). A. 2 B. 3 C.2 D.3
4.在△ABC 中,a=3,b=4,c= 37,求最大角的度数.
5.在△ABC 中,已知 a∶b∶c=2∶ 6∶( 3+1),求△ABC 各角的度数.
思考：若三角形ABC为锐（钝）角三角形时，
有类似的结论吗？
△ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是钝角三角形 a 2 b2 c 2
应用：判定三角形形状．
探究一 已知三角形三边解三角形
探究 1:已知三角形的三边解三角形
【例 1】在△ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC 的大小为( A ).
新课讲解
研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，BC=a，CA=b,
∵ BC AC AB
2
BC
(AC
AB) 2
2
2
2
BC AC AB 2AC AB
| AC |2 | AB |2 2 | AC | | AB | cosA
即： a 2 b2 c2 2bc cos A
余弦定理
三角形任一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
1.1.2 余弦定理（1）
知识回顾
A
正弦定理： a b c 2R
sin A sin B sinC
利用正弦定理，可以解决两类问题： B
C
①已知两角和任一边，求其它两边和一角.
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的 对角（进而可求出其它的角和边）.
变型： a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2Rsin C
A.23π
B.56π
C.34π
D.π3
【解析】由余弦定理得 cos∠BAC=
2+A 2-B 2·
2=522+×352×-372=-12
且∠BAC∈(0,π), 故∠BAC=23π,选 A.
探究 2:已知三角形的两边及其中一边的对角（或两边的夹角）解三角形 【例 2】在△ABC 中,a=3 3,b=3,B=30°,解这个三角形.
b
3
31 2
3
3 2
,C1
60, C1
120
当C1 60时，A1 90 a1 6
当C1 120时，A1 30 a2 3
解：（1）法2 由余弦定理，得 b2 a2 c2 2ac cos B
解得a 当a
6
或 a3 6时，由正弦定理，得 sin
A
a sin
B
=
பைடு நூலகம்
6
1 2
1
b
3
A1 90, C1 60
2ab
应用：已知三条边求角度．
问题：隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
当a 3时，a b 3, ABC为等腰三角形
A2 30，C2 120
(1) b 3,c 3 3,B 30;
(2) a 2, b 2 2,c 6 2
解 2由余弦定理，得 cos A b2 c2 a2
2bc
2
2
2 2 6 2 22 3
22 2 6 2
6.在△ABC 中,若 sin A∶sin B∶sin C=7∶3∶5,则∠BAC 的大小为
.
课后作业
1.教材P8练习（本子） 2.教材P10习题1.1A组3、4B组2（本上）
a : b : c sin A : sin B : sin C
问题：
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度， 工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量 出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对 山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求 出山脚的长度BC。
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
=,
∴A=60°,故 C=180°-60°-30°=90°.
法二：（正弦定理）
a b sin A 3
sin A sin B
2
a b, A B,
A 60或120
变式训练：已知在△ABC中
(1) b 3,c 3 3,B 30;
(2) a 2, b 2 2,c 6 2
解：（1）由正弦定理，得 sin C c sin B