理论力学课件 12动力学基本量

A
8
基本量
（3）．平面运动刚体对固定点“O”的动量矩
LO mO (M vC ) LC
mO (MvC
)
rc
M vc
表示刚体随同质心（以质心速度） 作平动时对定“O”的动量矩
LC JC 表示刚体绕质心轴转动时对质心轴
的动量矩（相对于质心的动量矩）
当定点“O”在平面运动刚体的运动面内时
LO Lz mz (mvC ) JC
7
基本量
（2）．定轴转动刚体对该定轴的动量矩
Lz r (vdm ) r2 dm
V
V
令：J z r 2 dm
V
r 2 dm 2m
V
J z 为刚体对该轴的转动惯量。
为刚体对该轴的回转半径
Lz Jz
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴 转动惯量与角速度的乘积。
z
ω dm v r
p mv c m e
C vc
e
ω
O
基本量
⑶ 均质轮质量为m，半径为R，沿 水平直线轨道纯滚动，轮心的 速度为v，则其动量为
p mv
或 p mr ，方向同 v
vω
C
⑷ 均质杆质量为 m ，杆长为L，绕杆端轴O 以角速度ω转
动，则
vc ωL/ 2
O
ω
p mv c
1 m L
C
2
24
基本量
质点系的动量矩 Lo = M o(Mvc) ？
例12-1 已知无重细杆AB两端各铰接质量为m的小球，系统
绕水平O轴以角速度ω转动，求系统对O轴的动量矩。
vA = ·l O ω
A
B
l
l
vB = ·l
系统对O轴的动量矩为： Lo ml l ml l 2ml 2
从本例可以知道，系统质心的速度虽然为零，系统对O 轴的动量矩并不等于零。 计算质点系的动量矩不能简单地 用质心的动量对某固定点或固定轴取矩。
28
基本量
计算下列各物体的动能。
均质圆轮质量为m，半径为r；绕O轴转动，
角速度为ω，求其动能。
T
1 2
JO 2
ωr
m
O
C
1 2
(Jc
m r2
)
2
1 ( 1 m r2 m r2 ) 2
22
3 m r2 2
4 29
基本量
• 均质圆轮质量为m， 半径为r；在水平面 上纯滚动，轮心速 度为v，求其动能。
vA
ωA
TOA
1 2
JO 2
1 2
1 3
m(r1
r2 )2
2
ω
P
T轮Ⅰ
1 2
J A A2
1 2
m1v
2 A
式中：
JA
1 2
m1r12 ,
vA (r1 r2 )
O
r2
Ⅱ
A
vA r1
(r1
r2 ) r1
AⅠ
r1
瞬 心
系统动能为
T
1 6
m
(r1
r2 ) 2
3 4
m1
(r1
r2 ) 2
ω2 m2
O2
？
m
C
m1 ω1
O1
∵系统对称于两轮轴心连线，
∴系统质心必在该连线上， 系统质心的速度始终为零，
∴系统的动量 p = Mvc = 0 。 26
基本量
⑺ 两均质轮质量均为m1，半径均为R，两轮间距离为 d，履 带质量为m，长为 L，求 (1)系统的动量；(2)除去与地面
接触的履带以外的履带的动量。
Hale Waihona Puke Baidu
T
1 2
m vC 2
1 2
JC 2
1 mv2 1 1 mr2 v 2
2
2 2 r
3 mv2 4
r m
v
Cω
P 瞬心
T
1 2
J P 2
=？
30
行星轮机构中，行星轮Ⅰ在系杆OA的带动下绕定 齿轮Ⅱ转动。已知系杆的质量为m，角速度为ω， 行星轮质量为m1，半径为r1，求系统的动能。
解：T = TOA + T轮Ⅰ
2m 9m1 12
(r1
r2 ) 2
基本量
一、力的功
力的功——力沿路程累积效应的度量。
元功： W F d r
F ds Xdx Ydy Zdz
总功：力在曲线路程中作功为：
M2
W F dr
M1
M2
F ds
M1
M2
Xdx Ydy Zdz
M1
32
基本量
二．常见力的功
1．重力的功
基本量
4. 质系对固定轴z 动量矩：（标量）
Lz mz (mi vi ) LO z
5．刚体对固定点“O”的动量矩：
（1）．平动刚体
LO rC M vC LC
平动刚体，相对
于质心系无运动 LC 0
LO mO (M vC ) rC M vC
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质系的动量 对该点（轴）的动量矩。
质点：重力在三轴上的投影：
X 0, Y 0, Z mg
z2
W mgdz mg(z1 z2 )
z1
2．万有引力的功
11
W
Gmm0 ( r2
) r1
33
基本量
3．弹性力的功 弹簧原长L0，k为弹簧的刚度系数.
F k(r l0 )r0
M2
m2
W F d r k(r l0 )r0 d r
m[( 1 l sin45
5 l cos
2l
)i
(
1
l
cos
45
5
l
sin
)j]
2
2
2
2
ml[( 1
2
5
3
2
)i
(
1
2
5
1
)j]
2 2 2 10
2 2 2 10
2ml[2i
1
j]
2
5．对“O”点的动量矩：
平面动量对点面内点之矩，可用标量表示.
L1O
J1O
ml 2 3
L2O mO (mv2C ) L2C 2
J
C
2
1 2
J P 2
C点为质心，P点为速度瞬心
16
例2 ．图12-4（a）曲柄连杆机构的曲柄OA以匀ω 转动，设 OA=AB=l ，曲柄OA及连杆AB都是匀质杆，质量均为m ，滑块 B的质量也为m。求当 = 45º时，各个件的动量、对“O”点的 动量矩和动能；各个件合动量、对“O”点的合动量矩和和动能。 解：分析各个件的速度如图. 1、曲柄OA：定轴转动，角速度为ω 2、连杆AB： P为速度瞬心， 3、滑块B：平动，
（x：变形量）
34
基本量
4．作用于转动刚体上的力的功，力偶的功 设在绕 z 轴转动的刚 体上M点作用有力 F ，计算刚体转
过——角度 时力 F 所作的功。M点轨迹已知。
W F ds F rd mz (F )d
m1
m
m1
v
R
R
d
解：(1) 系统的动量为各部分动量的矢量和
p轮1 = p轮2 = m1 v ；p带= m v p = p轮1 + p轮2 + p带 = ( 2 m1 + m )v
(2)
p带’ = m2vd 2πR mv mv 2(d πR)
LL
L
= m v = p带
27
基本量问题：
质点系的动量 p =∑mivi = Mvc
vo
滑轮A：
v2
R2 2
1 2
R11
pA m1vO 0
LAO J1O1 m1R121
T1
1 2
JOA 2
1 2
mR1212
v2
D
2
21
基本量
滑轮B：
pB m2 vO
1 2
m2 R12
j
LBO mO (m2 v2 ) LBO
?
RO2mO2mv2 2v 2JBOJBO2 2
1 2
m2 R1 R2 2
vA AP AB OA AB
vC1 l / 2 PC2 5l / 2
vC 2 5l AB / 2 5l / 2
vC 3 2l
4．动量： p1 mvC1 p2 mvC2
p3 mvC3
p mvC1 mvC2 mvC3
m[(vC1 sin vC 2 cos vC 3 )i (vC1 cos vC 2 sin ) j]
3
T3
1 2
mv
2 3
ml 2 2
T
T1
T2
T3
11 6
ml 2 2
20
基本量
例3 ． 图示均质滑轮A质量为m1，半径为R1，以ω1匀速转 动；均质滑轮B：质量为m2，半径为R2，R1=2R2，求两轮的动 量、对“O”点的动量矩和动能。（轮与绳间无滑动）
解：速度分析
vB vA 2R22 R11 2 1
10
基本量
2．平动刚体的动能
T
1 2
MvC2
3．定轴转动刚体的动能：
T
1 2
mivi 2
1 2
(
mi
ri
2
)
2
T
1 2
J z 2
4．平面运动刚体的动能：
T
1M 2
vC2
1 2
J
C
2
1 2
J P 2
C点为质心，P点为速度瞬心，（平行移轴定理）。
J P JC Md 2
11
基本量
动能是个代数量， 速度平方除2不能忘 平动M转动JC 平面运动有两项
LO MvC L/ 2 JC
2L/3 C
K M vc ?
v
A
14
基本量
T
1 2
JO 2
1 6
ML2 2
T
?
1 2
MvC2
1 2
JC 2
O ω
v
A
15
基本量
p mi vCi M vC
LO rC M vC LC
T
1 2
MvC2
1 2
mivr2
平面运动刚体的动能：
T
1 2
M
vC2
1 2
12
基本量
上述运算中 运动量均为绝对量！！！
13
基本量
例１. 质量为M、长为L、以角速度ω绕O转动的均质杆OA， 试计算其动量、对O点的动量矩和动能。并图示动量。
p M vC p Mv C ML / 2 O
方向及作用点如图
ω
LO
JO
1 3
ML2
LO ? MO(MvC ) JC 2L
LO ? 3 MvC
(rC rir ) mi via
rC mi via rir mi (vC vir )
y
y1 mi
ra
rr
x1
rC
C
x
O
rC mi via ( rirmi ) vC rirmi vir
rC M vC 0 vC LC
LO rC M vC LC
质点系对定点“O”的动量矩等于质系总动量对定点“O”之矩加 上质点系相对于质心的动量矩
m2 R2 2
v2
D
2
TB
1 2
J
B
D
2 2
m2 2
( R22
R22
)
2 2
m2
R22
2 2
22
求图示均质物体或物体系统的动量。
⑴均质轮质量为m，半径为R，绕质心轴C 转动，角速度为ω， 则其动量为
p mv c
vc 0
p mv c 0
ω C
⑵ 均质轮质量为m，半径为R，偏心距为e，绕轴O转动，角 速度为ω，则其动量为
动能等 ）和力的相关量 （ 冲量、力 矩、功等 ） —— 之间的 关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。
2
基本量
§12-1 基本动力学量的计算
一、动量的计算 一个质点的动量： mi , vci
1. 质点系的动量：质点系的动量等于质点系中每个质 点的动量的矢量合。
p
mi vi M vC
基本量
2020年11月14日星期六
基本量
动力学普遍定理概述
质点运动微分方程 可以解决动力学问题。但是，
对质点系动力学问题：n 个质点，就要列出3n个微分方 程，然后联立求解。难！也不必要。
动力学普遍定理——包括动量定理、动量矩定理、动能定理。 它们以简明的数学形式， 表明运动量 （ 动量、动量矩、
m vc2 y xc2 m vc2 x yc2 J 2C 2 AB
L3O 0
LO L1O L2O L3O
基本量
6.动能：
T1
1 2
JO 2
1 6
ml 2 2
T2
1 2
m
vC2 2
1 2
J
2C
2
2 A
B
1 2
J
P
2 AB
1 ml 2 (
m
5l 2
) 2
2 ml 2 2
2 12
4
rC
mi ri
M
质点系的动量又等于质系的总质量与质心速度的乘积。
2. 刚体系统的动量：设第i个刚体，则整个系统的动量等于每个刚 体的动量的矢量合：
p mi vCi M vC
3
基本量
质点系求动量 矢量合不能忘 质心速度要求好 质心动量作代表
4
二、动量矩的计算： 1．质点系对固定点“O”的动量矩：
M1
M1
W
r2
r2
k(r l0 )dr
r1
r1
k 2
d(r l0 )2
k 2 [(r1
l0 )2
(r2
l0 )2]
r0 — —r 的单位矢量
r
1
r0 d r r d r 2r d(r r) dr
令1 r1 l0 , 2 r2 l0
W
k 2
(
2 1
2 2
)
W弹
?
k x2 2
y mv m
LO mO (mi vi ) mo (mv )
r
ri mi vi
2．相对于质心的动量矩
x
O z
质心坐标系平动
LC mC (mi vir ) rir mi vir
y
y1 mi
ra
rr
x1
rC
C
x
O
3．质点系对固定点“O”的动量矩与 相对于质心的动量矩之间的关系
LO ria mi via
转向相同时，取同号；反之，取异号
9
基本量
三、动能的计算
1．质点系的动能： T
1 2mi
vi
2
1 2mi
(vC
vr )2
1 2
mi vC2
vC
( mi vr
)
1 2
mi vr2
1 2
mi vC2
vC
0
1 2
mi vr2
T
1 2
MvC2
1 2
mivr2
质点系的动能等于随同质心作平动时的动能再加上相对于质 心的动能。此定理称为“柯尼希定理”。
（5）均质杆质量为m，长度为l，图示瞬时A端 速度为v，求其动量。
B P
ωAB
C
vB
解：AB 杆做平面运动，
瞬心为P，∵vA= v
AB
vA AP
v
l sin
vC AB CP
v
2 s in
φ
A vA
p mv C
mv
2 s in
25
基本量
⑹
皮带轮传动系统由均质轮和均质皮带组成， 该系统的动量等于多少？