理论力学课件 12动力学基本量

（5）均质杆质量为m，长度为l，图示瞬时A端 速度为v，求其动量。
B P
ωAB
C
vB
解：AB 杆做平面运动，
瞬心为P，∵vA= v
AB
vA AP
v
l sin
vC AB CP
v
2 s in
φ
A vA
p mv C
mv
2 s in
25
基本量
⑹
皮带轮传动系统由均质轮和均质皮带组成， 该系统的动量等于多少？
T
1 2
m vC 2
1 2
JC 2
1 mv2 1 1 mr2 v 2
2
2 2 r
3 mv2 4
r m
v
Cω
P 瞬心
T
1 2
J P 2
=？
30
行星轮机构中，行星轮Ⅰ在系杆OA的带动下绕定 齿轮Ⅱ转动。已知系杆的质量为m，角速度为ω， 行星轮质量为m1，半径为r1，求系统的动能。
解：T = TOA + T轮Ⅰ
J
C
2
1 2
J P 2
C点为质心，P点为速度瞬心
16
例2 ．图12-4（a）曲柄连杆机构的曲柄OA以匀ω 转动，设 OA=AB=l ，曲柄OA及连杆AB都是匀质杆，质量均为m ，滑块 B的质量也为m。求当 = 45º时，各个件的动量、对“O”点的 动量矩和动能；各个件合动量、对“O”点的合动量矩和和动能。 解：分析各个件的速度如图. 1、曲柄OA：定轴转动，角速度为ω 2、连杆AB： P为速度瞬心， 3、滑块B：平动，
m2 R2 2
v2
D
2
TB
1 2
J
B
D
2 2
m2 2
( R22
R22
)
2 2
m2
R22
2 2
22
求图示均质物体或物体系统的动量。
⑴均质轮质量为m，半径为R，绕质心轴C 转动，角速度为ω， 则其动量为
p mv c
vc 0
p mv c 0
ω C
⑵ 均质轮质量为m，半径为R，偏心距为e，绕轴O转动，角 速度为ω，则其动量为
（x：变形量）
34
基本量
4．作用于转动刚体上的力的功，力偶的功 设在绕 z 轴转动的刚 体上M点作用有力 F ，计算刚体转
过——角度 时力 F 所作的功。M点轨迹已知。
W F ds F rd mz (F )d
m[( 1 l sin45
5 l cos
2l
)i
(
1
l
cos
45
Байду номын сангаас
5
l
sin
)j]
2
2
2
2
ml[( 1
2
5
3
2
)i
(
1
2
5
1
)j]
2 2 2 10
2 2 2 10
2ml[2i
1
j]
2
5．对“O”点的动量矩：
平面动量对点面内点之矩，可用标量表示.
L1O
J1O
ml 2 3
L2O mO (mv2C ) L2C 2
vA AP AB OA AB
vC1 l / 2 PC2 5l / 2
vC 2 5l AB / 2 5l / 2
vC 3 2l
4．动量： p1 mvC1 p2 mvC2
p3 mvC3
p mvC1 mvC2 mvC3
m[(vC1 sin vC 2 cos vC 3 )i (vC1 cos vC 2 sin ) j]
m1
m
m1
v
R
R
d
解：(1) 系统的动量为各部分动量的矢量和
p轮1 = p轮2 = m1 v ；p带= m v p = p轮1 + p轮2 + p带 = ( 2 m1 + m )v
(2)
p带’ = m2vd 2πR mv mv 2(d πR)
LL
L
= m v = p带
27
基本量问题：
质点系的动量 p =∑mivi = Mvc
p mv c m e
C vc
e
ω
O
基本量
⑶ 均质轮质量为m，半径为R，沿 水平直线轨道纯滚动，轮心的 速度为v，则其动量为
p mv
或 p mr ，方向同 v
vω
C
⑷ 均质杆质量为 m ，杆长为L，绕杆端轴O 以角速度ω转
动，则
vc ωL/ 2
O
ω
p mv c
1 m L
C
2
24
基本量
基本量
2020年11月14日星期六
基本量
动力学普遍定理概述
质点运动微分方程 可以解决动力学问题。但是，
对质点系动力学问题：n 个质点，就要列出3n个微分方 程，然后联立求解。难！也不必要。
动力学普遍定理——包括动量定理、动量矩定理、动能定理。 它们以简明的数学形式， 表明运动量 （ 动量、动量矩、
转向相同时，取同号；反之，取异号
9
基本量
三、动能的计算
1．质点系的动能： T
1 2mi
vi
2
1 2mi
(vC
vr )2
1 2
mi vC2
vC
( mi vr
)
1 2
mi vr2
1 2
mi vC2
vC
0
1 2
mi vr2
T
1 2
MvC2
1 2
mivr2
质点系的动能等于随同质心作平动时的动能再加上相对于质 心的动能。此定理称为“柯尼希定理”。
12
基本量
上述运算中 运动量均为绝对量！！！
13
基本量
例１. 质量为M、长为L、以角速度ω绕O转动的均质杆OA， 试计算其动量、对O点的动量矩和动能。并图示动量。
p M vC p Mv C ML / 2 O
方向及作用点如图
ω
LO
JO
1 3
ML2
LO ? MO(MvC ) JC 2L
LO ? 3 MvC
M1
M1
W
r2
r2
k(r l0 )dr
r1
r1
k 2
d(r l0 )2
k 2 [(r1
l0 )2
(r2
l0 )2]
r0 — —r 的单位矢量
r
1
r0 d r r d r 2r d(r r) dr
令1 r1 l0 , 2 r2 l0
W
k 2
(
2 1
2 2
)
W弹
?
k x2 2
rC
mi ri
M
质点系的动量又等于质系的总质量与质心速度的乘积。
2. 刚体系统的动量：设第i个刚体，则整个系统的动量等于每个刚 体的动量的矢量合：
p mi vCi M vC
3
基本量
质点系求动量 矢量合不能忘 质心速度要求好 质心动量作代表
4
二、动量矩的计算： 1．质点系对固定点“O”的动量矩：
2m 9m1 12
(r1
r2 ) 2
基本量
一、力的功
力的功——力沿路程累积效应的度量。
元功： W F d r
F ds Xdx Ydy Zdz
总功：力在曲线路程中作功为：
M2
W F dr
M1
M2
F ds
M1
M2
Xdx Ydy Zdz
M1
32
基本量
二．常见力的功
1．重力的功
质点系的动量矩 Lo = M o(Mvc) ？
例12-1 已知无重细杆AB两端各铰接质量为m的小球，系统
绕水平O轴以角速度ω转动，求系统对O轴的动量矩。
vA = ·l O ω
A
B
l
l
vB = ·l
系统对O轴的动量矩为： Lo ml l ml l 2ml 2
从本例可以知道，系统质心的速度虽然为零，系统对O 轴的动量矩并不等于零。 计算质点系的动量矩不能简单地 用质心的动量对某固定点或固定轴取矩。
ω2 m2
O2
？
m
C
m1 ω1
O1
∵系统对称于两轮轴心连线，
∴系统质心必在该连线上， 系统质心的速度始终为零，
∴系统的动量 p = Mvc = 0 。 26
基本量
⑺ 两均质轮质量均为m1，半径均为R，两轮间距离为 d，履 带质量为m，长为 L，求 (1)系统的动量；(2)除去与地面
接触的履带以外的履带的动量。
LO MvC L/ 2 JC
2L/3 C
K M vc ?
v
A
14
基本量
T
1 2
JO 2
1 6
ML2 2
T
?
1 2
MvC2
1 2
JC 2
O ω
v
A
15
基本量
p mi vCi M vC
LO rC M vC LC
T
1 2
MvC2
1 2
mivr2
平面运动刚体的动能：
T
1 2
M
vC2
1 2
10
基本量
2．平动刚体的动能
T
1 2
MvC2
3．定轴转动刚体的动能：
T
1 2
mivi 2
1 2
(
mi
ri
2
)
2
T
1 2
J z 2
4．平面运动刚体的动能：
T
1M 2
vC2