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第三部分 动 力 学
第10章 动量矩定理
2019年8月3日
1
动力学/动量矩定理
首先分析以下两个刚体的动量：
2
动力学/动量矩定理
动量是描述质点系随质心平移的一个动力学量， 它不能描述质点系相对于质心转动的动力学状态。
相应地，动量定理也不能描述质点系相对于质心 或某一固定点的运动规律。
本章引进动量矩的概念，并研究描述质点系相对 于某一定点（定轴）或质心（质心轴）的运动状态与 外力矩之间的关系——动量矩定理。
y Fx
x y Fy Fxy
力对轴的矩的 解析表达式
13
静力学/第四章 空间力系来自◆ 力矩关系定理 空间力对点的矩的解析式为：
Mo(F) = (yFz- zFy) i + ( zFx- xFz) j + ( xFy- yFx) k
= [Mo(F)]x i + [Mo (F )]y j + [Mo (F )]z k 空间力对轴的矩的解析式为：
解：让三线摆作微小扭转振动， 设圆盘绕 z 轴转过微小角度为
z
C´
FT
FT C
O
B´ A´
FT B A
W
分析圆盘受力：
应用刚体绕定轴转动的运动微分方程
51
动力学/动量矩定理
应用刚体绕定轴转动的运动微分方程
z
C´
FT
FT C
O
B´ A´
FT B A
W
让三线摆作微小扭转振动，建立振动周期与转动惯 量之间的关系，通过测量振动周期，就可以测量出圆盘 的转动惯量。
• 计算转动惯量
在机械工程手册中，可以查阅到简单几何形状或几 何形状已标准化的零件的回转半径。
第10章 动量矩定理
2019年8月3日
1
动力学/动量矩定理
首先分析以下两个刚体的动量：
2
动力学/动量矩定理
动量是描述质点系随质心平移的一个动力学量， 它不能描述质点系相对于质心转动的动力学状态。
相应地，动量定理也不能描述质点系相对于质心 或某一固定点的运动规律。
本章引进动量矩的概念，并研究描述质点系相对 于某一定点（定轴）或质心（质心轴）的运动状态与 外力矩之间的关系——动量矩定理。
y Fx
x y Fy Fxy
力对轴的矩的 解析表达式
13
静力学/第四章 空间力系来自◆ 力矩关系定理 空间力对点的矩的解析式为：
Mo(F) = (yFz- zFy) i + ( zFx- xFz) j + ( xFy- yFx) k
= [Mo(F)]x i + [Mo (F )]y j + [Mo (F )]z k 空间力对轴的矩的解析式为：
解：让三线摆作微小扭转振动， 设圆盘绕 z 轴转过微小角度为
z
C´
FT
FT C
O
B´ A´
FT B A
W
分析圆盘受力：
应用刚体绕定轴转动的运动微分方程
51
动力学/动量矩定理
应用刚体绕定轴转动的运动微分方程
z
C´
FT
FT C
O
B´ A´
FT B A
W
让三线摆作微小扭转振动，建立振动周期与转动惯 量之间的关系，通过测量振动周期，就可以测量出圆盘 的转动惯量。
• 计算转动惯量
在机械工程手册中，可以查阅到简单几何形状或几 何形状已标准化的零件的回转半径。
理论力学经典课件-相对运动动力学
航天器轨道设计
相对运动分析在航天器轨道设计中具有重要意 义，帮助我们计算卫星与行星之间的相对位置。
实例分析
通过实例分析，我们将应用所学知识解决实际问题，深入理解相对运动动力 学的应用场景。
总结和展望
在本课件中，我们深入研究了相对运动动力学的基本概念、公式及应用。相信通过学习，你已经对相对运动动 力学有了更深入的理解。
相对速度
相对速度被广泛应用于交通运输、航空航天等领域 中。它帮助我们理解物体相对运动的速度关系。
相对加速度
相对加速度的概念在惯性导航、交通工程等领域有 重要的应用。我们将深入研究相对加速度的计算方 法。
位移与相对运动
位移是描述物体相对运动的重要概念。我们将探索 位移对于揭示物体间运动关系的意义。
矢量运算
矢量运算在相对速度和相对加速度的计算中起着关 键作用。我们将学习如何正确进行矢量运算。
相对运动的转动
1
转动概念
相对运动不仅发生在线性运动中，还可以出现在转动运动中。了解相对运动的转 动对于理解刚体运动至关重要。
2
旋转坐标系
用旋转坐标系分析相对运动可以帮助我们简化问题，使得分析更加直观和可行。
3
惯性力
相对速度是指一个物体相对于另一个物体的速度。通过研究相对速度，我们可以解释物体之 间的运动关系。
相对加速度
相对加速度是指一个物体ห้องสมุดไป่ตู้对于另一个物体的加速度。了解相对加速度对于描述物体之间的 动态关系至关重要。
基本概念
在相对运动动力学中，我们还需要了解一些基本概念，如参考系、位移、速度和加速度等。
相对速度和相对加速度
在转动参考系中，会出现一些额外的惯性力。我们将研究这些惯性力对物体的影 响。
相对运动分析在航天器轨道设计中具有重要意 义，帮助我们计算卫星与行星之间的相对位置。
实例分析
通过实例分析，我们将应用所学知识解决实际问题，深入理解相对运动动力 学的应用场景。
总结和展望
在本课件中，我们深入研究了相对运动动力学的基本概念、公式及应用。相信通过学习，你已经对相对运动动 力学有了更深入的理解。
相对速度
相对速度被广泛应用于交通运输、航空航天等领域 中。它帮助我们理解物体相对运动的速度关系。
相对加速度
相对加速度的概念在惯性导航、交通工程等领域有 重要的应用。我们将深入研究相对加速度的计算方 法。
位移与相对运动
位移是描述物体相对运动的重要概念。我们将探索 位移对于揭示物体间运动关系的意义。
矢量运算
矢量运算在相对速度和相对加速度的计算中起着关 键作用。我们将学习如何正确进行矢量运算。
相对运动的转动
1
转动概念
相对运动不仅发生在线性运动中，还可以出现在转动运动中。了解相对运动的转 动对于理解刚体运动至关重要。
2
旋转坐标系
用旋转坐标系分析相对运动可以帮助我们简化问题，使得分析更加直观和可行。
3
惯性力
相对速度是指一个物体相对于另一个物体的速度。通过研究相对速度，我们可以解释物体之 间的运动关系。
相对加速度
相对加速度是指一个物体ห้องสมุดไป่ตู้对于另一个物体的加速度。了解相对加速度对于描述物体之间的 动态关系至关重要。
基本概念
在相对运动动力学中，我们还需要了解一些基本概念，如参考系、位移、速度和加速度等。
相对速度和相对加速度
在转动参考系中，会出现一些额外的惯性力。我们将研究这些惯性力对物体的影 响。
理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
理论力学9质点动力学基本方程ppt课件
小球在水平面内作匀速圆周运动。
a 0,
an
v2 r
12.5 m
s2
方向指向O点。
45º A B
60º
Or
A
FA
B
60º
FB O an
r
M
v
mg
建立自然坐标系得：
v2
m r FA sin 45 FB sin 60
(1)
0 mg FA cos 45 FB cos60 (2)
解得： FA 8.65 N, FB 7.38 N
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
9.1 动力学的基本定律
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分 别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的 加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律 不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称 为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
v0 F (v)
0
例例1 9如.1图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得
ppt版本-哈工大版理论力学课件(全套)
理论力学课程的内容包括质点和刚体的运动、弹性力学、 流体力学、振动和波等，其体系由静力学、运动学和动力 学三个部分组成。
理论力学课程的内容非常广泛，主要包括质点和刚体的运 动、弹性力学、流体力学、振动和波等方面的知识。这些 内容在理论力学体系中占据着重要的地位，为后续的工程 技术和科学研究提供了重要的理论基础和应用方法。同时 ，理论力学体系由静力学、运动学和动力学三个部分组成 ，这三个部分相互联系、相互渗透，构成了完整的理论力 学体系。
详细描述
理论力学作为经典力学的一个重要分支，主要研究物体运动规律、力的作用机制以及它们之间的相互作用。通过 对质点和刚体的运动规律、力的合成与分解、动量守恒和能量守恒等基本原理的研究，理论力学为各种工程技术 和科学研究提供了重要的理论基础和应用方法。
理论力学课程的内容和体系
要点一
总结词
要点二
详细描述
置和速度。
刚体的转动
02
描述刚体绕固定点或轴线的旋转运动，通过角速度矢量和角加
速度矢量表示刚体的转动状态。
刚体的复合运动
03
描述刚体同时存在的平动和转动，通过平动和转动运动的合成
来描述。
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
表述了物体运动与力的关系，即物体受到的合外力等 于其质量与加速度的乘积。
动量定理
表述了物体动量的变化率等于作用在物体上的力与时 间的乘积。
由于非惯性参考系中物体受到的力不是真实的外力，而是由于参考 系加速或旋转产生的惯性力。
非惯性参考系的应用
在研究地球上的物体运动时，常常需要用到非惯性参考系，例如研 究地球的自转和公转对物体运动的影响。
05
刚体的运动
01
描述刚体在空间中的位置和运动，通过平动矢量表示刚体的位
理论力学课件 动力学普遍定理综合应用61页PPT
40、人类法律，事物有规6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
理论力学课件 动力学普遍定理综合应 用
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
Thank you
理论力学课件 动力学普遍定理综合应 用
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
Thank you
(完整版)理论力学_动力学课件
dpx
/
dt
F (e) x
dp y
/
dt
F (e) y
微 分 形
dpz
/
dt
F (e) z
式
px
p0 x
I
(e) x
py
p0 y
I
(e y
)
积 分 形
pz
p0 z
I
( z
e
)
式
12 动量矩定理 12.1 质点和质点系的动量矩
理论力学 （运动学）
教 材:《理论力学》 陈国平 罗高作 主编 武汉理工大学出版社
参考书: 《建筑力学》 钟光珞 张为民 编著 中国建材工业出版社
《建筑力学》 周国瑾等 编著 同济大学出版社
《理论力学》 范钦珊 主编 清华大学出版社
10 质点动力学
第10章 质点动力学的基本方程
§10-1 动力学的基本定律
画受力图
（2） 研究对象运动分析
（3） 列方程求解求知量
Fx
F
P sin
P g
a
Fy FN P cos 0
y
x
a
F
F
P(sin
a g ), FN
P cos
P
FN
F f FN
f min
a
g cos
tan
11 动量定理 §11-1 动量与冲量
§11-2 动量定理
1. 质点的动量定理
dp d(mv) ma F dt dt
理论力学说课PPT课件
机械运动实例
总结词
机械运动是理论力学的传统应用领域，涉及 各种实际机械系统的运动规律。
详细描述
机械运动是理论力学中最为常见的应用领域 之一。各种实际机械系统，如汽车、飞机、 机器和机器人等的运动规律，都需要通过理 论力学进行分析和描述。通过研究机械运动， 可以深入理解力矩、动量、动能等力学概念， 以及它们在机械系统中的具体应用。
自我评价
通过本课程的学习，我掌握了理论力 学的基本知识和分析方法，对物理学
的理解更加深入
我认为自己的逻辑思维、抽象思维和 创新能力得到了提高，解决问题的能 力也有所增强
建议
建议增加一些与实际应用相关的案例 和实验，以更好地理解理论力学的应 用价值
对于一些较难理解的概念和公式，希 望能够有更多的解释和练习题
详细描述
力的分析方法包括矢量表示法、直角坐标表示法和极坐标表 示法等。通过力的合成与分解，可以确定物体运动状态的变 化。力矩的计算则涉及到转动惯量、角速度和动量矩等概念 。
运动分析方法
总结词
运动分析方法主要研究物体运动轨迹、速度和加速度等参数。
详细描述
运动分析方法包括对质点和刚体的运动学分析，通过求解运动微 分方程或积分方程，可以确定物体的运动轨迹、速度和加速度等 参数。这些参数对于理解力学系统的运动规律和相互作用至关重 要。
本课程总结
提高了学生解决实际问题的能力 改进方向
针对不同专业需求，调整教学内容和深度，更好地满足学生需求
本课程总结
01
加强实验和实践环节，提高学生 的动手能力和实践经验
02
引入更多现代技术和方法，更新 教材和教学方法，保持课程的前 沿性
力学发展历程与展望
力学发展史
理论力学课件-动力学精选全文完整版
第一类问题-----已知质点的运动，求作用在质点上的力； 第二类问题-----已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。
26
总结 4.求解质点动力学问题的步骤：
（1）根据题意确定研究对象，选择恰当的坐标系； （2）分析研究对象的受力情况，作受力图； （3）分析研究对象的运动情况； （4）列出质点的动力学基本方程，然后求解；如是第二类问题，
（相对地面静止或作匀速直线平动的参考系）
(3)矢量性和瞬时性
二. 质点运动微分方程
F
ma
m
dv dt
m
d2r dt 2
6
利用合矢量投影定理 ,可以在直角坐标系, 自然坐标系及其他坐标系中建立投影方程.
1.质点运动微分方程在直角坐标系上的投影
d2x m dt 2 XFx
m
d2y dt 2
YFy
m
还需根据初始条件确定积分常数。
27
作业
• 9-2 • 9-12
28
例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放
有质量为m的重物。求重物对地板的压力。 解：取重物为研究对象
进行受力分析与运动分析。
Fy= m ay
N - mg=m a
mg
N=mg+ma=N'
（静约束力；附加动约束力）
a
讨论：若加速度方向向下 N
b
l
FT
n
r
v
τ
z
mg
m
dv dt
F
t
0
m
v2 r
F
n
FT sin 600
0 F b mg FT cos 600
FT
mg cos 600
19.6N
26
总结 4.求解质点动力学问题的步骤：
（1）根据题意确定研究对象，选择恰当的坐标系； （2）分析研究对象的受力情况，作受力图； （3）分析研究对象的运动情况； （4）列出质点的动力学基本方程，然后求解；如是第二类问题，
（相对地面静止或作匀速直线平动的参考系）
(3)矢量性和瞬时性
二. 质点运动微分方程
F
ma
m
dv dt
m
d2r dt 2
6
利用合矢量投影定理 ,可以在直角坐标系, 自然坐标系及其他坐标系中建立投影方程.
1.质点运动微分方程在直角坐标系上的投影
d2x m dt 2 XFx
m
d2y dt 2
YFy
m
还需根据初始条件确定积分常数。
27
作业
• 9-2 • 9-12
28
例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放
有质量为m的重物。求重物对地板的压力。 解：取重物为研究对象
进行受力分析与运动分析。
Fy= m ay
N - mg=m a
mg
N=mg+ma=N'
（静约束力；附加动约束力）
a
讨论：若加速度方向向下 N
b
l
FT
n
r
v
τ
z
mg
m
dv dt
F
t
0
m
v2 r
F
n
FT sin 600
0 F b mg FT cos 600
FT
mg cos 600
19.6N
理论力学完整ppt课件
理论力学
主讲 王卫东
可编辑课件PPT
1
可编辑课件PPT
2
绪
论
一、理论力学的研究对象和内容 二、理论力学发展简史 三、学习理论力学的目的 四、理论力学的研究方法
可编辑课件PPT
3
可编辑课件PPT
真汽 车 碰 撞 仿
4
可编辑课件PPT
5
可编辑课件PPT
6
一、理论力学的研究对象和内容
理论力学——研究物体机械运动规律的科学。
可编辑课件PPT
15
都江堰
岷江上的大型引水枢纽工程，也是现有世界上历史最长的无坝 引水工程。始建于公元前256～前251年。
可编辑课件PPT
16
赵州桥(安济桥)
591～599年，跨度37.4米,采用拱高只有7米的浅拱-敞肩拱，
敞肩拱的运用为世界桥梁史上的首创，并有“世界桥梁鼻祖”
的美誉。
可编辑课件PPT
3 随着科学技术的发展，交叉学科的地位也越来越 重要。力学与其它学科的渗透形成了生物力学、爆 炸力学、物理力学等边缘学科，这就需要我们有坚 实的理论力学基础。
4 培养分析问题、解决问题的方法。
可编辑课件PPT
24
四、理论力学的研究方法
是从实践出发，经过抽象化、综合、归纳、建立 公理，再应用数学演绎和逻辑推理而得到定理和结论， 形成理论体系，然后再通过实践来验证理论的正确性。
17
张衡与地动仪
东汉时期，中国发生地震的次数是比较多的，为了测定地
震方位，及时地挽救人民的生命财产，公元126年，张衡在第二
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
次担任太史令之后， 就注意掌握收集地震的情报和记录，经过
多年的潜心研究，终于在公元132年(东汉顺帝阳嘉元年)，发明
主讲 王卫东
可编辑课件PPT
1
可编辑课件PPT
2
绪
论
一、理论力学的研究对象和内容 二、理论力学发展简史 三、学习理论力学的目的 四、理论力学的研究方法
可编辑课件PPT
3
可编辑课件PPT
真汽 车 碰 撞 仿
4
可编辑课件PPT
5
可编辑课件PPT
6
一、理论力学的研究对象和内容
理论力学——研究物体机械运动规律的科学。
可编辑课件PPT
15
都江堰
岷江上的大型引水枢纽工程，也是现有世界上历史最长的无坝 引水工程。始建于公元前256～前251年。
可编辑课件PPT
16
赵州桥(安济桥)
591～599年，跨度37.4米,采用拱高只有7米的浅拱-敞肩拱，
敞肩拱的运用为世界桥梁史上的首创，并有“世界桥梁鼻祖”
的美誉。
可编辑课件PPT
3 随着科学技术的发展，交叉学科的地位也越来越 重要。力学与其它学科的渗透形成了生物力学、爆 炸力学、物理力学等边缘学科，这就需要我们有坚 实的理论力学基础。
4 培养分析问题、解决问题的方法。
可编辑课件PPT
24
四、理论力学的研究方法
是从实践出发，经过抽象化、综合、归纳、建立 公理，再应用数学演绎和逻辑推理而得到定理和结论， 形成理论体系，然后再通过实践来验证理论的正确性。
17
张衡与地动仪
东汉时期，中国发生地震的次数是比较多的，为了测定地
震方位，及时地挽救人民的生命财产，公元126年，张衡在第二
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
次担任太史令之后， 就注意掌握收集地震的情报和记录，经过
多年的潜心研究，终于在公元132年(东汉顺帝阳嘉元年)，发明
理论力学动量定理 PPT课件
Fy
2
m2g
dpx dt
Fx
,
dpy dt
Fy
m1g m2 g
Fx MO
Fx m2e2 sint, Fy (m1 m2)g m2e2 cost
动约束力
静约束力 动约束力
Ch.11. 动量定理
例11-2 图11—3表示水流流经变 截面弯管的示意图。设流体是不可 压缩的，流动是稳定的。求管壁的 附加动约束力。
分力。
解：设附加水平动约束力如图，有
v2
F
qV
[
1 2
(v2
v2
)
v1 ]
Fx
v1
Fx qV [v2 cos (v1)], Fy 0
v2 v2 v2
因此，水柱对涡轮固定叶片作用力的水平分力为
Fx Fx qV (v2 cos v1) N
Ch.11. 动量定理
小结
1. 动量定理 质点的动量定理：
解：取物块和小球为研究对象
A v
Fx(e) 0
px p0x 0
vB v vBA, vBA l l 0 sin t
px mAvAx mBvBx mAv mB (v vBA cos)
vr
B
px (mA mB )v mBl 0 sin t cos(0 cost) 0 v mBl 0 sin t cos(0 cost) /(mA mB )
mv mv0
Fdt I
0
2. 质点系的动量定理
第k个质点：
d (mk vk
)
(F
(e) k
Fk(i) )dt
Fk( e ) dt
Fk( i ) dt
外力 内力
n
n
n
2
m2g
dpx dt
Fx
,
dpy dt
Fy
m1g m2 g
Fx MO
Fx m2e2 sint, Fy (m1 m2)g m2e2 cost
动约束力
静约束力 动约束力
Ch.11. 动量定理
例11-2 图11—3表示水流流经变 截面弯管的示意图。设流体是不可 压缩的，流动是稳定的。求管壁的 附加动约束力。
分力。
解：设附加水平动约束力如图，有
v2
F
qV
[
1 2
(v2
v2
)
v1 ]
Fx
v1
Fx qV [v2 cos (v1)], Fy 0
v2 v2 v2
因此，水柱对涡轮固定叶片作用力的水平分力为
Fx Fx qV (v2 cos v1) N
Ch.11. 动量定理
小结
1. 动量定理 质点的动量定理：
解：取物块和小球为研究对象
A v
Fx(e) 0
px p0x 0
vB v vBA, vBA l l 0 sin t
px mAvAx mBvBx mAv mB (v vBA cos)
vr
B
px (mA mB )v mBl 0 sin t cos(0 cost) 0 v mBl 0 sin t cos(0 cost) /(mA mB )
mv mv0
Fdt I
0
2. 质点系的动量定理
第k个质点：
d (mk vk
)
(F
(e) k
Fk(i) )dt
Fk( e ) dt
Fk( i ) dt
外力 内力
n
n
n
北京航空航天大学理论力学第一学期总复习.ppt
2019/11/16
M
vM
CV
13
BUAA
4、平面图形上各点的加速度
aB
aA
aBnA
a
t BA
aBt A AB aBnA AB 2
y
y' aBt A
B
A
aBnA x'
o
aA x
•加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存
处的静/动摩擦因数均为f。现欲以水平力F 拉动此物体。若F
较小未拉动物体时，根据已知条件 b 能分别求出A，B
两处的静摩擦力。若物体被拉动，则在其运动过程中A，B 两
处的摩擦力 b
相等。
FA
FI
FB
a：一定；
2019/11/16
b：一定不； c：不一定
26
BUAA
基本概念：惯性积、惯量主轴、
中心惯量主轴、动平衡、静平衡
在唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。
要求：能熟练求解刚体平面运动和点的复合运动的综合 性问题。
2019/11/16
14
BUAA
思考题：半径为 R 的圆盘做平面运动，已知某瞬时圆盘边缘 上两点A、B的加速度a （大小、方向如图所示），试判 断下列结论哪些是正确的：
A：这种运动不存在； B：能求出圆盘的角速度（大小和方向） C：能求出圆盘上任一点的加速度； D：能求出圆盘的角加速度（大小和方向）
dp
dt
Fi(e) maC
miaCi
Fi ( e )
m dvC dt
Fi ( e )
dm dt
M
vM
CV
13
BUAA
4、平面图形上各点的加速度
aB
aA
aBnA
a
t BA
aBt A AB aBnA AB 2
y
y' aBt A
B
A
aBnA x'
o
aA x
•加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存
处的静/动摩擦因数均为f。现欲以水平力F 拉动此物体。若F
较小未拉动物体时，根据已知条件 b 能分别求出A，B
两处的静摩擦力。若物体被拉动，则在其运动过程中A，B 两
处的摩擦力 b
相等。
FA
FI
FB
a：一定；
2019/11/16
b：一定不； c：不一定
26
BUAA
基本概念：惯性积、惯量主轴、
中心惯量主轴、动平衡、静平衡
在唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。
要求：能熟练求解刚体平面运动和点的复合运动的综合 性问题。
2019/11/16
14
BUAA
思考题：半径为 R 的圆盘做平面运动，已知某瞬时圆盘边缘 上两点A、B的加速度a （大小、方向如图所示），试判 断下列结论哪些是正确的：
A：这种运动不存在； B：能求出圆盘的角速度（大小和方向） C：能求出圆盘上任一点的加速度； D：能求出圆盘的角加速度（大小和方向）
dp
dt
Fi(e) maC
miaCi
Fi ( e )
m dvC dt
Fi ( e )
dm dt
理论力学 动力学基本方程(共25张PPT)
t
0
，x
xo，v
v
，试求质点的运动规律。
o
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程。
舰载飞机在解发动：机和此弹射题器推力力 求运动，属于动力学第二类问题，且力为时间的函
假设推力和跑道可能长度，那么需要多大的初速度和一定的时间隔后才能到达飞离甲板时的速度。
数。质点运动微分方程为 (2) 力是改变质点运动状态的原因
惯性参考在系工程实际问题中，可近似地选取与地球相固连的坐标系
为惯性参考系。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
§9-2 质点的动力学根本方程
将动力学基本方程 (ma F) 表示为微分形式的方程，
称为质点的运动微分方程。
1.矢量形式 2.直角坐标形式
d 2r m dt2 F
d 2 x
d 2y
综合问题： 局部力，局部运动求另一局部力、局部运动。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
假设推力和跑道可能长度， 那么需要多大的初速度和 一定的时间隔后才能到达 飞离甲板时的速度。
载人飞船的交会与对接
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
动的初始条件，求出质点的运动。
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
§9-1 动力学根本定律
(3) 质量是物体惯性大小的度量。 ②受力分析,画出受力图 曲柄OA以匀角速度 转动,OA=r,AB=l,当
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a.mddvtF,b.mddvtF
( A)
v
M
F
A、a、b都正确； B、a、b都不正确。
C、a正确，b不正确；D、a不正确，b正确。
n
(2)重量为G的汽车，以匀速v驶过凹形路面。试问汽车过路 面最低点时，对路面的压力如何 ? （ B ）
A、压力大小等于G； B、压力大小大于G。 C、压力大小小于G； D、已知条件没给够，无法判断。
B、动量大小有变化，但方向不变 C、动量大小无变化，但方向有变化 D、动量大小、方向都有变化
（3）一均质杆长为 l，重为P，以角速度绕O轴转动。试确
定在图示位置时杆的动量。（ ）C
A、杆的动量大小 p P l ，方向朝左 2g
B、杆的动量大小 p P l ，方向朝右
B
3g
C、杆的动量大小 p P l ，方向朝左
【思考题】
1.选择题
（1）设刚体的动量为 P ，其质心的速度为v c ，质量为M，
则式 P Mvc 。（ ）D A、只有在刚体作平动时才成立； B、只有在刚体作直线运动时才成立； C、只有在刚体作圆周运动时才成立； D、刚体作任意运动时均成立；
（2）质点作匀速圆周运动，其动量。（ C）
A、无变化；
（5）定轴转动微分方程
JzMze
（6）平面运动微分方程
m xC F x
i
m yC F y
i
JC MC(Fie)
i
动力学普遍定理
（7）动能定理
T2－T1＝W12
（8）机械能守恒
TVE常数
2．定理
【思考题】
1．选择题
（1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平
面曲线运动，速度为v。试问下列各式是否正确？
直于盘平面的水平轴转动。设盘从最高位置无初速度地开始绕O轴转
动。求当圆盘中心C和轴O点的连线经过水平位置时圆盘的角速度、
角加速度及O处的反力。
y
【解】（1）用动能定理求角速度。
平向左。
B
O
（3）轮B作平面运动，其质心B的运动轨迹为水平直线，所以B点的速
度方向恒为水平，在图示瞬时
vB，v方A 向水l1平向左。
所p 以xm 1x vpm y 20xv m 3xv 5 2m 1 (l )
所以 p px 52m1l
A
方向水平向左
B
O
动力学普遍定理
[例 题]
图示均质细直杆OA长为l，质量为m，质心C处连接一刚度系数
动力学的主要内容
研究物体的机械运动 与作用力之间的关系
动力学所涉及的研究内容包括：
1. 动力学第一类问题 —— 已知系统的运动，求作用 在系统上的力。
2. 动力学第二类问题 —— 已知作用在系统上的力， 求系统的运动。
动力学普遍定理
动量定理 动量矩定理 动能定理
动力学普遍定理
1、物理量
（1）动量
3m2 R 2
4
T1m2v1mR 22
24
A
O
质量为m长为l的均质细长杆，杆端B端
图示行星齿轮机构，已知系杆OA长为2r， 置于水平面，A端铰接于质量为m，半径
质量为m，行星齿轮可视为均质轮，质量 为r的轮O边缘点A,已知轮沿水平面以大
为m，半径为r，系杆绕轴O转动的角速度 小为的角速度作纯滚动，系统的动量
作纯滚动。在图示瞬时，OA 的角速度为，则整个系统的动量为多少
？
【解】因为按图示机构，系统可分成3个刚块：OA、AB、和轮B。
首先需找出每个刚块的质心速度：
（1）OA作定轴转动，其质心速度在图示
瞬时只有水平分量v1cx12l1 ，方向水
平向左。
A
（2）AB作瞬时平动，在图示瞬时其质心速
度也只有水平分量 v2cxvAl1 ，方向水
M
M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。
动力学普遍定理
2．定理
（1）动量定理
（2）质心运动定理
ddptmaFCRe F （ R epmvC）
（3若）若动量F定FReR理e＝ ＝ 、00质心运则则动定vpC理＝ ＝守CC恒
动力学普遍定理
（4）动量矩定理
dLO dt
MOe
2．定理
（LOz Jz）
M1
M1
● 重力的功
W 12mg(z1z2)
● 弹性力的功
W12
k 2
(12
22)
动力学普遍定理
1、物理量
（6）动能
● 质点 T 1 mv 2 2
● 定轴转动刚体
T
1 2
J z 2
●
平移刚体
T
1 2
m
v
2 C
● 平面运动刚体 T12mvC2 12JC2
（7）势能
M0
V F dr
T
1 2
J P 2
为k 的弹簧，若杆运动到水平位置时角速度为零，则初始铅垂位置
（此时弹簧为原长）时，杆端A的速度vA为 多少？
T2－T1＝W12
T112JO21213ml2(vlA)2
T2 0
W12
mgl k(l 22
2l)2 2
vA
3kl2 (2 4m
2)23gl
vA
A
C k
O 450
例11-5 如图所示，质量为m，半径为r的均质圆盘，可绕通过O 点且垂
6g
D、杆的动量等于零
lO
3
A
[例] 基本量计算 (动量，动量矩，动能)
pmC v16mL
L OJO [1 1m 22 Lm (L 6)2]LO
pmR JO23mR2
pmv
LC JC12mR2
1 mL2
9
LOrCmvCLCr
LOmR vJC 2 3m2 R
T1 2JO2118m2L 2
T1 2JO2
为。则该系统动量主矢的大小为（ 3mr 大小为（ 3mr）0 ，对点P的动量矩大小
），对轴O的动量矩大小为（13 mr 2 ）
，
3
为（ ）。
7 2
mr
2）0，系统动能为（141
mr
2 2 0
系统动能为（ 11 mr 2 2）。
3
例
如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量均
为m，OA 杆的长度为l1，AB杆的长度为l2，轮的半径为R，轮沿水平面
（2）冲量
pmv p mi vi mvC
i
tI 0 Fຫໍສະໝຸດ t（3）动量矩 L O M O(m ivi) ri mivi
LOzJz
动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量
z
① 定义
Jz ri2mi
i
Jz mz2
回转半径
ri
vi
mi
mO
y
x
动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JC mr2
m Cr
● 均质薄圆盘
JC
1 mr2 2
● 均质细长杆
JC
1 ml2 12
C rm
C
m
l
动力学普遍定理
1、物理量
③ 平行移轴定理
m
Jz1 JzC md2
JOJCm(2l)2
1ml2 3
O
zC
z1
C
d
C
m
l
动力学普遍定理
1、物理量
（5）力的功 ● 常力的功
M1
F M2
v
WFcosS
S
M2
M2
● 变力的功 W12 FdrFcosds