线性分组码编码分析与实现

吉林建筑大学

电气与电子信息工程学院

信息理论与编码课程设计报告

设计题目：线性分组码编码的分析与实现专业班级：电子信息工程 111 学生姓名：

学号：

指导教师：

设计时间：

第1章 概述

设计的作用、目的

1、通过完成具体编码算法的程序设计和调试工作，提高编程能力，深刻理解信源编码、信道编译码的基本思想。

2、加深对理论知识的理解，提高实践技能，培养独立分析问题及解决问题的能力。

3、掌握编码的基本原理与编码过程，增强逻辑思维能力。

4、使用MATLABH 或其他语言进行编程及实现。

设计任务及要求

设计一个（7,3）线性分组码的编译码程序，完成对任意序列的编码，根据生成矩阵形成监督矩阵，得到伴随式下，并根据其进行译码，同时验证工作的正确性，最基本的是要具备对输入的信息码进行编码，让它具有抗干扰的能力。

1. 理解无失真信源编码的理论基础，掌握无失真信源编码的基本方法；

2. 掌握哈夫曼编码/费诺编码方法的基本步骤及优缺点；

3. 深刻理解信道编码的基本思想与目的，理解线性分组码的基本原理与编 码过程

4. 能够使用MATLAB 或其他语言进行编程，编写的函数要有通用性。

设计内容

已知一个（7,3）线性分组码的校验元与信息元有如下限定关系。设码字为(c 1,c 2, c 3, c 4, c 5, c 6,c 7)

4315213

216

3

27c c c c

c c c c c c c c c =⊕⎧⎪=⊕⊕⎪⎨=⊕⎪⎪=⊕⎩

求出标准校验矩阵、Q 矩阵、标准生成矩阵，完成对任意信息序列（23个许用码字）的编码。

当接收码字分别为(0000000), (0000001), (0000010), (0000100), (0001000), (0010000), (0100000), (1000000), (0100100)时，写出其伴随式S ，以表格形式写出伴随式与错误图样E 的对应关系，纠错并正确译码，当有两位错码时，假定为c 5位和c 2位发生错误。

第2章 线性分组码编码分析与实现

设计原理

1. 线性分组码的生成矩阵和校验矩阵

（1）（n ，k ）线性分组码的性质

1、封闭性。任意两个码组的和还是许用的码组。

2、码的最小距离等于非零码的最小码重。

对于长度为n 的二进制线性分组码，它有种2n 可能的码组，从2n 种码组中，可以选择M=2k

个码组（k

对于码组长度为n 、信息码元为k 位、监督码元为r ＝n －k 位的分组码，常记作（n ，k ）码，如果满足2r －1≥n，则有可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。

（2）生成矩阵和校验矩阵

线性分组码码空间C 是由k 个线性无关的基底1-k g ，…1g 0g ，张成的k 维n 重子空间，码空间的所有元素(即码字)都可以写成k 个基底的线性组合，即 111001k k C m g m g m g --=+

++

这种线性组合特性正是线性分组码名称的来历。显然，研究线性分组的关键是研究基底、子空间和映射规则，可把子空间和映射关系画成如图一所示的图形。

图2.1 码空间与映射

k 维k 重信组空间m

n 维n 重空间n V

n-k 维n 重对偶空间D

k 维k 重码空间c

G H

用i g 表示第i 个基底并写成n ⨯1矩阵形式[]01)2()1(,,,,i i n i n i i g g g g g --=再将k 个基底排列成k 行n 列的G 矩阵，得：

[](1)(1)(1)1(1)01101(1)11100(1)01

00,

,,k n k k k n n g g g G g g g g g g g g g -------⎡⎤

⎢

⎥

⎢

⎥==⎢⎥

⎢

⎥⎢⎥

⎣

⎦ 由于k 个基底即G 的k 个行矢量线性无关，矩阵G 的秩一定等于k ，当信息元确定后，码字仅由G 矩阵决定，因此称这n k ⨯矩阵G 为该()k n ⨯线性分组码的生成矩阵。

基底不是唯一的，生成矩阵也就不是唯一的。事实上，将k 个基底线性组合后产生另一组k 个矢量，只要满足线性无关的条件，依然可以作为基底张成一个码空间。不同的基地有可能生成同一个码集，但因编码涉及码集和映射两个因素，码集一样而映射方法不同也不能说是同样的码。

基底的线性组合等效于生成矩阵G 的行运算，可以产生一组新的基底。利用这点可使生成矩阵具有如下的“系统形式”：

[]⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡==---------0001

)

1(01011)1(10)1(1)1()1)(1(10

010

001

p p p p p p p p p P I G k n k n k k k n k k

这里P 是()k n k ⨯-矩阵；k I 是k k ⨯单位矩阵，从而保证了矩阵的秩是K 。

与任何一个()k n ,分组线性码的码空间C 相对应，一定存在一个对偶空间D 。事实上，码空间基底数k 只是n 维n 重空间全部n 个基底的一部分，若能找出另外k n -个基底，也就找到了对偶空间D 。既然用k 个基底能产生一个()k n ,分组线性码，那么也就能用k n -个基底产生包含k

n -2

个码字的()k n n -,分组线性码，

称()k n n -,码是()k n ,码的对偶码。将D 空间的k n -个基底排列起来可构成一个

()n k n ⨯-矩阵，将这个矩阵称为码空间C 的校验矩阵H ，而它正是()k n n -,对偶

码的生成矩阵，它的每一行是对偶码的一个码字。C 和D 的对偶是互相的，G 是

C 的生成矩阵又是

D 的校验矩阵，而H 是D 的生成矩阵，又是C 的校验矩阵。