电磁场习题课
习题课 场与波
2.13 （均匀面电荷分布）求电场强度。（求两球壳间电压U）。 解： (1)r < a : E = 0
ρ s1 a 2 ρ s1a 2 a < r < b : 4πr ε 0 Er = 4πa ρ s1 , Er = , E = er 2 ε 0r ε 0r 2
2 2
r > b : 4πr 2ε 0 Er = 4π a 2 ρ s1 + b 2 ρ s 2
r
(
)
8πb 5 Q = ∫ ρdτ = ∫ b − r ⋅ 4πr dr = 0 τ 15 2b 5 2 D2 ⋅ 4πr = Q, D2 = 15r 2 2b 5 2b 5 E2 = , E 2 = er 2 15ε 0 r 15ε 0 r 2
b
(
2
2
)
2
*2.12 （两种媒质分界面）求电场强度、面电荷密度、电容。 解： D1 = D1n = D2 n = D2 = D
I 1 1 U = ∫ Er dr = − a 4πσ a b U σabU Jr = = 1 1 1 2 (b − a )r 2 − r σ a b I 4πσ 4πσab G= = = U 1 1 b−a − a b
b
3、恒定磁场求解（求磁场强度、磁通、磁场能量、电感） 2.31 求磁通。（求互感）。 解： (1)B = µ 0 I , φ = BdS = µ 0 I ∫S 2πx 2π
2.8 （电荷非均匀分布）求球内外任意一点的电场强度。 解：
(1)0 ≤ r ≤ b :
1 1 Q = ∫ ρdτ = ∫ b 2 − r 2 ⋅ 4πr 2 dr = 4π b 2 r 3 − r 5 0 τ 5 3 1 1 D1 ⋅ 4πr 2 = Q, D1 = b 2 r − r 3 3 5 1 1 1 1 1 1 E1 = b 2 r − r 3 , E1 = e r b 2 r − r 3 5 5 ε0 3 ε0 3 (2)r ≥ b :
电磁场与电磁波课后习题及答案四章习题解答
如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板, 槽的电位为零，上边盖板的电位为，求槽内的电位函数。
解根据题意，电位满足的边界条件为①②③根据条件①和②，电位的通解应取为题图由条件③，有两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到槽内的电位分布两平行无限大导体平面，距离为，其间有一极薄的导体片由到。
上板和薄片保持电位，下板保持零电位，求板间电位的解。
设在薄片平面上，从到，电位线性变化，。
解应用叠加原理，设板间的电位为其中，为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为）的电位，即；是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：①②③根据条件①和②，可设的通解为由条件③有两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到求在上题的解中，除开一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。
并按定出边缘电容。
解在导体板（）上，相应于的电荷面密度则导体板上（沿方向单位长）相应的总电荷相应的电场储能为其边缘电容为如题图所示的导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。
解根据题意，电位满足的边界条件为①_r FL题图②③根据条件①和②，电位的通解应取为由条件③，有两边同乘以，并从o到对积分，得到故得到槽内的电位分布为一长、宽、高分别为、、的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为的电荷。
求体积内的电位。
解在体积内，电位满足泊松方程（1）长方体表面上，电位满足边界条件。
由此设电位的通解为代入泊松方程（1），可得由此可得或（2）由式（2），可得如题图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与轴平行的线电荷，其位置为。
求板间的电位函数。
解由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。
而在的分界面上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度。
电位的边界条件为①②③由条件①和②，可设电位函数的通解为由条件③，有（1）（2）由式（1），可得（3）将式（2）两边同乘以，并从到对积分，有（4）由式（3）和（4）解得故如题图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷。
变化的电磁场习题课
1 H 2
2
1 BH 2
1
B
H
2
1
Wm
V
B 2
HdV
四、几个特殊的结论
无限长螺线管的自感
L n2V
同轴电缆的自感
L l ln R2 2 R1
圆柱形空间内均匀变化的均匀磁场产生的感应电场：
r B E感 内 2 t
E感 外
R2 2r
B t
(C)只适用于一个匝数很多,且密绕的螺线管. (D)适用于自感系数 L 一定的任意线圈.
4. 在真空中一个通有电流的线圈a 所产生的磁场内有另一个线圈 b，a和b相对位置固定，若线圈b中没有电流通过，则线圈b与a间 的互感系数:
(A)一定为零 (B)一定不为零 (C)可以不为零 (D)不可确定
5、一导体棒ab在均匀磁场中沿金属导轨向右作匀加速运动，磁 场方向垂直导轨所在平面。若导轨电阻忽略不计，并设铁芯磁 导率为常数，则达到稳定后在电容器的M 极板上：
三、计算类型
1、 感应电动势的计算：
求 方法小结：
（1）法 拉 第 电 磁 感 应 定 律 （闭 合 ） ： d
dt
（2）动 生（ 一 段 ） ： ab ( 闭 合） ：
b a
(v (v
B) dl B) dl
（3）感 生（ 一 段 ） ：
d
l
H
d
l
L1
L2
(B)
H
d
l
H
d
l
L1
L2
13 电磁学：第20、21章 习题课及部分习题解答
Zhang Shihui
2) dΨmA = M dI = 6.28×10−4 × (−50) = −3.14×10−6 (Wb/s)
dt
dt
3) ε = − dΨmA = 3.14 ×10−4 (V)
dt
题.一螺绕环单位长度上的线圈匝数为n =10匝/cm。环
心材料的磁导率μ =μ0。求在电流强度I为多大时，线圈 中磁场的能量密度w =1J/m3？ (μ0 =4π×10-7 T·m/A)
正方向如箭头所示，求直导线中的感生电动势。
解：设直导线中通电流i，计算直导
线在线圈中产生的磁通量ϕ ；通过 y
计算互感系数M=ϕ/i，进而求感生电
A yDI
动势。
O
x E Cx
建立如图所示的坐标系，y沿直导线。 b
取如图所示的窄带作为微元 dS = 2 ydx
B
h
其中 y = tan 30ο = 3
解： ε ac = ε ab + εbc
而
εab
=
−
d Φ扇形Oab dt
=
−
d dt
⎛ ⎜⎜⎝
−
3 4
R2B
⎞ ⎟⎟⎠
=
3R2 d B 4 dt
第20、21章 电磁感应 电磁波
练习册·第20章 电磁感应·第8题
εbc
=
−
d ΦΔObc dt
= − d [− π R2
dt 12
B] =
π R2
12
解：根据充电方向知Æ极板间场 强竖直向下。
由于充电电流 i 的增加 dD向下且
变大。
dt
+i
P⊗H E
−
由方向成右手螺 旋定则。
电磁场与电磁波习题+问题课(一)
1.16(P32)：已知)2()()(222xyz czx z z e by xy e axz x e E z y x -+-++++=，试确定常数a 、b 、c使E为无源场。
（知识点：无散场定义（散度为0的矢量场为无散场）；散度计算：zE y E x E E zy x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ 。
关键点：无源场就是无散场，这里的源指通量源。
相关拓展：无散场又称无源场，无旋场又称保守场，无旋无散场又称调和场。
）解：zxyz czx z z y by xy x axz x z E y E x E E z y x ∂-+-∂+∂+∂+∂+∂=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)2()()(222 cxz b az x xyxc z b xy az x +-+++=-+-++++=21222122若E 为无源场，即E无无散场：0=⋅∇E有2,1,201,02,02-=-==⇒=+=-=+c b a b a c因此在2,1,2-=-==c b a 时E为无源场。
)1()2()2(++-++=b z a x c1.18(P32)：（1）求矢量32222224z y x e y x e x e A zy x ++=的散度；（2）求A ⋅∇对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对立方体表面的积分，验证散度定理。
（知识点：散度计算zE y E x E E zy x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ ；散度定理：V E S E SVd d ⎰⎰⋅∇=⋅;体积分和面积分。
注意：“A对立方体表面的积分”只能积分求得，不能用散度定理来求。
因为题目的要求是要验证散度定理。
）解：（1）矢量A的散度：z A y A x A A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ zz y x y y x x x ∂∂+∂∂+∂∂=32222224 22227222z y x y x x ++=（2）A⋅∇对中心在原点的一个单位立方体的积分(3) A对立方体表面的积分241d d d )7222(d )7222(d 21212121212122222222=++=++=⋅∇⎰⎰⎰⎰⎰---zy x z y x y x x V z y x y x x V A VV241d d 21d d 21d d 21d d 21d d )2124d d )2124d d d d d d d 212121212212121212212121212221212121222121212132221212121322=--+--+--=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------------z y z y z x x z x x y x y x y x y x SA S A S A S A S A S A S A S S S S S S S）（）（）（）（（（后前右左下上即有V A S A SVd d ⎰⎰⋅∇=⋅，得证散度定理。
时变电磁场习题课.
0
H y t
E0 sin(t z)
Hy
E0 0
cos(t
z)
H
ey
E0 0
cos(t
z)
例3、在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的
电磁波，已知其电场强度为
E
ey E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
式中k为常数，求：（1）磁场强度；（2）两导体表面的面电流
密度。
解：（1）磁场强度
例2 已知在无源的自由空间中，
E exE0 cos(t z)
其中E0、β为常数，求 H。
解：无源即所研究区域内没有场源电流和电荷，J =0, ρ =0。
ex ey ez
E x
y
z
0
H t
Ex 0 0
ey
E0
sin
t
z
0
t
(ex Hx
ey
H
y
ez
Hz
)
由上式可以写出：
Hx 0, Hz 0
磁场强度和坡印廷矢量
例 1、 在无源的自由空间中，已知磁场强度
H ey 2.63105 cos(3109t 10z) (A/ m)
求位移电流密度JD 。
解：无源的自由空间中J = 0, 由
D H t JD
ex ey
ez
JD
D t
H
x
y
z
ex
H y z
0 Hy(z) 0
ex 2.63104 sin(3109 t 10z) ( A / m2 )
( E) 2E H t
H E E
t
E 0
所以，电场强度满足的波动方程为
电磁场理论课后习题1答案
电磁场理论课后习题1答案电磁场理论是物理学中的重要课程，它研究了电磁场的产生、传播和相互作用。
在学习这门课程时，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
本文将针对电磁场理论课后习题1给出详细的解答。
习题1：一个带电粒子在电磁场中运动，受到的洛伦兹力为F=q(E+v×B)，其中q是粒子的电荷量，E是电场强度，v是粒子的速度，B是磁感应强度。
请证明：洛伦兹力对粒子所做的功率为P=qv·E。
解答：根据洛伦兹力的表达式F=q(E+v×B)，我们可以将其展开为F=qE+qv×B。
其中第一项qE表示粒子在电场中受到的电力，第二项qv×B表示粒子在磁场中受到的磁力。
根据功率的定义，功率P等于力F对时间t的导数，即P=dW/dt，其中W表示对物体所做的功。
所以我们需要计算洛伦兹力对粒子所做的功。
根据力的功的定义，功W等于力F对位移的积分，即W=∫F·ds。
在这里，位移ds是粒子在运动过程中的微小位移。
将洛伦兹力F=qE+qv×B代入功的计算式中，得到W=∫(qE+qv×B)·ds。
由于电场强度E和磁感应强度B是空间中的矢量场，所以我们可以将其展开为E=E_xi+E_yj+E_zk和B=B_xi+B_yj+B_zk的形式。
对于微小位移ds，我们可以将其表示为ds=dx·i+dy·j+dz·k。
将上述表达式代入功的计算式中，得到W=∫(q(E_xi+E_yj+E_zk)+q(v_xi+v_yj+v_zk)×(B_xi+B_yj+B_zk))·(dx·i+dy·j+dz·k)。
根据矢量积的性质，可以得到v×B=(v_yB_z-v_zB_y)i-(v_xB_z-v_zB_x)j+(v_xB_y-v_yB_x)k。
将其代入功的计算式中，得到W=∫(q(E_xi+E_yj+E_zk)+q((v_yB_z-v_zB_y)i-(v_xB_z-v_zB_x)j+(v_xB_y-v_yB_x)k))·(dx·i+dy·j+dz·k)。
大学物理第9章 电磁感应和电磁场 课后习题及答案
第9章 电稳感应和电磁场 习题及答案1. 通过某回路的磁场与线圈平面垂直指向纸面内，磁通量按以下关系变化：23(65)10t t Wb -Φ=++⨯。
求2t s =时，回路中感应电动势的大小和方向。
解：310)62(-⨯+-=Φ-=t dtd ε当s t 2=时，V 01.0-=ε由楞次定律知，感应电动势方向为逆时针方向2. 长度为l 的金属杆ab 以速率υ在导电轨道abcd 上平行移动。
已知导轨处于均匀磁场B中，B 的方向与回路的法线成60°角，如图所示，B 的大小为B =kt (k 为正常数)。
设0=t 时杆位于cd 处，求：任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向。
解：任意时刻通过通过回路面积的磁通量为202160cos t kl t Bl S d B m υυ==⋅=Φ导线回路中感应电动势为 t kl tmυε-=Φ-=d d 方向沿abcda 方向。
3. 如图所示，一边长为a ，总电阻为R 的正方形导体框固定于一空间非均匀磁场中，磁场方向垂直于纸面向外，其大小沿x 方向变化，且)1(x k B +=，0>k 。
求： （1）穿过正方形线框的磁通量；（2）当k 随时间t 按t k t k 0)(=(0k 为正值常量)变化时，线框中感生电流的大小和方向。
解：（1）通过正方形线框的磁通量为⎰⎰=⋅=Φa S Badx S d B 0 ⎰+=a dx x ak 0)1()211(2a k a +=（2）当t k k 0=时，通过正方形线框的磁通量为)211(02a t k a +=Φ 正方形线框中感应电动势的大小为dt d Φ=ε)211(02a k a += 正方形线框线框中电流大小为)211(02a R k a R I +==ε，方向：顺时针方向4.如图所示，一矩形线圈与载有电流t I I ωcos 0=长直导线共面。
设线圈的长为b ，宽为a ；0=t 时，线圈的AD 边与长直导线重合；线圈以匀速度υ垂直离开导线。
习题课：带电粒子在电磁场中的运动
（１）若粒子的初速度方向与ｙ轴正向夹角为６０°， 且粒子不经过圆形区域就能到达Ｂ点，求粒子的初速度 大小ｖ１；
r1 sin 30 r1 3a
0
r1 2a
2qBa v1 m
600
v12 qv1 B m r1
（２）若粒子的初速度方向与ｙ轴正向夹角为６０°， m t 在磁场中运动的时间为 ，且粒子也能到达Ｂ点， 3qB 求粒子的初速度大小ｖ２； t 1 2m T T 6 qB
【例16】如图所示,在x-o-y坐标系中,以(r,0)为圆心、r为 半径的圆形区域内存在匀强磁场,磁场的磁感应强度大 小为B,方向垂直于纸面向里.在y>r的足够大的区域内,存 在沿y轴负方向的匀强电场,场强大小为E.从O点以相同 速率向不同方向发射质子,质子的运动轨迹均在纸面内, 且质子在磁场中运动的轨迹半径也为r.已知质子的电荷 量为q,质量为m,不计质子所受重力及质子间相互作用力 的影响. ⑬若质子沿与x轴正方向成夹角θ的方向从O点射入第一 象限的磁场中,求质子在磁场中运动的总时间.
6.隐形磁场边界：
【例10】一匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy 平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一 个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运 动，初速为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上 的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距 离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感强 度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。
【例15】如图甲所示，在第Ⅱ象限内有水平向右的匀 强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在 如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等．有一个 带电粒子以垂直于x轴的初速度v0从x轴上的P点进入 匀强电场中，并且恰好与y轴的正方向成45°角进入 磁场，又恰好垂直进入第Ⅳ象限的磁场．已知OP之 间的距离为d，则带电粒子在磁场中第二次经过x轴时， 求在电场和磁场中运动的总时间.
高二物理竞赛习题课件：电磁场(240张PPT)
E = /2O = Q/2OS 故两板间相互作用力为：
F = oQ Edq = oQ Q/2OS dq = Q2/2OS 答案 (D)
9-2 在真空中一长为 L 的细棒，棒上均匀分 布着电荷，其电荷线密度为+。在棒的延长 线上，距棒的一端距离为 d 的一点上，有一 电量为 +qo的点电荷，如图所示，试求该点 电荷所受的电场力。
线上，距棒的一端距离为 d 的一点上，有一
电量为 +qo的点电荷，如图所示，试求该点
电荷所受的电场力。
dx
解：dq = dx，
qo
x
dE =dx/4O (d+x)2 dE
do
L
x
9-2 在真空中一长为 L 的细棒，棒上均匀分
布着电荷，其电荷线密度为+。在棒的延长
线上，距棒的一端距离为 d 的一点上，有一
E = /2O
9-1 真空中平行放置两块大金属平板，板面 积均为 S，板间距离为 d (d 远小于板面线度) ，板上分别带电量+Q 和 -Q，则两板间相互 作用力为
(A) Q2/4Od2 (B) Q2/OS2
(C) Q2/OS
(D) Q2/2OS
解：一块带电大金属平板产生的电场为：
E = /2O = Q/2OS
设无穷远处为电势零点
点电荷： U =q/4Or 连续带电体： U = dq/4Or 熟记：点、环、球面等电势公式
3、电场强度与电势之间的关系
积分关系：UP
=
P
E•dl
微分关系：E = - g rad U
4、电势差：UAB =UA - UB = AB E•dl
2、电势 U （等势面描述）
设无穷远处为电势零点
电磁场与电磁波课后习题及答案三章习题解答
电磁场与电磁波课后习题及答案三章习题解答三章习题解答3.1 真空中半径为a 的⼀个球⾯，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球⾚道平⾯上电通密度的通量Φ(如题3.1图所⽰)。
解由点电荷q 和q -共同产⽣的电通密度为33[]4q R R π+-+-=-=R R D 22322232()(){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球⾚道平⾯上电通密度的通量d d zz SSS Φ====??D S D e22322232()[]2d 4()()aq a ar r r a r a ππ--=++? 22121)0.293()aqaq q r a =-=-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使⽤的是半径为a r 的球体原⼦模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电⼦云，在球⼼有⼀正电荷Ze （Z 是原⼦序数，e 是质⼦电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314ra Ze r r r π??=-D e ，试证明之。
解位于球⼼的正电荷Ze 球体内产⽣的电通量密度为 124rZer π=D e 原⼦内电⼦云的电荷体密度为 333434a a Ze Zer r ρππ=-=- 电⼦云在原⼦内产⽣的电通量密度则为 32234344r ra r Ze rr r ρπππ==-D e e题3.1 图题3. 3图()a故原⼦内总的电通量密度为 122314ra Ze r r r π??=+=-D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱⾯间的区域中，体密度为30C m ρ, 两圆柱⾯半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所⽰。
求空间各部分的电场。
解由于两圆柱⾯间的电荷不是轴对称分布，不能直接⽤⾼斯定律求解。
但可把半径为a 的⼩圆柱⾯内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，⽽在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所⽰。
大学物理习题参考解答上电磁场理论_电磁感应习题课
的感应电动势，并判断感应电流的方向。
选取逆时针为回路绕行正方向，长圆柱外的磁场为零。
穿过回路 abcd 的磁通量为穿过图中面积 S 的磁通量：
B
(
1 2
R2
)
B
(
1 2
ab
Oa
cos
1 2
)
B
(
1 2
R2
)
1 2
B
(Oa 2
sin
)
6
R2B
3 Oa2B 4
根据法拉第电磁感应定律： Ei
d dt
计算题_18 图示
填空题_09 图示
10. 如图所示为一充电后的平行板电容器， A 板带正电， B 板带负电，当将开关 K 合上时， AB 板 之间的电场方向为 x 轴的正方向，位移电流的方向为 x 轴的负方向。 (按图所标 x 轴正方向来回答)
填空题_10 图示
填空题_11 图示
11. 如图所示， (1) 中是充电后切断电源的平行板电容器； (2) 中是一直与电源相接的电容器，当两
极板间距离相互靠近或分离时，试判断两种情况的极板间有无位移电流，并说明原因。
(1) 中：无位移电流，因为极板上的电荷分布不变，电场不随时间变化； (2) 中：在两极板间距离相互靠近或分离时，均有位移电流。因为在保持极板两端的电压不变
的前提下，极板距离的变化引起电容的变化和极板上电荷的变化，因此极板间的电场发生变化。位
S
D
dS
V
dV
，
L
E
dl
S
B t
dS
，
S
B
dS
0
，
J
D t
)
dS
四 计算题
高等电磁场理论课后习题答案
1.5Use the results obtained in Problem 1.4and show thatwhere R '=-r r .证明：223000211ˆlim lim lim 4411R 0(')4V R R V S dV d R R R R R ππδπ→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇=∇⋅=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∇≠-- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰R S R r r 推导1又知道在处值为零，符合函数的定义。
3020(')1(')44(')14(')q qq R R q R δπεπδπδε-⎛⎫=-=∇ ⎪⎝⎭-⎛⎫∇⋅==>∇=-- ⎪⎝⎭r r E r r r r E r r 推导2点电荷产生的电场强度为1.6Consider a wire C carrying a static electric currentI .Using Equations2.1.13and 2.1.18,derive Biot –Savart ’s law given bywhere '=-R r r and d l ′points in the direction of the current flow.解：000000033d d d ()4π4π4πd d 1()()d 4π4π4πd d 4π4πV V C C C C C C V Sdl I R R RI I I R R RI I R R μμμμμμμμ'==='''=∇⨯=∇⨯=∇⨯=∇⨯'-⨯'=⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰J J l A r l l B r A r l l l R R证明：2()()∇=∇∇⋅-∇⨯∇⨯E E E （1）()[]()(2)(3)0(4)()0(5)j j ωεωμμε∇⨯=⎧⎪∇⨯=-⎪⎨∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩H r E E H H r E 由(5)式可推出：[]()()()0εεε∇⋅=∇⋅+⋅∇=r E r E E r ，即：()ln ()()r r εεε⋅∇∇⋅=-=-⋅∇E E E r (6)由（2）(3)两式可得：22)()k ωμε∇⨯∇⨯==E (r E r E ,在利用性质(1)式，并将(6)的结果代入，可得22(ln ())()r k ε∇-⋅∇-∇=E E r E ，整理后为：[]22()ln ()0k r ε∇++∇⋅∇=E r E E 2.7解：222220(1)00()()0(2)j j k k k ωεωμ∇⨯=⎧⎪∇⨯=-⎪=>∇⨯∇⨯-=⎨∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩∇=∇∇⋅-∇⨯∇⨯=-=>∇+=H E E H E E H E E E E E E E 比如jkzz e -=E e 就是满足方程2，但不满足方程12.11解：沿z 轴放置的电偶极子的辐射远场为j j sin j e 4πsin j e 4πk r k rIlk E r Ilk H r θφηθθ--⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩通过坐标旋转，（过程略）可得沿x 轴放置的电偶极子的辐射远场为()()()()cos cos sin 4jkrr k e j Il r θφηθφφπη-⎧=⋅-⋅+⋅⎪⎪⎨⨯⎪=⎪⎩E r e e e E r H r 3.1解：由题意，镜像电流的分布如下。
电磁场与电磁波课后习题及答案
电磁场与电磁波课后习题解答给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C 和()⨯A B C ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。
解 （1）2222314141412(3)A x y z+-===-++-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 6453x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11（4）由 cos AB θ=1417238==⨯A B A B ，得 1cos AB θ-=(135.5238= （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ=17=-A B B （6）⨯=A C 123502xy z-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502x yz-=-e e e 8520x y z ++e e e ⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502x y z---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520x y z -=e e e 554411x y z --e e e三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。
工程电磁场课程习题
S 0 x0 C2 0a
S 0 x0 D2 0
所以
S 0 a x0 1 x x 0a
S 0 x0 a x 2 x 0a
E1 1 x i
0 x x0
x0 x a
0 x x0
P(r)
a
O
r
R Q d
q’
b
则球外空间任意点 P( x, y, z ) 处电位为：
Q 1 a 4 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 a 4 / d 2 2r (a 2 / d ) cos (r a)
导体球接地，因此球内空间电位为0。 0 (r a) 电荷 Q 受静电力为：
而在径向分界面上，由导体表面边界条件可知
s D n Dn Dr
所以根据在 r a 的导体表面边界条件，求得内导体表面单位 长度上的总电荷量为
Q s1a(2 0 ) s 2 a0 D1r a(2 0 ) D2 r a0
2 0 0 0 Ua 2 0 a 0 0U U b b b b a ln a ln ln ln a a a a
2 x 1 x S0 x x x0 0 x
于是有
，
，
得到
D1 0 C2 a D2 0 C1 x0 D1 C 2 x0 D2 C 2 C1 S 0 0 S 0 x0 a C1 D1 0 0a
r0 r 1 Q P P 2 0 r 4 r 介质外： r > b
习题课 电磁场
J
2 B1 dl B1 2 r 0 r J
1 B1 0 rJ 2
磁介质
R2
I
导体
R1
解：在以圆柱轴线为对称轴的圆周上， 各处磁场强度大小相等且沿圆周切线方向。 应用H的安培环路定理
H dl 2 rH I 0
L
R2
I
磁介质 导体
R1
在导体内 r R1
r2 r2 I0 I R2 I R2 1 1
r 2 rH I 2 (r R1 ), R1
I
O
L
方向垂直于圆电流和环路 L 所在平面， 方向向里。故A后半部分错，B对。
10．在一载流螺线管外， 做一平面圆回路 L ， I 且其平面垂直于螺线管的轴， 圆心在轴上。 B dl 则环路积分 L 等于多少?
B dl 0 有人说，
I
L
， L 有人根据安培环路定理认为 B dl 0 I ， L 究竟哪种说法 正确? 答：密绕的无限长螺线管，常用紧密排列的封闭 圆电流组来近似，因而管内 B 0nI ，管外 B 0 。 所以，紧密排列的封闭圆电流组产生的磁场中， 在管外绕一周，积分
例2.四条平行的无限长直导线， 垂直通过边长为 a 20cm 正方形顶点， 每条导线中的电流都是
I 20 A，这四条导线
]。
在正方形中心点 O 产生的磁感应强度为[ A. B 0.8 104 T B. B 1.6 104 T C.
B0
a
O
D. B 0.4 104 T
I
I
dB
y
dI
I
I I dI Rd d R
R
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一、位移电流1. 求下列情况下的位移电流密度的大小： （1）某移动天线发射的电磁波的磁场强度()80.15cos 9.3610 3.12A/m x t y =⨯-H e ；（2）一大功率变压器在空气中产生的磁感应强度()260.8cos 3.7710 1.2610T y t x -=⨯-⨯B e ；（3）一大功率电容器在填充的油中产生的电场强度()260.9cos 3.7710 2.8110MV/m x t z -=⨯-⨯E e设油的相对介电常数5r ε=；（4）工频()50Hz f =下的金属导体中，()2sin 377117.1MA/m x t z =⨯-J e ，设金属导体的700,, 5.810S/m εεμμσ===⨯。
解 （1）由t∂∇⨯=∂D H 得 ()()88200.15cos 9.3610 3.120.468sin 9.3610 3.12A/m xy zx d z x zz H t xy z y H t y y t y ∂∂∂∂∂==∇⨯==-=∂∂∂∂∂∂⎡⎤-⨯-=⎣⎦∂-⨯-e e e D J H e e e故20.468A/m d =J（2）由0,tμ∂∇⨯==∂DH B H 得 ()()0002602621110010.8cos 3.7710 1.26100.802sin 3.7710 1.2610A/m xy z yd z yzz B t xy z x B t x x t x μμμμ--∂∂∂∂∂==∇⨯===∂∂∂∂∂∂⎡⎤⨯-⨯=⎣⎦∂⨯-⨯e e e D J B e e e故20.802A/m d =J（3） ()6260050.910cos 3.7710 2.8110r x t z εεε-⎡⎤==⨯⨯-⨯=⎣⎦D E e()1262658.85100.910cos 3.7710 2.8110x t z --⨯⨯⨯⨯⨯-⨯e()32621510sin 3.7710 2.8110A/m d x t z t--∂==-⨯⨯-⨯∂DJ e 故321510A/m d -=⨯J（4） ()67110sin 377117.15.810xt z σ==-=⨯JE e ()21.7210sin 377117.1V/m x t z -⨯-e ()()()122141228.8510 1.7210sin 377117.115.2610377cos 377117.157.5310cos 377117.1A/m x d x x t z t z tt z ε----==⨯⨯⨯-∂==⨯⨯-=∂⨯-D E e DJ e e 故12257.5310A/m d -=⨯J二、麦克斯韦方程组的直接应用1. 由置于3mm ρ=和10mm ρ=的导体圆柱面和z =0、z =20cm 的导体平面围成的圆柱形空间内充满116410F/m, 2.510H/m,0εμσ--=⨯=⨯=的媒质。
若设定媒质中的磁场强度为2cos10cos A/m z tφπωρ=H e ，利用麦克斯韦方程求：（1）ω；（2）E 。
解 （1）将题设的H 代入方程tε∂∇⨯=∂EH ，得 ()12cos10cos 210sin10cos z H H z t z z E z t tφρφρρρρρπωρρρππωερ∂⎛⎫⎛⎫∂∂∇⨯=-+=- ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂⨯==∂H e e e e e对时间t 积分，得12020sin10cos d sin10sin E z t t z t ρπππωπωερεωρ==⎰将E ρρ=E e 代入方程t μ∂∇⨯=-∂HE ，得 220sin10sin 200cos10sin E z t z z H z t tρφφφφφππωεωρππωμεωρ∂⎛⎫∂∇⨯== ⎪∂∂⎝⎭∂==∂E e e e e对时间t 积分，得222200200cos10sin d cos10cos H z t t z t φπππωπωμεωρμεωρ=-=⎰将上式与题设的2cos10cos H z t φπωρ=对比，得222218611100100102.510410ππωπμε--===⨯⨯⨯⨯ 故910rad/s ωπ=⨯（2）将91110rad/s,=410F/m ωπε-=⨯⨯代入20sin10sin E z t ρππωεωρ=中，得()()91193920sin10sin 104101010sin10sin 10V/m2z t z t ρρπππρπρ-=⨯⨯⨯=E e e三、边界条件的应用1. 媒质1的电参数为10101420εεμμσ===、、；媒质2的电参数为202εε=、20230μμσ==、。
两种媒质分界面上的法向单位矢量为0.640.60.48n x y z =+-e e e e ，由媒质2指向媒质1。
若已知媒质1内邻近分界面上的点P 处()23sin300T x y z t =-+B e e e ，求P 点处下列量的大小：()11n B ；()12t B ；()23n B ；()24t B 。
解:（1）1B 在分界面法线方向的分量为()()11230.640.60.480.64 1.2 1.442Tn n x y z x y z B ==-++-=--=B e e e e e e e（2） 222221111232 3.16T t n B B B =-=++-=（3）利用磁场边界条件，得TB B n n 221==（4）利用磁场边界条件，得0221103 3.16 4.74T 2t t B B μμμμ==⨯=t t H H 21=四、静电场与恒定电场1. 如图所示，一半径为a 、带电量q 的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的电容率分别为1ε和2ε，分界面为无限大平面。
求：（1）导体球的电容；（2） 总的静电能量。
解 （1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上12t t E E =，故有 12E E E ==。
由于111D E ε=、222D E ε=，所以12D D ≠。
由高斯定理，得到1122D S D S q +=即 221222r E r E q πεπε+= 所以 2122()q E r πεε=+导体球的电位2121()d d 2()aa q a E r r r ϕπεε∞∞===+⎰⎰122()qaπεε+ 故导体球的电容122()()qC a a πεεϕ==+ （2） 总的静电能量为2121()24()e q W q a aϕπεε==+2. 同心球形电容器的内导体半径为a ，外导体内半径为b ，其间填充介电常数与电导率分别为1ε 、1γ和2ε、2γ的两种有损耗介质，如例图所示。
若内外导体之间外加电压0U 。
求：（1）介质中的电场和电流分布；（2）电容器的漏电阻；（3）电容器的损耗功率。
解 （1）设由内导体流向外导体的径向电流为I ，则由d SI ⋅=⎰J S ，a2ε1εoq题 3.33图a b 1,1εγ2,2εγ 0U可得221222J r J r I ππ+=在两种介质的分界面上，电场与分界面平行。
根据边界条件12t t E E =，可知12E E E ==。
由于111J E γ=，222J E γ=，所以2122()r E I πγγ+= 即 2122()IE r πγγ=+ ()a r b <<又 0d baU E r ==⎰2121d 2()ba Ir rπγγ=+⎰12()2()b a I ab πγγ-+ 所以1202()abU I b aπγγ+=-故2()abU E b a r =- ()a r b <<10112()ab U J E b a r γγ==- ()a r b <<20222()ab U J E b a r γγ==- ()a r b << （2）电容器的漏电阻为0122()U b aR I abπγγ-==+ （3）电容器的损耗功率为212002()abU P IU b aπγγ+==-耗五、恒定磁场1. 真空中有一厚度为2d 的无限大载流块，电流密度为0z J =J e ，在其中心位置有一半径为a )(d a <的圆柱形空腔，如例图所示。
求空腔内的磁感应强度。
解 设空腔中同时存在有密度为0z J ±e 的两种电流分布，则可用安培环路定理和叠加原理来求出空腔内的磁感应强度电流密度为0z J e 的无限大均匀载流块产生的磁感应强度为100y J x μ=B e (x <d ) 电流密度为0z J -e 的无限长均匀载流圆柱产生的磁感应强度为d d a J xyo002()2x y J y x μ=-B e e 222()x y a +<根据叠加原理得到空腔内的磁感应强度为0012()2x y J y x μ=+=+B B B e e 222()x y a +<2. 如图所示，无限长直导体圆柱由电导率不相同的两层导体构成，内层导体的半径m m 21=a ，电导率7110S m γ=；外层导体的外半径m m 32=a ，电导率2γ=7410S m ⨯。
导体圆柱中沿轴线方向流过的电流为A I 100=，求导体圆柱内、外的磁感应强度B 。
解 电流沿轴线方向流动，则导体圆柱内的电场也沿轴线方向，根据边界条件，应有21E E =，则两层导体中的电流密度1J 和2J 不相同。
由11d S I J S =⎰22d S J S +=⎰22211212()a J a a J ππ+-利用111J E γ=、222J E γ=以及E E E ==21，有22211212[()]I a a a E πγπγ=+- 于是得到22211212()IE a a a πγπγ=+- 故有111122211212()I J E a a a γγπγπγ==+-27m A 12105π⨯= 222222211212()I J E a a a γγπγπγ==+-27m A 3105π⨯= 利用安培环路定律，当1a r <时，有21012rB r J φππμ=所以10110.833T 2B J r r φμ== 当21a r a <<时，有2222011122[()]rB a J r a J φπμππ=+-所以2011222()[]2a J J B J r r φμ-=+=51010T 3r r--当2a r >时，有II2γ1γ 1a2a例5.1图503210T 2I B r rφμπ-⨯==3, 同轴线的内导体是半径为a 的圆柱，外导体是半径为b 的薄圆柱面，其厚度可忽略不计。