数学分析课本(华师大三版)-习题及答案02

第二章 数列极限

习题

§1数列极限概念

1、设n a =n

n

)1(1-+，n=1，2，…，a=0。

（1）对下列ε分别求出极限定义中相应的N ： 1ε=0.1，2ε=0.01，3ε=0.001；

（2）对1ε，2ε，3ε可找到相应的N ，这是否证明了n a 趋于0？应该怎样做才对； （3）对给定的ε是否只能找到一个N ？ 2、按ε—N 定义证明：

（1）∞→n lim 1+n n =1；（2）∞→n lim 2

3

12322=-+n n n ；（3）∞→n lim n n n !；

（4）∞

→n lim sin

n π=0；（5）∞→n lim n a

n

=0（a >0）。

3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列： （1）∞

→n lim

n

1；（2）∞

→n lim

n

3；

（3）∞

→n lim 31n ；（4）∞→n lim n 3

1

； （5）∞

→n lim

n

2

1；（6）∞

→n lim

n

10；

（7）∞→n lim n

2

1。

4、证明：若∞

→n lim n a = a ，则对任一正整数k ，有∞

→n lim k n a += a 。

5、试用定义1'证明： （1）数列{

n

1

}不以1为极限；（2）数列{n n )1(-}发散。 6、证明定理2.1，并应用它证明数列{n

n

)1(1-+}的极限是1。

7、证明：若∞

→n lim n a = a ，则∞

→n lim |n a |= |a|。当且仅当a 为何值时反之也成立？

8、按ε—N 定义证明： （1）∞

→n lim )1(n n -+=0；

（2）∞

→n lim

3

321n n

++++ =0；

（3）∞

→n lim n a =1，其中

,1

n

n -n 为偶数， n a =

n

n

n +2，n 为奇数。

§2收敛数列的性质

1、求下列极限：

（1）∞→n lim 32413323++++n n n n ；（2）∞→n lim 2

21n n +；（3）∞→n lim 113)2(3)2(+++-+-n n n

n ；

（4）∞

→n lim )(2n n n -+；（5）∞

→n lim )1021(n n n +++ ；

（6）∞→n lim n n

3

1

313121

2

12122++++++ 。 2、设∞

→n lim n a = a ，∞

→n lim n b = b ，且a N 时有n a

3、设{n a }为无穷小数列，{n b }为有界数列，证明：{n a n b }为无穷小数列。

4、求下列极限： （1）∞

→n lim ))

1(1

321211(

+++⋅+⋅n n ； （2）∞

→n lim )2222(284n ；

（3）∞

→n lim )2

122321(2n n -+++

； （4）∞

→n lim

n

n

11-

； （5）∞

→n lim ))

2(1)1(11(

222n n n ++++ ； （6）∞

→n lim )12

11

1(

2

2

2

n

n n n ++

+++

+ 。

5、设{n a }与{n b }中一个是收敛数列，另一个是发散数列。证明{n a ±n b }是发散数列，又问{n a n b }和{

n

b a }（n b ≠0）是否必为发散数列？

6、证明以下数列发散：

（1）{1)

1(+-n n n

}；（2）{n

n )1(-}；（3）{4

cos πn }。 7、判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）： （1）若{12-k a }和{k a 2}都收敛，则{n a }收敛；

（2）若{23-k a }，{13-k a }和{k a 3}都收敛，且有相同极限，则{n a }收敛 8、求下列极限： （1）∞

→n lim

n

n 2124321- ； （2）∞

→n lim

!

!

1

n p n

p ∑=；

（3）∞

→n lim 10],)1[(<<-+αααn n ；

（4）∞

→n lim 1||),1()1)(1(22<+++ααααn

。

9、设m a a a ,,,21 为m 个正数，证明： ∞

→n lim

n

n

m n n a a a ++21=max{m a a a ,,,21 }。

10、设∞

→n lim n a = a 。证明：

（1）∞

→n lim

n

na n ]

[= a ； （2）若a >0，n a >0，则∞

→n lim n

n a =1。

§3数列极限存在的条件

1、利用∞

→n lim n

n

)11(+

= e 求下列极限： （1）∞→n lim n

n

)1

1(-； （2）∞→n lim 1

)11(++n n

；

（3）∞→n lim n n )111(++

； （4）∞→n lim n n

)21

1(+； （5）∞→n lim n

n

)11(2+。

2、试问下面的解题方法是否正确： 求∞

→n lim n

2。

解：设n a =n

2及lim n a = a 。由于n a = 21-n a ，两边取极限（n →∞）得a = 2 a ，所以