数学分析试题及答案解析

2014 ---2015学年度第二学期《数学分析2》A 试卷一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()⎰dx x f 可表为()C dt t f xa+⎰（ ）.2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]⎰⎰⎰⋅=dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()⎰+∞adx x f 绝对收敛，()⎰+∞adx x g 条件收敛，则()()⎰+∞-adx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()⎰+∞1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1n n f 收敛（ ）5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）.6. 若数项级数∑∞=1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（ ）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分）1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()⎰ax dx x f 在[]b a ,上（ ）A.不连续B. 连续C.可微D.不能确定2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（ ）A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积；B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()⎰⎰≠babadx x g dx x f ；C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()⎰⎰=bab adx x g dx x f ；D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.3.级数()∑∞=--+12111n n n nA.发散B.绝对收敛C.条件收敛D. 不确定4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑nu 一定收敛；B. 若1lim1<=+∞→ρnn n u u ，则级数∑n u 一定收敛；C. 若1,1<>∃+n n u uN n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛；D. 若1,1>>∃+n n u uN n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散；5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题5分，共10分）1. ()()()n n n n n n n +++∞→Λ211lim2. ()⎰dx xx 2cos sin ln四. 判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx xx x ⎰∞+++-021132.∑∞=1!n nnn 3. ()nnn nn21211+-∑∞=五. 判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分）1.()()+∞∞-===,,2,1,sin D n nnxx f n Λ2. (][)∞+⋃-∞-=∑,22,2D xn n六．已知一圆柱体的的半径为R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

（本题满10分）七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。

(本题满分10分)八. 证明：函数()∑=3cos nnxx f 在()∞+∞-,上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分）2014 ---2015学年度第二学期《数学分析2》B 卷 • 答案学院 班级 学号（后两位） 姓名一、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.✘2.✔3.✘4. ✔5. ✔6. ✔7. ✔ 二.单项选择题（每小题3分，共15分） 1. B ; 2.C ; 3.A ; 4.D; 5.B 三.求值与计算题（每小题5分，共10分）1.dx ex x x xnn ⎰+∞→310223sin lim解：由于⎰⎰≤+≤310310223sin 0dx x dx e x x x n xn-------------------------3分而03111limlim 131=+=+∞→∞→⎰n n n n n dx x---------------------------------4分故由数列极限的迫敛性得：0sin lim31223=+⎰∞→dx ex x x xnn-------------------------------------5分 2. 设()x x x f sin sin 2=，求()dx x f xx ⎰-1 解：令 t x 2sin = 得()dx x f xx ⎰-1=()()t d t f tt 2222sin sin sin 1sin ⎰-----------------2分=tdt t ttt t cos sin 2sin cos sin ⎰=⎰tdt t sin 2-----------------------------------4分=2cos 2sin t t t C -++=C ----------------5分四.判别敛散性（每小题5分，共10分）1.dx xx ⎰-121arctan解：()241arctan lim1arctan 1lim 012211π=+=---→-→xx xx x x x Θ-------3分且 121<=p ，∴由柯西判别法知， 瑕积分 dx xx ⎰-121arctan 收敛 -------------------------5分2.()∑∞=2ln ln 1n nn解：时当00,,ln lim n n N n n n >∈∃+∞=+∞→Θ有 2ln e n > -----------------------------2分从而 当0n n >()2ln 1ln 1nn n<-------------------------------4分由比较判别法 ()∑∞=2ln ln 1n nn 收敛----------------------------5分五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分）1. ()()∞+==+=,0,2,1,12D n n x x f n Λ解：极限函数为()()D x x x f x f n n ∈==∞→lim -----------------------2分又 ()()nx nx n x nx x f x f n 11/11222<++=-+=---------3分 ()()10sup n x Df x f x n∈∴<-≤从而0sup lim =-∴∞→f f n n故知 该函数列在D 上一致收敛. -------------------------5分2. ]1,1[,3sin 2-=∑D x nn解：因当 D x ∈ 时，()nn n n x x u ⎪⎭⎫⎝⎛≤=323sin 2--------------2分而 正项级数 ∑⎪⎭⎫⎝⎛n32收敛， -----------------------------4分由优级数判别法知，该函数列在D 上一致收敛.-------------5分 3. ()()∑+∞∞-=+-,,12D nx n解：易知，级数()∑-n1的部分和序列{}n S 一致有界，---2分 而 对()nx x V D x n +=∈∀21, 是单调的，又由于()()∞→→≤+=∈∀n nn x x V D x n 011,2，------------------4分 所以()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=n x x v n 21在D 上一致收敛于0，从而由狄利克雷判别法可知，该级数在D 上一致收敛。

------5分六. 设平面区域D 是由圆222=+y x ，抛物线2x y =及x 轴所围第一象限部分，求由D 绕y 轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）解：解方程组⎩⎨⎧==+2222xy y x 得圆222=+y x 与抛物线2x y =在第一象限 的交点坐标为：()1,1， ---------------------------------------3分则所求旋转体得体积为：()⎰⎰--=1122ydy dy y V ππ -------------------------------7分=------------------ =76π ------------------------------------------------------10分 七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分）解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x 轴正向建立直角坐标系 则分析可知做功微元为：dx x xdx dW νπνπ2552=⋅⋅= --------------------------------5分 故所求为：⎰=10215dx x W νπ-------------------------------------8分 =1250πν=12250π（千焦）-----------------------------------10分八．设()()Λ2,1=n x u n 是],[b a 上的单调函数，证明：若()∑a u n 与()∑b u n 都绝对收敛，则()∑x u n 在],[b a 上绝对且一致收敛. （本题满分9分） 证明：()()Λ2,1=n x u n 是],[b a 上的单调函数，所以有()()()b u a u x u n n n +≤ ------------------------------4分又由()∑a u n 与()∑b u n 都绝对收敛，所以()()[]∑+b u a u nn收敛，--------------------------------------7分由优级数判别法知：()∑x u n在],[b a 上绝对且一致收敛.--------------------------------2013 ---2014学年度第二学期《数学分析2》A 试卷一. 判断题（每小题2分，共16分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若)(x f 在[a,b]上可导，则)(x f 在[a,b]上可积. ( )2.若函数)(x f 在[a,b]上有无穷多个间断点，则)(x f 在[a,b]上必不可积。