2007年浙江省高考数学试卷及答案(文科)

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2007年浙江省高考数学试卷及答案(文科)

绝密★考试结束前2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1•答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2•每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式台体的体积公式1 ___________V h（s .S1S2 S2）其中3 , S2分别表示台体的上、下面积，h表示台体的高柱体体积公式V Sh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高1锥体的体积公式V Sh其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高3球的表面积公式S 4 R2球的体积公式4 3V 4 R33其中R表示球的半径如果事件代B互斥，那么P(A B) P(A) P(B)A . 0.216B . 0.36C . 0.432D . 0.648.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 设全集 U {13,5,6,8} , A {1,6}, B{5,6,8}，则（站）口 B （）A . {6}B . {5,8}C . {6,}D . {3,5,6,8}2.已知COSn仝，且1n| ，则 tan( )222.3 A .B .C . ,3D . 33 33•“ x 1 ”是“ x 2 x ”的（）A.充分而不必要条件E.必要而不充分条件&甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为 “3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6，则本次比赛甲获胜的概率是（）C . 充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.直线x 2y1 0关于直线x 1对称的直线方程是（）A . x 2y 1 0 B. 2x y 1 0 C . 2x y 3 0D. x 2y 3使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（A .6B . 5C . 4D . 36 . x 911 展开式中的常数项是 x ( )A .36B .36C84 D . 7.若P 是两条异面直线 1, m 外的任意一点，则（A . 过点 P 有且仅有条直线与 1, m 都平行B . 过点 P 有且仅有条直线与 l , m 都垂直C . 过点 P 有且仅有条直线与l , m 都相交D .过点 P 有且仅有条直线与 l , m 都异面 84)9•若非零向量a, b 满足a b b ，则（ )A ・2b a 2b 2b|a 2bc.2a2a bD ・ 2a 2a b2 2xy 10・已知双曲线p 筈 1(a0,b 0）的左、右焦点分别为F 1, F 2, P 是准线上一点，a b且 PF 1 PF 2 ,PF 11 PF 2 4ab ，则双曲线的离心率是（)B^/3C ・2D. 3非选择题部分（共100 分）注意事项：1•用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2007年浙江省高考数学试题（文科）

2007年浙江省高考数学试题（文科）
佚名
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2007(000)008
【摘要】一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集 U={1,3,5,6,8},A={1,6},B={5,6,8},则(C_UA)∩B= ( )A.{6} B.{5,8} C.{6,8} D.{3,5,6,8}2.已知cos(π/2+φ)=(3^(1/2))/2,且|φ|<π/2,则tanφ= ( )A.-(3^(1/2))/2 B.(3^(1/2))/2 C.-3^(1/2) D.3^(1/2)【总页数】4页(P47-48,F0003,F0004)
【正文语种】中文
【中图分类】G4
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2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷一)及答案

2007年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设S={x|2x+1＞0}，T={x|3x﹣5＜0}，则S∩T=（）A．∅B．C．D．2．（5分）α是第四象限角，cosα=，则sinα=（）A．B．C．D．3．（5分）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．（5分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种6．（5分）下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）A．（0，2） B．（﹣2，0）C．（0，﹣2）D．（2，0）7．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．49．（5分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．（5分）函数y=2cos2x的一个单调增区间是（）A．B．C．D．11．（5分）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．12．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为．14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．15．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为．16．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．三、解答题（共6小题，满分80分）17．（10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．18．（12分）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率．19．（12分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（12分）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．21．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．22．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P （Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．2007年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）设S={x|2x+1＞0}，T={x|3x﹣5＜0}，则S∩T=（）A．∅B．C．D．【分析】集合S、T是一次不等式的解集，分别求出再求交集．【解答】解：S={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，T={x|3x﹣5＜0}={x|x＜}，则S∩T=，故选D．2．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）α是第四象限角，cosα=，则sinα=（）A．B．C．D．【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．【解答】解：∵α是第四象限角，∴sinα=，故选B．3．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种【分析】根据题意，先分析甲，有C42种，再分析乙、丙，有C43•C43种，进而由乘法原理计算可得答案．【解答】解；根据题意，甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，有C42种，乙、丙各选修3门，有C43•C43种，则不同的选修方案共有C42•C43•C43=96种，故选C．6．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）A．（0，2） B．（﹣2，0）C．（0，﹣2）D．（2，0）【分析】本题考查的是不等式所表示的平面区域内点所满足的条件的问题，解决此问题只需将点代入验证即可【解答】解：将四个点的坐标分别代入不等式组，解可得，满足条件的是（0，﹣2），故选C．7．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．4【分析】因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D9．（5分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g （x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g （x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=2cos2x的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】要进行有关三角函数性质的运算，必须把三角函数式变为y=Asin（ωx+φ）的形式，要先把函数式降幂，降幂用二倍角公式．【解答】解：函数y=2cos2x=1+cos2x，由﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，解得﹣π+kπ≤x≤kπ，k为整数，∴k=1即有它的一个单调增区是，故选D．11．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．【分析】（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在P（x0，y0）处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．【解答】解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，﹣），围成的三角形面积为，故选A．12．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为0.25．【分析】由题意知本题是一个统计问题，需要用样本的概率估计总体中位于这个范围的概率，试验发生包含的事件数时20，袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的可以数出有5，利用概率公式，得到结果．【解答】解：从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为P==0.25．故答案为：0.2514．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（x∈R）．【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x 对称，则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：3x（x∈R）15．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为．【分析】先确定球心位置，再求球的半径，然后可求球的体积．【解答】解：正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为．故答案为：16．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为三、解答题（共6小题，满分80分）17．（10分）（2007•全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．18．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率．【分析】（1）3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的对立事件是3位顾客中无人采用一次性付款，根据独立重复试验公式得到3位顾客中无人采用一次性付款的概率，再根据对立事件的公式得到结论．（2）3位顾客每人购买1件该商品，顾客的付款方式为一次性付款和分期付款，且购买该商品的3位顾客中有1位采用分期付款，根据互斥事件的公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．P（）=（1﹣0.6）3=0.064，．（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．B0表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．B1表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则B=B0+B1．P（B0）=0.63=0.216，P（B1）=C31×0.62×0.4=0.432．P（B）=P（B0+B1）=P（B0）+P（B1）=0.216+0.432=0.648．19．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．【分析】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，说明SO⊥底面ABCD．利用三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，设AD∥BC，连接SE．说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SA⊥BC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC 的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．【分析】（1）依题意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．（2）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立⇔f（x）max＜c2在区间[0，3]上成立，根据导数求出函数在[0，3]上的最大值，进一步求c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．即解得a=﹣3，b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜﹣1或c＞9，因此c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．21．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．22．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，由此可以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．。

2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-辽宁卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)k k n kn n P k C p p -=- 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{13}A =，，{234}B =，，，则A B = （） A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{1234}，，， 2．若函数()y f x =的反函数．．．图象过点(15)，，则函数()y f x =的图象必过点（） A ．(51)，B ．(15)，C ．(11)，D ．(55)，3．双曲线221169x y -=的焦点坐标为（）A ．(，B ．(0，(0C ．(50)-，，(50)，D ．(05)-，，(05)， 4．若向量a 与b 不共线，0≠a b ，且⎛⎫- ⎪⎝⎭a a c =ab a b ，则向量a 与c 的夹角为（） A ．0B ．π6C ．π3D ．π25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（）A ．63B ．45C ．36D ．276．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．是（）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥C ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥D ．若m αγ= ，n βγ= ，m n ∥，则αβ∥7．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a =（）A ．(12)-，B ．(12)，C ．(12)-，D ．(12)-， 8．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（）A ．965⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，， C ．(][)36-∞+∞ ，，D ．[36]，9．函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．(2)-∞，10．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（） A ．122B ．111C ．322D ．21111．设p q ，是两个命题：251:||30:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a = ，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法种数为（）A ．18B ．30C ．36D ．48第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---= ．14．x展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为（用数字作答）．15．若一个底面边长为2的体积为．16．设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP OF =+ ，则||OM =．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：（I ）将各组的频率填入表中；（II ）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（III ）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率． 18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，AC BC a ==，D E ，分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30 ．（I ）证明：111A B C D ⊥；（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离．19．（本小题满分12分）已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>）（I ）求函数()f x 的值域；（II ）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为π2，求函数()y f x =的单调增区间．20．（本小题满分12分）1A 1C1BCBAMDE已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11113114413144n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩（2n ≥）（I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式；（II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ．21．（本小题满分14分）已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB △的内接圆（点C 为圆心）（I ）求圆C 的方程；（II ）设圆M 的方程为22(47cos )(7sin )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF，的最大值和最小值．22．（本小题满分12分）已知函数322()9cos 48cos 18sinf x x x x αβα=-++，()()g x f x '=，且对任意的实数t均有(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤．（I ）求函数()f x 的解析式；（II ）若对任意的[266]m ∈-，，恒有2()11f x x mx --≥，求x 的取值范围．2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）试题答案与评分参考说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

2007年高考文科数学试题及答案(全国卷1)

如果事件 A、B 相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
C
1 n
pk
(1
p) nk
(k
0,1,2，
球的表面积公式 S 4R 2 其中 R 表示球的半径
球的体积公式
一、选择题
V 4 R3 3
1．a 是第四象限角， tan 5 ，则 sin 12
A． 1 5
B． 1 5
2．设 a 是实数，且 a 1 i 是实数，则 a＝ 1i 2
A． 1 2
B．1
3．已知向量 a＝（－5，6），b＝（6，5），则 a 与 b
n)
其中 R 表示球的半径
C． 5 13
C． 3 2
2.社会主义本质理论对探索怎样建设3.社19会57主年义2月具，有毛重在要《的关实于践正意确义处。理社人会民主内义2.社部本科会矛质学主盾理的义的论1本本问的.邓质质题提小是的》出平创科讲，提新学话为出，内中我“创涵提们邓社新。出寻始小会的邓（找终平主关小1一代坚义）键平种表持的我2在对能.1中把科本国人社9够国发学质社5才会从4先展社，会年，主更进作会是主，人义深生为主解义毛才本层产执义放制在的质次1力政理生度《成所.认社1的兴论产还论长作.识发会发国和力刚十靠的社展主展的实，刚大教概会才义要第践发建关坚育括主是本求一的展立系2持。，义硬质、，要基生，》以人一，道理发大务本产还重发才方从理论展力是成力没要展资面而，把才促由果，有讲社的源强为把我是进中，消完话会办是调四中发们（硬先国抓灭全中主法第必、国展对2道进共住剥建提三义解一）须科的生社理生产“削立出、经决资采解学社产会，产党什，（代济前源取放技会力主是力的么消还1表基进。从和术主作义）对的执是除不中础科低发是义1为的吧社3发政社两完9国基的学级展.第建发社认二国5会展地会极全先本问技到6生一设展会识、内主，年位主分巩进建题术高产生在才主提发外义是底所义化固生立，实级力产改是义高1展一时中我决，的邓产的是力9，力革硬建到是切间5国定怎最思小力同实和国另3开道设了党积经共对的样终想年平的时行国家一放理的一执极验产农，建达。1一发，改民资方中2，根个政因教党业是设到（月再展我革教本面探是本新兴素训站、对社共2，强要国开育主指索）适任的国都的在手一执会同毛调求的放水义出出第创应务科在的调深时工、政主富1泽，政以平的4了一三造.时，学社第动刻坚代.业发规义裕东中一治来，过2解条节性代符水会一起总持前.和展律”。关社国个领我始度放发、地主合平阶要来结社列资才认这”于会社公域们终形和展社提题马。级务为。会，本是识个1总主会有也党是式发更会9出变克社二关中主保硬的根8路义主制发的衡。展快主了化思会6、系国义持道深本3线基义占生一年量所生、义社.的主社发解用工现理化问的本基主了条，综谓产人的会需义会生决和业金商，题1完制本体重主邓合国力民根主要基本.主变事所平化向业也，1整度制，大要小国家的享本9义。本质义化业有方建的是深5的度一变经平力资手受社任原理6本的服问法设根社对刻表确的个化验年提和本段到会 1务理论第质同务题进与本会党揭一.述立确共，。出社主社和社主基，的二理时的行社体主实示、：，立同确苏“会义会目会3义本是提节论，基关改会现义了社.从为，富立共社文，社主的主一改矛巩出、的我本键造主和改其社会中当使裕了二会明就会义。义、造盾固，对重国方是。义根造所会之华代占，中十主程是主基建中的和和为第社要针这改本基承主一人中世这国大义度在义本设国基两发进一会意。靠不造要本担义本民国界是共以财的国基制内成特本类展一节主义的（自仅同求完的本质共一人我产后富重家本度涵果色完矛社步、义主2己保时。成历质理和切口们党毛属要直）制的包最伴社成盾会推中本要的证并，史论国发四必领泽于标接正度确括大随会，的主进国质矛发了举标第的这成展分须导东人志控确的立（，着主是学义改特理盾展2社。志五需是提立进之坚的提民。制处确是1.能社义我说采制革色论也。会实着章要对）出，步一持人出，和理立中够会建国，取度开社的发的践中。马把到奠的民要社支经，国社充经设强积的放会提生稳证国克解社定东民“会配济是历会分济道调极必和主出了定明历思放会了方主以下建4广史主体制路要引然社义变，.史主和主把制大专苏义的设大上义现度初严导要会二建化而党上义发义对度国政为的资和劳最的出和步经格、求主设。且坚长的展改企基进党的鉴致本社动深本对社探济区逐。义确道人极持达重生造业础入在根社”富主会人刻质资会索结分步现立路民大社数产基的。了过本会，是义发民最和本经的构过代社的对的会千发力逐本改社渡原主探全经展真伟根主济理发正渡化会初于促主年展概步完造会时则义索民济中正大本义结论生确的建新主步经进义的，括实成和主期。基自共的成任优构成了处方设中义探济了改阶对为现，对义总本己同国一为社务越的果根理式提国基索文社造级于国这人制社路政的致家系国会性根本两。供的本化会与剥建家是的度会线治道富资列家变一的本变类中了成制迅主社削设的一改的，第制路。本重的革、道变化不国强立度速义会制中社个造建这三主度。社大主，社路化，同这大，的发事主度国的会过结立是节要。会义关人也会，1社性场的标重展业义的特本主.渡合极世、内人主有系解和是主奠我会质巨思志大的的工结（色质义时起大界社容民义初。决社2义定国主的大想着意需发业束3社0。工期来地社（会被民原级了会基）世了社义矛而武我义要展化，会（业。，提会2主概则和3在生本把纪理会经盾深器国同），同实主2化党把高主对义括专，高一产制资中）论的济，刻。新经遵改总时现义新是在对了义手制为政第级个资度本国强基阶成在特的通民济循革之并了具民党这资工运二七度“实一形以料的主又调础级分新别社过主文自4过，举由有主在个本人动、届业在一质是式农的.（初义一消，关已民是它会（没主化愿于和的新重主过过主阶史新社二的中化上发之民主1步工次灭开系占主要是变4收义不互集平方民（大）义渡渡义级上民会中社国三已展）分为人确商划剥阔也绝主正中革官能利中改针主3的用社时时工和又主全会的改成生坚。主立）业时削了发对义确国，僚命满、的造，主理和会期期商广一主义会确”为产持初题正者代，广2生优革处革不资阶足典计解对义论平的.的业大个义改提立。无，积级资的确改的消阔了势命理命仅√本段人型划决于向和赎五总总搞劳历革造出改“产第极形本、分造历除前根，理人的没中而民示体了在社3实买种路路糟动史命的使造一阶二领式主落（.析成史两景本社论民具有国形基需党范制诸深会践的经线线成人性理历中，化级是导的义后√ 1农为巨极。的会内体对革成本要的和如刻主意）方济的和为民的论史国党”专共、工的中村自变分邓主指部实生命的结建国初实的义积法成主总自的伟是经“ 和即政同稳家商半国的食。化小义导矛际产在走社束状设家步现社的。极改分体任食积大以验稳政社；致步资业殖社革阶其们平。公下盾出力一农会和况。帮构社会转引造—。务其极胜一毛步府会人富前本的民会命级力吐对1有，。发的个村主社之加助想会变导资—要.，力性利、泽地采主民。进农社地第的必和出社制中（，发以包义会间强的，变革农本社从是的和。适东由取义代”的业会半二阶须社了会已国3不展农围的主党原要革中社民主会根）要社创合为农了工表这方是、主封节级走层会最主成共拘造民城国义矛的则求与保会组义主本从在会造中主业积大段针国手义建、构农状主终义为产泥成为市营改盾建，2中经持主织工义上全一主性国要极化会话，家工改的.社成村况义达本我党武于破主、经造，设以央济社义起商性改体个义。特代转领，制成采对业造东会主包，劳到质国领装已��

2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)答案与解析

2007年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．应选D.【解答】解：S={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，T={x|3x﹣5＜0}={x|x＜}，则S∩T=，故选D．2．应选B.【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．【解答】解：∵α是第四象限角，∴sinα=，故选B．3．应选A.【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．应选A.【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．应选C.【解答】解；根据题意，甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，有C42种，乙、丙各选修3门，有C43•C43种，则不同的选修方案共有C42•C43•C43=96种，故选C．6．应选C.【解答】解：将四个点的坐标分别代入不等式组，解可得，满足条件的是（0，﹣2），故选C．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．应选D.【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D9．应选B.【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10．应选D.【解答】解：函数y=2cos2x=1+cos2x，由﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，解得﹣π+kπ≤x≤kπ，k为整数，∴k=1即有它的一个单调增区是，故选D．【点评】利用同角三角函数间的关系式、诱导公式、二倍角公式可以化简三角函数式，化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；在化简三角函数时，应注意“1”的代换，1=sin2α+cos2α，1=tanα•cotα等，对于函数种类较多的式子，化简时，常用“切化弦法”，遇到象本题高次数的要用二倍角公式降幂．【解答】解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，﹣），围成的三角形面积为，故选A．12．应选C.【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．0.25【解答】解：从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为P==0.25．故答案为：0.2514．3x（x∈R）【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：3x（x∈R）15．【解答】解：正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为．故答案为：16．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为三、解答题（共6小题，满分80分）17．（10分）【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．18．（12分）【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．P（）=（1﹣0.6）3=0.064，．（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．B0表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．B1表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则B=B0+B1．P（B0）=0.63=0.216，P（B1）=C31×0.62×0.4=0.432．P（B）=P（B0+B1）=P（B0）+P（B1）=0.216+0.432=0.648．19．（12分）【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（12分）【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．即解得a=﹣3，b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜﹣1或c＞9，因此c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．21．（12分）【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．22．（12分）【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．。

浙江2007年全国各地高考理科数学试题及参考答案

2007年全国各地高考(浙江卷)数学(理工类)全解全析第I 卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)“1x >”是“2x x >”的( )Ａ.充分而不必要条件Ｂ.必要而不充分条件Ｃ.充分必要条件Ｄ.既不充分也不必要条件【答案】:A【分析】:由2x x >可得01<>x x 或,∴1x >可得到2x x >,但2x x >得不到1x >.故选A.(2)若函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R (其中0ω>,2ϕπ<)的最小正周期是π,且(0)f =则( )A.126ωϕπ==， B .123ωϕπ==， C.26ωϕπ==， D.23ωϕπ==，【答案】:D【分析】:由2 2.T ππωω==∴=由(0)2sin sin f ϕϕ===.23ϕϕππ<∴=故选D .(3)直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是( ) Ａ.210x y +-= Ｂ.210x y +-= Ｃ.230x y +-=Ｄ.230x y +-=【答案】:D【分析】:解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于1x =对称点为(2-x,y)在直线210x y -+=上,0122=+--∴y x 化简得230x y +-=故选答案D.解法二:根据直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线斜率是互为相反数得答案A 或D, 再根据两直线交点在直线1x =选答案D.(4)要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面,则需安装这种喷水龙头的个数最少是( ) Ａ.3 Ｂ.4 Ｃ.5 Ｄ.6【答案】B【分析】:因为龙头的喷洒面积为36π113≈,正方形面积为256,故至少三个龙头。

2007年浙江省高考理科数学试卷及参考答案(名师精校版)

．
12．已知 sin cos 1 ，且 ≤ ≤ 3 ，则 cos 2 的值是
．
52
4
13．不等式 2x 1 x 1的解集是
．
14．某书店有 11 种杂志，2 元 1 本的 8 种，1 元 1 本的 3 种，小张用 10 元钱买杂志（每种至多买一
本，10 元钱刚好用完），则不同买法的种数是
能正确的是（）
y
y
y
y
O
x
A．
O
x
B．
O
x
C．
O
x
D．
第 3 页共Leabharlann 12 页9．已知双曲线x2 a2

y2 b2
1(a
0，b
0)
的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，P 是准线上一点，且 PF1

PF2 ，
PF1 PF2 4ab ，则双曲线的离心率是（）
Ａ． 2
Ｂ． 3
Ｃ． 2
注意事项： 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。
11．已知复数 z1 1 i ， z1z2 1 i ，则复数 z2
18．（本题 14 分）已知 △ABC 的周长为 2 1，且 sin A sin B 2 sin C ．（I）求边 AB 的长；（II）若 △ABC 的面积为 1 sin C ，求角 C 的度数．
绝密★考试结束前
2007 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页，选择题部分 1 至 3 页，非选择题部分 4 至 5 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。

2007年高考文科数学试题及参考答案(重庆卷)

3．有人说，“人肉搜索”是天使，能在最短的时间揭示真相，看上去很“恐怖”，实际却很“正义”；有人说，“人肉搜索”是“魔鬼”，是“网络暴力”。这体现的哲理是 ( C ) ①事物都是一分为二的，一面是正确的，一面是错误的 ②人的意识具有能动性 ③任何事物都是不确定的 A．①② ④由于主客观条件的制约，人们对同一 B．②③ C．②④ D．①④ 事物会形成不同的认识
2．文字是意识的一种表现形式。东巴象形文字是一种十分原始的图画象形文字，它夸张、简约、气势生动，在丽江、中甸等纳西族地区沿用达十多个世纪。右图是东巴文中的“太阳”和“月亮” ，从中我们获得的哲学启示是 ( D ) A．意识是人脑特有的机能 B．意识活动具有客观实在性 C．意识活动具有主观随意性 D．意识是客观存在的主观映象
状态保持训练
1．2010 年中央经济工作会议指出，既要保持宏观经济政策的连续性、稳定性，又要根据新形势、新情况着力提高宏观调控政策的针对性、灵活性。这说明( D ) A．事物发展是前进性和曲折性的统一 B．经济基础一定要适合上层建筑状况 C．矛盾同一性是事物发展的根本动力 D．物质世界是绝对运动与相对静止的统一
A
25.“风在吼，马在叫，黄河在咆哮……….”，光未然，冼星海创作的《黄河大合唱》表达了抗日战争时期中国人民的心声，激发了全民族的抗战热情。他们在艺术创作上取得的成功给我们的启示是 A．人生价值的实现取决于人们的价值选择 B．优秀艺术作品可以主导社会关系的变革 C．要在个人与社会的统一中实现人生价值 C D．任何事物的发展都是量变和质变的统一
4．能源使用带来的环境问题及其诱因对人的影响越来越明显，在此背景下，“低碳经济”、“低碳技术”、“低碳生活方式”、“低碳城市”等新概念应运而生。这说明 ( B ) ①意识是客观存在的反映 ②价值观影响人们对事物的认识和评价 ③哲学与自然和社会密切相关 ④实践是认识的来源 C．①②④ D．②③ A．①③④ B．①④

2007年高考文科数学试题及参考答案(陕西卷)

年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．22(1)(1)2x y -+-= 12．π613．314．（1）[2)+∞，（2）9215．3π，2三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ2sin(2)2sin(2)2cos 2442x x x =++=+=．（I ）函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==；（II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()2cos2f x x=是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）．17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =．（I ）解法一任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=．解法二任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯= ．所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=．（II ）解法一任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是430.90.10.243P C =⨯⨯=．3人都参加过培训的概率是350.90.729P ==．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=．解法二任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C ⨯⨯=．3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=． 18．解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ．因为αβ⊥，PQ αβ= ，所以CO α⊥，又因为CA CB =，所以OA OB =．而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=．从而BO PQ ⊥．又CO PQ ⊥，所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ⊂平面OBC ，故PQ BC ⊥．（II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ= ，BO α⊂，所以BO β⊥．过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥．故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，不妨设2AC =，则3AO =，3sin 302OH AO ==．在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以3BO AO ==，于是在Rt BOH △中，3tan 232BOBHO OH∠===．故二面角B AC P --的大小为arctan 2．解法二：由（I ）知，OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥，故可以O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=．不妨设2AC =，则3AO =，1CO =．AB CQαβ POHRt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠= ，所以3BO AO ==．则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，(300)B ，，，(030)A ，，，(001)C ，，．所以(330)AB =- ，，，(031)AC =- ，，．设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得33030x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，得1(113)n =，，．易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量．设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<> ，．所以121215cos 5||||51n n n n θ===⨯．故二面角B AC P --的大小为5arccos5． 19．解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．（I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(22)，，(22)-，，此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++-- AB C Qα β P Oxyz(42)411k k =--++=-．综上所述，CA CB为常数1-．（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =- ，， 22(1)CB x y =- ，，(10)CO =- ，．由CM CA CB CO =++ 得：121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，．当AB 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--．又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是224x y -=．解法二：同解法一得12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k +=-．…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．………………………③ 由①②③得22421k x k +=-．…………………………………………………④241ky k =-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，2x k y+=，将其代入⑤有2222244(2)(2)(2)1x y x yy x x yy +⨯+==++--．整理得224x y -=．当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程．故点M 的轨迹方程是224x y -=．20．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …………………………① 于是213(1)n n S S n ++=+． …………………………………………………② 由②－①得：163n n a a n ++=+．……………………………………………③ 于是2169n n a a n +++=+．……………………………………………………④ 由④－③得：26n n a a +-=．…………………………………………………⑤ 即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列．（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有3215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列．所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N *．由题设知，1187n n b -=⨯．当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．若118b =是数列2{}k a 中的第0k 项，由018626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =．此时26k a k =，由2n k b a =得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N *，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项．（注：考生取满足036a k =-，0k ∈N*的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第126723n a-⨯+-项即可） 21．解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是2044a b <-≤，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是 (1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-．又由248a b -=，得1b =-．故321()3f x x x x =--．解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+．因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号．于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >；或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102ah '=⨯++=．所以2a =-．又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．。

数学2007年高考文科试题及解析

2007年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学（文史类）试题全解全析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设全集U ＝{1，3，5，6，8}，A ＝{1，6}，B ＝{5，6，8}，则(C U A)∩B ＝ (A)｛6｝ (B){5，8} (c){6，8} (D){3，5，6，8} (2)已知cos 22πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且2πϕ<，则tan ϕ＝(A) (B)(C)(D) (3)“x ＞1”是“x 2＞x ”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(4)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是(A)x ＋2y －1＝0 (B)2 x ＋y －1＝0 （C ）2 x ＋y －3＝0 (D) x ＋2y －3＝0(5)要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3(6)91x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是(A) －36 (B)36 (C) －84 (D) 84（7）.若P 是两条异面直线L ，Ｍ外的一点，则 (A)过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行 (B)过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直 (C)过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交 (D)过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面（8）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 (A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648（9）若非零向量，a b 满足-=a b b ，则（）Ａ．22>-b a b Ｂ．22<-b a b Ｃ．2>-2a a bＤ．2<-2a a b（10）已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是（）Ｃ．2Ｄ．3二．填空题：本大题共7小题．每小题4分．共28分．(11)函数()221x y x R x =∈+的值域是______________．(12)若1sin cos 5θθ+=，则sin 2θ的值是________． (13)某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为___________．(14)2z x y =+中的x 、y 满足约束条件250300x y x x y -+≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则z 的最小值是_________．(15)曲线32242y x x x =--+在点(1，一3)处的切线方程是___________(16)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是__________(用数字作答)．(17)已知点O 在二面角α－AB －β的棱上，点P 在α内，且∠POB ＝45°．若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有∠POQ ≥45°，则二面角α－AB －β的取值范围是_________．三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(18)(本题14分)已知△ABC 的周长为＋1，且sinA ＋sin B ＝(I)求边AB 的长；(Ⅱ)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．(19)(本题14分)已知数列{n a }中的相邻两项21k a -、2k a 是关于x 的方程()232320k kx k x k -++⋅= 的两个根，且21k a -≤2k a (k ＝1，2，3，…)．(I)求1357,,,a a a a 及2n a (n ≥4)(不必证明)； (Ⅱ)求数列{n a }的前2n 项和S 2n ．(20)(本题14分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点．(I)求证：CM ⊥EM ： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值．（21）（本题14分）如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；（II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．(22)(本题15分)已知()221f x x x kx =-++．(I)若k ＝2，求方程()0f x =的解；(II)若关于x 的方程()0f x =在(0，2)上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明12114x x +<（第21题）2007年普通高等学校统一考试（浙江卷）数学(文)试题答案解析1.【答案】：B【分析】：由于U ＝{1，3，5，6，8}，A ＝{1，6} ∴C U A={3,5,8}∴(C U A)∩B={5，【高考考点】集合的交集及补集运算【易错点】：混淆集中运算的含义或运算不仔细出错【备考提示】：集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分。

2007年高考文综试卷及答案全国卷Ⅰ(详细)

绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试文科综合能力测试本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至7页，第Ⅱ卷8至12页，共300分。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

第Ⅰ卷(选择题共140分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

本卷共35小题，每小题4分，共140分。

在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

读图l，结合所学知识回答l～2题。

1．正确反映我国城市化水平变化的曲线是A．甲B．乙C．丙D．丁2．在图示期间，与美国相比，我国A．城市人口数较少B．城市人口数增长率较低C．城市人口比重较低D．城市人口比重增长率较低读图2，回答3～5题。

3．受暖流影响明显的地方是A．T B．Q C．R D．S4．气候特点为“冬季温和多雨、夏季炎热干燥”的地方是A．T B．Q C．R D．S5．在图3所示的几种气温年内变化和年降水量情况中，与P地相符的是A．①B．②C．③D．④图4所示区域在北半球。

弧线a为纬线，Q、P两点的经度差为90°；弧线b为晨昏线，M点为b线的纬度最高点。

回答6～8题。

6．若此时南极附近是极昼，P点所在经线的地方时是A．5时B．15时C．9时D．19时7．若此时为7月份，图中M点的纬度数可能为A．55°N B．65°NC．75°N D．85°N8．若Q地的经度为0°，此时正是北京日出。

这个季节A．洛杉矶地区森林火险等级最高B．长江下游枫叶正红C．长城沿线桃红柳绿D．南极地区科考繁忙我国某边防站(海4900米)的驻防官兵在艰苦的条件下，为改善生活试种蔬菜。

他们先盖起简易阳光房，但种的蔬菜仍不能生长。

2007年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

2007年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分) 1．cos330= （）A ．12B ．12-C ．32D ．32-2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B = ð（） A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}，3．函数sin y x =的一个单调增区间是（）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，4．下列四个数中最大的是（） A ．2(ln 2) B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（） A ．(32)-， B ．(2)+∞， C ．(3)(2)-∞-+∞ ，， D ．(2)(3)-∞-+∞ ，，6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（）A ．23B ．13C ．13-D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（） A ．36B ．34C ．22D ．328．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e x y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（） A ．e 2x +B ．e 2x -C ．2e x -D ．2e x +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（） A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A ．13B ．33C ．12D ．3212．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF += （）A ．10B ．210C ．5D ．25二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式．18．（本小题满分12分）在ABC△中，已知内角Aπ=3，边23BC=．设内角B x=，周长为y．（1）求函数()y f x=的解析式和定义域；（2）求y的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD E F，，分别为AB SC，的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设2SD DC=，求二面角A EF D--的大小．A EB CF SD21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线：43=-y x 相切（1）求圆O 的方程（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA PB ∙的取值范围。

2007年全国高考文科数学试卷及答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题（1）设{}210S x x =+>，{}350T x x =-<，则S T =（）Ａ．∅Ｂ．12x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭Ｃ．53x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭Ｄ．1523x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）α是第四象限角，12cos 13α=，sin α=（）Ａ．513Ｂ．513-Ｃ．512 Ｄ．512-（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （）Ａ．垂直Ｂ．不垂直也不平行Ｃ．平行且同向Ｄ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（）Ａ．221412x y -= Ｂ．221124x y -= Ｃ．221106x y -= Ｄ．221610x y -= （5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）Ａ．36种Ｂ．48种Ｃ．96种Ｄ．192种（6）下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（）Ａ．(02)，Ｂ．(20)-，Ｃ．(02)-，Ｄ．(20)，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（）Ａ．15Ｂ．25Ｃ．35Ｄ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（）Ｂ．2Ｃ．Ｄ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（）Ａ．充要条件Ｂ．充分而不必要的条件Ｃ．必要而不充分的条件Ｄ．既不充分也不必要的条件（10）函数22cos y x =的一个单调增区间是（）Ａ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，Ｂ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｃ．π3π44⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｄ．ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，（11）曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）Ａ．19Ｂ．29Ｃ．13Ｄ．23（12）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（）Ａ．4Ｂ．Ｃ．Ｄ．8第Ⅱ卷注意事项： 2．第Ⅱ3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：492496 494 495 498 497 501 502 504 496 497503506508507492496500501499（14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y xx =>的图像关于直线y x =对称，则()f x =____________．（15）正四棱锥S ABCD -，点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________．（16）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =，5c =，求b ．（18）（本小题满分12分）（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．（19）（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=︒，2AB =，BC =SA SB == （Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小．（20）（本小题满分12分）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．（21）（本小题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．（22）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．SCDAB（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修＋选修1）参考答案一、选择题1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｄ 9．Ｂ 10．Ｄ 11．Ａ 12．Ｃ二、填空题13．0.25 14．3()xx ∈R 15．4π3 16．13三、解答题 17．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）根据余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-272545=+-7=．所以，b =18．解：（Ⅰ）记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．2()(10.6)0.064P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=．（Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=．0.648=．19．解法一：（1）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =SD又sin 452AO AB ==DE BC ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面SBC ，连结SE ．ESD ∠为直线SD 与平面SBC 所成的角．所以，直线SD 与平面SBC 所成的角为arcsin11．解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥．如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，因为AO BO AB ===1SO =，又BC =0)A ，， (0B，(0C ，． (001)S ，，，(21)SA =-，，， (0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）(21)SD SA AD SA CB =+=-=--，，(20)OA =，，. OA 与SD 的夹角记为α，SD 与平面ABC 所成的角记为β，因为OA 为平面SBC的法向DBCASE量，所以α与β互余．22cos 11OA SD OA SDα==，sin 11β=，所以，直线SD 与平面SBC 所成的角为arcsin 11． 20．解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，．21．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．（Ⅱ）1212n n n a n b --=． 122135232112222n n n n n S ----=+++++，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++，②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-，12362n n -+=-．22．证明（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200001132222x y x y ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k+=-+，21223632k x x k -=+，2221222121)(1)()432k BD x x kx x x x k +⎡=-=++-=⎣+；因为AC 与BC 相交于点p ，且AC 的斜率为1k-．所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．。

2007年高考文科数学试题及参考答案(江西卷)

2007年高考文科数学试题及参考答案（江西卷）文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}01M =，，{}012345I =，，，，，，则I M ð为（）Ａ．{}01，Ｂ．{}2345，，，Ｃ．{}02345，，，，Ｄ．{}12345，，，， 2．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为（）Ａ．π4Ｂ．π2Ｃ．π Ｄ．2π3．函数1()lg 4x f x x -=-的定义域为（）Ａ．(14)，Ｂ．[14)，Ｃ．(1)(4)-∞+∞ ，，Ｄ．(1](4)-∞+∞ ，，4．若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（）Ａ．3- Ｂ．13-Ｃ．3 Ｄ．135．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则01211a a a a ++++ 的值为（）Ａ．2-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．26．一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（）Ａ．132Ｂ．164Ｃ．332Ｄ．3647．连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形O A M 的面积为（）Ａ．12-+Ｂ．322- Ｃ．12+ Ｄ．322+8．若π02x <<，则下列命题正确的是（）Ａ．2sin πx x <Ｂ．2sin πx x >Ｃ．3sin πx x <Ｄ．3sin πx x >9．四面体A B C D 的外接球球心在C D 上，且2C D =，3AD =，在外接球面上两点A B，间的球面距离是（）Ａ．π6Ｂ．π3Ｃ．2π3Ｄ．5π610．设32:()21p f x x x m x =+++在()-∞+∞，内单调递增，4:3q m ≥，则p 是q 的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（）Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >> Ｃ．324h h h >>Ｄ．241h h h >>12．设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20a x b x c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（）Ａ．必在圆222x y +=上Ｂ．必在圆222x y +=外Ｃ．必在圆222x y +=内Ｄ．以上三种情形都有可能2007年高考文科数学试题及参考答案（江西卷）文科数学第II 卷注意事项：第II 卷2页，须要黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试卷题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．在平面直角坐标系中，正方形O A B C 的对角线O B 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．15．已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(31)，，则函数1()y fx -=的图象必经过点．16．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点作平面1A B D 的垂线，垂足为点H ．有下列四个命题Ａ．点H 是1A BD △的垂心Ｂ．A H 垂直平面11C B DＣ．二面角111C B D C --的正切值为2 Ｄ．点H 到平面1111A B C D 的距离为34其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）AD1D1C1A 1BBHC已知函数21(0)()21(1)x ccx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤满足29()8f c =．（1）求常数c 的值；（2）解不等式2()18f x >+．18．（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(03)，，且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是P A 的中点，当032y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．19．（本小题满分12分）栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗．．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．的概率分别为0.7，0.9．（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．的概率；（2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．的概率． 20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．（1）设点O 是AB 的中点，证明：O C ∥平面111A B C ；（2）求AB 与平面11AA C C 所成的角的大小；（3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分）设{}n a 为等比数列，11a =，23a =．（1）求最小的自然数n ，使2007n a ≥；（2）求和：212321232n nn T a a a a =-+--．yx3 OAPABCO1A1B1C22．（本小题满分14分）设动点P 到点1(10)F -，和2(10)F ，的距离分别为1d 和2d ，122F PF θ=∠，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）如图，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A B ，两点．问：是否存在λ，使1F AB △是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西文）参考答案一、选择题1．Ｂ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｃ 11．Ａ 12．Ｃ二、填空题13．1 14．7 15．(14)， 16．A ，B ，C 三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <；由29()8f c =，即3918c +=，12c =．（2）由（1）得411122()211x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤由2()18f x >+得，当102x <<时，解得2142x <<，当112x <≤时，解得1528x <≤，所以2()18f x >+的解集为2548x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 1Fyx 2F OA PB18．解：（1）将0x =，3y =代入函数2cos()y x ωθ=+中得3cos 2θ=，因为π02θ≤≤，所以π6θ=．由已知πT =，且0ω>，得2π2π2T πω===．（2）因为点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是P A 的中点，032y =．所以点P 的坐标为0π232x ⎛⎫-⎪⎝⎭，．又因为点P 在π2cos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上，且0ππ2x ≤≤，所以05π3cos 462x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 07π5π19π4666x -≤≤，从而得05π11π466x -=或05π13π466x -=，即02π3x =或03π4x =．19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件1A ，2A ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件1B ，2B ，1()0.6P A =，2()0.5P A =，1()0.7P B =，2()0.9P B =．（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为1212()1()10.40.50.8P A A P A A +=-=-⨯= ；（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A B ，，则11()()0.42P A P A B ==，22()()0.45P B P A B ==．恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为()0.420.550.580.450.492P A B AB +=⨯+⨯=．解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为11211221221212()0.492P A B A A B A B A A B A A B B +++=．20．解法一：（1）证明：作1O D AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11O D BB C C ∥∥，因为O 是AB 的中点，2CCHO2AA所以1111()32O D A A B B C C =+==．则1ODC C 是平行四边形，因此有1O C C D ∥，1C D ⊂平面111C B A ，且O C ⊄平面111C B A则O C ∥面111A B C ．（2）解：如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1A A ，1C C 于2A ，2C ，作22BH A C ⊥于H ，因为平面22A BC ⊥平面11AA C C ，则BH ⊥面11AA C C ．连结A H ，则BAH ∠就是AB 与面11AA C C 所成的角．因为22BH =，5AB =，所以10sin 10BH BAH AB==∠．AB 与面11AA C C 所成的角为10arcsin10BAH =∠．（3）因为22BH =，所以222213B A A CCA A C C V SB H -=．1121(12)23222=+= ． 1112211111212A B C A B C A B C V S B B -=== △．所求几何体的体积为221112232B A A CCA B C A B C V V V --=+=．解法二：（1）证明：如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1102O C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，，易知，(001)n = ，，是平面111A B C 的一个法向量．由0OC n =且O C ⊄平面111A B C 知O C ∥平面111A B C ．1A1B1CxBz COAy（2）设AB 与面11AA C C 所成的角为θ．求得1(004)A A = ，，，11(110)A C =- ，，．设()m x y z = ，，是平面11AA C C 的一个法向量，则由11100A A m A C m ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00z x y =⎧⎨-=⎩，取1x y ==得：(110)m =，，．又因为(012)A B =--，，所以，cos m < ，1010m AB AB m AB>==-则10sin 10θ=．所以AB 与面11AA C C 所成的角为10arcsin 10．（3）同解法一21．解：（1）由已知条件得112113n n n a a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为67320073<<，所以，使2007n a ≥成立的最小自然数8n =．（2）因为223211234213333n n n T -=-+-+- ，…………① 2234212112342123333333n n nn n T --=-+-++-，…………②+①②得：2232124111121333333n n nn T -=-+-+--2211231313n n n -=-+22333843nnn--=所以22223924163n n nnT +--=．22．解：（1）在12PF F △中，122F F =22221212121242cos 2()4sin d d d d d d d d θθ=+-=-+ 212()44d d λ-=-1221d d λ-=-（小于2的常数）故动点P 的轨迹C 是以1F ，2F 为焦点，实轴长221a λ=-的双曲线．方程为2211xyλλ-=-．（2）方法一：在1AF B △中，设11AF d =，22AF d =，13BF d =，24BF d =．假设1AF B △为等腰直角三角形，则123434213234222πsin4d d a d d a d d d d d d d λ⎧⎪-=⎪-=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩ ①②③④⑤ 由②与③得22d a =，则134342222(21)d a d a d d a a=⎧⎪=⎨⎪=-=-⎩ 由⑤得342d d λ=，242(21)2a λ-= (842)(1)2λλ--=，1222(01)17λ-=∈，故存在122217λ-=满足题设条件．方法二：（1）设1AF B △为等腰直角三角形，依题设可得2121221212222πsin π8211cos 4πsin 24A F A F A F A F B F B F B F B F λλλλλ⎧⎧===⎪⎪⎪⎪--⇒⎨⎨⎪⎪=⎪=⎪⎩⎩ ，所以12121πsin(21)24A F F S A F A F λ==+ △，121212B F F S B F B F λ== △．则1(22)AF B S λ=+△．①由12122221AF F BF F S AF S BF ==+△△，可设2BF d =，则2(21)AF d =+，1(22)BF AB d ==+．则122211(22)22A FB S A Bd ==+△．②由①②得2(22)2d λ+=．③根据双曲线定义12221BF BF a λ-==-可得，(21)21d λ+=-．平方得：22(21)4(1)d λ+=-．④由③④消去d 可解得，1222(01)17λ-=∈，故存在122217λ-=满足题设条件．。

2007年浙江省高考数学试卷(理科)与解析

2007年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2007?浙江）“x ＞1”是“x 2＞x ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（5分）（2007?浙江）若函数f （x ）=2sin （ωx+φ），x ∈R （其中ω＞0，）的最小正周期是π，且，则（）A ．B ．C ．D ．3．（5分）（2007?浙江）直线x ﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A ．x+2y ﹣1=0B ．2x+y ﹣1=0C ．2x+y ﹣3=0D ．x+2y ﹣3=04．（5分）（2007?浙江）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）A ．3B ．4C ．5D ．65．（5分）（2007?浙江）已知随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），P （ξ≤4）=0.84，则P （ξ≤0）=（）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.846．（5分）（2007?浙江）若P 两条异面直线l ，m 外的任意一点，则（）A ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都异面7．（5分）（2007?浙江）若非零向量，满足|+|=||，则（）A ．|2|＞|2+|B ．|2|＜|2+|C ．|2|＞|+2|D ．|2|＜|+2| 8．（5分）（2007?浙江）设f ′（x ）是函数f （x ）的导函数，将y=f （x ）和y=f ′（x ）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．9．（5分）（2007?浙江）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是准线上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|?|PF2|=4ab，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．310．（5分）（2007?浙江）设f（x）=，g（x）是二次函数，若f（g（x））的值域是[0，+∞），则函数g（x）的值域是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）C．[0，+∞）D．[1，+∞）二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）（2007?浙江）已知复数z1=1﹣i，z1?z2=1+i，则复数z2=．12．（4分）（2007?浙江）已知，且≤θ≤，则cos2θ的值是．13．（4分）（2007?浙江）不等式|2x﹣1|﹣x＜1的解集是．14．（4分）（2007?浙江）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是（用数字作答）．15．（4分）（2007?浙江）随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣1 0 1P a b c其中a，b，c成等差数列，若．则Dξ的值是．16．（4分）（2007?浙江）已知点O在二面角α﹣AB﹣β的棱上，点P在α内，且∠POB=45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α﹣AB﹣β的取值范围是．17．（4分）（2007?浙江）设m为实数，若，则m的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（14分）（2007?浙江）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC（I）求边AB的长；（Ⅱ）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．19．（14分）（2007?浙江）在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．20．（14分）（2007?浙江）如图，直线y=kx+b与椭圆=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．21．（15分）（2007?浙江）已知数列{a n}中的相邻两项a2k﹣1，a2k是关于x的方程x 2﹣（3k+2k）x+3k?2k=0的两个根，且a2k﹣1≤a2k（k=1，2，3，…）．（Ⅰ）求a1，a3，a5，a7；（Ⅱ）求数列{a n}的前2n项和S2n；（Ⅲ）记，，求证：．22．（15分）（2007?浙江）设，对任意实数t，记．（Ⅰ）求函数y=f（x）﹣g8（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：（ⅰ）当x＞0时，f（x）≥g t（x）对任意正实数t成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数x0，使得g8（x0）≥g t（x0）对任意正实数t成立．2007年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意解不等式x2＞x，提出公因式x，根据因式分解法，解出不等式的解，再判断是不是必要条件，判断此解和x＞1的关系．【解答】解：由x2＞x，可得x＞1或x＜0，∴x＞1，可得到x2＞x，但x2＞x得不到x＞1．故选A．【点评】注意必要条件、充分条件与充要条件的判断．2．（5分）【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】先根据最小正周期求出ω的值，再由求出sinφ的值，再根据φ的范围可确定出答案．【解答】解：由．由．∵．故选D【点评】本题主要考查三角函数解析式的确定．属基础题．3．（5分）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．【解答】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x=1对称点为（2﹣x，y）在直线x﹣2y+1=0上，∴2﹣x﹣2y+1=0化简得x+2y﹣3=0故选答案D．解法二：根据直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线x=1选答案 D故选D．【点评】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法．4．（5分）【考点】圆方程的综合应用．【分析】这是一个与圆面积相关的新运算问题，因为龙头的喷洒面积为36π≈113，正方形面积为256，故至少三个龙头．但由于喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，而草坪是边长为16米的正方形，3个龙头不能使整个草坪都能喷洒到水，故还要结合圆的性质，进一步的推理论证．【解答】解：因为龙头的喷洒面积为36π≈113，正方形面积为256，故至少三个龙头．由于2R＜16，故三个龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水．当用四个龙头时，可将正方形均分四个小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中心，由于，故可以保证整个草坪能喷洒到水；故选B．【点评】本题考查的知识点是圆的方程的应用，难度不大，属于基础题．5．（5分）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由正态分布曲线知，P（ξ≤0）=1﹣P（ξ≤4）．【解答】解：由P（ξ≤4）=P（ξ﹣2≤2）=P=0.84．又P（ξ≤0）=P（ξ﹣2≤﹣2）=P=0.16．故选A．【点评】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．6．（5分）【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】选项A由反证法得出判断；选项B由异面直线的公垂线唯一得出判断；选项C、D 可借用图形提供反例．【解答】解：设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m平行，与l、m异面矛盾，故选项A错误；由于l、m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确；对于选项C、D可参考下图的正方体，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误；若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，故选项D错误．故选B．【点评】本题考查直线与异面直线平行、垂直、相交、异面的情况，同时考查空间想象能力．7．（5分）【考点】向量的模．【分析】本题是对向量意义的考查，根据|||﹣|||≤|+|≤||+||进行选择，题目中注意|+2|=|++|的变化，和题目所给的条件的应用．【解答】解：∵|+2|=|++|≤|+|+||=2||，∵，是非零向量，∴必有+≠，∴上式中等号不成立．∴|2|＞|+2|，故选C【点评】大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．8．（5分）（【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．【点评】考查函数的单调性问题．9．（5分）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由PF1⊥PF2，|PF1|?|PF2|=4ab可知：PF1|?|PF2|=|F1F2|?|PA|，导出，由此能够求出双曲线的离心率．【解答】解：设准线与x轴交于A点．在Rt△PF1F2中，∵|PF1|?|PF2|=|F1F2|?|PA|，∴，又∵|PA|2=|F1A|?|F2A|，∴，化简得c2=3a2，∴．故选答案 B【点评】本题考查双曲线的离心率的求法解三角形的相关知识．解题时不能联系三角形的有关知识，找不到解题方法而乱选．双曲线的离心率的求法是解析几何的一个重点，且方法较多，要善于总结各种方法，灵活应用10．（5分）【考点】函数的图象；函数的值域．【分析】先画出f（x）的图象，根据图象求出函数f（x）的值域，然后根据f（x）的范围求出x的范围，即为g（x）的取值范围，然后根据g（x）是二次函数可得结论．【解答】解：如图为f（x）的图象，由图象知f（x）的值域为（﹣1，+∞），若f（g（x））的值域是[0，+∞），只需g（x）∈（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．而g（x）是二次函数，故g（x）∈[0，+∞）．故选：C【点评】本题主要考查了函数的图象，以及函数的值域等有关基础知识，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据两个复数的积是1+i和所给的另一个复数的表示式，写出复数是由两个复数的商得到的，进进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简以后得到结果．【解答】解：∵复数z1=1﹣i，z1?z2=1+i，∴．故答案为：i【点评】本题考查复数的除法运算，考查在两个复数和两个复数的积三个复数中，可以知二求一，这里的做法同实数的乘除一样，本题是一个基础题．12．（4分）【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．【分析】把题设等式两边平方利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式求得sin2θ的值，进而利用θ的范围确定2θ的范围，最后利用同角三角函数的基本关系求得cos2θ的值．【解答】解：∵，∴两边平方，得sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=，即．∴．∵≤θ≤，∴π≤2θ≤．∴．故答案为：﹣【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角公式的化简求值．在利用同角三角函数的基本关系时，一定要注意角度范围，进而判定出三角函数的正负．13．（4分）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的几何意义去绝对值号转化为一次不等式求解．【解答】解：|2x﹣1|﹣x＜1?|2x﹣1|＜x+1?﹣（x+1）＜2x﹣1＜x+1，∴?0＜x＜2，故答案为（0，2）．【点评】考查绝对值不等式的解法，此类题一般两种解法，一种是利用绝对值的几何意义去绝对值号，另一种是用平方法去绝对值号，本题用的是前一种方法．14．（4分）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分两种情况讨论，①用10元钱买2元1本的杂志，②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本，分别求得可能的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，可有以下两种情况：①用10元钱买2元1本的杂志，共有C85=56②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本共有C84?C32=70×3=210，故不同买法的种数是210+56=266，故答案为266．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意分类讨论与分步进行，即先组合再排列．15．（4分）【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】要求这组数据的方差，需要先求出分布列中变量的概率，这里有三个条件，一个是三个数成等差数列，一个是概率之和是1，一个是这组数据的期望，联立方程解出结果．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∵a+b+c=1，Eξ=﹣1×a+1×c=c﹣a=．联立三式得，∴．故答案为：【点评】这是一个综合题目，包括等差数列，离散型随机变量的期望和方差，主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望的公式．16．（4分）【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】本题考查的知识点是二面角及其度量，由于二面角α﹣AB﹣β的可能是锐二面角、直二面角和钝二面角，故我们要对二面角α﹣AB﹣β的大小分类讨论，利用反证法结合点P 在α内，且∠POB=45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，易得到结论．【解答】解：若二面角α﹣AB﹣β的大小为锐角，则过点P向平面β作垂线，设垂足为H．过H作AB的垂线交于C，连PC、CH、OH，则∠PCH就是所求二面角的平面角．根据题意得∠POH≥45°，由于对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，∴∠POH≥45°，设PO=2x，则又∵∠POB=45°，∴OC=PC=，而在Rt△PCH中应有PC＞PH，∴显然矛盾，故二面角α﹣AB﹣β的大小不可能为锐角．即二面角α﹣AB﹣β的范围是：[90°，180°]．若二面角α﹣AB﹣β的大小为直角或钝角，则由于∠POB=45°，结合图形容易判断对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°．即二面角α﹣AB﹣β的范围是[90°，180°]．故答案为：[90°，180°]．【点评】高考考点：二面角的求法及简单的推理判断能力，易错点：画不出相应的图形，从而乱判断．备考提示：无论解析几何还是立体几何，借助于图形是我们解决问题的一个重要的方法，它可以将问题直观化，从而有助于问题的解决．17．（4分）【考点】简单线性规划的应用．【分析】利用不等式表示的平面区域得出区域与圆形区域的关系，把握好两个集合的包含关系是解决本题的关键，通过图形找准字母之间的不等关系是解决本题的突破口．【解答】解：由题意知，可行域应在圆内，如图：如果﹣m＞0，则可行域取到x＜﹣5的点，不能在圆内；故﹣m≤0，即m≥0．当mx+y=0绕坐标原点旋转时，直线过B点时为边界位置．此时﹣m=﹣，∴m=．∴0≤m≤．故答案为：0≤m≤【点评】本题考查线性规划问题的理解和掌握程度，关键要将集合的包含关系转化为字母之间的关系，通过求解不等式确定出字母的取值范围，考查转化与化归能力．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（14分）【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）先由正弦定理把sinA+sinB=sinC转化成边的关系，进而根据三角形的周长两式相减即可求得AB．（2）由△ABC的面积根据面积公式求得BC?AC的值，进而求得AC2+BC2，代入余弦定理即可求得cosC的值，进而求得C．【解答】解：（I）由题意及正弦定理，得AB+BC+AC=+1．BC+AC=AB，两式相减，得：AB=1．（Ⅱ）由△ABC的面积=BC?ACsinC=sinC，得BC?AC=，∴AC2+BC2=（AC+BC）2﹣2AC?BC=2﹣=，由余弦定理，得，所以C=60°．【点评】本题主要考查了正弦定理、三角形的面积计算等相关知识．此类问题要求大家对正弦定理、余弦定理、面积公式要熟练掌握，并能运用它们灵活地进行边与角的转化，解三角形问题也是每年高考的一个重点，但难度一般不大，是高考的一个重要的得分点．19．（14分）【考点】棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角．【分析】方法一（I）说明△ACB是等腰三角形即可说明CM⊥AB，然后推出结论．（II）过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，连接MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角，解三角形即可，方法二建立空间直角坐标系，（I）证明垂直写出相关向量CM和向量EM，求其数量积等于0即可证明CM⊥EM．（II）求CM与平面CDE所成的角，写出向量CM，以及平面的法向量，利用数量积公式即可解答．【解答】解：方法一：（I）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，所以CM⊥AB．又EA⊥平面ABC，所以CM⊥EM．（II）解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，连接MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．因为MH⊥平面CDE，ED⊥MH，又因为CM⊥平面EDM，所以CM⊥ED，则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．设EA=a，在直角梯形ABDE中，，M是AB的中点，所以DE=3a，，，得△EMD是直角三角形，其中∠EMD=90°，所以．在Rt△CMF中，，所以∠FCM=45°，故CM与平面CDE所成的角是45°．方法二：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C﹣xyz，设EA=a，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），E（2a，0，a）．D（0，2a，2a），M（a，a，0）．（I）证明：因为，，所以，故EM⊥CM．（II）解：设向量n=（1，y0，z0）与平面CDE垂直，则，，即，．因为，，所以y0=2，x0=﹣2，，直线CM与平面CDE所成的角θ是n与夹角的余角，所以θ=45°，因此直线CM与平面CDE所成的角是45°．【点评】本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．利用空间直角坐标系解答时，注意计算的准确性．20．（14分）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设出点A，B的坐标利用椭圆的方程求得A，B的横坐标，进而利用弦长公式和b，求得三角形面积表达式，利用基本不等式求得其最大值．（Ⅱ）把直线与椭圆方程联立，进而利用弦长公式求得AB的长度的表达式，利用O到直线AB的距离建立方程求得b和k的关系式，求得k．则直线的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）设点A的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b），由，解得，所以=≤b2+1﹣b2=1．当且仅当时，S取到最大值1．（Ⅱ）解：由得，①△=4k2﹣b2+1，=．②设O到AB的距离为d，则，又因为，所以b2=k2+1，代入②式并整理，得，解得，，代入①式检验，△＞0，故直线AB的方程是或或，或．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．21．（15分）【考点】数列的求和；不等式的证明．【分析】（1）用解方程或根与系数的关系表示a2k﹣1，a2k，k赋值即可．（2）由S2n=（a1+a2）+…+（a2n﹣1+a2n）可分组求和．（3）T n复杂，常用放缩法，但较难．【解答】解：（Ⅰ）解：方程x2﹣（3k+2k）x+3k?2k=0的两个根为x1=3k，x2=2k，当k=1时，x1=3，x2=2，所以a1=2；当k=2时，x1=6，x2=4，所以a3=4；当k=3时，x1=9，x2=8，所以a5=8时；当k=4时，x1=12，x2=16，所以a7=12．（Ⅱ）解：S2n=a1+a2+…+a2n=（3+6+…+3n）+（2+22+…+2n）=．（Ⅲ）证明：，所以，．当n≥3时，=，同时，=．综上，当n∈N*时，．【点评】本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．本题属难题，一般要求做（1），（2）即可，让学生掌握常见方法，对（3）不做要求．22．（15分）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求函数y=f（x）﹣g8（x）的单调区间；（II）（ⅰ）由题意当x＞0时，f（x）≥g t（x），求出f（x）最小值，和g t（x）的最大值，从而求证；（ⅱ）由（i）得，g t（2）≥g t（2）对任意正实数t成立．即存在正实数x0=2，使得g x（2）≥g t（2）对任意正实数t，然后再证明x0的唯一性．【解答】解：（I）解：．由y'=x2﹣4=0，得x=±2．因为当x∈（﹣∞，﹣2）时，y'＞0，当x∈（﹣2，2）时，y'＜0，当x∈（2，+∞）时，y'＞0，故所求函数的单调递增区间是（﹣∞，﹣2），（2，+∞），单调递减区间是（﹣2，2）．（II）证明：（i）方法一：令，则，当t＞0时，由h'（x）=0，得，当时，h'（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）内的最小值是．故当x＞0时，f（x）≥g t（x）对任意正实数t成立．方法二：对任意固定的x＞0，令，则，由h'（t）=0，得t=x3．当0＜t＜x3时，h'（t）＞0．当t＞x3时，h'（t）＜0，所以当t=x3时，h（t）取得最大值．因此当x＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数t成立．（ii）方法一：．由（i）得，g x（2）≥g t（2）对任意正实数t成立．即存在正实数x0=2，使得g x（2）≥g t（2）对任意正实数t成立．下面证明x0的唯一性：当x0≠2，x0＞0，t=8时，，，由（i）得，，再取t=x03，得，所以，即x0≠2时，不满足g x（x0）≥g t（x0）对任意t＞0都成立．故有且仅有一个正实数x0=2，使得g x（x0）0≥g t（x0）对任意正实数t成立．方法二：对任意x0＞0，，因为g t（x0）关于t的最大值是，所以要使g x（x0）≥g t（x0）对任意正实数成立的充分必要条件是：，即（x0﹣2）2（x0+4）≤0，①又因为x0＞0，不等式①成立的充分必要条件是x0=2，所以有且仅有一个正实数x0=2，使得g x（x0）≥g t（x0）对任意正实数t成立．【点评】本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力，难度较大．。

2007年浙江省高考数学试卷(理科)及解析

精心整理2007年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2007?浙江）“x＞1”是“x2＞x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）（2007?浙江）若函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R（其中ω＞0，）的最小正周期是π，且，则（）A．B．C．D．3．（5分）（2007?浙江）直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣1=0 B．2x+y﹣1=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y﹣3=04．（5分）（2007?浙江）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）A．3 B．4 C．5 D．65．（5分）（2007?浙江）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=（）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.846．（5分）（2007?浙江）若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面7．（5分）（2007?浙江）若非零向量，满足|+|=||，则（）A．|2|＞|2+| B．|2|＜|2+| C．|2|＞|+2| D．|2|＜|+2|8．（5分）（2007?浙江）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．9．（5分）（2007?浙江）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是准线上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|?|PF2|=4ab，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．310．（5分）（2007?浙江）设f（x）=，g（x）是二次函数，若f（g（x））的值域是[0，+∞），则函数g（x）的值域是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞） C．[0，+∞）D．[1，+∞）二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）（2007?浙江）已知复数z1=1﹣i，z1?z2=1+i，则复数z2=．12．（4分）（2007?浙江）已知，且≤θ≤，则cos2θ的值是．13．（4分）（2007?浙江）不等式|2x﹣1|﹣x＜1的解集是．14．（4分）（2007?浙江）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是（用数字作答）．15．（4分）（2007?浙江）随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣1 0 1P a b c其中a，b，c成等差数列，若．则Dξ的值是．16．（4分）（2007?浙江）已知点O在二面角α﹣AB﹣β的棱上，点P在α内，且∠POB=45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α﹣AB﹣β的取值范围是．17．（4分）（2007?浙江）设m为实数，若，则m的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（14分）（2007?浙江）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC（I）求边AB的长；（Ⅱ）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．19．（14分）（2007?浙江）在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M 是AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．20．（14分）（2007?浙江）如图，直线y=kx+b与椭圆=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．21．（15分）（2007?浙江）已知数列{a n}中的相邻两项a2k﹣1，a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k?2k=0的两个根，且a2k﹣1≤a2k（k=1，2，3，…）．（Ⅰ）求a1，a3，a5，a7；（Ⅱ）求数列{a n}的前2n项和S2n；（Ⅲ）记，，求证：．22．（15分）（2007?浙江）设，对任意实数t，记．（Ⅰ）求函数y=f（x）﹣g8（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：（ⅰ）当x＞0时，f（x）≥g t（x）对任意正实数t成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数x0，使得g8（x0）≥g t（x0）对任意正实数t成立．2007年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意解不等式x2＞x，提出公因式x，根据因式分解法，解出不等式的解，再判断是不是必要条件，判断此解和x＞1的关系．【解答】解：由x2＞x，可得x＞1或x＜0，∴x＞1，可得到x2＞x，但x2＞x得不到x＞1．故选A．【点评】注意必要条件、充分条件与充要条件的判断．2．（5分）【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】先根据最小正周期求出ω的值，再由求出sinφ的值，再根据φ的范围可确定出答案．【解答】解：由．由．∵．故选D【点评】本题主要考查三角函数解析式的确定．属基础题．3．（5分）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．【解答】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x=1对称点为（2﹣x，y）在直线x﹣2y+1=0上，∴2﹣x﹣2y+1=0化简得x+2y﹣3=0故选答案D．解法二：根据直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线x=1选答案D故选D．【点评】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法．4．（5分）【考点】圆方程的综合应用．【分析】这是一个与圆面积相关的新运算问题，因为龙头的喷洒面积为36π≈113，正方形面积为256，故至少三个龙头．但由于喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，而草坪是边长为16米的正方形，3个龙头不能使整个草坪都能喷洒到水，故还要结合圆的性质，进一步的推理论证．【解答】解：因为龙头的喷洒面积为36π≈113，正方形面积为256，故至少三个龙头．由于2R＜16，故三个龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水．当用四个龙头时，可将正方形均分四个小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中心，由于，故可以保证整个草坪能喷洒到水；故选B．【点评】本题考查的知识点是圆的方程的应用，难度不大，属于基础题．5．（5分）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由正态分布曲线知，P（ξ≤0）=1﹣P（ξ≤4）．【解答】解：由P（ξ≤4）=P（ξ﹣2≤2）=P=0.84．又P（ξ≤0）=P（ξ﹣2≤﹣2）=P=0.16．故选A．【点评】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．6．（5分）【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】选项A由反证法得出判断；选项B由异面直线的公垂线唯一得出判断；选项C、D可借用图形提供反例．【解答】解：设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m平行，与l、m异面矛盾，故选项A错误；由于l、m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确；对于选项C、D可参考下图的正方体，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误；若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，故选项D错误．故选B．【点评】本题考查直线与异面直线平行、垂直、相交、异面的情况，同时考查空间想象能力．7．（5分）【考点】向量的模．【分析】本题是对向量意义的考查，根据|||﹣|||≤|+|≤||+||进行选择，题目中注意|+2|=|++|的变化，和题目所给的条件的应用．【解答】解：∵|+2|=|++|≤|+|+||=2||，∵，是非零向量，∴必有+≠，∴上式中等号不成立．∴|2|＞|+2|，故选C【点评】大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．8．（5分）（【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．【点评】考查函数的单调性问题．9．（5分）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由PF1⊥PF2，|PF1|?|PF2|=4ab可知：PF1|?|PF2|=|F1F2|?|PA|，导出，由此能够求出双曲线的离心率．【解答】解：设准线与x轴交于A点．在Rt△PF1F2中，∵|PF1|?|PF2|=|F1F2|?|PA|，∴，又∵|PA|2=|F1A|?|F2A|，∴，化简得c2=3a2，∴．故选答案B【点评】本题考查双曲线的离心率的求法解三角形的相关知识．解题时不能联系三角形的有关知识，找不到解题方法而乱选．双曲线的离心率的求法是解析几何的一个重点，且方法较多，要善于总结各种方法，灵活应用10．（5分）【考点】函数的图象；函数的值域．【分析】先画出f（x）的图象，根据图象求出函数f（x）的值域，然后根据f（x）的范围求出x的范围，即为g（x）的取值范围，然后根据g（x）是二次函数可得结论．【解答】解：如图为f（x）的图象，由图象知f（x）的值域为（﹣1，+∞），若f（g（x））的值域是[0，+∞），只需g（x）∈（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．而g（x）是二次函数，故g（x）∈[0，+∞）．故选：C【点评】本题主要考查了函数的图象，以及函数的值域等有关基础知识，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据两个复数的积是1+i和所给的另一个复数的表示式，写出复数是由两个复数的商得到的，进进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简以后得到结果．【解答】解：∵复数z1=1﹣i，z1?z2=1+i，∴．故答案为：i【点评】本题考查复数的除法运算，考查在两个复数和两个复数的积三个复数中，可以知二求一，这里的做法同实数的乘除一样，本题是一个基础题．12．（4分）【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．【分析】把题设等式两边平方利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式求得sin2θ的值，进而利用θ的范围确定2θ的范围，最后利用同角三角函数的基本关系求得cos2θ的值．【解答】解：∵，∴两边平方，得sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=，即．∴．∵≤θ≤，∴π≤2θ≤．∴．故答案为：﹣【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角公式的化简求值．在利用同角三角函数的基本关系时，一定要注意角度范围，进而判定出三角函数的正负．13．（4分）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的几何意义去绝对值号转化为一次不等式求解．【解答】解：|2x﹣1|﹣x＜1?|2x﹣1|＜x+1?﹣（x+1）＜2x﹣1＜x+1，∴?0＜x＜2，故答案为（0，2）．【点评】考查绝对值不等式的解法，此类题一般两种解法，一种是利用绝对值的几何意义去绝对值号，另一种是用平方法去绝对值号，本题用的是前一种方法．14．（4分）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分两种情况讨论，①用10元钱买2元1本的杂志，②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本，分别求得可能的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，可有以下两种情况：①用10元钱买2元1本的杂志，共有C85=56②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本共有C84?C32=70×3=210，故不同买法的种数是210+56=266，故答案为266．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意分类讨论与分步进行，即先组合再排列．15．（4分）【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】要求这组数据的方差，需要先求出分布列中变量的概率，这里有三个条件，一个是三个数成等差数列，一个是概率之和是1，一个是这组数据的期望，联立方程解出结果．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∵a+b+c=1，Eξ=﹣1×a+1×c=c﹣a=．联立三式得，∴．故答案为：【点评】这是一个综合题目，包括等差数列，离散型随机变量的期望和方差，主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望的公式．16．（4分）【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】本题考查的知识点是二面角及其度量，由于二面角α﹣AB﹣β的可能是锐二面角、直二面角和钝二面角，故我们要对二面角α﹣AB﹣β的大小分类讨论，利用反证法结合点P在α内，且∠POB=45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，易得到结论．【解答】解：若二面角α﹣AB﹣β的大小为锐角，则过点P向平面β作垂线，设垂足为H．过H作AB的垂线交于C，连PC、CH、OH，则∠PCH就是所求二面角的平面角．根据题意得∠POH≥45°，由于对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，∴∠POH≥45°，设PO=2x，则又∵∠POB=45°，∴OC=PC=，而在Rt△PCH中应有PC＞PH，∴显然矛盾，故二面角α﹣AB﹣β的大小不可能为锐角．即二面角α﹣AB﹣β的范围是：[90°，180°]．若二面角α﹣AB﹣β的大小为直角或钝角，则由于∠POB=45°，结合图形容易判断对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°．即二面角α﹣AB﹣β的范围是[90°，180°]．故答案为：[90°，180°]．【点评】高考考点：二面角的求法及简单的推理判断能力，易错点：画不出相应的图形，从而乱判断．备考提示：无论解析几何还是立体几何，借助于图形是我们解决问题的一个重要的方法，它可以将问题直观化，从而有助于问题的解决．17．（4分）【考点】简单线性规划的应用．【分析】利用不等式表示的平面区域得出区域与圆形区域的关系，把握好两个集合的包含关系是解决本题的关键，通过图形找准字母之间的不等关系是解决本题的突破口．【解答】解：由题意知，可行域应在圆内，如图：如果﹣m＞0，则可行域取到x＜﹣5的点，不能在圆内；故﹣m≤0，即m≥0．当mx+y=0绕坐标原点旋转时，直线过B点时为边界位置．此时﹣m=﹣，∴m=．∴0≤m≤．故答案为：0≤m≤【点评】本题考查线性规划问题的理解和掌握程度，关键要将集合的包含关系转化为字母之间的关系，通过求解不等式确定出字母的取值范围，考查转化与化归能力．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（14分）【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）先由正弦定理把sinA+sinB=sinC转化成边的关系，进而根据三角形的周长两式相减即可求得AB．（2）由△ABC的面积根据面积公式求得BC?AC的值，进而求得AC2+BC2，代入余弦定理即可求得cosC的值，进而求得C．【解答】解：（I）由题意及正弦定理，得AB+BC+AC=+1．BC+AC=AB，两式相减，得：AB=1．（Ⅱ）由△ABC的面积=BC?ACsinC=sinC，得BC?AC=，∴AC2+BC2=（AC+BC）2﹣2AC?BC=2﹣=，由余弦定理，得，所以C=60°．【点评】本题主要考查了正弦定理、三角形的面积计算等相关知识．此类问题要求大家对正弦定理、余弦定理、面积公式要熟练掌握，并能运用它们灵活地进行边与角的转化，解三角形问题也是每年高考的一个重点，但难度一般不大，是高考的一个重要的得分点．19．（14分）【考点】棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角．【分析】方法一（I）说明△ACB是等腰三角形即可说明CM⊥AB，然后推出结论．（II）过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，连接MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角，解三角形即可，方法二建立空间直角坐标系，（I）证明垂直写出相关向量CM和向量EM，求其数量积等于0即可证明CM⊥EM．（II）求CM与平面CDE所成的角，写出向量CM，以及平面的法向量，利用数量积公式即可解答．【解答】解：方法一：（I）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，所以CM⊥AB．又EA⊥平面ABC，所以CM⊥EM．（II）解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，连接MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．因为MH⊥平面CDE，ED⊥MH，又因为CM⊥平面EDM，所以CM⊥ED，则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．设EA=a，在直角梯形ABDE中，，M是AB的中点，所以DE=3a，，，得△EMD是直角三角形，其中∠EMD=90°，所以．在Rt△CMF中，，所以∠FCM=45°，故CM与平面CDE所成的角是45°．方法二：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C﹣xyz，设EA=a，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），E（2a，0，a）．D（0，2a，2a），M（a，a，0）．（I）证明：因为，，所以，故EM⊥CM．（II）解：设向量n=（1，y0，z0）与平面CDE垂直，则，，即，．因为，，所以y0=2，x0=﹣2，，直线CM与平面CDE所成的角θ是n与夹角的余角，所以θ=45°，因此直线CM与平面CDE所成的角是45°．【点评】本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．利用空间直角坐标系解答时，注意计算的准确性．20．（14分）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设出点A，B的坐标利用椭圆的方程求得A，B的横坐标，进而利用弦长公式和b，求得三角形面积表达式，利用基本不等式求得其最大值．（Ⅱ）把直线与椭圆方程联立，进而利用弦长公式求得AB的长度的表达式，利用O到直线AB的距离建立方程求得b 和k的关系式，求得k．则直线的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）设点A的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b），由，解得，所以=≤b2+1﹣b2=1．当且仅当时，S取到最大值1．（Ⅱ）解：由得，①△=4k2﹣b2+1，=．②设O到AB的距离为d，则，又因为，所以b2=k2+1，代入②式并整理，得，解得，，代入①式检验，△＞0，故直线AB的方程是或或，或．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．21．（15分）【考点】数列的求和；不等式的证明．【分析】（1）用解方程或根与系数的关系表示a2k﹣1，a2k，k赋值即可．（2）由S2n=（a1+a2）+…+（a2n﹣1+a2n）可分组求和．（3）T n复杂，常用放缩法，但较难．【解答】解：（Ⅰ）解：方程x2﹣（3k+2k）x+3k?2k=0的两个根为x1=3k，x2=2k，当k=1时，x1=3，x2=2，所以a1=2；当k=2时，x1=6，x2=4，所以a3=4；当k=3时，x1=9，x2=8，所以a5=8时；当k=4时，x1=12，x2=16，所以a7=12．（Ⅱ）解：S2n=a1+a2+…+a2n=（3+6+…+3n）+（2+22+…+2n）=．（Ⅲ）证明：，所以，．当n≥3时，=，同时，=．综上，当n∈N*时，．【点评】本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．本题属难题，一般要求做（1），（2）即可，让学生掌握常见方法，对（3）不做要求．22．（15分）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求函数y=f（x）﹣g8（x）的单调区间；（II）（ⅰ）由题意当x＞0时，f（x）≥g t（x），求出f（x）最小值，和g t（x）的最大值，从而求证；（ⅱ）由（i）得，g t（2）≥g t（2）对任意正实数t成立．即存在正实数x0=2，使得g x（2）≥g t（2）对任意正实数t，然后再证明x0的唯一性．【解答】解：（I）解：．由y'=x2﹣4=0，得x=±2．因为当x∈（﹣∞，﹣2）时，y'＞0，当x∈（﹣2，2）时，y'＜0，当x∈（2，+∞）时，y'＞0，故所求函数的单调递增区间是（﹣∞，﹣2），（2，+∞），单调递减区间是（﹣2，2）．（II）证明：（i）方法一：令，则，当t＞0时，由h'（x）=0，得，当时，h'（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）内的最小值是．故当x＞0时，f（x）≥g t（x）对任意正实数t成立．方法二：对任意固定的x ＞0，令，则，由h'（t ）=0，得t=x 3．当0＜t ＜x 3时，h'（t ）＞0．当t ＞x 3时，h'（t ）＜0，所以当t=x 3时，h （t ）取得最大值．因此当x ＞0时，f （x ）≥g （x ）对任意正实数t 成立．（ii ）方法一：．由（i ）得，g x （2）≥g t （2）对任意正实数t 成立．即存在正实数x 0=2，使得g x （2）≥g t （2）对任意正实数t 成立．下面证明x 0的唯一性：当x 0≠2，x 0＞0，t=8时，，，由（i ）得，，再取t=x 03，得，所以，即x 0≠2时，不满足g x （x 0）≥g t （x 0）对任意t ＞0都成立．故有且仅有一个正实数x 0=2，使得g x （x 0）0≥g t （x 0）对任意正实数t 成立．方法二：对任意x 0＞0，，因为g t （x 0）关于t 的最大值是，所以要使g x （x 0）≥g t （x 0）对任意正实数成立的充分必要条件是：，即（x 0﹣2）2（x 0+4）≤0，①又因为x 0＞0，不等式①成立的充分必要条件是x 0=2，所以有且仅有一个正实数x 0=2，使得g x （x 0）≥g t （x 0）对任意正实数t 成立．【点评】本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力，难度较大．。