三角函数的诱导公式教学设计

1.3 三角函数的诱导公式

（名师：杨峻峰）

一、教学目标

（一）核心素养

从对称性出发，获得一些三角函数的性质.会选择合适的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.

（二）学习目标

1. 牢固掌握五组诱导公式.

2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明.

3. 通过诱导公式的推导，培养学生的观察能力、分析归纳能力.

4.渗透把未知转化为已知以及分类讨论的数学思想.

（三）学习重点

熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明.

（四）学习难点

相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识，诱导公式的推导、记忆及符号判断.

二、教学设计

（一）课前设计

1. 阅读教材第23页至第27页，填空：

（1）如图，πα

+的终边与角α的终边关于原点对称；

（2）如图，α

-的终边与角α的终边关于x轴对称；

（3）如图，πα-的终边与角α的终边关于 y 轴 对称； （4）如图，

2

π

α-的终边与角α的终边关于 直线y ＝x 对称；

（5）诱导公式：

公式二：()sin πα+=sin α-，()cos πα+=cos α-，()tan πα+=tan α； 公式三：()sin α-=sin α-，()cos α-=cos α，()tan α-=tan α-； 公式四：()sin πα-=sin α，()cos πα-=cos α-，()tan πα-=tan α-；

公式五：sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos α，cos 2πα⎛⎫

-= ⎪⎝⎭sin α；

公式六：sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α，cos 2πα⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

sin α-．

2．预习自测

1.下列选项错误的是（ ）

A.利用诱导公式二可以把第三象限的三角函数化为第一象限的三角函数.

B.利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数.

C. sin cos 2παα⎛

⎫+=- ⎪⎝

⎭.

D.若α为第四象限角，则sin cos 2παα⎛

⎫-=- ⎪⎝⎭.

答案：C. （二）课堂设计 1．知识回顾

（1）任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？ 在角α的终边上任取一点(),P x y

，则sin α=

cos α=

，tan y

x

α=

. 当P 为角α的终边和单位圆的交点时，有sin α=y ，cos α=x ，tan y x

α=. （2）诱导公式一：

()()()sin 2sin ;cos 2cos ;tan 2tan ,k k k k Z

+⋅=+⋅=+⋅=∈απααπααπα

（3）终边相同的角的同名三角函数值相等，即公式一.利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值. 对于任何一个[)0,2π内的角β，以下四种情况有且只有一种成立：

0,2,23,232,22παβππαβπβππαβπππαβπ⎧⎡⎫

∈⎪

⎪⎢⎣⎭⎪

⎪⎡⎫-∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪+∈⎪⎢⎪⎣⎭

⎪

⎡⎫

⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩

，当，当，当，当 （其中α为锐角）

所以，我们研究πα-，πα+，2πα-与α的同名三角函数即可. 2．问题探究

探究一 角πα+与角α之间的关系

●活动① 结合图象，探究角πα+与角α终边之间的关系

结合图象思考：

①锐角α的终边与πα+角的终边位置关系如何？ ②它们与单位圆的交点的位置关系如何？ ③任意角α与πα+呢？

引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论：

①无论α为锐角还是任意角，πα+的终边都是α的终边的反向延长线； ②角的终边与单位圆的交点关于原点对称.

●活动② 结合定义，辨析角πα+与角α三角函数之间的关系

设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为()1,P x y ，由对称可知，角πα+的终边与单位圆的交点坐标为()2,P x y --.由三角函数的定义得： sin y α=，

cos x α=， tan y x

α=

；

()sin y πα+=-，

()cos x πα+=-，

()tan y x

πα+=

. 从而，我们得到诱导公式二：

()sin sin παα+=-， ()cos cos παα+=-， ()tan tan παα+=.

探究二 角α-、πα-与角α之间的关系

●活动① 结合图象，探究角α-、πα-与角α终边之间的关系

结合图象思考：

①任意角α-、πα-的终边与角α的终边位置关系如何？ ②它们与单位圆的交点的位置关系如何？ 引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论：

①任意角α-的终边与任意角α的终边关于x 轴对称，与单位圆的交点也关于x 轴对称；

②任意角πα-角的终边与角α的终边关于y 轴对称，与单位圆的交点也关于y 轴对称.

●活动② 类比探究一，辨析角α-、πα-与角α三角函数之间的关系 引导学生类比探究一的方法，得到： 公式三：

()sin sin αα-=-， ()cos cos αα-=， ()tan tan αα-=-.

公式四：

()sin sin παα-=， ()cos cos παα-=-， ()tan tan παα-=-.