天津市部分区2019届高三质量调查试卷(二)数学(理)试题【附解析】
2019届天津市高三9月调研数学(理)试卷【含答案及解析】
2019届天津市高三9月调研数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合则 =（）A. [2,3]B. (-2,3] ______________C. [1,2) ________D.2. 已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（）A. 充分不必要条件_________B. 必要不充分条件_________C. 充要条件___________D. 既不充分也不必要条件3. 已知，，且，则下式一定成立的是（）A. ___________B. _________C. _________D.4. 设，则 = （）A. B.C. D.5. 二次函数与指数函数的图象只可能是（）6. 设函数，则的单调减区间为（）A. _________________________B. _______________________C. ________D.7. 设，，则下述关系式正确的是（）A. ________________B. ________________________C. ________D.8. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集（） A. ________ B. ___________C. _________D.二、填空题9. 已知函数则当时，．10. 方程的实数解为_________ ．11. 函数的值域是________ ．12. 函数的图像在点处的切线的倾斜角为________ ．13. 设 , 则当 ______时, 取得最小值.14. 函数，则函数的零点个数是________ ．三、解答题15. 已知不等式的解集为，关于的不等式的解集为，全集，求使的实数的取值范围.16. 已知函数的最小值为求函数的解析式 .17. 已知函数（）在是单调减函数，且为偶函数. （Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）讨论的奇偶性，并说明理由.18. 解关于的不等式 : ，．19. 已知函数， .（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；（Ⅱ）若在区间上单调递增, 求的取值范围；（Ⅲ）讨论函数的零点个数.20. 已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间上存在不相等的实数 ,使成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证： .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
【区级联考】天津市和平区2019届高三第二学期第二次质量调查数学(理)试题(原卷版)
15. 已知函数 ( Ⅰ)求 在 上的单调递增区间；
(Ⅱ)在
中，
分别是角
的对边， 为锐角，若
，且
的面积为 ，
求
的最小值 .
16. 某中学图书馆举行高中志愿者检索图书的比赛，从高一、高二两个年级各抽取
10 名志愿者参赛。在规定
1.设全集
，集合
,
,则
A.
B.
C.
D.
2.已知 满足约束条件
则
的最小值为
A. 2
B. 4
C.
D.
3.执行如图所示的程序框图 , 若输入的
，则输出
A.
B.
C.
D.
4.下列结论错误的是
A. 命题：“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”
B. “
”是“
”的充分不必要条件
C. 命题：“
，
”的否定是“
，
”
D. 若“
12. 一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为 形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为
的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为 ___________ .
的正方
13. 若不等式
对任意实数 都成立 , 则实数 的最大值为 ________.
的 14.已知函数
且函数
在
内有且仅有两个不同
的零点，则实数 的取值范围是 ___________.
天津市和平区 2018-2019 学年度第二学期高三年级第二次质量调查数
学（理）学科试卷
第Ⅰ卷 选择题（共 40 分）
注意事项 :
2019年天津市高考理科数学试卷及答案解析【word版】
绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数734i i（ ）（A ）1i （B ）1i （C ）17312525i （D ）172577i （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ）（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945FED CBA （4）函数212log 4f x x 的单调递增区间是（）（A ）0, （B ）,0（C ）2,（D ）,2（5）已知双曲线22221x y a b 0,0ab 的一条渐近线平行于直线l ：210y x ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y （B ）221205x y （C ）2233125100x y （D ）2233110025x yD ，交（6）如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CEBE DE ；④AF BD AB BF .则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ （7）设,a bR ，则|“a b ”是“a a b b ”的（ ）（A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 （8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC ，DFDC .若1AE AF ，23CE CF，则（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
天津市河西区2019届高三下学期总复习质量调查(二)数学(理)试题(二模)Word版含答案
（Ⅱ）若 B 是钝角，且 cos A
3 ， sin B
12 ，求 sin C 的值 .
5
13
B ) 和 a ， b 的值；
（ 16）（本小题满分 13 分）
0
1
2
3
甲，乙，丙三
位学生独立地解同
一道题，甲做对的
P
1 4
a
1
b
24
1
概率为 ，乙，丙
2
做对的概率分别为 m ， n ( m ＞ n ) ，且三位学生是否做对相互独立 . 记 为这三位学生中做
河西区 2018—2019学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）
数 学 试 卷（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共
150 分，考试用时 120 分
钟。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 7 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条
2 sin t
原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 则 l 的极坐标方程为 _____________.
(13 ）若 log 4 3a 4b log 2 ab ，则 a b 的最小值为 _____________.
（ 14）已知函数 f x 满足， f x
kx k , x 0 ，其中 k 0 ，若函数 y f f x 1 有 4
（ D）既不充分也不必要条件
（ 5）设 a （ A） b
0.5
3 ,b
4 ac
0.4
4 ，c
3
log3 log3 4 ，则
4
（ B） c a b
（ C） c b a
（ D） a c b
2019年最新(统考)天津市高三第二次模拟考试数学试题(理)及答案解析
高二模考试 数学试卷(理工类)第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数i t z +=21,i z 212-=,若21z z 为实数,则实数t 的值是( ) A ．41-B ．-1C ．41D ．1 2. 设集合}01{2<-=x x A ,},2{A x y y B x∈==,则=B A ( )A ．(0,1)B ．(-1,2)C ．),1(+∞-D ．)1,21(3. 已知函数⎩⎨⎧<≥∙=-0,20,2)(x x a x f x x (R a ∈).若1)]1([=-f f ,则=a ( )A ．41 B ．21C ．2D ． 1 4. 若a ,R b ∈，直线l :b ax y +=,圆C :122=+y x .命题p :直线l 与圆C 相交；命题q ：12->b a .则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是( ) A ．31 B ．21 C. 32 D ．656. 已知抛物线x y 82=的准线与双曲线116222=-y a x 相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．12+ C.2 D ．37. 若数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为a a n n ∙-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．)21,1[-B ．[-1,1） C.[-2,1) D ．)23,2[-8. 已知函数⎩⎨⎧≤++<+=a x x x ax x x f ,25,2)(2，若函数x x f x g 2)()(-=恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[-1,1)B ．[-1,2) C. [-2,2) D ．[0,2]第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间为 ．10.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 值分别为0和9，则输出的i 值为 ．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.已知0>a ，0>b ，且42=+b a ，则ab1的最小值是 ． 13.已知0>ω，在函数x y ωsin =与x y ωcos =的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为 ．14.如图，已知ABC ∆中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2==PBMPMC AM ，2=3=，︒=∠120BAC ，则∙的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数+-=)32cos()(πx x f )4sin()4sin(2ππ+-x x . （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）讨论函数)(x f 在区间]2,12[ππ-上单调性求出的值域. 16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与P ，且乙投球2次均未命中的概率为161. （Ⅰ）求乙投球的命中率P ；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 17. 如图，直三棱柱111C B A ABC -中，4=AC ，3=BC ，41=AA ，BC AC ⊥，点D 在线段AB 上.（Ⅰ）证明C B AC 1⊥；（Ⅱ）若D 是AB 中点，证明//1AC 平面CD B 1；（Ⅲ）当31=AB BD 时，求二面角1B CD B --的余弦值. 18. 已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 832+=，}{n b 是等差数列，且1++=n n n b b a . （Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式；（Ⅱ）令nn n n n b a c )2()1(1++=+，求数列}{n c 的前n 项和n T . 19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，直线x y =被椭圆C 截得的线段长为5104. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AB AD ⊥.直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.设直线BD ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，证明存在常数λ使得21k k λ=，并求出λ的值.20.选修4-4：坐标系与参数方程 设函数xmx x f +=ln )(，R m ∈. （Ⅰ）当e m =时，求函数)(x f 的极小值； （Ⅱ）讨论函数3)()(xx f x g -'=零点的个数； （Ⅲ）若对任意的0>>a b ，1)()(<--ab b f a f 恒成立，求m 的取值范围.数学试卷（理工类）参考答案一、选择题1-5:ADABC 6-8:ADB二、填空题9. ),2(+∞ 10.3 11. 335 12. 21 13. π14.-2三、解答题15.解：（Ⅰ）+-=)32cos()(πx x f )4sin()4sin(2ππ+-x x++=x x 2sin 232cos 21 )cos )(sin cos (sin x x x x +- x x x x 22cos sin 2sin 232cos 21-++= x x x 2cos 2sin 232cos 21-+= )62sin(π-=x .∴周期ππ==22T . 由)(262Z k k x ∈+=-πππ，得)(32Z k k x ∈+=ππ. ∴函数图象的对称轴方程为)(32Z k k x ∈+=ππ. （Ⅱ）∵]2,12[ππ-∈x ，∴]65,3[62πππ-∈-x . )62sin()(π-=x x f 在区间]3,12[ππ-上单调递增，在区间]2,3[ππ上单调递减，当3π=x 时，)(x f 取最大值1.∵21)2(23)12(=<-=-ππf f . ∴12π-=x ，23)(max -=x f . 所以值域为]1,23[-. 16.解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得161)1())(1(22=-=-p B P ， 解得43=p 或45=p （舍去），所以乙投球的命中率为43.（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知21)(=A P ，21)(=A P ，43)(=B P ，41)(=B P . ξ可能的取值为0,1,2,3，故P A P P )()0(==ξ321)41(21)(2=⨯=∙B B ， )()()1(B B P A P P ∙==ξ)()()(12A P B P B P C +3272141432)41(212=⨯⨯⨯+⨯=， )()()3(B B P A P P ∙==ξ329)43(212=⨯=， 3215)3()0(1)2(==-=-==ξξξP P P . ξ分布列为：所以321320++⨯=ξE 2323322=⨯+⨯+. 17. 解：（Ⅰ）证明：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系xyz C -.则)0,0,3(B ，)0,4,0(A ，)4,4,0(1A ，)4,0,3(1B ，)4,0,0(1C .)0,4,0(-=，)4,0,3(1--=B ，01=∙B ，所以C B AC 1⊥.（Ⅱ）解法一：)4,4,0(1-=设平面CD B 1的法向量),,(z y x =，由)4,0,3(1--=∙B 043),,(=--=∙y x z y x ， 且∙=∙)0,2,23(m CD 0223),,(=+=y x z y x ， 令4=x 得)3,3,4(--=m ，所以0)3,3,4()4,4,0(1=--∙-=∙m AC ， 又⊄1AC 平面CD B 1，所以//1AC 平面CD B 1； 解法二：证明：连接1BC ，交1BC 于E ，DE . 因为直三棱柱111C B A ABC -，D 是AB 中点， 所以侧面C C BB 11为矩形，DE 为1ABC ∆的中位线. 所以1//AC DE ，因为⊂DE 平面CD B 1，⊄1AC 平面CD B 1， 所以//1AC 平面CD B 1. （Ⅲ）由（Ⅰ）知BC AC ⊥， 设)0,0)(0,,(>>b a b a D ， 因为点D 在线段AB 上，且31=AB BD ，即=31. 所以2=a ，34=b ，=BD )0,34,1(-. 所以)4,0,3(1--=C B ，)0,34,2(=. 平面BCD 的法向量为)1,0,0(1=n . 设平面CD B 1的法向量为)1,,(2y x n =，由021=∙n C B ，02=∙n CD ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0342043y x x ，所以34-=x ，2=y ，=2n )1,2,34(-. 设二面角1B CD B --的大小为θ， 所以613cos ==θ. 所以二面角1B CD B --的余弦值为61613. 18. 解：（Ⅰ）由题知，当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，1111==S a ，符合上式.所以56+=n a n .设数列}{n b 的公差d ，由⎩⎨⎧+=+=,,322211b b a b b a 即为⎩⎨⎧+=+=,3217,21111d b d b ，解得41=b ，3=d ，所以13+=n b n .（Ⅱ）112)1(3)33()66(+++=++=n nn n n n n c ，n n c c c T +++=...21，则 +⨯+⨯⨯=322322[3n T ]2)1(...1+⨯++n n ，+⨯+⨯⨯=432322[32n T ]2)1(...2+⨯++n n ，两式作差，得+++⨯⨯=-4322222[3n T ]2)1(2...21++⨯+-+n n n]2)1(21)21(44[32+⨯+---+⨯=n n n223+∙-=n n .所以223+∙=n n n T .19. 解：（Ⅰ）∵23=e ，∴23=a c ，4322222=-=a b a a c ，∴224b a =.①设直线x y =与椭圆C 交于P ，Q 两点，不妨设点P 为第一象限内的交点.∴5104=PQ ，∴)552,552(P 代入椭圆方程可得222245b a b a =+.② 由①②知42=a ，12=b ，所以椭圆的方程为：1422=+y x . （Ⅱ）设)0)(,(1111≠y x y x A ),(22y x D ，则),(11y x B --，直线AB 的斜率为11x y k AB =，又AD AB ⊥，故直线AD 的斜率为11x y k -=.设直线AD 的方程为m kx y +=，由题知 0≠k ，0≠m 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y ，得mkx x k 8)41(22++0442=-+m . ∴221418k mk x x +=+，)(2121x x k y y +=+24122k m m +=+，由题意知021≠+x x ， ∴1121211441x y k x x y y k =-=++=，直线BD 的方程为)(41111x x x y y y +=+. 令0=y ，得13x x =，即)0,3(1x M ，可得=2k 112x y -，∴2121k k -=，即21-=λ. 因此存在常数21-=λ使得结论成立. 20. 解：（1）由题设，当e m =时，x e x x f +=ln )(，易得函数)(x f 的定义域为),0(+∞， 221)(xe x x e x xf -=-='.∴当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(e 上单调递减； ∴当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞e 上单调递增；所以当e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+=ee e ef ，所以)(x f 的极小值为2.（2）函数=-'=3)()(x x f x g 312x x m x --)0(>x ，令0)(=x g ，得x x m +-=231)0(>x . 设)0(31)(2≥+-=x x x x ϕ，则=+-='1)(2x x ϕ)1)(1(+--x x . ∴当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ在（0,1）上单调递增；∴当),1(+∞∈x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ在),1(+∞上单调递减；所以)(x ϕ的最大值为32131)1(=+-=ϕ，又0)0(=ϕ，可知： ①当32>m 时，函数)(x g 没有零点； ②当32=m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点； ③当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点； ④当0≤m 时，函数)(x g 有且只有1个零点.综上所述： 当32>m 时，函数)(x g 没有零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点；当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点. （3）对任意0>>a b ，1)()(<--ab a f b f 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立. )(*. 设=-=x x f x h )()()0(ln >-+x x x m x ，∴)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减. ∴011)(2≤--='xm x x h 在),0(+∞上恒成立， ∴=+-≥x x m 241)21(2+--x )0(>x 恒成立，∴41≥m （对41=m ，0)(='x h 仅在21=x 时成立）. ∴m 的取值范围是),41[+∞.。
【k12高考数学模拟】2019届天津市部分区高三质量调查试题(二)数学(理)试题(解析版)
2019届天津市部分区高三质量调查试题（二）数学（理）试题一、单选题1．已知全集，集合，，则=（）A．{0，4} B．{0，1，4} C．{1，4} D．{0，1}【答案】B【解析】先求全集，再求交集，最后根据补集得结果.【详解】因为，,所以= {0，1，4}，选B.【点睛】本题考查交集与补集概念，考查基本求解能力，属基础题.2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数最小的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】先作可行域，再根据目标函数表示的直线，结合图象确定最优解，即得结果.【详解】作可行域，则直线过点A(1,0)时取最小值1，选D.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.3．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A．3 B．1 C．0 D．-1【答案】C【解析】解：当i=1时，；当i=2时，；当i=3时，，当i=4时，，故选C。
4．若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据对数函数与指数函数单调性确定大小.【详解】因为，，所以，选A.【点睛】本题考查利用对数函数与指数函数单调性比较大小，考查基本分析求解能力，属基础题.5．已知双曲线的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点的坐标为(4，3)，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据坐标原点到交点距离等于半径得c，再根据交点在渐近线可得关系，解得即可. 【详解】因为以线段为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点的坐标为(4，3)，所以坐标原点到交点(4，3)距离等于半径c，即因为(4，3)在双曲线渐近线上，所以，因为,所以，即双曲线的方程为，选A.【点睛】本题考查双曲线渐近线与标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理得，所以“”是“”的充要条件，选C. 7．如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据向量表示化简数量积，即得结果.【详解】,选B.【点睛】本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.8．已知函数，若关于x的方程恰有三个不同的实数根a，b，c，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先作图，再确定关系以及范围，即得结果.【详解】作图可得，，所以，选D.【点睛】本题考查函数与方程，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题9．已知i是虚数单位，则________________.【答案】【解析】根据复数除法运算法则求解.【详解】.【点睛】本题考查复数除法运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.10．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产量分别为400，800，600件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从C种型号的产品中抽取________件.【答案】【解析】根据分层抽样确定抽取数.【详解】由题意得从C种型号的产品中抽取件.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.11．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为，则四棱锥的体积为________.【答案】【解析】试题分析：正四棱锥的底面边长为2，底面面对角线的一半为，所以棱锥的高为【考点】棱锥的体积12．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为，在以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为，则直线l与圆C的位置关系为___________.【答案】相交【解析】先将圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离与半径大小关系确定位置关系. 【详解】因为圆C的方程为，所以，因此圆心到直线距离为，所以直线与圆C相交.【点睛】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 13．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则ABC周长的最大值是_______.【答案】【解析】根据余弦定理以及基本不等式求最值.【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，因此，即ABC周长的最大值是【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.14．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有两个空盒的不同放法共有__________种.【答案】84【解析】分析：先选两个空盒子，再把4个小球分为，两组，分到其余两个盒子里，即可得到答案.详解：先选两个空盒子，再把4个小球分为，两组，故有.故答案为：84.点睛：本题考查的是排列、组合的实际应用，考查了计数原理，注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列.三、解答题15．已知函数，.(1)求的最小正周期和最大值；(2)讨论在区间上的单调性.【答案】(1) ，其最大值为. (2)见解析【解析】（1）先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求周期与最值，（2）根据正弦函数性质求单调性.【详解】解：（1）由题意，得.所以的最小正周期，其最大值为.（2）令则函数的单调递增区间是.由,得设，易知.所以，当时,在区间上单调递增；在区间上单调递减.【点睛】本题考查二倍角公式、配角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.16．某闯关游戏共有两关，游戏规则：先闯第一关，当第一关闯过后，才能进入第二关，两关都闯过，则闯关成功，且每关各有两次闯关机会.已知闯关者甲第一关每次闯过的概率均为，第二关每次闯过的概率均为.假设他不放弃每次闯关机会，且每次闯关互不影响.(1)求甲恰好闯关3次才闯关成功的概率；(2)记甲闯关的次数为，求随机变量的分布列和期望.。
天津市和平区2019届高三下学期二模考试数学(理)试题 Word版含答案
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷 选择题（共40分）注意事项:1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：∙如果事件B A ，互斥,那么 ∙如果事件B A ，相互独立,那么)()()(B P A P B A P += )()()(B P A P AB P =.∙柱体的体积公式Sh V=. ∙锥体的体积公式Sh V 31=.其中S 表示柱体的底面积, 其中S 表示锥体的底面积,h 表示柱体的高. h 表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 设全集R U =，集合})1lg({2-==x y x M ,{02}N x x =<<,则=N M C R )((A) {}12≤≤-x x (B) {}10≤<x x (C) {}11≤≤-x x (D) {}1<x x(2) 已知y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+014242y x y x y x 则y x z -=2的最小值为(A) 2 (B) 4 (C)21(D) 52 (3) 执行如图所示的程序框图,若输入的6=n ， 则输出=S(A) 145 (B) 31 (C) 5627 (D) 103(4) 下列结论错误的是(A) 命题：“若0232=+-x x ，则2=x ”的逆否命题是“若2≠x ，则0232≠+-x x ” (B) “b a >”是“22bc ac >”的充分不必要条件(C) 命题：“R x ∈∃， 02>-x x ”的否定是“R x ∈∀， 02≤-x x ” (D) 若“q p ∨”为假命题，则q p ,均为假命题(5) )2()2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向右平移12π个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的值为 (A) 3π-(B) 4π- (C) 3π (D) 6π- (6) 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数，设),(ln πf a =),2log (5-=f b ),(21-=ef c 则c b a ,,的大小关系是(A)a c b << (B)c b a << (C)a b c << (D)b c a <<(7) 已知双曲线1:2222=-by a x C )0,0(>>b a 的右焦点为)0,(c F ，直线c a x 2=与一条渐近线交于点P ，POF ∆的面积为2a O (为原点），则抛物线x aby 22=的准线方程为 (A) 21=y (B) 1=x (C) 1-=x (D) 2=x (8) 在ABC ∆中，62==AC AB ，2=⋅，点P 是ABC ∆所在平面内的一点，则当222++取得最小值时，=⋅(A)53 (B) 9- (C) 7 (D) 52- 第Ⅱ卷 非选择题（共110分）注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
天津市和平区2019届高三下学期二模考试数学(理)试卷(含答案)
天津市和平区2019届高三下学期二模考试理科数学试题温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷 选择题（共40分）注意事项:1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：如果事件B A ，互斥,那么 如果事件B A ，相互独立,那么)()()(B P A P B A P += )()()(B P A P AB P =. 柱体的体积公式Sh V =. 锥体的体积公式Sh V 31=.其中S 表示柱体的底面积, 其中S 表示锥体的底面积, h 表示柱体的高. h 表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 设全集R U =，集合})1lg({2-==x y x M ,{02}N x x =<<,则=N M C R )((A) {}12≤≤-x x (B) {}10≤<x x (C) {}11≤≤-x x (D) {}1<x x(2) 已知y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+014242y x y x y x 则y x z -=2的最小值为(A) 2 (B) 4 (C)21(D) 52 (3) 执行如图所示的程序框图,若输入的6=n ， 则输出=S (A) 145 (B) 31 (C) 5627 (D) 103(4) 下列结论错误的是(A) 命题：“若0232=+-x x ，则2=x ”的逆否命题是“若2≠x ，则0232≠+-x x ” (B) “b a >”是“22bc ac >”的充分不必要条件(C) 命题：“R x ∈∃， 02>-x x ”的否定是“R x ∈∀， 02≤-x x ” (D) 若“q p ∨”为假命题，则q p ,均为假命题(5) )2()2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向右平移12π个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的值为 (A) 3π-(B) 4π- (C) 3π (D) 6π- (6) 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数，设),(ln πf a =),2log (5-=f b ),(21-=ef c 则c b a ,,的大小关系是(A)a c b << (B)c b a << (C)a b c << (D)b c a <<(7) 已知双曲线1:2222=-by a x C )0,0(>>b a 的右焦点为)0,(c F ，直线c a x 2=与一条渐近线交于点P ，POF ∆的面积为2a O (为原点），则抛物线x aby 22=的准线方程为 (A) 21=y (B) 1=x (C) 1-=x (D) 2=x (8) 在ABC ∆中，62==AC AB ，2=⋅，点P 是ABC ∆所在平面内的一点，则当222++取得最小值时，=⋅(A)53 (B) 9- (C) 7 (D) 52- 第Ⅱ卷 非选择题（共110分）注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2019届天津市和平区高三下学期第二次质量调查(二模)数学(理)试题(解析版)
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天津市和平区2019届高三年级第二次质量调查(二
模)
数学（理）试题
（解析版）
第Ⅰ卷选择题（共40分）
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
,那么,那么
其中, 表示锥体的底面积,
.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
.
【详解】因为全集
B.
【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题,其中解答中准确计算集合
的交集、补集的运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
2.
A. 2
B. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
首先绘制出可行域,注意到目标函数取最小值时直线系方程在y轴的截距有最大值,据此结合直线方程确定目标函数取得最小值时点的坐标,然后代入目标函数确定其最小值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,
其中z取得最小值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大, 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,
可得点A的坐标为：
据此可知目标函数的最小值为：。
2019年高考理科数学天津卷含答案
数学试卷 第 3页（共 16页）
数学试卷 第 4页（共 16页）
毕业学校_____________
姓名________________
考生号________________
________________ _____________
------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -----------------------------------
x，y
满足约束条件
x
1,
则目标函数 z 4x y 的最大值为（ ）
y 1,
题
A.2
B.3
C.5
D.6
3.设 x R ，则“ 0 x 5 ”是“ | x 1| 1 ”的
（）
无
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
效
数学试卷 第 1页（共 16页）
18.（本小题满分 13 分）
在
设椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左焦点为 F
，上顶点为 B .已知椭圆的短轴长为
4，离
心率为 5 . 5
（Ⅰ）求椭圆的方程；
此
（Ⅱ）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，
点 N 在 y 轴的负半轴上.若 | ON || OF （| O 为原点），且 OP MN ，求直线 PB
【精品高考数学试卷】2019年天津市高考数学二模试卷(理科)+答案
2019年天津市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，1}，B ={x||x +12|＜32，x ∈Z}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣1，0，1，2}2．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{x +2≥0x −y +3≥02x +y −3≤0，则目标函数z ＝3x +2y 的最大值为（ ）A ．﹣4B ．92C ．6D ．83．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入k 的值为9，则输出的结果S 为（ ）A ．109B ．48C ．19D ．64．（5分）设x ∈R ，则“x 3＜27”是“log 13x ＞−1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知△ABC 为直角三角形，AC ＝BC ＝2，点D 为斜边AB 的中点，点P 是线段CD 上的动点，则PA →⋅PB →的最小值为（ ） A ．﹣2B ．−14C ．−12D ．06．（5分）已知函数f （x ）＝e |x |，令a =f(sin 3π4)，b =f(2−3)，c =f(log 123)，则a ，b ，c的大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c7．（5分）已知抛物线C 1：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 为双曲线C 2：x 2−y 23=1的顶点，过点F 的直线与抛物线C 1相交于M 、N 两点，点A 在x 轴上，且满足|MN |＝8，若|AM |＝|AN |，则△AMN 的面积为（ ） A ．3√6B ．6√3C ．6√2D ．8√28．（5分）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象过点B(0，√3)，且在(π12，5π12)上单调，把f （x ）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，当x 1，x 2∈(2π3，4π3)且x 1≠x 2时，f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1+x 2）＝（ ） A ．−√3 B ．√3 C ．﹣1 D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．（5分）i 是虚数单位，复数−3+2i 1+i= ．10．（5分）在(√x 3−1x)n 的二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中常数项等于 ．11．（5分）已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若某球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的体积为 ．12．（5分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−1+√2cosαy =√2sinα（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+π4）＝2√2．设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，则|PQ |的最小值为 ．13．（5分）若log 4(a +4b)=log 22√ab ，则a +b 的最小值是 ．14．（5分）已知函数f(x)={xlnx −2x ，x ＞0x 2+32x ，x ≤0，函数g （x ）＝f （x ）﹣kx +1有四个零点，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且atanA=b 2sinB．（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a ＝6，b ＝2c ，求△ABC 的面积．16．（13分）为响应党中央号召，学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，王同学从中任取3道题解答． （Ⅰ）求王同学至少取到2道乙类题的概率；（Ⅱ）如果王同学答对每道甲类题的概率都是23，答对每道乙类题的概率都是35，且各题答对与否相互独立，已知王同学恰好选中2道甲类题，1道乙类题，用X 表示王同学答对题的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，平面ADE ⊥平面CDEF ，∠ADE ＝60°，DE ∥CF ，CD ⊥DE ，AD ＝2，DE ＝DC ＝3，CF ＝4，点G 是棱CF 上的动点．（Ⅰ）当CG ＝3时，求证EG ∥平面ABF ； （Ⅱ）求直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角G ﹣AE ﹣D 所成角的余弦值为√2211，求线段CG 的长．18．（13分）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，满足a 2＝5，S 5＝35，T n 是数列{b n }的前n 项和，满足T n ＝2b n ﹣1（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）令c n ={2S n ，n =2k −1a nb n ，n =2k(k ∈N ∗)，设数列{c n }的前n 项和P n ，求P 2n 的表达式．19．（14分）已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，离心率为√22，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=−4√3y 的焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点M （0，m ）（0＜m ＜b ）的直线交x 轴的负半轴于点N ，交C 于点A ，B （A 在第一象限），且M 是线段AN 的中点，过点A 作x 轴的垂线交C 于另一点D ，延长线DM 交C 于点G ．（i ）设直线AM ，DM 的斜率分别为k ，k ′，证明：3k +k ′＝0；（ii）求直线BG的斜率的最小值．20．（14分）已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．2019年天津市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．【解答】解：集合A ＝{﹣1，1}，B ={x||x +12|＜32，x ∈Z}={x |﹣2＜x ＜1，x ∈Z }＝{﹣1，0}， ∴A ∪B ＝{﹣1，0，1}． 故选：C ．2．【解答】解：由变量x ，y 满足约束条件{x +2≥0x −y +3≥02x +y −3≤0，作可行域如图．由z ＝3x +2y ，结合图形可知，当直线分别经过可行域内的点A ，B 时，目标函数取得最值， 由：{x −y +3=02x +y −3=0，可得A （0，3），分别为z max ＝3×0+2×3＝6， 目标函数的最大值为6． 故选：C ．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得 k ＝9，n ＝1，S ＝1不满足判断框内的条件n ＞k ，执行循环体，n ＝4，S ＝6 不满足判断框内的条件n ＞k ，执行循环体，n ＝7，S ＝19 不满足判断框内的条件n ＞k ，执行循环体，n ＝10，S ＝48 此时，满足判断框内的条件n ＞k ，退出循环，输出S 的值为48．故选：B ．4．【解答】解：由x 3＜27得x ＜3， 由log 13x ＞−1得0＜x ＜3，则“x 3＜27”是“log 13x ＞−1”的必要不充分条件，故选：B ．5．【解答】解：根据题意，以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立坐标系，如图： 则B （2，0），A （0，2），D 为AB 的中点，则D （1，1）， 点P 是线段CD 上的动点，设P （m ，m ），（0≤m ≤1）； 则PA →=（﹣m ，2﹣m ），PB →=（2﹣m ，﹣m ），则PA →⋅PB →=（﹣m ）（2﹣m ）+（2﹣m ）（﹣m ）＝2m 2﹣4m ＝2（m ﹣1）2﹣2， 又由0≤m ≤1，则当m ＝1时，PA →⋅PB →取得最小值﹣2； 故选：A ．6．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝e |x |，有f （﹣x ）＝e |﹣x |＝e |x |＝f （x ），即函数f （x ）为偶函数，则有c ＝f （log 123）＝f （﹣log 23）＝f （log 23），又由当x ＞0时，f （x ）＝e x ，易得f （x ）为[0，+∞）上为增函数， 又由log 23＞1＞sin 3π4=√22＞12＞2﹣3，则有f （log 23）＞f （sin 3π4）＞f （2﹣3）， 则有b ＜a ＜c ； 故选：A ．7．【解答】解：由题意可知，抛物线C 1：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F （1，0），则p2=1，p ＝2．∴抛物线方程为y 2＝4x ． 如图，设MN 所在直线方程为y ＝k （x ﹣1），联立{y =k(x −1)y 2=4x ，得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0．设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 则x 1+x 2=2k 2+4k2，由|MN |＝x 1+x 2+2＝8，得2k 2+4k 2=6，解得k ＝±1．∴x 1+x 2＝6，则MN 的中点坐标为（3，2），不妨取k ＝1，可得MN 的垂直平分线方程为y ﹣2＝﹣1×（x ﹣3）， 即y ＝﹣x +5．取y ＝0，得A （5，0）．此时A 到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离d =2=2√2． ∴△AMN 的面积S =12×8×2√2=8√2． 故选：D ．8．【解答】解：∵函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象过点B(0，√3)，∴2sin φ=√3，∴φ=π3．f （x ）在(π12，5π12)上单调，∴12•2πω≥5π12−π12，∴0＜ω≤3．把f （x ）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，∴k •2πω=π，k ∈Z ，∴ω＝2，f （x ）＝2sin （2x +π3）．当x 1，x 2∈(2π3，4π3)且x 1≠x 2时，2x +π3∈（5π3，3π），若 f （x 1）＝f （x 2），则x 1+x 2＝2•5π2=5π，f （x 1+x 2）＝2sin （10π+π3）＝2sin π3=√3，故选：B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．【解答】解：−3+2i 1+i =(−3+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1+5i 2=−12+52i ．故答案为：−12+52i ．10．【解答】解：由在(√x 3−1x)n 的二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为256， 可得：2n ＝256，解得：n ＝8，又（√x 3−1x ）8的二项式展开式的通项为T r +1=C 8r （√x 3）8﹣r （−1x ）r ＝（﹣1）r C 8r x8−4r 3， 令8−4r 3=0，则r ＝2，即展开式中常数项等于（﹣1）2C 82=28，故答案为：28．11．【解答】解：∵圆锥的底面半径r ＝4，高h ＝3， ∴圆锥的母线l ＝5， ∴圆锥侧面积S ＝πrl ＝20π， 设球的半径为r ，则4πr 2＝20π， ∴r =√5，∴该球的体积为V =43•π•（√5）3=20√5π3． 故答案为：20√5π3．12．【解答】解：由C 1的参数方程消去参数α得曲线C 1的普通方程为：（x +1）2+y 2＝2， 由曲线C 2的极坐标方程以及互化公式可得C 2的普通方程为：x +y ﹣4＝0， 依题意可得|PQ |的最小值等于圆心到直线的距离减去半径， ∴|PQ |min =2−√2=32√2． 故答案为：32√2．13．【解答】解：∵log 4(a +4b)=log 22√ab =log 4（4ab ），∴a +4b ＝4ab ，{a +4b ＞04ab ＞0得{a ＞0b ＞0，得a+4b 4ab =1，即14b+1a=1，则a +b ＝（a +b ）（14b+1a）＝1+14+a 4b +b a ≥54+2√a 4b ⋅b a =54+1=94，当且仅当a4b=ba，即a ＝2b 时取等号，即a +b 的最小值为94， 故答案为：9414．【解答】解：由g （x ）＝f （x ）﹣kx +1＝0得kx ＝f （x ）+1， 当x ＝0时，0＝f （0）+1＝0+1不成立， 即x ≠0， 则k =f(x)+1x， 若g （x ）有四个零点，则等价为k =f(x)+1x有四个不同的根， 设h （x ）=f(x)+1x， 则当x ＞0时，h （x ）=xlnx−2x+1x =lnx +1x−2， h ′（x ）=1x −1x 2=x−1x 2，则当x ＞1时，h ′（x ）＞0，函数为增函数， 当0＜x ＜1时，h ′（x ）＜0，函数为减函数，即此时当x ＝1时，h （x ）取得极小值，极小值为h （1）＝﹣1， 当x →+∞，f （x ）→+∞，当x ≤0时，h （x ）=x 2+32x+1x =x +1x +32，h ′（x ）＝1−1x 2=x 2−1x2，由h ′（x ）＞0得x ＞1（舍）或x ＜﹣1，此时函数为增函数，由h ′（x ）＜0得﹣1＜x ＜0，此时h （x ）为减函数，即当x ＝﹣1时，h （x ）取得极大值，极大值为h （﹣1）＝﹣1﹣1+32=−12， 作出函数h （x ）的图象如图： 要使k =f(x)+1x有四个根，则满足﹣1＜k ＜−12，即实数k 的取值范围是（﹣1，−12）， 故答案为：（﹣1，−12）三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解答】（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知得acosA sinA=b 2sinB，…………（2分）∵a sinA=b sinB ，∴cosA =12，…………（4分） ∵A ∈（0，π），∴A =π3．…………（6分） （Ⅱ）∵a ＝6b ＝2c ，∴a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，…………（8分） 整理可得36＝4c 2+c 2﹣2c 2， ∴解得c =2√3，…………（10分）∴S △ABC =12bcsinA =12×4√3×2√3×√32=6√3．…………（13分） 16．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“王同学至少取到2道乙类题”为事件A ……（1分） P(A)=C 61C 42+C 43C 103=13⋯⋯（5分）（列式（2分），结果2分）（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，3 ……（6分）P(X =0)=C 20⋅(23)0⋅(13)2⋅(1−35)=245， P(X =1)=C 21⋅(23)⋅(13)⋅(1−35)+C 20⋅(23)0⋅(13)2⋅35=1145， P(X =2)=C 22⋅(23)2⋅(13)0⋅25+C 21⋅23⋅13⋅35=2045=49 P(X =3)=C 22⋅(23)2⋅(13)0⋅35=1245=415⋯⋯（10分）（每个结果一分） X 0123P245114549415E(X)=0×245+1×1145+2×49+3×415=2915⋯⋯（13分）（列式（1分），结果2分） 17．【解答】（Ⅰ）证明：由已知得CG ∥DE 且CG ＝DE ， 故四边形CDEG 为平行四边形，∴CD ∥EG ， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD ∥AB ， ∴AB ∥EG ，又EG ⊄平面ABF ，AB ⊂平面ABF ， ∴EG ∥平面ABF ．（Ⅱ）过点A 作AO ⊥DE 交DE 于点O ，过点O 作OK ∥CD 交CF 于点K 由（1）知平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE ∩平面CDEF ＝DE ，AO ⊂平面ADE ， ∴AO ⊥平面CDEF ， ∵CD ⊥DE ，∴OK ⊥DE ，以O 为原点建立如图的空间直角坐标系，则D （0，﹣1，0），E （0，2，0），C （3，﹣1，0），F （3，3，0），A(0，0，√3)，D （0，﹣1，0），∴DC →=(3，0，0)，DA →=(0，1，√3)，BE →=(−3，2，−√3)，设平面ABCD 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅DC →=0m →⋅DA →=0，即{x =0y +√3z =0， 令z ＝﹣1，则y =√3，m →=(0，√3，−1)， ∴cos ＜m →，BE →＞=m →⋅BE→|m →|⋅|BE →|=3√38，∴直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值为3√38， （Ⅲ）CG →=λCF →=λ(0，4，0)（0≤λ≤1）∴G （3，4λ﹣1，0）． ∴AE →=(0，2，−√3)，EG →=(3，4λ−3，0)，设平面AEG 的法向量为p →=(x ，y ，z)，则{p →⋅AE →=0p →⋅EG →=0，即{2y −√3z =03x +(4λ−3)y =0，令y ＝3，则z =2√3，x ＝3﹣4λ，∴p →=(3−4λ，3，2√3)，平面AED 的法向量为q →=(1，0，0)，|cos ＜p →，q →＞|=|p →⋅q →||p →|⋅|q →|=|4λ−3|√(4λ−3)+21=√2211，解得(4λ−3)2=143，∴4λ=3±√423，∴|CG |＝λ|CF |＝4λ=3±√423， ∵|CG |≤4，∴|CG|=3−√423．18．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n }是等差数列S 5＝35 ∴S 5=5(a 1+a 5)2=35，a 3＝7， ∵a 2＝5， ∴d ＝2，∴a n ＝a 2+（n ﹣2）•2＝2n +1． 当n ＝1时 T 1＝2b 1﹣1， ∴b 1＝1．当n ≥2时 T n ﹣1＝2b n ﹣1﹣1 又∵T n ＝2b n ﹣1， ∴b n ＝2b n ﹣2b n ﹣1b n ＝2b n ﹣1∴{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列． ∴b n =2n−1． （Ⅱ）∵S n =n(a 1+a n )2=n(n +2)， ∴2S n=2n(n+2)=1n−1n+2设前2n 项中奇数项的和为A n ，偶数项的和为B n A n =1−13+13−15+15−⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1=2n 2n+1．B n =a 2b 2+a 4b 4+⋯+a 2n b 2n =5×21+9×22+⋯+(4n +1)×22n−1①4B n =5×22+9×23+⋯+(4n +1)×22n+1②， ①﹣②得：−3B n =5×21+4×(23+25+⋯+22n−1)−(4n +1)×22n+1．−3B n =5×21+4×23−22n−1⋅41−4−(4n +1)×22n+1， −3B n =5×21+4×(−83+22n+13)−(4n +1)×22n+1−3B n =−23+(13−4n)⋅22n+1B n =(12n−1)⋅22n+19+29．∴P 2n=(12n−1)⋅22n+19+29+2n2n+1． 19．【解答】（Ⅰ）解：∵抛物线x 2=−4√3y 的焦点是(0，−√3)，∴b =√3⋯⋯（1分）． ∵ca =√22，a 2＝b 2+c 2∴a =√6，c =√3⋯⋯（2分）． ∴椭圆C 的方程x 26+y 23=1⋯⋯（3分）（Ⅱ）（i ）设A （x 0，y 0）那么D （x 0，﹣y 0）．∵M 是线段AN 的中点∴A （x 0，2m ）D （x 0，﹣2m ）……（4分）． ∴k =2m−m x 0=m x 0，k ′=−2m−m x 0=−3m x 0⋯⋯（5分）， ∴3k +k ′＝0……（6分）（ii ）根据题意得：直线AM 的斜率一定存在且k ＞0 设直线AM 为y ＝kx +m ，则直线DM 为y ＝k ′x +m ＝﹣3kx +m 由{y =kx +m x 26+y 23=1可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣6＝0……（7分） 利用韦达定理可知：x 0⋅x B =2m 2−61+2k2，∴x B =2m 2−6(1+2k 2)x 0⋯⋯（8分），∵3k +k ′＝0，∴同理可得x G =2m 2−6(1+2k ′2)x 0=2m 2−6(1+2(−3k)2)x 0=2m 2−6(1+18k 2)x 0⋯⋯（9分），∴k BG =y B −y G x B −x G =kx B +m−(−3kx G +m)x B −x G =kx B +3kx Gx B −x G=k 2m 2−6(1+2k 2)x 0+3k 2m 2−6(1+18k 2)x 02m 2−6(1+2k 2)x 0−2m 2−6(1+18k 2)x 0=k 1+2k 2+3k 1+18k211+2k 2−11+18k2=k+18k 3+3k+6k 31+18k 2−1−2k 2#/DEL/#=4k+24k 316k 2=14k +32k#/DEL/#∵k ＞0，∴k BG =14k +32k ≥2√14k ⋅32k =√62 当且仅当14k=32k 时 即为k =√66时 等号成立 ……（14分）（不求出k 值，不扣分）20．【解答】解：（Ⅰ）当a ＝0时，f （x ）＝x •e ﹣x ， ∴f ′（x ）＝e ﹣x ﹣x •e ﹣x ＝e ﹣x （1﹣x ）……（1分）∴f ′（0）＝1，f （0）＝0，∴函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝x ．……（2分）（Ⅱ）由题意，f '（x ）＝（2ax +1）e ﹣x ﹣（ax 2+x +a ）e ﹣x ＝﹣e ﹣x [ax 2+（1﹣2a ）x +a ﹣1]＝﹣e ﹣x （x ﹣1）（ax +1﹣a ）．……（3分）（ⅰ）当a ＝0时，f '（x ）＝﹣e ﹣x （x ﹣1），令f '（x ）＞0，得x ＜1；f '（x ）＜0，得x ＞1，所以f （x ）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（4分） （ⅱ）当a ＞0时，1−1a ＜1，令f '（x ）＞0，得1−1a ＜x ＜1；f '（x ）＜0，得x ＜1−1a 或x ＞1，……（5分） 所以f （x ）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a )，（1，+∞）单调递减，………（6分）（Ⅲ）令g （a ）＝e ﹣x （x 2+1）a +xe ﹣x ，a ∈（﹣∞，0]，当x ∈[0，+∞）时，e ﹣x （x 2+1）≥0，g （a ）单调递增，则g(a)max =g(0)=xe −x ，………………（7分）则g （a ）≤bln （x +1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln （x +1）≥g （a ）max ＝g （0），即xe ﹣x ≤bln （x +1），对x ∈[0，+∞）恒成立．………（8分）（ⅰ）当b ≤0时，∀x ∈（0，+∞），bln （x +1）＜0，xe ﹣x ＞0，此时xe ﹣x ＞bln （x +1），不合题意，舍去．…………（9分）（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则ℎ′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……（10分）其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……（11分）①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………（12分）②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h （0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……（13分）综上所述，b≥1．…………（14分）。
天津市和平区2019届高三下学期二模考试数学(理)试题含答案
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷 选择题（共40分）注意事项:1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：∙如果事件B A ，互斥,那么 ∙如果事件B A ，相互独立,那么)()()(B P A P B A P += )()()(B P A P AB P =.∙柱体的体积公式Sh V=. ∙锥体的体积公式Sh V 31=.其中S 表示柱体的底面积, 其中S 表示锥体的底面积,h 表示柱体的高. h 表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 设全集RU =，集合})1lg({2-==x y x M ,{02}N x x =<<,则=N M C R )((A) {}12≤≤-x x (B) {}10≤<x x (C) {}11≤≤-x x (D) {}1<x x(2) 已知y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+01424y x y x y x 则y x z -=2的最小值为(A) 2 (B) 4 (C) 21(D) 52(3) 执行如图所示的程序框图,若输入的6=n ， 则输出=S (A) 145 (B) 31 (C) 5627 (D) 103(4) 下列结论错误的是(A) 命题：“若0232=+-x x ，则2=x ”的逆否命题是“若2≠x ，则0232≠+-x x ” (B) “b a >”是“22bc ac >”的充分不必要条件(C) 命题：“R x ∈∃， 02>-x x ”的否定是“R x ∈∀， 02≤-x x ” (D) 若“q p ∨”为假命题，则q p ,均为假命题 (5) )2()2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向右平移12π个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的值为 (A) 3π-(B) 4π- (C) 3π (D) 6π- (6) 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数，设),(ln πf a =),2log (5-=f b ),(21-=ef c 则c b a ,,的大小关系是(A)a c b << (B)c b a << (C)a b c << (D)b c a <<(7) 已知双曲线1:2222=-by a x C )0,0(>>b a 的右焦点为)0,(c F ，直线c a x 2=与一条渐近线交于点P ，POF ∆的面积为2a O (为原点），则抛物线x aby 22=的准线方程为 (A) 21=y (B) 1=x (C) 1-=x (D) 2=x (8) 在ABC ∆中，62==AC AB ，2=⋅，点P 是ABC ∆所在平面内的一点，则当222PC PB ++取得最小值时，=⋅ (A)53 (B) 9- (C) 7 (D) 52- 第Ⅱ卷 非选择题（共110分）注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
天津市和平区2019届高三下学期二模考试数学(理)试题含答案
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷 选择题（共40分）注意事项:1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：∙如果事件B A ，互斥,那么 ∙如果事件B A ，相互独立,那么)()()(B P A P B A P += )()()(B P A P AB P =.∙柱体的体积公式Sh V=. ∙锥体的体积公式Sh V 31=.其中S 表示柱体的底面积, 其中S 表示锥体的底面积,h 表示柱体的高. h 表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 设全集R U =，集合})1lg({2-==x y x M ,{02}N x x =<<,则=N M C R )((A) {}12≤≤-x x (B) {}10≤<x x (C) {}11≤≤-x x (D) {}1<x x(2) 已知y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+014242y x y x y x 则y x z -=2的最小值为(A) 2 (B) 4 (C)21(D) 52 (3) 执行如图所示的程序框图,若输入的6=n ， 则输出=S (A) 145 (B) 31 (C) 5627 (D) 103(4) 下列结论错误的是(A) 命题：“若0232=+-x x ，则2=x ”的逆否命题是“若2≠x ，则0232≠+-x x ” (B) “b a >”是“22bc ac >”的充分不必要条件(C) 命题：“R x ∈∃， 02>-x x ”的否定是“R x ∈∀， 02≤-x x ” (D) 若“q p ∨”为假命题，则q p ,均为假命题 (5) )2()2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向右平移12π个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的值为 (A) 3π-(B) 4π- (C) 3π (D) 6π-(6) 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数，设),(ln πf a =),2log (5-=f b ),(21-=ef c 则c b a ,,的大小关系是(A)a c b << (B)c b a << (C)a b c << (D)b c a <<(7) 已知双曲线1:2222=-by a x C )0,0(>>b a 的右焦点为)0,(c F ，直线c a x 2=与一条渐近线交于点P ，POF ∆的面积为2a O (为原点），则抛物线x aby 22=的准线方程为 (A) 21=y (B) 1=x (C) 1-=x (D) 2=x (8) 在ABC ∆中，62==AC AB ，2=⋅，点P 是ABC ∆所在平面内的一点，则当222++取得最小值时，=⋅ (A)53 (B) 9- (C) 7 (D) 52- 第Ⅱ卷 非选择题（共110分）注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
天津市河西区2019届高三下学期总复习质量调查(二)数学试卷(二模)(理)附答案
天津市河西区2019届高三下学期总复习质量调查（二）数学（理）试题（二模）第Ⅰ卷参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U·如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=·柱体的体积公式Sh V = ·锥体的体积公式Sh V 31=其中S 表示柱（锥）体的底面面积 h 表示柱（锥）体的高一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集{}110U n N n =∈≤≤，{}1,2,3,5,8A =，{}1,3,5,7,9B =，则()U C A B =I （ ）A.{}6,9B.{}6,7,9C.{}7,9D.{}7,9,10（2）若变量 满足约束条件 则 的最小值等于（ ）（A ）5-2（B ） （C ） （D ）2（3）如图所示,程序框图的输出结果是（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7,x y 20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩2z x y =-2-32-（D ）8（4）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）设5.043⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,4.034⎪⎭⎫⎝⎛=b ，()334log log 4c =，则（ ）（A ）c a b << （B ）b a c << （C ）a b c <<（D ）b c a <<（6）已知函数()()ϕ+=x x f 2sin ，其中ϕ为实数，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤6πf x f 对R x ∈恒成立，且()ππf f >⎪⎭⎫ ⎝⎛2，则()x f 的单调递增区间是（ ）（A ）()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππ（B ）()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2,πππ （C ）()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππ （D ）()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ,2 （7）已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ）（A （B ）327+ （C （D （8）在平行四边形ABCD 中，2AD =uuu r ，4CD =uu u r， 60=∠ABC ，F E ,分别是CD BC ,的中点，DE 与AF 交于H ，则DE AH ⋅的值 （ ）（A ）12（B ）16（C ）125（D ）165第Ⅱ卷二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设1z i =-（i 是虚数单位），则2z z+= . （10）在三棱锥ABC P -中，E D ,分别为PC PB ,的中点，记三棱锥ABE D -的体积为1V ，三棱锥ABC P -的体积为2V ，则=21v v .（11）523x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答）(12）已知曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx sin 2cos 2 (t 为参数), C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________. (13）若()42log 34log a b +=，则a b +的最小值为_____________.（14）已知函数()x f 满足，()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,x x x k kx x f ，其中0≥k ，若函数()()1+=x f f y 有4个零点，则实数k的取值范围是 .三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，A ，B ，C 对应的边为a ，b ，c . （Ⅰ）若2c =，3C π=，且ABC △，求cos()A B +和a ，b 的值； （Ⅱ）若B 是钝角，且3cos 5A =，12sin 13B =，求sinC 的值.（16）（本小题满分13分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为1，乙，丙做对的概率分别为m，n(m＞n)，且三位2学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（Ⅰ）求至少有一位学生做对该题的概率；（Ⅱ）求m，n的值；（Ⅲ）求ξ的数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，四边形ABCD 为平行四边形，45ABC ∠=，2AB AC ==，M 为线段AD 的中点，点N 满足2PN ND =.（Ⅰ）求证：直线//PB 平面MNC ； （Ⅱ）求证：平面MNC ⊥平面PAD ；（Ⅲ）若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值.（18）（本小题满分13分）数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和nS ()n N *∈，{}nb 是等差数列，DB已知112a =，32114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为n T ()n N *∈，（i ）求n T ； （ii ）证明：()21121311<⋅-∑=+++++ni i i i i i b b b b T .（19）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆13222=+y a x ()3>a 的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1=-OF OA ，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率e ；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点()轴上不在x B B ，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围.（20）（本小题满分14分）已知函数()ax x x f +=ln ，在点()()t f t ,处的切线方程为13-=x y ． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）已知2≤k ，当1>x 时，()1231-+⎪⎭⎫⎝⎛->x x k x f 恒成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）对于在()1,0中的任意一个常数b ，是否存在正数0x ，使得()122023100<+--+x b ex x f ,请说明理由．【参考答案】一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.（1）C （2）A （3）C （4）D （5）B（6）C（7）B（8）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.（9）22i +（10）41 （11）270（12）24sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ （13）7+ （14）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e三、解答题：本大题共6小题，共80分. （15）本小题满分13分.（Ⅰ）解：因为A B C π++=,3C π=,所以A B C π+=-. 所以1cos()cos()cos cos 32A B C C ππ+=-=-=-=-.由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， 又因为ABC △，所以1sin 2ab C =4ab =． 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ……………………7分（Ⅱ）解：因为B 是钝角，且3cos 5A =，12sin 13B =.所以234sin 5A ⎛⎫===5cos 13B ===-所以[]sin sin()sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+ 453121651351365⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭ ……13分（16）本小题满分13分.（Ⅰ）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知，()()()12P A P B m P C n ,,===. 由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. ……………4分 0ξ=（Ⅱ）解：由题意知()()()()1101124PP ABC m n ξ===--=， ()()113224P P ABC mn ξ====， 整理得 ，712m n +=. 由m n >，解得13m =，14n =. ……………8分 （Ⅲ）解：由题意知()()()()1a PP ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， =14， 所以ξ的数学期望为=1312. …………13分（17）本小题满分13分.（Ⅰ）证明：连接BD ，交MC 于点O ，连接NO在平行四边形ABCD 中，因为12MD BC =， 所以12OD OB =， 又因为2PN ND =，即12ND PN =， 所以//ON PB ，112mn =(2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-=0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+=又因为ON ⊂平面MNC ，PB ⊄平面MNC ，所以直线//PB 平面MNC . ……………4分 （Ⅱ）证明：因为PA PD =，M 为线段AD 的中点，所以PM AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD 于AD ，PM ⊂平面PAD 所以PM ⊥平面ABCD在平行四边形ABCD 中，因为45ABC ∠=，2AB AC ==，所以AB AC ⊥ 如图，以A 为原点，分别以,AB AC 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0),(0,2,0)B C ，(2,2,0),(1,1,0)D M -- 因为PM ⊥平面ABCD 设(1,1,)P t -(0)t >，则(1,1,)AP t =-，(1,1,0)CM =--，(2,2,0)AD =- 所以2200CM AD ⋅=-+=，1100CM AP ⋅=-+= 所以,CM AD CM AP ⊥⊥，又因为APAD A =所以CM ⊥平面PAD ，又因为CM ⊂平面MNC所以平面MNC ⊥平面PAD . ……………8分 （Ⅲ）解：因为(2,0,0)AB =，(1,1,)AP t =- 设(,,)x y z =m 为平面ABP 的一个法向量则0x x y tz =⎧⎨-++=⎩ 不妨设(0,,1)t =-m因为(2,0,0)DC =，(1,1,)DP t =- 设(,,)x y z =n 为平面DCP 的一个法向量则0x x y tz =⎧⎨-+=⎩ 不妨设(0,,1)t =n因为平面PAB ⊥平面PCD ，所以⊥m n ，所以210t ⋅=-=m n 以为0t > 所以1t =所以(3,1,1)BP =-，(0,1,1)=n ，所以sin cos ,11BP θ=<>==n所以直线BP 与平面PCD. ……………13分 （18）本小题满分13分.（Ⅰ）解：设数列{}n a 的公比为q （0q >）121112114a a q a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，21120q q --=，=-1q （舍）或=2q ，12n na = 设数列{}nb 的公差为d111182(4)1116316b d b d⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ 114431616b d b d +=⎧⎨+=⎩ 101b d =⎧⎨=⎩，1n b n =-.……………6分 （Ⅱ）解：112212(1)1112n n n S -==-- 211111(111)()(1)122222n n n nT n n =+++-+++=--=-+111132112()(2)()(2)(1)(1)2i i i i i i i i i i T b b i b b i i i i ++++++++-⋅+-⋅+==⋅⋅+⋅+⋅1112(1)2i i i i +=-⋅+⋅ 1132231112()111111()()()122222322(1)2ni i i n n i i i T b b b b n n ++++=++-⋅=-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅∑ 11112(1)22n n +=-<+⋅. ……………13分 （19）本小题满分14分.（Ⅰ）解：由已知得1=-c a ，即132=--a a ，解得2=a ，所以1=c ，得21==a c e ，椭圆方程为13422=+y x . ……………………5分 （Ⅱ）解： 设直线l 的斜率为()0≠k k ，则直线l 的方程为()2-=x k y ，设()B B y x B ,由方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134222y x x k y ，消去y ，整理得()0121616342222=-+-+k x k x k解得2=x 或346822+-=k k x ，所以B 点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-3412,3468222k k k k .由（Ⅰ）知，()0,1F ，设()H y H ,0，有()H y ,1-=，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=3412,3449222k k k k ，由HF BF ⊥,则0=⋅，所以034123494222=+++-k ky k k H ，解得kk y H 12492-=，因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=，设()M M y x M ,，由方程组()⎪⎩⎪⎨⎧-+-=-=1249122k x k y x k y 消去y ，解得()11292022++=k k x M ， 在MAO ∆中，MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即()22222MMMM y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即()111292022≥++k k ， 解得46-≤k ，或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,4646, .………14分 （20）本小题满分13分.（Ⅰ）解：函数()ax x x f +=ln 的导数为()a xx f +='1，在点()()t f t ,处的切线 方程为13-=x y ，可得()a tt f +='1，所以函数的切线方程为()()t x a t at t y -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-1ln ，即1ln 1-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x a t y ，所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+11ln 31t a t ，解得2=a . ……………………3分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得()x x x f 2ln +=，因为()1231-+⎪⎭⎫⎝⎛->x x k x f ，所以131ln -⎪⎭⎫⎝⎛->x k x ，即为，()03ln >--+x k x x x 可令()()3ln --+=x k x x x x g ，()k x x g -+='ln 2，由1>x ， 可得02,0ln ≥->k x ，即有()0>'x g ，()x g 在()+∞,1递增，可得()()0211≥+=>k g x g ，所以221≤≤-k ，故k 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21； ……………………7分（Ⅲ）解：对于在()1,0中的任意一个常数b ， 假设存在正数0x ，使得：()122023100<+--+x b e x x f ． 由()()201ln 20231220000x b e x b ex x x x f +=+-+--+()1212000<+⋅+=-x b e x x 成立， 从而存在正数0x ，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可． 令()()1212-+⋅+=-x b e x x H x ， ()()()x x x e b x bx e x e x H ----=++-='1令()0>'x H ，解得b x ln ->，令()0<'x H ，解得b x ln 0-<<， 则b x ln -=为函数()x H 的极小值点，即为最小值点． 故()x H 的最小值为()()1ln 21ln ln 2ln -+⋅+-=-b b e b b H b 1ln ln 22-+-=b b b b b，再令()1ln ln 22-+-=x x x x xx G ()10<<x()()()0ln 1ln 1ln 2ln 2122>=++-+='x x x x x G则()x G 在()1,0递增，可得()()01=<G x G ，则()0ln <-b H .故存在正数b x ln 0-=，使得()122023100<+--+x b e x x f . ……………………14分。
部分区(五区联考)2019届高三二模数学(理)试题及答案
天津市部分区2019年高三质量调查试卷（二）数学（理）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．1255i - 10．30 11．83 12．相交 13． 14．84 三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）由题意，得2()cos sin f x x x x =− ………………………………1分1sin 2cos2)22x x =−+…………………………………3分 1sin 2222x x =−−sin(2)32x π=−−.…………5分 所以()f x 的最小正周期22T p ==p ，其最大值为12−. …6分 （Ⅱ）令2,3z x π=−则有函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,22k k k ππ⎡⎤−+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z . ………7分由222232k x k πππ−+π≤−≤+π,得5,.1212k x k k ππ−+π≤≤+π∈Z ………9分 设5,,,331212A B x k x k k π2π⎧ππ⎫⎡⎤==−+π≤≤+π∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭Z ， 易知,312A B π5π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦I . ………………………………………………………12分 所以，当,33x π2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,312π5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 在区间1235π2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减. ………………13分 16．解： （Ⅰ）设事件A 为“甲恰好闯关3次才闯关成功的概率”，则有2121125()1(1)23322318P A ⎛⎫=⨯−⨯+−⨯⨯= ⎪⎝⎭， ……………………………4分 （Ⅱ）由已知得：随机变量ξ的所有可能取值为2,3,4， ……………………………5分所以，()211232721221P ξ==⨯+⨯=， ………………………………………6分 12112111(3)1(1)233223223313P ξ⎛⎫==⨯−⨯+−⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭， ……………………8分 ()111411223212P ξ⎛⎫⎛⎫==−⨯⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ……………………………………10分从而…………………………………………………12分 所以，7115()234123122E x =???. …………………………………13分17．解：（Ⅰ）证明：因为,Q P 分别是,AE AB 的中点， 所以，1//,2PQ BE PQ BE =，……2分 又1C//,2D BE DC BE =， 所以，//PQ DC ，PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD ，…………3分所以，//PQ 平面ACD . ……4分（Ⅱ）因为DC ⊥平面ABC ，90.ACB ∠=︒以点C 为坐标原点，分别以,,CD CA CB u u u r u u u r u u u r 的方向为,,z x y 轴的正方向建立空间直角坐标系. ……………………………………………………………………………5分 则得(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(2,0,0),(4,0,4)C A B D E ， ………………………6分所以(0,4,4),(2,0,4)AB DE =−=u u u r u u u r ，……………………………………………7分所以cos ,5AB DE AB DE AB DE⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ………………………………………8分 所以异面直线AB 与DE所成角的余弦值5. …………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知(0,4,4)AB =−u u u r ，(4,4,4)AE =−u u u r ，设平面ABE 的法向量为(),,,n x y z r =00n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 则， ⎩⎨⎧=+−=+−0444044z y x z y (0,1,1)n r 所以=. ………………………10分 由已知可得平面ACD 的法向量为以(0,0,4)CB u u u r =，所以cos ,2n BC n BC n BC⋅==r u u u r r u u u r r u u u r . ………………………………………….……12分 故所求平面ACD 与平面ABE 所成锐二面角的大小为45︒.......……….………13分18．解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，.……………………………………………1分由432293a a a −=⎧⎨=⎩得222(2)93a q q a ⎧−=⎨=⎩，.......…………………………………………2分 解得3q =或1q =-.......………………………………………………………………3分 因为数列{}n a 为正项数列，所以3q =，...………………………....………………4分 所以，首项211a a q==，..........………………………………………………………5分 故其通项公式为13n n a -=..........………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得()32221log (21)(21)n n b n a n n +=−⋅=−+，.......…………………8分 所以11111()(2n 1)(21)22121n b n n n ==−−+−+，.......………………………10分所以12111111111(1)23352121n n T b b b n n =+++=−+−++−−+L L 1112422n =−<+.......……………………………………………………13分 19．解：（Ⅰ）由椭圆的一个焦点为()11,0F −知:1c =，即221a b −=.①....………2分又因为直线11B F 的方程为0bx y b −+=2=，所以b =.……4分 由①解得24a =.故所求椭圆C 的标准方程为22143x y +=....…………………………………………5分 （Ⅱ）假设存在过点A 的直线l 适合题意，则结合图形易判断知直线l 的斜率必存在，于是可设直线l 的方程为()2y k x =−，...............…………………………………6分 由()221432x y y k x +==−⎧⎪⎨⎪⎩，得()2222341616120k x k x k ++−=−.（*）.......………8分 因为点A 是直线l 与椭圆C 的一个交点，且2A x = 所以22161234A B k x x k −⋅=+，所以228634B x k k −+=， 即点2228612,3434k k B k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭....……………………………………………………10分 所以2221612,3434k k OA OB kk ⎛⎫+=− ⎪++⎝⎭u u u r u u u r，即2221612,73434k k OT k k ⎫=−⎪++⎝⎭u u u r .因为点T 在圆222x y +=上，所以2222221612273434k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，……11分 化简得42488210k k −−=，解得234k =，所以k =. ………………12分 经检验知，此时（*）对应的判别式0∆>，满足题意. ………………………13分 故存在满足条件的直线l，其方程为()22y x =±−. ……………….……14分 20．解：（Ⅰ）当2a =时，()ln 2f x x x =−，所以1()2f x x'=− ...............………………1分 ()1121f '=−=−， ..........………………………………………….....……...……2分 则切线方程为()21y x +=−−，即10x y ++=. ………………....……………3分 （Ⅱ）①当0a =时，()ln f x x =有唯一零点1x =；…………………............………4分②当0a <时，则()0f x '>，()f x 是区间()0,+∞上的增函数， 因为()10f a =−>，()()10a a a f e a ae a e =-=-<，所以()()10a f f e ⋅<，即函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点； ………6分 ③当0a >时，令()0f x '=得1x a=， 所以，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数； 且−∞→→)(,0x f x ；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 是在1+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上是减函数， 且−∞→+∞→)(,x f x ；所以在区间()0,+∞上，函数()f x 的极大值为11ln 1ln 1f a a a⎛⎫=−=−− ⎪⎝⎭， …8分 由10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即ln 10a --<，解得1a e >， 故所求实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. …………………………………………9分（Ⅲ）设120x x >>，由()10f x =，()20f x =，可得11ln 0x ax -=，22ln 0x ax -=，所以()1212ln ln x x a x x -=-. 所以1212ln ln x x a x x −=−…........................…10分 要证122x x a+>，只需证12()2a x x +>, 即证121212ln ln ()2x x x x x x −⨯+>−，即()1212122ln x x x x x x ->+. …………………11分 令121x t x =>，于是()()121212221ln ln 1x x t x t x x x t −−>⇔>++， …………………12分 设函数()()()21ln 11t h t t t t -=->+，求导得()()()()222114011t h t t t t t −'=−=>++， 所以函数()h t 是()1,+∞上的增函数， 所以()()10h t h >=，即不等式()21ln 1t t t ->+成立，故所证不等式122x x a +>成立. …………………………………………………14分。
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天津市部分区2019年高三质量调查试卷(二)数学(理工类)参考公式：如果事件A，B互斥，那么.如果事件A，B相互独立，那么.柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高.锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高.一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集，集合，，则=（）A. {0，4}B. {0，1，4}C. {1，4}D. {0，1} 【答案】B【解析】【分析】先求全集，再求交集，最后根据补集得结果.【详解】因为，,所以= {0，1，4}，选B.【点睛】本题考查交集与补集概念，考查基本求解能力，属基础题.2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数最小的值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数表示的直线，结合图象确定最优解，即得结果.【详解】作可行域，则直线过点A(1,0)时取最小值1，选D.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.3.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A. 3B. 1C. 0D. -1【答案】C【解析】解：当i=1时，；当i=2时，；当i=3时，，当i=4时，，故选C。
4.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数与指数函数单调性确定大小.【详解】因，，所以，选A.【点睛】本题考查利用对数函数与指数函数单调性比较大小，考查基本分析求解能力，属基础题.5.已知双曲线的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点的坐标为(4，3)，则此双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据坐标原点到交点距离等于半径得c，再根据交点在渐近线可得关系，解得即可.【详解】因为以线段为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点的坐标为(4，3)，所以坐标原点到交点(4，3)距离等于半径c，即因为(4，3)在双曲线渐近线上，所以，因为,所以，即双曲线的方程为，选A.【点睛】本题考查双曲线渐近线与标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理得，所以“”是“”的充要条件，选C.7.如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量表示化简数量积，即得结果.【详解】,选B.【点睛】本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知函数，若关于x的方程恰有三个不同的实数根a，b，c，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先作图，再确定关系以及范围，即得结果.【详解】作图可得，，所以，选D.【点睛】本题考查函数与方程，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题。
9.已知i是虚数单位，则________________.【答案】【解析】【分析】根据复数除法运算法则求解.【详解】.【点睛】本题考查复数除法运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.10.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产量分别为400，800，600件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从C种型号的产品中抽取________件.【答案】【解析】【分析】根据分层抽样确定抽取数.【详解】由题意得从C种型号的产品中抽取件.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.11.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为，则四棱锥的体积为________.【答案】【解析】试题分析：正四棱锥的底面边长为2，底面面对角线的一半为，所以棱锥的高为考点：棱锥的体积12.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为，在以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为，则直线l与圆C的位置关系为___________.【答案】相交【解析】【分析】先将圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离与半径大小关系确定位置关系.【详解】因为圆C的方程为，所以，因此圆心到直线距离为，所以直线与圆C相交.【点睛】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.13.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则ABC周长的最大值是_______.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理以及基本不等式求最值.【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，因此，即ABC周长的最大值是【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.14.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有两个空盒的不同放法共有__________种.【答案】84【解析】分析：先选两个空盒子，再把4个小球分为，两组，分到其余两个盒子里，即可得到答案.详解：先选两个空盒子，再把4个小球分为，两组，故有.故答案为：84.点睛：本题考查的是排列、组合的实际应用，考查了计数原理，注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列.三、解答题(解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15.已知函数，.(1)求的最小正周期和最大值；(2)讨论在区间上的单调性.【答案】(1) ，其最大值为. (2)见解析【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求周期与最值，（2）根据正弦函数性质求单调性.【详解】解：（1）由题意，得.所以的最小正周期，其最大值为.（2）令则函数的单调递增区间是.由,得设，易知.所以，当时,在区间上单调递增；在区间上单调递减.【点睛】本题考查二倍角公式、配角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.16.某闯关游戏共有两关，游戏规则：先闯第一关，当第一关闯过后，才能进入第二关，两关都闯过，则闯关成功，且每关各有两次闯关机会.已知闯关者甲第一关每次闯过的概率均为，第二关每次闯过的概率均为.假设他不放弃每次闯关机会，且每次闯关互不影响.(1)求甲恰好闯关3次才闯关成功的概率；(2)记甲闯关的次数为，求随机变量的分布列和期望.。
【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）先分类，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后求和得结果，（2）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表得分布列，根据数学期望公式得结果.【详解】解：（1）设事件为“甲恰好闯关次才闯关成功的概率”，则有，（2）由已知得：随机变量的所有可能取值为，所以，，，. 从而 2 3 4 .【点睛】本题考查分布列以及数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.17.如图，DC⊥平面ABC，，，，P、Q分别为AE，AB的中点.(1)证明：平面(2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)求平面与平面所成锐二面角的大小。
【答案】(1)见证明；(2) (3)【解析】【分析】（1）根据三角形中位线性质得线线平行，再根据线面平行判定定理得结果，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用向量数量积求直线方向向量夹角，即得异面直线所成角，（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得平面法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系得结果. 【详解】解：（1）证明：因为分别是的中点，所以，，又，所以，，平面，平面，所以，平面.（2）因为平面以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系.则得，所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值.（3）由（Ⅱ）可知，，设平面的法向量为，.由已知可得平面的法向量为以，所以.故所求平面与平面所成锐二面角的大小为.【点睛】本题考查线面平行判定定理以及利用空间向量求异面直线所成角与二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.18.各项均为正数的等比数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，证明：.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）列方程解出公比与首项，再代入等比数列通项公式得结果，（2）先化简，再利用裂项相消法求和，即证得结果.【详解】解：（1）设等比数列的公比为，由得，解得或.因为数列为正项数列，所以，所以，首项，故其通项公式为.（2）由（Ⅰ）得所以，所以.【点睛】本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.19.已知椭圆的一个焦点为，上顶点为，原点O到直线的距离为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点T在圆上，点A为椭圆的右顶点，是否存在过点A的直线l交椭圆C于点B（异于点A），使得成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2) 存在满足条件的直线，其方程为.【解析】【分析】（1）根据条件列方程组，解得即可，（2）设直线方程，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理解得B点坐标，再根据条件得T点坐标，代入圆方程，解得直线斜率，即得结果.【详解】解：（1）由椭圆的一个焦点为知:，即.①.又因为直线的方程为，即，所以.由①解得.故所求椭圆的标准方程为.（2）假设存在过点的直线适合题意，则结合图形易判断知直线的斜率必存在，于是可设直线的方程为，由，得.（*）因为点是直线与椭圆的一个交点，且所以，所以，即点.所以，即.因为点在圆上，所以，化简得，解得，所以.经检验知，此时（*）对应的判别式，满足题意.故存在满足条件的直线，其方程为.【点睛】本题考查椭圆标准方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.20.设，函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若无零点，求a的取值范围；（3）若有两个相异零点、，求证：.【答案】(1) (2) (3)见证明【解析】【分析】（1）先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果，（2）先求导数，再根据导函数零点讨论函数单调性，根据单调性确定函数最大值，最后根据最大值小于零得结果.（3）根据零点解得，化简欲证不等式，再令，构造关于t的函数，利用导数证不等式. 【详解】解：（1）当时，，所以. ，则切线方程为，即（2）①当时，有唯一零点；②当时，则，是区间上的增函数，因为，，所以，即函数在区间有唯一零点；③当时，令得，所以，当时，，函数在区间上是增函数；且；当时，，函数是在上是减函数，且；所以在区间上，函数的极大值为，由，即，解得，故所求实数的取值范围是.所以（3）设，由，，可得，，.要证，只需证,即证，即.令，于是，设函数，求导得，所以函数是上的增函数，所以，即不等式成立，故所证不等式成立【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究函数零点以及利用导数证明不等式，考查综合分析求解能力，属较难题.。