系统工程课件 第三章(一)

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模型的含义很广泛
自然科学和工程技术中：概念、公式、定律、理论等 社会科学中：学说、小说、美术 计算机是人的某些功能或智能的一种模型 一张照片是某种实体（如人）的反映
一场戏剧是某类事件的再现
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模型的分类 • 按模型的规模 宏观模型、中观模型、微观模型 • 按照模型的形式 抽象模型 和 形象模型
，其基本步骤 （1）明确建模的目的和要求 （2）对系统进行一般语言描述 （3）弄清楚系统中的主要因素及其相互关系（结 构关系和函数关系等） （4）确定模型的结构 （5）估计模型的参数 （6）实验研究，使检验模型与实际系统相符合 （7）根据实验结果，修改模型
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模型化的基本方法
模型化既是一种技术又是一种艺术，是一种创造性 劳动。（它既有大量的技术内容，又有反映现实， 反映作者思想的艺术内容）
1、集合 设系统由n（n≥2）个要素（S1,S2,…,Sn）组成， 集合为S，则有： S={S1,S2,…,Sn} 系统要素之间的联系一般都是以两要素之间的二元 关系为基础。
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二元关系是根据系统的性质和研究的目的所约定的两个要素之间的关系 ，通常有影响关系、因果关系、包含关系、隶属关系等
Si 与 S j 有某种二元关系 R ，记为 Si RS j Si 与 S j 无某种二元关系 R ，记为 Si RS j Si 与 S j 某种二元关系 R 不明，记为 Si RS j
1 a ij 0
s Rs
i
j
R表示s i与s j有某种二元关系 R 表示s i与s j没有某种二元关系
s Rs
i

j
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有向图表达中的例子对应的邻接矩阵为：
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（2）可达矩阵 用矩阵来描述有向连接图各节点之间，经过一定长 度的通路后可以到达的程度
若在有向图存在着由节点 i 至 j 的有向通路时，则称 Si 是可以到达 S j 的 可达矩阵就是表示有向图上两个节点之间通过任意长的路径可以到达情况的方阵。 若无回路条件下的最大路长（或传递次数）为 k ，即 0 t k ， 则可达矩阵 M 的元素为
c）共同集 系统要素Si的共同集是Si的可达集和先行集的共同 部分，即交集，记为C(Si) C(S1)={S1}，C(S2)={S2}，C(S3)={S3} C(S4)=C(S6)={S4,S6}
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d)起始集-B(S)，只影响（到达）其他要素，而不受 其他要素的影响（不被其他要素到达） 其中元素满足C(Si)=A(Si) e)终止集-E(S)，只受其他要素的影响，而不影响（ 到达）其他要素 其中元素满足C(Si)=R(Si)
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f）区域划分 在起始集中任意取两个要素。 如果起始集中任 意两个要素的可达集的交集为空，则可划分；如 果起始集中任意两个要素的可达集的交集不为空， 则不可划分。
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B(S)={S3,S7} R(S3)R(S7)={S3,S4,S5,S6}{S1,S2,S7}=， 故可以 区域划分 并且，S3及S4,S5,S6，S7及S1,S2分属两个相互独立的 区域
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有向图表达中的例子对应的可达矩阵为：
M=(A+I)=(A+I)2=
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(3)缩减可达矩阵 根据强连接要素的可替换性，在已有的可达矩阵M 中，将具有强连接关系的一组要素看作一个要素， 保留其中的某个代表要素，删除掉其余要素及其在 M中的行和列，即可得到可达矩阵M的缩减矩阵M’
在可达矩阵中存在两个节点相应的行、列元素值分 别完全相同，则说明这两个节点构成回路集，只要 选择其中的一个节点即可代表回路集中的其他节点 ，这样就可简化可达矩阵，称为缩减可达矩阵。
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§2 系统结构模型化技术
结构
系统内诸要素之间相互关联的方式 结构模型 定性表示系统构成要素以及它们之间存在着的 相互依赖、相互制约和关联情况的模型 结构模型化 建立系统结构模型的过程 结构分析 实现系统结构模型化并加以解释的过程
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系统结构的基本表达 集合，有向图表达，矩阵表达
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1．分析法 深入研究客体的内部细节，利用逻辑、演绎方法，从公理 导出系统模型
例：求 面积为一定值的矩形中，周长最小时矩形各边的长度。
（直接利用数学知识建立模型和求解） 解：因为是矩形，其对边两两相等。设其一边长为x．邻边长为y，则 周长L=2（x+y）。设矩形面积为A。则有 A＝x y或y＝A／x （约束条件） 把上式代人周长L的关系式，可得 L＝2(x十y)＝2(x十A／x) （目标函数） 上式中A是定值。欲求L最小时的x值，可用x的一阶导数为零来求解。 最后可解得x = y 。
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2、有向图表达
由节点和连接各节点的有向弧（箭头线）组成 节点表示要素，有向弧表示要素之间的二元关系
由一个节点到另一个节点的最少的有向弧数称为节点间的通路长度（路长） 从某节点出发，沿着有向弧通过其他某些节点各一次可回到该节点时，形成 回路。呈强连接关系的要素节点间具有双回路。
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3、矩阵表达 （1）邻接矩阵 邻接矩阵A的元素aij 定义为：
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（2）级位划分 确定某区域内各要素所处层次地位的过程，这是建 立多级递阶结构模型的关键工作。 基本作法：找出整个系统要素集合的最高级要素（ 终止集要素）后，将它们去掉，再求剩余要素集合 的最高级要素。 最高级要素（L1），去掉 剩余最高级要素（L2），去掉 …… 最低级要素（Ll)
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第三章 系统模型 与模型化
§1 模型及模型化概述
模型 现实系统的替代物 对实体系统的某种抽象
模型是对真实系统的特征及其变化规律的一种表示或抽 象，而且往往是对系统中那些所要研究的特征的抽象。 模型可以表现实际系统的各组成因素及其相互间关系， 反映实际系统的特征，模型从实际系统中抽象出来，但又 高于实际系统，而且具有同类系统的共性。
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结果：要保持面积A不变而周长L最小时，x与y应相等，即正方形。
2、实验法 通过对实验结果的观察和分析，利用逻辑归纳法导 出系统模型。包括三类：模拟法、统计数据分析、 实验分析
统计数据分析：当系统结构的性质尚不够清楚，可以通过分析已有的数 据或试验数据建立系统的模型，这种建立模型的思路就是数据分析法。 回归分析是一种常用的数据分析建模法。 实验分析：当现有的数据分析不能确定个别变量对整个系统的影响，又 不可能做大量试验时，可以在系统上作局部试验，确定关键变量，弄清 楚其本质特性及其影响。逐步分析发现矛盾，建立试验模型，直到取得 满意的效果为止，这就是实验分析法。
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c）减去自身二元关系（减去单位矩阵），将 M”(L)主对角线上的“1”改为“0”，得到骨架矩 阵A’
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建立递阶结构模型
基本方法：可达矩阵基础上进行，经过区域划分、 级位划分、骨架矩阵提取、多级递阶有向图绘制等 四个阶段
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（1）区域划分
将系统的构成要素集合S分割成关于给定二元关系 R相互独立的区域的过程，即把要素之间的关系分 为可达与不可达，并且判断哪些要素是连通的
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a）可达集 系统要素Si的可达集是在可达矩阵或有向图中由Si 可到达的要素所构成的集合，记为R(Si) 简单说，可达矩阵行向看 R(S1)={S1},R(S2)={S1,S2}, R(S3)={S3,S4,S5,S6},R(S4)= R(S6)={S4,S5,S6},...
通常，二元关系具有传递性，记为 Si R S j ， t 为传递次数 把系统要素中满足某种二元关系 R 的要素 Si 、 S j 的要素对 ( Si , S j ) 的集合，称为 S 上的二元关系集合。 记为 Rb 。即
t
Rb {( Si , S j ) | Si , S j S , Si RS j , i, j 1,2,..., n}
的系统整体结构的决定技术。它们通过探寻系统 构成要素、定义要素间关联的意义，给出要素间 以二元关系为基础的具体关系，并将其整理成图 、矩阵等较为直观、易于理解和便于处理的形式 ，逐步建立起复杂系统的结构模型
常用的系统结构模型化技术：关联树法、解释结
构模型化技术、系统动力学结构模型化技术等
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解释结构模型法的工作程序 • 成立一个实施解释结构模型法的小组 • 设定问题 • 选择构成系统的要素 • 建立邻接矩阵和可达矩阵 • 对可达矩阵进行分解之后建立系统的递阶结构模 型 • 根据结构模型建立反映系统问题某种二元关系的 解释结构模型（在结构模型的要素上，填入相应 的要素名称，就是解释结构模型）
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3、综合法 从已知定理导出模型，利用实验方法补充（验证） ，再利用归纳法从实验数据中搞清楚关系，建立模 型 此方法中实验数据与理论推导不可分割，二者统一 于建模之中。是实际工作中最常用的方法。
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4、老手法 专家启发式讨论，逐步完善对系统的认识，构造出 模型
5、辩证法 系统是一个对立统一体，有矛盾的两方面构成 构成两个相反的分析模型，关于未来的描述和预测 是两个对立模型解释的辩证发展的结果
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Si R t S j Si RS j
可达矩阵M可用邻接矩阵A加上单位阵I，经过演算 后求得 •设A1=(A+I) A2=(A+I)2=A12 … Ar-1=(A+I)r-1=A1r-1 若：A1≠A2≠…≠Ar-1=Ar (r<n-1) 则：Ar-1=M为可达矩阵 表明各节点间经过长度不大于（n-1）的通路可以 到达的程度，对于节点数为n的图，最长的通路其 长度不超过（n-1）
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模型化
构造模型的过程
为描述系统的构成和行为，对实体系统的诸因素进 行适当筛选后，用一定方式（数学、图像等）表达 系统实体的方法
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实际系统
比较
模型化 模型 实 验 解释现实问题 分 析 结论
检验
模型 现实世界的分析、预测 、决策、控制
模型的作用与地位 （现实世界与模型的关系）
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建模就是将现实世界中的系统原型概括形成模型
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建立模型的目的就在于通过模型将复杂的事物简
单化，通过模型认识和掌握系统规律和特征
通过建立模型，能帮助人们认识复杂系统，了
解系统问题的本质和规律 把复杂系统的内部和外部关系，经过恰当的抽 象、加工、逻辑处理，变成可以进行准确分析和处 理的形式，从而得出需要的结论 通过对模型的分析，明确系统的结构关系和动 态情况
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有向图表达中的例子对应可达矩阵的缩减矩阵为：
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（4）骨架矩阵 对于给定系统，A的可达矩阵M是唯一的，但实现 某一可达矩阵M的邻接矩阵A可以具有多个。 实现某一可达矩阵M、具有最小二元关系个数（ “1”元素最少）的邻接矩阵，称为M的骨架矩阵 ，记为A’。
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系统结构模型化技术是以各种创造性技术为基础
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抽象模型包括数学模型、图形模型（流程图、方
框图、结构图、网络图等）、计算机程序、概念 模型（概念模型是通过人们的经验、知识和直觉 形成的，在形式上可以是思维的、字句的或描述 的）
形象模型（物理模型）分为模拟模型和实物模型
模拟模型：通过原理上的相似，用一种更容易求解或处理的新系统，代 替或近似描述原来的系统，这种系统模型叫原系统的模拟模型。 实物模型：实物模型是现实系统的放大或缩小，它能够表示系统的主要 特性和各个组成部分的关系。实物模型也叫做比例模型。
M=
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b）先行集 系统要素Si的先行集是在可达矩阵或有向图中可到 达Si的要素所构成的集合，记为A(Si) 简单说，可达矩阵列向看 A(S1)={S1,S2,S7},A(S2)={S2,S7}, A(S3)={S3}, A(S4)={S3,S4,S6},A(S5)={S3,S4,S5,S6},
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可达矩阵为
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（3）骨架矩阵提取 分三步 a）检查各层次中的强连接要素，缩减处理 例子中强连接要素集合为{S4，S6}，把S4作为代表 要素，去掉S6的缩减矩阵为
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b）去掉已具有邻接二元关系的要素间的越级二元 关系，进一步简化矩阵
在例子M’(L)中，已有第二级要素(S4,S2)到第一级要素(S5,S1)和第三级 (S3,S7)到第二级要素的邻接二元关系，故可去掉第三级要素到第一级要 素的越级二元关系“S3R2S5”和“S7R2S1”，即把M’(L)中的3->5和7->1 的“1”改为“0”