初中数学重点梳理：解直角三角形

解直角三角形知识定位要理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；讲将通过例题来说明这些知识的运用。

知识梳理1、解三角形：由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形.2、解直角三角形所根据的定理① 边与边的关系： 勾股定理－－－－――c 2=a 2+b 2. ② 角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=90 ③ 边与角的关系：（锐角三角函数定义）SinA=c a ， CosA=c b , tanA=b a , CotA=ab. ④ 互余的两个角的三角函数的关系：Sin(90－A)= CosA ， Cos(90－A)= SinA ， tan(90 －A)= CotA, Cot(90 －A)= tanA. ⑤ 角A 的度数 0 30456090SinA 的值0 21 22 23 1CosA 的值 1 23 22 21 0tanA 的值 0 33 1 3不 存 在CotA 的值不 存 在3 133 0注意：；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.3、 解斜三角形所根据的定理 (在△ABC 中)① 正弦定理：SinCcSinB b SinA a ===2R. (R 是△ABC 外接圆半径). ② 余弦定理： c 2=a 2+b 2－2abCosC ； b 2=c 2+a 2－2ca CosB ； a 2=c 2+b 2－2cbCosA. ③ 互补的两个角的三角函数的关系：cASin(180 －A)= sinA ， Cos(180 －A)= － cosA ， tan(180 －A)=－cotA ， cotA(180 －A)=－tanA. ④ S △ABC ＝21absinC=21bcsinA=21casinB.例题精讲【试题来源】【题目】已知：四边形ABCD 中，∠A ＝60 ，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，CB ＝2，CD ＝1. 求：AC 的长 【答案】2132【解析】 解：延长AD 和BC 相交于E ，则∠E ＝30 . 在Rt △ECD 中，∵sinE=CECD, ∴CE=30sin 1=1÷21＝2. ∴EB ＝4.在Rt △EAB 中， ∵tanE=EBAB, ∴AB=EBtan30。

=334. yx 6012A C DE根据勾股定理AC＝223342）＋（＝2132.又解：连结BD，设AB为x，AD为y.根据勾股定理AC2＝x2+22=y2+12.根据余弦定理BD2＝x2+y2－2xyCos60 =22＋12－2×2×1Cos120 .得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-.0732222xyyxyx，解这个方程组，得x=334. (以下同上一解)【知识点】解直角三角形【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知：如图，要测量山AB的高，在和B同一直线上的C，D处,分别测得对A的仰角的度数为n和m，CD=a.试写出表示AB的算式.【答案】AB＝CotmCotna-.【解析】解：设AB为x，BD为y.在Rt△ABD和Rt△ABC中，⎩⎨⎧=+=.cotcotnxaymxy，xCotm=xCotn －a .∴ x=CotmCotn a-.答：山高AB ＝CotmCotn a-.【知识点】解直角三角形 【适用场合】当堂练习 【难度系数】3【试题来源】1991年全国初中数学联赛题【题目】已知：四边形ABCD 中，∠ABC ＝135 ，∠BCD ＝120 ，CD ＝6，AB ＝6，BC ＝5－3.求：AD 的长. 【答案】219.【解析】 解：作AE ∥BC 交CD 于E ， BF ⊥AE 于F ， CG ⊥AE 于G..在Rt △ABF 中，BF ＝6Sin45 =3, AF ＝BF ＝3. 在Rt △CGE 中， GE ＝CGtan30 =3×33＝1, ∴CE ＝2， ED ＝4.∴AE=3+5－3+1=6， ∠AED ＝120.在△AED 中，根据余弦定理，得 AD 2＝62＋42－2×6×4Cos120=76. ∴AD ＝219.yn mA【知识点】解直角三角形 【适用场合】当堂例题 【难度系数】5【试题来源】【题目】已知：二次方程mx 2－(m －2)x+41(m －1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值. 求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比【答案】32∶9【解析】 解：作Rt △ABC 斜边上的高CD.则sinA=AC CD , sinB=BCCD. ∵sinA 和 sinB 是方程的两根，根据韦达定理，得sinA+ sinB=m m 2-； (1) sinA sinB=mm 41- . (2)即AC CD BC CD =mm 41-. （3） (1)2－2(2)得： (sinA)2+(sinB)2=(mm 2-)2－m m 21-.∵sinB=cosA, 且 (sinA)2+( cosA)2=1，5－366120135AB C DE FGACD∴(mm 2-)2－m m 21-=1，m 2+7m －8=0,∴m=1， m=－8.由（3）AC CD BC CD＝AB CD ABCD CD 2＝＝mm 41-.∴CD AB ＝14-m m . 当 m=1 时，没有意义；当m=-8时，CD AB =932. 即直角三角形斜边与斜边上的高的比是32∶9. 【知识点】解直角三角形 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】5【试题来源】【题目】如图所示．∠A=∠BEF=∠EBC=∠ECD=90°，∠ABF=30°，∠BFE=45°，∠ECB=60°且AB=2CD ．求tg ∠CDE 的值【答案】【解析】 解：因为AB=2CD ，所以，不妨设CD=1，则AB=2．在Rt △ABF 中，∠A=90°，∠ABF=30°，在Rt△BEF中，∠BEF=90°，∠BFE=45°在Rt△BEC中，∠EBC=90°，∠ECB=60°【知识点】解直角三角形【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】在△ACD中，∠A=45°，CB=5，CD=7，BD=3．求∠CBD及AC的长．【答案】1/2；5/2【解析】解：法一：作CE⊥AD于E，设CE=x，BE=y，则有②-①得：6y+9=72-52=24，∠CBE=60°，∠CBD=180°-60°=120°，法二：在△CBD中，BC=5，BD=3，CD=7，由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD，所以∠CBD=120°从而∠CBA=60°．在△ABC中，由正弦定理得【知识点】解直角三角形【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是【答案】y=【解析】解：∵ON是Rt∠AOB的平分线，∴∠DOC=∠EOC=45°，∵DE⊥OC，∴∠ODC=∠OEC=45°，∴CD=CE=OC=x，∴DF=EF，DE=CD+CE=2x，∵∠DFE=∠GFH=120°，∴∠CEF=30°，∴CF=CE•tan30°=x，∴EF=2CF=x，∴S△DEF=DE•CF=x2，∵四边形FGMH是菱形，∴FG=MG=FE=x，∵∠G=180°﹣∠GFH=60°，∴△FMG是等边三角形，∴S△FGH=x2，∴S菱形FGMH=x2，∴S阴影=S△DEF+S菱形FGMH=x2【知识点】解直角三角形【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是【答案】【解析】分析：作AM⊥BC于M．由题意得，∠DBC=20°，∠DBA=50°，BC=60×=40海里，∠NCA=10°，则∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=30°．由BD∥CN，得出∠BCN=∠DBC=20°，那么∠ACB=∠ACN+∠BCN=30°=∠ABC，根据等角对等边得出AB=AC，由等腰三角形三线合一的性质得到CM=BC=20海里．然后在直角△ACM中，利用余弦函数的定义得出AC=，代入数据计算即可．解：如图，作AM⊥BC于M．由题意得，∠DBC=20°，∠DBA=50°，BC=60×=40海里，∠NCA=10°，则∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=50°﹣20°=30°．∵BD∥CN，∴∠BCN=∠DBC=20°，∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°，∴∠ACB=∠ABC=30°，∴AB=AC，∵AM⊥BC于M，∴CM=BC=20海里．在直角△ACM中，∵∠AMC=90°，∠ACM=30°，∴AC===（海里）．【知识点】解直角三角形【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．【答案】如下解析【解析】分析：（1）要求B到C的时间，已知其速度，则只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间；（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．求出OC=OB•cos30°=60，CD=OC=30，OD=OC•cos30°=90，则DE=90﹣3v．在直角△CDE中利用勾股定理得出CD2+DE2=CE2，即（30）2+（90﹣3v）2=602，解方程求出v=20或40，进而求出相遇处与港口O的距离．解：（1）∵∠CBO=60°，∠COB=30°，∴∠BCO=90°．在Rt△BCO中，∵OB=120，∴BC=OB=60，∴快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60=1（小时）；（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．则OC=OB•cos30°=60，CD=OC=30，OD=OC•cos30°=90，∴DE=90﹣3v．∵CE=60，CD2+DE2=CE2，∴（30）2+（90﹣3v）2=602，∴v=20或40，∴当v=20km/h时，OE=3×20=60km，当v=40km/h时，OE=3×40=120km．【知识点】解直角三角形【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°（图中各点均在同一平面内），求这棵大树CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）【答案】11.5【解析】解：如图，过B作BE⊥CD交CD延长线于E，∵∠CAN=45°，∠MAN=30°，∴∠CAB=15°∵∠CBD=60°，∠DBE=30°，∴∠CBD=30°，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∴∠CAB=∠ACB=15°，∴AB=BC=20，在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BC=20，∴CE=BCsin∠CBE=20×BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10，在Rt△DBE中，∠DBE=30°，BE=10，∴DE=BEtan∠DBE=10×，∴CD=CE﹣DE=≈11.5，答：这棵大树CD的高度大约为11.5米．【知识点】解直角三角形【适用场合】当堂练习题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】如图所示．ABCD是正方形，E为BC上一点．将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若tg∠AEN=1/3，DC+CE=10求：(1)△ANE的面积；(2)sin∠ENB．【答案】10/3;3/5【解析】解：（1）因为A，E两点关于直线MN对称，所以NA=NE，所以∠AEN=∠EAN，因为∠B=90°设BE=x，则AB=3x，因为DC=BC=AB=3x，所以CE=2x，所以DC+CE=5x=10，x=2，即EB=2，AB=6．设AN=y，则EN=y，BN=6-y，因为EN2-BN2=BE2，所以y2-(6-y)2=4，即 AN=10/3;NE=10/3说明：本题是一道综合性的题目，涉及到正方形性质、轴对称性质及解直角三角形的有关知识，要注意运用分析综合法寻找解题途径，并注意应用方程这个工具求解．【知识点】解直角三角形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】已知a，b，c是△ABC三边的长，其中b＞a=c，且方程ax2-+c=0，两根的差的绝对值等于，求△ABC中最大角的度数【答案】120【解析】解：因为a=c，所以方程为设x1，x2为方程的两个根，则有(x1+x2)2-4x1x2=2，所以∠A=30°，所以∠B=180°-30°-30°=120°．【知识点】解直角三角形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】证明：不能画出一个五角星，使得AB=10，BC=11，CD=12，DE=13，EF=14，FG=15，GH=16，HI=17，IJ=18，JA=19【答案】如下解析【解析】解：相等的对顶角分别记为α，β，γ，δ，θ．假设能画出满足已知条件的五角星，则在△ABC，△CDE，△EFG，△GHI，△IJA中分别应用正弦定理可得上述五个等式两边分别相乘，得上式左边=1，右边＜1，所以得出矛盾．因此，满足已知条件的五角星是不能画出来的．说明正弦定理、余弦定理反映了一般三角形中边与角之间的关系，在几何解题、证题中有着重要的应用，只是在初中阶段不作要求【知识点】解直角三角形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m 长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD ∥BC ，坝高10m ，迎水坡面AB 的坡度53i =，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB 的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE 的坡度56i =。