第4章 波动方程的积分解
波动方程
1.1 波动方程的形式一维波动方程（描述弦的振动或波动现象的）()t x f x u a t u ,22222=∂∂-∂∂ 1.2 波动方程的定解条件（以一维波动方程为例）（1）边界条件①第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）：弦振动问题中，弦的两端被固定在0=x 及l x =两点，因此有()0,0=t u ，()0,=t l u 。
②第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）：弦的一端（例如0=x ）处于自由状态，即可以在垂直于x 轴的直线上自由滑动，未受到垂直方向的外力，此时成立0=∂∂=ox xu 。
也可以考虑更普遍的边界条件()t xu x μ=∂∂=0，其中()t μ是t 的已知函数。
③第三类边界条件：弦的一端固定在弹性支承上，不放考虑在l x =的一端，此时边界条件归结为0u =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=l x u x σ。
也可以考虑更普遍的情况()t u x lx v u =⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=σ，其中()t v 是t 的已知函数。
1.3 利用叠加原理求解初值问题 初值问题()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞=∂∂==+∞<<∞>=∂∂-∂∂)x -(,,:0t x 0,-t ,,22222x t u x u t x f x u a t u ψϕ （1） 利用叠加原理求解上述初值问题，叠加原理表明由()t x f ,所代表的外力因素和由()()x x ψϕ,所代表的初始振动状态对整个振动过程所产生的综合影响，可以分解为单独只考虑外力因素或只考虑初始振动状态对振动过程所产生的影响的叠加。
即如果函数()t x u ,1和()t x u ,2分别是下述初值问题（I ）()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂===∂∂-∂∂2.1.....................,:0t 1.1. (022)222x t u x u x u a t u ψϕ和 （II ）()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂===∂∂-∂∂4.1....................................................................0,0:0t 3.1................................................................,22222t u u t x f x u a t u的解，那么()()t x u t x u u ,,21+=就一定是定解问题（1）的解。
波动方程的解析求解
波动方程的解析求解波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学和地球科学等领域。
它描述了波的传播和变化规律，并可以通过解析方法得到具体的解。
波动方程可以写作:∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u表示波动的物理量，t表示时间，c为波的传播速度，∇²表示Laplace算子。
解析求解波动方程是指通过代数运算、微积分工具等数学方法，直接得到方程的解析解。
相对于数值方法，解析求解具有精确性和通用性的优势。
下面将从几个方面介绍波动方程的解析求解方法。
一、分离变量法：对于边界条件和初值条件满足特定形式的波动方程，可以通过分离变量法求解。
具体步骤为将未知函数拆分成时间和空间两个变量的乘积形式，代入方程后将时间和空间两部分分别等于一个常数，得到一组关于常数和变量的常微分方程。
通过求解这组方程并考虑边界条件，可以得到波动方程的解析解。
二、傅里叶变换法：傅里叶变换是一种将函数分解成频域分量的方法，对于满足一定条件的波动方程，可以通过傅里叶变换得到解析解。
具体步骤为将波动方程进行傅里叶变换，得到频域的代数方程，再将其反变换回时域，即可得到原方程的解析解。
三、格林函数法：格林函数是波动方程的特殊解，可以用来表示波在某一点的传播规律。
通过构造波源函数和格林函数的卷积，可以得到波动方程的解析解。
这种方法常用于求解具有一定边界条件的波动方程，可以得到空间中任意一点的解析解。
四、变量替换方法：对于一些特殊形式的波动方程，如球坐标系或柱坐标系下的波动方程，可以通过将自变量进行适当的变换，得到新的形式，进而求解原方程。
这种方法可以简化方程的形式，使求解变得更加方便。
综上所述，波动方程的解析求解方法主要包括分离变量法、傅里叶变换法、格林函数法和变量替换方法等。
这些方法对于特定形式的波动方程都有适用性，能够得到精确的解析解。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法进行求解，将有助于深入理解波动现象的特性和规律。
波动方程和行波法剖析课件
目录 Contents
• 波动方程的基本概念 • 行波法的基本原理 • 波动方程的解析解法 • 波动方程的数值解法 • 行波法的应用实例
01
波动方程的基本概念
பைடு நூலகம்
波动方程的定义
波动方程
描述波动现象的基本数学模型，通常 用于描述物理场（如声场、电磁场、 水波等）随时间和空间的变化规律。
03
最后，通过迭代求解差分方程 ，得到波在每个网格点上的值 ，从而得到波的传播和演化过 程。
行波法的优缺点
优点
行波法简单易懂，易于编程实现，能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用 于求解各种类型的波动方程。
缺点
行波法需要设定初始条件和边界条件，对于某些复杂的波动问题可能需要较高 的计算成本和精度要求。
水波传播的模拟
要点一
总结词
利用行波法模拟水波的传播，有助于研究水波的形成、演 化及对环境的影响。
要点二
详细描述
在水波传播的模拟中，行波法能够模拟水面的波动情况， 包括波浪的生成、传播和消散。通过调整参数，可以研究 不同条件下水波的传播规律，如风速、水深、地形等，对 于水文学、海洋学等领域具有重要意义。
03
波动方程的解析解法
分离变量法
将波动方程的解表示为若干个变量的 乘积或商的形式，以便分别求解。
VS
分离变量法是一种求解波动方程的常 用方法。通过假设波动方程的解可以 表示为若干个变量的乘积或商的形式 ，我们可以将一个复杂的偏微分方程 转化为若干个简单的常微分方程，从 而方便求解。
积分变换法
利用积分变换将波动方程化为易于求解的形式，再进行逆变换得到原方程的解。
地震学
用于模拟地震波的传播和反射，进行地震预 测和地球结构研究。
波动方程及其解法
波动方程及其解法波动方程是常见的偏微分方程之一，它描述的是波的传播和变化。
而在实际问题中，如声波、光波、电磁波等的研究中，波动方程的解法是被广泛使用的。
本文将介绍波动方程的基本概念及其解法。
一、波动方程的基本概念波动方程最基本的形式是一维波动方程，其数学表达式如下：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$其中，$u(x,t)$表示波的位移，$c$是波的速度。
可以看出，波动方程是一个描述时间和空间之间关系的方程。
在这个方程中，偏微分算子表达了波动的传播和变化的规律。
二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是解波动方程的最常见方法之一。
其主要思想是，将变量$x$和$t$分离出来，分别让它们满足不同的微分方程。
如一维波动方程可以假设其解为$u(x,t)=X(x)T(t)$，将其代入波动方程可得：$XT''=c^2X''T$进一步变形，可得：$\frac{T''}{c^2T}=\frac{X''}{X}$由此得到两个方程：$\frac{T''}{c^2T}=-\omega^2$$X''=-\omega^2X$其中，$\omega$为角频率，$-\omega^2$为分离出来的常数倍。
对于这两个微分方程，可以分别求解。
2. 叠加原理在叠加原理中，可以将波看做是多个波的叠加。
这种方法可以用于特定场合下的波动方程求解。
例如，在弹性绳的研究中，可以将弹性绳的振动看作是多个波的叠加。
在这种情况下，可以对不同的波求解，并把它们的解加起来成为最终的解。
3. 直接积分法直接积分法是一种基本的解微分方程的方法，同样也适用于波动方程的求解。
在直接积分法中，可以通过对波动方程进行积分，逐步求解出波的变化规律。
这种方法的实现需要考虑初值条件的限制，而条件的不同可能导致问题的复杂性。
第四章 波动方程的积分解
第四章 波动方程的积分解4.1非其次标量亥姆霍兹方程的积分解电磁波问题的求解，都可以归结为求解其次或非其次标量或矢量波动方程。
对这类二阶偏微分方程，一般可以采用微分法和积分法。
在电磁波问题中，有源区的时谐电磁场满足非其次亥姆霍兹方程：()()()22r k r f r φφ∇+=- (4-1)考虑在体积V 中，Φ和Ψ标量场和二阶导数连续，在包围体积V 的封闭截面S 上标量场Φ和Ψ的一阶导数存在，由标量格林函数：()22-d ()d VSV S φψψφφψψφ∇∇=∇-∇⎰⎰⎰⎰⎰ (4-2)建立了标量场Φ和Ψ在闭合界面内的体积分和闭合界面上的面积分关系。
格林函数满足齐次亥姆霍兹方程。
()()220g r k g r ∇+='r r ≠ （4-3）整理以上三个算式得()()d [()()]d Vs s g r f r V g r g r S φφ+=∇-∇⎰⎰⎰⎰⎰ （4-4）'[]d -[dS-()dS]n s s s gg g S g r a e R φφφφ∂∇-∇==∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （4-5） 积分结果为()'''''''''''1()d d 44jk r r jk r r jk r r V S e e e r f r V r r S n n r r r r r r φφφππ------⎛⎫∂∂ ⎪=-- ⎪∂∂--- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰（）（） (4-6)电磁波遇到障碍物时，会发生绕射现象。
标量基尔霍夫公式可以用来近似计算电磁波通过电屏上孔径的绕射场，但需要假定条件： （1） 封闭面上除口径面外，标量场及其法向导数为零。
（2） 在口径面上，标量场及其法向导数等于无障碍物时的入射场。
可以看出，基尔霍夫近似必然导致在口径面的边缘场发生突变，从而产生突变。
但基尔霍夫近对物理光学的许多绕射问题仍然给出了许多满意的答案。
波动方程能量积分1
dE(t) = 0. dt
证明：对n=2的情形，对应的能量积分为
∫ ∫ ∫ E(t) = 1 2
Ω
(ut2
+ a2 (ux2
+
u
2 y
))dxdy
+
1 a2σ
2
Γ
u 2 dS .
上式关于t求导，并利用(5.10)中的方程，边界条件和 格林公式，有
∫ ∫ ∫ dE(t) = dt
[ut utt + a2 (uxuxt + uyuyt )]dxdy + a2σ u ut dS
= ϕ , ut t
+
=0
uyy ) = 0
=ψ , (x,
y
(t > 0, )∈Ω
⎪⎪⎪⎩⎛⎝⎜
∂u ∂n
+σu
⎞ ⎠⎟
Γ×[ 0,∞ )
=
0,
(x , y) ∈ Ω),
∫∫ ∫∫ 此时E0(t)
=
1 2
Ω
u (x, y,t)2 dxdy, E0 (0)
=
1 2
Ω
ϕ (x,
y)2 dxdy
∫∫ ∫ E(0)
⎝Ω
g
(
x,
y
)
2
dxdy
⎞1/ ⎟
2
,
⎠
g (⋅, ⋅)
L2 (Γ)
=
⎛ ⎜ ⎝Γ
g ( x,
y)2 dS
⎞1/ 2 ⎟. ⎠
18
证明：记ϕ =ϕ1 − ϕ2 ,ψ =ψ1 −ψ 2 , u = u1 − u2 于是u (x, y,t)满足如下的定解问题
⎧ ∂ 2u ⎪⎪⎪⎨u∂tt =20
波动方程的积分解
对于上式使用付氏变换得：
1 ( p, t ) 2
jwt ( p , ) e d
(3-2)
其中 p, 为谱函数。将上式带入齐次波动方程得：
1 2 1 2 jwt ( p, )e d 2 2 C
2 jwt ( P , ) e d 0
(3-19)
它表示的是由P点和它相对S2平面对称点P’所产生的两 个球面在空间一点处波场之差，如图3－5。当该点在平 ＝0。因此式（3－18） 面S2上时，R’=R”，所以波函数 中的第2项为零。
有：
1 ( p, ) s dS 4 s2 2 n
(3-20)
因为相对于P和它的对称 点，平面S2的法线方向 相反，有：
设在一个区域 的封闭曲面S上．已知位移位 ，它
的方向导数 n
，要求确定区域中任意一点P的位移位
（P，t） 。波的震源可能于曲面S以外，其作用等价于在S 曲面上给出的边界条件 和 n ，显然，待求的位函数
满足齐次波动方程：
1 2 2 0 c t
2 2
(3-1)
为波长。则式(3-21)变为： exp( jKR) R 2 Kj n R n 代入式（3－20）得：
(3-22)
jK r R j exp cos R, n d s ( p, ) S2 rR
边界条件代替了震源的作用。
应当指出的是，根据克希霍夫积分，在t瞬时，内
部空间任一观测点P上的波函数由S曲面上的波函数及
r 其法向偏导数在 t 时的值来确定，所需延迟时间 c r c 为振动由S曲面上的任意点到观测点P的传播时间。物
电磁场与电磁波第四章
∇2ϕ
−
με
∂2ϕ ∂t 2
=
−
1 ε
ρ
矢量位和标量位满足(分离出的两个独立)的方程, 称为达朗贝尔方程
间接方法：A. 求解两个达朗贝尔方程 B. 达朗贝尔方程 + 洛仑兹条件
9
4.3 电磁能量守恒定律
讨论电磁场的能量问题，引入坡印廷矢量， 得到反映电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
一、电磁场能量密度和能流密度
=
d dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
1 2
ε
|
v E0
|2 )dV
+
σ
V
|
v E0
|2
dV
20
根据
v E0
或
v H0
满足的边界条件，左端被积函数
v (E0
×
v H
0
)
⋅
evn
|S
=
(evn
×
v E0
)
⋅
v H
0
|S
=
v (H
0
×
evn
)
⋅
v E0
|S
=
0
即
∫ ∫ d
dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
∂2Ez ∂y 2
+
∂2Ez ∂z 2
− με
∂2Ez ∂t 2
=0
解波动方程，可求出空间中电磁场场量的分布。
(直接求解波动方程的过程很复杂)
4
4.2 电磁场的位函数
一、矢量位和标量位
∇ ⋅ Bv = 0
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(4-28)
我们常将波源周围的空间由近及远分为近区，中区和远区，它们也分别称为电抗区， 菲涅尔区和夫琅和费区。对于远区，也就是夫琅和费区，取以下近似：
则辐射电场为
R r r' er 1 1 Rr eR er
E (r ) j e jkr
4 r
V
J
(r
')
J
(r
')
er
er
J
m
(
精品课件
E(r) jen H(r ')g en E(r ') ' g en E(r ') ' gdS ' S
H(r) jen E(r ')g en H(r ') ' g en H(r ') ' gdS ' S
也可采用由标量基尔霍夫公式(4-10)得到的矢量基尔霍夫公式
(4-52) (4-53)
式中闭合面的法向单位矢量 en 的正方向指向体积 V 内。在此散射问题中场源只可能存
在于两个区域，一个是 S ' 以外的区域，入射波就是由这个区域中的源产生的；另一个
是 S 面内的区域，这个区域的源産散射波。在大球面 S ' 上，被积函数中的电磁场可表
示为入射场与散射场之和，即
j J m ( r ') ' ' J ( r ') '
gdV '
对于上式积分中的第三项，因
(4-26)
' J (r
')
'g
J(r
&39;
ey
g y '
ez
g
z
'
其中
'
J
(r
')
g x '
'
J
(r
')
g x '
J
(r
')
'
g x '
'
J
(
r
')
g y
'
'
在电磁波问题中，有源区的时谐电磁场或 矢量位函数的直角坐标分量或德拜位满足 非齐次标量亥姆霍兹方精品程课件
精品课件
精品课件
精品课件
精品课件
精品课件
精品课件
惠更斯原理
精品课件
绕射场(衍射场)
精品课件
精品课件
精品课件
4.2 非齐次矢量亥姆霍兹方程的积分 解
精品课件
精品课件
精品课件
L
N
E
j
4 r
e jkr
L
N
式中
L J ( r ') e jkr' e r d V '
V
L J ( r ') e jkr'er d V '
V
N
J
m
(r
') e
jk r' e r
d
V
'
V
N
J
m
(
r
') e jkr'er d V
'
V
精品课件
背景
电磁波问题的求解，都可以归结为求解 齐次或非齐次标量或矢量波动方程。对 这类二阶偏微分方程，一般可以采用微 分法和积分法。解的表达式主要分为级 数形式和积分形式。
上一章介绍的解法就是采用微分法，将 解用波函数表示为级数形式。本章介绍 积分法，将解表示为积分形式。
精品课件
4.1 非齐次标量亥姆霍兹方程的积分解
精品课件
下面讨论口径边缘的线电流和线磁流与口径场的关系。
按基尔霍夫近假设，设表面电流 J S 仅存在于口径面 A 上，封闭面上口径面以外的 其余曲面 S 上无表面电流，如图 4-4 所示。根据电流连续性原理，电流密度 J 与电荷密
度 的关系为
J dS j dV
S
V
(4-40)
S
J Jm
V A
V
j
J
(r
')
g
J
m
(r
')
'
g
'
g
dV
'
(4-42)
利用矢量恒等式 ABC AC B A BC 和 ABC AC B A BC
上式变为
l
et H j
(4-43)
利用对偶原理，口径边缘线磁荷与口径电场之间的关系为
lm
et E j
(4-44)
根据式(4-25)，口径边缘线电荷与线磁荷産的电磁场为
(4-48)
H (r)
1
j
A
k 2 en E en E ' '
j en H '
gdS '
(4-49)
精品课件
对于夫朗和费区的辐射场，对 R 取一级近似，并取
en H ' ' g k 2 en H er ger en E ' g jk en E er g
3.8 理想导电圆球对球面波的散射
*3.9 分层媒质上的电偶极子
*3.10 矢量波函数
精品课件
第4章 波动方程的积分解
*4.1 非齐次标量亥姆霍兹方程的积分解 *4.2 非齐次矢量亥姆霍兹方程的积分解 4.3 辐射场与辐射矢量 4.4 口径衍射场 *4.5 电场和磁场的积分方程
精品课件
E(r) 1
4
S
e jk r r '
rr'
E(r ') E(r ')
n
n
e jk r r ' rr'
dS '
(4-39a)
H (r) 1
4
S
e jk r r '
r r'
H (r ') H (r ')
n
n
e jk r r ' rr'
dS '
(4-39b)
式(4-25)与式(4-39(是一致的，可以由式(4-25)导出式(4-39)。利用式(4-25)计算电磁场需 要已知封闭面 S 上的场，如果要计算口径衍射场，仍可利用前面介绍基尔霍夫近似假 设。但是由于基尔霍夫近似假设忽略了口径面以外的导体表面上的表面电流，所以计
图4-4 口径衍射
精品课件
那么，在口径边缘上的线电荷密度 l 与边缘侧的表面电流密度 J S 的关系为
JS en et jl
(4-41)
式中 en 为口径面的法线单位矢量，et 为口径面边缘曲线的切向单位矢量。口径表面 J S 与
口径磁场的关系为
代入式(4-41)得
JS en H
E(r
)
精品课件
精品课件
精品课件
精品课件
4.3 辐射场和辐射矢量
对于源分布在无限大均匀空间区域中的情况，电磁场仅由源确定，如果已知源分布， 电 磁 场 可 由 式 (4-24)中 通 过 对 源 的 体 积 分 计 算 。 本 节 讨 论 式 (4-24)在 远 区 的 近 似 表 示 式 。 将 式 (4-24)重 写 如 下 ：
精品课件
在散射问题中，可以取散射体的表面或包围散射体的适当的闭合面作为 S 面，而将 S ' 面
扩展到远处取为半径十分大的球面，并使场源位于 S ' 面之外。这时由于体积 V 内没有
体分布的场源，电磁场的积分表示式(4-21)中的体积分为零，仅有面积分项：
E(r) jen H(r ')g en E(r ') ' g en E(r ') ' gdS ' S S ' H(r) jen E(r ')g en H(r ') ' g en H(r ') ' gdS ' S S '
x '
'g
Jy
y '
'g
Jz
z '
'g
jk
1 R
1 R
J
k 2(J
eR )eR
3 R
jk
1 R
(
J
eR )eR
g
J m
'
g
jk
1 R
J m eR
g
对于辐射场，仅保留 1/R 项，得：
1
E (r) j V
k 2 J ( r ') k 2 J ( r ') e R e R k J m ( r ') e R g d V ' 精品课件
E(r) 1
l
l (r ') ' gdl '
j
et H ' gdl '
l
H (r) 1
l
lm
(r
')
'
gdl
'
j
l
et E ' gdl '
(4-45) (4-46)
精品课件
对式(4-45)的每一直角坐标分量利用斯托克斯定理将闭合线积分转化为面积分，并利用
fA f A f A 等矢量恒等式进行整理得
r
')
e
r
e
jkr'
er
d
V
'
同理可得辐射磁场为
(4-29)
H (r ) j e jkr
4 r
V
J
m
(r
')