第4章 波动方程的积分解
波动方程与解法
波动方程与解法波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将介绍波动方程的基本概念和常见的解法。
一、波动方程的基本概念波动方程是一种偏微分方程，描述了波动过程中的空间和时间变化。
一维波动方程可表示为：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²其中，u表示波函数，t表示时间，x表示空间位置，v表示波速。
二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是一种常见的解波动方程的方法。
它基于假设波函数u可以被表示为时间因子T(t)和空间因子X(x)的乘积形式：u(x, t) = X(x)T(t)将波动方程代入上式后，将方程两边的变量分离，得到两个常微分方程，分别是关于时间的方程和关于空间的方程。
通过求解这两个方程，可以得到波函数的具体形式。
2. 超级位置法超级位置法是另一种常用的解波动方程的方法。
它基于假设波函数u可以表示为两个函数之和的形式：u(x, t) = φ(x - vt) + ψ(x + vt)其中，φ和ψ是任意两个函数。
这种波函数形式常用于描述传播方向相反的两个波包或两个波的干涉。
3. 叠加原理叠加原理是波动方程解法中的重要原理。
根据叠加原理，可将多个波动方程的解叠加在一起，得到新的波函数。
利用叠加原理，可以描述出复杂的波动现象，如波的干涉和衍射。
三、波动方程的应用波动方程在物理学和工程学中有广泛的应用。
以下是几个例子：1. 机械波方程机械波的传播可以通过波动方程进行描述。
例如，弦上传播的横波和纵波可以用波动方程解析求解，从而了解波的传播速度和波形。
2. 电磁波方程电磁波的传播和干涉也可以通过波动方程进行描述。
例如，光的传播可以使用电磁波方程进行解析求解，从而了解光的折射、反射和衍射等现象。
3. 地震波方程地震波在地球内部的传播可以通过波动方程进行建模。
利用波动方程可以分析地震波的传播路径、速度和震级等特征，对地震进行研究和预测具有重要意义。
波动方程的解析求解
波动方程的解析求解波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学和地球科学等领域。
它描述了波的传播和变化规律，并可以通过解析方法得到具体的解。
波动方程可以写作:∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u表示波动的物理量，t表示时间，c为波的传播速度，∇²表示Laplace算子。
解析求解波动方程是指通过代数运算、微积分工具等数学方法，直接得到方程的解析解。
相对于数值方法，解析求解具有精确性和通用性的优势。
下面将从几个方面介绍波动方程的解析求解方法。
一、分离变量法：对于边界条件和初值条件满足特定形式的波动方程，可以通过分离变量法求解。
具体步骤为将未知函数拆分成时间和空间两个变量的乘积形式，代入方程后将时间和空间两部分分别等于一个常数，得到一组关于常数和变量的常微分方程。
通过求解这组方程并考虑边界条件，可以得到波动方程的解析解。
二、傅里叶变换法：傅里叶变换是一种将函数分解成频域分量的方法，对于满足一定条件的波动方程，可以通过傅里叶变换得到解析解。
具体步骤为将波动方程进行傅里叶变换，得到频域的代数方程，再将其反变换回时域，即可得到原方程的解析解。
三、格林函数法：格林函数是波动方程的特殊解，可以用来表示波在某一点的传播规律。
通过构造波源函数和格林函数的卷积，可以得到波动方程的解析解。
这种方法常用于求解具有一定边界条件的波动方程，可以得到空间中任意一点的解析解。
四、变量替换方法：对于一些特殊形式的波动方程，如球坐标系或柱坐标系下的波动方程，可以通过将自变量进行适当的变换，得到新的形式，进而求解原方程。
这种方法可以简化方程的形式，使求解变得更加方便。
综上所述，波动方程的解析求解方法主要包括分离变量法、傅里叶变换法、格林函数法和变量替换方法等。
这些方法对于特定形式的波动方程都有适用性，能够得到精确的解析解。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法进行求解，将有助于深入理解波动现象的特性和规律。
波动方程_精品文档
l
=
=
12
50
600
s
=
1
(
)
υ
例题：有一列向x 轴正方向传播的平面简谐波，
它在t = 0 时刻的波形如图所示其波速为：
u = 600m/s 。试写出波动方程。
=
5m
A
24m
l
=
从波形图中可知：
ω
=
π
2
=
π
50
(
)
rad.
s
1
υ
原点处质点的振动方程为：
波动方程为：
y
0
2
π
由旋转矢量法：
u
l
=
=
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
0
1.时间推迟方法
x
x
u
y
o
P
·
A
已知振源（波源）的振动方程为：
振源的振动状态从0点以传播速度u传送到P 点，显然时间要落后：
´
u
x
＝
t
u
x
j
=
t
+
cos
(
)
A
ω
－
j
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
0
´
t
j
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
－
P
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位
置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
＝
0
波动方程及其解法
波动方程及其解法波动方程是常见的偏微分方程之一，它描述的是波的传播和变化。
而在实际问题中，如声波、光波、电磁波等的研究中，波动方程的解法是被广泛使用的。
本文将介绍波动方程的基本概念及其解法。
一、波动方程的基本概念波动方程最基本的形式是一维波动方程，其数学表达式如下：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$其中，$u(x,t)$表示波的位移，$c$是波的速度。
可以看出，波动方程是一个描述时间和空间之间关系的方程。
在这个方程中，偏微分算子表达了波动的传播和变化的规律。
二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是解波动方程的最常见方法之一。
其主要思想是，将变量$x$和$t$分离出来，分别让它们满足不同的微分方程。
如一维波动方程可以假设其解为$u(x,t)=X(x)T(t)$，将其代入波动方程可得：$XT''=c^2X''T$进一步变形，可得：$\frac{T''}{c^2T}=\frac{X''}{X}$由此得到两个方程：$\frac{T''}{c^2T}=-\omega^2$$X''=-\omega^2X$其中，$\omega$为角频率，$-\omega^2$为分离出来的常数倍。
对于这两个微分方程，可以分别求解。
2. 叠加原理在叠加原理中，可以将波看做是多个波的叠加。
这种方法可以用于特定场合下的波动方程求解。
例如，在弹性绳的研究中，可以将弹性绳的振动看作是多个波的叠加。
在这种情况下，可以对不同的波求解，并把它们的解加起来成为最终的解。
3. 直接积分法直接积分法是一种基本的解微分方程的方法，同样也适用于波动方程的求解。
在直接积分法中，可以通过对波动方程进行积分，逐步求解出波的变化规律。
这种方法的实现需要考虑初值条件的限制，而条件的不同可能导致问题的复杂性。
chapter7-2-4 波动方程的求解
波动方程的解法
分离变量法
有界弦的自由振动 （齐次方程）
+
齐次边界条件
傅里叶级数展开法
有界弦的受迫振动 （非齐次方程）
+
齐次边界条件
边界条件齐次化
有界弦的振动 （齐次或非齐次方程）
+
非齐次边界条件
分离变量：有界弦的自由振动
u
utt a 2uxx x0 0; u xl
l n
sin(
0
l
x)sin( m
l
x)dx
ma
l
l 2 Bm
ma
2 Bm
2
Bm am
l m
sin(
x) ( x)dx
0
l
驻波
其中
振幅 频率
na
na
n
un ( x, t) ( An cos
l
t Bn sin
l
t ) sin( l
x)
un( x, t)
n
Nn sin( l
x
)
s
in(na
n0
l
Bn sin
l
]cos
l
Fourier级数法：非齐次方程+齐次边界
uuxtt0a
2uxx 0;
u
f(
xl
x, t ) 0
x (0, l), t 0 t0
u t0 ( x); ut t0 ( x)
x [0, l]
utt
a 2uxx 0 u x0 0;
(0 x l;t u xl 0
n1
na
l
t
Bn
第四章 波动方程的积分解
第四章 波动方程的积分解4.1非其次标量亥姆霍兹方程的积分解电磁波问题的求解，都可以归结为求解其次或非其次标量或矢量波动方程。
对这类二阶偏微分方程，一般可以采用微分法和积分法。
在电磁波问题中，有源区的时谐电磁场满足非其次亥姆霍兹方程：()()()22r k r f r φφ∇+=- (4-1)考虑在体积V 中，Φ和Ψ标量场和二阶导数连续，在包围体积V 的封闭截面S 上标量场Φ和Ψ的一阶导数存在，由标量格林函数：()22-d ()d VSV S φψψφφψψφ∇∇=∇-∇⎰⎰⎰⎰⎰ (4-2)建立了标量场Φ和Ψ在闭合界面内的体积分和闭合界面上的面积分关系。
格林函数满足齐次亥姆霍兹方程。
()()220g r k g r ∇+='r r ≠ （4-3）整理以上三个算式得()()d [()()]d Vs s g r f r V g r g r S φφ+=∇-∇⎰⎰⎰⎰⎰ （4-4）'[]d -[dS-()dS]n s s s gg g S g r a e R φφφφ∂∇-∇==∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （4-5） 积分结果为()'''''''''''1()d d 44jk r r jk r r jk r r V S e e e r f r V r r S n n r r r r r r φφφππ------⎛⎫∂∂ ⎪=-- ⎪∂∂--- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰（）（） (4-6)电磁波遇到障碍物时，会发生绕射现象。
标量基尔霍夫公式可以用来近似计算电磁波通过电屏上孔径的绕射场，但需要假定条件： （1） 封闭面上除口径面外，标量场及其法向导数为零。
（2） 在口径面上，标量场及其法向导数等于无障碍物时的入射场。
可以看出，基尔霍夫近似必然导致在口径面的边缘场发生突变，从而产生突变。
但基尔霍夫近对物理光学的许多绕射问题仍然给出了许多满意的答案。
波动方程能量积分1
dE(t) = 0. dt
证明：对n=2的情形，对应的能量积分为
∫ ∫ ∫ E(t) = 1 2
Ω
(ut2
+ a2 (ux2
+
u
2 y
))dxdy
+
1 a2σ
2
Γ
u 2 dS .
上式关于t求导，并利用(5.10)中的方程，边界条件和 格林公式，有
∫ ∫ ∫ dE(t) = dt
[ut utt + a2 (uxuxt + uyuyt )]dxdy + a2σ u ut dS
= ϕ , ut t
+
=0
uyy ) = 0
=ψ , (x,
y
(t > 0, )∈Ω
⎪⎪⎪⎩⎛⎝⎜
∂u ∂n
+σu
⎞ ⎠⎟
Γ×[ 0,∞ )
=
0,
(x , y) ∈ Ω),
∫∫ ∫∫ 此时E0(t)
=
1 2
Ω
u (x, y,t)2 dxdy, E0 (0)
=
1 2
Ω
ϕ (x,
y)2 dxdy
∫∫ ∫ E(0)
⎝Ω
g
(
x,
y
)
2
dxdy
⎞1/ ⎟
2
,
⎠
g (⋅, ⋅)
L2 (Γ)
=
⎛ ⎜ ⎝Γ
g ( x,
y)2 dS
⎞1/ 2 ⎟. ⎠
18
证明：记ϕ =ϕ1 − ϕ2 ,ψ =ψ1 −ψ 2 , u = u1 − u2 于是u (x, y,t)满足如下的定解问题
⎧ ∂ 2u ⎪⎪⎪⎨u∂tt =20
波动方程的积分解
对于上式使用付氏变换得：
1 ( p, t ) 2
jwt ( p , ) e d
(3-2)
其中 p, 为谱函数。将上式带入齐次波动方程得：
1 2 1 2 jwt ( p, )e d 2 2 C
2 jwt ( P , ) e d 0
(3-19)
它表示的是由P点和它相对S2平面对称点P’所产生的两 个球面在空间一点处波场之差，如图3－5。当该点在平 ＝0。因此式（3－18） 面S2上时，R’=R”，所以波函数 中的第2项为零。
有：
1 ( p, ) s dS 4 s2 2 n
(3-20)
因为相对于P和它的对称 点，平面S2的法线方向 相反，有：
设在一个区域 的封闭曲面S上．已知位移位 ，它
的方向导数 n
，要求确定区域中任意一点P的位移位
（P，t） 。波的震源可能于曲面S以外，其作用等价于在S 曲面上给出的边界条件 和 n ，显然，待求的位函数
满足齐次波动方程：
1 2 2 0 c t
2 2
(3-1)
为波长。则式(3-21)变为： exp( jKR) R 2 Kj n R n 代入式（3－20）得：
(3-22)
jK r R j exp cos R, n d s ( p, ) S2 rR
边界条件代替了震源的作用。
应当指出的是，根据克希霍夫积分，在t瞬时，内
部空间任一观测点P上的波函数由S曲面上的波函数及
r 其法向偏导数在 t 时的值来确定，所需延迟时间 c r c 为振动由S曲面上的任意点到观测点P的传播时间。物
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
E j At jZAtm er
H j Atm j
(4-38a) (4-38a)
Zer At式中 NhomakorabeaAt A e A e
m Atm Am e A e
称为矢量位橫向分量， Z / 为波阻抗。
4.4 口径衍射场(自习)
衍射现象是波动过程中当波遇到如孔、缝隙待 障碍物的线度与波长可以比拟时所发生的不籤 几何光学规律的现象。衍射现象用几何光学不 能解释。关于光波衍射的最早的理论就是惠更 斯原理，其数学开工是标量基尔霍夫公式。但 是，对于电磁波的衍射问题，波的矢量不能被 忽略。计算电磁波的衍射可利用Stratton-Chu 公式得到的矢量基尔霍夫公式
(4-42) 利用矢量恒等式 A B C A C B A B C 和 A B C A C B A B C
(4-40)
S V J Jm A
图4-4 口径衍射
那么，在口径边缘上的线电荷密度 l 与边缘侧的表面电流密度 J S 的关系为
J S en et jl
(4-41)
式中 en 为口径面的法线单位矢量， 口径表面 J S 与 et 为口径面边缘曲线的切向单位矢量。 口径磁场的关系为
如果电流在有限区域，总可取积分区域包含电流分布区域，并使上式右边的积分曲面 上电流为零，从而使上式积分也为零。因此 E (r )
k j
V
1
2
J (r ') j J m (r ') ' J (r ') ' ' gdV '
(4-27)
如果场点在远区，即 R r r ' 简化。
第4章 波动方程的积分解
*4.1 非齐次标量亥姆霍兹方程的积分解 *4.2 非齐次矢量亥姆霍兹方程的积分解 4.3 辐射场与辐射矢量 4.4 口径衍射场 *4.5 电场和磁场的积分方程
背景
电磁波问题的求解，都可以归结为求解 齐次或非齐次标量或矢量波动方程。对 这类二阶偏微分方程，一般可以采用微 分法和积分法。解的表达式主要分为级 数形式和积分形式。 上一章介绍的解法就是采用微分法，将 解用波函数表示为级数形式。本章介绍 积分法，将解表示为积分形式。
j e
S
n
也可采用由标量基尔霍夫公式(4-10)得到的矢量基尔霍夫公式
1 E (r ) 4 1 H (r ) 4
jk r r ' e jk r r ' e E ( r ') E ( r ') dS ' r r ' n n r r ' S
E (r ) H (r )
j e
S
n
H (r ') g en E (r ') ' g en E (r ') ' g dS ' E (r ') g en H (r ') ' g en H (r ') ' g dS '
辐射磁场与辐射电场具有以下关系
H
E;
H
E
(4-36)
应用辐射矢量，对于夫琅和费区，矢量磁位和矢量电位表示为
A
jkr e L 4 r jkr Am e N 4 r
(4-37a) (4-37b)
由式(4-34)，式(4-36)及上式可得到在远区电磁场与矢量位的关系为
所以
J (r ') ' ' g J x
'g Jy ' g Jz 'g x ' y ' z '
11 3 1 jk J k 2 ( J e R )e R jk ( J e R )e R g RR R R 1 m jk J m ' g J eR g R 对于辐射场，仅保留 1/ R 项，得： E (r )
，上式被积函数中对自由空间格林函数的运算可以
因为
e jkR 1 'g ' ( jk ) geR 4 R R k2 11 3k 3 ' g e x jk e R j 2 3 ( x x ') g x ' RR R R R k2 11 3k 3 ' g e y jk e R j 2 3 ( y y ') g y ' RR R R R k2 11 3k 3 ' g e z jk e R j 2 3 ( z z ') g z ' RR R R R
r
(4-30)
定义辐射矢量 L J (r ')e jkr' er dV '
V
(4-31) (4-32)
N J m (r ')e jkr' er dV '
V
在圆球坐标系中，辐射矢量可用其分量表示为 L er Lr e L e L N er N r e N e N 远区辐射电场式(4-29)可用辐射矢量的分量简洁的表示为 jkr E j e L N 4 r jkr E j e L N 4 r 式中 L J (r ')e jkr' er dV '
' J (r ')
' J (r ')
g g g ' J (r ') J ( r ') ' z ' z ' z '
以及 g ' J ( r ') dV x ' V g J ( r ') dS x ' S
(4-39a)
jk r r ' e jk r r ' e H ( r ') H ( r ') dS ' r r ' n n r r ' S
(4-39b)
式(4-25)与式(4-39(是一致的，可以由式(4-25)导出式(4-39)。利用式(4-25)计算电磁场需 要已知封闭面 S 上的场，如果要计算口径衍射场，仍可利用前面介绍基尔霍夫近似假 设。但是由于基尔霍夫近似假设忽略了口径面以外的导体表面上的表面电流，所以计 算结果是挖的，只是在口径面的线远大于昔结果才较为可信。当不满足这一条件是发 生较大的误差，甚至会导致错误的结果。由于基尔霍夫近似假设在口径的边缘不满足 全电流连续性原理，因此，提高计算的精确度，认为在口径的边缘存在线电流和线， 以维持电流和磁流连续性，因而在计算口径的衍射场必须计算口径边缘线电流和线磁 流的辐射场。
下面讨论口径边缘的线电流和线磁流与口径场的关系。 按基尔霍夫近假设，设表面电流 J S 仅存在于口径面 A 上，封闭面上口径面以外的 其余曲面 S 上无表面电流，如图 4-4 所示。根据电流连续性原理，电流密度 J 与电荷密 度 的关系为
J dS j dV
S V
第 4 章 波动方程的积分解
第3章 基本波函数
*3.1 标量波函数 *#3.2 平面波，柱面波和球面波用标量基本波函数展 开 3.3 理想导电圆柱对平面波的散射 3.4 理想导电圆柱对柱面波的散射 3.5 理想导电劈对柱面波的散射 3.6 理想导电圆筒上的孔隙辐射 3.7 理想导电圆球对平面波的散射 3.8 理想导电圆球对球面波的散射 *3.9 分层媒质上的电偶极子 *3.10 矢量波函数
(4-26)
' J (r ') ' g J (r ') e x
其中
g g g ey ez x ' y ' z '
g g g ' J (r ') J ( r ') ' x ' x ' x ' g g g ' J (r ') ' J (r ') J (r ') ' y ' y ' y '
J S en H
代入式(4-41)得 E (r ) j J (r ') g J m (r ') ' g ' g dV ' V 上式变为
et H j 利用对偶原理，口径边缘线磁荷与口径电场之间的关系为 e E lm t j 根据式(4-25)，口径边缘线电荷与线磁荷産的电磁场为 1 j E (r ) l (r ') ' gdl ' et H ' gdl '
4.1 非齐次标量亥姆霍兹方程的积分解
在电磁波问题中，有源区的时谐电磁场或 矢量位函数的直角坐标分量或德拜位满足 非齐次标量亥姆霍兹方程
惠更斯原理
绕射场(衍射场)
4.2 非齐次矢量亥姆霍兹方程的积分解
4.3 辐射场和辐射矢量
对于源分布在无限大均匀空间区域中的情况，电磁场仅由源确定，如果已知源分布， 电磁场可由式(4-24)中通过对源的体积分计算。本节讨论式(4-24)在远区的近似表示式。 将式(4-24)重写如下： (4-24a) E(r ) j J (r ') g J m (r ') ' g ' g dV ' V m (r ') m H (r ) j J (r ') g J (r ') ' g ' g dV ' V 因 J j , 式(4-24a)可改写为 1 E (r ) k 2 J (r ') j J m (r ') ' ' J (r ') ' gdV ' j V 对于上式积分中的第三项，因 (4-24b)