第4章 波动方程的积分解

J S en H
代入式(4-41)得 E (r ) j J (r ') g J m (r ') ' g ' g dV ' V 上式变为
et H j 利用对偶原理，口径边缘线磁荷与口径电场之间的关系为 e E lm t j 根据式(4-25)，口径边缘线电荷与线磁荷産的电磁场为 1 j E (r ) l (r ') ' gdl ' et H ' gdl '
V
(4-33) (4-34)
(4-34a) (4-34b)
(4-35a) (4-35b) (4-35c) (4-35d)
L J (r ')e jkr' er dV '
V
N Jm (r ')e jkr' er dV '
V m N J (r ')e jkr' er dV ' V
r
(4-29)
同理可得辐射磁场为 H (r ) j jkr jkr' e m e J m (r ') J ( r ') e e J ( r ') e dV ' e r r r 4 r V
第4章 波动方程的积分解

*4.1 非齐次标量亥姆霍兹方程的积分解 *4.2 非齐次矢量亥姆霍兹方程的积分解 4.3 辐射场与辐射矢量 4.4 口径衍射场 *4.5 电场和磁场的积分方程
背景


电磁波问题的求解，都可以归结为求解 齐次或非齐次标量或矢量波动方程。对 这类二阶偏微分方程，一般可以采用微 分法和积分法。解的表达式主要分为级 数形式和积分形式。 上一章介绍的解法就是采用微分法，将 解用波函数表示为级数形式。本章介绍 积分法，将解表示为积分形式。
(4-40)
S V J Jm A
图4-4 口径衍射
那么，在口径边缘上的线电荷密度 l 与边缘侧的表面电流密度 J S 的关系为
J S en et jl
(4-41)
式中 en 为口径面的法线单位矢量， 口径表面 J S 与 et 为口径面边缘曲线的切向单位矢量。 口径磁场的关系为
(4-26)
' J (r ') ' g J (r ') e x
其中

g g g ey ez x ' y ' z '
g g g ' J (r ') J ( r ') ' x ' x ' x ' g g g ' J (r ') ' J (r ') J (r ') ' y ' y ' y '
第 4 章 波动方程的积分解
第3章 基本波函数



*3.1 标量波函数 *#3.2 平面波，柱面波和球面波用标量基本波函数展 开 3.3 理想导电圆柱对平面波的散射 3.4 理想导电圆柱对柱面波的散射 3.5 理想导电劈对柱面波的散射 3.6 理想导电圆筒上的孔隙辐射 3.7 理想导电圆球对平面波的散射 3.8 理想导电圆球对球面波的散射 *3.9 分层媒质上的电偶极子 *3.10 矢量波函数
(4-42) 利用矢量恒等式 A B C A C B A B C 和 A B C A C B A B C
' J (r ')
' J (r ')
g g g ' J (r ') J ( r ') ' z ' z ' z '
以及 g ' J ( r ') dV x ' V g J ( r ') dS x ' S
(4-39a)
jk r r ' e jk r r ' e H ( r ') H ( r ') dS ' r r ' n n r r ' S
(4-39b)
式(4-25)与式(4-39(是一致的，可以由式(4-25)导出式(4-39)。利用式(4-25)计算电磁场需 要已知封闭面 S 上的场，如果要计算口径衍射场，仍可利用前面介绍基尔霍夫近似假 设。但是由于基尔霍夫近似假设忽略了口径面以外的导体表面上的表面电流，所以计 算结果是挖的，只是在口径面的线远大于昔结果才较为可信。当不满足这一条件是发 生较大的误差，甚至会导致错误的结果。由于基尔霍夫近似假设在口径的边缘不满足 全电流连续性原理，因此，提高计算的精确度，认为在口径的边缘存在线电流和线， 以维持电流和磁流连续性，因而在计算口径的衍射场必须计算口径边缘线电流和线磁 流的辐射场。
k j
1
V
2
m J (r ') k 2 J (r ') e R e R k J (r ') e R gdV '

(4-28)
我们常将波源周围的空间由近及远分为近区，中区和远区，它们也分别称为电抗区， 菲涅尔区和夫琅和费区。对于远区，也就是夫琅和费区，取以下近似： R r r' er 1 1 R r eR er 则辐射电场为 E (r ) j jkr jkr' e m e J (r ') J (r ') er er J ( r ') e dV ' e r 4 r V
r
(4-30)
定义辐射矢量 L J (r ')e jkr' er dV '
V
(4-31) (4-32)
N J m (r ')e jkr' er dV '
V
在圆球坐标系中，辐射矢量可用其分量表示为 L er Lr e L e L N er N r e N e N 远区辐射电场式(4-29)可用辐射矢量的分量简洁的表示为 jkr E j e L N 4 r jkr E j e L N 4 r 式中 L J (r ')e jkr' er dV '
如果电流在有限区域，总可取积分区域包含电流分布区域，并使上式右边的积分曲面 上电流为零，从而使上式积分也为零。因此 E (r )
k j
V
1
2
J (r ') j J m (r ') ' J (r ') ' ' gdV '
(4-27)
如果场点在远区，即 R r r ' 简化。
，上式被积函数中对自由空间格林函数的运算可以
因为
e jkR 1 'g ' ( jk ) geR 4 R R k2 11 3k 3 ' g e x jk e R j 2 3 ( x x ') g x ' RR R R R k2 11 3k 3 ' g e y jk e R j 2 3 ( y y ') g y ' RR R R R k2 11 3k 3 ' g e z jk e R j 2 3 ( z z ') g z ' RR R R R
所以
J (r ') ' ' g J x
'g Jy ' g Jz 'g x ' y ' z '
11 3 1 jk J k 2 ( J e R )e R jk ( J e R )e R g RR R R 1 m jk J m ' g J eR g R 对于辐射场，仅保留 1/ R 项，得： E (r )
下面讨论口径边缘的线电流和线磁流与口径场的关系。 按基尔霍夫近假设，设表面电流 J S 仅存在于口径面 A 上，封闭面上口径面以外的 其余曲面 S 上无表面电流，如图 4-4 所示。根据电流连续性原理，电流密度 J 与电荷密 度 的关系为
J dS j dV
S V
E j At jZAtm er
H j Atm j
(百度文库-38a) (4-38a)

Z
er At
式中
At A e A e
m Atm Am e A e
称为矢量位橫向分量， Z / 为波阻抗。
4.4 口径衍射场(自习)

衍射现象是波动过程中当波遇到如孔、缝隙待 障碍物的线度与波长可以比拟时所发生的不籤 几何光学规律的现象。衍射现象用几何光学不 能解释。关于光波衍射的最早的理论就是惠更 斯原理，其数学开工是标量基尔霍夫公式。但 是，对于电磁波的衍射问题，波的矢量不能被 忽略。计算电磁波的衍射可利用Stratton-Chu 公式得到的矢量基尔霍夫公式
4.1 非齐次标量亥姆霍兹方程的积分解

在电磁波问题中，有源区的时谐电磁场或 矢量位函数的直角坐标分量或德拜位满足 非齐次标量亥姆霍兹方程
惠更斯原理
绕射场(衍射场)
4.2 非齐次矢量亥姆霍兹方程的积分解
4.3 辐射场和辐射矢量
对于源分布在无限大均匀空间区域中的情况，电磁场仅由源确定，如果已知源分布， 电磁场可由式(4-24)中通过对源的体积分计算。本节讨论式(4-24)在远区的近似表示式。 将式(4-24)重写如下： (4-24a) E(r ) j J (r ') g J m (r ') ' g ' g dV ' V m (r ') m H (r ) j J (r ') g J (r ') ' g ' g dV ' V 因 J j , 式(4-24a)可改写为 1 E (r ) k 2 J (r ') j J m (r ') ' ' J (r ') ' gdV ' j V 对于上式积分中的第三项，因 (4-24b)
j e
S
n
也可采用由标量基尔霍夫公式(4-10)得到的矢量基尔霍夫公式
1 E (r ) 4 1 H (r ) 4
jk r r ' e jk r r ' e E ( r ') E ( r ') dS ' r r ' n n r r ' S
辐射磁场与辐射电场具有以下关系
H
E;
H
E
(4-36)
应用辐射矢量，对于夫琅和费区，矢量磁位和矢量电位表示为
A
jkr e L 4 r jkr Am e N 4 r
(4-37a) (4-37b)
由式(4-34)，式(4-36)及上式可得到在远区电磁场与矢量位的关系为
E (r ) H (r )
j e
S
n
H (r ') g en E (r ') ' g en E (r ') ' g dS ' E (r ') g en H (r ') ' g en H (r ') ' g dS '