【K12学习】六年级奥数不定方程与整数分拆讲座

六年级奥数不定方程与整数分拆讲座

不定方程与整数分拆

求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．

补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级[第15讲余数问题].

解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；

③求特解；④求通解．

本讲讲解顺序：③包括1、2、3题④②①包括4、5题③包括6、7题，其中③④步骤中加入百鸡问题．

复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．

整数分拆问题：11、12、13、14、15．

．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?

【分析与解】设这个两位数为，则数字和为，这个数可以表达为

有

即，亦即．

注意到和都是0到9的整数，且不能为0，因此只能为

1、2、3或4，相应地的取值为2、4、6、8．

综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48．

．设A和B都是自然数，并且满足,那么A+B等于多少?

【分析与解】将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l，A=2时满足，此时A+B=2+1=3．

．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?

【分析与解】设购买甲级铅笔支，乙级铅笔支．

有7+3=50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法：

将系数与常数对3取模：

得=2，所以可以取2，此时取12；还可以取2+3=5，此时取5；

即、,对应为14、10

所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支．

．有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?

【分析与解】设1分、1角、1元和10元纸币分别有a 张、b张、c张和d张，

列方程如下：

由

得③

注意到③式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元．将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?

【分析与解】24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米．

另一方面，374=27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31．即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米．

因此剩余部分的管子最少是2厘米．

．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?

【分析与解】设男职工人，孩子人，则女职工3-人，

那么有=216，化简为=216，即=72．

有.

但是，女职工人数为必须是自然数，所以只有时，满足．那么男职工数只能为12名

．一居民要装修房屋，买来长0.7米和o.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：o.7+o.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?

【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条分别，根，则0.7+0.8=3.4

6，…

即7+8=34，36，37，38，39

将系数，常数对7取模，有≡6，l，2，3，4，于是最小分别取6,1,

3，4．

但是当取6时，8×6=48超过34，无法取值．

所以 3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．

小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?

【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平

信．但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分．所以，2分，10+2分应该为平信的邮费，最小取3，才是8的倍数，所以平信至少要寄4封，此时剩下的邮费为122-32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可．于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．

有三堆砝码，堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?

【分析与解】为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码．130÷7：18

……4，所以3克、5克的砝码应组合为4克，或4+7克重．

设3克的砝码个，5克的砝码个，则．

当=0时，有，无自然数解；

当=1时，有，有=2，=1，此时7克的砝码取17个，所以共

需2+1+17=21个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．

当>1时，7克的砝码取得较少，而3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取

砝码情形．

所以共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．

0．5种商品的价格如表8—1，其中的单位是元．现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式?【分析与解】设B、c、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、则有

=60．

=310，显然只能取0，1，2．

Ⅰ有=310，其中d可取0，1，2，3，4．

当d=0时，有=310，将系数，常数对6取模得：

≡4，于是最小取4，那么有18b=310-43×4=138，b不为自然

数．所以d=0时。不满足；

有=233，将系数，常数对6取模得：

≡5,于是最小,那么有18b=233-43×5=18,

；

有=156，将系数，常数对6取模得：

≡o，于是最小取0，那么有18b=156，b不为自然数，所以d=2

时，不满足；

有=79，将系数、常数对6取模得：

≡1，于是最小那么有18b=79—43=36．