第5章 非正弦周期信号电路
非正弦周期电流的电路xjh
03
工作原理
利用电容的阻抗随着频率的减小而减小，电感的阻抗随着频率的减小而
增加的特性，设计出对高频信号阻抗较小，对低频信号阻抗较大的电路。
带通滤波器设计
定义
带通滤波器允许某一频段的信号通过，抑制其他频段的信 号。
电路元件
由电阻、电容和电感组成，但电路结构更为复杂。
工作原理
通过调整元件的数值和连接方式，使得电路在某一频段内 呈现较小的阻抗，在其他频段呈现较大的阻抗，从而实现 信号的选择性传输。
03
开关电源：开关电源在工作过程中会产生非正弦周期电流 ，因为其工作原理涉及快速开关动作。
04
电路模型
05
非线性元件的等效电路：对于具有非线性电流-电压特性 的元件，可以使用等效电路模型来描述其行为。
06
平均模型：对于某些非正弦周期电流，可以使用平均模型 来简化分析，即将非正弦波形在一个周期内的平均值作为 等效值。
即电流的波形不是标准的正弦曲线，可能 是不规则的或具有其他特定形状。
周期性
产生原因
尽管波形不是正弦的，但非正弦周期电流 仍具有明确的周期性，即存在一个固定的 时间间隔，电流重复其波形。
非正弦周期电流的产生通常与非线性元件 或非线性电路行为有关。
产生原因与电路模型
01
产生原因
02
非线性元件：某些电子元件（如二极管、晶体管等）在特 定条件下会产生非线性电流-电压关系，导致非正弦周期 电流的产生。
平均值分析法
平均值分析法是一种基于非正弦周期电流波形平均值的电路分析方法。
在平均值分析法中，非正弦周期电流的波形被视为一系列矩形波的叠加，每个矩形 波的宽度为半个周期，高度为该矩形波所对应的电流值。
平均值分析法适用于分析非正弦周期电流电路中的电压、电流和功率等参数，特别 是对于具有对称性的波形，如方波、三角波等。
电子技术(电工学Ⅱ)(第3版)课件：非正弦周期电流电路
5 非正弦周期电流电路
二、教学要求： 1. 通过学习，理解用傅里叶级数将非正弦周 期信号分解为谐波的方法 ； 2. 理解和掌握非正弦周期电流电路中的有效 值、平均值和平均功率的计算 ； 3.了解线性电路在非正弦激励下的计算方法。
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5.1非正弦周期量的分解
非正弦周期信号
u
Um
u
u
2 2
5.2.2 平均值 非正弦周期电流、电压的平均值分别为
I av
1 T
T
idt
0
U av
1 T
T
udt
0
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5.2效非值正、弦平周均期值电和流平电均路功中率的有 5.2.3 非正弦周期电流电路的平均功率 设某无源二端网络端口处的电压、电流取关联的参 考方向，并设其电压、电流为：
u U0 Ukm sinkt ku k 1
例5-2设二端网络的端口电压、电流为关联的参考方 向，已知：
u 10 141.4sint 50 sin3t 60V
i sin t 700 0.3sin 3t 600 A
求二端网络的平均功率P。
解： P U 0 I 0 U1I1 cos1 U 3 I3 cos3
U0I0
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5.3线性电路在非正弦激 励下的计算
例5-3如图所示电路，已知R=100Ω，C=1μF。激励源
uS为矩形波。已知Um=11V，T=1mS，求输出电压 uO 。
11
0
0.5
1
t ms
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5.3线性电路在非正弦激 励下的计算
解：由已知条件可得基波角频率
1
2
T
1
2
10
3
非正弦周期电路分析
f(=w/2p)=1/T
u i
☣除了主要的基频成分外， 0
wt
波形还含有大量谐波成分。
2p
非正弦周期电路的基本概念
1.3 傅立叶级数的三角形式
设 f(t)为电压或电流的非正弦周期函数，其角频率为
w ，即 :
式中， T为周期函数f(t) ，k =0, 1, 2,
如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，可展开为傅 立叶级数，即:
从
中看到，如果电流波形有较大畸变，将导
致is1 / is较小 ，因此功率因数也会很小。
根据
可得:
电力电子技术的基本概况
T=1/f
非正弦周期电路的基本概念
利用波形对称性，可简化下式中系数ah和bh的计算:
表3.1是根据函数的对称性及所需要的条件，分别 给出了ah和bh的表达式。
对称性函数的傅立叶系数
对称性 条件 偶函数 奇函数
半波
电路和磁路的基本概念 ah 和 bh
h为偶数 h为奇数 h为奇数
对称性 条件
偶拓扑
偶函数 及半波
奇拓扑
奇函数 及半波
电路和磁路的基本概念
ah 和 bh
h为奇数或偶数
h为奇数
h为偶数
h为奇数或偶数 h为奇数 h为偶数
非正弦周期电路的基本概念
例 求图中所示非正弦周期信号f(t)
f(t) A
的傅里叶级数展开式。
-T-T/2 0 T/2 T t
解 由图可知f(t)在一个周期内的表达式为:
is us is1
生了严重畸变的波形。 0
wt
✼假设输入的电压为标准
j1
idis
的正弦电压:
w = w1，f = f1
非正弦周期性电流电路
增加能耗
非正弦周期性电流可能导致额外的 能耗，增加能源消耗和运营成本。
非正弦周期性电流的消除方法
电路中加入滤波器可以 滤除非正弦周期性电流成 分。
优化电源设计
优化电源设计，提高电源 的输出质量，减少非正弦 周期性电流的产生。
采用线性负载
采用线性负载可以减少谐 波干扰和非正弦周期性电 流的影响。
非正弦周期性电流电 路
目录
• 非正弦周期性电流电路概述 • 非正弦周期性电流的产生与影响 • 非正弦周期性电流电路的分析方法
目录
• 非正弦周期性电流电路的实验研究 • 非正弦周期性电流电路的工程应用 • 非正弦周期性电流电路的发展趋势与展望
01
非正弦周期性电流电路概 述
定义与特点
特点
定义：非正弦周期性电流电 路是指电路中的电流呈非正
在控制系统中的应用
执行器控制
非正弦周期性电流电路可以用于执行器的控制，以实现系统的稳 定性和动态性能。
传感器信号处理
非正弦周期性电流电路可以用于传感器信号的处理，以提取有用 的信息并进行反馈控制。
伺服系统
非正弦周期性电流电路可以用于伺服系统的设计，以实现精确的 位置和速度控制。
06
非正弦周期性电流电路的 发展趋势与展望
如雷电、电磁场等外部因素可能对电 路产生干扰，导致非正弦周期性电流 的产生。
电路中元件的非线性
电路中的元件，如电阻、电容、电感 等，可能具有非线性特性，导致非正 弦周期性电流的产生。
非正弦周期性电流对电路的影响
电压波动
非正弦周期性电流可能导致电压 波动，影响用电设备的正常运行。
谐波干扰
非正弦周期性电流可能产生谐波干 扰，影响通信和信号处理设备的性 能。
非正弦周期信号电路
瞬态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下的动态响应过程，包括电压、 电流的峰值、相位、波形等参数。
稳态分析
稳态分析是研究非正弦周期信号作用于电路时，电路 达到稳态后电压和电流的平均值或有效值。
稳态分析主要采用频域分析方法，通过将非正弦周期 信号进行傅里叶级数展开，转化为多个正弦波成分，
非正弦周期信号电路可以用于设计音频功率 放大器，将微弱的音频信号放大到足够的功 率以驱动扬声器或其他音频输出设备。
电力电子系统
逆变器
01
非正弦周期信号电路可以用于设计逆变器，将直流电转换为交
流电，以驱动电机、照明和加热等设备。
整流器
02
非正弦周期信号电路也可以用于设计整流器，将交流电转换为
直流电，以提供稳定的直流电源。
再对每个正弦波成分进行单独分析。
稳态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下 的稳态工作状态，包括平均功率、效率等参数。
频率响应分析
1
频率响应分析是研究非正弦周期信号作用于电路 时，电路在不同频率下的响应特性。
2
频率响应分析主要采用频域分析方法，通过测量 电路在不同频率下的输入输出特性，绘制频率响 应曲线。
生物医学工程
在生物医学工程中，非正 弦周期信号用于刺激或记 录生物体的电生理信号。
02
非正弦周期信号电路的基本 元件
电感元件
电感元件是利用电磁感应原理制 成的元件，其基本特性是阻碍电
流的变化。
当电感元件的电流发生变化时， 会在其周围产生磁场，储存磁场
能量。
电感元件的感抗与频率成正比， 因此对于非正弦周期信号，电感 元件会对其产生较大的阻碍作用。
非正弦周期性电路
第六讲非正弦周期性电路1 ．非正弦周期信号电路中非正弦周期电流、电压的产生，来源于电源信号和电路参数的非线性两方面。
电工技术中所遇到的周期函数多能满足展开成为傅里叶级数的条件，因而能分解成如下傅里叶级数形式：把非正弦周期函数分解为傅里叶级数，就是确定各次谐波的傅里叶系数的问题。
非正弦周期函数各次谐波的存在与否与波形的对称性有关。
直流分量A 0 是一个周期内的平均值，与计时起点选择无关。
原点对称的非正弦周期波A k =0 ，A 0 ＝0 （或C k ＝B k ，ф k ＝0 ），即只含各次正弦谐波，与计时起点选择有关。
纵轴对称的非正弦周期波B k ＝0( 或C k ＝A k ，ф k = ±π /2), 即只含各次余弦谐波与直流分量，与计时起点选择有关。
奇次谐波函数（横轴对称）只含奇次谐波，偶次谐波函数只含偶次谐波和直流分量，仅与波形有关，与计时起点无关。
2 ．正弦周期波的有效值、平均值和平均功率有效值平均值平均功率实用文档3. 非正弦周期信号的平均值交流电流的平均值和直流分量是两个不同的概念。
前者定义为，并引入波形因数与波顶因数的概念，而直流分量定义为是一个周期内的平均值。
4 ．非正弦周期信号的有效值交流电流（电压）有效值定义式，不仅适用于正弦交流，也适用于非正弦周期交流（电压）。
非正弦周期量的有效值等于各次谐波有效值平方和的平方根。
即：或各次谐波都是正弦量，I km = I k 的关系仍然存在。
测量非正弦电压或电流的有效值，要用电磁系或电动系仪表。
因此，当用整流式磁电系仪表（例如一般常用的万用表）去测量非正弦量时，只能获得非正弦量的平均值。
一般情况下，非正弦量的有效值与平均值之间没有固定的比例关系，它随着波形不同而不同。
5. 非正弦周期信号的功率实用文档交流电路平均功率定义式, 对非正弦电路仍然适用，它等于各次谐波平均功率之和。
即：6. 非正弦周期性电路的计算非正弦周期信号的的分析利用的方法是谐波分析法，是解决非正弦周期电流电路的有效方法。
05.非正弦周期电流的电路 共48页
L =1mH
C =1000pF
w=106rad/s
Z(w1)
=
(R+ jXL) R+ j(XL
( j XC XC)
)
XL R
XLXC = L =50k R RC
20Ω
R
Z(w1)=50 KΩ
is1
C L u1 is1=10si01n60 t μA
U1 = I1 Z(w1）= 1002106 50
k
k为偶数 k为奇数
Ckm= 2 2 i(wt)coskwtd(wt)
0
=
2Im
1 k
sinkwt
0
=
0
AKm =BK 2 m +CK 2 m =BKm =2 kIm（k为奇数）
K
=tan1
CKm=0 BKm
iS
Im
t
i 的最后展开式为： s
T/2 T
iS = I0 + AKmsin(kwt +K) K=1
2
0 coskwt cos pwtd(wt) = 0
2
0 sin kwt sin pwtd(wt) = 0
kp
一、非正弦周期函数的平均值
若 u(wt)=U 0+ U k m si(k nwt+k) k=1 正弦量的平均值为0
则其平均值为： (直流分量)
UAV=21 02u(wt)dwt=U0
二、非正弦周期函数的有效值
若 u(wt)=U 0+ U km sik nwt(+k) k=1
则有效值:
U= 1 2u2wtd(wt)
非正弦周期信号的电路
R=200
u1
u1
C
50f
u2
240V
t
解： （1）计算直流分量作用的结果（C开路）
U20=240V
（2）计算100HZ，100V交流分量作用的结果；
10
u11 100 2 sin2 100tV
XC
1
2fC
1
2 100 50106
32
Z1
R
1
jC
200
j32 202.5 9o
•
U 21
•
U11•
jXC
Z1
1000o ( j32) 202.5 9o
16 81o
11
u21 16 2 sin(2 100t 81o )
（3）将两结果叠加（瞬时值叠加）
u2 U20 u21
24016 2 sin(2 100t 81o )V
12
非正弦周期信号的电路
非正弦周期信号 不是正弦波 按周期规律变化
T
t
t
T
T
t
矩形波
全波整流波形
锯齿波
2
1.1 非正弦周期量的分解
设频率为 的非正弦周期电压u( t ) (满足狄里赫利
条件) ，可分解为傅立叶级数（可查手册）。
u(t ) U0 U1m sin(t 1 )
直流分量
U2m sin( 2t 2 )
基波（和原 函数同频）
二次谐波
U3m sin( 3t 3 ) （2倍频）
高次谐波
u(t ) U0 Ukm sin(kt k )
K 1
i(t ) I0 Ikm sin( kt k )
K 1
3
例12 周期性方波的分解
非正弦周期信号电路
4.16689.53mV 2
第三步 各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
U0 1.57mV
U1
5000mV 2
U3
12.4789.2mV 2
U54.126 689.53mV
u U0 u1 u3 u5
1.575000sint
R1
C1
X C1 X C2
i1" 4k
2k R2
+
+
e
E1
_
_
10μ
R4
4k
1000
1 10
10 6
100
以下介绍近似计算法
R3
10μ
u4"
4k
C2
R3>>XC2
R3//(jXC2)jXC
（C2称旁路电容）
R1
C1
同理
i1" 4K
10μ
2K R2
R4>>XC1
5 2 sin1000tA
最后结果：交、直流迭加
u4 u'4u"4 20 2sin100t0 mV
i1 i'1i"1
12005 2sin100t 0A
i1
直流分量
t 交流分量
交流计算非正弦周期电路应注意的问题
1. 最后结果只能是瞬时值迭加。 不同频率正弦量不能用相量相加。
5L 5106 103 5kΩ
Z(51)
(R jXL5)(jXC5) R j(5XL5XC5)
208.389.53
is5
10s0in 510 6t 5
非正弦周期电流电路
非正弦周期信号及其谐波分析、有效值
f(t)=(4/π)Am(sinωt+1/3sin3ωt+1/5sin5ωt+…)
有效值 F F12 F32 F52
其中
F1 2
2 Am
F3
2
2 Am
3
F5
22 Am5矩形波的幅度频谱非正弦周期电流电路谐波分析法计算步骤:
（1） 分解：利用傅里叶级数展开法，将已知非正弦周期信号 分 解为一系列频率不同、幅值不同、相位不同的正弦分量 之 和，即将非正弦周期函数分解为傅氏级数。
（2） 单独作用：分别计算在各个频率正弦量（即每一个频率 分 量）单独作用下电路中的响应。
（3） 合成：根据线性电路的叠加原理，将所得到的响应分量 的 时域形式叠加，从而求得实际的稳态响应值。
电路与电子学基础
非正弦周期交流电路
解 由公式可知，等效正弦电流的有效值为
I ( 0.8)2 (0.25)2 0.593 A
2
2
平均功率为
P
U1I1
cos
1
311 2
0.8 2
cos 85
10.8
W
正弦电压与等效正弦电流之间的相位差为
arc
cos
P UI
arc
cos
10.8 311 0.593
85.2
2
例 方波信号激励的电路。
U0 RI S0
20 78 .5106
1.57 mV
IS0
R u0
2. 基波 作用 is1 100 sin106 t μ A
20Ω R
为了便于分析与计算，通常可将非正弦周期电压和电
流用等效正弦电压和电流来代替。等效的条件是：等
效正弦量的有效值应等于已知非正弦周期量的有效值，
等效正弦量的频率应等于非正弦周期量的基波的频率，
用等效正弦量代替非正弦周期电压和电流后，其功率
必须等于电路的实际功率。这样等效代替之后，就可
以用相量表示。等效正弦电压与电流之间的相位差应
cos
k
d
1 2
[sin(k
0
1)
sin(k
1)]d
1 2
[
cos(k 1) k 1
cos(k 1) k 1
]0
11 k 1 k 1
2 k2 1
即
Ckm
4Um (k2 1)
0
( k为偶数) ( k为奇数)
A0
2Um
Bkm 0
Ckm
4Um (k2 1)
( k为偶数)
可得
k
非正弦周期电流电路
单元四非正弦周期电流电路一、非正弦周期信号二、非正弦周期量的有效值、平均值及三、非正弦周期电流电路的平均功率四、非正弦周期电流电路的计算一、非正弦周期信号1.非正弦周期信号：随时间周期性地按非正弦规律变化的信号。
2.非正弦周期函数的分解傅里叶级数：若周期为T ，角频率ω=2π/T 的周期函数，满足狄里赫利条件，则的可展开为∑∞=++=++++++++=1022110)sin cos ( sin cos 2sin 2cos sin cos )(k k k k k t k b t k a a t k b t k a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω ∵)t k (sin A sin cos k k ψ+=+ωωωt k b t k a k k ∴+++++=)2sin()sin()(22m 11m 0θωθωt A t A A t f 直流分量基波二次谐波∑∞=++=10)sin(k k k t k A A ψω（K=1、2、3、4…）几种非正弦周期函数的傅里叶级数名称波形傅里叶级数有效值平均值梯形波f (t) =απmA4(sinαsinωt +91sin3αsin3ωt+251sin5αsin5ωt +…+2k1sinkαsinkωt +…)（式中α =Td2π，k为奇数）A mπα-341A m(1－πα)三角波f (t) =2mA8π(sinωt－91sin3ωt+251sin5ωt +…+221kk)1(--sinkωt +…)（k为奇数）3A m2A m名称波形傅里叶级数有效值平均值矩形波f (t) =πmA4(sinωt+31sin3ωt+51sin5ωt +k1sinkωt +…)（k为奇数）A m A m半波整流波f (t) =πmA2(21+4πcosωt+311⨯cos2ωt －531⨯cos4ωt+751⨯cos6ωt －…)2A mπmA全波整流波f (t) =πmA4(21+311⨯cos2ωt－531⨯cos4ωt +751⨯cos6ωt－…)2A mπmA2名称波形傅里叶级数有效值平均值锯齿波f (t) = A m [21－π1(sinωt+21sin2ωt+31sin3ωt +…) ]3A m2A m矩形脉冲波f (t) =A m [ α+π2(sinαπcosωt+21sin2απcos2ωt+31sin3απcos3ωt +…) ]αA mαA m3.几种波形具有对称性的周期函数的傅里叶级数1. 奇函数的傅里叶级数奇函数：f (t )=－f (－t )；奇函数的波形对称于坐标系的原点。
电工技术第5章(李中发版)课后习题及详细解答
第5章非正弦周期电流电路分析5.1 一锯齿波电流的波形如图5.1所示，从表5.1中查出其傅里叶三角级数，并写出其具体的展开式。
解查表5.1，得锯齿波电流的傅里叶级数为：由图5.1可知：（A）（rad/s）将I m和ω代入傅里叶级数，得：5.2 画出非正弦周期电压（V）的频谱图。
解在无特别说明的情况下，一般所说的频谱是专指幅频谱而言的。
由非正弦周期电压u的表达式可知其直流分量为V，一次谐波分量的幅值为V，三次谐波分量的幅值为V，将它们用相应的线段按频率高低依次排列起来，即得到非正弦周期电压u的频谱图，如图5.2所示。
图5.1 习题5.1的图图5.2 习题5.2解答用图5.3 试求图5.3所示波形的有效值和平均值。
分析求非正弦周期信号的有效值和平均值有两种方法：一种是利用有效值和平均值的定义式计算，另一种是求出非正弦周期信号的傅里叶级数后根据有效值和平均值与各分量的关系计算。
由于求函数的傅里叶级数计算繁琐，故在没有求出函数傅里叶级数的情况下，采用第一种方法较为简便。
如果已知函数的傅里叶级数，则采用第二种方法较为简便。
本题采用第一种方法。
解根据图5.3写出电压u的表达式，为：所以，电压u的有效值为：平均值为：5.4 求下列非正弦周期电压的有效值和平均值。
（1）振幅为10V的全波整流电压；（2）（V）分析第（1）小题利用有效值和平均值的定义式计算较为简便，第（2）小题利用有效值和平均值与各分量的关系计算较为简便。
解（1）振幅为10V的全波整流电压的波形如图5.4所示，由图可知该全波整流电压的表达式为：其有效值为：（V）平均值为：（V）图5.3 习题5.3的图图5.4 习题5.4解答用图（2）有效值为：（V）因为非正弦周期信号的平均值就等于其直流分量，所以：（V）5.5 将上题中的两个电压分别加在两个阻值为5Ω的电阻两端，试求各电阻所消耗的平均功率。
分析求非正弦周期电路的平均功率也有两种方法：一种是利用平均功率的定义式计算，另一种是利用平均功率与各次谐波平均功率的关系计算。
非正弦周期信号电路
1 u S 5 U Sm sin 5t 5
u S 3 1 U Sm sin 3t 3
u S u S1 u S 3 u S 5 U Sm sin t 1 U Sm sin 3t 1 U Sm sin 5t 5 3
u S u S1 u S 3 u S 5 U Sm sin t 1 U Sm sin 3t 1 U Sm sin 5t 5 3
2 km
6.3 非正弦周期交流电路 的平均功率
u (t ) U 0 U km sin(kt k )
k 1
i(t ) I 0 I km sin(kt k k )
k 1
1 P T
T
0
u idt
利用三角函数的正交性，整理后得：
P U 0 I 0 U k I k cos k
信号分别计算。
（注意对交流各谐波的 XL、XC不同，对直 流C 相当于开路、L相于短路。） 3. 将以上计算结果，用瞬时值迭加。
计算举例
例1 方波信号激励的电路
iS
Im
T/2
已知：
R
tTΒιβλιοθήκη iSC Lu
R 20、 L 1mH、C 1000 pF I m 157 μ A、 T 6.28S
非正弦周期信号电路
非正弦周期交流信号的特点 不是正弦波 按周期规律变化
非正弦周期交流信号举例
半波整流电路的输出信号
示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
交直流共存电路
+V
Es
计算机内的脉冲信号
T
t
6.1 非正弦周期函数的合成与分解
非正弦周期交流电路PPT
非正弦周期交流电路
§5-1. 非正弦周期量的分解 §5-2. 非正弦周期量的有效值 §5-3. 非正弦周期电流的线性电路 §5-4. 非正弦周期电流的平均功率
非正弦周期电路
一、概述
非正弦电流的普遍性和特殊性
工程中常有一些非正弦信号。如计算机中的脉冲 信号；测量技术中将非电电量转换成的电信号； 由语言、音乐、图象转换成的电信号；许多电子 仪器在工作时所需的控制信号等等。 既然是非正弦的电学量，就不能用正弦交流电的 相量分析方法进行讨论分析，这里讨论对非正弦 电流量的分析方法。它是非正弦量的一种特例。
在0 区间，sin sin k d
1 [cos( k 1) cos( k 1) ]d 2
积分后为零。故可知
o
2
t
u U m sin t
Bkm 0
U m 2 系数 C km 0 sin t cos kt d(t ) Um 2 [ 0 sin t cos kt d(t ) sin t cos kt d(t )] Um 2 0 sin t cos kt d(t ) 1 0 sin cos k d [sin( k 1) sin( k 1) ]d 20 1 1 2 1 cos( k 1) cos( k 1) 0 2 [ ] k 1 k 1 k 1 2 k 1 k 1 4U m ( k为偶数) 2 即 (k 1) C km 0 ( k为奇数)
电路中的电流是非正弦周期量。
e1
t
例
周期性方波 的分解
直流分量
t
t
三次谐波 五次谐波
基波
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§5.1 周期Biblioteka 号的傅里叶级数 §5.2 非正弦周期信号的平均值、有效值和非正弦
周期信号电路的平均功率 §5.3 非正弦周期信号电路的谐波分析法
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本章基本要求
1.了解非正弦周期信号及谐波的概念。 2.理解和掌握非正弦周期信号的有效值，非
正弦周期信号电路的谐波分析法及平均功 率的计算。
•
•
U om1
•
R I m1
R U im1
10V
Z1
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（3）将直流分量及谐波分量分别激励时响应电压的瞬
时值叠加得 uo 10 sin 1tV
即输出响应电压与激励电压的一次谐波近似相等。 本例中，由于电容的隔直流作用，在输出响应电压中
没有直流分量；又由于容抗和频率成正比，
适当选择电路参数，使 R 1 ，输入激励电压
1C
ui中的正弦分量就几乎全部作用在电阻元件上。在电子技 术中，这种电路称为RC耦合电路，被广泛用于低频放大 器中。
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本章小结
本章重点内容为非正弦周期信号线性电路的谐波分析， 非正弦周期信号有效值以及非正弦周期信号线性电路的 平均功率计算。 1.电工技术中常见的非正弦周期信号都可以被分解为一 系列与该信号频率成整数倍的正弦分量，也称为该信号 的谐波分量，即
An an2 bn2
演示
n
arctan
an bn
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§5.2 非正弦周期信号的平均值、有效值
和非正弦周期信号电路的平均功率
一、平均值 f (t) a0 [ Ansin(n1t n )
Iav
1 T
T 0
i(t)dt
I0
n1
1T
Uav
T
u(t)dt
0
U0
二、有效值
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概述 一、各种非正弦周期信号
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二、非正弦周期信号产生的原因 1.电路中含有非线性元件
2.电路中含有不同频率的 激励源
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§5.1 周期信号的傅里叶级数
f (t) f (t T ) a0 an cos n1t bn sin n1t n1
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3.非正弦周期信号的有效值可根据其方均根值导出。如非正 弦周期电流为
it I0 Inm sinnt n
其有效值为n1
I
1 T i2dt T0
1 T
T 0
I
0
Imn
N 1
sin(nt
2
n ) dt
I
2 0
In2
I02
I12
I
2 2
I
2 3
. . . . . .I n 2 . . . .
P 1 T pdt 1 T ui dt
T0
T0
P P0 Pn U0I0 UnIncos(nu ni )
n1
n1
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例5.2.2.
已知施加于二端网络的电压
u(t) [100 100 cos1t 30 cos(31t 30 )]V 流入端口的电流 i(t) [25 50 cos(1t 45 ) 10 cos(31t 60 )]A
f (t) A0 Anm sin(nwt n) n 1
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频率为零的谐波分量称为直流分量，与非正弦周 期信号频率相同的谐波分量称为基波。频率为基 波频率奇数倍的谐波称为奇次谐波；频率为基波 频率偶数倍的谐波为偶次谐波；频率大于基波的 谐波分量统称为高次谐波。 2.非正弦周期信号的平均值就是谐波分量中的直流 分量。
I 1 T i2dt
T0
I
1 T
T 0
[I0
n1
Inmsin(n1t
n )]2 dt
I
I02
I12
I
2 2
I n2
U
U02
U12
U
2 2
U
2 n
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三、平均功率
u(t) U0 [Unmsin(n1t nu )] n1
i(t) I0 [Inmsin(n1t ni )] n1
求二端网络的平均功率P。
解：P U0I0 U1I1 cos 1U3I3 cos 3
U0I0
U1m 2
I1m 2
cos
1
U
3m
2
I3m 2
cos
3
{100 25 100 50 cos[0 (45 )] 22
30 10 cos[(30 ) (60 )]}W 22
=(2500+1767.8+129.9)W=4397.7W
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§5.3 非正弦周期信号电路的谐波分析法
方法： 1.将非正弦周期信号分解为直流分量和各次谐
波分量之和。 2.分别求直流分量和各次谐波分量单独作用于电 路时所产生的响应。 3.将各响应的瞬时值进行叠加。 注意： 各次谐波的感抗、容抗是相应角频率的函数。
X L n1L
XC
n1
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同理，非正弦周期电压的有效值为
U
1 T u2dt T0
U02 U12 U22 U32 Un2
上述结果说明，任一非正弦周期信号的有效值等于它
的直流分量与各次谐波分量有效值平方和的平方根。
求解非正弦周期电压，电流的有效值应注意两点：
（1）各谐波分量的有效值等于其最大值的
1
n1C
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[例5.3.1] RC串联电路如图5.3.1所示，已知激励信
号ui=5+100sinω1tV，R=1kΩ，C=100µF，
ω1=200 πrad/s，求响应电压uo。
+
C
+
ui
R
uo
-
-
图 5.3.1
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解：已知激励信号含有直流分量和一次谐波分量。
1 2
，直流分
量的有效值就是其本身。
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（2）正弦量的最大值与有效值之间满足 2 倍的 关系，非正弦周期信号不存在这个关系。
4.非正弦周期信号电路的平均功率为
P 1 T
T uidt 1
0
T
T
{[U 2
0
umn sin(nt n )]
n0
0
[I0 umn sin(nt n )]}dt
（1）直流分量 ui(0) 5V 激励的响应。
因为电容器有隔直流作用，故电路中无电流，1kΩ
电阻上无压降，即
Uo0 0V
（2）一次谐波分量 ui1 10sin1tV 激励时的响应。
该一次谐波分量作用于电路时容抗、阻抗分别为
.
Z 1 R jX C1 1000 j15.92 1000
响应电压的幅值相量为