非正弦周期信号

12.3.2 非正弦周期量的平均功率
非正弦周期量通过负载时也要消耗功率，此功率 与非正弦量的各次谐波有关。即：
P U 0 I 0 U1I1 cos 1 U 2 I 2 cos 2 P0 P1 P2
显然，只有同频率的正弦谐波电压和电流才能构 成平均功率。
已知有源二端网络的端口电压和电流分别为：
参看课本上P132页中的表9.1，表中所示的一些典 型非正弦周期信号的的傅里叶级数表达式表明，它们 也都是由一系列正弦谐波合成而得。所不同的是，不 同的非正弦周期信号波，它们各自所包含的谐波成分 各不相同。
寻找一个已知非正弦周期波所包含的谐波，并把 它们用傅里叶级数进行表达的过程，我们称为谐波分 析。
u(t
)

U1mCost

1 3
U1mCos3t

1 5
U1mCos5t

L
谐波展开式从数学的概念上可称为非正弦周期信 号的傅里叶级数表达式。
u(t) 4A (Cost 1 Cos3t 1 Cos5t 1 Cos7t L )

3
5
7
傅里叶级数表达式中的A是方波的最大值。
严重，取决于它们波形的平滑性。即愈不平滑的波形 所含有的高次谐波愈严重。
12.3 非正弦周期信号的有效值、
平均值和平均功率
学习目标：熟悉非正弦波有效值的计算式，了解它与
正弦量有效值的区别和联系；掌握非正弦
量平均值的含义及平均功率的计算。
12.3.1 非正弦周期量的有效值和平均值
非正弦周期量的有效值定义与正弦交流电有效值
该谐波的振幅大小。显
U1m
然，频谱图可以非常直
5
观地表示出非正弦周期 信号所包含的谐波以及
各次谐波所占的“比重”
5
如果把振幅频谱的顶端用虚线连接起来，则该虚 线就称为振幅频谱的包络线。
12.2.3 波形的对称性与谐波成分的关系
观察表9.1中各波形可发现：方波、等腰三角波只 含有sin项的奇次谐波；锯齿波和全波整流都含有直流 成分，且锯齿波还包含sin项的各偶次谐波，全波整流 则包含cos项的各偶次谐波……。
12.2.2 非正弦周期信号的频谱
非正弦周期信号各次谐波振幅分别用线段表示在座 标系中，所构成的图形称为振幅频谱图。
非正弦周期信号用傅里叶级数表达式表示还不够
直观，而用频谱图进行表示时，各次谐波分量的相对
大小就会一目了然。
4A


U1m
U1m
3
0 3
图中每一条谱线代
表一个相应频率的谐波
分量，谱线的高度表示
2
2
P0 P1 P2 50 19.3 9.2 78.5W
12.4 非正弦周期信号作用下 的线性电路分析
学习目标：了解在一定条件下，非正弦周期信号作用
下的线性电路的分析方法，掌握较为简单 的非正弦周期电流电路的计算。
非正弦周期电流电路的分析计算一般步骤
1.将电路中的激励展开成傅里叶级数表达式；
试用叠加定理求稳态电压u(t)。
解：1.计算 uS(t) 20 cos(100 t 10)V 单独作用时产生
的电压 u' (t)
将电流源iS(t)以开路代替，得到图(b)所示相量模型，
由此求得
U'

5
j5 j5
US

5
j5 j5
10
210 1055V
由相量写出相应的瞬时值表达式
u [50 85 sin(t 30) 56.6 sin(2t 10)V
i [1 0.707 sin(t 20) 0.424 sin(2t 50)A
求电路所消耗的平均功率。
P 50 1 85 0.707 cos[30 (20)] 56.6 0.404 cos(10 50)
奇谐波函数：特点是波形的后半周与前半周具有镜像 对称性，也称为奇次对称性，奇谐波函 数的傅里叶级数表达式中只含有奇次谐 波。
偶谐波函数：特点是波形的前、后半周变化相同。也 称为偶次对称性，偶谐波函数的傅里叶 级数表达式中一般只包含偶次谐波。
零次谐波： 非正弦周期波中的直流分量称为零次谐 波。偶次谐波中一般包含零次谐波。
第十二章 非正弦周期电流电路
12.1非正 弦
周期信号
12.4 非正弦周期 信号作用下的 线性电路分析
12.2 谐波 分析和 频谱
12.3 非正弦 周期信号的 有效值、平均值 和平均功率
本章学习目的与要求
了解非正弦周期量与正弦周期量 之间存在的特定关系；理解和掌握非 正弦周期信号的谐波分析法；明确非 正弦周期量的有效值与各次谐波有效 值的关系及其平均功率计算式；掌握 简单线性非正弦周期电流电路的分析 与计算方法。

4.47
76.6V
由相量写出相应的瞬时值表达式
u"(t) 4.47 2 cos(200 t 76.6)V
3.根据叠加定理求稳态电压u(t)
将每个正弦电源单独作用时产生的电压瞬时值相加， 得到非正弦稳态电压u(t)
u(t) u'(t) u"(t) 10 2 cos(100 t 55)V 4.47 2 cos(200 t 76.6)V
非正弦周期量的波形特点，还常常用波形因数和 波顶因数来描述。 波形因数等于非正弦周期量的有效值与平均值之比：
有效值 Ki 平均值
波顶因数等于非正弦周期量的最大值与有效值之比： 最大值
K A 有效值
波顶因波数形大因于数波Ki和形波因顶数因。数即K非A正均弦大量于的1，波一形般顶情部况越下尖 时，这两个因数越大，而非正弦周期量波形顶部越趋 于平坦时，这两个因数越小。
12.2 谐波分析和频谱
学习目标：理解谐波和频谱的概念，熟悉非正弦波的
谐波表达式，掌握波形对称性与谐波成分
的关系，理解波形“平滑性”的概念。
12.2.1 非正弦周期信号的傅里叶级数表达式
由上节内容可得：方波信号实际上是由振幅按1，
1/3，1/5，…规律递减、频率按基波频率的1、3、5
…奇数倍递增的u1、u3、u5等正弦波的合成波。因此 方波电压的谐波展开式可表示为：
u(t)
0
t
观察方波波形，它不但具有对原点对称的特点， 还具有奇次对称性，因此在它的傅里叶级数展开式中 只含有sin项中的各奇次谐波。
u(t)
0
t
观察全波整流波的波形，它不但具有对纵轴对称 的特点，还具有偶次对称性，因此在它的傅里叶级数 展开式中只含有cos项中的各偶次谐波，且包含零次 谐波成分。
显然，非正弦周期信号的谐波成分与其波形有关！
谐波分析一般都是根据已知波形来进行的，而非 正弦周期信号的波形本身就已经决定了该非正弦波所 含有的谐波。根据波形的特点我们解释几个名词：
奇函数：其特点是波形对原点对称。奇函数的傅里叶 级数中只含有sin项，不存在直流和偶次谐 波。
偶函数：特点是波形对纵轴对称。偶函数的傅里叶级 数表达式中只含有cos项，一般还包含直流 成分。
2.将激励分解为直流和一系列正弦谐波(一般计算至 3~5次谐波即可)；
3.对各次谐波单独作用时的响应分别进行求解；
4.求解出的响应均用解析式进行表示；
5.将电路响应中的各次谐波分量进行叠加后即为待求 响应。
讨论几个不同频率的正弦激励在线性时不变电路中引起 的非正弦稳态响应。
几个频率不同的正弦激励在线性时不变电路中产生 的稳态电压和电流，可以利用叠加定理，分别计算每个 正弦激励单独作用时产生的正弦电压uk(t)和电流ik(t)，然 后相加求得非正弦稳态电压u(t)和电流i(t)。

u(t)
U1m
u1与方波同频率, 称为方波的基波
u1
u3的频率是方波的3倍,
称为方波的三次谐波。
1/3U1m
0
u3
t
u1和u3的合成波, 显然较接近方波
u(t)
1/5U1m
0
u5的频率是方波 的5倍,称为方波 的五次谐波。
u5
t
u135
u13和u5的合成波, 显然更接近方波
由上述分析可得，如果再叠加上一个7次谐波、 9次谐波……直到叠加无穷多个，其最后结果肯定与 周期性方波电压的波形相重合。
u(t) u'(t) u"(t) 10 2 cos(100 t 55)V 4.47 2 cos(200 t 76.6)V
u ' (t) 和 u" (t) 的波形如图(a)所示。 u(t) u ' (t) u" (t) 的 波形如图(b)所示，它是一个非正弦周期波形。
12.1 非正弦周期信号 学习目标：掌握谐波的概念，理解非正弦周期信号与
各次谐波之间的关系。
12.1.1 非正弦周期信号的产生 1.电路中含有非线性元件（如二极管半波整流电路）
输入正弦波
D R
输出半波整流
2.实验室中的信号发生器或示波器中的水平扫描电压
示波器
输入正弦波
输出周期性锯齿波
3.一个电路中同时有几个不同频率的激励共同作用时
u' (t) 10 2 cos(100 t 55)V
2.计算 iS (t) 2 cos(200t 50)A 单独作用时产生的 电压 u" (t) 。
将电压源uS(t)用短路代替，得到图(c)所示相量模型，
由此求得
U“

j10 5
5 j10
IS

5
j50 j10
150
掌握了波形与谐波成分之间的上述关系，无疑给 谐波分析的步骤带来简化，根据波形的对称性会很快 找出相应的谐波。