非正弦周期函数的傅里叶级数展开式

（3）f(t)函数为奇谐波函数：f(t)=－f(t+T/2)； 即：相隔 半个周期的函数值大小相等，符号相反；也称为半波对 称（镜对称）函数；
f (t )
t
T /2
O
T /2
T
1 a0 T

T
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0
f (t )dt 0
0 k为偶数 4 T /2 ak f ( t ) cos k tdt k为奇数 0 T 0 4 T /2 bk f (t ) sin ktdt 0 T
在电路分析中，傅里叶级数的另一种形式；
f (t ) A0 Akm cos(kt ) k)
k 1

(7-2)
应用相量运算可得：
ak Am k cos k
bk Am k sin k
a0 A0
Am k a b bk k arctg ak
2 k
2 k
（2）f(t)函数为偶函数，f(t)=f(-t)
f (t )
T
O
T /2
t
1 a0 T

T /2
0
f (t )dt ;
2 T bk f (t ) sin ktdt 0 T 0
2 T 4 T /2 a k f (t ) cos ktdt f (t ) cos ktdt T 0 T 0
k为偶数 k为奇数
§71 非正弦周期函数的傅里叶级数展开式
f (t ) A0 Akm cos(kt ) k)
k 1
恒定分量（直流分量）
1 —基波初相 k =1 — 基波； Am1 — 基波振幅 ， k =2,3称为高次谐波,收敛的，次数越高，振幅越小
2．谐波分析: 将周期函数分解为恒定、基波和各次谐波的方法；
uS
t
uS
t
O
(a)
O
方波和锯齿波电压
(b)
引起的响应也是非正弦周期量，如何求响应？
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。 1. 非正弦周期电流的产生 3 ） 有非线性元件引起的非正弦周期电流或电压。
i
ui
D
uo
t t
ui

R
uo
O
(b) 二极管整流电路及半波整流电压
O
(c)
(a)
响应也是非正弦周期量，如何求响应？
A1 m
A2 m
A3 m
A4 m A
5m
A6 m
竖线为幅值谱线（振幅频谱）长 度表示Akm的量值；相邻两谱线的 间隔等于基波ω。
k
O
2 4 振幅频谱
6
同样相位频谱,表示各次谐波的初 相 k 随角频率kω变动的情形。
例 7－ 1
A
求周期性方波的傅里叶展开式。
t
O
T/2 T 周期性方波
2 T 1 2 ak f (t )cos(kt )dt f (t )cos(k T 0 π 0 2 T 1 2 bk f (t )sin(kt )dt f (t )sin(k T 0 π 0
若满足狄里赫利条件
(1)函数f ( t ) 在任一周期内绝对可积，即对于任意时刻t0，积分
t0 T
即：
t0
f ( t ) dt
存在；
(2)函数f ( t ) 在任一周期内只有有限个极大值和极小值； (3)函数f ( t ) 在任一周期内只有有限个不连续点；
则f(t)可展开为傅里叶级数：
f (t ) a0 [ ak cos(kt ) bk sin (kt )]

2
0
f (t ) cos ktd (t )
2
0
f (t ) sin ktd (t )
积分区间也可以取（-T/2,T/2）和（,）
f (t ) a0 [ ak cos(kt ) bk sin (kt )]
k 1

(7-1)
将式（7－1）中频率相同的项合并成一项，则可变形为：
这些非正弦周期函数首先分解为不同频率的傅里叶级数，然后 求解不同频率的正弦激励的响应，最后将瞬时值结果叠加 。 对非正弦周期电流电路的分析方法：谐波分析法
§71 非正弦周期函数的傅里叶级数展开式
1．傅里叶级数
周期函数
f ( t ) = f ( t + kT )
( k = 1, 2, 3, … )
解：
所给波形在一个周期内的表达式：
A, 当0 t T / 2 f (t ) 0, 当T / 2 t T
2 ak T
1 a0 T

T /2
0
Adt
A 2

T /2
0
T /2 2A A cos(kt )dt sin(kt ) 0 kT
1 ） 当电路中有多个不同频率的电源同时作用
R1 US R2
L
U m sin t
R
引起的电流或电压便是非正弦周期电流， 解决方法是？
根据叠加定理，分别计算不同频率的响应，然后将瞬时值结果叠加。
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。 1. 非正弦周期电流的产生 2 ） 非正弦周期电压源或电流源（例如方波、锯齿波）
根据周期函数的某些对称性，可以简化傅里叶系数的求解， 分别讨论三种情况： （1）f(t)函数为奇函数，f(t)=-f(-t)
f (t )
T
O
T /2
t
1 a0 T

T
0
f (t )dt 0;
2 T a k f (t ) cos ktdt 0 T 0
2 T 2 T /2 bk f (t ) sin ktdt f (t ) sin ktdt 0 T / 2 T T 4 T /2 f (t ) sin ktdt T 0
k 1

f (t ) a0 [ ak cos(kt ) bk sin (kt )]
k 1

(7-1)
其中：
2π / T 2π f
1 a0 T
是角频率, T是 f ( t )的周期。

T
0
f (t )dt
2 T 1 a k f (t ) cos ktdt T 0 2 T 1 bk f (t ) sin ktdt T 0
对于周期性的激励与响应，可以利用傅里 叶级数分解为一系列不同频率的简谐分量,再 根据叠加定理。所以线性电路对非正弦周期性 激励的稳态响应，等于组成激励信号的各简谐 分量分别作用于电路时所产生的响应的叠加。 而响应的每一简谐分量可用正弦稳态分析的相 量法求得。
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。 1. 非正弦周期电流的产生