非正弦周期函数的傅里叶级数展开式
电工技术-第十二章 非正弦交流电
❖ 2. 负载方面
❖ 电路中含有非线性元件，则元件在外加电压的作用下， 电路中的电流不与电压成正比变化。
例如半波整流电路，虽然电源电动势是正弦波，但电 路中的电流及负载上所输出的电压却是非正弦的。
（a）半波整流电路
（b）电路的电流波形
图12-1-2 半波整流的电路与波形
二、非正弦周期量的傅里叶级数表达式
❖ 二次以上谐波统称为高次谐波，频率均为 基波频率的整数倍。
❖ 实验和理论分析都证明：
❖非正弦交流电可以被分解成一 系列频率成整数倍的正弦成分。
❖也就是说，我们在实际工作中 所遇到的各种波形的周期信号， 都可以由许多不同频率的正弦 波组成。
❖ 两个不同频率的正弦电压相加的情况。
设 u1 Um sint
X Ln nL
X Cn
1
nC
电阻是一个恒定值。
❖ （3）分别计算各谐波分量单独作用时电路 中的电流或电压。
❖ （4）利用叠加原理，把所求得的同一支路 的各电流分量（或电压分量）进行叠加， 即可得各支路电流（或电压）。
本章小结
❖ 一、非正弦量的（傅里叶级数）分解 ❖ 1. 周期性的非正弦电压或电流均能被分解为一系列
❖ 凡是奇次对称的信号都只有基波、三次、五次等奇次谐波，而不存在直 流成分以及二次、四次等偶次谐波。
（a）
（b）
（c）
图12-1-4 奇次对称性波形
2. 偶次对称性
❖ 偶次对称谐波的特点是： ❖ 波形的后半周期重复前半周期的变化，且符号相同（即前半
周与后半周都是正的），波形所具有的这种性质被称为偶次 对称性。
《电工技术》
第十二章 非正弦交流电
12-1 非正弦量的 （傅里叶级数）分解与计算
28第二十八讲 非正弦周期信号及傅里叶级数
Akm
2 2 a k bk
ak Akm cosk bk Akm sin k
k arctan(
bk ) ak
Akm e jk ak jbk
f (t )
A0 2
A1m cos( 1t 1 ) A2 m cos(21t 21 )
四、课堂小结
１、非正弦周期信号；
２、分解为傅里叶级数；
布置作业
１、预习：
§１３－３ ～§１４－５
0
1
2
f ( t ) cos(k 1 t )d ( 1 t )
f ( t ) cos(k 1t )d ( 1t )
1
2 bk T 1
0
T
2 f ( t ) sin(k 1 t )dt T
f ( t ) sin(k 1t )dt f ( t ) sin(k 1t )d ( 1t )
Akm cos(k1t k )
A0 Akm cos(k1t k ) 2 k 1
傅里叶级数是一个无穷三角级数。展开式中:
A0/2—为周期函数f(t)的恒定分量（或直流分量）； A1mcos(ω 1t +1 ) —为一次谐波（或基波分量），其
周期或频率与原周期函数f(t)相同；
还可以写成另一种形式: f (t ) A0 A1m cos( 1t 1 ) A2 m cos(21t 21 ) 2
Akm cos(k1t k )
A0 Akm cos(k1t k ) 2 k 1
两种形式系数之间的关系如下:
第十三章
非正弦周期电流电路和 信号的频谱
傅里叶级数展开系数公式
傅里叶级数展开系数公式简介傅里叶级数展开是一种重要的数学工具，用于将周期函数表示为无穷三角级数的形式。
傅里叶级数展开的关键在于求解各个三角函数的展开系数。
本文将介绍傅里叶级数展开系数的计算公式及其应用。
基础概念傅里叶级数展开是将周期函数表示为基本频率及其倍数的正弦和余弦函数的线性组合。
周期函数可表示为以下形式：$$f(x)=a_0+\su m_{n=1}^{\in ft y}(a_n\c os(n x)+b_n\s in(n x))$$其中$a_0$为直流分量，$a_n$和$b_n$为展开系数，$n$为频率。
傅里叶级数展开系数计算公式直流分量$a_0$直流分量$a_0$表示周期函数在一个周期内的平均值，通过以下公式计算：$$a_0=\f ra c{1}{2\pi}\i nt_{-\pi}^{\p i}f(x)d x$$余弦展开系数$a_n$余弦展开系数$a_n$表示周期函数中余弦函数的展开系数，通过以下公式计算：$$a_n=\f ra c{1}{\pi}\in t_{-\p i}^{\pi}f(x)\c os(n x)dx$$正弦展开系数$b_n$正弦展开系数$b_n$表示周期函数中正弦函数的展开系数，通过以下公式计算：$$b_n=\f ra c{1}{\pi}\in t_{-\p i}^{\pi}f(x)\s in(n x)dx$$傅里叶级数展开的应用傅里叶级数展开在信号处理、图像处理、物理学等领域有广泛的应用。
信号处理在信号处理中，傅里叶级数展开被用于将周期信号分解为不同频率的分量，从而进行滤波、频谱分析等操作。
图像处理在图像处理中，傅里叶级数展开可用于图像压缩、滤波以及图像复原等操作。
通过将图像转换到频域，可以对图像进行频率域的处理。
物理学在物理学中，傅里叶级数展开可以用于描述周期性现象，如声音、光线等。
将物理现象表示为傅里叶级数的形式，可以方便地进行分析和计算。
总结傅里叶级数展开是一种重要的数学工具，用于将周期函数表示为无穷三角级数的形式。
3-2非正弦周期函数展开成傅里叶级数
若 f (t ) =
n = −∞
∑F e
n
∞
jnΩt
，则 f (t ) 的傅里叶级数展开式具有以下性质(证明略)：
(1) f ( −t ) =
∞ٛ n= −
F ∑ٛ
∞ٛ
−n
e jnΩt
− jnΩ t0
(2) f (t − t 0 ) =
∞ٛ
∞ٛ n= −
Fe ∑ٛ
n
∞ٛ
T ) 2
谐波分量 只有偶次
(n为奇数)
(n为奇数)
4 T
偶谐函数
f (t(t )dt T ∫0
4 T /2 f (t ) cos(nΩt )dt T ∫0
∫
T /2
0
f (t ) sin( nΩt ) dt
谐波分量
(n为偶数)
(n为偶数)
四、傅里叶级数的性质
基波分量，
Ω=
2π T 为基波频率； a n cos nΩt , bn sin nΩt 称n次谐波分量。直流分量的大小，基波分
量和各次谐波的振幅、相位取决于周期信号 f (t ) 的波形。从式(3-14)和式(3-16)可知，各分量的振幅
a n , bn , An 和相位 ϕ n 都是 nΩ 的函数，并有：
（3-16）
式(3-15)称为周期信号 f (t ) 的余弦型傅里叶级数展开式。 式(3-13)和式(3-15)表明，任何周期信号，只要满足狄里赫利条件，都可以分解为许多频率成整 数倍关系的正(余)弦信号的线性组合。在式(3-13)中， a 0 / 2 是直流成分； a1 cos Ωt , b1 sin Ωt 称为
Ω=
2π =1 。 T
an = 0
bn = 1
傅里叶级数展开公式大全
傅里叶级数展开公式大全一、正弦展开公式：对于一个周期为T的函数f(t)，可以将其正弦展开为以下形式：f(t) = a0 + Σ(an*sin(nω0t) + bn*cos(nω0t))其中，a0、an和bn是常数，n为正整数，ω0=2π/T为基本频率。
1.常数项a0的计算公式：a0 = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)dt其中，[t0,t0+T]为f(t)的一个周期。
2.正弦系数an的计算公式：an = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*sin(nω0t)dt3.余弦系数bn的计算公式：bn = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*cos(nω0t)dt二、余弦展开公式：对于一个周期为T的函数f(t)，可以将其余弦展开为以下形式：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nω0t))其中，a0、an和bn是常数，n为正整数，ω0=2π/T为基本频率。
1.常数项a0的计算公式：a0 = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)dt2.余弦系数an的计算公式：an = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*cos(nω0t)dt需要注意的是，正弦展开公式中同时包含了正弦和余弦函数，而余弦展开公式只包含余弦函数。
正弦展开的系数an和bn分别对应了傅里叶级数中正弦和余弦函数的系数。
除了上述的正弦展开和余弦展开公式外，还存在一些特殊的函数的傅里叶级数展开公式，例如矩形脉冲函数和三角波函数的展开公式。
这些特殊函数的展开公式可以通过将其分解为更基本的正弦和余弦函数来求解。
总结起来，傅里叶级数展开公式是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的数学工具。
正弦展开和余弦展开是两种常见的展开形式，可以通过对周期函数进行积分求解展开系数。
在实际应用中，傅里叶级数展开公式有着广泛的应用，可以分析信号的频谱特性，计算信号的谐波含量，以及进行信号的合成和滤波等操作。
傅立叶级数展开
傅立叶级数展开
傅立叶级数展开是一种将周期函数表示为无限三角函数和的方法。
它是由法国数学家傅立叶在18世纪末提出的，被广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
傅立叶级数展开的基本思想是将周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和。
这些正弦和余弦函数的频率是原函数频率的整数倍，称为谐波。
傅立叶级数展开的公式为：
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))
$
其中，$a_0$、$a_n$、$b_n$是系数，可以通过函数的周期性和积分计算得到。
这个公式表明，任何周期函数都可以表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅立叶级数展开的应用非常广泛。
在物理学中，它被用来描述振动、波动、电磁场等现象。
例如，声音可以表示为一系列正弦波的和，光的波动也可以用傅立叶级数展开来描述。
在工程学中，傅立叶级数展开被用来分析信号和滤波。
在计算机科学中，它被用来压缩图像和音频等数据。
傅立叶级数展开的优点是可以将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数的和，从而更容易进行分析和计算。
它也可以用来研究
函数的性质，例如函数的奇偶性、周期性等。
此外，傅立叶级数展开还可以推广到傅立叶变换和傅立叶级数的广义形式，进一步扩展了其应用范围。
傅立叶级数展开是一种重要的数学工具，被广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
它的基本思想是将周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和，从而更容易进行分析和计算。
傅里叶级数 公式
傅里叶级数公式傅里叶级数是一种用正弦函数和余弦函数表示周期函数的方法。
它由法国数学家傅里叶在19世纪提出，被广泛应用于信号处理、物理学、工程学等领域。
傅里叶级数的公式如下：\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))\]在这个公式中，\(f(x)\)表示周期为\(2\pi\)的函数，\(a_0\)表示函数的直流分量，\(a_n\)和\(b_n\)分别表示函数的交流分量的系数。
傅里叶级数的优点在于可以将任意周期函数分解为一系列简单的正弦函数和余弦函数，从而更好地理解和分析周期性现象。
对于一个周期为\(2\pi\)的函数\(f(x)\)，我们可以通过计算其在一个周期内的积分来求解傅里叶系数。
具体的计算方法如下：\[a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx\]\[a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx\]\[b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx\]通过计算这些积分，我们可以得到傅里叶级数的系数。
根据这些系数，我们可以重新构造出原函数\(f(x)\)的近似值。
当我们取无限多个正弦函数和余弦函数时，傅里叶级数的近似值将趋近于原函数。
傅里叶级数的应用非常广泛。
在信号处理领域，傅里叶级数可以用来分析和合成信号。
通过将信号分解为一系列正弦函数和余弦函数，我们可以更好地理解信号的频谱特性，从而设计出更好的信号处理算法。
在物理学中，傅里叶级数可以用来描述波动现象，如声波、光波等。
通过将波动现象分解为一系列正弦函数和余弦函数，我们可以更好地理解波动的性质和传播规律。
在工程学中，傅里叶级数可以用来分析和设计电路、通信系统等。
通过将电路和信号分解为一系列正弦函数和余弦函数，我们可以更好地理解电路和信号的行为，从而设计出更好的工程方案。
非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、 非正弦周期电流电路的计算
T /2
0
ak
2
2
0
iS (t ) cos kt d (t )
2I m 1 sin kt 0 0 k
11
bk
Im
1
2
0
iS (t ) sin ktd(t )
1 ( cos k t ) 0 k
若k为偶数，bk=0
2I m 若k为奇数， bk k
2
0
k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值 设 i (t ) I 0 则有效值:
1 T 2 I i dt 0 T 1 T 0
1 I T 0
T
I
k 1
km
cos( k1t k )
T
I 0 I km cosk1t k dt k 1
k 1
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
9
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
式中：A0——直流分量
Akm cos( k1t k ) ——k次谐波分量
振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率
2
2 2 I 2 I I cos k t I cos k t 0 0 km 1 k 1 k dt km k 1 k 1
18
1 T 2 2 I I 0 I km cos 2 k1t k 2 I km I jm cosk1t k cos j1t j dt T 0 k 1 k , j 1 k j
傅立叶展开公式
傅立叶展开公式
傅立叶展开公式，又称傅立叶级数，是数学分析中的重要工具，用于将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和。
它由法国数学家约瑟夫·傅立叶在19世纪早期提出，并被广泛应用于信号处理、泛函分析、图像处理以及量子力学等领域。
傅立叶展开公式的基本思想是任意一个周期为T的连续函数f(x)都可以表示为正弦函数sin(nx)和余弦函数cos(nx)的无穷级数之和。
具体而言，傅立叶展开公式可以用以下形式表示：
f(x) = a₀ + Σ(aₙcos(nx) + bₙsin(nx))
其中，a₀、aₙ和bₙ分别是系数，n代表频率，Σ表示对所有n的求和。
通过对函数f(x)进行傅立叶展开，我们可以将其分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
由于任何周期为T的函数都可以表示为这些基本正弦和余弦函数的线性组合，因此傅立叶展开提供了一种有效的方式来研究和分析周期性现象。
傅立叶展开公式在许多领域都有重要的应用。
在信号处理中，我们可以利用傅立叶展开对信号进行频域分析，从而了解信号中不同频率的成分。
在图像处理中，通过对图像的傅立叶变换，我们可以提取出图像中的频域信息，用于图像增强、压缩等操作。
傅立叶级数也被广泛应用于量子力学中的波动性研究以及偏微分方程的求解。
总而言之，傅立叶展开公式是一种强大的数学工具，能够将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和。
它的广泛应用使得我们能够更好地处理信号、图像和波动性等问题，进一步推动了科学和工程领域的发展。
《微积分》傅里叶级数
sin(m x nx)d (m x nx) 0
2(m n)
2(m n)
Q sin n xd x = 0
m=n时请自行练习证明
三、函数展开成傅里叶级数
问题: 1.若能展开, a i , b i 是什么? 2.展开的条件是什么?
1.傅里叶系数
若有
f (x)
u(t )
4 Em sin(2n 1)t
n1 (2n 1)
例 设 f ( x )是周期为 2 的周期函数，它在[ , )上表达式为
x 当 - x 0
f (x)
0 当 0 x
把 f ( x ) 展开为傅里叶级数. 解：f ( x ) 满足收敛定理的条件，
kx
cos
nxdx
bk
sin
kx cos
nxdx
]
nk 1
a n cos
2
nxdx
an,
1
an
f ( x) cos nxdx
(n 1,2,3, )
(3) 求 bn .
f ( x ) sin nxdx
a0
sin nxdx
bn
f ( x) sin nxdx
0 sin nxdx
1
0
sin nxdnx
1
0
cos nx
1 (1)n =
(n 1, 2,
n2
n 2
n2
)
类似由分部积分，可以求得：
1
b
n
非正弦周期信号;周期函数分解为傅里叶级数;有效值、平均值和平均功率、非正弦周期电流电路的计算
cos(k1t)
bk ak2 bk2
sin(
k1t)
令：
A0 a0，Akm ak2 bk2
cos k
ak Akm
，sin
k
bk Akm
k
arctan
bk ak
f (t) A0 Akmcos k cos(k1t) sin k sin( k1t) k 1
2
2
0 iS (t) cos ktd (t)
2Im
1 k
sin
kt
0
0
11
bk
1
2
0 iS (t) sin ktd(t)
Im
(
1 k
cos k
t)
0
若k为偶数，bk=0
若k为奇数，
bk
2Im
k
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 sin 3
U0 20 78 .5106 1.57 mV
78.5A R U0
26
基波分量单独作用：
IS1
100 2
90
70.7
90
A
IS1
R jXC(1)
U1
jXL(1)
X C (1)
1
C
1k
X L(1) L 1k
Z1
(R jX L(1) ) jX C(1) R jX L(1) jX C(1)
基本函数的傅里叶级数展开公式
基本函数的傅里叶级数展开公式傅里叶级数展开公式是一种将周期函数表示为一组正弦和余弦函数的线性组合的方法。
对于基本函数而言，其傅里叶级数展开公式可以表示为：1. 正弦函数对于周期为2π的正弦函数f(x) = sin(x)，其傅里叶级数展开公式为：f(x) = a0/2 + Σ( n=1 to ∞ ) [an sin(nx)]其中a0/2是函数f(x)的平均值，an是函数f(x)的傅里叶系数，它们的计算公式为：a0/2 = (1/π) ∫( -π to π ) f(x) dxan = (1/π) ∫( -π to π ) f(x) sin(nx) dx2. 余弦函数对于周期为2π的余弦函数f(x) = cos(x)，其傅里叶级数展开公式为：f(x) = a0/2 + Σ( n=1 to ∞ ) [bn cos(nx)]其中a0/2是函数f(x)的平均值，bn是函数f(x)的傅里叶系数，它们的计算公式为：a0/2 = (1/π) ∫( -π to π ) f(x) dxbn = (1/π) ∫( -π to π ) f(x) cos(nx) dx3. 偶函数对于周期为2π的偶函数f(x)，其傅里叶级数展开公式只包含余弦函数项，即：f(x) = a0/2 + Σ( n=1 to ∞ ) [an cos(nx)]其中a0/2是函数f(x)的平均值，an是函数f(x)的傅里叶系数，它们的计算公式为：a0/2 = (1/π) ∫( -π to π ) f(x) dxan = (2/π) ∫( 0 to π ) f(x) cos(nx) dx4. 奇函数对于周期为2π的奇函数f(x)，其傅里叶级数展开公式只包含正弦函数项，即：f(x) = Σ( n=1 to ∞ ) [an sin(nx)]其中an是函数f(x)的傅里叶系数，它们的计算公式为：an = (2/π) ∫( 0 to π ) f(x) sin(nx) dx以上就是基本函数的傅里叶级数展开公式的详细解释。
13.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
f(t)
f(t)
O
t
O
t
1、偶函数 纵轴对称的性质 f(t) = f(-t)
可以证明： bk=0
f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin(k1t)] k 1
展开式中只含有余弦项分量和直流分量
f (t) a0 ak cos(k1t) k 1
bk
2 T
T
2 T
f (t) sin(k1t)dt
叠加定理
三、f(t)的频谱
傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期 函数分解的结果，但不很直观。
为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包 含哪些频率分量以及各分量所占“比重”，
用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段， 按频率的高低顺序把它们依次排列起来， 得到的图形称为f(t)的频谱。
1、幅度频谱 各次谐波的振幅用相应线段依次排列。 Akm
二、傅里叶级数的两种形式
1、第一种形式
f
(t)
a0 2
[a1 cos(1t) b1 sin(1t)]
[a2 cos(21t) b2 sin(21t)]
[ak cos(k1t) bk sin(k1t)]
a0 2
[ak
k 1
cos(k1t)
bk
sin(k1t)]
系数的计算公式
a0
O ω1 3ω1
2ω1 4ω1
kω1
2、相位频谱
把各次谐波的初相用相应线段依次排列。
例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱
f(t)
Em
T
2T
t
O π 2π
ω1t
-Em
解：f(t)在第一个周期内的表达式为
T
周期性非正弦电流、函数的谐波分析和傅里叶级数、电流的有效值、电路的平均功率相关知识讲解
例 已知：u 2 10sint 5sin2t 2sin3t i 1 2sin(t 30 ) sin(2t 60 )
+
i
u
求：电路吸收的平均功率和电压、电流的有效值。-
P P0 P1 P2 P3
21 10 2 cos 30 1 5 cos60 0
a0 [ak cos k t bk sink t] k 1
将同频率 cos与 sin 合并， f (t) 还可表示成下式
f (t) c0 c1 sin( t 1 ) c2 sin(2 t 2 ) ck sin(k t k )
c0 ck sin(k t k ) k 1
设 i I0 Imk sin(k t k ) k 1
根据周期函数有效值定义
I
1 T i 2dt
T0
将 i 代入，得
I
1 T
T 0
I0
k 1
Imk
sin(k
t
k
2 ) dt
上式积分号中 i2项展开后有四种类型：
（1） I02
直流分量平方
1
T
T 0
I02.dt
I
2 0
（2）
I
2 mk
E
)
cos
kt
d(t
)
1
E k
s in kt
0
E k
s in kt
2
E
sink sin0 (sin2k sink )
k
0
bk
1
2
0
f (t ) sinkt d(t )
1
E sinkt d( t)
非正弦周期信号的傅里叶级数分解
非正弦周期信号的傅里叶级数分解当电路的激励源为直流或正弦交流电源时，可用所述方法对电路进行分析计算。
但是在实际电气系统中，却经常会遇到非正弦的激励源问题，例如电力系统的交流发电机所产生的电动势，其波形并非理想的正弦曲线，而是接近正弦波的周期性波形。
即使是正弦激励源电路，若电路中存在非线性器件时，也会产生非正弦的响应。
在电子通信工程中，遇到的电信号大都为非正弦量，如常见的方波、三角波、脉冲波等，有些电信号甚至是非周期性的。
对于线性电路，周期性非正弦信号可以利用傅里叶级数展开把它分解为一系列不同频率的正弦分量，然后用正弦交流电路相量分析方法，分别对不同频率的正弦量单独作用下的电路进行计算，再由线性电路的叠加定理，把各分量叠加，得到非正弦周期信号激励下的响应。
这种将非正弦激励分解为一系列不同频率正弦量的分析方法称为谐波分析法。
设周期函数的周期为T，则有：（k为任意整数）如果函数满足狄里赫利条件，那么它就可以分解成为傅里叶级数。
一般电工技术中所涉及的周期函数通常都能满足狄里赫利条件，能展开为傅里叶级数，在后面讨论中均忽略这一问题。
对于上述周期函数，可表示成傅里叶级数：（1）或（2）式中，称为基波角频率；二式中系数之间有关系式：或（3）展开式中除第一项外,每一项都是不同频率的正弦量，称为周期函数的直流分量（恒定分量），第二项称为基波分量，基波角频率，其变化周期与原函数周期相同，其余各项（的项）统称为高次谐波。
高次谐波分量的频率是基波频率的整数倍。
当时称为二次谐波，时称为三次谐波等等。
是第n次谐波的初相角。
当已知时，傅里叶级数表达式中各谐波分量的系数可由下面公式求得：（4）下面用一个具体例子来进行傅里叶分解。
例1 图1所示为对称方波电压，其表达式可写为：求此信号的傅里叶级数展开式。
图1解：根据傅里叶级数的系数推导公式，可得由此可得所求信号的傅里叶级数展开式为在实际工程计算中，由于傅里叶级数展开为无穷级数，因此要根据级数展开后的收敛情况，电路频率特性及精度要求，来确定所取的项数。
傅里叶级数展开公式大全
傅里叶级数展开公式大全\[f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty [a_n \cos(nx) + b_n\sin(nx)]\]其中，\(f(x)\)是一个周期为\(2L\)的函数，展开式中的系数\(a_0\)、\(a_n\)和\(b_n\)是通过积分计算得到的。
系数的计算公式如下：\[a_0 = \frac{1}{2L} \int_{-L}^L f(x) dx\]\[a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx\]\[b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx\]这些公式将周期为\(2L\)的函数\(f(x)\)展开为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
下面是一些常见周期函数的傅里叶级数展开式的例子：1.方波函数:方波函数是一个在一些时间段内为常数，然后在另一个时间段内为负常数的函数。
其展开式如下：\[\text{sawtooth}(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n}\]2.矩形脉冲函数:矩形脉冲函数是一个在一些时间段内为常数，然后在另一个时间段内为零的函数。
其展开式如下：\[\text{rect}(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1,3,5,...}^\infty \frac{\sin(nx)}{n}\]3.三角波函数:三角波函数是一个在一些时间段内线性地增加，然后在另一个时间段内线性地减小的函数。
其展开式如下：\[f(x) = \frac{8}{\pi^2} \sum_{n=1,3,5,...}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^2}\]4.锯齿波函数:锯齿波函数是一个在一些时间段内线性地增加，然后在另一个时间段内线性地减小的函数。
电工基础第八章 非正弦周期电流电路
非正弦电流电路的视在功率定义为电压和电流有效值的乘积，即
S UI U02 U12 ... Uk2 ... I02 I12 ... Ik2 ...
注意:视在功率不等于各次谐波视在功率之和。
第四节 非正弦周期电流电路的分析
非正弦周期电路稳态电路的分析计算采用谐波分析法。 其理论依据是线性电路的叠加定理。
交流量的平均值，也称绝对平均值或整流平均值。即
Irect
1 T
T
i dt
0Leabharlann 1T Urect T
u dt
0
第三节 非正弦周期电流电路中的有效值、平均值、平均功率
三、非正弦电流电路的功率
1.平均功率（有功功率） 根据平均功率的定义式:
P 1
T
p(t)dt
T0
可得非正弦电流电路的平均功率为
f (t) a0 (a1 cost b1 sin t) (a2 cos 2t b2 sin 2t) ...
(ak cos kt bk sin kt)
a0 (ak cos kt bk sin kt) k 1
a0
,
a k
,
bk
为傅里叶系数，可按下面各式求得
第四节 非正弦周期电流电路的分析
例８－3 已知图中u（t）=［１0+100 2 sint+50 2 sin（3t+30）］V，
L=2，1/C=15，
R1=5， R2=10 。
求:各支路电流及它们
的有效值；
电路的有功功率。
图8-4 例8-3图
第四节 非正弦周期电流电路的分析
解：因为电源电压已分解为傅里叶级数，可直接计算各次谐波作用下的
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根据周期函数的某些对称性，可以简化傅里叶系数的求解， 分别讨论三种情况： （1）f(t)函数为奇函数，f(t)=-f(-t)
f (t )
T
O
T /2
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 a0 T
T
0
f (t )dt 0;
2 T a k f (t ) cos ktdt 0 T 0
2 T 2 T /2 bk f (t ) sin ktdt f (t ) sin ktdt 0 T / 2 T T 4 T /2 f (t ) sin ktdt T 0
解：
所给波形在一个周期内的表达式：
A, 当0 t T / 2 f (t ) 0, 当T / 2 t T
2 ak T
1 a0 T
T /2
0
Adt
A 2
T /2
0
T /2 2A A cos(kt )dt sin(kt ) 0 kT
对于周期性的激励与响应，可以利用傅里 叶级数分解为一系列不同频率的简谐分量,再 根据叠加定理。所以线性电路对非正弦周期性 激励的稳态响应，等于组成激励信号的各简谐 分量分别作用于电路时所产生的响应的叠加。 而响应的每一简谐分量可用正弦稳态分析的相 量法求得。
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。 1. 非正弦周期电流的产生
k 1
f (t ) a0 [ ak cos(kt ) bk sin (kt )]
k 1
(7-1)
其中：
2π / T 2π f
1 a0 T
是角频率, T是 f ( t )的周期。
T
0
f (t )dt
2 T 1 a k f (t ) cos ktdt T 0 2 T 1 bk f (t ) sin ktdt T 0
（2）f(t)函数为偶函数，f(t)=f(-t)
f (t )
T
O
T /2
t
1 a0 T
T /2
0
f (t )dt ;
2 T bk f (t ) sin ktdt 0 T 0
2 T 4 T /2 a k f (t ) cos ktdt f (t ) cos ktdt T 0 T 0
2
0
f (t ) cos ktd (t )
2
0
f (t ) sin ktd (t )
积分区间也可以取（-T/2,T/2）和（,）
f (t ) a0 [ ak cos(kt ) bk sin (kt )]
k 1
(7-1)
将式（7－1）中频率相同的项合并成一项，则可变形为：
（3）f(t)函数为奇谐波函数：f(t)=－f(t+T/2)； 即：相隔 半个周期的函数值大小相等，符号相反；也称为半波对 称（镜对称）函数；
f (t )
t
T /2
O
T /2
T
1 a0 T
T
0
f (t )dt 0
0 k为偶数 4 T /2 ak f ( t ) cos k tdt k为奇数 0 T 0 4 T /2 bk f (t ) sin ktdt 0 T
k为偶数 k为奇数
§71 非正弦周期函数的傅里叶级数展开式
f (t ) A0 Akm cos(kt ) k)
k 1
恒定分量（直流分量）
1 —基波初相 k =1 — 基波； Am1 — 基波振幅 ， k =2,3称为高次谐波,收敛的，次数越高，振幅越小
2．谐波分析: 将周期函数分解为恒定、基波和各次谐波的方法；
在电路分析中，傅里叶级数的另一种形式；
f (t ) A0 Akm cos(kt ) k)
k 1
(7-2)
应用相量运算可得：
ak Am k cos k
bk Am k sin k
a0 A0
Am k a b bk k arctg ak
2 k
2 k
若满足狄里赫利条件
(1)函数f ( t ) 在任一周期内绝对可积，即对于任意时刻t0，积分
t0 T
即：
t0
f ( t ) dt
存在；
(2)函数f ( t ) 在任一周期内只有有限个极大值和极小值； (3)函数f ( t ) 在任一周期内只有有限个不连续点；
则f(t)可展开为傅里叶级数：
f (t ) a0 [ ak cos(kt ) bk sin (kt )]
uS
t
uS
t
O
(a)
O
方波和锯齿波电压
(b)
引起的响应也是非正弦周期量，如何求响应？
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。 1. 非正弦周期电流的产生 3 ） 有非线性元件引起的非正弦周期电流或电压。
i
ui
D
uo
t t
ui
R
uo
O
(b) 二极管整流电路及半波整流电压
O
(c)
(a)
响应也是非正弦周期量，如何求响应？
1 ） 当电路中有多个不同频率的电源同时作用
R1 US R2
L
U m sin t
R
引起的电流或电压便是非正弦周期电流， 解决方法是？
根据叠加定理，分别计算不同频率的响应，然后将瞬时值结果叠加。
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。 1. 非正弦周期电流的产生 2 ） 非正弦周期电压源或电流源（例如方波、锯齿波）
A1 m
A2 m
A3 m
A4 m A
5m
A6 m
竖线为幅值谱线（振幅频谱）长 度表示Akm的量值；相邻两谱线的 间隔等于基波ω。
k
O
2 4 振幅频谱
6
同样相位频谱,表示各次谐波的初 相 k 随角频率kω变动的情形。
例 7－ 1
A
求周期性方波的傅里叶展开式。
t
O
T/2 T 周期性方波
2 T 1 2 ak f (t )cos(kt )dt f (t )cos(k T 0 π 0 2 T 1 2 bk f (t )sin(kt )dt f (t )sin(k T 0 π 0
这些非正弦周期函数首先分解为不同频率的傅里叶级数，然后 求解不同频率的正弦激励的响应，最后将瞬时值结果叠加 。 对非正弦周期电流电路的分析方法：谐波分析法
§71 非正弦周期函数的傅里叶级数展开式
1．傅里叶级数
周期函数
f ( t ) = f ( t + kT )
( k = 1, 2, 3, … )