函数展开成傅里叶级数

1) (1)
1
解: 先求傅里叶系数
o
x
1
1
0
(1)
cos
nx
d
x
1
0
1
cos
nx
d
x
0 ( n 0 ,1, 2 , )
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1
0
(1)
sin
nx
d
x
1
0
1
sin
nxdx
1
cos nx n
0
1
cos nx n
0
2
n
1
cos
n
2
n
1
(1)n
4,
n
0,
当n 1, 3, 5, 当n 2 , 4 , 6 ,
函数在一点的性质 f ( x) an ( x x0 )n
n0
周期函数(整体性质) Fourier级数
三角级数 表达周期函数
(一)三角级数 表达周期函数
简单的周期运动 :
复杂的周期运动 :
f (t) A0 An sin(nt n )
n1
谐波分析
A0 ( An sinn cosnt An cosn sin nt)
1822年,傅立叶在 «热的解析理论»一书中 对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的,特殊的情形 采用的三角级数方法进行加工处理,发展成一般理论. 傅立叶指出: 任意定义在 (π, π ) 上的有界函数 f (x) 可以展开成级数
f (x)
a
~
0 (a cos nx b sin nx ) .
2
n1
证:
1
cos
nx
d
x
1
sin
nx d
x
0
cos kx cos nx dx
1 2
cos(k
n)x
cos(k
n)x
d
x
0
同理可证 : sin k x sin nx dx 0 cos k x sin nx dx 0 (k n )
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
a0
1
f ( x)dt
1
0
xdt
1
x2 2
0
2
,
an
1
f ( x)cos nxdx
1
0
x cos nx d x
1
x sin n
nx
cos nx n2
0
1 cos n n2
(2k
2 1)2
,
n 2k 1
源自文库
0,
n 2k
(k 1,2, )
bn
1
f ( x)sin nx d x
n
n
其中
an
1 π
π
π
f
( x) cosnxdx
(n
0,1,2...)
,
bn
1 π
π
π
f
( x) s in n xdx
(n
1,2...)
.
(二)、三角函数系的正交性
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x, cos nx,sin nx,
正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
n
1)
4
(2k 1)2
0,
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 , )
1
f (x)sin nx d x
2
cos
x
1 32
cos
3x
1 52
cos
5
x
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物理意义
f
(x)
2
4
n1
1 (2n 1)2
cos( 2n 1)x
(
x
)
y
f (x)
O
4π
2π π
2π
0
f
( x) co sn xdx
.
1759年,拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数.
1777年,欧拉在天文学的研究中,用三角函数的正交性 得到了将函数表示成三角函数时的系数. 也就是现今教科书中傅立叶级数的系数.
在历史上,三角级数的出现和发展与求解微分方程 是分不开的. 1753年.丹贝努利首先提出将弦振动方程的解表示为 三角级数的形式, 这为傅立叶级数题奠定了物理基础,促进了它的发展.
1 62
,
3
1
1 22
1 32
1 42
,
因为2
4
1
4
2
,
所以2
1 3
2 , 24
1
2
2 6
,
3
2 1
2 . 12
例4. 将函数
展成傅里叶级数, 其中E 为正常数 .
解:
延拓成以2为周
期 的函数
2
y
o 2 x
a0
2
0 u(t) d t
2
0
E sin t d t
an
2
0
u
(t
)
cos
ntd
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
问题: 在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数?
f
(x)
条件?
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
狄利克雷于1829年第一次对于傅立叶级数的收敛性 给出了严格的证明.
得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则.
定理(收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的
3
5
7
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t 1 sin 9t)
3
5
7
9
u(t) 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t )
3
5
(7 t , t 0)
傅里叶级数展开式的意义——函数的整体逼近.
例2 设 f ( x) 是周期为2π 的周期函数，它在上的
(n 1,2,3, ).
(3) 求 bn.
f ( x)sin nxdx a0
sin nxdx
2
(利用正交性)
[ak
cos kx sin nxdx bk
sin kxsin nxdx]
bn,
k 1
则
bn
1
f ( x)sin nxdx
(n 1,2,3, ).
傅里叶系数
an
2
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
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既
1. 设 x0 (π,π ) 是 f (x) 的连续点， 则有
S(x) :
a0 2
(an cos nx bn sin nx)
n1
f (x) ;
2. 设 x (π, π ) 是 f (x) 的间断点，则有
a0 2, 2
则
a0
1 π
π π
f ( x)dx .
(2) 求 an.
f ( x)cos nxdx a0
cos nxdx
2
(利用正交性)
π
[ak
cos kx cos nxdx bk
sin kxcosnxdx]
k 1
an
cos2 nxdx
an,
则
an
1
f ( x)cos nxdx
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加成方波
4 sin t, 4 1 sin 3t, 4 1 sin 5t, 4 1 sin 7t,
3
5
7
u 4 sin t
u 4 (sin t 1 sin 3t)
3
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t)
3
5
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t)
第七节 傅里叶级数
一、三角级数,三角函数系的正交性
二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数或余弦级数
一.三角级数 三角函数系的正交性
在高等数学学习当中，接触两类基函数：
u ( x) x n 1,x,x 2 ,x 3 x n n
sin nx
u n
(
x)
cos
nx
1,sin x,cos x,sin 2x,cos 2x sin nx,cos nx
t
2
0
E
sin
t
cos
nt
d
t
E
0
sin(n
1)t
sin(n
1)t
d
t
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an
E
0
sin(n
1)t
sin(n
1)t
dt
0,
n 2k 1
a1
E
0
sin
2t
dt
0
u(t)
2E
4E
k 1
4k
1
2
cos 1
2k
x
4E
1 2
1 cos 2t 3
1 cos 4t 1 cos 6t
展成傅里叶
级数 .
y
解: 将 f (x)延拓成以
2为周期的函数 F(x) ,则
o
x
a0
1
F(x)d x
1
f (x)d x
2
x2 2
0
an
1
F (x) cos nx d x
1
f
(x) cos nx dx
2
x sin nx n
cos nx n2
0
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2
n2
( cos
周期延拓 (T 2) F ( x) f ( x) (,)
端点处收敛于1[ f ( ) f ( )] 2
定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
周期延拓
f (x) ,
x [ , )
F(x)
f (x 2k ) , 其它
傅里叶展开
上的傅里叶级数
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例3. 将函数
上的积分不等于 0 . 且有
11dx
2
cos2
n xdx
sin
2
nx
dx
cos2 nx 1 cos 2nx , sin2 nx 1 cos 2nx
2
2
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二、函数展开成傅里叶级数
问题: 1. 若函数能展开成三角级数，ai ,bi是什么？ 2. 展开的条件是什么?
设 f (x) 是周期为2π 的周期函数，
周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数
的条件低得多.
f
f (x) ,
(x) f
( x )
x
,x
为连续点 为间断点
f (x) 4 sin x 1 sin 3x 1 sin(2k 1)x
3
2k 1
( x , x 0 , , 2 , )
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f (x) 4 sin x sin 3x sin 5x sin 7x sin 9x ]
3
5
79
说明:
S(x) 1 [ f (x 0) f (x 0)] ; 2
3.当x π , π 时， 有 S(x) 1 [ f ( 0) f ( 0)] .
2
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在
上的表达式为
f
(
x)
1
1
, ,
x 0 0 x
y
将 f (x) 展成傅里叶级数.
π 2π
x
4π
不同频率余弦波逐个叠加成锯齿波
利用此傅氏展开式求几个特殊的级数的和
因为有
f
(
x)
2
4
n1
1 (2n
1)2
cos( 2n
1) x ,
当 x 0 时, f (0) 0,
2 8
1
1 32
1 52
,
设
1
1 22
1 32
1 42
,
1
1
1 32
1 52
(
2 8
),
2
1 22
1 42
且能展开成三角级数
(1)
求 a0.
f
(x)
a0 2
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)
π
f ( x)dx
π
π a0 dx π 2
π
[
π
(ak cos kx bk sin kx)]dx
k 1
π a0 dx π 2
π
π ak cos kxdx k 1
π
π bk sin kxdx k 1
1
f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2, )
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2, )
或
an
1
2 0
f ( x)cos nxdx,
bn
1
2 0
f ( x)sin nxdx,
(n 0,1,2, ) (n 1,2, )
代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数
15
35
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例5
设
f (x)
1, x 0
x
2
1,
0
x
则以 2 为周期的
傅里叶级数在点x 处收敛于( )
解 显然 f ( x) 满足收敛定理的条件,
其傅里叶级数在 x 处的和为 f ( ) 与 f ( ) 的平均值,即
f ( )
f ( )
(2
y
1
0
x sin nxdx
(1)n1 . n
3 2
2 3
o
x
2
( x , x , 3, )
非周期函数展开成傅里叶级数
如果函数 f ( x) 只在区间[,] 上有定义， 即非周期函数， 并且满足收敛定理的条件， 可利用周期的延拓展开成傅里叶级数，
在 [π, π) 或 (π, π] 外补充函数定义，把它拓广 成周期为2 的周期函数F ( x).
1) 根据收敛定理可知,
y
1
o
x
1
时,级数收敛于 11 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近
f (x) 的情况见右图.
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物理意义
f ( x) 4 [sin x 1 sin 3x 1 sin( 2k 1)x ]
3
2k 1
u ( x ; x 0,π,2π, ).
表达式为
f
(
x)
x, 0,
t 0 0 x
将 f ( x) 展开为傅里叶级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点 x (2k 1)(k 0, 1, 2, ) 处不连续.
收敛于 f ( ) 0 .
2
2
2
在连续点 x ( x (2k 1)) 处收敛于 f ( x).
n1
令
a0 2
A0 ,
an An sinn ,
bn An cosn, t x,
得级数
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
称为三角级数.
1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时,
大胆地采用了三角级数表示函数:
f (x) A0 2 An cos nx .
n1
其中
An
1 2π