函数展开成傅里叶级数
(整理)第十五章 傅里叶级数
第十五章 傅立叶级数§1 傅立叶级数1．在指定区间内把下列函数展开成傅立叶级数： （1）f(x)=x (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (2) f(x)=x 2 (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (3) ax 0,x p -<?f(x)= (a,b 为不等于0的常数，且a ≠b) bx 0x p <<解：（1）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
011()0,a f x dx xdx p p p p p p--===蝌1n ³时，有11cos sin sin 0n xa x nxdx nxnxdx n n p p ppp pp pp---==-=蝌2,1sin 2,n nb x nxdx n p pp -ìïï-ïï==íïïïïïîò所以在(,)p p -上11sin ()2(1)n n nx f x n ¥+==-å（ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
20012,a xdx pp p ==ò1n ³时，有201cos 0,n a x nxdx pp ==ò2012sin ,n b x nxdx np p ==-ò所以在(0,2)p 上1sin ()2n nxf x n p ¥==-å（2）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
22012,3a x dx p p p p -==ò1n ³时，有22241cos 4n n a x nxdx np pp -ìïïïï==íïï-ïïïîò 21sin 0n b x nxdx p pp -==ò所以在(,)p p -上221cos ()4(1)3n n nx f x n p ¥==+-å （ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
第11章第6节傅里叶级数2015-03-2405311.2MB
例2.设函数
数展式为
2
3
(93 考研)
解:
的傅里叶级 则其中系数
利用“偶倍奇零”
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,它在
上的表达式为
f (x)
1
,
x0
将
f
(x)
展成傅里叶级数.
1, 0 x
y
解: 先求傅里叶系数
1
o
x
1
它的傅里叶级数在 x 处收敛于 (n 1, 2, 3,...)
f1n(2fx1()0(n1010)4ss2ci([inocns,ffsion在nn((nsx0xnxdx0x)x)xd213nxsf1210in(n20[11310处1x,)s收0ixn(n1敛10nn0141xc0于)c2ond,2os]0ks1xn1nxx0d1,00sx0in2(nn.2n1,k
第十一章
11.6 傅里叶级数
一、函数展开成傅里叶级数 二、正弦级数和余弦级数
一、函数展开成傅里叶级数
设 f (x) 是周期为 2 的周期函数， 若 f (x) 并满足狄利克雷 ( Dirichlet ) 条件:
1) 在一个周期内连续 或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数 收敛，且
a0 2
n1
(an
cos nx
bn
sin nx)
f (x) 的傅里叶系数
f (x) ,
f (x) 2
x 为连续点
f ( x ) , x 为间断点
例1. 设周期函数 在一个周期内 的表达式为
非正弦周期函数分解为傅里叶级数
令Em=1，ω1t=π/2 f(t) = 1
.
f(t) 4 E s m i1 n t) (1 3 si3 n 1 t) (1 5 si5 n 1 t) (
f(t) = 1 = 41131571
41131571
正如计算e 的值
ex 1xx2 xn
2!
n!
令x=1得
e1111
2! n!
.
二、傅里叶级数的两种形式
1、第一种形式
f
(t)a0 2
[a1cos1(t)b1sin(1t)]
[a2cos2(1t)b2sin2(1t)]
[ak cosk(1t)bksink(1t)]
a 2 0k 1[akcok s1t)(bksikn 1t()]
.
系数的计算公式
2 T
a0T0
f(t)d t 2 T
用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段， 按频率的高低顺序把它们依次排列起来， 得到的图形称为f(t)的频谱。
.
1、幅度频谱 各次谐波的振幅用相应线段依次排列。 Akm
O ω1 3ω1
2ω1 4ω1
kω1
2、相位频谱
把各次谐波的初相用相应线段依次排列。
.
例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱
.
矩形信号f(t)的频谱
f(t) 4 E s m i1 n t) (1 3 si3 n 1 t) (1 5 si5 n 1 t) (
Akm
O ω1 3ω1 5ω1 7ω1 kω1
.
3、频谱与非正弦信号特征的关系
波形越接近正弦波， 谐波成分越少；
波形突变点越小， 频谱变化越大。
f(t)=10cos(314t+30°) Akm
在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数(完整版)实用资料
在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）1. 在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数：(1) (),(),()02.f x x i x ii x πππ=-<<<<(2)2(),(),()02.f x x i x ii x πππ=-<<<< （3）,0(),(,0,0).,0ax x f x a b a b bx x ππ-<≤⎧=≠≠≠⎨<<⎩解 （1）()i()f x 是x ππ-<<的奇函数，所以0,1,2,n a n ==1022cos (1)2sin ,n n n b x nxdx n nπππ---===⎰因()f x 在x ππ-<<连续且光滑，所以11(1)2sin ,(,).n n x nx x n ππ-∞=-=∈-∑()ii 20012,a xdx πππ==⎰201cos 0,n a x nxdx ππ==⎰2012sin(),n b x nx dx nππ==-⎰因()f x 在(0,2)π上光滑且连续，所以1sin 2,(0,2).n nxx x n ππ∞==-∈∑（2） (i) 2()f x x =是(,)ππ-上的偶函数,故0,1,2,;n b n ==2012()3a f x dx ππππ-==⎰,222311sin 2cos 2sin ()cos cos n x nx nx nx nxf x nxdx x nxdx nπππ+-==⎰⎰ 223221sin 2cos 2sin 4(1)4()cos cos (1)n n n x nx nx nx nx a f x nxdx n n n n n πππππππ--+--====≥⎰ 又2()f x x =在(,)ππ-上光滑，故22211(1)4,(,).3n nn x x x n πππ∞=-=+∈-∑ (ii) 222200118()3a f x dx x dx πππππ===⎰⎰，22223201sin 2cos 2sin 4()cos (1),n n x nx nx nx nx a f x nxdx n n n ππππ+-===≥⎰ 222231cos 2cos 2sin 4()sin (1).n n x nx nx nx nx b f x nxdx n n n πππππ-++===-≥⎰又2()f x x =在(0,2)π上光滑，故22214cos 4(sin ),(0,2).3n nx x nx x n n πππ∞==+-∈∑(3)00011()[](),2a f x dx axdx bxdxb a πππππππ--==+=-⎰⎰⎰002211()cos [cos cos ]2(), (cos 1)0, n a f x nxdx ax nxdx bx nxdx a b n b a n n n n πππππππππ--==+-⎧-⎪=-=⎨⎪⎩⎰⎰⎰为奇数为偶数10011(1)()sin [sin sin ]cos (),n n a b b f x nxdx ax nxdx bx nxdx n a b n nπππππππ+--+-==+=-=+⎰⎰⎰所以1112()1(1)()cos(21)()sin ,4(21)n n n b a a b f x n x a b nx n n ππ+∞∞==---=+-++-∑∑(,).x ππ∈- 2. 把函数,04(),04x f x x ππππ⎧--<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩展开成傅里叶级数，并由它推出：11111157111317=-+-+-+解：()f x 是(,)ππ-上的奇函数,故0,0,1,2,n a n ==.1,211cos ()sin sin 220,n n n b f x nxdx nx nn n ππππ⎧-⎪====⎨⎪⎩⎰⎰为奇数为偶数. 又()f x 在(,0)(0,)ππ-连续,故1sin(21)(),(,0)(0,)21n n xf x x n ππ∞=-=∈--∑.当23x π=时, 12sin (21)23()3214n n f n πππ∞=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==-∑.当213n k -=时,2sin (21)0,3n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦当2131n k -=+时,2sin (21)32n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦当2132n k -=+时,2sin (21)3n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦所以,11111(1)4257111317π=-+-+-+,即111111657111317=-+-+-+.3．设函数()f x 满足条件：()()f x f x π+=。
傅里叶级数
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
x 为间断点
其中
( 证明略 )
为 f (x) 的傅里叶系数 .
x 为连续点
注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,
它在
上的表达式为
解: 先求傅里叶系数
将 f (x) 展成傅里叶级数.
1) 根据收敛定理可知,
时,级数收敛于
2) 傅氏级数的部分和逼近
说明:
f (x) 的情况见右图.
例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,
上的表达式为
将 f (x) 展成傅里叶级数.
解:
它在
说明: 当
为便于计算, 将周期取为2
2. 定义在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0, ] 上展成
周期延拓 F (x)
余弦级数
奇延拓
偶延拓
正弦级数
f (x) 在 [0, ]上展成
例6. 将函数
分别展成正弦级
数与余弦级数 .
解: 先求正弦级数.
去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,
奇函数
正弦级数
偶函数
余弦级数
3. 在 [ 0, ] 上函数的傅里叶展开法
作奇周期延拓 ,
展开为正弦级数
作偶周期延拓 ,
展开为余弦级数
1. 在 [ 0 , ] 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?
答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .
思考与练习
傅里叶级数展开公式大全
傅里叶级数展开公式大全一、正弦展开公式：对于一个周期为T的函数f(t)，可以将其正弦展开为以下形式：f(t) = a0 + Σ(an*sin(nω0t) + bn*cos(nω0t))其中，a0、an和bn是常数，n为正整数，ω0=2π/T为基本频率。
1.常数项a0的计算公式：a0 = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)dt其中，[t0,t0+T]为f(t)的一个周期。
2.正弦系数an的计算公式：an = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*sin(nω0t)dt3.余弦系数bn的计算公式：bn = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*cos(nω0t)dt二、余弦展开公式：对于一个周期为T的函数f(t)，可以将其余弦展开为以下形式：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nω0t))其中，a0、an和bn是常数，n为正整数，ω0=2π/T为基本频率。
1.常数项a0的计算公式：a0 = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)dt2.余弦系数an的计算公式：an = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*cos(nω0t)dt需要注意的是，正弦展开公式中同时包含了正弦和余弦函数，而余弦展开公式只包含余弦函数。
正弦展开的系数an和bn分别对应了傅里叶级数中正弦和余弦函数的系数。
除了上述的正弦展开和余弦展开公式外，还存在一些特殊的函数的傅里叶级数展开公式，例如矩形脉冲函数和三角波函数的展开公式。
这些特殊函数的展开公式可以通过将其分解为更基本的正弦和余弦函数来求解。
总结起来，傅里叶级数展开公式是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的数学工具。
正弦展开和余弦展开是两种常见的展开形式，可以通过对周期函数进行积分求解展开系数。
在实际应用中，傅里叶级数展开公式有着广泛的应用，可以分析信号的频谱特性，计算信号的谐波含量，以及进行信号的合成和滤波等操作。
傅里叶级数的数学推导
t 0 T 1 t0
a0
cos( kw1t ) dt [ an
cos( nw1t )cos( kw1t )dt bn
t 0 T 1
t0
sin( nw1t )cos( kw1t ) dt ]
当 k=n 时
t 0 T 1
t0
cos( nw1t ) f (t ) dt an
1.傅里叶级数展开表达式为：（ T 1 为 f(t)的周期）
f (t ) a 0 a1 cos( w1t ) b1 sin( w1t ) a 2 cos(2 w1t ) b 2 sin( w2t )
.....+an cos(nw1t ) bn sin( nw1t ) a 0 [an cos(nw1t ) bn sin( nw1t )]
n 1
直流分量： a 0
1 t 0 T 1 f (t )dt T 12 t 0 T 1 cos(nw1t ) f (t )dt T 1 t 0
2 t 0 T 1 正弦分量的幅度： bn T 1 t 0 sin(nw1t ) f (t )dt
2.三角函数的正交性： 一个三角函数系：1，cosx, sinx, cos2x, sin2x……cosnx, sinnx,……….如果这一堆函数（包括 常数 1）中任何两个不同函数的乘积在区间[- , ]上 的积分等于 0，就说三角函数系在区间[- , ]上正交。 即有如下式子：
t 0 T 1
t0
cos( nw1t )cos( kw1t )dt an
t 0 T 1
t0
cos 2 ( nw1t )dt
an t 0 T 1 an (1 cos 2nw1t )dt T 1 2 t0 2
函数的傅里叶级数展开
和函数图象为
u
u
Em
Em
o
t
o
t
Em
Em
例 3 在[0,2 ]上展开函数f ( x) x为 傅立叶级数.
解：
1 2
2
bn
0
x sin nxdx n
1
a0
2
xdx 2 ,
0
1 2
an 0 x cos xdx 0
f ( x) ~ 2[sin x 1 sin 2x 1 sin kx ]
(2)按公式算出a n ,bn ,写出Fourier级数
a0
2
(an
n 1
cos nx
bn
sin nx)
(3)根据逐点收敛定理指出级数的收敛情况
例 1 在[ , ]上展开函数f ( x) x为 傅立叶级数.
例 2 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u(t ) EEmm, ,
0 t t 0
2 sin
2
0
u
2 sin
u2
du =
1 n ( + cos ku)du
2 0 k =1
=1
2
1
sn(f(x)) - s=
sin 2n+1 u
(f (x u)+f ( x - u)-2s)
0
2 u
du
2sin
2
记(u)=f (x+u)+f (x-u)-2s
则f(x)的傅里叶级数在x点收敛的问题归结为
dx
[
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)]dx
a0 2, 2
a0
1
f ( x)dx
展开为傅里叶级数
展开为傅里叶级数在数学领域中，傅里叶级数是一种非常重要的工具，它可以将周期函数分解为无穷个三角函数的和。
今天我们来讨论一下如何将一个函数展开为傅里叶级数。
首先，我们需要了解什么是傅里叶级数。
傅里叶级数是指将一个周期为T的函数f(x)展开为一组三角函数的和：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中，ω=2π/T，an和bn是傅里叶系数。
这组三角函数包括了所有频率为nω的正弦函数和余弦函数。
接下来，我们需要求解傅里叶系数an和bn。
我们可以根据傅里叶级数的定义，对傅里叶级数的各个部分进行求和，并且利用正交性条件得到傅里叶系数的表达式：an = (2/T) * Σ(f(x) * cos(nωx)dx)bn = (2/T) * Σ(f(x) * sin(nωx)dx)其中，Σ表示求和符号，dx表示微元，T是函数的周期。
这里需要注意的是，傅里叶系数的求解需要对周期函数进行积分，而且是在一个周期内进行的积分。
因此，我们需要等价地将函数在一个周期内展开为三角函数的和。
最后，我们来看一个例子，将一个周期为2π的函数f(x) = x 在[-π,π]内展开为傅里叶级数：1.首先求解a0，根据傅里叶级数的定义，a0等于函数在一个周期内的平均值，即a0=(1/π) * ∫(π,-π)(xdx) = 0。
2.接下来求解an，an等于函数与cos(nωx)在一个周期内的积分，即an = (2/π) * ∫(π,0)(x*cos(nx)dx) = (2/π) *[(π*sin(nπ))/n - (1/n^2)*cos(nπ)]an = (2/π) * ∫(0,-π)(x*cos(nx)dx) = (2/π) * [-(π*sin(nπ))/n + (1/n^2)*cos(nπ)]因为sin(nπ)=0，cos(nπ)=(-1)^n，因此an = (-1)^n/n。
3.最后求解bn，bn等于函数与sin(nωx)在一个周期内的积分，即bn = (2/π) * ∫(π,0)(x*sin(nx)dx) = (2/π) *[(1/n)*cos(nπ) - (π*cos(nπ))/n]bn = (2/π) * ∫(0,-π)(x*sin(nx)dx) = (2/π) *[(π*cos(nπ))/n - (1/n)*cos(nπ)]因为sin(nπ)=0，cos(nπ)=(-1)^n，因此bn = 0。
傅里叶级数的数学推导,小白必看
傅里叶级数的数学推导，小白必看傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。
一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。
如下就是傅里叶级数的公式：不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。
单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。
能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢?下面来详细解释一下此公式的得出过程：1、把一个周期函数表示成三角级数：首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：f(x)=A sin(ωt+ψ)这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相(与考察时设置原点位置有关)。
然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。
傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢?因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。
于是，傅里叶写出下式：(关于傅里叶推导纯属猜想)这里，t是变量，其他都是常数。
与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。
这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。
从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量(即式中An)、有不同的周期或说是频率(是原周期函数的整数倍，即n)、有不同的初相角(即ψ)，当然还有一项常数项(即A0)。
傅里叶级数--周期函数的展开式
问题: (1) f ( x )能否展开成三角级数？
(2) 如果可以，an , bn ?
物理意义：把一个一般的周期运动分解 为不同频率的简谐振动的叠加。
二、三角函数系的正交性
三角函数系：
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,cos nx , sin nx ,
正交性：其中任意两个 不同函数的乘积在 [ , ]上的积分等于零（请验 证） .
1 cosnxdx 0, 1 sinnxdx 0, (n 1,2,3,) sinmx cosnxdx 0, sinmx sinnxdx 0 (m n)
由例2结果可得，
作偶周期延拓 ,
yБайду номын сангаас
o
x
(0 x )
三、以2l为周期的函数的傅里叶展开
周期为 2l 函数 f (x)
伸缩
周期为 2 函数 f ( x )
将 f ( x )作傅氏展开并换元
l
l
f (x) 的傅氏展开式
定理：设周期为2l 的周期函数f (x) 满足收 敛定理条件,则它的傅里叶展开式为
(在 f (x) 的连续点处)
2 2
2 2 ( 2 k 1 )
如果f ( x )不是周期函数，只定义 在[ , ]上,
可进行周期延拓: 在( , ]外补充函数f ( x )
的定义，使其成为周期 为2的函数F ( x )。将 F ( x )展开为傅里叶级数，最 后限制x在( , ) 内，即得f ( x )的傅里叶级数展开式 .
an
1
f ( x) cos nxdx
函数展开成傅里叶级数
函数展开成傅里叶级数傅里叶级数是一种将一个周期函数展开成三角函数的级数的方法。
一个周期为T的函数f(某)可以表示为傅里叶级数的形式:f(某) = a0 + Σ(an某cos(nω某) + bn某sin(nω某))其中，a0是一个常数，an和bn是函数f(某)的系数，ω=2π/T是角频率。
为了求解傅里叶级数的系数，我们需要先求解函数f(某)的周期T和角频率ω。
然后，通过计算函数f(某)在一个周期内的积分，可以得到an和bn的表达式:an = (2/T) 某∫[0,T](f(某)某cos(nω某)d某)bn = (2/T) 某∫[0,T](f(某)某sin(nω某)d某)这样，通过计算积分，我们可以得到函数f(某)的傅里叶级数的系数。
傅里叶级数的展开有许多应用。
其中最重要的应用是信号处理，特别是在频域分析和滤波中的应用。
通过将信号展开成傅里叶级数，我们可以分析信号的频谱特性，并且在频域上对信号进行处理。
另一个重要的应用是在数学物理中的泛函分析。
傅里叶级数可以用于求解微分方程的边值问题，并且可以将一些复杂的算符问题转化为更简单的代数问题。
此外，傅里叶级数还有一些特殊的性质，比如Parseval定理。
根据Parseval定理，如果一个函数f(某)的傅里叶级数收敛，则有以下等式成立:(1/T) 某∫[0,T] (f(某))^2 d某= (a0/2)^2 + Σ[(an^2 +bn^2)/2]这个等式表明，一个函数f(某)的能量可以通过其傅里叶级数的系数来计算。
这个性质在信号处理中具有很重要的意义，因为它可以用于信号的能量计算和信号压缩等问题。
综上所述，傅里叶级数是一种将函数展开成三角函数的方法，具有广泛的应用领域。
通过计算函数在一个周期内的积分，可以得到函数的傅里叶级数的系数。
傅里叶级数在信号处理、数学物理等领域都发挥着重要的作用。
函数展开成傅里叶级数
函数展开成傅里叶级数傅里叶级数是数学中一种十分重要的展开形式，它将一个周期函数展开成一系列正弦和余弦函数的线性组合。
这种展开形式可以用来描述周期性变化的信号，并且在信号处理、图像处理、物理学等领域有着广泛的应用。
我们来看一下什么是周期函数。
周期函数是指在某个固定的时间间隔内，函数的值以相同的方式重复出现。
比如，正弦函数sin(x)就是一个周期函数，它的周期是2π。
周期函数在自然界中很常见，比如物体的振动、电流的变化等等。
傅里叶级数的基本思想是，通过将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，来近似表示原函数。
这个线性组合的系数就是傅里叶级数的系数，它们代表了原函数中各个频率分量的贡献程度。
具体来说，假设我们有一个周期为T的函数f(x)，它可以表示为如下的傅里叶级数：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))其中，a0/2是直流分量，an和bn是傅里叶系数，n是频率的倍数，ω0=2π/T是角频率。
傅里叶级数的展开系数可以通过求取函数f(x)与正弦余弦函数的内积来计算。
具体地，对于每一个正整数n，我们可以分别求取函数f(x)与cos(nω0x)和sin(nω0x)的内积来计算an和bn的值。
这个内积的计算可以通过积分来进行。
假设f(x)在一个周期内的积分为A，那么an和bn的计算公式如下：an = (2/T) * ∫[0,T] f(x) * cos(nω0x) dxbn = (2/T) * ∫[0,T] f(x) * sin(nω0x) dx这样，我们就可以通过计算这些积分来得到傅里叶系数，从而得到函数f(x)的傅里叶级数展开。
傅里叶级数的展开形式非常有用，因为它可以将一个复杂的周期函数简化成一系列简单的正弦和余弦函数的叠加。
这使得我们可以更好地理解函数的周期性特征，并且可以方便地对函数进行分析和处理。
在信号处理中，傅里叶级数可以用来分析和合成信号。
高等数学傅里叶级数展开公式
高等数学傅里叶级数展开公式
摘要：
1.傅里叶级数的概念与意义
2.傅里叶级数展开公式的形式
3.傅里叶级数展开的步骤与方法
4.傅里叶级数在实际应用中的例子
5.总结
正文：
高等数学中的傅里叶级数是一种重要的数学工具，它在物理、工程等领域有着广泛的应用。
傅里叶级数是一种特殊的三角级数，它可以将任何周期函数展开为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数展开公式的形式如下：
f(x) = a0/2 + Σ[an*cos(nx) + bn*sin(nx)]（n 从0 至正无穷）
其中，f(x) 是待展开的函数，an 和bn 是傅里叶系数，n 是积分次数，x 是自变量。
要展开傅里叶级数，需要先确定傅里叶系数an 和bn。
这可以通过以下步骤实现：
1.对函数f(x) 进行一次积分，得到函数F(x)
2.对F(x) 进行傅里叶变换，得到傅里叶级数展开式
3.由展开式中的系数，求出an 和bn
在实际应用中，傅里叶级数有着广泛的应用。
例如，在信号处理领域，傅里叶级数可以用来将信号从时域转换到频域，以便于分析信号的频率特性。
在
图像处理领域，傅里叶级数可以用来对图像进行频域滤波，以去除图像中的噪声。
总之，傅里叶级数是高等数学中的一种重要数学工具，它在物理、工程等领域有着广泛的应用。
高等数学第12章第12章D127傅里叶级数
ππcokxsconxsdx
1 2 π π ck o n ) s x c ( k o n ) s x d ( x 0 同理可证 : π πsikn xsinn xdx0 (kn)
π
πco kxssinn xdx0
但是在三角函数系中两个相 ,b nA nco n,s
得函数项级数 a20k 1(anconxsbnsinnx)
称上述形式的级数为三角级数.
定理 1. 组成三角级数的函数系
正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
证:
π
π1
consxdx
π π
1
sinnxdx0
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成 傅里叶级数的条
件比展成幂级数
的条件低得多.
f (x) ,
f (x) f (x) , 2
x 为连续点 x 为间断点
其中 an, bn为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
πf(x )ck o xd x s a 0π ck o xd x s
π
2 π
n 1
an ππcokxsconxsdxbnππcoksxsinnxdx
akππco2skxdx
(利用正交性)
ak1 π ππf(x)co kxs dx(k1,2, )
2 (2k 1)2
π
,
0 ,
n2k1 n2 k (k1,2, )
bn1 πππf(x)sinnd xx1π
三角函数的傅里叶级数
三角函数的傅里叶级数傅里叶级数是一种将周期函数表示为无限三角函数级数的方法。
在三角函数的傅里叶级数中，我们可以将周期为T的函数f(t)展开为以下形式的级数：f(t) = a0 + Σ(an某cos(nωt) + bn某sin(nωt)), n=1 to ∞其中，a0，an，bn是系数，分别表示直流分量、正弦分量和余弦分量，ω是基频，ω=2π/T。
傅里叶级数的物理意义在于，它能够通过不同频率的正弦和余弦函数的叠加来表示不同频率的振动成分。
通过逐渐增加级数中的项数，我们可以逼近原函数f(t)的形状，越多的项数意味着更精确的逼近。
傅里叶级数的计算依赖于对系数的求解过程。
利用欧拉公式，我们可以将三角函数转化为复指数函数的形式：f(t) = a0 + Σ(cne^(inωt)), n = -∞ to ∞系数cn可以通过以下公式计算：cn = (1/T)某∫[0 to T] f(t)e^(-inωt)dt这里的积分是对一个周期的函数进行求解。
对于实函数的傅里叶级数，我们可视为其中的虚部为0。
通过将函数f(t)e^(-inωt)视为一个周期为T的函数，我们可以将其展开为傅里叶级数，进一步求解系数cn。
对于三角函数的傅里叶级数的应用非常广泛，尤其是在信号处理和波动理论中。
通过将信号分解为各种频率成分的叠加，我们可以对信号进行分析、降噪、滤波等操作。
此外，傅里叶级数也在解偏微分方程、量子力学、振动学等领域中起到了重要的作用。
总结起来，三角函数的傅里叶级数是一种将周期函数表示为无限三角函数级数的方法，通过对系数的计算，我们可以将函数分解为不同频率成分的叠加。
傅里叶级数的应用广泛，对于理解周期函数的特性以及信号处理等领域具有重要意义。
cosx绝对值的傅里叶级数展开式
cosx绝对值的傅里叶级数展开式要求展开函数f(x)= cos(x) 的傅里叶级数展开式。
首先，我们需要将函数f(x)= cos(x) 在一个周期内进行分段定义。
由于cos(x)的周期为2π，我们可以将f(x)在一个周期内分为两段进行定义：当0≤x≤π时，f(x)=cos(x)；当π<x≤2π时，f(x)=−cos(x)。
接下来，我们需要计算函数f(x)的傅里叶系数。
傅里叶级数展开式的一般形式为：f(x)=a0/2 + Σ(an*cos(nx) + bn*sin(nx))其中，a0为直流分量，an和bn为交流分量。
首先，我们计算直流分量a0。
直流分量a0的计算公式为：a0 = (1/π) * ∫[−π,π] f(x) dx根据f(x)的定义，我们可以得到：a0 = (1/π) * ∫[0,π] cos(x) dx + (1/π) * ∫[π,2π] (−cos(x)) dx对于第一段，我们有：(1/π) * ∫[0,π] cos(x) dx = (1/π) * [sin(x)] [0,π] = (1/π) * (sin(π)−sin(0)) = 0对于第二段，我们有：(1/π) * ∫[π,2π] (−cos(x)) dx = (1/π) * [sin(x)] [π,2π] = (1/π) * (sin(2π)−sin(π)) = 0因此，直流分量a0为0。
接下来，我们计算交流分量an和bn。
交流分量an和bn的计算公式为：an = (1/π) * ∫[−π,π] f(x) * cos(nx) dxbn = (1/π) * ∫[−π,π] f(x) * sin(nx) dx对于an的计算，我们有：an = (1/π) * ∫[0,π] cos(x) * cos(nx) dx + (1/π) * ∫[π,2π] (−cos(x)) * cos(nx) dx(1/π) * ∫[0,π] cos(x) * cos(nx) dx = (1/π) * [cos((n−1)x)/2(n−1)] [0,π] = (1/π) * (cos((n−1)π)/2(n−1)−cos(0)/2(n−1)) = (1/π) * (cos((n−1)π)/2(n−1)−1/2(n−1))对于第二段，我们有：(1/π) * ∫[π,2π] (−cos(x)) * cos(nx) dx = (1/π) * [cos((n+1)x)/2(n+1)] [π,2π] = (1/π) * (cos((n+1)2π)/2(n+1)−cos(nπ)/2(n+1)) = (1/π) * (cos((n+1)2π)/2(n+1)+1/2(n+1))因此，交流分量an为：an = (1/π) * (cos((n−1)π)/2(n−1)−1/2(n−1)) + (1/π) * (cos((n+1)2π)/2(n+1)+1/2(n+1))对于bn的计算，我们有：bn = (1/π) * ∫[0,π] cos(x) * sin(nx) dx + (1/π) * ∫[π,2π] (−cos(x)) * sin(nx) dx(1/π) * ∫[0,π] cos(x) * sin(nx) dx = (1/π) * [sin((n−1)x)/2(n−1)] [0,π] = (1/π) * (sin((n−1)π)/2(n−1)−sin(0)/2(n−1)) = (1/π) * (sin((n−1)π)/2(n−1))对于第二段，我们有：(1/π) * ∫[π,2π] (−cos(x)) * sin(nx) dx = (1/π) * [sin((n+1)x)/2(n+1)] [π,2π] = (1/π) * (sin((n+1)2π)/2(n+1)−sin(nπ)/2(n+1)) = (1/π) * (sin((n+1)2π)/2(n+1))因此，交流分量bn为：bn = (1/π) * (sin((n−1)π)/2(n−1)) + (1/π) * (sin((n+1)2π)/2(n+1))综上所述，函数f(x)= cos(x) 的傅里叶级数展开式为：f(x) = Σ[(1/π) * (cos((n−1)π)/2(n−1)−1/2(n−1)) * cos(nx) + (1/π) * (sin((n −1)π)/2(n−1)) * sin(nx) + (1/π) * (cos((n+1)2π)/2(n+1)+1/2(n+1)) *cos(nx) + (1/π) * (sin((n+1)2π)/2(n+1)) * sin(nx)]其中，n为正整数。
可展开为傅里叶级数的条件
可展开为傅里叶级数的条件1. 引言说到傅里叶级数，哇，听起来就像是高大上的数学术语，对吧？但是别怕，今天咱们就来聊聊这个话题，把它拆得细细的，让它变得简单易懂。
傅里叶级数其实就是把复杂的波形分解成简单的正弦和余弦函数的和，听起来是不是有点像音乐的和声？简单来说，就是把复杂的声音拆解成更简单的声音。
就像把一个蛋糕切成一块一块，大家都能尝到不同的味道。
这种分解在科学、工程、音乐等很多地方都大有用处。
2. 傅里叶级数的条件2.1. 周期性要想把一个函数展开成傅里叶级数，首先，这个函数得是个周期函数。
什么是周期函数呢？想象一下钟表的指针，不管你看几次，指针总是转到同一个位置，时间的流逝在这个时候是有规律的。
也就是说，周期函数在某个固定的时间间隔内是重复的，咱们可以用正弦和余弦的形式来表达出来。
比如，正弦波和余弦波就是完美的周期函数，每次波动都能让你感受到那种起伏的美妙。
2.2. 有界性接下来，咱们要看看有界性。
这就是说函数的值不能无限大，就像你吃冰淇淋不能吃得太多，不然就会腻得要命。
一个函数如果在某个区间内都有一个最大值和最小值，那就叫做有界。
这也是我们想要展开傅里叶级数的一个必要条件。
简单来说，就是要控制住那个“火”，不能让它烧得太旺，否则后果不堪设想。
2.3. 可积性然后，再来聊聊可积性。
为了让一个函数能够进行傅里叶级数展开，它必须在一个周期内可积。
意思就是在一定的时间范围内，咱们要能把这个函数的值都加起来，求出它的总和。
这就像是在找出一个宴会上的所有菜肴总共花了多少钱一样，必须每一样都能算得清清楚楚。
可积性确保了我们在展开的时候不会出错，大家都能明白这个函数的真实“身价”。
3. 举个例子3.1. 经典的方波现在，让我们用一个经典的例子来说明一下。
比如说方波，这东西在电子音乐和信号处理中可常见了。
方波的波形就像是在高低之间迅速切换，就像你在看电视剧的时候，突然跳到广告，不给你任何预兆。
这种方波其实就是一个周期函数，周期性显而易见。
方波信号f(t)展开为傅里叶级数
例4―1 试将图4.2所示的方波信号f(t)展开 为傅里叶级数。
f (t)
1
－T T
0T T
2T
t
2
－1 2
图4.2 方波信号的傅里叶级数
解 我们将信号按式(4―6)分解成傅里叶级数,
并按式(4 及c。
―
7)、(4―8)、(4―9)分别计算an,
bn
an
2 T
T
2 T
2
2
lim
0
j
2 2
2
j
0
0 0
F [sgn(t)] 2
j
(4-51)
阶跃函数ε(t)的频谱函数
例 3.4-8 求阶跃函数ε(t)的频谱函数。 解 由阶跃函数ε(t)的波形容易得到
(t)11Sg(tn)
22
从而就可更为方便地求出ε(t)的频谱函数， 即
(t)
1
o
(a)
X() R()
－τ2o
τ 2
t
(a)
F(j )
2
－4 －2 o
4
(b)
F( )
()
－4 －2 o
2 4
－4 －2
o 2 4
－
(c)
(d)
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
g(t)
F()
1
0
j
(4―40) (4―41)
F()
1
1
2
－ 0
(a)
argF()
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t
2
0
E
sin
t
cos
nt
d
t
E
0
sin(n
1)t
sin(n
1)t
d
t
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an
E
0
sin(n
1)t
sin(n
1)t
dt
0,
n 2k 1
a1
E
0
sin
2t
dt
0
u(t)
2E
4E
k 1
4k
1
2
cos 1
2k
x
4E
1 2
1 cos 2t 3
1 cos 4t 1 cos 6t
且能展开成三角级数
(1)
求 a0.
f
(x)
a0 2
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)
π
f ( x)dx
π
π a0 dx π 2
π
[
π
(ak cos kx bk sin kx)]dx
k 1
π a0 dx π 2
π
π ak cos kxdx k 1
π
π bk sin kxdx k 1
1
f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2, )
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2, )
或
an
1
2 0
f ( x)cos nxdx,
bn
1
2 0
f ( x)sin nxdx,
(n 0,1,2, ) (n 1,2, )
代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数
周期延拓 (T 2) F ( x) f ( x) (,)
端点处收敛于1[ f ( ) f ( )] 2
定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
周期延拓
f (x) ,
x [ , )
F(x)
f (x 2k ) , 其它
傅里叶展开
上的傅里叶级数
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例3. 将函数
函数在一点的性质 f ( x) an ( x x0 )n
n0
周期函数(整体性质) Fourier级数
三角级数 表达周期函数
(一)三角级数 表达周期函数
简单的周期运动 :
复杂的周期运动 :
f (t) A0 An sin(nt n )
n1
谐波分析
A0 ( An sinn cosnt An cosn sin nt)
a0 2, 2
则
a0
1 π
π π
f ( x)dx .
(2) 求 an.
f ( x)cos nxdx a0
cos nxdx
2
(利用正交性)
π
[ak
cos kx cos nxdx bk
sin kxcosnxdx]
k 1
an
cos2 nxdx
an,
则
an
1
f ( x)cos nxdx
f (x) 4 sin x 1 sin 3x 1 sin(2k 1)x
3
2k 1
( x , x 0 , , 2 , )
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f (x) 4 sin x sin 3x sin 5x sin 7x sin 9x ]
3
5
79
说明:
3
5
7
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t 1 sin 9t)
3
5
7
9
u(t) 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t )
3
5
(7 t , t 0)
傅里叶级数展开式的意义——函数的整体逼近.
例2 设 f ( x) 是周期为2π 的周期函数，它在上的
2
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
简介 目录 上页 下页 返回 结束
既
1. 设 x0 (π,π ) 是 f (x) 的连续点， 则有
S(x) :
a0 2
(an cos nx bn sin nx)
n1
f (x) ;
2. 设 x (π, π ) 是 f (x) 的间断点，则有
证:
1
cos
nx
d
x
1
sin
nx d
x
0
cos kx cos nx dx
1 2
cos(k
n)x
cos(k
n)x
d
x
0
同理可证 : sin k x sin nx dx 0 cos k x sin nx dx 0 (k n )
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
展成傅里叶
级数 .
y
解: 将 f (x)延拓成以
2为周期的函数 F(x) ,则
o
x
a0
1
F(x)d x
1
f (x)d x
2
x2 2
0
an
1
F (x) cos nx d x
1
f
(x) cos nx dx
2
x sin nx n
cos nx n2
0
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2
n2
( cos
a0
1
f ( x)dt
1
0
xdt
1
x2 2
0
2
,
an
1
f ( x)cos nxdx
1
0
x cos nx d x
1
x sin n
nx
cos nx n2
0
1 cos n n2
(2k
2 1)2
,
n 2k 1
0,
n 2k
(k 1,2, )
bn
1
f ( x)sin nx d x
S(x) 1 [ f (x 0) f (x 0)] ; 2
3.当x π , π 时， 有 S(x) 1 [ f ( 0) f ( 0)] .
2
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在
上的表达式为
f
(
x)
1
1
, ,
x 0 0 x
y
将 f (x) 展成傅里叶级数.
1) 根据收敛定理可知,
y
1
o
x
1
时,级数收敛于 11 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近
f (x) 的情况见右图.
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物理意义
f ( x) 4 [sin x 1 sin 3x 1 sin( 2k 1)x ]
3
2k 1
u ( x ; x 0,π,2π, ).
上的积分不等于 0 . 且有
11dx
2
cos2
n xdx
sin
2
nx
dx
cos2 nx 1 cos 2nx , sin2 nx 1 cos 2nx
2
2
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二、函数展开成傅里叶级数
问题: 1. 若函数能展开成三角级数，ai ,bi是什么？ 2. 展开的条件是什么?
设 f (x) 是周期为2π 的周期函数，
n
1)
4
(2k 1)2
0,
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 , )
1
f (x)sin nx d x
2
cos
x
1 32
cos
3x
1 52
cos
5
x
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物理意义
f
(x)
2
4
n1
1 (2n 1)2
cos( 2n 1)x
(
x
)
y
f (x)
O
4π
2π π
2π
0
f
( x) co sn xdx
.
1759年,拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数.
1777年,欧拉在天文学的研究中,用三角函数的正交性 得到了将函数表示成三角函数时的系数. 也就是现今教科书中傅立叶级数的系数.
在历史上,三角级数的出现和发展与求解微分方程 是分不开的. 1753年.丹贝努利首先提出将弦振动方程的解表示为 三角级数的形式, 这为傅立叶级数题奠定了物理基础,促进了它的发展.
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加成方波
4 sin t, 4 1 sin 3t, 4 1 sin 5t, 4 1 sin 7t,
3
5
7
u 4 sin t
u 4 (sin t 1 sin 3t)
3
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t)
3
5
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t)
(n 1,2,3, ).
(3) 求 bn.
f ( x)sin nxdx a0
sin nxdx
2
(利用正交性)
[ak
cos kx sin nxdx bk
sin kxsin nxdx]
bn,
k 1
则
bn
1
f ( x)sin nxdx
(n 1,2,3, ).