高等代数(北大版)第7章习题参考答案

第七章 线性变换

1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：

1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；

3）在P 3

中，A

),,(),,(2

33221321x x x x x x x +=； 4）在P 3

中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；

5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；

6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8）在P

n

n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P

n

n ⨯是两个固定的矩阵.

解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,

A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有

A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++

=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx

),,2()

,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-=

= k A )(α，

故A 是P 3

上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令

)()()(x g x f x u +=则

A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，

故A 为][x P 上的线性变换。

6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.

A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。

7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。

8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ⨯∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，

A (k X )=k BXC k kX

B ==)()(A X ，故A 是n n P ⨯上的线性变换。

2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换，证明：A 4

=B 4

=C 4

=E,AB ≠BA,A 2

B 2

=B 2

A 2

，并检验(AB )2

=A 2

B 2

是否成立。 解 任取一向量a=(x,y,z)，则有 1) 因为

A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z)，A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)，

B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z)，B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)，

C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z)，C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z)，

所以A 4

=B 4

=C 4

=E 。

2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y)，BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x)， 所以AB ≠BA 。

3)因为A 2

B 2

(a)=A 2

(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B 2

A 2

(a)=B 2

(x,-y,-z)=(-x,-y,z)， 所以A 2

B 2

=B 2

A 2

。

3) 因为(AB )2

(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x)，A 2

B 2

(a)=(-x,-y,z)，

所以(AB )2≠A 2B 2。

3.在P[x] 中，A '

)(f x f =),(x B )()(x xf x f =，证明:AB-BA=E 。 证 任取∈)(x f P[x]，则有

(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('

f ))(x =;

)(xf x f +)(x -'

xf )(x =)(x f

所以 AB-BA=E 。

4.设A,B 是线性变换，如果AB-BA=E ，证明：A k B-BA k =k A 1-k (k>1)。 证 采用数学归纳法。当k=2时

A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2ª，结论成立。

归纳假设m k =时结论成立，即A m B-BA m =m A 1-m 。则当1+=m k 时，有

A 1+m B-BA 1+m =(A 1+m B-A m BA)+(A m BA-BA 1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A 1-m A=

)1(+m A m 。

即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立。 5.证明：可逆变换是双射。 证 设A 是可逆变换，它的逆变换为A

1

-。

若a ≠b ，则必有A a ≠A b ，不然设Aa=A b ，两边左乘A 1

-，有a=b ，这与条件矛盾。

其次，对任一向量b ，必有a 使A a=b ，事实上,令A

1

-b=a 即可。因此,A 是一个双射。

6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。证明：A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关。

证 因A (1ε,2ε, ,n ε)=(A 1ε,A 2ε, ,A n ε)=(1ε,2ε, ,n ε)A ，

故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆，而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关，故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关.。 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:

1) 第1题4)中变换A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵；