2.7电磁场的边界条件

Q
r l

er p
ernl
rrr

B (C A) rrr
媒质2
H2
(C A) B
r (H1

r H2 )
r l

6r4 (H1
4 4r 7 H2)
4(er p4
4er8n
) l

r [en

r (H1

r H2
)]

r ep
l
r
右边= J S
(D1 D2) S
H1t H2t JS E1t E2t B1n B2n
D1n D2n S
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分界面上的自由电荷面密度
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第 2 章 电磁场的基本规律
5
边界条件的推证
（1）电磁场量的法向边界条件
媒质
在两种媒质的交界面上任取一 1
点P，作一个包围点P 的扁平圆柱
ern

r (B1

r B2
)

0
或 B1n B2n
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6
（2）电磁场量的切向边界条件
左边在=C分(HHr界1面dlH两r2侧) S，(lJr选取如Dt)图 d所S示附的Ar录小AB1r.环1式Cr路： ，媒令质1ΔhΔ→lr er0erp，n 则H：er1t Δh

kx x)

r ez
k
x
sin( π d
z ) sin(t

kx x)]
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18
将上式对时间 t 积分，得
r H
(x,
z,t )


r H
(x, t
z,t )
dt
z

erx
πE0
0 d
cos( π d
z) sin(t

kx
x)
O
r y en d
107
cos(15 108 t

5z)
A/m
（3）z = 0 时
r H1(0, t)

er y
1
0
[2 107
cos(15 108 t )

2 3
107
cos(15 108 t)]

r ey
4
30
107
cos(15 108 t )
A/m
r H2 (0,t)

er y
4
30

) t
dS

dS
ern
媒质1
媒质2
ert

S D dS V ρdV
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4
边界条件的一般形式：
分界面上的自由电流面密度
errn ern en ern
rr r (Hr 1 Hr 2) JS (rE1 rE2) 0 (Br1 Br2) 0
则得：
D1z -D2z
=0
z0
D1z z0 D2z z0 0 (3 z) z0 30
z 0
则： E1z
最后得到：
z
0
E1
D1z
1
z0
(x, y,0)
30 50 ex 2 y
3 5
ey5
D1
(
x,
y,0)

ex10
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第 2 章 电磁场的基本规律
7
Ñ 同理由MEⅡ可证明电场的边界条件： 媒质
rr E dl
r B

r dS
0
C
S t
S 0
1 媒质2
r ern Δl
er p
r E2
r E1
ert
Δh
则：
ern

r (E1

r E2
)

0
或 E1t E2t
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E1t B1n

0 0
理想导体表面上的电流密度等于 Hr的切向分量 理想导体表面上 Er的切向分量为0 理想导体表面上 Br的法向分量为0
D1n S
r 理想导体表面上的电荷密度等于 D的法向分量
“电立不躺，磁躺不立”
——在导体的表面处，理想介质中的电场只有法向分量 而磁场只有切向分量。
0
y
z 0
3
xeey z255
0
x

ez
3
0
因为边界条件只在边界处成立，故只能求得分界面z＝0 处的值。
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17
例2.7.3 在两导体平板（z = 0 和 z = d）之间的空气中，已知电
场强度
r E

ery E0
sin( π d
故得：[ern
r dS
r D

r dS
1S42t 43
0
rr
(H1 H2 )]

s0
erpl
r l J S r JS
r dl er p l

r JS
erpl 或ern H 1(tHr1
r H2) H2t JS
r JS
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2区的媒质参数为
2
0、2

0、 2
0
。若已知自由空间的 r
电场强度为
ez
E2

ex
2y

ey
5z

Байду номын сангаас
ez
(3

z)
V/m

媒质1
er y
试问关于1区中的 E1和 D1能求得出吗？
解 ： 根据边界条件，只能求得边界
媒质2
er x
面z＝0 由
r
处e的n E(1E和1 DE12。)设E01
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D1x 1E1x 100 y, D1y 1E1y 250 x
又由
ern

r (D1

r D2
)

0
，有
ez [ex D1x ey D1y ez D1z (ex D2x ey D2 y ez D2z ]z0 0
2
本节内容
2.7.1 边界条件一般表达式 2.7.2 两种常见的情况
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第 2 章 电磁场的基本规律
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2.7.1 边界条件一般表达式


D

C

C S
H dl S (

E dl S
B dS 0
J
B t
H的r 切向分量连续 Er的切向分量连续 Br的法向分量连续 Dr的法向分量连续
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9
方向角：
tg1

tg2 tg1

1 2 1
tg2 2
媒质 1
媒质 2
ern 1
2
证明： Q D1n D2n
(D1 D2) S
媒质 1
媒质 2
errn en r

r (Hr 1 (rE1
r

H r
2
)

0
rE2 ) 0
en ern

(Br1 ( D1

Br2 ) D2 )

0 0
或
H1t H2t

E1t B1n

E2t B2n
D1n D2n
en
理想导体：电导率为无限大的导电媒质
媒质1
r et
特征：理想导体内没有电磁场
媒质2
设媒质2为理想导体，则E2=D2=H2=B2=0 则理想导体表面上的边界条件为：
eeerrrnnn ern
rr r (Hr 1 Hr 2) JS (rE1 rE2) 0 (Br1 Br2) 0 (D1 D2) S
媒质
2
曲面S，如图表示。（Δh →0）则：
ΔS
en
D1
S P Δh
D2

S D dS V ρdV
即：
r en
r (D1
r D2 )

S
同理 ，由
B dS 0
S
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r (D1

r D2
) ernS

S S
或 D1n D2n S
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例2.7.1 z < 0的区域的媒质参数为 1 0、1 0、1 0, z > 0
区 强域度的为媒Er质1(z参,t数) 为erx[620co5s(10、51208t
200、 2 5z) 20
0 。若媒质1中的电场
πE0
0d
sin(t
kxx)
(A/m)
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1
2.7 电磁场的边界条件 • 什么是电磁场的边界条件?
ern
媒质1
ert
媒质2
实际电磁场问题都是在一定的物理空 间内发生的，该空间中可能是由多种不同 媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分 界面两侧的电磁场物理量满足的关系。
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1E1n 2 E2n
1E1 cos1 2 E2 cos2
又Q E1t E2t
E1 sin1 E2 sin2
tg1 1 tg2 2
同理可证：
tg1 1 tg2 2
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r
2. 理想导体表面上的边界条件
cos(15108t 5z)] V/m
媒质2中的电场强度为
r E2
(
z,
t
)

erx
A
cos(15
108
t

50

z
)
V/m

（1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度 H1(z, t) 和 H2 (z, t) ；
（3）验证 H1(z和, t) H满2 (足z,边t)界条件。
解:（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0处，有
r E1
(0,
t
)

r ex
[60
cos(15
108
t
)

20
cos(15
108
t
)]
r E2
(0,
t
)


erx80 cos(15108
r ex
A
cos(15
108
t
)
t
)
V/m
V/m
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13
因分界面上电场强度的切向分量连续，即：
E1(0,t) E2 (0,t)
r H1 ( z, t )

r ey
1
0
[2 107
cos(15 108 t
5z)

2 3
107
cos(15 108 t
5z)]
A/m
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同样，由

r E2

2
r H 2 t
，得
r H2
(z,t)

r ey
4
30
x
erz
kx E0
0
sin( π d
z) cos(t
kx x)
(A/m)
（2） z = 0 处导体表面的电流密度为：
r JS
erz
r H
z0
ery
πE0
0d
sin(t
kxx)
(A/m)
z = d 处导体表面的电流密度为：
r JS

(erz )
r H
zd

ery
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8
2.7.2 两种常见的情况
r
1. 两种理想介质分界面上的边界条件
en
在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电
流分布，即JS＝0、ρS＝0
eeerrrnnn ern
rr r

(Hr 1

H r
2
)

J
S
(rE1 rE2) 0
(Br1 Br2) 0
erx E1x ery
，可得：
E1y

erz E1z
erz {erx E1x ery E1y erz E1z [erx 2 y ery 5x erz (3 z)]} z0
ery (E1x 2 y) erx (E1y 5x) 0
则得 E1x 2 y, E1y 5x
107
cos(15 108 t )
A/m
可见，在分界面上（z = 0）处，磁场强度的切向分量是连续的。
（因为两种煤质均不导电，则在分界面上不存在面电流。故磁场
强度的切向分量是连续的）
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15
例 2.7.2 如图所示，1区的媒质参数为 1 50 、1 0、1 0,
z)
cos(t

kx x)
V/m
试求:（1）磁场强度 H；（2）导体表面的电流密度
。J S
解
（1）由


E


0
H

1
E
H t
,
有
z
t
0
y
d


1
0
(ex
E y z

ez
E y x
)
O
x

E0
0
r [ex
π d
cos( π d
z) cos(t
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errn en r en ern
rr Hr 1 JS rE1 0 Br1 0
D1 S
H1t Js
或

E1t B1n

0 0
D1n S
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11
H1t Js



得到
A 80 V/m
r
r
r （2）由 E1


B1 t

1
H1 ，有 t
r
H1 t


1
1
r E1

ery
1
1
E1x z

r E


r B
t

ery
1
0
[300 sin(15 108 t
5z) 100sin(15108t
5z)]
将上式对时间 t 积分，得