第三章晶体中的原子热振动

根据牛顿定律，第n个原子的运动方程为：
m
d 2 xn dt 2
xn1 xn1 2xn
试探解： xn Aeiqnat
分析：(1) 观察单个原子
各原子作简谐振动：
A—振幅
—振动频率
qna—初相位
(2) 观察整个晶格 xn Aeiqnat
﹡ 各原子振动间存在相互联系，有固定的位相差。相邻原子
晶体宏观性质<——微观理论
固体：确定形状，确定体积的物质形态
性质：力学、电学、热学、磁学、光学等
复杂：面对具体的物理现象（比如同样原子组成的结构不同 的材料） 微观：从原子、电子层次（每立方1029数量级的原子、电子！）
相互作用及运动规律复杂
金
刚
石
石
结
墨
构
3.1 原子间的相互作用
一. 原子间的互作用 互作用力
当大量原子相互靠近时,总的互作用势U:
1 N N
U 2
i
u rij
j 1, j i
U N 2
N
u
j1, ji
rij
令rij lijr r —最近邻原子间距 则U可表达为r的函数，U=U(r)
dU r 0 U a dr r a
U a
晶体的结合能
i , j =1 , 2 , , N
特点:弱键,具有饱和性和方向性。
注意：对于多数固体材料，结合力是综合性的，同时存在着两 类或两类以上的结合力。
3.2 一维单原子的振动
近似与简化 晶格动力学方程
振动能量的量子化
一. 近似与简化
三个近似
绝热近似：解除电子运动与离子运动间的耦合
简谐近似：将原子之间的互作用力看作弹性力
U
r
U
a
1 2!
固体电子学导论
岳贤军 南通大学电子信息学院电子工程系
第3章 晶体中的原子热振动
3.1 原子间的相互作用 3.2 一维单原子晶格的振动 3.3 一维双原子晶格的振动 3.4 晶格振动的量子化及声子 3.5 晶体的热学性质
研究对象
晶体中电子状态：假设原子或离子在格点附近固定不动 实际上，有限温度下，晶体中原子或离子微扰格点（平衡 位置）附近做热振动
2. 共价键 共价键常由ⅣA碳族元素原子形成，如C、Si、Ge、Sn等。每个原 子有4个价电子，能与周围最邻近4个原子形成4个共价键，每个 键含有自旋相反的2个电子，它们来源于2个不同原子。这样，每 个原子周围拥有8个电子，使各原子的电子组态都变为满壳层。
共价键结合有两个基本特征：饱和 性和方向性。
代入运动方程，
m
d 2 xn dt 2
xn1 xn1 2xn
得： 2 sin qa
m
2
2 sin 1 qa 一维单原子晶格振动的色散关系
m2
讨论：(1) 相速度
vp
q
常数
仅当q 0,即 a时: (长波近似)
2 1 qa
m2
a 常数
qm
结论： a,晶格近似看作连续 .
d 2U dr 2
a
2
最近邻近似：仅考虑最近邻原子之间的互作用
二. 一维单原子晶格振动的经典理论
晶格振动的动力学方程 1. 振动方程及行波解
只考虑相邻原子的作用，第n个原子仅受到第(n-1)个和第(n+1) 个原子的作用，总的作用力是：
f xn+1 xn xn xn-1
xn1 xn1 2xn
二. 原子间的键
1. 离子键 离子键是由正负离子通过库仑引力形成的。典型的如ⅠA族元素 (碱金属)与ⅦB族元素(过渡金属锰族元素：锰、铼、锝)之间形 成。ⅠA族元素易于失去电子而带正电荷，ⅦB族元素倾向于得 到一个电子而带负电荷，并使两者的电子组态都变为满壳层。
特点:晶体结合的稳定性导致导电性能差、熔点高、硬度高和热 膨胀系数小。
r 时,
r r0时, r r0时,
r r0时,
f 0
f引 f斥 f引 f斥
f引 f斥
r rm时, 吸引力最大
吸引力：异性电荷间 的库仑引力
排斥力：同性电荷间的 库仑斥力及泡利原理的 排斥力
互作用势 ur:
f r dur
dr
dur
dr
r0
0
求得两个原子间相互作用力f， 需先求得两原子间的相互作用势U
的位相差为qa
﹡﹡ xm xn时
Aeiqmat Aeiqnat
则, ma na 2 l l取整数
q
(3) 在不同时间观察整个晶格
整个晶格的振动（原子振动的集体行为），构成了一个波矢
为 q的前进波———格波。
2. 色散关系
~ q 为非线性关系
—色散关系
将试探解
xn Aeiqnat
第I族、第II族元素及过渡元素都是典型的金属晶体。
特点:共有化电子可以在整个晶体中运动，因此导电性、导热性 良好、具有高延展性。
4. 分子键 元素周期表中第VIII族元素在低温下结合成的晶体。——非极 性分子晶体 依靠瞬时偶极矩的互作用——范德 瓦耳斯（Van der Waals）力
特点:透明的绝缘体，熔点特低（几十 K）
(2) (q)具有对称性和周期性
Βιβλιοθήκη Baidu2 sin 1 qa
m2
q q
q
2 a
q
色散曲线
将q限制在 a a 区间(第一布里渊区)即可,在这以外并不
提供新的格波.
4a
状 态 等 价
4a
5
q 2a
两者相差 倒格矢的 整数倍
q 2
2a a
(3) (q)的取值范围
2 sin 1 qa
特点:价电子定域在共价键上致使导电性很弱。熔点高、硬度高。
3. 金属键
金属键常由ⅠA、ⅡA族及过渡元素原子形成。这些原子的负 电性小，最外层一般有一两个容易失去的价电子，失去价电子 的原子称为离子实。由于波函数的交叠，价电子不再属于个别 原子而为所有离子实共有，成为在金属中自由运动着的电子， 也称作共有化运动。 如果将共有化状态的价电子比作电子云，可以用一个简化的物 理模型来描述金属晶体：将离子实看作浸没在电子云中，金属 晶体的结合力主要是来源于离子实和电子云之间的静电作用力。
5. 氢键 氢键是一种氢原子参与成键的特殊键型。氢原子半径小，电离 能很大，一般情况下不易失去电子，而是与其他原子形成共价 键。当氢原子唯一的价电子与其他原子形成共价键后，电子云 分布便靠近共价键一边，而另一边的原子核则暴露在外，容易 通过库仑作用与负电性大的原子相结合。
氢原子的这种结合可表示为 X—H…Y 其中，X—H距离近，作用强；H…Y距离稍远，结合力相对较 弱，通常称H…Y为氢键。