2019年北京石景山区数学一模试卷

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2019年北京市石景山高三一模数学(理)试题及答案

北京市石景山区2019届高三统一测试数学（理）试题本试卷共150分，考试时长120分钟，请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合M= {x|x 2≤4），N={x|log 2 x≥1}，则M N 等于（）A ． [-2，2]B ．{2}C ．[2，+∞）D ． [-2,+∞）2．若复数（a －i ）2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是（）A ． 1B ．-1C ．2D ．-23．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p =（m ，n ），q =（3，6），则向量p 与q 共线的概率为（）A ．13 B ．14C ．16D ．112 4．执行右面的框图，输出的结果s 的值为（）A ．-3B ．2C ．12-D ．135．如图，直线AM 与圆相切于点M, ABC 与ADE 是圆的两条割线，且BD⊥AD，连接MD 、EC 。

则下面结论中，错误．．的结论是( )A ．∠ECA = 90oB ．∠CEM=∠DMA+∠DBAC ．AM 2 = AD·AED ．AD·DE = AB·BC6．在（2x 2－1x）5的二项展开式中，x 的系数为（） A ．-10 B ．10C ．-40D ．407．对于直线l ：y=k (x+1)与抛物线C ：y 2= 4x ，k =±1是直线l 与抛物线C 有唯一交点的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要8．若直角坐标平面内的两点p 、Q 满足条件：①p、Q 都在函数y=f （x ）的图像上；②p、Q 关于原点对称，则称点对[P ，Q]是函数y=f （x ）的一对“友好点对”（注：点对[P ，Q]与[Q ，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数f （x ）=221(0)4(0)og x x x x x >⎧⎨--≤⎩，则此函数的“友好点对”有（）对．A ． 0B ． 1C ．2D ． 3第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．直线2p sin θ=1与圆ρ=2 cos θ相交弦的长度为。

年北京市石景山区初三数学一模试题和答案

石景山区2019年初三统一练习暨毕业考试数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1 - 8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．在北京筹办2022年冬奥会期间，原首钢西十筒仓一片130000平方米的区域被改建为北京冬奥组委办公区．将130000用科学记数法表示应为（A ）41310⨯（B ）51.310⨯（C ）60.1310⨯（D ）71.310⨯2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（A ）三棱柱（B ）三棱锥（C ）长方体（D ）正方体3．实数a ，b ，c在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是5．如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别与AB ，CD 交于点E ，F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ，若1∠=70︒，则2∠的度数是（A ）60︒ （B ）55︒ （C ）50︒（D ）45︒6．为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，表示点A 的坐标为()1,1-，表示点B 的坐标为()32，，则表示其他位置的点的坐标正确的是（A ） C ()10-，（B ） D ()31-，（C ） E ()25--，（D ） F ()52，7．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．（以上数据来自国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．．的是（A ）与2017年相比，2018年年末全国农村贫困人口减少了1386万人（B ）2015 ~ 2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降（C ）2015 ~ 2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000万（D ）2015 ~ 2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降个百分点 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 可以看作是由△OCD 经过两次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，这个变化过程不可能．．．是（A ）先平移，再轴对称（B ）先轴对称，再旋转（C ）先旋转，再平移（D ）先轴对称，再平移二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．写出一个大于2且小于3的无理数： . 10．右图所示的网格是正方形网格，点P 到射线OA 的距离为m ，点P 到射线OB 的距离为n ，则m n ．（填“>”，“=”或“<”）11．一个不透明盒子中装有3个红球、5个黄球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为 . 12. 若正多边形的一个内角是135︒，则该正多边形的边数为 . 13．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE ∥BC ．若6AE =，3EC =，8DE =，则BC = ．14．如果230m m --=，那么代数式211m m m m +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值是．15．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x 尺，竿长y 尺，可列方程组为 .16．如图，AB 是⊙O 的一条弦，P 是⊙O 上一动点（不与点A ，B 重合），C ，D 分别是AB ，BP 的中点．若AB = 4，∠APB = 45°，则CD 长的最大值为．三、解答题（本题共68分，第17 - 22题，每小题5分，第23 - 26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A ．求作：直线AD ，使得AD ∥l ．作法：如图2，①在直线l 上任取一点B ，连接AB ； ②以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交直线l 于点C ；③分别以点A ，C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点D （不与点B 重合）； ④作直线AD ．所以直线AD 就是所求作的直线．根据小立设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接CD ．∵AD=CD=BC=AB ，∴四边形ABCD 是（）．∴AD ∥l （）．18．计算：()02cos3023π︒++-．19．解不等式组：()13352x x x x ⎧-<-⎪⎨+⎪⎩，≥. 20．关于x 的一元二次方程()2320x m x m -+++=．（1）求证：方程总有两个实数根；图1图2（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．21．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 边上一点，连接CD ，E 为CD 中点，连接BE 并延长至点F ，使得EF ＝EB ，连接DF 交AC 于点G ，连接CF ．（1）求证：四边形DBCF 是平行四边形；（2）若30A ∠=︒，4BC =，6CF =，求CD 的长.22．如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线CD ，过点B 作BE ⊥CD于点E ，延长EB 交⊙O 于点F ，连接AC ，AF ．（1）求证：12CE AF =；（2）连接BC ，若⊙O 的半径为5，tan 2CAF ∠=，求BC 的长．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky x x=<的图象经过点()16A -，，直线2y mx =-与x 轴交于点()10B -，．（1）求k ，m 的值；（2）过第二象限的点P ()2n n -，作平行于x 轴的直线，交直线2y mx =-于点C ，交函数()0ky x x=<的图象于点D . ①当1=-n 时，判断线段PD 与PC 的数量关系，并说明理由； ②若2PD PC ≥，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．24．如图，Q是»AB上一定点，P是弦AB上一动点，C为AP中点，连接CQ，过点P作PD∥CQ交»AB于点D，连接AD，CD．AB cm，设A，P两点间的距离为x cm，C，D两点间的距离为y cm．已知8（当点P与点A重合时，令y的值为）小荣根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小荣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了与x的几组对应值：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；⊥时，AP的长度约为 cm．（3）结合函数图象，解决问题：当DA DP25．为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：成绩80分及以上为优秀，70 ~ 79分为良好，60 ~ 69分为合格，60分以下为不合格）b ．甲校成绩在70≤x ＜80这一组的是：70707071727373737475767778c 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中n 的值；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是校的学生（填“甲”或“乙”），理由是；（3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y kx =+(0)k ≠经过点(2,3)A ，与y 轴交于点B ，与抛物线2y ax bx a =++的对称轴交于点(,2)C m . （1）求m 的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）11(,)N x y 是线段AB 上一动点，过点N 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点22(,)P x y ,33(,)Q x y （点P 在点Q 的左侧）．若213x x x <<恒成立，结合函数的图象，求a 的取值范围．27．如图，在等边△ABC 中，D 为边AC 的延长线上一点()CD AC <，平移线段BC ，使点C 移动到点D ，得到线段ED ，M 为ED 的中点，过点M 作ED 的垂线，交BC 于点F ，交AC 于点G ．（1）依题意补全图形；（2）求证：AG = CD ；（3）连接DF 并延长交AB 于点H ，用等式表示线段AH 与CG 的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点分别为(0,1)A ，(1,0)B -，(0,1)C -，(1,0)D ．对于图形M ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为正方形ABCD边上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的 “正方距”，记作d (M )．（1）已知点(0,4)E ，①直接写出()d E 点的值；②直线4y kx =+(0)k ≠与x 轴交于点F ，当()d EF 线段取最小值时，求k 的取值范围；（2）⊙T 的圆心为(,3)T t ，半径为1．若()6d T <e ，直接写出t 的取值范围．石景山区2019年初三统一练习暨毕业考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。

2019年北京市石景山区高三年级一模数学(文)试题及答案

2019年石景山区高三统一测试数学（文）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{|1}P x x =∈R ≥，{1,2}Q =，则下列关系中正确的是 A. P ＝QB. P ÜQC. Q ÜPD. PQ =R2. 设i 是虚数单位，若复数1i z =+，则复数z 的模为 A. 1B.C. D. 23. 某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 124. 若0x y >>，则下列各式中一定正确的是 A. sin sin x y > B. ln ln()x y <-C. e e x y <D.11x y>正（主）视图侧（左）视图俯视图5. 中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，右图是实现该算法的程序框图，如输入的2,1n x ==，依次输入的a 为1，2，3，运行程序，输出的s 的值为A. 1B. 2C. 3D. 66. 已知平面向量(,2),(1,1),a k b k ==∈R ，则2k =是a 与b 同向的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知2π()sin()5f x x =，则(0)(1)(2)(3)(2019)f f f f f +++++=A. 0B. 505C. 1010D. 20208. 当时，下列关于函数的图象与y = 说法正确的是A. 当[]0,1m ∈时，有两个交点B. 当(]1,2m ∈时，没有交点C. 当(]2,3m ∈时，有且只有一个交点D. 当()3,m ∈+∞时，有两个交点[]0,1x ∈()21y mx =-1n n =+第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称. 若1sin 3α=，则sin β=__________． 10. 若变量,x y 满足约束条件1,1,1,x y y x x +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤则2z x y =-的最小值为_________.11. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线为l ，l 与双曲线2214x y -=的渐近线分别交于,A B 两点．若||4AB =，则p =______ ．12. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用n a 表示解下*(9,)n n n ∈N ≤个圆环所需的最少移动次数，已知11a =， 1121,22,n n n a a a ---⎧=⎨+⎩ ，则解下4个圆环所需的最少移动次数4a 为______． 13. 已知集合{5,1,2,4,5}A =--，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是______________．14. 在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y 和点()22,B x y 是单位圆221x y +=上两点，=1AB ，则AOB ∠=______；12|2||2|y y +++的最大值为 _ ．n 为偶数n 为奇数三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）．（Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16.（本小题13分）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，b=，3c =，1cos 3B=-．（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC △的面积．如图，在四棱锥E A B C D -中，平面A B C D ⊥平面AEB ，且四边形A B C D 为矩形．90BAE =∠︒，4AE=，2AD=，F,G,H 分别为,BE AE,AD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ∥平面FGH ；（Ⅱ）求证：平面FGH ⊥平面ADE ；（Ⅲ）在线段DE 求一点P ，使得AP ⊥FH ，并求出AP 的值．18. （本小题13分）已知某单位全体员工年龄频率分布表为:经统计，该单位35岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工．．．的年龄频率分布直方图和如下：（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求该单位男女职工的比例；（Ⅲ）若从年龄在[25，30）岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率．年龄（岁）H B D E A设函数()e 2x af x ax =-+，0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为(,0)F c ，左顶点为A ，右顶点B 在直线l :2x =上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断以BD 为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．PF2019年石景山区高三统一测试数学（文）试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．13-； 10．1-； 11．8；12．7； 13． (4)(6)0x x +->；（答案不唯一） 14． π34．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ），所以12n n n a S S n -=-=（2n ≥，*n ∈N ）．又因为12a =，所以2n a n =（*n ∈N ）．所以2(22)2n n n S n n +==+．（Ⅱ）24n a n n b ==，所以4444143n n n T --==-． 16．（本小题13分）解：(Ⅰ)在ABC △中，1cos 3B=-，∴sin B ==，∵b=3c =，由正弦定理sin sin b cB C =3sin C=，∴sin C =（Ⅱ）由余弦定理222+2cos b =a c ac B -得2112+923()3=a a -⨯⨯-，∴2230a a =+-，解得1a =或3a =-（舍） ∴1sin 2ABCS=ac B1132=⨯⨯= 17．（本小题14分）（Ⅰ）证明：在矩形ABCD 中，CD ∥AB ，∵F G ，分别为BE AE ，的中点， ∴FG ∥AB ，且FG 12=AB ， ∴CD ∥FG ， ∵CD ⊄平面FGH ，FG ⊂平面FGH ，∴CD ∥平面FGH ．（Ⅱ）证明：在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，又∵90BAE ∠=︒， ∴AB AE ⊥，又ADAE =A∴AB ⊥平面ADE ，又//GF AB∴GF ⊥平面ADE ， ∵GF ⊂平面FGH ，∴平面FGH ⊥平面ADE ．（Ⅲ）解：作AP DE ⊥于P ，∵GF ⊥平面ADE ，且AP ⊂平面ADE ，∴GF AP ⊥， ∵,G H 分别为AE,AD 的中点， ∴GH AP ⊥ ∵GFGH =G ，∴AP ⊥平面FGH ， ∵FH ⊂平面FGH ，∴AP FH ⊥， ∵矩形ABCD ⊥平面AEB ，且平面ABCD 平面AEB=AB ，∴AE ⊥平面ABCD ，∴AE ⊥平面AD ，在直角三角形AED 中，4AE=，2AD=，可求得AP =． 18．（本小题13分）解：（Ⅰ）由男职工的年龄频率分布直方图可得： (0.010.040.080.0250.025)51a +++++⨯=．所以0.02a =．（Ⅱ）该单位[25, 35)岁职工共24人，由于[25, 35)岁男女职工人数相等，所以[25, 35)岁的男职工共12人．由（Ⅰ）知，男职工年龄在[25, 35)岁的频率为0.15，所以男职工共有12800.15=人，所以女职工有14080=60-人，所以男女比例为4∶3．（Ⅲ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：男职工年龄在[25, 30)岁的频率为0.05．由（Ⅱ）知，男职工共有80人，所以男职工年龄在[25, 30)岁的有4人，分别记为1234,,,A A A A ．又全体员工年龄在[25, 30)岁的有6人，所以女职工年龄在[25, 30)岁的有2人，分别记为12,B B ．从年龄在25~30岁的职工中随机抽取两人的结果共有121314()()()A A A A A A ，，，，，， 111223242122343132()()()()()()()()()A B A B A A A A A B A B A A A B A B ，，，，，，，，，，，，，，，，，，414212()()()A B A B B B ，，，，，15种情况，其中一男一女的有111221223132()()()()()()A B A B A B A B A B A B ，，，，，，，，，，，，4142()()A B A B ，，，8种情况，所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为815．19．（本小题13分）解：（Ⅰ）2)(aax e x f x +-= ，a e x f x -='∴)(， a e f -='∴)1(，由题设知0)1(='∴f ，即0=-a e ，解得e a =．经验证e a =满足题意。

2019年北京市石景山区中考数学一模试卷(解析版)

2019年北京市石景山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.在北京筹办2022年冬奥会期间，原首钢西十筒仓一片130000平方米的区域被改建为北京冬奥组委办公区．将130000用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.2.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A. 三棱柱B. 三棱锥C. 长方体D. 正方体3.实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. B. C. D.4.下列图案中，是中心对称图形的为（）A. B. C. D.5.如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1=70°，则∠2的度数是（）A.B.C.D.6.为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y轴的正方向，表示点A的坐标为（1，-1），表示点B的坐标为（3，2），则表示其他位置的点的坐标正确的是（）A. B. C. D.7.下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．（以上数据来自国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）A. 与2017年相比，2018年年末全国农村贫困人口减少了1386万人B. ～年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降C. ～年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000万D. ～年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降个百分点8.如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是由△OCD经过两次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，这个变化过程不可能是（）A. 先平移，再轴对称B. 先轴对称，再旋转C. 先旋转，再平移D. 先轴对称，再平移二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.请你写出一个大于2小于3的无理数是______．10.如图所示的网格是正方形网格，点P到射线OA的距离为m，点P到射线OB的距离为n，则m______n．（填“＞”，“=”或“＜”）11.一个不透明盒子中装有3个红球、5个黄球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为______．12.正多边形的一个内角为135°，则该正多边形的边数为______．13.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC．若AE=6，EC=3，DE=8，则BC=______．14.如果m2-m-3=0，那么代数式的值是______．15.我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x尺，竿长y尺，可列方程组为______．16.如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若AB=4，∠APB=45°，则CD长的最大值为______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点A．求作：直线AD，使得AD∥l．作法：如图2，①在直线l上任取一点B，连接AB；②以点B为圆心，AB长为半径画弧，交直线l于点C；③分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D（不与点B重合）；④作直线AD．所以直线AD就是所求作的直线．根据小立设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接CD．∵AD=CD=BC=AB，∴四边形ABCD是______（______）．∴AD∥l（______）．18.计算：．＜19.解不等式组：20.关于x的一元二次方程x2-（m+3）x+m+2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．21.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF=EB，连接DF交AC于点G，连接CF．（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；（2）若∠A=30°，BC=4，CF=6，求CD的长．22.如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线CD，过点B作BE⊥CD于点E，延长EB交⊙O于点F，连接AC，AF．（1）求证：CE=AF；（2）连接BC，若⊙O的半径为5，tan∠CAF=2，求BC的长．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数＜的图象经过点A（-1，6），直线y=mx-2与x轴交于点B（-1，0）．（1）求k，m的值；（2）过第二象限的点P（n，-2n）作平行于x轴的直线，交直线y=mx-2于点C，交函数＜的图象于点D．①当n=-1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；②若PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．24.如图，Q是上一定点，P是弦AB上一动点，C为AP中点，连接CQ，过点P作PD∥CQ交于点D，连接AD，CD．已知AB=8cm，设A，P两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，令y的值为1.30）小荣根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小荣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当DA⊥DP时，AP的长度约为______cm．25.为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．（说明：成绩分及以上为优秀，～分为良好，～分为合格，分以下为不合格）b．甲校成绩在70≤x＜80这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中n的值；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是______校的学生（填“甲”或“乙”），理由是______；（3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．26.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+1（k≠0）经过点A（2，3），与y轴交于点B，与抛物线y=ax2+bx+a的对称轴交于点C（m，2）．（1）求m的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）N（x1，y1）是线段AB上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点P（x2，y2），Q（x3，y3）（点P在点Q的左侧）．若x2＜x1＜x3恒成立，结合函数的图象，求a的取值范围．27.如图，在等边△ABC中，D为边AC的延长线上一点（CD＜AC），平移线段BC，使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC于点G．（1）依题意补全图形；（2）求证：AG=CD；（3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（-1，0），C（0，-1），D（1，0）．对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．（1）已知点E（0，4），①直接写出d（点E）的值；②直线y=kx+4（k≠0）与x轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；（2）⊙T的圆心为T（t，3），半径为1．若d（⊙T）＜6，直接写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：将130000用科学记数法可表示为1.3×105．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】A【解析】解：该几何体的左视图为矩形，主视图亦为矩形，俯视图是一个三角形，则可得出该几何体为三棱柱．故选：A．该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为三角形，易得出该几何体的形状．主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．3.【答案】C【解析】解：由图可知：-3＜a＜-2，0＜b＜1，3＜c＜4；则：a＜-2，A错误；|b|＜1，B错误；a+c＞0，C正确；abc＜0，D错误；故选：C．根据实数在数轴上的位置判断a，b，c正负性和大小即可解题．本题主要考查实数与数轴，关键是利用数轴判断字母的正负性，绝对值的大小．4.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；B、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．故选：C．根据中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.【答案】B【解析】解：∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠GEF，∵AB∥CD，∴∠BEG=∠2，∴∠2=∠GEF，∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠GEF=180°，∴∠2=（180°-70°）=55°．故选：B．根据平行线的性质和角平分线定义得到∠2=∠GEF，再根据平行线的性质求出∠2即可．本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠2=∠GEF，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．6.【答案】B【解析】解：根据点A的坐标为（1，-1），表示点B的坐标为（3，2），可得：C（0，0），D（-3，1），E（-5，-2），F（5，-3），故选：B．根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可．此题考查坐标确定位置，本题解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向．7.【答案】D【解析】解：A、3046-1660=1386，故本选项推断合理；B、根据2014～2018年年末全国农村贫困发生率统计图，可得2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降，故本选项推断合理；C、7017-5575=1442＞1000，5575-4335=1240＞1000，4335-3046=1289＞1000，3046-1660=1386＞1000，故本选项推断合理；D、根据2014～2018年年末全国农村贫困发生率统计图，可得2015～2016年年末全国农村贫困发生率下降5.7-4.5=1.2个百分点，故本选项推断不合理；故选：D．用2017年年末全国农村贫困人口数减去2018年年末全国农村贫困人口数，即可判断A；根据2014～2018年年末全国农村贫困发生率统计图即可判断B、D；根据2014～2018年年末全国农村贫困人口率统计图，分别计算2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量，即可判断C．本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况．8.【答案】C【解析】解：将△ABO沿y轴向左翻折，再沿y轴向下平移3个单位长度得到△OCD，或先沿y轴向下平移3个单位长度，再沿y轴向左翻折得到△OCD，或先将△ABO沿x轴向下翻折，再旋转得出△OCD故选：C．根据轴对称的性质，平移的性质即可得到由△ABO得到△OCD的过程．本题考查了坐标与图形变化-轴对称，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线．9.【答案】等【解析】解：∵2=，3=，∴写出一个大于2小于3的无理数是等．故答案为等．本题答案不唯一．根据算术平方根的性质可以把2和3写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可．此题考查了无理数大小的估算，熟悉算术平方根的性质．10.【答案】＞【解析】解：设OP 经过格点C，∵点C到OA的距离为为，点C到OB的距离为1，过P作PG⊥OA于G，过P作PH⊥OB于H，∴CE∥PG，CF∥PH，∴==，∴===，∴m＞n，故答案为：＞．根据勾股定理和平行线分线段成比例定理即可得到结论．本题考查了勾股定理，解题的关键是利用勾股定理解答．11.【答案】【解析】解：∵一个不透明的盒子中装有3个红球、5个黄球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差别，∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为：=．故答案为：．由一个不透明的盒子中装有3个红球、5个黄球和2个白球，直接利用概率公式求解即可求得答案．此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12.【答案】8【解析】解：∵正多边形的一个内角是135°，∴该正多边形的一个外角为45°，∵多边形的外角之和为360°，∴边数n==8，∴该正多边形为正八边形，故答案为8．根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°，此题难度不大．13.【答案】12【解析】解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴=而AE=6，EC=3，DE=8则=∴BC=12故答案为12．由DE∥BC则可以得出△ADE∽△ABC，于是可得=，根据已知数据即可求出BC的长．本题考查的是相似三角形的判定与性质，平行、比例、相似三者之间的相互推出关系是解题中常用的思路．14.【答案】3【解析】解：原式=•=m（m-1）当m2-m=3时，原式=3，故答案为：3根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算，本题属于基础题型．15.【答案】【解析】解：设绳索长x尺，竿长y尺，根据题意得：．故答案为：．设绳索长x尺，竿长y尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．16.【答案】2【解析】解：∵C，D分别是AB，BP的中点∴CD=AP，当AP为直径时，CD长最大，∵AP为直径，∴∠ABP=90°，且∠APB=45°，AB=4，∴AP=4∴CD长的最大值为2故答案为2由三角形中位线定理可得CD=AP，即当AP为直径时，CD长最大，由直角三角形的性质可求AP的长，即可求解．本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，熟练运用圆周角定理是本题的关键．17.【答案】菱形四条边都相等的四边形是菱形菱形的对边平行【解析】解：（1）补全的图形如图所示：（2）证明：连接CD．∵AD=CD=BC=AB，∴四边形ABCD是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）．∴AD∥l（菱形的对边平行）故答案为：菱形，四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对边平行．（1）根据要求作图即可得；（2）由菱形的判定及其性质求解可得．本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握菱形的判定与性质．18.【答案】解：原式==．【解析】先分别计算三角函数值、零指数幂、绝对值，然后算加减法．本题考查了实数的运算，熟练掌握三角函数值、零指数幂、绝对值的运算是解题的关键．19.【答案】解：解不等式x-1＜3（x-3），得x＞4．解不等式，得x≥5．∴原不等式组的解集为x≥5．【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20.【答案】（1）证明：依题意，得△=[-（m+3）]2-4（m+2）=m2+6m+9-4m-8=m+1）2．∵（m+1）2≥0，∴△≥0．∴方程总有两个实数根．（2）解：解方程，得x1=1，x2=m+2，∵方程的两个实数根都是正整数，∴m+2≥1．∴m≥-1．∴m的最小值为-1．【解析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；（2）根据题意得到x=1和x=m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．21.【答案】证明：（1）∵点E为CD中点，∴CE=DE．∵EF=BE，∴四边形DBCF是平行四边形．（2）∵四边形DBCF是平行四边形，∴CF∥AB，DF∥BC．∴∠FCG=∠A=30°，∠CGF=∠CGD=∠ACB=90°．在Rt△FCG中，CF=6，∴，．∵DF=BC=4，∴DG=1．在Rt△DCG中，CD==2【解析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；（2）由平行四边形的性质可得CF∥AB，DF∥BC，可得∠FCG=∠A=30°，∠CGF=∠CGD=∠ACB=90°，由直角三角形的性质可得FG，CG，GD的长，由勾股定理可求CD的长．本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用直角三角形的性质求线段CG的长度是本题的关键．22.【答案】（1）证明：连接CO并延长交AF于点G，如下图∵CD是⊙O的切线，∴∠ECO=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°．∵BE⊥CD，∴∠CEF=90°．∴四边形CEFG是矩形．∴GF=CE，∠CGF=90°．∴CG⊥AF．∴．∴．即得证．（2）解：连接BC，如下图∵CG⊥AF，∴．∴∠CBA=∠CAF．∴tan∠CBA=tan∠CAF=2．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．在Rt△CBA中，设BC=x，AC=2x，则．∴x=2即BC的长为2．【解析】（1）连接CO并延长交AF于点G，可得四边形CEFG是矩形，则GF=CE，再由垂径定理可知GF=AF，于是可证CE=AF；（2）可以通过圆周角定理得∠CBA=∠CAF，从而在直角三角形ABC中可解出BC的长．本题考查的是圆周角定理与垂径定理，在解决圆的相关问题中，这两个定理是基本定理，应用非常多，灵活运用是解题的关键．23.【答案】解：（1）∵函数＜的图象经过点A（-1，6），∴k=-6．∵直线y=mx-2与x轴交于点B（-1，0），∴m=-2．（2）①判断：PD=2PC．理由如下：当n=-1时，点P的坐标为（-1，2），∵y=-2x-2交于于点C，且点P（-1，2）作平行于x轴的直线，∴点C的坐标为（-2，2），∵函数＜的图象于点D，且点P（-1，2）作平行于x轴的直线，点D的坐标为（-3，2）．∴PC=1，PD=2．∴PD=2PC．②当PD=2PC时，y=2，若PD≥2PC，0≤y≤2，即0≤-2n≤2解得-1≤n＜0．【解析】（1）把A（-1，6）代入函数，即可求出k；把点B（-1，0）代入直线y=mx-2，即可求出m；（2）①求出PC和PD，即可判断PC和PD之间的关系；②求出P点y值的取值范围，即可n的取值范围．本题主要考查了反比例函数上点的坐标特点，熟悉反比例函数图象上点的特点是解答此题的关键．24.【答案】3.31【解析】解：（1）通过取点、画图、测量可得（2）画出该函数的图象如下：（3）∵DA⊥DP，CQ∥DP，∴CQ⊥AD，∵AC=PC=AP=x，∴DC=AC，即y=x，在函数图象中作出y=x（x≥0），可得两函数图象交点的横坐标约为3.31，即AP=3.31，故答案为：3.31．（1）通过取点、画图、测量可得；（2）依据表格中的数据描点、连线即可得；（3）由DA⊥DP，CQ∥DP知CQ⊥AD，结合AC=PC=AP=x得DC=AC，即y=x，据此在函数图象中作出y=x（x≥0），可得两函数图象交点的横坐标即为所求．本题是圆的综合问题，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．25.【答案】甲甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分，【解析】解：（1）这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数，所以中位数n==72.5；（2）甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分，所以该学生在甲校排在前20名，在乙校排在后20名，而这名学生在所属学校排在前20名，说明这名学生是甲校的学生．故答案为：甲，甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分．（3）在样本中，乙校成绩优秀的学生人数为14+2=16．假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数为．（1）根据中位数的定义求解可得；（2）根据甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得．本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．26.【答案】解：（1）∵y=kx+1（k≠0）经过点A（2，3），∴2k+1=3，解得k=1．∵直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx+a的对称轴交于点C（m，2），∴m=1．（2）∵抛物线y=ax2+bx+a的对称轴为x=1，∴ ，即b=-2a．∴y=ax2-2ax+a=a（x-1）2．∴抛物线的顶点坐标为（1，0）．（3）当a＞0时，如图，若抛物线过点B（0，1），则a=1．结合函数图象可得0＜a＜1．当a＜0时，不符合题意．综上所述，a的取值范围是0＜a＜1．【解析】（1）将点A坐标代入y=kx+1求出k=1，再根据直线过点C即可求得m的值；（2）由（1）得出抛物线对称轴为x=1，据此知b=-2a，代入得y=ax2-2ax+a=a（x-1）2，从而得出答案；（3）当a＞0时，画出图形．若抛物线过点B（0，1）知a=1．结合函数图象可得0＜a＜1．a＜0时显然不成立．本题是二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质及直线与抛物线相交的问题．27.【答案】解：（1）补全的图形如图1所示．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA．∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°．由平移可知ED∥BC，ED=BC．∴∠ADE=∠ACB=60°．∵∠GMD=90°，如图1，∴DG=2DM=DE．∵DE=BC=AC，∴DG=AC．∴AG=CD．（3）线段AH与CG的数量关系：AH=CG．证明：如图2，连接BE，EF．∵ED=BC，ED∥BC，∴四边形BEDC是平行四边形．∴BE=CD，∠CBE=∠ADE=∠ABC．∵GM垂直平分ED，∴EF=DF．∴∠DEF=∠EDF．∵ED∥BC，∴∠BFE=∠DEF，∠BFH=∠EDF．∴∠BFE=∠BFH．∵BF=BF，∴△BEF≌△BHF（ASA）．∴BE=BH=CD=AG．∵AB=AC，∴AH=CG．【解析】（1）补全的图形如图1所示；（2）根据直角三角形30度角的性质得：DG=2DM=DE，得DG=AC，可得结论；（3）作辅助线，证明四边形BEDC是平行四边形和△BEF≌△BHF（ASA），可得结论．本题考查平移变换、等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键灵活应用所学知识解决问题，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．28.【答案】解：（1）①∵正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（-1，0），C（0，-1），D（1，0），点E（0，4）在y轴上，∴点E到正方形ABCD边上C点间的距离最大值，EC=5，即d（点E）的值为5；②如图1所示：∵d（点E）=5，∴d（线段EF）的最小值是5，∴符合题意的点F满足d（点F）≤5，当d（点F）=5时，BF1=DF2=5，∴点F1的坐标为（4，0），点F2的坐标为（-4，0），将点F1的坐标代入y=kx+4得：0=4k+4，解得：k=-1，将点F2的坐标代入y=kx+4得：0=-4k+4，解得：k=1，∴k=-1或k=1．∴当d（线段EF）取最小值时，EF1直线y=kx+4中k≤-1，EF2直线y=kx+4中k≥1，∴当d（线段EF）取最小值时，k的取值范围为：k≤-1或k≥1；（2）⊙T的圆心为T（t，3），半径为1，当d（⊙T）=6时，如图2所示：CM=CN=6，OH=3，∴T1C=TC=5，CH=OC+OH=1+3=4，∴T1H===3，TH===3，∴d（⊙T）＜6，t的取值范围为：-3＜t＜3．【解析】（1）①由题意得点E到正方形ABCD边上C点间的距离最大值，EC=5，即d （点E）的值为5②由d（点E）=5得出d（线段EF）的最小值是5，得出符合题意的点F满足d（点F）≤5，求出当d（点F）=5时，BF1=DF2=5，得出点F1的坐标为（4，0），点F2的坐标为（-4，0），代入y=kx+4求出k的值，再结合函数图象即可得出结果；（2）⊙T的圆心为T（t，3），半径为1，当d（⊙T）=6时，CM=CN=6，OH=3，得出T1C=TC=5，CH=OC+OH=4，由勾股定理求出T1H==3，TH==3，即可得出结果．本题是圆的综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、新定义、一次函数解析式的求法以及圆的有关知识；本题综合性强，理解新定义是解题的关键．。

2019年北京石景山区初三一模数学试卷

2019年北京⽯景⼭区初三⼀模数学试卷⼀、选择题（本题共8⼩题，每题2分，共16分）1. A. B. C. D.在北京筹办年冬奥会期间，原⾸钢⻄⼗筒仓⼀⽚平⽅⽶的区域被改建为北京冬奥组委办公区．将⽤科学记数法表示应为（）．2. A.三棱柱 B.三棱锥 C.⻓⽅体 D.正⽅体如图是某⼏何体的三视图，该⼏何体是（）．3. A. B. C. D.实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）．4. A. B. C. D.下列图案中，是中⼼对称图形的为（）．5.如图，直线，直线分别与，交于点，，平分，交于点，若，则的度数是（）．A. B. C. D.6. A. B. C. D.为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了⼏个关键位置，如图是利⽤平⾯直⻆坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北⽅向为轴、轴的正⽅向，表示点的坐标为，表示点的坐标为，则表示其他位置的点的坐标正确的是（）．北7. A.B.C.D.下⾯的统计图反映了我国五年来农村贫困⼈⼝的相关情况，其中“贫困发⽣率”是指贫困⼈⼝占⽬标调查⼈⼝的百分⽐．年份人数万人年年末全国农村贫困人口统计图年份贫困发生率年年末全国农村贫困发生率统计图（以上数据来⾃国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）．与年相⽐，年年末全国农村贫困⼈⼝减少了万⼈年年末，与上⼀年相⽐，全国农村贫困发⽣率逐年下降年年末，与上⼀年相⽐，全国农村贫困⼈⼝的减少量均超万年年末，与上⼀年相⽐，全国农村贫困发⽣率均下降个百分点8.如图，在平⾯直⻆坐标系中，可以看作是由经过两次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，这个变化过程不可能是（）．A.先平移，再轴对称B.先轴对称，再旋转C.先旋转，再平移D.先轴对称，再平移⼆、填空题（本题共8⼩题，每题2分，共16分）9.写出⼀个⼤于且⼩于的⽆理数：．10.如图所示的⽹格是正⽅形⽹格，点到射线的距离为，点到射线的距离为，则．（填“”，“”或“”）11.⼀个不透明盒⼦中装有个红球、个⻩球和个⽩球，这些球除了颜⾊外⽆其他差别．从中随机摸出⼀个球，恰好是红球的概率为．12.若正多边形的⼀个内⻆是，则该正多边形的边数为．13.如图，在中，，分别是，上的点，．若，，，则．14.如果，那么代数式的值是．15.我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其⼤意为：现有⼀根竿和⼀条绳索，⽤绳索去量竿，绳索⽐竿⻓尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就⽐竿短尺．求绳索和竿的⻓度．设绳索⻓尺，竿⻓尺，可列⽅程组为．16.如图，是⊙的⼀条弦，是⊙上⼀动点（不与点，重合），，分别是，的中点．若，，则⻓的最⼤值为．三、解答题（本题共12⼩题，共68分）17.图图（1）下⾯是⼩⽴设计的“过直线外⼀点作这条直线的平⾏线”的尺规作图过程．已知：如图，直线及直线外⼀点．求作：直线，使得．作法：如图，①在直线上任取⼀点，连接；②以点为圆⼼，⻓为半径画弧，交直线于点；③分别以点，为圆点，⻓为半径画弧，两弧交于点（不与点重合）；④作直线．所以直线就是所求作的直线．根据⼩⽴设计的尺规作图过程．使⽤直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）（2）完成下⾯的证明．（说明：括号⾥填推理的依据）证明：连接，∵，∴四边形是（），∴（）．18.计算：．19.解不等式组：．20.（1）（2）关于的⼀元⼆次⽅程．求证：⽅程总有两个实数根．若⽅程的两个实数根都是正整数，求的最⼩值．21.（1）（2）如图，在中，，为边上⼀点，连接，为中点，连接并延⻓⾄点，使得，连接交于点，连接．求证：四边形是平⾏四边形．若，，，求的⻓．22.（1）（2）如图，是⊙的直径，过⊙上⼀点作⊙的切线，过点作于点，延⻓交⊙于点，连接，．求证：．连接，若⊙的半径为，，求的⻓．23.（1）12（2）如图，在平⾯直⻆坐标系中，函数的图象经过点，直线与轴交于点．求，的值．过第⼆象限的点作平⾏于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．当时，判断线段与的数量关系，并说明理由．若，结合函数的图象，直接写出的取值范围．24.（1）（2）（3）如图，是上⼀定点，是弦上⼀动点，为中点，连接，过点作交于点，连接，，已知，设，两点间的距离为，，两点间的距离为．（当点与点重合时，令的值为）⼩荣根据学习函数的经验，对函数随⾃变量的变化⽽变化的规律进⾏了探究．下⾯是⼩荣的探究过程，请补充完整：按照下表中⾃变量的值进⾏取点、画图、测量，得到了与的⼏组对应值：建⽴平⾯直⻆坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图形；结合函数图象，解决问题，当时，的⻓度约为．25.（1）（2）（3）为了调查学⽣对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、⼄两校各随机抽取名学⽣进⾏了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进⾏了整理、描述和分析．下⾯给出了部分信息．．甲、⼄两校名学⽣成绩的频数分布统计表如下：成绩学校甲⼄（说明：成绩分及以上为优秀，分为良好，分为合格，分以下为不合格）．甲校成绩在这⼀组的是：．甲、⼄两校成绩的平均分、中位数、众数如下：学校平均分中位数众数甲⼄根据以上信息，回答下列问题：写出表中的值．在此次测试中，某学⽣的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学⽣是校的学⽣（填“甲”或“⼄”），理由是．假设⼄校名学⽣都参加此次测试，估计成绩优秀的学⽣⼈数．26.（1）（2）（3）在平⾯直⻆坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与抛物线的对称轴交于点．求的值．求抛物线的顶点坐标．是线段上⼀动点，过点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，（点在点的左侧）．若恒成⽴，结合函数的图象，求的取值范围．27.如图，在等边中，为边的延⻓线上⼀点，平移线段，过点移动点，得到线段，为的中点，过点作的垂线，交于点，交于点．（1）（2）（3）依题意补全图形．求证：．连接并延⻓交于点⽤等式表示线段与的数量关系，并证明．28.12（1）（2）在平⾯直⻆坐标系中，正⽅形的顶点分别为，，，．对于图形，给出如下定义：为图形上任意⼀点，为正⽅形边上任意⼀点，如果，两点间的距离有最⼤值，那么称这个最⼤值为图形的“正⽅距”，记作．已知点．直接写出(点的值)．直线 ()与轴交于点，当(线段)取最⼩值时，求的取值范围．⊙的圆⼼为，半径为．若（⊙)，直接写出的取值范围．。

2019年北京石景山区初三一模数学试卷详解

出了部分信息．
．甲、乙两校名学生成绩的频数分布统计表如下：
成绩
学校
甲
乙
（说明：成绩分及以上为优秀，
分为良好，
分为合格，分以下为不合格）
/
．甲校成绩在
这一组的是：
．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：
学校
平均分
中位数
众数
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
（ 1 ）写出表中的值．
（ 2 ）在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学
，为的中点，过点作的垂线，交于点，交于点．
（ 1 ）依题意补全图形．
（ 2 ）求证：
．
/
（ 3 ）连接并延⻓交于点用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（ 1 ）画图⻅解析．
（2）
，证明⻅解析．
（3）
，证明⻅解析．
【解析】（ 1 ）如图所示：
（2）
，
．
（ 3 ）连接、、证
时，的⻓度约为
．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）画图⻅解析．（3）【解析】（ 1 ）
（2）
（ 3 ）当
时，
是
斜边中线，
∵
，
，
∴ ⻓度为
与图象交点的横坐标的值．
此时为
．
故答案为：．
25. 为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取名学生进行了相关
知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给
．．
【解析】（ 1 ）∵
经过点

2019北京石景山区初三一模数学

2019北京石景山区初三一模数学考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分，考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1 - 8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个．1．在北京筹办2022年冬奥会期间，原首钢西十筒仓一片130000平方米的区域被改建为北京冬奥组委办公区．将130000用科学记数法表示应为（A）41310⨯（B）51.310⨯（C）60.1310⨯（D）71.310⨯2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（A）三棱柱（B）三棱锥（C）长方体（D）正方体3．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A）2a>-（B）1b>（C）0a c+>（D）0abc>4．下列图案中，是中心对称图形的为（A）（B）（C）（D）5．如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，BAC DEGF21b ca–1–2–3–41234若1∠=70︒，则2∠的度数是（A ）60︒ （B ）55︒ （C ）50︒（D ）45︒6．为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，表示点A 的坐标为()1,1-，表示点B 的坐标为()32，，则表示其他位置的点的坐标正确的是7．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．（以上数据来自国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．．的是（A ）与2017年相比，2018年年末全国农村贫困人口减少了1386万人（B ）2015 ~ 2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降（C ）2015 ~ 2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000万（D ）2015 ~ 2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降1.4个百分点 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 可以看作是由△OCD 经过两次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，这个变化过程不可能．．．是（A ）先平移，再轴对称2014 ~ 2018年年末全国农村贫困人口统计图2014 ~ 2018年年末全国农村贫困发生率统计图ED CBA（B ）先轴对称，再旋转（C ）先旋转，再平移（D ）先轴对称，再平移二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．写出一个大于2且小于3的无理数： .10．右图所示的网格是正方形网格，点P 到射线OA 的距离为m ，点P 到射线OB 的距离为n ，则mn ．（填“>”，“=”或“<”）11．一个不透明盒子中装有3个红球、5个黄球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为12. 若正多边形的一个内角是135︒，则该正多边形的边数为 .13．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE ∥BC ．若6AE =，3EC =，8DE =，则BC = ．14．如果230m m --=，那么代数式211m m m m +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值是．15．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x 尺，竿长y 尺，可列方程组为 .16．如图，AB 是⊙O 的一条弦，P 是⊙O 上一动点（不与点A ，B 重合），C ，D 分别是AB ，BP 的中点．若AB = 4，∠APB = 45°，则CD 长的最大值为．三、解答题（本题共68分，第17 - 22题，每小题5分，第23 - 26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A ．求作：直线AD ，使得AD ∥l ．作法：如图2，①在直线l 上任取一点B ，连接AB ；②以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交直线l 于点C ；lA 图2l③分别以点A ，C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点D （不与点B 重合）； ④作直线AD ．所以直线AD 就是所求作的直线．根据小立设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接CD ．∵AD=CD=BC=AB ，∴四边形ABCD 是（）．∴AD ∥l （）．18．计算：()02cos3023π︒++-．19．解不等式组：()13352x x x x ⎧-<-⎪⎨+⎪⎩，≥. 20．关于x 的一元二次方程()2320x m x m -+++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m 的最小值．21．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 边上一点，连接CD ，E 为CD 中点，连接BE 并延长至点F ，使得EF ＝EB ，连接DF 交AC 于点G ，连接CF ．（1）求证：四边形DBCF 是平行四边形；（2）若30A ∠=︒，4BC =，6CF =，求CD 的长.22．如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线CD ，过点B 作BE ⊥CD于点E ，延长EB 交⊙O 于点F ，连接AC ，AF ．（1）求证：12CE AF =；（2）连接BC ，若⊙O 的半径为5，tan 2CAF ∠=，求BC 的长．CFDG EBA23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky x x=<的图象经过点()16A -，，直线2y mx =-与x 轴交于点()10B -，．（1）求k ，m 的值；（2）过第二象限的点P ()2n n -，作平行于x 轴的直线，交直线2y mx =-于点C ，交函数()0ky x x=<的图象于点D .①当1=-n 时，判断线段PD 与PC 的数量关系，并说明理由； ②若2PD PC ≥，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．24．如图，Q 是»AB 上一定点，P 是弦AB 上一动点，C 为AP 中点，连接CQ ，过点P 作PD ∥CQ 交»AB 于点D ，连接AD ，CD ．已知8AB =cm ，设A ，P 两点间的距离为x cm ，C ，D 两点间的距离为y cm ．（当点P 与点A 重合时，令y 的值为1.30）小荣根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小荣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，得到了y 与x 的几组对应值：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当DA DP ⊥时，AP 的长度约为 cm ．25．为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：（说明：成绩80分及以上为优秀，70 ~ 79分为良好，60 ~ 69分为合格，60分以下为不合格）b ．甲校成绩在70≤x ＜80这一组的是：70707071727373737475767778c ．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中n 的值；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是校的学生（填“甲”或“乙”），理由是；（3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y kx =+(0)k ≠经过点(2,3)A ，与y 轴交于点B ，与抛物线2y ax bx a =++的对称轴交于点(,2)C m . （1）求m 的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）11(,)N x y 是线段AB 上一动点，过点N 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点22(,)P x y ,33(,)Q x y （点P 在点Q 的左侧）．若213x x x <<恒成立，结合函数的图象，求a 的取值范围．27．如图，在等边△ABC 中，D 为边AC 的延长线上一点()CD AC <，平移线段BC ，使点C 移动到点D ，得到线段ED ，M 为ED 的中点，过点M 作ED 的垂线，交BC 于点F ，交AC 于点G ．（1）依题意补全图形；（2）求证：AG = CD ；（3）连接DF 并延长交AB 于点H ，用等式表示线段AH 与CG 的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点分别为(0,1)A ，(1,0)B -，(0,1)C -，(1,0)D ．对于图形M ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为正方形ABCD 边上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“正方距”，记作d (M )．（1）已知点(0,4)E ，①直接写出()d E 点的值；②直线4y kx =+(0)k ≠与x 轴交于点F ，当()d EF 线段取最小值时，求k 的取值范围；（2）⊙T 的圆心为(,3)T t ，半径为1．若()6d T <e ，直接写出t 的取值范围．B A。

2019年北京市石景山区高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合P＝{x∈R|x≥1}，Q＝{1，2}，则下列关系中正确的是（）A．P＝Q B．P⊊Q C．Q⊊P D．P∪Q＝R 2．（5分）设i是虚数单位，若复数z＝1+i，则复数z的模为（）A．1B．C．D．23．（5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．2B．4C．6D．124．（5分）若x＞0＞y，则下列各式中一定正确的是（）A．sin x＞sin y B．lnx＜ln（﹣y）C．e x＜e y D．5．（5分）中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，如图是实现该算法的程序框图，如输入的n＝2，x＝1，依次输入的a为1，2，3，运行程序，输出的s的值为（）A．1B．2C．3D．66．（5分）已知平面向量，则k＝2是与同向的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知，则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（）A．0B．505C．1010D．20208．（5分）当x∈[0，1]时，下列关于函数y＝（mx﹣1）2的图象与的图象交点个数说法正确的是（）A．当m∈[0，1]时，有两个交点B．当m∈（1，2]时，没有交点C．当m∈（2，3]时，有且只有一个交点D．当m∈（3，+∞）时，有两个交点二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α和角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则sinβ＝．10．（5分）若变量x，y满足约束条件则z＝2x﹣y的最小值为．11．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l，l与双曲线的渐近线分别交于A，B两点．若|AB|＝4，则p＝．12．（5分）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用a n表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的最少移动次数，已知a1＝1，a n＝，则解下4个圆环所需的最少移动次数a4为．13．（5分）已知集合A＝{﹣5，﹣1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是．14．（5分）在直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是单位圆x2+y2＝1上两点，|AB|＝1，则∠AOB＝；|y1+2|+|y2+2|的最大值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2且S n＝S n﹣1+2n（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求S n；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．16．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，c＝3，．（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．17．（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面AEB，且四边形ABCD为矩形．∠BAE＝90°，AE＝4，AD＝2，F，G，H分别为BE，AE，AD的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面FGH；（Ⅱ）求证：平面FGH⊥平面ADE；（Ⅲ）在线段DE求一点P，使得AP⊥FH，并求出AP的值．18．（13分）已知某单位全体员工年龄频率分布表为：经统计，该单位35岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工的年龄频率分布直方图和如图：（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求该单位男女职工的比例；（Ⅲ）若从年龄在[25，30）岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率．19．（13分）设函数，a＞0．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）当x＜1时，函数f（x）的图象恒在x轴上方，求a的最大值．20．（14分）已知椭圆的离心率为，右焦点为F（c，0），左顶点为A，右顶点B在直线l：x＝2上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．2019年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：集合P＝{x∈R|x≥1}，是数轴上x≥1的点的集合，Q＝{1，2}，是数轴上的两个点的集合，是集合P的子集，即Q⊊P．故选：C．2．【解答】解：∵z＝1+i，∴|z|＝＝．故选：B．3．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形，则其体积为＝6．故选：C．4．【解答】解：∵x＞0，∴＞0，∵y＜0，∴＜0，∴＞．故选：D．5．【解答】解：第一次a＝1，s＝1，k＝1，k＞2不成立，第二次，a＝2，s＝1+2＝3，k＝2，k＞2不成立，第三次，a＝3，s＝3+3＝6，k＝3，k＞2成立，输出s＝6，故选：D．6．【解答】解：若与同向，则＝m，（m＞0），即（k，2）＝m（1，1），则，得m＝2，k＝2，即k＝2是与同向的充要条件，故选：C．7．【解答】解：根据题意，，其周期为＝5，又由f（0）＝sin0＝0，f（1）＝sin，f（2）＝sin，f（3）＝sin，f（4）＝sin，则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0；又由函数f（x）的周期为5，则f（5）＝f（10）＝……＝f（2015）＝f（0），f（6）＝f（11）+……+f（2016）＝f（1），f（7）＝f（12）+……+f（2017）＝f（2），f（8）＝f（13）+……+f（2018）＝f（3），f（9）＝f（14）+……+f（2019）＝f（4），则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝403×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f （4）]＝0；故选：A．8．【解答】解：当x＝1时，设y＝f（x）＝（mx﹣1）2，g（x）＝，则f（1）＝（m﹣1）2．g（1）＝，f（0）＝1，g（0）＝，若，＝（m﹣1）2，则m＝0或m＝a，（2＜a＜3），A．若m∈[0，1]，则＞（m﹣1）2，≤1，此时两个函数只有一个交点，故A错误．B．当m∈（1，2）时，因为当x＝1时，＞（m﹣1）2，且g（0）＝＞1，则当x∈[0，1]时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与的图象如图所示，即当m∈（1，2]时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与的图象在x∈[0，1]无交点，故B正确，C．当m∈（2，3]时，g（0）＝＞1，此时若＞（m﹣1）2，此时两个图象交点，若≤（m﹣1）2，此时两个图象有1个交点，即C不一定正确．D．当m∈（3，+∞）时，g（0）＝＞1，此时f（1）＞g（1），此时两个函数图象只有一个交点，故D错误，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，∴sinβ＝sin（﹣α）＝﹣sinα＝﹣，故答案为：﹣．10．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（0，1）．∴z＝2x﹣y的最小值为2×0﹣1＝﹣1．故答案为：﹣1．11．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，可得A（﹣，﹣），B（﹣，），|AB|＝＝4，可得p＝8．故答案为：8．12．【解答】解：由题意，可知：a2＝2a1﹣1＝2×1﹣1＝1，a3＝2a2+2＝2×1+2＝4，a4＝2a3﹣1＝2×4﹣1＝7．故答案为：7．13．【解答】解：由题意知写出的一元二次不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，等式解集中的整数解只有一个在集合A中即可．故不等式可以是（x+4）（x﹣6）＞0．解集为{x|x＞6或x＜﹣4}．解集中只有﹣5在集合A中．故答案为：（x+4）（x﹣6）＞0．14．【解答】解：由|AB|＝1，单位圆的半径为1，则△AOB为等边三角形，故∠AOB＝；设A（cosα，sinα），知B（cos（α+），sin（α+），则；|y1+2|+|y2+2|＝4+sinα+sin（α+）＝，故；|y1+2|+|y2+2|的最大值为．故答案为：．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）因为S n＝S n﹣1+2n（n≥2，n∈N*），所以a n＝S n﹣S n﹣1＝2n（n≥2，n∈N*）．又因为a1＝2，所以a n＝2n（n∈N*）．所以．（Ⅱ），所以．16．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，，∴，∵，c＝3，由正弦定理得，∴．（Ⅱ）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B得，∴a2+2a﹣3＝0，解得a＝1或a＝﹣3（舍）∴＝．17．【解答】（本小题14分）（Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，CD∥AB，∵F，G分别为BE，AE的中点，∴FG∥AB，且FG＝，∴CD∥FG，∵CD⊄平面FGH，FG⊂平面FGH，∴CD∥平面FGH．（Ⅱ）证明：在矩形ABCD中，AD⊥AB，又∵∠BAE＝90°，∴AB⊥AE，又AD∩AE＝A∴AB⊥平面ADE，又GF∥AB∴GF⊥平面ADE，∵GF⊂平面FGH，∴平面FGH⊥平面ADE．（Ⅲ）解：作AP⊥DE于P，∵GF⊥平面ADE，且AP⊂平面ADE，∴GF⊥AP，∵G，H分别为AE，AD的中点，∴GH⊥AP∵GF∩GH＝G，∴AP⊥平面FGH，∵FH⊂平面FGH，∴AP⊥FH，∵矩形ABCD⊥平面AEB，且平面ABCD∩平面AEB＝AB，∴AE⊥平面ABCD，∴AE⊥AD，在直角三角形AED中，AE＝4，AD＝2，可求得．故AP的值为：．18．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：（a+0.01+0.04+0.08+0.025+0.025）×5＝1．所以a＝0.02．（Ⅱ）该单位[25，35）岁职工共24人，由于[25，35）岁男女职工人数相等，所以[25，35）岁的男职工共12人．由（Ⅰ）知，男职工年龄在[25，35）岁的频率为0.15，所以男职工共有人，所以女职工有140﹣80＝60人，所以男女比例为4：3．（Ⅲ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：男职工年龄在[25，30）岁的频率为0.05．由（Ⅱ）知，男职工共有80人，所以男职工年龄在[25，30）岁的有4人，分别记为A1，A2，A3，A4．又全体员工年龄在[25，30）岁的有6人，所以女职工年龄在[25，30）岁的有2人，分别记为B1，B2．从年龄在25～30岁的职工中随机抽取两人的结果共有（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）15种情况，其中一男一女的有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）8种情况，所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为．19．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f'（x）＝e x﹣a，∴f'（1）＝e﹣a，由题设知∴f'（1）＝0，即e﹣a＝0，解得a＝e．经验证a＝e满足题意．（Ⅱ）方法一：令f'（x）＝0，即e x＝a，则x＝lna，（1）当lna＜1时，即0＜a＜e对于任意x∈（﹣∞，lna）有f'（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，lna）单调递减；对于任意x∈（lna，1）有f'（x）＞0，故f（x）在（lna，1）单调递增，因此当x＝lna时，f（x）有最小值为成立．（2）当lna≥1时，即a≥e对于任意x∈（﹣∞，1）有f'（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，1）单调递减，所以f（x）＞f（1）．因为f（x）的图象恒在x轴上方，所以f（1）≥0，因为f（x）＞0，所以f（1）≥0，即a≤2e，综上，a的最大值为2e．方法二：由题设知，当x＜1时，，（1）当时，．设，则，故g（x）在（0，1）单调递减，因此，g（x）的最小值大于g（1）＝2e，所以a≤2e．（2）当时，成立．（3）当时，，因为，所以当a＝2e时成立．综上，a的最大值为2e．20．【解答】解：（Ⅰ）依题可知B（a，0），a＝2因为，所以c＝1，故椭圆C的方程为．（Ⅱ）方法一：以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可设直线AP的方程为y＝k（x+2）（k≠0）．则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k），直线方程代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0．设点P的坐标为（x0，y0），则﹣2x0＝．所以x0＝，y0＝．因为点F坐标为（1，0），①当k＝±时，点P的坐标为（1，±），直线PF的方程为x＝1，D的坐标为（2，±2）．此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1与直线PF相切．②当k≠±时，则直线PF的斜率k PF＝＝．所以直线PF的方程为y＝（x﹣1），即．点E到直线PF的距离又因为|BD|＝2R＝4|k|，故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．方法二：以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：设点P（x0，y0），则①当x0＝1时，点P的坐标为（1，±），直线PF的方程为x＝1，D的坐标为（2，±2）．此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1与直线PF相切．②当x°≠1时直线AP的方程为，点D的坐标为，BD中点E的坐标为，故直线PF的斜率为，故直线PF的方程为，即，所以点E到直线PF的距离故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．。

2019年北京市石景山区初三数学一模试题和答案(Word版,可编辑)

石景山区2019年初三统一练习暨毕业考试数学试卷1．本试卷共8 页，共三道大题，28 道小题．满分100 分，考试时间120 分钟．考2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．生3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，须选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．知4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共16 分，每小题 2 分）第1 - 8 题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个．1．在北京筹办2022 年冬奥会期间，原首钢西十筒仓一片130000 平方米的区域被改建为北京冬奥组委办公区．将130000 用科学记数法表示应为（A） 413 10 （B）51.3 10 （C）60.13 10 （D）71.3 102．如图是某几何体的三视图，该几何体是（A）三棱柱（B）三棱锥（C）长方体（D）正方体3．实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是ab c –4 01 2 3 4–3 –2 –1（A）a 2 （B）b 1 （C）a c 0 （D）abc 0 4．下列图案中，是中心对称图形的为（A ）（B）（C）（D）初三数学试卷第1 页（共14 页）5．如图，直线AB∥CD，直线EF 分别与AB，CDE 交于点E，F，EG 平分∠BEF，交CD 于点G，A B1若 1 70 ，则2的度数是（A）60 （B）55 2C DF G（C）50 （D）456．为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，表示点 A 的坐标为1, 1 ，表示点 B 的坐标为3，2 ，则表示其他位置的点的坐标正确的是北（A） C 1，0BD （B） D 3，1C （C） E 2，5AEF （D） F 5，27．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．2014 2018年年末全国农村贫困人口统计图2014 2018年年末全国农村贫困发生率统计图人数/ 万人贫困发生率/%10000 108000870176000 4000 557543353046641.40.141.41660 3.12000 21.70 02014 2015 2016 2017 2018 年份2014 2015 2016 2017 2018 年份（以上数据来自国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．．的是（A）与2017 年相比，2018 年年末全国农村贫困人口减少了1386 万人（B）2015 ~ 2018 年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降（C）2015 ~ 2018 年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000 万（D）2015 ~ 2018 年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降 1.4 个百分点初三数学试卷第2 页（共14 页）8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 可以看作是y3 A由△OCD 经过两次图形的变化（平移、轴对称、旋转）2得到的，这个变化过程不可．能．．是（A）先平移，再轴对称1B–3 1 2 3 –2 –1 O–1–2x（B）先轴对称，再旋转–3D C（C）先旋转，再平移（D）先轴对称，再平移A二、填空题（本题共16 分，每小题 2 分）9．写出一个大于 2 且小于 3 的无理数：.P 10．右图所示的网格是正方形网格，点P到射线OA 的距离为m，点P到射线OB 的距离为n，则m n．O B （填“>”，“=”或“<”）11．一个不透明盒子中装有 3 个红球、5 个黄球和 2 个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为.1.5若正多边形的一个内角是135 ，则该正多边形的边数为.A13．如图，在△ABC 中， D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE ∥BC ．若AE 6 ，EC 3 ，DE 8 ，D E则BC ．B C14．如果 2 3 0m m ，那么代数式m1 m 12m m的值是．15．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x 尺，竿长y 尺，可列方程组为.P16．如图，AB 是⊙O 的一条弦，P 是⊙O 上一动点（不与点A，B 重合），C，D 分别是AB，BP 的中点．D O若AB = 4，∠APB = 45°，则CD 长的最大值为．初三数学试卷第3 页（共14 页）A C B三、解答题（本题共68 分，第17 - 22 题，每小题 5 分，第23 - 26 题，每小题 6 分，第27，28 题，每小题7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A．A 求作：直线AD，使得AD∥l．l图1 作法：如图2，①在直线l 上任取一点B，连接A B；②以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，A交直线l 于点C；③分别以点A，C 为圆心，AB 长为半径lCB画弧，两弧交于点D（不与点 B 重合）；④作直线AD．图2所以直线AD 就是所求作的直线．根据小立设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接C D．∵AD=CD=BC=AB ，∴四边形A BCD 是（）．∴AD∥l（）．18．计算：2cos30 12 2 3 ．x 1 3 x 3，19．解不等式组：x 5x≥.220．关于x 的一元二次方程 2 x m 3 x m 2 0 ．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．第4 页（共14 页）初三数学试卷21．如图，在△A BC 中，ACB 90 ，D为A B 边上一点，连接CD，E为C D 中点，连接BE 并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF 交AC 于点G，连接CF ．（1）求证：四边形DBCF 是平行四边形；F C（2）若 A 30 ，BC 4 ，CF 6 ，求CD 的长. G EA DB 22．如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线CD，过点 B 作BE⊥CD 于点E，延长EB 交⊙O 于点F，连接AC，AF．D E C（1）求证：1CE AF ；2B（2）连接BC，若⊙O的半径为5，tan CAF 2 ，求BC的长．OF Ak 23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y x 0x 的图象经过点 A 1，6 ，直线y mx 2 与x 轴交于点 B 1，0 ．（1）求k，m 的值；（2）过第二象限的点P n，2n 作平行于x 轴的直线，交直线y mx 2 于点C，交k函数y x 0x的图象于点 D.①当n 1 时，判断线段P D 与PC 的数量关系，并说明理由；②若PD≥2PC ，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．y7A654321BO–7–6–5 1 2–4–3–2–1–1x–2–3第5 页（共14 页）初三数学试卷24．如图，Q 是AB 上一定点，P是弦AB上一动点， C 为AP中点，连接CQ ，过点P作PD∥CQ 交AB 于点D ，连接AD ，CD ．已知AB 8 cm，设A，P两点间的距离为x cm，C ，D 两点间的距离为y cm．（当点P与点A重合时，令y的值为 1.30）DQA C P B小荣根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小荣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y 与x 的几组对应值：x /cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8y /cm 1.30 1.79 1.74 1.66 1.63 1.69 2.08 2.39 （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当DA⊥DP时，AP的长度约为cm．初三数学试卷第6 页（共14 页）25．为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40 名），并对数据（成绩）进行了学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两校40 名学生成绩的频数分布统计表如下：（成绩x50≤x<60 60≤x<70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 说学校明甲 4 11 13 10 2：乙 6 3 15 14 2成绩80 分及以上为优秀，70 ~ 79 分为良好，60 ~ 69 分为合格，60 分以下为不合格）b．甲校成绩在70≤x＜80 这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：学校平均分中位数众数甲74.2 n 85乙73.5 76 84：根据以上信息，回答下列问题（1）写出表中n 的值；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74 分，在他所属学校排在前20 名，由表中数据可知该学生是校的学生（填“甲”或“乙”），理由是；（3）假设乙校800 名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．26．在平面直角坐标系x Oy 中，直线y kx 1 (k 0) 经过点A(2,3) ，与y 轴交于点B，与抛物线 2y ax bx a 的对称轴交于点 C (m,2) .（1）求m 的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）N(x , y ) 是线段A B上一动点，过点N 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点1 1P( x ,y ) , Q( x3, y3 ) （点P在点Q 的左侧）．若x2 x1 x3 恒成立，结合函数的2 2图象，求 a 的取值范围．第7 页（共14 页）初三数学试卷27．如图，在等边△ABC 中，D 为边AC 的延长线上一点(CD AC) ，平移线段BC，使点C 移动到点D，得到线段ED，M 为ED 的中点，过点M 作ED 的垂线，交BC于点F，交AC 于点G．（1）依题意补全图形；A （2）求证：AG = CD；（3）连接DF 并延长交AB 于点H，用等式表示线段AH 与CG 的数量关系，并证明．CBE M D28．在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点分别为A(0,1) ，B( 1,0) ，C (0, 1) ，D (1,0) ．对于图形M，给出如下定义：P 为图形M上任意一点，Q 为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M)．（1）已知点 E (0,4) ，①直接写出 d (点E) 的值；②直线y kx 4 (k 0) 与x 轴交于点F，当d 线段EF 取最小值时，求k 的取值范围；（2）⊙T 的圆心为T (t ,3) ，半径为1．若d ( T ) 6 ，直接写出t 的取值范围．初三数学试卷第8 页（共14 页）石景山区2019年初三统一练习暨毕业考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。

2019北京石景山区高三一模数学(文)

2019 北京石景山区高三一模数
学（文）
本试卷共 6 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．
第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
C. 3
D. 2
正（主）视图
侧（左）视
俯视图
4. 若 x 0 y ，则下列各式中一定正确的是
A. sin x sin y
B. ln x ln( y) C. ex ey
D. 1 1 xy
5. 中国南宋时期的数学家秦九韶提出了
一种多项式简化算法，右图是实现该算法的程序框图，如输入的 n 2, x 1 ，依次输入的 a 为 1， 2， 3，运行程序，输出的 s 的值为 A. 1
1. 已知集合 P { x R | x≥ 1} ， Q {1, 2} ，则下列关系中正确的是
A. P＝ Q
B. PüQ
C. QüP
2. 设 i 是虚数单位，若复数 z 1 i ，则复数 z 的模为
D. P Q R
A. 1
B. 2
3. 某几何体的三视图如右图所示，该几何
体的体积为
A. 2
B. 4
C. D. 12
3
10. 若变量 x, y 满足约束条件
x y ≥ 1, y x ≤ 1, 则 z 2x y 的最小值为 _________. x ≤ 1,
11.
已知抛物线 y2
x2 2 px( p 0) 的准线为 l ， l 与双曲线
y2 1的渐近线分别交于
4
A, B 两点．若 | AB | 4 ，则 p ______ ．

石景山区2019届高三一模数学(理)试题及答案

2019年石景山区高三统一测试数学（理）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{|1}P x x =∈R ≥，{2,3}Q =，则下列关系中正确的是 A. P ＝QB. PQC. QPD. PQ =R2. 设i 是虚数单位，若复数(1i)2i z -=，则复数z 的模为 A. 1B.2 C. 3D. 23. 某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为 A. 2 B. 6 C. 10 D. 244. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用n a 表示解下*(9,)n n n ∈N ≤个圆环所需的移动最少次数，{}n a 满足11a =，且1121,22,n n n a a a ---⎧=⎨+⎩ ，则解下4个圆环所需的最少移动次数为 A. 7B. 10C. 12D. 22正（主）视图侧（左）视图俯视图 n 为偶数 n 为奇数5. 中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，右图是实现该算法的程序框图，如输入的1,2x n ==，依次输入的a 为1，2，3，运行程序，输出的s 的值为 A. 1 B. 2C. 3D. 66. 已知平面向量(,2),(1,),a k b k k ==∈R ，则k =a 与b 同向的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 若1x y a b >>>>，则下列各式中一定正确的是 A. xya b >B. ln ln x y <C. sin sin x y >D.a b x y< 8. 已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为π6x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为 A.π6B.π3C.2π3D.4π3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 若变量,x y 满足约束条件1,1,1,x y y x x +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤则2z x y =-的最小值为_________．10. 等比数列{}n a 的首项12a =，416a =，则其前n 项和n S =_______．11. 在极坐标系中，直线sin 2ρθ=与圆4sin ρθ=的位置关系为______．（填“相交”、 “相切”或“相离”）12. 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是 ______．（只需写出一个可能的值）13. 过双曲线22221x y a b-=的一个焦点F 作其渐近线的平行线l ，直线l 与y 轴交于点P ，若线段OP 的中点为双曲线的虚轴端点（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为____．14. 在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y 和点()22,B x y ，设集合(){}22=,|1M x y x y +=，且,A B M ∈，=1AB ，则1212=x x y y +；点A , B 到x 轴距离之和的最小值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题13分）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，b =3c=，1cos 3B =-．（Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）求ABC △的面积．16. （本小题13分）某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同．（Ⅰ）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（Ⅱ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（Ⅲ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论．17. （本小题14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面AEB ，且四边形ABCD 为矩形，120BAE=∠︒，4AE=AB=，2AD=，F G ，分别为BE AE ，的中点，H 在线段BC 上（不包括端点）．（Ⅰ）求证：CD ∥平面FGH ；（Ⅱ）求证：平面DAF ⊥平面CEB ；（Ⅲ）是否存在点H ，使得二面角H GF B --的大小为π6？若存在，求BH BC ；若不存在，说明理由．18.（本小题13分）设函数()1x f x e ax =-+，0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．HE19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为(,0)F c ，左顶点为A ，右顶点B 在直线l :2x =上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．20.（本小题13分）若项数为n 的单调递增数列{}n a 满足： ①11a =；②对任意k （*k ∈N ，2k n ≤≤），存在,i j （**,i j ∈∈N N ，1i j n ≤≤≤）使得k i j a a a =+，则称数列{}n a 具有性质P .（Ⅰ）分别判断数列1,3,4,7和1,2,3,5是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）若数列{}n a 具有性质P ，且36n a =，（ⅰ）证明数列{}n a 的项数7n ≥；（ⅱ）求数列{}n a 中所有项的和的最小值．2019年石景山区高三统一测试数学（理）试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．1-；10．122n+-；11．相交；12．；13．2；14．12．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）解：(Ⅰ)在ABC中，1cos3-B=，∴sin=B=，∵b=3c=，由正弦定理sin sin=b cB C3sin3=C，∴sin3C=．(Ⅱ)由余弦定理222+2cos-b=a c ac B得2112+923()3-⨯⨯-=a a，∴2230+-a a=，解得1a=或3-a=（舍）∴1sin 2ABCS=ac B1132=⨯⨯= 16．（本小题13分）解：(Ⅰ)设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球”为事件A ．则23241()2C P A C ==．(Ⅱ)ξ可能取0，1，2，3，4．0044331(0)()(1)44256P C ξ==-=，1134333(1)()(1)4464P C ξ==-=， 22243327(2)()(1)44128P C ξ==-=，33143327(3)()(1)4464P C ξ==-=， 44043381(4)()(1)44256P C ξ==-=．所以ξ的分布列为（Ⅲ）75． 17．（本小题14分）（Ⅰ）证明：在矩形ABCD 中，CD ∥AB ，∵F G ，分别为BE AE ，的中点，∴FG ∥AB ，且FG 12=AB ， ∴CD ∥FG ， ∵⊄CD 平面FGH ，⊂FG 平面FGH ，∴CD ∥平面FGH ．（Ⅱ）证明：在矩形ABCD 中，⊥AD AB ，∵矩形⊥ABCD 平面AEB ，且平面ABCD平面AEB=AB ，∴⊥AD 平面AEB ，又⊂BE 平面AEB ， ∴⊥AD BE ，∵AE =AB ，F 为BE 的中点， ∴⊥AF BE ，又ADAF =A ，∴⊥BE 平面ADF ， ∵⊂BE 平面CEB ， ∴平面⊥DAF平面CEB ．（Ⅲ）在平面ABE 内作AB 空间直角坐标系A xyz -，∵o120∠BAE =，4AE=AB=，∴(000)A ，，，(040)B ，，，(04C ，20)-E ，，10)-G ，，F 设BH=BCλ，∴(002)(002)λλλ==BH =BC ，，，，， ∴(042)λH ，，， ∴=(020)GF ，，，(32)λFH =，设平面FGH 的法向量为=()n x y z ，，，∴00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n GF n FH ，，即20320λ=⎧⎪⎨=⎪⎩y y+z ，，令2λ=x ，则=z∴=(20λn 是平面FGH 的一个法向量， ∵⊥AD 平面AEB ，∴平面AEB 的法向量为(002)=AD ，，， ∵二面角--H GF B 的大小6π∴|cos >|=<=n AD ，，解得12λ=±，∵H 在BC 上，∴12λ=． 18．（本小题13分）解：（Ⅰ）()e 1=-+x f x axa e x f x -='∴)(，a e f -='∴)1(，由题设知(1)0f '=，即0=-a e ，解得e a =．经验证e a=满足题意。

2019年北京市石景山区高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2019年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A．[0，1]B．（0，1）C．（0，1]D．[0，1）2．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x3C．D．y=x|x|4．如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞5 B．i＜5 C．i＞6 D．i＜65．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B． C．10 D．6．在数列{a n}中，“|a n+1|＞a n”是“数列{a n}为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．函数的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为（）A．y=sin2x B． C． D．y=cos2x8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（）A．4 B．6 C．32 D．128二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线=1的焦距是_______，渐近线方程是_______．10．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值_______．11．如图，AB是半圆O直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=4，则点O到AC的距离OD=_______．12．在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（s为参数），曲线C的参数方程为（t为参数），若直线l与曲线C相交于A，B两点，则|AB|=_______．13．已知函数f（x）=，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_______．14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．16．我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购6S100，统计结果如下表所示：并解决以下问题：（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款（即全款），其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X表示销售一部苹果6S手机的利润，求X的分布列及数学期望．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D 为AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥平面BDC1？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．18．已知函数f（x）=sinx﹣xcosx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）若f（x）＞kx﹣xcosx对恒成立，求实数k的最大值．19．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线通过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．20．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{a n}的前n项和S n=a m，则称{a n}是“回归数列”．（Ⅰ）①前n项和为的数列{a n}是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为b n=2n的数列{b n}是否是“回归数列”？并请说明理由；（Ⅱ）设{a n}是等差数列，首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“回归数列”，求d的值；（Ⅲ）是否对任意的等差数列{a n}，总存在两个“回归数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立，请给出你的结论，并说明理由．2019年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A．[0，1]B．（0，1）C．（0，1]D．[0，1）【考点】交集及其运算．【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）．故选D．2．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．【解答】解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x3C．D．y=x|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】逐个分析函数的单调性与奇偶性判断．【解答】解：y=x+1不是奇函数，y=﹣x3在R上是减函数，y=在定义域上不是增函数，y=x|x|=，故y=x|x|是增函数且为奇函数．故选：D．4．如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞5 B．i＜5 C．i＞6 D．i＜6【考点】程序框图．【分析】由本程序的功能是计算的值，由S=S+，故我们知道最后一次进行循环时的条件为i=5，当i＞5应退出循环输出S的值，由此不难得到判断框中的条件．【解答】解：∵S=，并由流程图中S=S+，故循环的初值为1，终值为5，步长为1，故经过5次循环才能算出S=的值，故i≤5，应不满足条件，继续循环，∴应i＞5，应满足条件，退出循环，填入“i＞5”．故选：A．5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B． C．10 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值，10．故选C．6．在数列{a n}中，“|a n+1|＞a n”是“数列{a n}为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】数列的函数特性．【分析】由“|a n+1|＞a n”⇔a n+1＞a n；或﹣a n+1＞a n．由数列{a n}为递增数列⇔|a n+1|≥a n+1＞a n．即可判断出结论．【解答】解：由“|a n+1|＞a n”⇔a n+1＞a n；或﹣a n+1＞a n充分性不成立，，必要性成立，由数列{a n}为递增数列⇔|a n+1|≥a n+1＞a n成立∴“|a n+1|＞a n”是“数列{a n}为递增数列”的必要不充分条件．故选：B．7．函数的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为（）A．y=sin2x B． C． D．y=cos2x【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由函数的图象可得A=1，T=•=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，∴函数f（x）=sin（2x+）．∴将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故选：C．8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（）A．4 B．6 C．32 D．128【考点】分析法和综合法；归纳推理．【分析】利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求出n的所有可能的取值．【解答】解：如果正整数n按照上述规则施行变换后的第八项为1，则变换中的第7项一定是2，变换中的第6项一定是4；变换中的第5项可能是1，也可能是8；变换中的第4项可能是2，也可是16，变换中的第4项是2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或16变换中的第4项是16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128，21或20，3则n的所有可能的取值为2，3，16，20，21，128共6个，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．10．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值10．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线过B（4，2）时直线在y轴上的截距最大，z最大，为z=2×4+2=10．故答案为：10．11．如图，AB是半圆O直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=4，则点O到AC的距离OD=3．【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定．【分析】首先过O作AC的垂线段OD，再利用两个角对应相等得到三角形相似，利用三角形相似的性质得到比例式，根据直角三角形中特殊角的三角函数，求出O到AC的距离【解答】解：过O做AC的垂线，垂足是D，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∵OD⊥AC，在△ABC与△ADO中，∴∠ADO=90°，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADO，∴；在△ABC中，∠BAC=30°，∴AC=2BC=8，AB==12，∴OA=6=BO，∴OD=．故答案为：312．在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（s为参数），曲线C的参数方程为（t为参数），若直线l与曲线C相交于A，B两点，则|AB|=．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】直线l的参数方程为（s为参数），消去参数s可得普通方程．曲线C 的参数方程为（t为参数），消去参数化为普通方程．联立解得交点坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：直线l的参数方程为（s为参数），消去参数s可得普通方程：x+y ﹣2=0．曲线C的参数方程为（t为参数），消去参数化为：y=（x﹣2）2，联立，解得，或．．取A（2，0），B（1，1），则|AB|==．故答案为：．13．已知函数f（x）=，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【考点】函数的零点．【分析】由f（x）+x﹣a=0得f（x）=﹣x+a，作出函数f（x）和y=﹣x+a的图象，由数形结合即可得到结论．【解答】解：由f（x）+x﹣a=0得f（x）=﹣x+a，∵f（x）=，∴作出函数f（x）和y=﹣x+a的图象，则由图象可知，要使方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则a＞1，故答案为：（1，+∞）14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得【考点】进行简单的合情推理．【分析】由已知得第3、4题应为一对一错，所以丙和丁得分相同，即可得出结论．【解答】解：因为由已知得第3、4题应为一对一错，所以丙和丁得分相同，所以，丁的得分也是6分．故答案为：6三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，化简整理即可得出．（2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入计算即可得出．【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．16．我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购6S100，统计结果如下表所示：并解决以下问题：（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款（即全款），其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X表示销售一部苹果6S手机的利润，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意得，由此能求出a，b．（Ⅱ）设事件A为“购买一部手机的说名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1，由此能求出“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率．（Ⅲ）记分期付款的期数为ξ，依题意得P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，X的可能取值为1000元，1500元，2000元，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，∴a=15，又35+25+a+10+b=100，解得b=15．（Ⅱ）设事件A为“购买一部手机的说名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1，∴P（A）==0.243．（Ⅲ）记分期付款的期数为ξ，依题意得P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，∵X的可能取值为1000元，1500元，2000元，P（X=1000）=P（ξ=1）=0.35，P（X=1500）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4，P（X=2000）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.25，17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D 为AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥平面BDC1？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）根据线面垂直的性质定理，建立方程关系进行求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD，∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点，又D是AC的中点，∴OD∥AB1，∵AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系如图，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0），设=（x，y，z）是平面BDC1的一个法向量，则，令x=1，则=（1，，），则=（0，3，0）是平面ABC的一个法向量，则cos＜，＞===﹣，由题意知二面角C1﹣BD﹣C是锐二面角，∴二面角C1﹣BD﹣C的余弦值为．假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0），（0≤y≤3）使CP⊥平面BDC1，则，即，即，此时方程组无解，∴假设不成立，即侧棱AA1上是不存在点P，使得CP⊥平面BDC1．18．已知函数f（x）=sinx﹣xcosx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）若f（x）＞kx﹣xcosx对恒成立，求实数k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（π），f（π），求出切线方程即可；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣x3，，求出g（x）的单调性，从而证出结论；（Ⅲ）问题转化为k＜对恒成立，令m（x）=，，根据函数的单调性求出k的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx﹣xcosx，f′（x）=xsinx，f′（π）=0，f（π）=π，故切线方程是y﹣π=0；（Ⅱ）证明：令g（x）=f（x）﹣x3，，g′（x）=x（sinx﹣x），令h（x）=sinx﹣x，h′（x）=cosx﹣1＜0，∴h（x）在递减，故h（x）＜h（0）=0，∴g′（x）＜0，g（x）递减，∴g（x）＜g（）=＜0，故当时，成立；（Ⅲ）若f（x）＞kx﹣xcosx对恒成立，即k＜对恒成立，令m（x）=，，m′（x）=＜0，∴m（x）在（0，）递减，m（x）＞m（）=，故k≤．k的最大值是．19．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线通过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆短轴长为2，离心率为，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C 的标准方程．（Ⅱ）联立方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式能求出S△AOB的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的短轴长为2，离心率为，∴由已知可得，解得a2=2，b2=1．故椭圆C的标准方程=1．（Ⅱ）联立方程，消y得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．当△=8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2+1＞m2①时，x1+x2=，x1•x2=．∴=，=．又=﹣，化简整理得：2k2+1=2m②．代②入①得：0＜m＜2．又原点O到直线AB的距离为d=．|AB|=|x1﹣x2|=2•．∴S△AOB=|AB|d=，且0＜m＜2，所以当m=1，即k2=时，S△AOB取得最大值．20．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{a n}的前n项和S n=a m，则称{a n}是“回归数列”．（Ⅰ）①前n项和为的数列{a n}是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为b n=2n的数列{b n}是否是“回归数列”？并请说明理由；（Ⅱ）设{a n}是等差数列，首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“回归数列”，求d的值；（Ⅲ）是否对任意的等差数列{a n}，总存在两个“回归数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立，请给出你的结论，并说明理由．【考点】数列的应用．【分析】（1）利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n，当n=1时，a1=S1”即可得到a n，再利用“回归﹣1数列”的意义即可得出，②b n=2n，S n=n2+n=n（n+1），n（n+1）为偶数，即可证明数列{b n}是“回归数列”；（2）利用等差数列的前n项和即可得出S n，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{a n}的公差为d，构造数列：b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，c n=（n﹣1）（a1+d），可证明{b n}和{c n}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“回归数列”；即可得出．=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，【解答】解：（Ⅰ）①当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，a1=S1=2．当n≥2时，S n=a n+1．∴数列{a n}是“回归数列”；②b n=2n，前n项和S n，S n=n2+n=n（n+1），∵n（n+1）为偶数，∴存在2m=n（n+1），即m=，数列{b n}是否是“回归数列”；（2）S n=na1+d=n+d，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，即n+d=1+（m﹣1）d，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得m=2+，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．（3）设{a n}的公差为d，令b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，b n+1﹣b n=﹣a1，c n=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，c n+1﹣c n=a1+d，则b n+c n=a1+（n﹣1）d=a n，且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n=na1+（﹣a1），令T n=（2﹣m）a1，则m=+2．当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使T n=b m成立，即{b n}为“回归数列”；．数列{c n}的前n项和R n=（a1+d），令c m=（m﹣1）（a1+d）=R n，则m=+1．∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使R n=c m成立，即{c n}为“回归数列”；．因此命题得证．2019年9月8日。

2019年北京市石景山区中考数学一模试卷(解析版)

2019年北京市石景山区中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．在北京筹办2022年冬奥会期间，原首钢西十筒仓一片130000平方米的区域被改建为北京冬奥组委办公区．将130000用科学记数法表示应为（）A．13×104B．1.3×105C．0.13×106D．1.3×1072．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．三棱柱B．三棱锥C．长方体D．正方体3．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣2B．|b|＞1C．a+c＞0D．abc＞04．下列图案中，是中心对称图形的为（）A．B．C．D．5．如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．60°B．55°C．50°D．45°6．为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示点A 的坐标为（1，﹣1），表示点B的坐标为（3，2），则表示其他位置的点的坐标正确的是（）A．C（﹣1，0）B．D（﹣3，1）C．E（﹣2，﹣5）D．F（5，2）7．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．（以上数据来自国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）A．与2017年相比，2018年年末全国农村贫困人口减少了1386万人B．2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降C．2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000万D．2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降1.4个百分点8．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是由△OCD经过两次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，这个变化过程不可能是（）A．先平移，再轴对称B．先轴对称，再旋转C．先旋转，再平移D．先轴对称，再平移二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．请你写出一个大于2小于3的无理数是．10．如图所示的网格是正方形网格，点P到射线OA的距离为m，点P到射线OB的距离为n，则m n．（填“＞”，“＝”或“＜”）11．一个不透明盒子中装有3个红球、5个黄球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为．12．正多边形的一个内角为135°，则该正多边形的边数为．13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC．若AE＝6，EC＝3，DE＝8，则BC＝．14．如果m2﹣m﹣3＝0，那么代数式的值是．15．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x尺，竿长y尺，可列方程组为．16．如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若AB＝4，∠APB＝45°，则CD长的最大值为．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点A．求作：直线AD，使得AD∥l．作法：如图2，①在直线l上任取一点B，连接AB；②以点B为圆心，AB长为半径画弧，交直线l于点C；③分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D（不与点B重合）；④作直线AD．所以直线AD就是所求作的直线．根据小立设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接CD．∵AD＝CD＝BC＝AB，∴四边形ABCD是（）．∴AD∥l（）．18．（5分）计算：．19．（5分）解不等式组：20．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．21．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF．（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；（2）若∠A＝30°，BC＝4，CF＝6，求CD的长．22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线CD，过点B作BE⊥CD于点E，延长EB交⊙O于点F，连接AC，AF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接BC，若⊙O的半径为5，tan∠CAF＝2，求BC的长．23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点A（﹣1，6），直线y＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．（1）求k，m的值；（2）过第二象限的点P（n，﹣2n）作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数的图象于点D．①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；②若PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．24．（6分）如图，Q是上一定点，P是弦AB上一动点，C为AP中点，连接CQ，过点P作PD ∥CQ交于点D，连接AD，CD．已知AB＝8cm，设A，P两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，令y的值为1.30）小荣根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小荣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当DA⊥DP时，AP的长度约为cm．25．（6分）为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）b．甲校成绩在70≤x＜80这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中n的值；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是校的学生（填“甲”或“乙”），理由是；（3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+1（k≠0）经过点A（2，3），与y轴交于点B，与抛物线y＝ax2+bx+a的对称轴交于点C（m，2）．（1）求m的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）N（x1，y1）是线段AB上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点P（x2，y2），Q（x3，y3）（点P在点Q的左侧）．若x2＜x1＜x3恒成立，结合函数的图象，求a的取值范围．27．（7分）如图，在等边△ABC中，D为边AC的延长线上一点（CD＜AC），平移线段BC，使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC 于点G．（1）依题意补全图形；（2）求证：AG＝CD；（3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（﹣1，0），C （0，﹣1），D（1，0）．对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD 边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．（1）已知点E（0，4），①直接写出d（点E）的值；②直线y＝kx+4（k≠0）与x轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；（2）⊙T的圆心为T（t，3），半径为1．若d（⊙T）＜6，直接写出t的取值范围．2019年北京市石景山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将130000用科学记数法可表示为1.3×105．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．【分析】该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为三角形，易得出该几何体的形状．【解答】解：该几何体的左视图为矩形，主视图亦为矩形，俯视图是一个三角形，则可得出该几何体为三棱柱．故选：A．【点评】主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．3．【分析】根据实数在数轴上的位置判断a，b，c正负性和大小即可解题．【解答】解：由图可知：﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，3＜c＜4；则：a＜﹣2，A错误；|b|＜1，B错误；a+c＞0，C正确；abc＜0，D错误；故选：C．【点评】本题主要考查实数与数轴，关键是利用数轴判断字母的正负性，绝对值的大小．4．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；B、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．【分析】根据平行线的性质和角平分线定义得到∠2＝∠GEF，再根据平行线的性质求出∠2即可．【解答】解：∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝∠GEF，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠2，∴∠2＝∠GEF，∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠GEF＝180°，∴∠2＝（180°﹣70°）＝55°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠2＝∠GEF，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．6．【分析】根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可．【解答】解：根据点A的坐标为（1，﹣1），表示点B的坐标为（3，2），可得：C（0，0），D（﹣3，1），E（﹣5，﹣2），F（5，﹣3），故选：B．【点评】此题考查坐标确定位置，本题解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向．7．【分析】用2017年年末全国农村贫困人口数减去2018年年末全国农村贫困人口数，即可判断A；根据2014～2018年年末全国农村贫困发生率统计图即可判断B、D；根据2014～2018年年末全国农村贫困人口率统计图，分别计算2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量，即可判断C．【解答】解：A、3046﹣1660＝1386，故本选项推断合理；B、根据2014～2018年年末全国农村贫困发生率统计图，可得2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降，故本选项推断合理；C、7017﹣5575＝1442＞1000，5575﹣4335＝1240＞1000，4335﹣3046＝1289＞1000，3046﹣1660＝1386＞1000，故本选项推断合理；D、根据2014～2018年年末全国农村贫困发生率统计图，可得2015～2016年年末全国农村贫困发生率下降5.7﹣4.5＝1.2个百分点，故本选项推断不合理；故选：D．【点评】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况．8．【分析】根据轴对称的性质，平移的性质即可得到由△ABO得到△OCD的过程．【解答】解：将△ABO沿y轴向左翻折，再沿y轴向下平移3个单位长度得到△OCD，或先沿y 轴向下平移3个单位长度，再沿y轴向左翻折得到△OCD，或先将△ABO沿x轴向下翻折，再旋转得出△OCD故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣轴对称，坐标与图形变化﹣平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据算术平方根的性质可以把2和3写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可．【解答】解：∵2＝，3＝，∴写出一个大于2小于3的无理数是等．故答案为等．本题答案不唯一．【点评】此题考查了无理数大小的估算，熟悉算术平方根的性质．10．【分析】根据勾股定理和平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：设OP经过格点C，∵点C到OA的距离为为，点C到OB的距离为1，过P作PG⊥OA于G，过P作PH⊥OB于H，∴CE∥PG，CF∥PH，∴＝＝，∴＝＝＝，∴m＞n，故答案为：＞．【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是利用勾股定理解答．11．【分析】由一个不透明的盒子中装有3个红球、5个黄球和2个白球，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一个不透明的盒子中装有3个红球、5个黄球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差别，∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为：＝．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．12．【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角是135°，∴该正多边形的一个外角为45°，∵多边形的外角之和为360°，∴边数n＝＝8，∴该正多边形为正八边形，故答案为8．【点评】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°，此题难度不大．13．【分析】由DE∥BC则可以得出△ADE∽△ABC，于是可得＝，根据已知数据即可求出BC的长．【解答】解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴＝而AE＝6，EC＝3，DE＝8则＝∴BC＝12故答案为12．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，平行、比例、相似三者之间的相互推出关系是解题中常用的思路．14．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝•＝m（m﹣1）当m2﹣m＝3时，原式＝3，故答案为：3【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算，本题属于基础题型．15．【分析】设绳索长x尺，竿长y尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设绳索长x尺，竿长y尺，根据题意得：．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．16．【分析】由三角形中位线定理可得CD＝AP，即当AP为直径时，CD长最大，由直角三角形的性质可求AP的长，即可求解．【解答】解：∵C，D分别是AB，BP的中点∴CD＝AP，当AP为直径时，CD长最大，∵AP为直径，∴∠ABP＝90°，且∠APB＝45°，AB＝4，∴AP＝4∴CD长的最大值为2故答案为2【点评】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，熟练运用圆周角定理是本题的关键．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】（1）根据要求作图即可得；（2）由菱形的判定及其性质求解可得．【解答】解：（1）补全的图形如图所示：（2）证明：连接CD．∵AD＝CD＝BC＝AB，∴四边形ABCD是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）．∴AD∥l（菱形的对边平行）故答案为：菱形，四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对边平行．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握菱形的判定与性质．18．【分析】先分别计算三角函数值、零指数幂、绝对值，然后算加减法．【解答】解：原式＝＝．【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握三角函数值、零指数幂、绝对值的运算是解题的关键．19．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：解不等式x﹣1＜3（x﹣3），得x＞4．解不等式，得x≥5．∴原不等式组的解集为x≥5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20．【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；（2）根据题意得到x＝1和x＝m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．【解答】（1）证明：依题意，得△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝m2+6m+9﹣4m﹣8＝m+1）2．∵（m+1）2≥0，∴△≥0．∴方程总有两个实数根．（2）解：解方程，得x1＝1，x2＝m+2，∵方程的两个实数根都是正整数，∴m+2≥1．∴m≥﹣1．∴m的最小值为﹣1．【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．21．【分析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；（2）由平行四边形的性质可得CF∥AB，DF∥BC，可得∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD ＝∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得FG，CG，GD的长，由勾股定理可求CD的长．【解答】证明：（1）∵点E为CD中点，∴CE＝DE．∵EF＝BE，∴四边形DBCF是平行四边形．（2）∵四边形DBCF是平行四边形，∴CF∥AB，DF∥BC．∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°．在Rt△FCG中，CF＝6，∴，．∵DF＝BC＝4，∴DG＝1．在Rt△DCG中，CD＝＝2【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用直角三角形的性质求线段CG的长度是本题的关键．22．【分析】（1）连接CO并延长交AF于点G，可得四边形CEFG是矩形，则GF＝CE，再由垂径定理可知GF＝AF，于是可证CE＝AF；（2）可以通过圆周角定理得∠CBA＝∠CAF，从而在直角三角形ABC中可解出BC的长．【解答】（1）证明：连接CO并延长交AF于点G，如下图∵CD是⊙O的切线，∴∠ECO＝90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°．∵BE⊥CD，∴∠CEF＝90°．∴四边形CEFG是矩形．∴GF＝CE，∠CGF＝90°．∴CG⊥AF．∴．∴．即得证．（2）解：连接BC，如下图∵CG⊥AF，∴．∴∠CBA＝∠CAF．∴tan∠CBA＝tan∠CAF＝2．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．在Rt△CBA中，设BC＝x，AC＝2x，则．∴x＝2即BC的长为2．【点评】本题考查的是圆周角定理与垂径定理，在解决圆的相关问题中，这两个定理是基本定理，应用非常多，灵活运用是解题的关键．23．【分析】（1）把A（﹣1，6）代入函数，即可求出k；把点B（﹣1，0）代入直线y＝mx﹣2，即可求出m；（2）①求出PC和PD，即可判断PC和PD之间的关系；②求出P点y值的取值范围，即可n的取值范围．【解答】解：（1）∵函数的图象经过点A（﹣1，6），∴k＝﹣6．∵直线y＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0），∴m＝﹣2．（2）①判断：PD＝2PC．理由如下：当n＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2），∵y＝﹣2x﹣2交于于点C，且点P（﹣1，2）作平行于x轴的直线，∴点C的坐标为（﹣2，2），∵函数的图象于点D，且点P（﹣1，2）作平行于x轴的直线，点D的坐标为（﹣3，2）．∴PC＝1，PD＝2．∴PD＝2PC．②当PD＝2PC时，y＝2，若PD≥2PC，0≤y≤2，即0≤﹣2n≤2解得﹣1≤n＜0．【点评】本题主要考查了反比例函数上点的坐标特点，熟悉反比例函数图象上点的特点是解答此题的关键．24．【分析】（1）通过取点、画图、测量可得；（2）依据表格中的数据描点、连线即可得；（3）由DA⊥DP，CQ∥DP知CQ⊥AD，结合AC＝PC＝AP＝x得DC＝AC，即y＝x，据此在函数图象中作出y＝x（x≥0），可得两函数图象交点的横坐标即为所求．【解答】解：（1）通过取点、画图、测量可得（2）画出该函数的图象如下：（3）∵DA⊥DP，CQ∥DP，∴CQ⊥AD，∵AC＝PC＝AP＝x，∴DC＝AC，即y＝x，在函数图象中作出y＝x（x≥0），可得两函数图象交点的横坐标约为3.31，即AP＝3.31，故答案为：3.31．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．25．【分析】（1）根据中位数的定义求解可得；（2）根据甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【解答】解：（1）这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数，所以中位数n＝＝72.5；（2）甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分，所以该学生在甲校排在前20名，在乙校排在后20名，而这名学生在所属学校排在前20名，说明这名学生是甲校的学生．故答案为：甲，甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分．（3）在样本中，乙校成绩优秀的学生人数为14+2＝16．假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数为．【点评】本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．26．【分析】（1）将点A坐标代入y＝kx+1求出k＝1，再根据直线过点C即可求得m的值；（2）由（1）得出抛物线对称轴为x＝1，据此知b＝﹣2a，代入得y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，从而得出答案；（3）当a＞0时，画出图形．若抛物线过点B（0，1）知a＝1．结合函数图象可得0＜a＜1．a ＜0时显然不成立．【解答】解：（1）∵y＝kx+1（k≠0）经过点A（2，3），∴2k+1＝3，解得k＝1．∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+a的对称轴交于点C（m，2），∴m＝1．（2）∵抛物线y＝ax2+bx+a的对称轴为x＝1，∴，即b＝﹣2a．∴y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2．∴抛物线的顶点坐标为（1，0）．（3）当a＞0时，如图，若抛物线过点B（0，1），则a＝1．结合函数图象可得0＜a＜1．当a＜0时，不符合题意．综上所述，a的取值范围是0＜a＜1．【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质及直线与抛物线相交的问题．27．【分析】（1）补全的图形如图1所示；（2）根据直角三角形30度角的性质得：DG＝2DM＝DE，得DG＝AC，可得结论；（3）作辅助线，证明四边形BEDC是平行四边形和△BEF≌△BHF（ASA），可得结论．【解答】解：（1）补全的图形如图1所示．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA．∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°．由平移可知ED∥BC，ED＝BC．∴∠ADE＝∠ACB＝60°．∵∠GMD＝90°，如图1，∴DG＝2DM＝DE．∵DE＝BC＝AC，∴DG＝AC．∴AG＝CD．（3）线段AH与CG的数量关系：AH＝CG．证明：如图2，连接BE，EF．∵ED＝BC，ED∥BC，∴四边形BEDC是平行四边形．∴BE＝CD，∠CBE＝∠ADE＝∠ABC．∵GM垂直平分ED，∴EF＝DF．∴∠DEF＝∠EDF．∵ED∥BC，∴∠BFE＝∠DEF，∠BFH＝∠EDF．∴∠BFE＝∠BFH．∵BF＝BF，∴△BEF≌△BHF（ASA）．∴BE＝BH＝CD＝AG．∵AB＝AC，∴AH＝CG．【点评】本题考查平移变换、等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键灵活应用所学知识解决问题，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．28．【分析】（1）①由题意得点E到正方形ABCD边上C点间的距离最大值，EC＝5，即d（点E）的值为5②由d（点E）＝5得出d（线段EF）的最小值是5，得出符合题意的点F满足d（点F）≤5，求出当d（点F）＝5时，BF1＝DF2＝5，得出点F1的坐标为（4，0），点F2的坐标为（﹣4，0），代入y＝kx+4求出k的值，再结合函数图象即可得出结果；（2）⊙T的圆心为T（t，3），半径为1，当d（⊙T）＝6时，CM＝CN＝6，OH＝3，得出T1C＝TC＝5，CH＝OC+OH＝4，由勾股定理求出T1H＝＝3，TH＝＝3，即可得出结果．【解答】解：（1）①∵正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0），点E（0，4）在y轴上，∴点E到正方形ABCD边上C点间的距离最大值，EC＝5，即d（点E）的值为5；②如图1所示：∵d（点E）＝5，∴d（线段EF）的最小值是5，∴符合题意的点F满足d（点F）≤5，当d（点F）＝5时，BF1＝DF2＝5，∴点F1的坐标为（4，0），点F2的坐标为（﹣4，0），将点F1的坐标代入y＝kx+4得：0＝4k+4，解得：k＝﹣1，将点F2的坐标代入y＝kx+4得：0＝﹣4k+4，解得：k＝1，∴k＝﹣1或k＝1．∴当d（线段EF）取最小值时，EF1直线y＝kx+4中k≤﹣1，EF2直线y＝kx+4中k≥1，∴当d（线段EF）取最小值时，k的取值范围为：k≤﹣1或k≥1；（2）⊙T的圆心为T（t，3），半径为1，当d（⊙T）＝6时，如图2所示：CM＝CN＝6，OH＝3，∴T1C＝TC＝5，CH＝OC+OH＝1+3＝4，∴T1H＝＝＝3，TH＝＝＝3，∴d（⊙T）＜6，t的取值范围为：﹣3＜t＜3．【点评】本题是圆的综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、新定义、一次函数解析式的求法以及圆的有关知识；本题综合性强，理解新定义是解题的关键．。

中华题库2019年北京市石景山区初三数学一模试题和答案(Word版,可编辑)

已知：如图外一点 A ．
求作：直线 AD ，使得 AD ∥ l ．
1，直线 l 及直线 l
A
l
图 1
作法：如图 2 ，
① 在直线 l 上任取一点 B ，连接 AB ；
② 以点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，
A
交直线 l 于点 C ；
③ 分别以点 A ， C 为圆心， AB 长为半径
l
B
学校
平均分
中位数
众数
甲
74.2
n
85
乙
73.5
76
84
根据以上信息，回答下列问题：
（ 1 ）写出表中 n 的值；
（ 2 ）在此次测试中，某学生的成绩是
学校排在前
20 名，由表中
74 分，在他所属
数据可知该学生是理由是
校的学生（填“甲”或“乙” ；
），
（ 3 ）假设乙校 800 名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．
1, 1 ，表示点
其他位置的点的坐标正确的是北
（A ）
C
1 ，0
（ B）
D
3 ，1
（ C） E 2， 5
D E
B
C
A F
（ D） F 5 ，2
7 ．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中 “贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．
201
4
2018 年年末全国农村贫困人口统计图
函数 y k x 0 的图象于点 D.
x
①当 1 时，判断线段 PD 与 PC 的数量关系，并说明
n
理由；
②若 PD ≥2 PC ，结合函数的图象，

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