浙大版概率论与数理统计答案---第七章

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概率论与数理统计及其应用课后答案第二版浙大版4-7章

第4章正态分布1，（1）设)1,0(~N Z ，求}24.1{≤Z P ，}37.224.1{≤<Z P ，}24.137.2{-≤<-Z P ；（2）设)1,0(~N Z ，且9147.0}{=≤a Z P ，0526.0}{=≥b Z P ，求b a ,。

解：（1）8925.0)24.1(}24.1{=Φ=≤Z P ，0986.08925.09911.0)24.1()37.2(}24.1{}37.2{}37.224.1{=-=Φ-Φ=≤-≤=≤<Z P Z P Z P 0986.0)]37.2(1[)]24.1(1[)37.2()24.1(}24.137.2{=Φ--Φ-=-Φ--Φ=-≤<-Z P（2）)37.1(9147.0}{Φ==≤a Z P ，所以37.1=a ；}{10526.0}{b Z P b Z P <-==≥，所以)62.1(9474.0}{Φ==<b Z P ，即62.1=b 。

2，设)16,3(~N X ，求}84{≤<X P ，}50{≤≤X P 。

解：因为)16,3(~N X ，所以)1,0(~43N X -。

2957.05987.08944.0)25.0()25.1(}43843434{}84{=-=Φ-Φ=-≤-<-=≤<X P X P 4649.0)7734.01(6915.0)430()435(}50{=--=-Φ--Φ=≤≤X P 。

3，（1）设)36,25(~N X ，试确定C ，使得9544.0}25{=≤-C X P 。

（2）设)4,3(~N X ，试确定C ，使得95.0}{≥>C X P 。

解：（1）因为1)6(2)6()6(}25{}25{-Φ=-Φ-Φ=≤-≤-=≤-C C CC X C P C X P所以得到9772.0)6(=ΦC ,即0.26=C，0.12=C 。

浙大版数理统计第七章

例某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试件作横纹抗压力试验，得数据如下（单位：公斤/ 平方厘米）： 482，493，457，471，510， 446，435，418，394，469 试例对P7该4例木1材平均横纹抗压力
进行区间估计（ 0.05）.
解 2未知，用区间
( X t /2 (n 1)
其中 1，试分别用矩估计法
0 其他
f
(
x)
(
1)x
,0
(
x 1
0)
例设总体X的概率密度为
得的矩估计量为ˆ
1 2X
X。 1
令E( X
)
A1,即
2 1
X
,
0 1
(1
)
x
dx
1
2 1
，
E( X ) xf (x; )dx
解
d 1 i1 ln xi ,令 d 0
d ln L n
2
2
2
2
n i1
n
1 E(X ) 1 n E(X )
n
n i1
n i1
(2)E( X ) E( 1 X i ) 1 E( X i )
n
n
解 (1)E( X i ) E( X ) .
设
1( X1, X2 ,..., Xn ),2 ( X1, X2 ,..., Xn )
均为参数的无偏估计，如果对于任意，有
2
2
(2) X是的无偏估计( )；
(1) X i是的无偏√估√ 计(对 )；
判断：
对
X的样本，E( X ) , D(否X ) 2
例设X 1, X 2 ,...,X n是来否自总体

浙江大学概率论与数理统计第七章

第一节
点估计
一、点估计问题的提法
二、估计量的求法三、小结
一、点估计问题的提法
设总体 X 的分布函数形式已知, 但它的一个或多个参数为未知, 借助于总体 X 的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题. 例1
在某炸药制造厂, 一天中发生着火现象的
次数 X 是一个随机变量 , 假设它服从以 0 为参数的泊松分布, 参数为未知, 设有以下的样本值 , 试估计参数 .
n
(二) 取对数
n i 1
ln L( ) ln p( xi ; ) 或 ln L( ) ln f ( xi ; );
i 1
n
d ln L( ) d ln L( ) 对数似 (三) 对求导 , 并令 0,然方程 d d ˆ. 解方程即得未知参数的最大似然估计值
a b 2 A1 , 即 2 b a 12( A2 A1 ) .
解方程组得到a, b的矩估计量分别为
3 n 2 ( X X ) , ˆ A1 3( A2 A1 ) X a i n i 1
2
n 3 2 2 ˆ X ( X X ) . b A1 3( A2 A1 ) i n i 1
i 1 n
L( ) L( x1 , x2 ,, xn ; ) f ( xi ; ),
n
L( )称为样本的似然函数 . ˆ ) max L( x1 , x2 , , xn ; ). 若 L( x1 , x2 , , xn ;
i 1
ˆ ( x1 , x2 ,, xn ) 参数的最大似然估计值 , ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n ) 参数的最大似然估计量 .

概率论与数理统计(浙大版)第七章第八章课件

用样本矩作为总体矩的估计，即令： 2 1,2, ,k A2

k 1,2, ,k Ak
解此方程即得1,2, ,k 的一个矩估计量 1, 2, ,ˆk
, Xn,
例1：设总体X的均值和方差 2都存在，且 2 0，, 2均未知，
(1) f ( x) 0, ln[ f ( x)]单调性相同，从而最大值点相同.
n
(2) L( ) p( xi; ) n项连乘, 求导麻烦
i1
ln[L( )] n项相加，求导简单对数似然函数
从而，
求的 L( ) 最大值点就转为求ln[ L( )]的最大值点
方法二：
解方程
d
i 1
f
( X i ; )

i 1
X
i
1(0

Xi
1)
n ( X1 X 2 X n ) 1 1 i n
取对数
n
ln L( ) n ln ( 1) ln Xi i 1
求导并令其为0
d ln L( ) n n
d

ln
i 1
pˆ

1 n
n i 1
Xi
说明：p的极大似然估计值为：
pˆ 1 n n i1
xi
例2: 设(X1,X2,…Xn )是来自总体X的一个样本,
X
~
f
(
x
;
)

x 1 0,
,
0
x 其它
1 ,
其中 0未知 ,
求θ的极大似然估计量．
解： θ的似然函数为：
n

《概率论与数理统计》习题及答案第七章

《概率论与数理统计》习题及答案第七章1．对某一距离进行5次测量，结果如下：2781,2836,2807,2765,2858（米）. 已知测量结果服从2(,)N μσ，求参数μ和2σ的矩估计.解 μ的矩估计为ˆX μ=，2σ的矩估计为22*211ˆ()ni i X X S n σ==-=∑ 1(27812836280727652858)2809.05X =++++=，*215854.01170.845S =⨯=所以2ˆ2809,1170.8μσ== 2．设12,,,n X X X 是来自对数级数分布1(),(01,1,2,)(1)kp P X k p k lu p k==-<<=-的一个样本，求p 的矩估计.解 111111ln(1)ln(1)ln(1)1k kk k p p p p p p p μ∞∞==-==-=-⋅----∑∑ （1）因为p 很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩121111ln(1)ln(1)ln(1)kk k x pk k k p p kp kp x p p p μ∞∞∞-===='-⎛⎫==-=- ⎪---⎝⎭∑∑∑ 21ln(1)1ln(1)(1)x pp x p p x p p ='⎡⎤=-=-⋅⎢⎥----⎣⎦ （2）（1）÷（2）得 121p μμ=- 所以 212p μμμ-= 所以得p 的矩估计21221111n i i n i i X X X n p X n α==-==-∑∑3．设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，12,,,n X X X 为取自X 的样本，试求参数N 和p 的矩估计解 122,(1)()Np Np p Np μμ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩ 解之得1/N p μ=， 21(1)p Np μμ-+=，即1N pμ=，22111p μμμ-=-，所以 N 和p 的矩估计为ˆX N p=，*21S p X =-. 4．设总体X 具有密度11(1)1,,(;)0,.Cx x C f x θθθθ-+⎧>⎪=⎨⎪⎩其他其中参数01,C θ<<为已知常数，且0C >，从中抽得一个样本，12,,,n X X X ，求θ的矩估计解11111111111CCEX C x dx C xθθθθμθθθ+∞--+∞===-⎰111()11C C C C θθθθ-=-⋅=--，解出θ得11,Cθμ=-92 于是θ的矩估计为 1C Xθ=-. 5．设总体的密度为(1),01,(;)0,.x x f x ααα⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他试用样本12,,,n X X X 求参数α的矩估计和极大似然估计.解先求矩估计：111210011(1),22EX x dx x ααααμααα++++==+==++⎰解出α得 1112,1μαμ-=- 所以α的矩估计为 121XX α-=-. 再求极大似然估计： 1121(,,;)(1)(1)()nn n i n i L X X x x x x ααααα==+=+∏，1ln ln(1)ln nii L n xαα==++∑，1ln ln 01nii d L nx d αα==++∑，解得α的极大似然估计： 1(1)ln nii nxα==-+∑.6．已知总体X 在12[,]θθ上服从均匀分布，1n X X 是取自X 的样本，求12,θθ的矩估计和极大似然估计.解先求矩估计： 1212EX θθμ+==，22222211211222()()1243EX θθθθθθθθμ-+++==+=解方程组121221122223θθμθθθθμ⎧+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩得11θμ=±2123(θμμμ=-注意到12θθ<，得12,θθ的矩估计为*1X θ=-，*2X θ=.再求极大似然估计 1121212111(,,;,)()nn ni L X X θθθθθθ===--∏，1122,,,n x x x θθ≤≤，由极大似然估计的定义知，12,θθ的极大似然估计为11(1)min(,,)n X X X θ==；21()max(,,)n n X X X θ==.7．设总体的密度函数如下，试利用样本12,,,n x x x ，求参数θ的极大似然估计.（1）1(),0,(;)0,.x x e x f x αθαθαθα--⎧>⎪=⎨⎪⎩其它;已知（2）||1(;),,2x f x e x θθθ--=-∞<<+∞-∞<<+∞. 解（1）111111(,,;)()()ni i i nx x n nn i n i L X X x ex x eααθθααθθαθα=----=∑==∏111ln (;)ln ln (1)ln nnn i i i i L X X n n x x αθθααθ===++--∑∑1ln 0ni i d L nx d αθθ==-∑解似然方程1ni i nx αθ==∑，得θ的极大似然估计94 1.ni i nx αθ==∑（2）1||||1111(;)22ni i i n x x n n i L X X e eθθθ=----=∑==∏由极大似然估计的定义得θ的极大似然估计为样本中位数，即1()2()(1)22,1(),.2n n n X n X X n θ++⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数,为偶数8．设总体X 服从指数分布(),,(;)0,.x ex f x θθθ--⎧≥⎪=⎨⎪⎩其他试利用样本12,,,n X X X 求参数θ的极大似然估计.解 1()11(,,;),,1,2,,.ni i i nx n x n i i L X X eex i n θθθθ=-+--=∑==≥=∏1ln nii L n Xθ==-∑ln 0d Ln d θ=≠ 由极大似然估计的定义，θ的极大似然估计为(1)x θ= 9．设12,,,n X X X 来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，试求未知参数p 的极大似然估计. 解 1111(,,;)(1)(1)ni i i nx nx n n i L x x p p p p p =--=∑=-=-∏，1ln ln ()ln(1),nii L n p Xn p ==+--∑1ln 0,1ni i X nd L n dp p p=-=--∑解似然方程11nii n X n p p=-+=-∑，得p 的极大似然估计1p X=。

《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案

概率论与数理统计习题答案第四版盛骤 (浙江大学)浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n nn o S 1001, ，n 表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。

（[一] 2）S={10，11，12，………，n ，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。

（[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。

（1）A 发生，B 与C 不发生。

表示为：C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C )（2）A ，B 都发生，而C 不发生。

表示为：C AB 或AB －ABC 或AB －C（3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A ，B ，C 都发生，表示为：ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ⋃⋃（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。

故表示为：C A C B B A ++。

（7）A ，B ，C 中不多于二个发生。

相当于：C B A ,,中至少有一个发生。

故表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。

相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。

概率论与数理统计课后习题答案第7章习题详解

习题七1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计.【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X所以p 的矩估计量 ˆXpn= 2.设总体X 的密度函数f （x ,θ）=22(),0,0,.x x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】23022022()()d ,233x x E X x x x θθθθθθθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰令E (X )=A 1=X ,因此3θ=X 所以θ的矩估计量为 ^3.X θ=3.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极大似然估计.（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-⎧≥⎨<⎩（2） f （x ，θ）=1,01,0,.x x θθ-⎧<<⎨⎩其他【解】（1）似然函数111(,)e e eniii n nx x nn ii i L f x θθθθθθ=---==∑===∏∏1ln ln ni i g L n x θθ===-∑由1d d ln 0d d ni i g L n x θθθ===-=∑知 1ˆnii nxθ==∑所以θ的极大似然估计量为1ˆXθ=.(2) 似然函数11,01nni i i L x x θθ-==<<∏,i =1,2,…,n.1ln ln (1)ln ni i L n x θθ==+-∏由1d ln ln 0d ni i L n x θθ==+=∏知11ˆln ln nniii i n nxx θ===-=-∑∏所以θ的极大似然估计量为 1ˆln nii nxθ==-∑求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】0.094x =- 0.101893s = 9n =0.094.EXx ==- 由222221()()[()],()ni i x E X D X E X E X A n==+==∑知222ˆˆ[()]E X A σ+=,即有 ˆσ=于是 ˆ0.101890.0966σ=== 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966. 5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ()2E X θ=,令()E X X =，则ˆ2X θ=且ˆ()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为ˆ220.6 1.2x θ==⨯=且ˆ2X θ=是一个无偏估计.(2) 似然函数8811(,)i i L f x θθ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∏,i =1,2, (8)显然L =L (θ)↓(θ>0)，那么18max{}i i x θ≤≤=时，L =L (θ)最大, 所以θ的极大似然估计值ˆθ=0.9.因为E(ˆθ)=E (18max{}i i x ≤≤)≠θ,所以ˆθ=18max{}i i x ≤≤不是θ的无偏计.6.设X 1，X 2，…，X n 是取自总体X 的样本，E （X ）=μ，D （X ）=σ2，2ˆσ=k 1211()n i i i XX -+=-∑,问k 为何值时2ˆσ为σ2的无偏估计. 【解】令 1,i i i Y X X +=-i =1,2,…,n -1,则 21()()()0,()2,i i i i E Y E X E X D Y μμσ+=-=-==于是 1222211ˆ[()](1)2(1),n ii E E k Yk n EY n k σσ-===-=-∑那么当22ˆ()E σσ=,即222(1)n k σσ-=时, 有 1.2(1)k n =-7.设X 1，X 2是从正态总体N （μ，σ2）中抽取的样本112212312211311ˆˆˆ;;;334422X X X X X X μμμ=+=+=+ 试证123ˆˆˆ,,μμμ都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 【证明】（1）11212212121ˆ()()(),333333E E X X E X E X μμμμ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭21213ˆ()()()44E E X E X μμ=+=, 31211ˆ()()(),22E E X E X μμ=+= 所以123ˆˆˆ,,μμμ均是μ的无偏估计量. (2) 22221122145ˆ()()(),3399D D X D X X σμσ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222212135ˆ()()(),448D D X D X σμ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()223121ˆ()()(),22D D X D X σμ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭8.某车间生产的螺钉，其直径X ~N （μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm ）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 【解】n =6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,0.25214.95, 1.96,a x u u ===,μ的置信度为0.95的置信区间为/2(14.950.1 1.96)(14.754,15.146)x u α⎛±=±⨯= ⎝.9.总体X ~N (μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n 多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L ？【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为/2x u α⎛± ⎝,/2u α,/2u α≤L ,得n ≥22/224()u L ασ 10.设某种砖头的抗压强度X ~N （μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg ·cm -2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1）求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2）求σ2的置信概率为0.95的置信区间. 【解】76.6,18.14,10.950.05,20,x s n α===-==/20.025222/20.0250.975(1)(19)2.093,(1)(19)32.852,(19)8.907t n t n ααχχχ-==-===(1) μ的置信度为0.95的置信区间/2(1)76.6 2.093(68.11,85.089)a x n ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)2σ的置信度为0.95的置信区间222222/21/2(1)(1)1919,18.14,18.14(190.33,702.01)(1)(1)32.8528.907n s n s n n ααχχ-⎛⎫--⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ 11.设总体X ~f (x )=(1),01;10,.x x θθθ⎧+<<>-⎨⎩其中其他 X 1,X 2,…,X n 是X 的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1)1101()()d (1)d ,2E X xf x x x x θθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰ 又1(),2X E X θθ+==+ 故21ˆ1X Xθ-=- 所以θ的矩估计量 21ˆ.1X Xθ-=- (2) 似然函数11(1) 01(1,2,,)()()0n n ni i i i i x x i n L L f x θθθ==⎧+<<=⎪===⎨⎪⎩∏∏其他. 取对数11ln ln(1)ln (01;1),d ln ln 0,d 1nii i ni i L n x x i n L nx θθθθ===++<<≤≤=+=+∑∑所以θ的极大似然估计量为1ˆ1.ln nii nXθ==--∑12.设总体X ~f (x )= 36(),0;0,.xx x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1,X 2,…,X n 为总体X 的一个样本（1）求θ的矩估计量ˆθ；（2）求ˆ()D θ.【解】(1) 236()()d ()d ,2x E X xf x x x x θθθθ+∞-∞=-=⎰⎰令 ,2EX X θ==所以θ的矩估计量 ˆ2.X θ= (2)4ˆ()(2)4(),D D X D X DX nθ===，又322236()63()d ,2010x x E X x θθθθθ-===⎰于是222223()()(),10420D XE X EX θθθ=-=-=,所以2ˆ().5D nθθ=13.设某种电子元件的使用寿命X 的概率密度函数为f (x ,θ)= 2()2,;0,.x x x θθθ--⎧>⎨≤⎩e其中θ(θ>0)为未知参数，又设x 1,x 2,…,x n 是总体X 的一组样本观察值，求θ的极大似然估计值.【解】似然函数12()12e 0;1,2,,;()0ln ln 22(),;1,2,,,ni i x n i n i i i x i n L L L n x x i n θθθθ=--=⎧∑⎪⋅≥===⎨⎪⎩=--≥=∑ 其他.由d ln 20ln (),d Ln L θθ=>↑知那么当01ˆˆmin{}ln ()max ln ()ii nx L L θθθθ>≤≤==时所以θ的极大似然估计量1ˆmin{}ii nx θ≤≤=其中θ(0<θ<12)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值. 【解】813ˆ(1)()34,()4 28ii x E X E X x x x θθ=-=-====∑令得又所以θ的矩估计值31ˆ.44x θ-== （2）似然函数86241(,)4(1)(12).ii L P x θθθθ===--∏2ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1),d ln 628628240,d 112(1)(12)L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==---- 解2628240θθ-+=得1,272θ=. 由于71,122> 所以θ的极大似然估计值为7ˆ2θ-=. 15.设总体X 的分布函数为F （x ,β）=1,,0,.x xx ββααα⎧->⎪⎨⎪≤⎩其中未知参数β>1,α>0，设X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本（1）当α=1时，求β的矩估计量；（2）当α=1时，求β的极大似然估计量；（3）当β=2时，求α的极大似然估计量. 【解】当α=1时，11,1;(,)(,1,)0,1.x x f x F x x x ββββ+⎧≥⎪==⎨⎪<⎩当β=2时, 2132,;(,)(,,2)0,.x x f x F x x x ααααα⎧≥⎪==⎨⎪<⎩(1) 111()d 11E X x x x βββββββ+∞-+∞===--⎰令()E X X =,于是ˆ,1XX β=- 所以β的矩估计量ˆ.1XX β=- (2) 似然函数(1)1111,1,(1,2,,);()(,)0,.ln ln (1)ln ,d ln ln 0,d n n ni i i i i ni i ni i x x i n L L f x L n x L n x ββββββββ-+====⎧⎛⎫>=⎪ ⎪===⎨⎝⎭⎪⎩=-+=-=∏∏∑∑ 其他所以β的极大似然估计量1ˆ.ln nii nxβ==∑(3) 似然函数23112,,(1,2,,);(,)0,.n ni nn i i i i x i n L f x x ααα==⎧≥=⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩∏∏ 其他显然(),L L α=↑那么当1ˆmin{}i i nx α≤≤=时,0ˆ()max ()a L L L αα>== , 所以α的极大似然估计量1ˆmin{}i i nx α≤≤=. 16.从正态总体X ~N （3.4，62）中抽取容量为n 的样本，如果其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问n 至少应取多大？2/2()d zt z t ϕ-=⎰【解】26~3.4,X N n ⎛⎫⎪⎝⎭,则~(0,1),X Z N ={1.4 5.4}33210.95Z P X P PZ ΦΦΦ<<<<=⎧=-<<⎨⎩⎭⎛=-=-≥ ⎝于是0.975Φ≥ 1.96≥, ∴ n ≥35.17. 设总体X 的概率密度为f (x ，θ)=,01,1,12,0,.x x θθ<<⎧⎪-≤<⎨⎪⎩其他其中θ是未知参数（0<θ<1）,X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值x 1,x 2,…,x n 中小于1的个数.求：（1） θ的矩估计；（2） θ的最大似然估计. 解 (1) 由于121(;)d d (1)d EX xf x x x x x x θθθ+∞-∞==+⎰⎰⎰-133(1)222θθθ=+-=-. 令32X θ-=，解得32X θ=-，所以参数θ的矩估计为32X θ=-. (2) 似然函数为1()(;)(1)nN n N i i L f x θθθθ-===-∏，取对数，得ln ()ln ()ln(1),L N n N θθθ=+--两边对θ求导，得d ln ().d 1L N n Nθθθθ-=-- 令 d ln ()0,d L θθ=得 Nnθ=，所以θ的最大似然估计为Nnθ=.。

浙大版概率论与数理统计答案---第七章

第七章参数估计注意：这是第一稿（存在一些错误）1、解由θθθμθ2),()(01===⎰d x xf X E ，204103)(2221θθθ=-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^=θ，这时θθ==)(2)(^X E E ，nnX D D 5204)2()(22^θθθ=⋅==。

3、解由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为：3262121^=-=-=X θ。

建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L令0148))1ln(4ln 8()(ln =--=∂-+∂=∂∂θθθθθθθL ，得到θ的极大似然估计值：32^=θ 4、解：矩估计：()1012122μθλθλθλ=⋅+⋅+⋅--=--，()()()()2222222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--,11A =,234B =, 故()()()()222ˆˆ221,3ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ222121.4θλθλθθλλθλθλ⎧--=⎪⎨--++-++--=⎪⎩解得1ˆ,43ˆ.8λθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为所求矩估计。

极大似然估计：(){}()33214526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλθλ==========--，()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--，()(),330,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ∂⎧=-=⎪⎪∂--⎨∂⎪=-=⎪∂--⎩解得3ˆ,81ˆ.4θλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即为所求。

5、解由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p的矩估计量为^p ==建立关于p 的似然函数：3210)1()2)1(3()()2)1(()(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)(ln =∂∂p p L ，求得到θ的极大似然估计值：nn n n p 22210^++= 6、解：(1)()1112EX x x dx θθθθ+=+=+⎰，由ˆ1ˆ2X θθ+=+得21ˆ1X X θ-=-为θ的矩估计量。

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3、解由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为：3262121^=-=-=X θ。

建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L令0148))1ln(4ln 8()(ln =--=∂-+∂=∂∂θθθθθθθL ，得到θ的极大似然估计值：32^=θ 4、解：矩估计：()1012122μθλθλθλ=⋅+⋅+⋅--=--，()()()()2222222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--, 11A =,234B =, 故()()()()222ˆˆ221,3ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ222121.4θλθλθθλλθλθλ⎧--=⎪⎨--++-++--=⎪⎩解得1ˆ,43ˆ.8λθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为所求矩估计。

5、解由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p 的矩估计量为^394(3)34322X X p -----==建立关于p 的似然函数：3210)1()2)1(3()()2)1(()(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)(ln =∂∂pp L ，求得到θ的极大似然估计值：n n n n p 22210^++=6、解：(1)()1112EX x x dx θθθθ+=+=+⎰，由ˆ1ˆ2X θθ+=+得21ˆ1X X θ-=-为θ的矩估计量。

{精品}27173概率论与数理统计课后答案第7章答案

习题7.11.设总体X服从指数分布f(x;λ)={λe−λx,x≥0,λ>0;0, x<0.试求λ的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取18个电子元件,测得寿命数据如下(单位:小时):16, 19, 50, 68, 100, 130, 140, 270, 280, 340, 410, 450, 520, 620, 190, 210, 800, 1100.求λ的估计值.解:似然函数为L(λ)=∏λe−λx ini=1=λn e−λ∑x ini=1lnL(λ)=nlnλ−λ∑x ini=1令d lnL(λ)dλ=nλ−∑x ini=1=0得λ̂=n∑x ini=1=1x=1118(16+19+,⋯,1100)=13182.设总体X的概率密度为f(x)={θxθ−1,0<x<1;0, 其他.θ>0试求(1) θ的矩估计θ̂1; (2)θ的极大似然估计θ̂2.解:(1)E(X)=∫xf(x)dx+∞−∞=∫x∙θxθ−1dx1=∫θxθdx1=θθ+1E(X)=x=θθ+1θ的矩估计θ̂1=x 1−x(2)似然函数为L(θ)=∏θx iθ−1ni=1=θn(x1,x2,⋯x n)θ−1lnL(θ)=nlnθ+(θ−1)[lnx1+lnx2,⋯lnx n]=nlnθ+(θ−1)∑lnx ini=1令d lnL(θ)dθ=nθ+∑x ini=1=0解得θ̂2=−n ∑x i ni=13.设总体X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,试求λ的矩估计λ̂1和极大似然估计λ̂2.(可参考例7-8)解:由X服从参数为λ的泊松分布∴E(X)=λ由矩法,应有x=λ∴λ̂1=x似然函数为L(λ)=∏λi x ini=1e−λ=λ∑x ix1!x2!⋯x n!e−nλlnL(λ)=(∑x i)lnλ−nλ−ln (x1!x2!⋯x n!)d lnL(λ)dλ=∑x iλ−n=0解得λ的极大似然估计为λ̂2=1n∑x ini=1=X习题7.21.证明样本均值x是总体均值μ的相合估计.证:∵E(x)=μ,D(x)=σ2n→0(n→∞)∴由定理7−1知x是μ的相合估计.2.证明样本的k阶矩A k=1n ∑x i kni=1是总体k阶矩E(x k)的相合估计量.证:∵E(A k)=E(1n∑x i kni=1)=E(x k), D(A k)=D(1n∑x i kni=1)=1n2∑D(x i k)ni=1→0(n→0)∴A k=1n∑x i kni=1是E(x k)的相合估计.3.设总体X~N(μ,1),−∞<μ<∞,(x1,x2,x3)为其样品.试证下述三个估计量:(1)μ̂1=15x1+310x2+12x3;(2)μ̂2=13x1+14x2+512x3;(3)μ̂3=13x1+16x2+12x3都是μ的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证:∵E(μ̂1)=15E(x1)+310E(x2)+12E(x3)=15μ+310μ+12μ=μE(μ̂2)=13E(x1)+14E(x2)+512E(x3)=13μ+14μ+512μ=μE(μ̂3)=13E(x1)+16E(x2)+12E(x3)=13μ+16μ+12μ=μ∴μ̂1,μ̂2,μ̂3都是μ的无偏估计.D(μ̂1)=125D(x1)+9100D(x2)+14D(x3)=125+9100+14=1950D(μ̂2)=19D(x1)+116D(x2)+25144D(x3)=19+116+25144=2572D(μ̂3)=19D(x1)+136D(x2)+14D(x3)=19+136+14=718故μ̂2的方差最小.4.设总体X~u(θ,2θ),其中θ>0是未知参数,又x1,x2,⋯x n为取自该总体的样品,x为样品均值.(1)证明θ̂=23x是参数θ的无偏估计和相合估计;(2)求θ的极大似然估计.(1)证:E(θ̂)=E(23x)=23E(x)=23∗32θ=θ∴θ̂=23x 是参数θ的无偏估计又D(θ̂)=D (23x)=49D (x )=49∗θ212n =θ227n →0(n →∞)∴θ̂=23x 是参数θ的相合估计.(2) X~u (θ,2θ)故其分布密度为f (x )={1θ, 0≤x ≤2θ (θ>0)0, 其他似然函数L (θ)={1θn , 0≤x i ≤2θ (i =1,2,⋯n)0, 其他因对所有x i 有0≤x i ≤2θ (i =1,2,⋯n ) ∴0≤max{x 1,x 2,⋯x n }≤2θ习题7.31. 土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度X~N (μ,0.22).现从中抽取容量为6的样本测得样本观测值并算的x =8.54,求μ的置信度0.9的置信区间. 解:α=1−0.9=0.1,u 0.05=1.64 置信度为0.9的置信区间是[x −σx+σ=[8.54−1.64∗0.2√68.54+1.64∗0.2√6]≈[8.41,8.67]2. 设轮胎的寿命X 服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,随机地抽取12只轮胎试用,测得它们的寿命(单位:万千米)如下:4.68 4.85 4.32 4.85 4.615.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.7 试求平均寿命μ的0.95的置信区间.(例7-21, σ未知时μ的置信区间)解: x =4.7092,S 2=0.0615.α=1−0.95=0.05,查t 分布表知t 0.025(11)=2.2010平均寿命μ的0.95的置信区间为:[x −t α2(n −1)s√nx +t α2(n −1)s√n] =[4.7092−2.2010∗√0.0615√12 4.7092+2.2010∗√0.0615√12]=[4.5516 ,4.8668]3. 两台车床生产同一种型号的滚珠,已知两车床生产的滚珠直径X,Y 分别服从N (μ1,σ12),N (μ2,σ22),其中σi 2,μi 未知(i =1,2).现由甲,乙两车床的产品中分别抽出25个和15个,测得s 12=6.38,s 22=5.15.求两总体方差比σ12/σ22的置信度0.90的置信区间.解:此处n 1=25, n 2=15, s 12=6.38, s 22=5.15,α=1−0.90=0.1,α2=0.05σ12/σ22的置信度0.90的置信区间为:[s 12s 22∙1F α2(n 1−1,n 2−1),s 12s 22∙1F 1−α2(n 1−1,n 2−1)]=[6.385.15∙1F 0.05(24,14),6.385.15∙1F 0.95(24,14)] =[1.24∗12.35,1.24∗]4. 某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(单位:毫米)如下: 14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8设滚珠直径服从正态分布,若(1) 已知滚珠直径的标准差σ=0.15毫米; (2) 未知标准差σ.求直径均值μ的置信度0.95的置信区间.解: (1) x =14.91,α=1−0.95=0.05,u 0.025=1.96直径均值μ的置信度0.95的置信区间为:[x −σx+σ=[14.91−1.96∗0.15√914.91+1.96∗0.15√9≈[14.812,15.008](2)x =14.91,S 2=0.041,α=1−0.95=0.05,t 0.025(8)=2.306 置信度0.95的置信区间为:[x −2√nx +2√n] =[14.91−2.306∗√0.041√914.91+2.306∗√0.041√9]=[14.754 ,15.066]5. 设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命X 服从正态分布N (μ,σ2),其中μ,σ2未知.令随机地抽取16个灯泡进行寿命试验,测得寿命数据如下(单位:小时): 1502 1480 1485 1511 1514 1527 1603 1480 1532 1508 1490 1470 1520 1505 1485 1540求该批灯泡平均寿命μ的置信度0.95的置信区间.解: x =1509.5,S 2=1038.5,α=1−0.95=0.05,t 0.025(15)=2.1315 置信度0.95的置信区间为: [x −t α2(n −1)s√nx +t α2(n −1)s√n ] =[1509.5−2.1315∗√1038.5√161509.5+2.1315∗√1038.5√16]=[1492.328 ,1526.672]6. 求上题灯泡寿命方差σ2的置信度0.95的置信区间.解: S 2=1038.5,α=1−0.95=0.05,查表知χ0.0252(15)=27.488,χ0.9752(15)=6.262置信度0.95的置信区间为:[(n −1)s 2χα22(n −1),(n −1)s 2χ1−α22(n −1)]=[15∗1038.527.488,15∗1038.56.262]=[566.702,2487.624]7. 某厂生产一批金属材料,其抗弯强度服从正态分布.现从这批金属材料中随机抽取11个试件,测得它们的抗弯强度为(单位:公斤):42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.043.8 44.143.9求(1)平均抗弯强度μ的置信度0.95的置信区间. (2)抗弯强度标准差σ的置信度0.90的置信区间.解: (1) x =43.4,S 2=0.5207,α=1−0.95=0.05,查表知t 0.025(10)=2.2281置信度0.95的置信区间为:[x −2√nx +2√n] =[43.4−√0.5207√1143.4+√0.5207√11]=[42.915,43.885](2) S 2=0.5207,α=1−0.90=0.1,查表知χ0.052(10)=18.307,χ0.952(10)=3.940 σ2置信度0.90的置信区间为:[(n −1)s 2χα22(n −1),(n −1)s 2χ1−α22(n −1)]=[10∗0.520718.307,10∗0.52073.940]=[0.284,1.322]故σ的置信度0.90的置信区间为[0.53,1.15]8. 设两个正态总体N (μ1,σ2),N (μ2,σ2)中分别取容量为10和12的样本,两样本互相独立.经算得x =20, y =24,又两样本的样本标准差s 1=5,s 2=6.求μ1−μ2的置信度0.95的置信区间. 解:S w =√(n 1−1)s 12+(n 2−1)s 22n 1+n 2−2=√9∗25+11∗3610+12−2=5.572α=1−0.95=0.05,查表知t 0.025(20)=2.086 故μ1−μ2的置信度0.95的置信区间为:[x −y −t α2(n 1+n 2−2)√1n 1+1n 1S w ,x −y +t α2(n 1+n 2−2)√1n 1+1n 1S w ]=[20−24−2.086∗√110+112∗5.572,20−24+2.086∗√110+112∗5.572]=[−8.975,0.975]9. 为了估计磷肥对农作物增产的作用,现选20块条件大致相同的土地.10块不施磷肥,另外10块施磷肥,得亩产量(单位:公斤)如下: 不施磷肥的 560 590 560 570 580 570 600 550 570 550施磷肥的 620 570650600630580570600600580设不施磷肥亩产和施磷肥亩产均服从正态分布,其方差相同.试对施磷肥平均亩产与不施磷肥平均亩产之差作区间估计(α=0.05).解: x =570,y =600,S x 2=64009,S y 2=24009α=0.05,查表知t 0.025(18)=2.1009S w =√(n 1−1)s 12+(n 2−1)s 22n 1+n 2−2=√44009=22.11[x −y −t α2(n 1+n 2−2)√1n 1+1n 1S w ,x −y +t α2(n 1+n 2−2)√1n 1+1n 1S w ]=[600−570−2.1009∗√110+110∗22.11,600−570+2.1009∗√110+110∗22.11]=[9.23,50.77]10. 有两位化验员A,B 独立地对某种聚合的含氮量用同样的方法分别进行10次和11次测定,测定的方差分别为s 12=0.5419,s 22=0.6065.设A,B 两位化验员测定值服从正态分布,其总体方差分别为σ12,σ22.求方差比σ12/σ22的置信度0.9的置信区间. 解:α=1−0.9=0.1,查表知F 0.05(9,10)=3.02,F 0.95(9,10)=1F 0.05(10,9)=13.14=0.318故σ12/σ22的置信度0.9的置信区间为: [s 12s 22⁄F α2(n 1−1,n 2−1),s 12s 22⁄F 1−α2(n 1−1,n 2−1)] =[0.54190.6065⁄3.02,0.54190.6065⁄0.318]=[0.295,2.81] 自测题7 一、填空题设总体X~N (μ,σ2)x 1,x 2,x 3是来自X 的样本,则当常数a =12时,μ̂=13x 1+ax 2+ 16x 3是未知参数μ的无偏估计.解: μ̂=13x 1+ax 2+ 16x 3是未知参数μ的无偏估计则E (μ̂)=13E (x 1)+aE (x 2)+ 16E (x 3)=13μ+aμ+ 16μ∴a =12二、一台自动车床加工零件长度X(单位:厘米)服从正态分布N (μ,σ2).从该车床加工的零件中随机抽取4个,测得长度分别为:12.6,13.4,12.8,13.2. 试求: (1)样本方差S 2;(2)总体方差σ2的置信度为95%的置信区间.(附:u 0.025=1.96,u 0.05=1.645,χ0.0252(3)=9.348,χ0.9752(3)=0.216,χ0.0252(4)=11.143, χ0.9752(4)=0.484)解: (1)x =12.6+13.4+12.8+13.24=13S 2=1n −1∑(x i −x )2n i=1=0.43(2)σ2置信度0.90的置信区间为:[(n −1)s 2χα22(n −1),(n −1)s 2χ1−α22(n −1)]=[3∗0.439.348,3∗0.430.216]=[0.04,1.85]三、设总体X~N (μ,σ2),抽取样本x 1,x 2⋯x n ,x =1n ∑x i n i=1为样本均值.(1) 已知σ=4,x =12,n =144,求μ的置信度为0.95的置信区间;(2) 已知σ=10,问:要使μ的置信度为0.95的置信区间长度不超过5,样本容量n 至少应取多大?(附u 0.025=1.96,u 0.05=1.645) 解: (1) μ的置信度为0.95的置信区间为:[x −σx +σ=[12−1.96∗4√14412+1.96∗4√144=[11.347,12.653](2) μ的置信度为0.95的置信区间为[x−x +故区间长度为2u α2√n∴σ≤5,解得n ≥61.5≈62四、某大学从来自A,B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生,测其身高(单位:厘米)后,算的x =175.9,y =172.0;S 12=11.3,S 22=9.1.假设两市新生身高分别服从正态分布: X~N (μ1,σ2),Y~N (μ2,σ2),其中σ2未知.试求μ1−μ2的置信度为0.95的置信区间.(附: t 0.025(9)=2.2622, t 0.025(11)=2.2010) 解:S w =√(n 1−1)s 12+(n 2−1)s 22n 1+n 2−2=√90.79=3.17[x −y −t α2(n 1+n 2−2)√1n 1+1n 1S w ,x −y +t α2(n 1+n 2−2)√1n 1+1n 1S w ]=[175.9−172−2.2622∗0.61∗3.17,175.9−172+2.2622∗0.605∗3.17] =[−0.474,8.274]。

概率论与数理统计第7章参数估计习题及答案

概率论与数理统计第7章参数估计习题及答案第7章参数估计 ----点估计⼀、填空题1、设总体X 服从⼆项分布),(p N B ，10<计量=pXN. 2、设总体)p ,1(B ~X，其中未知参数 01<则 p 的矩估计为_∑=n 1i i X n 1_，样本的似然函数为_ii X 1n1i X )p 1(p -=-∏__。

3、设 12,,,n X X X 是来⾃总体 ),(N ~X 2σµ的样本，则有关于 µ及σ2的似然函数212(,,;,)n L X X X µσ=_2i 2)X (21n1i e21µ-σ-=∏σπ__。

⼆、计算题1、设总体X 具有分布密度(;)(1),01f x x x ααα=+<<，其中1->α是未知参数，n X X X ,,21为⼀个样本，试求参数α的矩估计和极⼤似然估计.解：因?++=+=101α2α1α102++=++=+|a x 令2α1α++==??)(X X EXX --=∴112α为α的矩估计因似然函数1212(,,;)(1)()n n n L x x x x x x ααα=+∑=++=∴ni i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=??ni i X nL 101ααln ln 得，α的极⼤似量估计量为)ln (?∑=+-=ni iXn11α2、设总体X 服从指数分布 ,0()0,x e x f x λλ-?>=??其他，n X X X ,,21是来⾃X 的样本，（1）求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极⼤似然估计.解：（1）由于1()E X λ=，令11X Xλλ=?=i x nn L x x x eλλ=-∑=111ln ln ln 0nii ni ni ii L n x d L n n x d xλλλλλ====-=-=?=∑∑∑故λ的极⼤似然估计仍为1X。

概率论与数理统计教程第七章答案

、第七章假设检验7、1 设总体2(,)N ξμσ~,其中参数μ,2σ为未知,试指出下面统计假设中哪些就是简单假设,哪些就是复合假设:(1)0:0,1H μσ==; (2)0:0,1H μσ=>; (3)0:3,1H μσ<=; (4)0:03H μ<<; (5)0:0H μ=、解:(1)就是简单假设,其余位复合假设7、2 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ,其中参数μ未知,x 就是子样均值,如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域:12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ,试决定常数c ,使检验的显著性水平为0、05 解:因为(,9)N ξμ~,故9(,)25N ξμ~ 在0H 成立的条件下,00053(||)(||)53521()0.053cP c P c ξμξμ-≥=-≥⎡⎤=-Φ=⎢⎥⎣⎦55()0.975,1.9633c cΦ==,所以c =1、176。

7、3 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2(,)N μσ,20σ已知,对假设检验0010:,:H H μμμμ=>,取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ,(1)求此检验犯第一类错误概率为α时,犯第二类错误的概率β,并讨论它们之间的关系;(2)设0μ=0、05,20σ=0、004,α=0、05,n=9,求μ=0、65时不犯第二类错误的概率。

解:(1)在0H 成立的条件下,200(,)nN σξμ~,此时00000()P c P ξαξ=≥=所以10αμ-=,由此式解出010c αμμ-=+在1H 成立的条件下,20(,)nN σξμ~,此时10100010()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ-由此可知,当α增加时,1αμ-减小,从而β减小;反之当α减少时,则β增加。

(2)不犯第二类错误的概率为100.9511(0.650.51(3)0.21(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ-=-Φ-=Φ= 7、6 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体,对()f x 考虑统计假设:0011101201:():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他其他试求一个检验函数使犯第一,二类错误的概率满足2min αβ+=,并求其最小值。

浙江大学《概率论、数理统计与随机过程》课后习题答案张帼奋主编第七章数理统计习题__偶数答案

1
n i 1xi,Fra bibliotekx ,
0,
其他。
n
令 l n
xi
i 1
2
0 得ˆ 1 n
n i 1
xi
为的极大似然估计。
8(1)
X
，E
1 n
n i 1
Xi
2
1 n
n i 1
E
Xi
2
1 n
n i 1
EX i 2 2EX i 2
2
n1
(2) E k i1
x 2 n 1 , 0,
0 x , ，其他。
故 EX n
0
2n 2n
x 2ndx
2n 2n 1
即
Eˆ2
EX n
2n 2n 1
故ˆ2
为
的有偏估计。
n
n
Xi
14(1) L
f i 1
xi ,
e i1
，
n
l() ln L X i n ， i 1
l() 为的单调递增函数，故取最大值时 l() 取最大值。
又不大于 min X1,, X n ，故 ˆ1 X1 min X1,, X n 为的极大似然估计。
因 F x, x etdt 1 ex
易知 f X1
xi ,
nen
x
,
0,
x , 其他。
所以 Eˆ1 EX 1
xf X1
xi ,
dx
1 n
，即 ˆ1 是
的有偏估计。
(2)记
n
个样本的方差为
S
2
，则
n
1
2
S
2
2 n 1 ， D

概率论与数理统计习题及答案第七章

概率论与数理统计习题及答案第七章习题7-1的样本，则0的矩估计量是().(A) X .(B) 2X .解选(B).2.设总体X 的分布律为X -215P301-40e其中0v 0< 0.25为未知参数,X 1, X 2, , , X n 为来自总体X 的样本，试求0的矩估计量.解因为 E(X)=(-2) >3 0+1X(1-4 0+5 X0=1-5 0 令 1_5v-X 得到v 的矩估计量为彳二1.53.设总体X 的概率密度为f A严 1)x ；0 ::: x ：：：1, f (X ； V)0, 其它.其中0>1是未知参数，X 1,X 2,, ,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本求：(1) r 的矩估计量；(2) 0的极大似然估计量. 解总体X 的数学期望为址 1阳1 日+1E (X ) = f xf (x)d x =[(日 +1) x dx = ----------------------0+21.选择题(1)设总体X 的均值的样本, 则均值□与方差 (A) 2 X 和 S 2. (C)□和d . 解选(D).与方差都存在但未知 C 2的矩估计量分别是( 而X-X 2,…，X n 为来自X ).1(B) X 和 (X i(D)1X 和 (X i20>0为未知参数，又X i ，X 2，…，X n 为来自总体X(C) max{ X i }. 1 < i < n(D) min { X i }. 1 < i < n⑵设X : U [0, v],其中 -X)令E (X )= X ,即二！ =X ,得参数0的矩估计量为彳■■ 2设X 1, X 2,, , X n 是相应于样本X 1, X 2,, , X n 的一组观测值，2X -1 1 -x则似然函数为0,当 0<x< p="">,n)时，L>0 且 nXiIn ，0 ::: x i ：：：1,L = n ln( v I))、In X i ,i =1Ad In L n 二令Ind v 71 -1 i 1X i =0,得0的极大似然估计值为 4-1nnvIn X ii土而的极大似然估计量为4.设总体X 服从参数为彳=-1.二 In Xii -4即X 的概率密度为■的指数分布, 3 x 0,f (X, ■)二I 0,其中，.0为未知参数,X i , X 2, , , X n 为来自总体的矩估计量与极大似然估计量1 -解因为E(X)= =X ,所以，的矩估计量为x < 0,X 的样本，试求未知参数■—.设 X 1, X 2,, , X n 是相X应于样本X i , X 2,, ,X n 的一组观测值，则似然函数n -n _L 二■■■■ In-'7 X i i 士取对数人 d In L n 二令. X i人 \=±1 然估计量为？==.X=0,得?的极大似然估计值为1 -,■的极大似X1.选择题：设总体X ’，X 2,…,X n 为X 的样本，的无偏估计量?X 的均值则无论总体与方差；「2都存在但未知，而服从什么分布，( 2)是.1和二(A)X i 和 (Xn i ±n i 生(C)—JX i 和1n -1 i ±n -1解选(D).2. 若x 1,X 2 ,X(B)1 nX i 和-1 i —, n —2(X i —X) ?1 12—7 X i 和—v (X i 7 .n i -4、 in i -4)的样本，且X 2 ? kX 3为」的无偏估计量，问k 等于多少？解要求1E(—X ! 31 1 1 ? — X2 ? kX 3)2 74 3 45解之，k=.1 25.设总体X 的概率密度为0 ::: x ::: 1,其它，,X n 为来自总体的简单随机样本，记N求：(1) B 的矩估计量；(2) B 的极大似然33 —解 (1) X =E(X)二 xvdx 亠 |X (1 - v)dx,所以 <1 矩 X .22(2)设样本X 1,X 2,…X n 按照从小到大为序(即顺序统计量的观测值)有如下关系：X (1) < X (2) w , wx (N) <1 w X (N+1) W X (N+2)W , W X (n).似然函数为,,■'N(^-r-,X (1) W x (2) W ' "W X (N) <1W X (N 1) W X (N 2) W X n ， LQ|0, 其它.考虑似然函数非零部分，得到In L( 0) = N In 0+ (n - N) In(1- 0),令d s o 二‘ 一口 =o ,解得0的极大似然估计值为弓=楚.d B日1 —日n习题7-23.设总体X 的均值为0,方差匚2存在但未知,又X 1, X 2为来自总体X 的1 2 21< x < 2,f (x,=) ?1 七,0,.X 1, X 2,,1的个数? 其中-(0＜二＜1 )是未知参数为样本值x , ,x 2 , ,x n中小于估计量.nnn2i—'X ).3为来自总体2、(X i 」).(D)i :—样本，试证：一(X ’ 一X 2)为二的无偏估计21 2 1 2 2证因为E[—(X’-X?)] E[( X1^2X 1X2 X2 )]2 21 2 2【E(X’)_2E(X’X2)- E(X2 )]2所以一(X1-X2)2为L的无偏估计.2习题7-31. 选择题(1) 总体未知参数二的置信水平为0.95的置信区间的意义是指().(A) 区间平均含总体95%的值.(B) 区间平均含样本95%的值.(C) 未知参数二有95%的可靠程度落入此区间.(D) 区间有95%的可靠程度含参数n的真值?解选(D).(2) 对于置信水平1- a0< ad)，关于置信区间的可靠程度与精确程度，下列说法不正确的是().(A) 若可靠程度越高，则置信区间包含未知参数真值的可能性越大(B) 如果a越小，则可靠程度越高，精确程度越低.(C) 如果1- a越小，则可靠程度越高，精确程度越低?(D) 若精确程度越高，则可靠程度越低，而1- a越小. 解选(C)习题7-41.某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试，取得数据如下(单位:小时):1050， 1100， 1080, 1120， 1250， 1040， 1130， 1300，1200.设灯泡寿命服从正态分布N(卩902)，取置信度为0.95，试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信区间.解计算得到x -1141.11，3 =902.对于a= 0.05,查表可得Z -/2 = z0.025 二1-96.所求置信区间为22=(1141.11= (1082.31,1199.91).2. 为调查某地旅游者的平均消费水平，随机访问了40名旅游者，算得平均消费额为X =105元，样本标准差s =28元.设消费额服从正态分布.取置信水平为0.95,求该地旅游者的平均消费额的置信区间 .2 2解计算可得X =105, f =282.对于a = 0.05,查表可得t ..(n -1) =t °.025 (39) = 2.02272所求□的置信区间为=(96.045, 113.955).3?假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布 .现随机抽取此种香烟8支为一组样本，测得其尼古丁平均含量为18.6毫克，样本标准差s=2.4毫克.试求此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为0.99的置信区间.解已知 n =8, S 2=2.42, a = 0.01,查表可得笑厶一 1) = 30.005 ⑺=20.278 ,22..(n -1) =0.995⑺=0.989 ,所以方差/的置信区间为"2本：X 1,X 2,, ,X 12 及丫1,丫2,, ，丫17,算出 x =10.6g ,y = 9.5g , s ： =2.4, s ；=4.7 .假设这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布，且相互独立，其均值分别为叫，J 2.又设两总体方差打.求4 - J 2置信水平为0.95的置信区间并说明该置信区间的实际意义.解由题设 X =10.6, y =9.5, s ： =2.4, s ； =4.7, n 1 =12, n 2 =17,(Xs (X「28\(n -1),x2\(n -1)) =(10522.0227, 28105—2.0227 )2 2(n -1)S(n -1)S 、(, )=( “-1) J -1)2 22(8 .1)2.420.2782(8 -1)2.40.989)=(1.988, 40.768).4.某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱分别从两条流水线上抽取样2s w2 丄 2(① -1) q ? (n ? -1)S 2 n 1 ' n 2「2 (12 —1) 2.4 ? (17 —1) 4.712 17「2= 1.94(J ■ n)90—1.96, 1141.11sQg +n2—2) =t0.°25 (27) = 2.05181,所求置信区间为2 21 11 1—■■_) =((10.6「9.5) _2.05181 1.94，—、一) n 1 n 2 .12 17 =(-0.40,2.60).结论“叫_ J 的置信水平为0.95的置信区间是(-0.40,2.60)”的实际意义是：在两总体方差相等时，第一个正态总体的均值叫比第二个正态总体均值J 大-0.40?2.60，此结论的可靠性达到95%.5.某商场为了了解居民对某种商品的需求，调查了100户，得出每户月平均需求量为10公斤，方差为9 .如果这种商品供应10000户，取置信水平为0.99.(1) (2) 解 _ s _ s (x ——t (n -1), x ——t (n -1))' 厂g厂?■ f n 2 ■. n 2= (102.575, 102.575) =(9.2275,10.7725).J 100J10010000户居民对此种商品月需求量的置信度为 0.99的置信区间为(92275,107725)；(2)最少要准备92275公斤商品才能以 99%的概率满足需要?((X7) _t ,(n 1n2—2)S w2取置信度为0.99,试对居民对此种商品的平均月需求量进行区间估计问最少要准备多少这种商品才能以(1)每户居民的需求量的置信区间为99%的概率满足需要? _ s _ s：F (X ---- z , x ---------- z )厂a r ot ■- n 7 ?、n 2</x<>。

统计学相关-概率论与数理统计第七章参考答案

2 00.05 ， n Nhomakorabea9
，
2
(n
1)
2 0.95
(8)
2.733
拒绝域为： 2 2.733
又由题知： s2 0.00862
2 0
0.012
2
(n 1)s 2
2 0
8 0.0086 2 0.012
5.9186
2.733
2 未落入拒绝域，故接受 H 0 ，认为 0.01
10、(1)检验假设： H 0 ： 3315 ， H1 ： 3315 这是 2 未知关于的左边检验
拒绝 H 0 ，即认为 3315 (2) 检验假设： H 0 ： 525 ， H1 ： 525 这是未知，关于 2 的右边检验，则
检验统计量为： 2 (n 1)s 2
2 0
0.05 ， n
30
，
2
(n
1)
2 0.05
(29)
42.557
拒绝域为： 2 42.557
又由题知： s2 4882
0.05 ， n1 9 ， n2 4 ， t0.05 (n1 n2 2) t0.05 (11) 1.7959
拒绝域为： t
xy
sw
11 94
t 0.05
(11)
1.7959
由题，A 班、B 班考试成绩的样本均值和样本方差分别为：
x 80 ， s12 110.25
y 65 ， s22 174
s 27.28
0 200
t X 0 210.2 200 1.1217 1.8331
s / n 27.28 / 9
接受 H 0 ，即认为 200 。
6、检验假设： H 0 ： 2 5000 ， H1 ： 2 5000 解：这是未知，关于 2 的双边检验

概率论与数理统计及其应用课后答案(浙大版)第7章假设检验

第7章假设检验1，解：这是一个方差已知的正态总体的均值检验，属于右边检验问题，检验统计量为nx Z /18σ-=。

代入本题具体数据，得到8665.19/62.418874.20=-=Z 。

检验的临界值为645.105.0=Z 。

因为645.18665.1>=Z ，所以样本值落入拒绝域中，故拒绝原假设0H ，即认为该工人加工一工件所需时间显著地大于18分钟。

2，解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题，检验统计量为ns x t /4.38-=。

代入本题具体数据，得到0844.115/5.74.385.40=-=t 。

检验的临界值为1448.2)14(025.0=t 。

因为1448.20844.1<=t ，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设0H ，即认为平均摄取量显著地为38.4%。

3，解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于左边检验问题，检验统计量为ns x t /42.8-=。

代入本题具体数据，得到4.149/025.042.83.8-=-=t 。

检验的临界值为8965.2)8(01.0-=-t 。

因为8965.24.14-<-=t （或者说8965.24.14>=t ），所以样本值落入拒绝域中，故拒绝原假设0H ，即认为铜含量显著地小于8.42%。

4，解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题，检验统计量为ns x t /64.72-=。

代入本题具体数据，得到0134.016/338.864.72668.72=-=t 。

检验的临界值为1315.2)15(025.0=t 。

因为1315.20134.0<=t ，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设0H ，即认为该地区成年男子的平均体重为72.64公斤。

5，解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于右边检验问题，检验统计量为ns x t /200-=。

概率论与数理统计第七章参数估计习题答案

64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1）求m的置信概率为0.95的置信区间.
（2）求s 2的置信概率为0.95的置信区间.
解：x = 76.6, s = 18.14,a = 1- 0.95 = 0.05, n = 20,
D( X1)
+
æ çè
1 ö2 3 ÷ø
D( X 2 )
=
4 9
Xs
2
=
5s 2 9
,
D(mˆ2
)
=
æ çè
1 4
ö2 ÷ø
D(
X1)
+
æ çè
3 4
ö2 ÷ø
D(
X
2
)
=
5s 8
2
,
D(mˆ3 )
=
æ çè
1 2
ö2 ÷ø
(
D(
X1)
+
D(
X
2
))
=
s2 2
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028708.某车间生产的螺钉,其直径X ~ N（m,s 2）,由过去的经验知道s 2 = 0.0
3028701.设总体X 服从二项分布B(n,p),n已知,X1,X 2,L,X n为来自X的样本求参数p的矩法估计. 解：E( X ) = np, E( X ) = A1 = X ,\ np = X . \ p的矩估计量 pˆ = X n
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3028702.设总体X的密度函数（f x,q）= ìïíq22 (q - x), 0 < x < q ,
ïî 0,
其他.
X1,X 2,L,X n为其样本,试求参数q的矩法估计.

概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章

第七章参数估计1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计）求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。

解：μ，σ2的矩估计是 6122106)(1ˆ,002.74ˆ-=⨯=-===∑ni i x X n X σμ621086.6-⨯=S 。

2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。

求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。

（1）⎩⎨⎧>=+-其它,0,)()1(cx x c θx f θθ其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。

（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-.,010,)(1其它x x θx f θ其中θ>0，θ为未知参数。

（5）()p p m x p px X P x m xmx,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==-Λ为未知参数。

解：（1）X θcθθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθcθθ=--=-===+-∞+-∞+∞-⎰⎰1,11)()(1令，得cX Xθ-=（2）,1)()(10+===⎰⎰∞+∞-θθdx xθdx x xf X E θ2)1(,1X X θX θθ-==+得令（5）E (X ) = mp令mp = X ，解得mXp=ˆ 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。

解：（1）似然函数1211)()()(+-===∏θn θn nni ix x x c θx f θL Λ0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 11=-+=-++=∑∑==ni ini i xc n n θθd θL d x θc θn θn θL∑=-=ni icn xnθ1ln ln ˆ （解唯一故为极大似然估计量）（2）∑∏=--=-+-===ni i θn n ni ix θθnθL x x x θx f θL 112121ln )1()ln(2)(ln ,)()()(Λ∑∑====+⋅-=ni ini ix nθxθθn θd θL d 121)ln (ˆ,0ln 2112)(ln 。

浙江大学《概率论与数理统计》第7章

n 2 2
2
故S 2是 2的无偏估计.
36
例2：检验7.1节例6（即总体X 服从0, 上的均匀分布）
的矩估计量ˆ 2X 与极大似然估计量ˆL Xn的无偏性。
解：Q X U 0, ,
E
X
2
,
由于X1,L , X n与X同分布
E ˆ E 2X
2 n
n
i 1
E
Xi
2 nΒιβλιοθήκη n2因此ˆ 2X 是的无偏估计
6
注：在实际应用时，为求解方便，也可以用
中心矩 i 代替原点矩i，相应地以样本中心矩Bi 估计 i .
7
例1：设总体X 服从均匀分布U (a,b)，a和b是未知参数，样本X1,L , Xn，求a和b的矩估计。
8
解（1）求矩关于参数的函数
1 E( X
)
a
2
b
,
2
(a b)2 12
(2)求参数关于矩的反函数
38
为考察ˆL Xn的无偏性，先求Xn的分布，
由第三章第5节知： FXn x F xn ,
于是
f Xn
x
nxn1
n
0
0 x
其它
因此有：E ˆL E Xn
0
x nxn1
n
dx
n
n
1
所以ˆL Xn是有偏的。
39
纠偏方法
如果 E ˆ a b, ,其中a,b是常数，且a 0
ˆ 0.4
7.2 估计量的评选准则
从前一节看到，对总体的未知参数可用不同方法求得不同的估计量，如何评价好坏？
四条评价准则：
无偏性准则，有效性准则，均方误差准则和相合性准则

概率论与数理统计第七章课后习题及参考答案

5．设总体 X 的概率密度为
f
(x,
)
(
1) x
,0
x
1,
0, 其他．
其中 1是未知参数， X1 ， X 2 ，…， X n 是来自 X 的一个样本．试求参数
2
的矩估计和极大似然估计．现有样本观测值 0.1 ，0.2 ，0.9 ，0.8 ，0.7 及 0.7 ，
求参数的矩估计值和极大似然估计值．
1 2 2 c 2 2 ( 1 c) 2 ，
n
n
取 c 1 即可． n
14．设总体 X 的均值为，方差为 2 ，从总体中抽取样本 X1 ， X 2 ， X 3 ，证明
(
x,
,
2
)
1
1
1
e 2 2
(ln x )2
,
x
0,
2 x
0,
x 0.
其中， 0 为未知参数， X1 ， X 2 ，…， X n 是取自该总体的一
个样本，求参数， 2 的极大似然估计．
解： xi 时，似然函数为
L(, 2 )
(
1 2 )n
1 x1x2 xn
exp{
dL
d
n exp{
n i 1
( xi
)}
0，
所以 L( ) 是的单调增函数，从而对满足条件 xi 的任意，有
n
n
L( ) exp{ i1 (xi )} exp{ i1 (xi m1iinn{xi})} ，
即 L( ) 在 m1iinn{xi} 时取最大值，故的极大似然估计值为ˆ m1iinn{xi} ． 7．(1) 设总体 X 具有分布律
ˆ1 X1 ；
ˆ2

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