计算中心天体的质量和密度

计算天体的质量和密度

知识梳理

“天上”法

“地上”法

原理

万有引力提供向心力：

22

m GMm

v r r ==2m r ω=224m r T π=n ma

万有引力等于重力：

2

GMm

mg R

=

质量

M=2324GT r π=2v r G =23

r

G ω=2n a r G

2

gR M G

=

需要已知量 G 、r 、T(或ω、v)

G 、g 、R

密度

3

23

3M r V GT R πρ==

特例，当r=R 时：

2

3GT πρ=

34g GR ρπ=

注意：计算天体质量需“一个中心、两个基本点”： “一个中心”即只能计算出中心天体的质量;“两个基本点” 即要计算中心天体的质量，除引力常量G 外，还要已知两个独立的物理量。

例题分析

【例1】下列哪一组数据不能估算出地球的质量。引力常量G 已知( )

A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离

B.地球表面的重力加速度与地球的半径

C.绕地球运行卫星的周期与线速度

D.地球表面卫星的周期与地球的密度

【例2】已知引力常量G ．月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T 。仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（ ） A ．月球的质量 B ．地球的密度

C ．地球的半径

D ．月球绕地球运行速度的大小

【例3】（2006北京）一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行,认为行星是密度均匀的球体,要确定该行星的密度,只需要测量( )

A.飞船的轨道半径

B.飞船的运行速度

C.飞船的运行周期

D.行星的质量

【例4】（2005广东）已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h ，月球绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g 。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M 的方法： 同步卫星绕地球作圆周运动，由得

⑴请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出

正确的解法和结果。

⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。

同步练习

1.已知下面的哪组数据可以计算出地球的质量？引力常量G 已知（ ）

A ．月球绕地球运动的周期和月球的半径

B ．地球同步卫星离地面的高度

C ．地球绕太阳运动的周期和地球到太阳中心的距离

D ．人造卫星在地面附近的运动速度和周期

2.下列哪一组数据能够估算出地球的密度。引力常量G 已知( ) A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与月地之间的距离 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.绕地球表面运行卫星的周期

3.（05天津）土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等．线度从1μm 到10m 的岩石．尘埃，类似于卫星，

它们与土星中心的距离从7.3×104

km 延伸到1.4×105

km 。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14h ，引力常量为6.67×10-11

N •m 2

/kg 2

，则土星的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的相互作用）（ ）

Ａ．9.0×1016

kg Ｂ．6.4×1017

kg Ｃ．9.0×1025

kg Ｄ．6.4×1026

kg

4.地球公转的轨道半径是R 1，周期是T 1；月球绕地球运转的轨道半径是R 2，周期是T 2。则太阳质量与地球质量之比是（ ）

A. 2

2322

131T R T R B. 2

1322

231T R T R C. 2

2222121T R T R D. 2

1

222

221T R T R

5.（05全国Ⅲ）最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200 年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100 倍。 假定该

行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有( )

①恒星质量与太阳质量之比②恒星密度与太阳密度之比

③行星质量与地球质量之比④行星运行速度与地球公转速度之比

其中正确的是

A．①② B．③④ C．①④ D．②③

6.(2007宁夏卷)天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道

上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。由此可推算出( )

A．行星的质量 B．行星的半径

C．恒星的质量 D．恒星的半径

7．（09年全国卷Ⅰ）天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,,由此估算该行星的平均密度为( )

A.1.8×103kg/m3

B. 5.6×103kg/m3

C. 1.1×104kg/m3

D.2.9×104kg/m3

8.(2000年，北京)地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%，经估算，地核的平均密度为

_____kg/m3。(结果取两位有效数字，R3=6.4×103km，

G=6.7×10-11N·m2/kg2)

9．(2008上海物理)某行星绕太阳运动可近似看作匀速圆周运动，已知行星运动的轨道半径为R，周期为T，万有引力恒量为G，则该行星的线速度大小为＿＿＿＿＿；太阳的质量可表示为＿＿＿＿＿。

10.(2007海南卷)设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为Ｒ，速度为v，则太阳的质量可用v、Ｒ和引力常量Ｇ表示为___。太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速度约为地球公转速度的7倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的

2×109倍。为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳质量，则银河系中恒星数目约为___。

11.（01全国理综）为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M，已知地球半径为R＝6.4×106m，地球质量m＝6.0×1024Kg，日地中心距离r＝1.5×1011m，地球表面处的重力加速度g＝10m/s2，1年约为3.2×107s，试估算目前太阳的质量M。

12.一宇航员为了估测一星球的质量，他在该星球的表面做自由落体实验：让小球在离地面h高处自由下落，他测出经时间t 小球落地，又已知该星球的半径为R，试估算该星球的质量13. 一宇宙飞船靠近某行星时，绕行星表面做匀速圆周运动，随

后在行星上着陆，为了测定该行星的质量，宇航员带有简单仪器：停表、天平、弹簧秤、水银气压计、质量为m的钩码。

⑴请为他设计一个可行的测定该行星质量的方案，简述步骤；

⑵导出行星质量表达式，引力常量G可作为已知量。

D D D B C C D

8解答：地表处物体所受引力约等于重力，于是有

2

R

GmM

=mg

地球的平均密度为ρ=

V

M

=

3

3

4

R

M

π

由此可得ρ=

GR

g

π4

3

=

6

1110

4.6

10

7.6

14

.3

4

8.9

3

⨯

⨯

⨯

⨯

⨯

⨯

-

kg/m3 =5.5×103kg/m3

地核的平均密度为

o

ρ=

V

M

%

16

%

34=

8

17ρ=1.2×104kg/m3

9.

2R

T

π

，

23

2

4R

GT

π

10.

G

R

v2

1011

11地球绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，根据万有引力

定律和牛顿第二定有

2

2

2

4

T

mr

r

Mm

G

π

=①

又在地球表面附近的质量为m.物体有g

m

R

m

M

G'

=

'

2

②

①②联立解得：

Kg

g

R

r

T

m

M21

2

6

2

11

2

7

24

2

2

210

26

.1

10

)

10

4.6(

)

10

5.1(

)

10

2.3

14

.3

2

(

10

0.6

)

2

(⨯

=

⨯

⨯

⨯

⨯

⨯

⨯

⨯

⨯

=

=

π

12.由自由落体规律：2

2

1

t

g

h

星

=可得：

2

2

t

h

g=

星

由万有引力定律得：

2

R

GM

g=

星

可得：

2

2

2

Gt

hR

M=

13.解析：（1）①用停表测出宇宙飞船绕行星表面做匀速圆周运

动的周期T；②宇航员在该行星上用天平测出钩码的质量m；

③用弹簧秤测出钩码的重力F。

（2）宇宙飞船绕行星表面做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，可得：GMm/R2=mR4π2/T2……………………①

又在地球表面附近的质量为m物体有 GMm/R2=mg………………②②联立消去R，解得：M=F3T4/(16π4Gm3)