专题2.6 中心天体质量密度的计算问题(解析版)

气体的阻力。则艾奥表面的重力加速度大小 g＝________；艾奥的质量 M＝________；艾奥的第一宇宙速度
v＝________。
【答案】 v20 R2v20 v0 R
2h 2hG
2h
【解析】
岩块做竖直上抛运动，有
0－v20＝－2gh，解得
g＝ v20 ；忽略艾奥的自转，有 2h
GMRm2 ＝mg，解得
A． 5109 kg / m3
B． 51012 kg / m3 C． 51015 kg / m3
D． 51018 kg / m3
【答案】C
【解析】在天体中万有引力提供向心力，即 GMm R2
m
2π T
2
R
，天体的密度公式
M V
M 4 πR3 3
，结合
这两个公式求解。设脉冲星值量为
M，密度为
，根据天体运动规律知：
GMm R2
m
2π T
2
R
，
M V
M 4 πR3
，代入可得：
51015 kg / m3 ，故 C 正确；故选 C。
3
【技巧方法】
应用公式时注意区分“两个半径”和“两个周期”
3
(1)天体半径和卫星的轨道半径,通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径
指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．
2π T月
)2
r
，解得
M
4π 2 r 3 GT月2
；由
5
GM日M r日2
M
(
2π T日
)2
r日，会消去两边的
M；故
BC
能求出地球质量，D
不能求出。
4.(2019·甘肃省武威一中高三(上)期末)木星的卫星之一叫艾奥，它上面的珞珈火山喷出的岩块初速度为 v0时， 上升的最大高度可达 h。已知艾奥的半径为 R，引力常量为 G，忽略艾奥的自转及岩块运动过程中受到稀薄
M
＝R2v20，某质量为 2hG
m′的卫星在艾奥表面绕其做圆周运动时有
m′g＝m′v2，解得 R
v＝v0
R。 2h
5.我国探月的“嫦娥工程”已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球．假如宇航员在月球上测得摆长为
L 的单摆做小振幅振动的周期为 T，将月球视为密度均匀、半径为 r 的球体，则月球的密度为( )
所在弹簧最大压缩量为 2 x0 ，物体 Q 所在弹簧最大压缩量为 4 x0 ，则 Q 下落过程中，弹簧最大压缩量时 P 物体最大压缩量的 2 倍，D 错误；故本题选 AC。 【2019·浙江选考】20 世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直
2
线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt 内速度的改变为Δv，和飞船受 到的推力 F（其它星球对它的引力可忽略）。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速 度 v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为 T 的匀速圆周运动。已知星球的半径为 R，引力常量用 G 表示。 则宇宙飞船和星球的质量分别是（ ）
1
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
【答案】AC
【解析】A、由 a–x 图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有： mg kx ma ，
变形式为：a g k x ，该图象的斜率为 k ，纵轴截距为重力加速度 g 。根据图象的纵轴截距可知，两
3
＝ 3πg0 ，故 GT2（g0－g）
B
正确．
3.利用引力常量 G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是（ ）
A．地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转）
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
()
A.3π（g0－g） GT2g0
C.G3Tπ2
B. 3πg0 GT2（g0－g）
D.G3πTg2g0
【答案】B
【解析】在地球两极引力等于重力，则有：GMRm2 ＝mg0，由此可得地球质量：M＝g0GR2，在赤道处，引力与
g0R2 支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，则有：GMRm2 －mg＝m4Tπ22R，那么地球的密度为：ρ＝MV ＝4πGR3
天疆，全力维护北斗卫星导航系统的连续稳定运行。若这颗卫星在轨运行的周期为 T，轨道半径为 r，地球
的半径为 R，则地球表面的重力加速度为( )
A.4Tπ2R2r23
B.4Tπ22Rr3
C.4Tπ22rr3
D.4Tπ22rr23
【答案】 A
【解析】 根据万有引力提供向心力，GMr2m＝m4Tπ22r，得 M＝4GπT2r23，根据 GMRm2 ＝mg，得 g＝GRM2 ＝4Tπ2R2r23，A
B
错误；彗星的密度为ρ＝MV ＝4πMR3＝G3Tπ2，故
C
正确；根据
GMr2m＝mω2r，GRM2m
3
＝mR4Tπ22，r＝nR，则卫星
B
的运行角速度为 2π ，故 T n3
D
正确．
2.假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0，在赤道的大小为 g；
地球自转的周期为 T，引力常量为 G.则地球的密度为
合
a–x
图象面积的物理意义可知：物体
P
的最大速度满足 vP2
2
1 2
3a0
x0
3a0 x0 ，物体
Q
的最大速度满
足： vQ2
2a0
x0
，则两物体的最大动能之比：
EkQ EkP
1 2
mQvQ2
1 2
mPvP2
mQ mP
vQ2 vP2
4 ，C 正确；D、物体 P 和物体 Q
分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a=0）可知，物体 P 和 Q 振动的振幅 A 分别为 x0 和 2x0 ，即物体 P
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专题 2.6 中心天体质量密度的计算问题
【专题诠释】
中心天体质量和密度常用的估算方法
使用方法
质
量
的
利用运
计
行天体
算
已知量 r、T r、v
v、T
利用公式
GMr2m＝mr4Tπ22 GMr2m＝mvr2
GMr2m＝mvr2
GMm＝mr4π2
r2
T2
表达式 M＝4GπT2r23 M＝rv2
A．
F v t
，
v2R G
B．
F v t
，
v3T 2πG
C．
F t v
，
v2R G
D．
F t v
，
v3T 2πG
【答案】D
【解析】直线推进时，根据动量定理可得
F t
mv
，解得飞船的质量为 m
F t v
，绕孤立星球运动时，
根据公式 G
Mm r2
m
4 2 T2
r
，又 G
Mm r2
m
v2 r
，解得 M
v3T 2 G
其所受弹力和重力二力平衡， mg
kx
，即： m
kx g
；结合
a–x
图象可知，当物体
P
和物体
Q
分别处于平
衡位置时，弹簧的压缩量之比为： xP xQ
x0 2x0
1 2
，故物体
P
和物体
Q
的质量之比为：
mP mQ
xp gN xQ gM
1， 6
故 B 错误；C、物体 P 和物体 Q 分别处于各自的平衡位置（a=0）时，它们的动能最大；根据 v2 2ax ，结
m
m
星球表面的重力加速度之比为：gM 3a0 3 ；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等， gN a0 1
即： G
Mm R2
mg
，即该星球的质量 M
gR2 G
。又因为： M
4 R3 3
，联立得
3g 4 RG
。故两星球的
密度之比为：
M N
gM gN
RN RM
1:1 ，故 A 正确；B、当物体在弹簧上运动过程中，加速度为 0 的一瞬间，
正确，B、C、D 错误。
【例 2】(2019·福建三明高三上学期期末)2019 年 1 月 3 日上午，嫦娥四号顺利着陆月球背面，成为人类首
颗成功软着陆月球背面的探测器(如图所示)。地球和月球的半径之比为 R ＝a，表面重力加速度之比为 g ＝b，
R0
g0
则地球和月球)
A．木星的质量 M＝ v3T 2πG
C．木星的质量 M＝4πG2Tc32t3
B．木星的质量 M＝π22GcT3t23 D．根据题目所给条件，可以求出木星的密度
的是
()
4
A．彗星的半径为vT 2π
B．彗星的质量为 v3T 4πG
C．彗星的密度为G3Tπ2
D．卫星 B 的运行角速度为 2π T n3
【答案】 ACD
【解析】 由题意可知，卫星 A 绕彗星表面做匀速圆周运动，则彗星的半径满足：R＝vT，故 A 正确；根据 2π
GMRm2 ＝mvR2，解得
M＝ v3T ，故 2πG
【答案】D
【解析】在地球表面附近，在不考虑地球自转的情况下，物体所受重力等于地球对物体的万有引力，有
GMm R2
mg
，可得 M
gR2 G
，A
能求出地球质量。根据万有引力提供卫星、月球、地球做圆周运动的向