概率论与数理统计之古典概率.
概率论文---古典概型浅析
浅析古典概型1018202班于春旭1101800214经过一学期的概率论与数理统计的学习，从最开始的随机事件与概率到多维随机变量，再到数理统计，参数估计。
对于概率的一些基本知识已经有所掌握。
那么回过头来，让我们去分析一下概率论中最为基础的也是最为贴近平时生活的一种概型，古典概型。
所谓古典概型是一种概率模型。
古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件发生的可能性是相同的。
若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发生的概率为p（A）=m/n，也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。
历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。
计算古典概率，可以用穷举法列出所有基本事件，再数清一个事件所含的基本事件个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。
例如：掷一次硬币的实验（质地均匀的硬币），只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认为出现正面或反面的可能性是相同的；如掷一个质地均匀骰子的实验，可能出现的六个点数每个都是等可能的；又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验，也属于这个模型。
是概率论中最直观和最简单的模型；概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。
相较于其他概型，古典概型有以下特点：1、实验的样本空间只包括有限个元素；2、实验中每个基本事件发生的可能性相同。
求古典概型的概率的基本步骤：（1）算出所有基本事件的个数n；（2）求出事件A包含的所有基本事件数m；（3）代入公式P(A)=m/n，求出P（A）。
古典概率模型是在封闭系统内的模型，一旦系统内的某个事件的概率在其他概率确定前被确定，其他事件概率也会跟着发生改变。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
0 x 1 法二 (公式法)：注意到被积函数的非零区域G为： 0 z x 1 能否用 f Z ( z ) f X ( x) fY ( z x )dx ?
若Xi ~ N( i，i 2), i=1,2,...n, 相互独立，则对任 何实数a1, a2, …, an, 有
aX1 b ~ N ( a1 b,, a2? 12 ), ?
ai i , ? i2 i2 ) a ai X i ~ N ( ?
i 1 i 1 i 1
(P( A B) B) P3 A / B) 0.3 0054 0.2 P AB) P( 0. ( 0.5 0.5 . . P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.3 0.5 0.2 0.6
P( A B ) P( A B) 1 P( A B) 0.4
于是Y的概率密度为 1 1 1/ 2 fY ( y ) f X ( y ) ( y ) f X ( y ) ( y ) 1/ 2 2 2 1 ( y ) 1/ 2 [ f X ( y ) f X ( y )] , y 0 2
f Y ( y) 0 , y 0
例1 设甲、乙、丙三 人的命中率分别为0.3， 0.2，0.1。现三人独立地 A 1 向目标各射击一次，结果 有两次命中目标，试求丙 没有命中目标的概率。
P(Ai)—— 先验概率
A2
........
An
P(Ai /B ) 后验概率
P(B/Ai) P(B )
大学概率论与数理统计复习资料
知识点：概率的性质事件运算古典概率常用公式(2)P(A BP P(A) P(B)- P(AB)(加法定理)nnP(U A) Y p(A)i d innP(U A)=l-n [1-P(A)]i di d(3) P(B/A)二 P(AB)/P(A) (4)P(AB)二 P(A)P(B/A)二P(B)P(A/B) P(AB)二 P(A)P(B) (A 与B 独立时)P(AB)二0(A,B 互不相容时)(5) P (A- Bp P(ABp P(A)- P(AB)P(A- B)二 P(AB)二 P(A) - P(B)(当B A 时)n(6) P (B)八 P(A i )P(B/A i )(全概率公式)i=1(其中A ,,A 2 A n 为"的一个划分,且P(A i 0)) (7) P (A /B) = nP(A)P(B/A)(逆概率公式)迟 P(A i )P(B/A)事件的独立性条件概率全概率与贝叶斯公式(1)P(Ap r/nP(AP L(A)/L(S)（设A,4…A 两两互斥,有限可加性）（A ，4, A 相互独立时）i =1应用举例1、已知事件A, B 满足P(AB) = P(AB),且P(A) = 0.6 ,贝卩P(B)=()。
2、已知事件A,B 相互独立，P(A) =k, P(B) =0.2, P(0 B)=0.6，贝k - ()。
3、已知事件A,B 互不相容，P(A) =0.3, P(B) = 0.5,则 P(A B)=()。
4、若P(A) =0.3, P(B)=0.4 ,P(AB) = 0.5, P(BA B)=( )。
5、A, B,C是三个随机事件，C B，事件AUC - B与A的关系是6、5张数字卡片上分别写着1, 2, 3, 4, 5,从中任取3张，某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。
(1 )试求他在5:40〜5:50到家的概率；(2)结果他是5:47到家的。
试求他是乘地铁回家的概率。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结概率论与数理统计是数学的一个重要分支，主要研究各种随机现象的规律性及其数值描述。
下面将对概率论与数理统计的一些重要知识点进行总结。
一、概率论知识点总结1. 随机事件与概率- 随机事件：指在一定条件下具有不确定性的事件。
- 概率：用来描述随机事件发生的可能性大小的数值。
2. 古典概型与几何概型- 古典概型：指随机试验中，所有基本事件的可能性相等的情况。
- 几何概型：指随机试验中，基本事件的可能性不完全相等，与图形的属性有关的情况。
3. 随机变量与概率分布- 随机变量：定义在样本空间上的函数，用来描述试验结果与数值之间的对应关系。
- 离散随机变量：取有限个或可列个数值的随机变量。
- 连续随机变量：取无限个数值的随机变量。
4. 期望与方差- 期望：反映随机变量平均取值的数值。
- 方差：反映随机变量取值偏离期望值的程度。
5. 大数定律与中心极限定理- 大数定律：指在独立重复试验中，随着试验次数增加，事件发生的频率趋近于其概率。
- 中心极限定理：指在独立随机变量之和的情况下，当随机变量数目趋于无穷时，这些随机变量之和的分布趋近于正态分布。
二、数理统计知识点总结1. 抽样与抽样分布- 抽样：指对总体进行有规则地选择一部分样本进行观察和研究的过程。
- 抽样分布：指用统计量对不同样本进行计算所得到的分布。
2. 参数估计与置信区间- 参数估计：根据样本推断总体的未知参数。
- 置信区间：对于总体参数估计的一个区间估计，用来表示这个参数的可能取值范围。
3. 假设检验与统计显著性- 假设检验：用来判断统计推断是否与已知事实相符。
- 统计显著性：基于样本数据，对总体或总体参数进行判断的一种方法。
4. 方差分析与回归分析- 方差分析：用来研究因素对于某一变量均值的影响程度。
- 回归分析：通过观察变量之间的关系，建立数学模型来描述两个或多个变量间的依赖关系。
5. 交叉表与卡方检验- 交叉表：将两个或多个变量的数据按照某种方式交叉排列而形成的表格。
概率论与数理统计—古典概型
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3.排列：从n个不同元素中（按不放回方式）取出m
(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的排列数，记为
Pnm n (n 1) (n m 1)
4.组合：从n个不同元素中（按不放回方式）取出m
(m≤n)个元素并成一组， 叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，记为
有m1种不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法，…… 在第n类中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
M m1 m2 mn
2.乘法原理：完成1件事，需要分成n个步骤. 做第1步
有m1种不同的方法, 做第2步有m2种不同的方法，…… 做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
N m1 m2 mn
P( A) C9153 C52 0.1377 C15
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例3.袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中 取一只球，
(1)作放回抽样；(2)作不放回抽样
求第i(i=1,2,…,)人取到白球(记为事件B)的概率 （设k ≤ a+b）.
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Cnm
n (n
1)
(n m!
m
1)
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例1将. n只球随机地装入N个盒子中去，问每个盒子 至多装一只球的概率（设盒子容量不限,n≤N）. 解：设A为每个盒子至多装一只球， n只球随机地装入N个盒子共有 N N N N n 每个盒子至多装一只球，则第一只球共有N种装法，
第二只球有N-1种装法，……，第n只球有N-n+1 种，
故N(A)=NP((NA)-1)N…((NN-n+1)1N),n于(N是 n 1)
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)eik则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
在概率论中，样本空间和随机事件是基本概念。
如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊂B。
当A和B中至少有一个发生时，称A∪B为事件A和事件B的和事件。
当A和B同时发生时，称A∩B为事件A和事件B的积事件。
当A发生、B不发生时，称A-B为事件A和事件B的差事件。
如果A和B互不相容，即A∩B=∅，则称A和B是互不相容的，或互斥的，基本事件是两两互不相容的。
如果A∪B=S且A∩B=∅，则称事件A和事件B互为逆事件，又称事件A和事件B互为对立事件。
在概率论中，还有一些运算规则。
交换律指A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律指(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；分配律指A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；德摩根律指A∪B=A∩B，A∩B=A∪B。
频率与概率是概率论的重要概念。
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率。
概率指对于随机试验E的每一事件A赋予一个实数P(A)，称为事件的概率。
概率P(A)满足非负性，即对于每一个事件A，0≤P(A)≤1；规范性，即对于必然事件S，P(S)=1；可列可加性，即设A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞）。
概率还有一些重要性质，包括P(∅)=0，P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞），如果A⊂B，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤1，P(A)=1-P(A')，以及P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
等可能概型又称为古典概型，是指试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同。
如果事件A 包含k个基本事件，即A={e1}∪{e2}∪…∪{ek}，则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
概率论与数理统计完整公式
概率论与数理统计完整公式概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。
在概率论与数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。
以下是概率论与数理统计的完整公式。
一、概率论公式：1.全概率公式：设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)2.贝叶斯公式：对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]3.事件的独立性：若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。
4.概率的乘法公式：对于独立事件A1，A2，…，An，有：P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)5.概率的加法公式：对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6.条件概率的计算：对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)7.古典概型的概率计算：设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二、数理统计公式：1.样本均值的期望和方差：样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。
2.样本方差的期望：样本方差S^2的期望为：E(S^2)=σ^2，其中σ^2为总体方差。
概率论与数理统计-古典概型_图文
思考题
从0,1,2, ,9共十个数字中任意选出三个不同的数字, 试求下列事件的概率：
从0,1,2, ,9共十个数字中任意选出三个不同的数字, 试求下列事件的概率：
从0,1,2, ,9共十个数字中任意选出三个不同的数字, 试求下列事件的概率：
则有
该式称为等可能概型中事件概率的计算公式.
[例1]
表达方法：
[例 2]
解：(1) 有放回情形 样本空间中基本事件总数：
所包含的基本事件总数： 于是，
(2) 无放回情形 样本空间中基本事件总数：
所包含的基本事件总数：
于是，
[例3]（继上题） 将抽样方式改为“一次任取 件样品”,求相应
的概率. 解： 样本空间中基本事件总数为：
解：基本事件总数为：
* 2.几何概型
假设随机试验包含无穷多个基本事件,且每个基本 事件都是等可能的. 定义
小结
1. 古典概型：构建合适的样本空间,正确计算样本 点个数.构建样本空间时,要特别注意样本点的等可能 性.
2. 两个重要的概率模型---无放回抽样(超几何分 布),抽签次序无关性.
3. 几何概型---古典概型的推广：样本空间为无穷 集合.
所包含的基本事件总数为：
于是，
附：不放回依次抽样与一次抽样的等价性
例4 在10张奖券中有2张中奖券，有10人依次逐个 抽取一张奖
[例4] 一批产品共有 件,其中有 件次品.每次从中 任取一件,取出后不放回,接连取 个产品.求第 次取 得次品的概率.
概率论与数理统计-古典概型_图文.ppt
一、古典概型的定义
定义 1。试验的样本空间只包含有限个元素; 2。试验中每个基本事件发生的可能性相同.
等可能概型的试验大量存在, 它在概率论发 展初期是主要研究对象. 等可能概型的一些概念 具有直观、容易理解的特点, 应用非常广泛.
概率论与数理统计-等可能概型-古典概型
P( A)
m n
A
所包含样本点的个数
样本点总数
.
称此为概率的古典定义.
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.
解 设 A {摸得 2 只球都是白球},
基本事件总数为 6,
பைடு நூலகம்
2
A 所包含基本事件的个数为 故 P( A) 4 6 2 .
解 设 x, y 分别为 甲、乙两人到 达的时刻, 则有
1 x 2,
时刻, 那么 0 x T , 0 y T .
两人会面的充要条件为 x y t,
若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有
故所求的概率为
阴影部分面积 p 正方形面积
T 2 (T t )2
T2
1 (1 t )2 . T
y
T
y x t
x yt
o
•
t
•
T
x
例8 甲、乙两人约定在下午1 时到2 时之间到某 站乘公共汽车 , 又这段时间内有四班公共汽车， 它们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00. 如果甲、乙约定 (1) 见车就乘; (2) 最多等一辆 车. 求甲、乙同乘一车的概率. 假定甲、乙两人到达车站的时 刻是互相不牵连的，且每人在 1 时到 2 时的任何时刻到达车 站是等可能的.
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法 3 3 3 3 34种,
4种 2
2种 2
2个
2个
因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为
p 4 2 34 2 .
概率论与数理统计
E: 球编号, 一次取出 m个球, 记下颜色.
(或 Ab )1) #S P (a ,b)( a
k # A Cm Pak Pbmk ,
m ab
m ab
#b S n C , (a 1)
m ab
k mk # A Ca Cb ,
—— 超几何分布—— 注: 不放回地逐次取 m 个球与一次取 m 个球所得结果相同.
解: A = “取到的数被 6 整除”， B = “取到的数被 8 整除”.
则
P ( A) 333 , 2000 P ( B) 250 , 2000 P( AB) 83 , 2000
所求为：P( A
B ) P ( A B) 1 P ( A B )
1 [ P( A) P( B) P( AB )] 1 ( 333 250 83 ) 3 . 4 2000 2000 2000
1
例1. 一个盒中装有10个大小形状完全相同的球. 依次将球
编号为1-10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球 . 1. 样本空间 S = { 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 }?
2. 记 A = “摸到 2 号球”，则 P(A) = ?
A = { 2 },
P( A) # A 1 ; # S 10
5 1 9 4 6 7 2 3 10 8
3. 记 B = “摸到红色球”，则 P(B) = ? B = { 1 2 3 4 5 6 }, P( B) # B 6 . # S 10
第一章 概率论的基本概念
2
例2 (p.13 例6). 在 1~2000 的整数中随机地取一个数，求
该数既不能被 6 整除, 又不能被 8 整除的概率.
概率论与数理统计概率历史介绍
概率论与数理统计概率历史介绍-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1一、概率定义的发展与分析1.古典定义的历史脉络古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博．博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能．16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比．2.古典定义的简单分析古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法．它适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能．其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提．如何在更多和更复杂的情况下，体现出“同等可能”伯努利家族成员做了这项工作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中．用排列（组合）体现同等可能的要求，就是将总数为P(n,r)的各种排列（或总数为C(n,r)的各种组合）看成是等可能的，通常用“随意取”来表达这个意思．即使如此，古典定义的方法能应用的范围仍然很窄，而且还有数学上的问题．“应用性的狭窄性”促使雅各布?伯努利（1654—1705）“寻找另一条途径找到所期待的结果”，这就是他在研究古典概率时的另一重要成果：伯努利大数定律．这条定律告诉我们“频率具有稳定性”，所以可以“用频率估计概率”，而这也为以后概率的统计定义奠定了思想基础．“古典定义数学上的问题”在贝特朗（1822—1900）悖论中表现得淋漓尽致，它揭示出定义存在的矛盾与含糊之处，这导致了拉普拉斯的古典定义受到猛烈批评．3.统计定义的历史脉络概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限．正如雅各布•伯努利所说：“……这种方法仅适用于极罕见的现象．”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，可利用的有关观测的次数越多，发生错误的风险就越小”．虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”．事实上，这不仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事实是一个普遍规律．1919年，德国数学家冯•米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率．4.统计定义的简单分析虽然统计定义不能像古典定义那样确切地算出概率，但是却给出了一个估计概率的方法．而且，它不再需要“等可能”的条件，因此，从应用的角度来讲，它的适用范围更广．但是从数学理论上讲，统计定义是有问题的．在古典概率的场合，事件概率有一个不依赖于频率的定义——它根本不用诉诸于试验，这样才有一个频率与概率是否接近的问题，其研究导致伯努利大数定律．在统计定义的场合这是一个悖论：你如不从承认大数定律出发，概率就无法定义，因而谈不上频率与概率接近的问题；但是你如承认大数定律，以便可以定义概率，那大数定律就是你的前提，而不是一再需要证明的论断了．5.公理化定义的历史脉络正因为古典定义和统计定义数学理论上的这样或那样的问题，所以到了19世纪，无论是概率论的实际应用还是其自身发展，都要求对概率论的逻辑基础作出更加严格的考察．1900年，38岁的希尔伯特（1862—1943）在世界数学家大会上提出了建立概率公理系统的问题，这就是著名的希尔伯特23个问题中的第6个问题．这引导了一批数学家投入这方面的工作．在概率公理化的研究道路上，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（1903—1987）成绩最为卓著，1933年，他在《概率论基础》中运用集合论和测度论表示概率论的方法赋予了概率论严密性．6.公理化定义的简单分析为什么直到20世纪才实现了概率论的公理化，这是因为20世纪初才完成了勒贝格测度与积分理论以及抽象测度与积分理论，而这都是概率论公理化体系建立的基础．柯尔莫哥洛夫借助实变函数论和测度论来定义概率概念，形成了概率论的公理化体系，他的公理体系既概括了古典定义、统计定义的基本特性，又避免了各自的局限．例如，公理中有一条，是把事件概率的存在作为一个不要证明的事实接受下来，在这个前提下，大数定律就成为一个需要证明且可以得到证明的论断，这就避免了“4”中统计定义的数学理论上的问题；而公理中关于“概率存在”的规定又有其实际背景，这就是概率的古典定义和统计定义．所以，我们说，概率论公理体系的出现，是概率论发展史上的一个里程碑，至此，概率论才真正成为了严格的数学分支．二、关于概率定义教学的几点思考对于概率的定义，教科书是先给出古典定义，然后再给出统计定义．这与历史上概率定义的发展相吻合，从“简单到复杂”．在教学中，我们不仅要明了这种顺序的设计意图，而且还要抓住不同定义的特点和思想，以引导学生更好地理解概率．1.古典定义的教学定位在前面的分析中，我们说“等可能”是古典概率非常重要的一个特征，它是古典概率思想产生的前提．正是因为“等可能”，所以才会有了“比率”．因此，“等可能性”和“比率”是古典定义教学中的两个落脚点．“等可能”是无法确切证明的，往往是一种感觉，但是这种感觉是有其实际背景的，例如，掷一枚硬币，“呈正面”“呈反面”是等可能的，因为它质地均匀；而掷一枚图钉，“钉帽着地”“顶针着地”不是等可能的，因为图钉本身给我们的感觉就是帽重钉轻．因此，“等可能”并不要多么严密的物理上或化学上的分析，只需要通过例子感知一下“等可能”和“不等可能”即可，以便让学生明白古典定义的适用对象须具备的条件．2.统计定义的教学定位从直观上讲，统计定义是非常容易接受的，但是它的内涵是非常深刻的，涉及到大数定律．在初中阶段，我们不可能让学生接触其严格的形式和证明．因此，统计定义定位在其合理性和必要性是比较恰当的．如何让学生体会其合理性和必要性？罗老师的课堂教学比较好地实现了这两点．从教学顺序来看，罗老师将“掷硬币”作为归纳统计定义的例子，“掷硬币”可以用古典定义求概率，所以概率值是明确的，而通过试验的方法计算得到的频率就可以和这个明确的概率值相比较，如此更容易让学生体会到“频率具有稳定性”这一事实，从而感受到“用频率估计概率”的合理性；罗老师将“掷图钉”作为统计定义的应用，“掷图钉”不能用古典定义求概率，由此能让学生体会到学习统计定义计算事件概率的必要性．从教学手段来看，罗老师主要采用了“学生试验”的方法，学生的亲自试验在这节课所起的作用是无可代替的：“亲自试验”获得的结果能够给学生以真实感和确切感；“亲自试验”能够让学生感受到频率的随机性和稳定性等特点．所以，像概率与统计的学习，学生应该有更多的主动权和试验权，在动手和动脑中感受概率与统计的思想和方法．3. 概率与统计教学的背后：专业素养的提升在课题研讨时，教师们表现出这样一些困惑：随着试验次数的增加，频率就越来越稳定频率估计概率，一定要大量试验实验次数多少合适事实上，这些问题涉及的就是概率与统计的专业素养．对于大多数教师而言，概率与统计相对而言比较陌生，这是很自然的，因为在教师自身接受的数学专业学习中，概率与统计就是一个弱项．但是，既然要向学生教授概率与统计，那么还是需要有“一桶水”的．就像上面的问题，翻阅任何一本《概率论与数理统计》，都可以给我们知识上的答案，而翻阅一下相关的科普读物或史料，就可以给我们思想方法上的答案．举个例子：伯努利大数定律：设m是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p()，则对任意的，有．狄莫弗-拉普拉斯极限定理：设m是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p()，则．伯努利大数定律只是告诉我们，当n趋于无穷时，频率依概率收敛于概率p．伯努利的想法是：只要n充分大，那么频率估计概率的误差就可以如所希望的小．值得赞赏的是，他利用了“依概率收敛”而不是更直观的p，因为频率是随着试验结果变化的，在n次试验中，事件A出现n次也是有可能的，此时p就不成立了．伯努利不仅证明了上述大数定律，而且还想知道：若想要把一个概率通过频率而确定到一定的精确度，要做多少次观察才行．这时，伯努利大数定律无能为力，但是狄莫弗-拉普拉斯极限定理给出了解答：．（*）例如研究课中掷硬币的问题，若要保证有95%的把握使正面向上的频率与其概率0.5之差落在0.1的范围内，那要抛掷多少次？根据（*）式，可以估计出．三、概率论发展简史概率论有悠久的历史，它的起源与博弈问题有关。
概率论及数理统计概率历史介绍
一、概率定的展与剖析1.古典定的史脉古典定中的“古典”表示了种定发源的古老，它源于博．博弈的形式多种多，但是它的前提是“公正”，即“时机均等”，而正是古典定合用的重要条件：同样可能． 16 世意大利数学家和博家卡丹（ 1501—1576）所的“ 的骰子”，即道了然一点．在卡丹此后三百年的里，帕斯卡、、伯努利等数学家都在古典概率的算、公式推和大用等方面做了重要的工作．直到1812 年，法国数学家拉普拉斯（ 1749—1827）在《概率的剖析理》中出概率的古典定：事件 A 的概率等于一次中有益于事件 A 的可能果数与事件中全部可能果数之比．2.古典定的剖析古典定通了然的方式定了事件的概率，并出了可行的算法．它合用的条件有二：（ 1）可能果数有限；（ 2）每个果的出有同样可能．此中第（ 2）条特别重要，它是古典概率思想生的前提．怎样在更多和更复的状况下，体出“同样可能”？伯努利家族成做了工作，他将摆列合的理运用到了古典概率中．用摆列（合）体同样可能的要求，就是将数 P(n,r)的各样摆列（或数 C(n,r) 的各样合）当作是等可能的，往常用“任意取”来表达个意思．即便这样，古典定的方法能用的范仍旧很窄，并且有数学上的．“ 用性的狭小性”促进雅各布 ?伯努利（ 1654— 1705）“ 找另一条门路找到所期望的果”，就是他在研究古典概率的另一重要成就：伯努利大数定律．条定律告我“ 率拥有定性”，所以能够“用率估概率”，而也此后概率的定确定了思想基．“古典定数学上的”在特朗（ 1822— 1900）悖中表得酣畅淋漓，它揭露出定存在的矛盾与含糊之，致了拉普拉斯的古典定遇到剧烈批．3.定的史脉概率的古典定然直，但是合用范有限．正如雅各布 ?伯努利所：“⋯⋯ 种方法合用于极罕的象．”所以，他通察来确定果数量的比率，并且“即便是没受教育和的人，凭天生的直，也会清楚地知道，可利用的有关的次数越多，生的就越小”．然原理，但是其科学明其实不，在古典概型下，伯努利了一点，即“当次数愈来愈大，率靠近概率”．事上，不于古典概型合用，人确信“从中察的率定性”的事是一个广泛律． 1919 年，德国数学家 ?米塞斯（ 1883— 1953）在《概率基研究》一中提出了概率的定：在做大批重复，跟着次数的增添，某个事件出的率是在一个固定数的邻近，示出必定的定性，把个固定的数定一事件的概率．4.统计定义的简单剖析固然统计定义不可以像古典定义那样切实地算出概率，但是却给出了一个预计概率的方法．并且，它不再需要“等可能”的条件，所以，从应用的角度来讲，它的合用范围更广．但是从数学理论上讲，统计定义是有问题的．在古典概率的场合，事件概率有一个不依靠于频次的定义——它根本不用诉诸于试验，这样才有一个频次与概率能否靠近的问题，其研究致使伯努利大数定律．在统计定义的场合这是一个悖论：你如不从认可大数定律出发，概率就没法定义，因此谈不上频次与概率靠近的问题；但是你如认可大数定律，以便能够定义概率，那大数定律就是你的前提，而不是再三需要证明的论断了．5.公义化定义的历史脉络正因为古典定义和统计定义数学理论上的这样或那样的问题，所以到了 19 世纪，不论是概率论的本质应用还是其自己发展，都要求对概率论的逻辑基础作出更为严格的观察．1900 年，38 岁的希尔伯特（ 1862— 1943）在世界数学家大会上提出了成立概率公义系统的问题，这就是有名的希尔伯特 23 个问题中的第 6 个问题．这指引了一批数学家投入这方面的工作．在概率公义化的研究道路上，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（ 1903—1987）成绩最为卓著， 1933 年，他在《概率论基础》中运用会合论和测度论表示概率论的方法给予了概率论严实性．6.公义化定义的简单剖析为何直到20 世纪才实现了概率论的公义化，这是因为20 世纪初才达成了勒贝格测度与积分理论以及抽象测度与积分理论，而这都是概率论公义化系统成立的基础．柯尔莫哥洛夫借助实变函数论和测度论来定义概率看法，形成了概率论的公义化系统，他的公义系统既归纳了古典定义、统计定义的基本特征，又防止了各自的限制．比如，公义中有一条，是把事件概率的存在作为一个不要证明的事实接受下来，在这个前提下，大数定律就成为一个需要证明且能够获取证明的论断，这就防止了“ 4”中统计定义的数学理论上的问题；而公义中对于“概率存在”的规定又有其本质背景，这就是概率的古典定义和统计定义．所以，我们说，概率论公义系统的出现，是概率论发展史上的一个里程碑，至此，概率论才真切成为了严格的数学分支．二、对于概率定义教课的几点思虑对于概率的定义，教科书是先给出古典定义，而后再给出统计定义．这与历史上概率定义的发展相符合，从“简单到复杂”．在教课中，我们不单要了然这种次序的设计企图，并且还要抓住不一样定义的特色和思想，以指引学生更好地理解概率．1.古典定义的教课定位概率思想产生的前提．正是因为“等可能”，所以才会有了“比率”．所以，“等可能性”和“比率”是古典定义教课中的两个落脚点．“等可能”是没法切实证明的，常常是一种感觉，但是这种感觉是有其本质背景的，比如，掷一枚硬币，“呈正面”“呈反面”是等可能的，因为它质地均匀；而掷一枚图钉，“钉帽着地”“顶针着地”不是等可能的，因为图钉自己给我们的感觉就是帽重钉轻．所以，“等可能”其实不要多么严实的物理上或化学上的剖析，只需要经过例子感知一下“等可能”和“不等可能”即可，以便让学生理解古典定义的合用对象须具备的条件．2.统计定义的教课定位从直观上讲，统计定义是特别简单接受的，但是它的内涵是特别深刻的，波及到大数定律．在初中阶段，我们不行能让学生接触其严格的形式和证明．所以，统计定义定位在其合理性和必需性是比较适合的．怎样让学生领会其合理性和必需性？罗老师的讲堂教课比较好地实现了这两点．从教课次序来看，罗老师将“掷硬币”作为归纳统计定义的例子，“掷硬币”可以用古典定义求概率，所以概率值是明确的，而经过试验的方法计算获取的频次即可以和这个明确的概率值对比较，这样更简单让学生领会到“频次拥有稳固性”这一事实，进而感觉到“用频次预计概率”的合理性；罗老师将“掷图钉”作为统计定义的应用，“掷图钉”不可以用古典定义求概率，由此能让学生领会到学习统计定义计算事件概率的必需性．从教课手段来看，罗老师主要采纳了“学生试验”的方法，学生的亲身试验在这节课所起的作用是无可取代的：“亲身试验”获取的结果能够给学生以真切感和切实感；“亲身试验”能够让学生感觉到频次的随机性和稳固性等特色．所以，像概率与统计的学习，学生应当有更多的主动权和试验权，在着手和动脑中感觉概率与统计的思想和方法．3.概率与统计教课的背后：专业修养的提高在课题商讨时，教师们表现出这样一些疑惑：跟着试验次数的增添，频次就愈来愈稳固？频次预计概率，必定要大批试验？实验次数多少适合？事实上，这些问题波及的就是概率与统计的专业修养．对于大部分教师而言，概率与统计相对而言比较陌生，这是很自然的，因为在教师自己接受的数学专业学习中，概率与统计就是一个弱项．但是，既然要向学生教授概率与统计，那么还是需要有“一桶水”的．就像上边的问题，翻阅任何一本《概率论与数理统计》，都能够给我们知识上的答案，而翻阅一下有关的科普读物或史料，就能够给我们思想方法上的答案．举个例子：伯努利大数定律：设 m是 n 重伯努利试验中事件 A 出现的次数，又 A 在每次试验中出现的概率为 p() ，则对任意的，有．狄莫弗 - 拉普拉斯极限制理：设 m是 n 重伯努利试验中事件 A 出现的次数，又 A 在..每次试验中出现的概率为p() ，则．伯努利大数定律不过告诉我们，当 n 趋于无量时，频次依概率收敛于概率 p．伯努利的想法是：只需 n 充足大，那么频次预计概率的偏差就能够如所希望的小．值得欣赏的是，他利用了“依概率收敛”而不是更直观的p，因为频次是跟着试验结果变化的，在 n 次试验中，事件 A 出现 n 次也是有可能的，此时p 就不行立了．伯努利不单证了然上述大数定律，并且还想知道：若想要把一个概率经过频次而确定到必定的精准度，要做多少次察看才行．这时，伯努利大数定律力所不及，但是狄莫弗 - 拉普拉斯极限制理给出认识答：．（* ）比如研究课中掷硬币的问题，若要保证有95%的掌握使正面向上的频次与其概率之差落在 0.1 的范围内，那要投掷多少次？依据（* ）式，能够预计出．三、概率论发展简史概率论有悠长的历史，它的发源与博弈问题有关。
《概率论与数理统计》总复习资料
《概率论与数理统计》总复习资料概率论部分1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。
例1：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数：915C n ==5005事件B 包含的样本点：563514C C C r ==240，则P (B )=240/5005=0.048例2：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：410A =5040，设B ={能排成一个四位偶数}。
若允许千位数为0，此时个位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有39A 种选法；从而共有539A =2520个。
其中，千位数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有28A 种选法；从而共有428A =224个。
因此410283945)(A A A B P -==2296/5040=0.4562．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。
例1：事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，求：P (AB )，P (A －B )，P (A B )解：P (AB )=P (A )P (B )=0.3，P (A －B )=P (A )－P (AB )=0.2，P (A B )=P (A )＋P (B )－P (AB )=0.8例2：若P (A )=0.4，P (B )=0.7，P (AB )=0.3，求：P (A －B )，P (A B )，)|(B A P ，)|(B A P ，)|(B A P 解：P (A －B )=0.1，P (A B )=0.8，)|(B A P =)()(B P AB P =3/7，)|(B A P =)()()()()(B P AB P B P B P B A P -==4/7，|(B A P =)(1)()()(B P B A P B P B A P -==2/33．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。
概率论基本公式
概率论与数理统计基本公式第一部分 概率论基本公式1、)(;A B A B A AB A B A B A -⋃=⋃-==--2、对偶率：.----⋃=⋂⋂=⋃B A B A B A B A ；3、概率性率：)()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-⊂-=-时有：特别，4、古典概型5、条件概率例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？.348.0)()()|()|()2(.639.0)(31)()()(.21)|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴==========∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B ii 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。
，号罐球取自设解：6、独立事件（1）P(AB)=P(A)P(B),则称A 、B 独立。
(2)伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：事件A 发生或事件A 不发生，则称为伯努利试验，即： P(A)=p,q p A P =-=-1)( (0<p<1,p+q=1)相同条件独立重复n 次，称之为n 重伯努利试验，简称伯努利概型。
伯努利定理：k n k k n p p C p n k b --=)1(),;( （k=0,1,2……）事件A 首次发生概率为：1)1(--k p p例：设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。
1古典概率典型题解
概率论与数理统计典型题解第一章 随机事件与概率典型题解1．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率． 解 令A ={甲、乙两人相邻而坐}，设想圆桌周围有1,2,,n 这n 个位置，由于该问题属于圆排列问题，所以不妨认为甲坐1号位置，那么A 发生当且仅当乙坐2号或n 号位置，从而1,2,()2, 2.1n P A n n =⎧⎪=⎨>⎪-⎩ 2．甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷1n +次，乙掷n 次，求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数的概率．解 令A ={甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数}，B ={甲掷出反面的次数大于乙掷出反面次数}，由硬币的均匀性知，()()P A P B =，容易看出，,A B S AB ==∅，由此可知1()2P A =． 3．某班有N 个学生，上体育课时老师发给每人一根绳子进行跳绳练习，跳了10分钟后把绳子放在一堆，进行别的练习，后来每人又随机拿了一根绳子进行练习，问至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子的概率． 解 令i A ={第i 个学生拿到自己原先使用的绳子}（1,2,,i N =）， A ={至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子}，则111()()()()NN i i i j i i j N i P A P A P A P A A =≤<≤===-+∑∑1121()(1)()N i j k N i j k N P A A A P A A A -≤<<≤-+-∑12311111(1)(1)(1)(2)!N N N N N N C C C C N N N N N N N -=-+-+---- 11111(1)2!3!!N N -=-+-+-． 4．若事件A 与B 互不相容，且()0P B ≠，证明：(|)()/()P A B P A P B =． 证明 由于A 与B 互不相容，则AB A =，而()0P B ≠，故(|)()/()()/()P A B P AB P B P A P B ==．5．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为/2p ．（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率．（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率．解 令i A ={该学生第i 次考试及格}（1,2i =），A ={该学生取得该资格}，则（1）1121121()()()()()(|)P A P A P A A P A P A P A A =+=+23(1)222p p p p p =+-=-． （2）12112121121()(|)2(|)()(|)()(|)(1)/21P A P A A p p p P A A P A P A A P A P A A p p p p p===++-+． 6．设口袋里装有b 个黑球，r 个红球，任意取出一个，然后放回并放入c 个与取出的颜色相同的球，再从袋里取出一球，问：（1）最初取出的球是黑球，第二次取出的也是黑球的概率；（2）如将上述手续进行n 次，用归纳法证明任何一次取得黑球的概率都是b b r +，任何一次取得红球的概率都是r b r+． 解 令n A ={第n 次取出的球是黑球}（1,2,n =），则 （1）21(|)b c P A A b r c +=++； （2）1()b P A b r =+，假设()n b P A b r=+，则 11(|)n b c P A A b r c ++=++，11(|)n b P A A b r c+=++， 所以1111111()()(|)()(|)n n n P A P A P A A P A P A A +++=+b bc r b b b r b r c b r b r c b r+=+=+++++++， 于是()n b P A b r =+（1,2,n =），()n r P A b r=+（1,2,n =）． 7．利用概率论的思想证明恒等式（其中A a >，且均为正整数） ()(1()2111(1)(2)(1)(1)A a A a A a A a A A A A A a a a-----++++=----+．证明 设一口袋中共有A 只球，其中有a 红球，不放回地从袋中一次取一只球，令n B ={第n 次取出的球是红球}（1,2,,1n A a =-+），则11A a n n B S -+==，所以111212111()()()()()A a n A a A a n P S P B P B P B B P B B B B -+--+====+++11111a A a a A a A a a A A A A A a a----=+⋅+⋅⋅⋅⋅--+L ， 即 ()(1()2111(1)(2)(1)(1)A a A a A a A a A A A A A a a a -----+++⋅⋅⋅+=----+L g L ． 8．学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案时，就作随机猜测，现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率：（1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是12； （2）学生知道正确答案的概率是0.2．解 令B ={学生知道正确答案}，A ={学生题目答对}，则（1）()(|)0.51(|)0.8()(|)()(|)0.510.50.25P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⨯===+⨯+⨯； （2）()(|)0.21(|)0.5()(|)()(|)0.210.80.25P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⨯===+⨯+⨯． 9．甲、乙比赛射击，每进行一次，胜者得一分，在一次射击中，甲胜的概率为α，乙胜的概率为β．设(1)αβαβ>+=，且独立地进行比赛到有一人超过对方2分就停止，多得2分者胜．分别求甲、乙获胜的概率．解 令n A ={甲恰好在第n 局比赛后获胜}，n B ={乙恰好在第n 局比赛后获胜}（1,2,n =），A ={甲获胜}，B ={乙获胜}．则22n A +发生当且仅当第1,3,,21n -局可胜可负，第2,4,,2n 局的胜负情形恰好分别与第1,3,,21n -局的胜负情形相反，而第21,22n n ++局连胜．因此2222()2(2)n n n n n P A αβαααβ+==，所以222222000()()()(2)12nn n n n n P A P A P A αααβαβ∞∞∞++=======-∑∑， 同理 2()12P B βαβ=-．10．在四次独立试验中事件A 至少出现一次的概率为0.59，试问一次试验中A 出现的概率是多少？解 令n A =｛第n 次试验中A 发生｝（1,2,3,4n =），()P A p =，则41234()1(1)0.59P A A A A p =--=，解之得()0.1998P A =．11．设,A B 相互独立，()0P A >．证明,,A B A B 相互独立的充要条件是()1P A B =．证明 必要性．设,,A B A B 相互独立，则(())()()P A A B P A P A B =， 即()()()P A P A P A B =，而()0P A >，所以 ()1P A B =．充分性．设()1P A B =，则,,A B A B 两两独立，且(())()()()()()P AB A B P AB P A B P A P B P A B ==，于是,,A B A B 相互独立．12．设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为13，击伤的概率为12，击不中的概率为16．并设击伤两次也会导致潜水艇下沉．求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率．解 令n A =｛第n 枚炸弹击沉潜水艇｝，n B =｛第n 枚炸弹击伤潜水艇｝，n C =｛第n 枚炸弹击不中潜水艇｝，（1,2,3,4n =），A =｛潜水艇被击沉｝，则12341234123412341234A C C C C B C C C C B C C C C B C C C C B =，于是12341234123412341234()()()()()()P A P C C C C P B C C C P C B C C P C C B C P C C C B =++++43(1/6)4(1/2)(1/6)0.01=+⨯⨯=，所以 ()0.99P A =．13．设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=，试证A 与B 独立． 证明 因为0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=， 所以(|)1(|)(|)P A B P A B P A B =-=，即()()()()P AB P AB P B P B =，于是()(1())()()P AB P B P AB P B -=，因此 ()(()())()()()P AB P AB P AB P B P A P B =+=，从而A 与B 独立．14．已知某商场一天内来k 个顾客的概率为/!(0,1,2,)k e k k λλ-=，其中0λ>．又设每个到达商场的顾客购买商品是独立的，其概率为p ．试求这个商场一天内有r 个顾客购买商品的概率．解 令k B =｛一天内有k 个顾客到达这个商场｝(0,1,2,)k =，r A =｛这个商场一天内有r 个顾客购买商品｝，则()()(|)(1)!k r r k r r k r k k k r k rP A P B P A B eC p p k λλ∞∞--====-∑∑ 0()((1))()!!!rk r p k p p p e e r k r λλλλλ∞--=-==∑． 15．甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为,1/2p p ≥．问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利．设各局胜负相互独立．解 采用三局二胜制，甲最终获胜，其胜局的情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为2212(1)p p p p =+-．采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需比赛3局（可能赛3局，也可能赛4局或5局），且最后一局必需是甲胜，而前面甲需胜二局．例如，共赛4局，则甲的胜局情况是：“甲乙甲甲”，“乙甲甲甲”，“甲甲乙甲”，且这三种结局互不相容．由独立性得在五局三胜制下甲最终获胜的概率为3332234(1)(1)22p p p p p p ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而 2322221(615123)3(1)(21)p p p p p p p p p -=-+-=--． 当1/2p >时21p p >；当1/2p =时211/2p p ==．故当1/2p >时，对甲来说采用五局三胜制为有利．当1/2p =时两种赛制甲、乙最终获胜的概率是相同的，都是50%．。
《概率论与数理统计》第一章知识点
第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。
2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。
二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。
（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。
2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。
1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。
2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。
一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。
3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。
用Ω表示。
样本空间是必然事件。
4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。
1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。
2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。
3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。
4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。
5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。
概率论与数理统计第3节 古典概型与几何概型
S 1,
S(A)
2
3 1
3
(1
x
2 9
1 )dx x
1 2 ln 2;
69
因此所求事件A的概率为：
P( A)
A的面积 的面积
1 6
2 9
ln
2
1
2
ln
2.
1
69
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内容小结
1. 古典概型:
(1) 试验结果有限个 ;
(2)每种结果出现是等可能 的;
解：样本空间的样本点有100 个，设A表示“取到的整数能 被6整除”,B表示“取到的整数能被8整除”；
令A中的样本点为x 个，则有：6x 100, 解得：x 16; 令B中的样本点为y 个，则有：8y 100, 解得：y 12; 令AB中的样本点为z 个，则有：24z 100, 解得：z 4; 于是取到的整数能被6或8整除的概率为：
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那么问题来了，请问如果你是参赛者，为了得到门后的跑车大 奖，你会做哪种选择，使得自己获奖的概率会更大呢？
或者增加点难度，换和不换的获胜概率分别是多少呢？
为了避免歧义和误解，先明确游戏具有如下的限制条件：
1.参赛者只能在三扇门中挑选一扇，而且他并不知道内里 有什么。
2.主持人却是明确知道每扇门后面有什么。 3.主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门 的机会。
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一、古典概型
例5的结果表明，这是一个小概率事件。 人们在长期的实践中，总结出了所谓的“实际推断原理”： 概率很小的事件在一次试验中实际上几乎不可能发生。 但例5表明概率很小的事件在一次试验中竟然发生了， 因此有理由怀疑假设的正确性，而断言该女士却有这种分辨能力， 即她的说法是可信的。 这种推断思想在第8章的假设检验中十分有用。
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概率论与数理统计之古典概型和伯努利概型
概率与数理统计是考研数学的一大模块，一般常出现在填空题、选择题、计算题和证明题中，下面是我对古典概型、几何概型、伯努利概型进行分析，希望大家在基础复习阶段就能记住，打好基础。
古典型概率：
当试验结果为有限n个样本点,且每个样本点的发生具有相等的可能性，如果事件A由n(A)个样本点组成，则事件A的概率为
P（A)=n(A)/n=A所包含的样本点数/样本点总数
称有限等可能试验中事件A 的概率P(A)为古典型概率。
几何型概率：
几何型概率
n重伯努利试验：
n重伯努利试验
题型一：古典概型的计算
例1：一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率是多少？
解题思路：应用古典概型计算。
解：分别计算出总样本个数和事件A的样本个数
题型二：几何概型的计算
例2：（2017年考研真题)在区间（0，1）中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于0.5的概率是多少。
解题思路：几何概型的计算。
解：分别计算出总样本空间对应区域的面积和事件A对应区域的面积。
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C C p C
k概率公式。
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第一章 概率论的基本概念
2） 有放回抽样
等可能概型
从N件产品中有放回地抽取n件产品进行排列， 可能的排列数为 N n 个，将每一排列看作基本 事件，总数为 N n 。
而在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k件次品 的取法共有
1）取到的两只都是白球的概率； 2）取到的两只球是黑的概率； 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
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早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法（几何概率）
k k Cn D ( N D) nk
于是所求的概率为：
P
k Cn D k ( N D) n k
N
n
k Cn
D k D nk ( ) (1 ) N N
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此式即为二项分布的概率公式。
例5（分房问题） 有 n 个人，每个人都以同样的概 率 被分配在 N (n N ) 间房中的每一间中，每个房间 人数不限，试求下列各事件的概率： (1)某指定 n 间房中各有一人 ; (2)恰有 n 间房，其中各有一人； (3) 某指定一间房中恰有 m(m n) 人。
解 先求样本空间中所含样本点的个数。
n N 首先，把 n 个人分到N间房中去共有 种分法，其次 ，求每种情形下事件所含的样本点个数。
(1)某指定n间房中各有一人，所含样本点的个 数，即可能的的分法为 n!; n (2)恰有n间房中各有一人，所有可能的分法为 C N n!; (3)某指定一间房中恰有m人，可能的分法为 Cnm ( N 1) nm .
无限等可能概型(几何概型)：
若随机试验满足下述两个条件： (1)无限性： 它的样本空间有无限个样本点,且 全体样本点可用一个有度量的几何区域来表示； (2) 等可能性：每个样本点出现的可能性相同.
几何概率的定义
设几何概型的样本空间可表示为有度量的 区域S,事件A所对应的区域仍用A表示,则定义 A的概率为: A的度量 P( A) S的度量
进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为 :
m nm n n n n （1） N . （3） Cn ( N 1) n! N （2） CN n! N
上述分房问题中，若令 N 365, n 30, m 2 则可 演化为生日问题.全班学生30人， (1) 某指定30天，每位学生生日各占一天的概率； (2) 全班学生生日各不相同的概率； (3) 全年某天，恰有二人在这一天同生日的概率。 利用上述结论可得到概率分别为 :
等可能概型
北
A
2
3
4
西 东 南
…
e1
e2
……
ek
…
en
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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A ={e1, e2, …ek }, 则有 ：
k A包含的基本事件数 P( A) . n S中基本事件总数
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例 1 ： 52张扑克取13张，其中取出的结果为5黑桃；3张红心； 3张方块；2张草花的概率。
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
二、古典概率的定义
设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本 点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件 A的概率为： A包含的样本点个数 P(A)＝k/n＝ S的样本点总数 称此概率为古典概率.
P13 例1
古典概型的解题步骤：
1.
2. 3.
选取适当的样本空间 S，判断是否为古典概型（有限性、 等可能性）.
计算 S 以及感兴趣的事件 A 所包含的样本点数，分别记 作n和m. 计算得 P( A) .mn
备注
• • 放回抽样 取出元素旋即放回，参加下一次抽取， 即每次抽取都是在全体元素中进行. 不放回抽样 某元素一旦被取出就不再参加以后 的抽取，所以每个元素至多被选中一次．
第一章 概率论的基本概念
美国数学家伯格米尼曾经做过一个 别开生面的实验，在一个盛况空前、 人山人海的世界杯足球赛赛场上，他 随机地在某号看台上召唤了 22 个球迷， 请他们分别写下自己的生日，结果竟 发现其中有两人同生日.
等可能概型
例 设有 N 件产品，其中有 D 件次品，今从中任
取 n 件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
由乘法原理知：在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k
件次品的取法共有 C k C n k 种， D N D 于是所求的概率为：
§4
有限等可能概型（古典概型）
一、古典概型的定义
若随机试验满足下述两个条件： (1)有限性： 它的样本空间只有有限个样本点； (2) 等可能性：每个样本点出现的可能性相同. 则称这种试验为有限等可能概型（古典概型）.
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.
练习３ 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率. 解 64 个人生日各不相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) p1 36564
故64 个人中至少有2人生日相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) 0.997. p 1 64 365
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
例 2 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只 黑球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考 虑两种取球方式： • 放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放 回袋中， 搅匀后再取一球。 • 不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二 次从剩余的球 中再取一球。 分别就上面两种方式求：
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
例 3 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这 15 名新生中有 3 名是优秀生。问： (1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？ (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？ 解：15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：
第一章 概率论的基本概念