交通工程学 第八章 道路交通流理论

8.2.2 离散型分布
二项分布
基本公式
t k t nk P(k ) C ( ) (1 ) , n n
k n
k 0,1,2,, n
n! C k!(n k )!
k n
式中：P(k)——在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率； λ——单位时间间隔的平均到达率(辆/s或人/s)； t——每个计数间隔持续的时间(s)或距离(m)； n——正整数。
L t V
N N N Q V KV L t L V
8.1.2 连续流特征
8.1.2 连续流特征
特征变量
(1) 极大流量Qm，就是Q－V曲线上 的峰值。 (2) 临界速度Vm，即流量达到极大 时的速度。 (3) 最佳密度Km，即流量达到极大 时的密量。 (4) 阻塞密度Kj，车流密集到车辆无 法移动(V=0)时的密度。 (5) 畅行速度Vf，车流密度趋于零， 车辆可以畅行无阻时的平均速度。
泊松分布
递推公式
P(0) e
m
m P(k 1) P(k ) k 1
8.2.2 离散型分布
泊松分布
适用范围 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 在实际事例中，当一个随机事件，以固定的平均频率m(或 称密度)随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间 （面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分 布。 车流密度不大，车辆间相互影响微弱，其他外界干扰因素 基本不存在。
8.2.2 离散型分布
负二项分布
计算内容 到达数大于K的概率：
1 P( k ) 1 Ck 1 p (1 p) i i 0 k
8.2.2 离散型分布
负二项分布
递推公式
P(0) p

k 1 P(k ) (1 p) P(k 1) k
8.1.2 连续流特征
例题
Qm=1210
Q=88K-1.6K2 B
Q/(辆/h)
0.8Qm A VA KA Km=27.5 K/(辆/km) KB VB
Kj
8.1.2 连续流特征
连续交通流的拥挤分析
交通拥挤的类型 周期性的拥挤 非周期性的拥挤 瓶颈处的交通流
8.1.2 连续流特征
8.2.2 离散型分布
负二项分布
运用条件 当到达的车流波动性很大或以一定的计算间隔观 测到达的车辆数(人数)其间隔长度一直延续到高峰期 间与非高峰期间两个时段时，所得数据可能具有较 大的方差。
8.2.3 连续型分布
描述事件之间时间间隔的分布称为连续型 分布。连续型分布常用来描述车头时距、穿越 空档、速度等交通流特性参数的分布特征。常 用的分布有： 负指数分布
连续交通流的拥挤分析
8.1.2 连续流特征
连续交通流的拥挤分析
交通密度分析
§8.2 概率统计模型
8.2.1 概述
【概率统计】：研究自然界中随机现象统计 规律的数学方法，叫做概率统计，又称数理 统计方法。
概率统计手段提供了用有限的数据预测交通 流的某些具体特性的有效手段。
8.2.1 概述
概述
交通模型
微观方法处理车辆相互作用下的个体行为，包括跟驰模 型和元胞自动机模型(Cellular Automata, CA)等 宏观方法视交通流为大量车辆构成的可压缩连续流体介 质，研究许多车辆的集体平均行为，比如LWR模型 (Lighthill-Whitham-Richards ) 介于中间的基于概率描述的气动理论模型（gas-kineticbased model）
8.2.2 离散型分布
二项分布
计算内容 若令 P=λt/n，则二项分布为：
P(k ) C p (1 p)
k n k
nk
,
k 0,1,2,, n
式中：0＜p＜1，n、p称为分布参数。
8.2.2 离散型分布
二项分布
计算内容 到达数小于k辆车(人)的概率：
P( k ) C p 1 p
泊松分布
基本公式
(t ) e P(k ) k!
k
t
,
k 0,1,2,
式中：P(k)——在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率； λ——单位时间间隔的平均到达率(辆/s或人/s)； t——每个计数间隔持续的时间(s)或距离(m)； e——自然对数的底，取值为2.71828。
8.2.2 离散型分布
第八章 道路交通流理论
主要内容
交通流特性 概率统计模型 排队论模型 跟驰模型 流体模拟理论
概述
交通流是交通需求的实现结果，是交通需求在有 限的时间与空间上的聚集现象； 交通流理论是研究在一定环境下交通流随时间和 空间变化规律的模型和方法体系； 由于涉及人、车、路、环境之间的相互关系，交 通流的形成过程非常复杂 。
8.2.2 离散型分布
二项分布
运用条件 车流比较拥挤、自由行驶机会不多的车流用二项 分布拟合较好。 应用举例
例题4-4
8.2.2 离散型分布
负二项分布
基本公式
1 P(k ) Ck 1 p (1 p) k ,
k 0,1,2,
式中：（1）p、β为负二项布参数。 （2）0＜p＜1，β为正整数。
数学描述
综上所述，按格林希尔茨的速度—密度模型、流量— 密度模型、速度—流量模型可以看出：Qm、Vm和Km是划 分交通是否拥挤的重要特征值。
当Q≤Qm、K＞Km、V＜Vm时，则交通属于拥挤；
当Q≤Qm、K≤Km、V≥Vm时，则交通属于不拥挤。
8.1.2 连续流特征
例题
1、已知某公路的畅行车速Vf为80km/h，阻塞密度Kj为100辆 /km，速度—密度关系为线性关系，试求： （1）此路段上期望得到的最大流量为多少？ （2）此时对应的车速为多少？ 解：（1）因为速度—密度关系为线性关系，所以： Kj Vf Km Vm 2 2
i 0 i n i
k 1
n i
到达数大于k的概率：
P( k ) 1 C p 1 p
i 0 i n i
k
n i
8.2.2 离散型分布
二项分布
递推公式
P (0) 1 p
n
nk p P ( k 1) P(k ) k 1 1 p
P( 4) Pi 0.1512
i 0 4 1
不足4辆车的概率： 4辆及4辆以上的概率：
P( 4) 1 P( 4) 0.8488
8.2.2 离散型分布
练习
例题：设80辆汽车随机分布在8km长的道路上，服从 泊松分布，求任意1km路段上有5辆及5辆以上汽车的概 率。
K j V f 80 100 Qm K m Vm 2000 辆 / h 2 2 2 2
80 40 km / h （3）此时对应的车速即为Vm：Vm 2 2 Vf
8.1.2 连续流特征
例题
2、设车流的速度—密度的关系为V=88-1.6K，如限制车流 的实际流量不大于最大流量的0.8倍，求速度的最低值和密 度的最高值。（假定车流的密度K<最佳车流密度Km）
V Vf e
K Km
式中：Km—最大交通量时的密度。
8.1.2 连续流特征
数学描述
（2）流量与密度关系
K Q KV f (1 ) Kj
8.1.2 连续流特征
数学描述
（3）流量与速度关系
V K K j (1 ) Vf
V2 Q K j (V ) Vf
8.1.2 连续流特征
8.2.2 离散型分布
泊松分布
例题：设60辆汽车随机分布在4km长的道路上，服从 泊松分布，求任意400m路段上有4辆及4辆以上汽车的概 率。 解：依题意，t=400m，λ=60/4000辆/m，则：
m t 6辆
60 6 P(0) e 0.0025 0! 6 P(2) P 0.0446 1 11 P(1) 6 P0 0.0149 0 1 6 P(3) P2 0.0892 2 1
泊松分布 离散性分布 两种描述方法 连续性分布 二项分布 负二项分布 负指数分布 移位负指数分布 韦布尔分布 爱尔朗分布
8.2.2 离散型分布
在一定的时间间隔内到达的车辆数，或一 定距离内分布的车辆数是随机变数，所得数列 可以用离散型分布描述。常用的分布有：
泊松分布
二项分布
负二项分布
8.2.2 离散型分布
8.1.2 连续流特征
总体特征
交通量Q、行车速度V s、车流密度K是表征交通流 特性的三个基本参数 此三参数之间的基本关系为：
Q V s K
式中：Q——平均流量(辆/h)； V s——空间平均车速(km/h); K——平均车流密度(辆/km)。
8.1.2 连续流特征
N K L
8.1.2 连续流特征
数学描述
格林希尔茨(Greenshields)提出了速度-密度线性关系模 型： (K1,V1) (K2,V2)
K V V f (1 ) Kj
8.1.2 连续流特征
数学描述
（1）速度与密度关系 当交通密度很小时，可采用安德五德(Underwood) 提出的指数模型：
概述
Who在研究交通流？
物理学家Kerner、Helbing、Nakayama、Bando等; 交通科学家、数学家和经济学家。如，Herman （美国科学院院士）、Allsop（英国皇家工程院 院士）、Newell（美国科学院院士）、Vickrey （诺贝尔经济学奖获得者）、Arnott（美国著名 经济学家）等;
8.1.2 连续流特征
例题
（1）由题意可知：当K=0时，V=Vf=88km/h, 当V=0时，K=Kj=55辆/km。 则：Vm=44Km/h,Km=27.5辆/km,Qm=VmKm=1210辆/h。 （2）由Q=VK和V=88-1.6K，有Q=88K-1.6K2 。 当Q=0.8Qm时，解得：KＡ＝15.2，ＫＢ＝39.8。 又由题意可知，所求密度小于Km，故为KA。 （3）故当密度为KA=15.2辆/km，其速度为： VA=88-1.6KA =88-1.6×15.2 =63.68km/h 即 KA=15.2辆/km，VA=63.68km/h为所求密度最高值与速度 最低值。
8.1.2 连续流特征
数学描述
（1）速度与密度关系 格林希尔茨(Greenshields)提出了速度-密度线性关系 模型： K
V V f (1
Kj
)
当交通密度很大时，可以采用格林柏(Grenberg)提 出的对数模型： K
V Vm ln
j
K
式中：Vm—最大交通量时的速度。
k 1
8.2.2 离散型分布
泊松分布wk.baidu.com
计算内容 到达数至少是x但不超过y的概率：
mi e m P( x k y ) i! i x
y

参数m的计算
观测的总车辆数 m ＝ 总计间隔数
k
j 1 g j 1
g
j
fj
j
k
j 1
g
j
fj
f
N
8.2.2 离散型分布
概述
教材中的主要模型
概率统计模型 排队论模型 跟驰模型 流体模拟理论
§8.1 交通流特性
8.1.1 交通设施
交通设施的种类
交通设施从广义上被分为连续流设施与间断流设施两 大类。 连续流主要存在于设置了连续流设施的高速公路及一 些限制出入口的路段。 间断流设施是指那些由于外部设备而导致了交通流周 期性中断的设置。如交通信号灯。
k 1
到达数大于k的概率：
到达数大于等于k的概率：
mi e m P ( k ) 1 P ( k ) 1 i! i 0
k
mi e m P ( k ) i! i 0
k
mi e m P ( k ) 1 P ( k ) 1 i! i 0
泊松分布
计算内容 若令 m=λt为计算间隔t内平均到达的车辆（人）数，则：
( m) k e m P(k ) , k!
k 0,1,2,
8.2.2 离散型分布
泊松分布
计算内容 到达数小于k辆车(人)的概率： 到达数小于等于k的概率：
mi e m P ( k ) i! i 0