4-4 交通流理论-流体理论
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Q2 Q1 1200 1000 w1 2.5( Km / h) K 2 K1 100 20
由状态2转变到状态3形成消散波，记其波速为w2
Q3 Q2 1500 1200 w2 6( Km / h) K3 K 2 50 100
受拥挤的N辆车的时间—空 间运行轨迹线如图中的N条 折线所示。虚线OB的斜率等 于w1，虚线AB的斜率等于w2， 以xB、tB表示图中B点的空 间坐标和时间坐标，其它各 点亦然。从图看出，从t0到 tA，拥挤车队愈来愈长，最 长时占路长度等于xA-xc， 过了时刻tA，拥挤车队愈来 愈短，到时刻tB拥挤完全消 除，很自然应把时段tB-tA 称为消散时间ts.由于N条折 车辆运行时间-空间轨迹图 线的斜率表示车速，易得 x 2 tA A 0.167h v2 12
解：把车流经历的疏散一密集一疏散这三个阶段的状态记为 状态l、2、3，相应的流量、速度、密度分别记为Qi，ui， Ki；i＝1，2，3。则由已知车流模型可算出： Q1=1000，u1=50，K1＝20 Q2=1200，u2=12，K2＝100 Q3=1500，u3=30，K3＝50 由状态1转变到状态2形成集结波，记其波速为wl
t B QW 1 (t s t A )QW 1 N L Kj Kj Kj
根据题设条件计算上式中各个量： K j 1000/ 8 125 辆 / km Qm 3600/ 2 1800 辆/ h
) / 125 57.6km / h 则： V f 4Qm / K j (4 1800
tG 0.337 1.641 1.978 小时
例3：某信号灯交叉口的一条进口道上，车流服从V-K线性模 型，饱和车头时距为2s，停车排队的车头空距为8m，到 达流量为720辆／h，红灯时长48.1s，绿灯足够长，求停 车排队最远至几米? 解：利用例1中的公式，可算出停车排队达到的最远距离为
2、波速（集散波集结和消散的 速度） 这个车队从速度V1、密度K1，(对 应于车间距离l1)转变到速度V2、密度 K2(对应于车间距离l2)。O为第一辆车 的变速点，A为第二辆车的变速点、 虚线OA的斜率就是集散波的波速。 V2t 设变速点A的时刻为t，位置为x，则：
t x V1t
l 2 v1t v2 t l1
由图可知拥挤车辆所占用过的道路总长度L即AD长。 L＝LAD＝2Km 由于表示车辆行驶轨迹的各折线是分段等距平行的，不难得 知遭遇拥挤的那些辆车的延误构成等差级数，于是总延误D 的计算为:
t A tF 0.167 2 / 50 DN 335 21.27辆 h 2 2
例题2：一条单向道路的一端伸进学校与居住区中，在此路段 中车速限制为13Km/h，对应的通行能力为3880辆／小时， 高峰是从上游驶来的车流速度为50Km/h，流量为4200辆／ 小时，高峰持续了1.69小时，然后上游车流量降到1950辆 ／小时，速度为59Km/h。是估计此路段入口的上游拥挤长 度和拥挤持续时间。 4200 84辆 / km 解：高峰时上游车流密度： K 1 50 3880 298辆 / km 居住区路段上的密度： K 2 13 在这两股车流之间形成了一集结波其波速为： Q2 Q1 4200 3880 w1 1.495( Km / h) K 2 K1 84 298
如果车流前后两行驶状态的流量和密度非常接近，则： dQ W （5-7） dk 集散波总是从前车向后车传播的，把单位时间内集散波所掠过的 车辆数称为波流量。
Qw 3600 3600 3600 (v2 v1 ) V2 V1 l2 l1 1 1 t l2 l1 v2 v1 k 2 k1
第五节 交通流体力学模拟理论
第五节
交通流的流体力学模拟理论
一、引言 1、流体动力学理论建立 1955年，英国学者莱脱希尔和惠特汉将交通流比拟为一种 流体，对一条很长的公路隧道，研究了在车流密度高的情况下 的交通流规律，提出了流体动力学模拟理论。该理论运用流体 动力学的基本原理，模拟流体的连续性方程，建立车流的连续 性方程。把车流密度的变化，比拟成水波的起伏而抽象为车流 波。当车流因道路或交通状况的改变而引起密度的改变时，在 车流中产生车流波的传播，通过分析车流波的传播速度，以寻 求车流流量和密度、速度之间的关系，并描述车流的拥挤—消 散过程。因此，该理论又可称为车流波动理论。
这是一后退波，表示居 住区路段入口处向上游 形成一列密度为298 辆 ／Km的拥挤车流队列 。 图中tF-tH=tE-t0=1.69， 则tE=1.69小时，OF为W1 的轨迹。在F处高峰流消 失，出现流量为1950辆 ／小时，速度为59Km/h 的低峰流。
1950 K3 33辆 / km 59
车队运行状态变化图为在时间-空间 坐标系下表示的一队n辆车的运行状态变 化图。图中每根曲线表示一辆车运行的时 间—空间轨迹，曲线间的水平距离表示车 头时距，垂直距离表示车头间距，两条虚 线分隔出I、II和III三个时间—空间区域。 在区域I内，车速最高而密度最低。进人 区域II后，车速明显降低而密度明显升高。 进入区域III后，速度有所回升而密度有 所下降。虚线与运行轨迹的交点就是车队 密度不同的两部分的分界(对某一确定时 刻而言)，而虚线则表示此分界既沿车队 向后一辆辆地传播下去，又沿着道路而移 动，虚线的斜率就是波速。虚线AB是低密 度状态向高密度状态转变的分界，它所体 图5-2 车队运行状态变化图 现的车流波称为集结波；而AC是高密度状 态向低密度状态转变的分界，它所体现的 车流波称为疏散波，两种不同的车流波可 统称为集散波。
N m Qw1 (t c t 0 ) Qw1t A V2 V1 12 50 tA 0.167 158辆 1 1 1 1 K 2 K1 100 20
w1掠过的车辆总数就是拥挤过的车辆总数N。
N Qw1 (t B t 0 ) Qw1t B Qw1t j V2 V1 12 50 t j 0.353 335辆 1 1 1 1 K 2 K1 100 20
dv c 2 m 0 dt m x
du du 2 k k( ) 0 dt dk x 3
第五节
交通流的流体力学模拟理论
2、车流连续性方程的建立 假设车辆顺次通过断面I和II的时间间隔为Δ t，两断 面的间距为Δ x。
q k Δx I II
车流在断面I的流入量为q，密度为k。车流在断面II 的流出量为(q+Δ q)，密度为(k-Δ k)。 Δ k前面加一负 号，表示在拥挤状态，车流密度随车流量的增加而减小。
交通流与流体流的比拟
物理特性 连续体
离散元素 变 动 量 量 质量m 速度v 压力p mv P=cmt
流体动力学系统 单向不可压缩流体
分子 密度k 速度u 流量q ku q=ku
交通流系统 单车道不可压缩车流
车辆
状态方程
连续性方程
运动方程
m (mv) 0 t x
k (ku) 0 t x
二、车流波动理论 交通车流和一般的流体一样，当道路具有瓶颈形 式路段，车流发生紊乱拥挤现象，会产生一种与车流 方向相反的波，好像声波碰到障碍物时的反射一样， 阻止车流前进，降低车速。
交通流回波现象
第五节
交通流的流体力学模拟理论
1、集散波的定义 列队行驶的车辆在信号灯交叉口遇到红灯后，即陆 续停车排队而集结成密度高的队列；绿灯启亮后，排队 的车辆又陆续起动而疏散成一列具有适当密度的车队。 车流中密度经过了由低到高，再由高到低两个过程， 车流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆车向车队 后部传播的现象，称为车流的波动。车流波动沿道路移 动的速度，称为波速。
根据物质守恒定律：流入量-流出量＝Δ x内车辆数 的变化，即：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
[q (q q)]t [k (k k )]x
或：
k q 0 t x
取极限可得：
又： 故：
k q 0 t x
q ku
k ( ku ) 0 t x
上式表明，当车流量随距离而降低时，车流密度则 随时间而增大。
所以K-V关系为： V V f
Vf Kj K 57.6 0.4608K
由已知条件，得：
t A 48.1s 0.013361 h
V2 V1 0 V1 Qw1 1 1 1 1 k 2 k1 k j k1
集结波波速：
1950 3880 w2 7.283( Km / h) 33 298
车辆运行时间-空间轨迹图
它的轨迹为FG
根据时间-空间轨迹图可获得如下方程组：
t R (t E t R ) 1.69 t R (W1 ) (t E t R )V1 x R x F
车辆波动图
三、车流波动理论的应用 例1：知某快速干道上车流速度(KM/h)与密度(辆/KM) 具有：u 0.103 1.547 0.00256 K 之关系。现知一列 u1=50KM/h的车流中插入一u2=12KM/h的低速车，并不能超 车而集结形成速度为u2拥挤车流。此低速车在行驶2KM后 离去，拥挤车队随之离散形成具有速度u3=30KM/h的状态。 试求: 1．拥挤车队消散的时间ts； 2．拥挤车队持续的时间tj； 3．拥挤车队最长时的车辆数Nm； 4．拥挤车辆的总数N； 5．拥挤车辆所占用过的道路总长度L； 6．车流速度从Vl降低至V2而延误的总时间T。
将 W1 1.495,V1 50带入方程组，解得： t R 1.641 小时，t E t R 0.049小时， x R x F t R (W1 ) 1.641 1.495 2.453Km
即拥挤流向上游延长的距离为2.453km，共包含车辆为： 2.453×298＝731辆。集结波W2推进到G的历时为： xR xF 2.453 t s tG t R 0.337小时 w 7.283 则拥挤持续的时间为：2
故集散波从第一辆车传到第二辆车所 需时间为: 图5-3 车队前三辆车运行轨迹 l l t 2 1 （5-5） v 2 v1
又因x tv1 l1，于是有
波速:
l1 l1 (v 2 v1 ) l 2 v1 l1v 2 x W v1 v1 t t l 2 l1 l 2 l1 v1 v 2 l l2 k v k 2 v 2 Q1 Q2 1 1 1 1 1 k1 k 2 k1 k 2 （5-6） l1 l 2
（5-8）
在流量—密度相关曲线上，集 散波的波速就是割线的斜率、微弱波 （流量和密度非常接近）的波速就是 切线的斜率。如图所示，当车流从低 密度低流量的A状态转变的高密度高 流量的B状态时，集散波的波速是正 的，即波沿道路前进。当车流从低流 量高密度的C状态转变到高流量而密 度较低的B状态时，集散波的波速是 负的，即波沿道路后退。从A状态到 B状态的波是集结波。而从B状态到A 状态的波是消散波，两者都是前进波。 从B状态到C状态的波是集结波，从C 状态到B状态的波为消散波，两者都 是后退波。
又： 解得： 所以：
xB w1 (t A t s ) 2 w2t s
2 W1t A 2 2.5 0.167 ts 0.186h W1 W2 2.5 (6) t j t A t s 0.353h
由图可知拥挤车队从A点开始消散，所以落在路段AC上的车数 就是拥挤车队最长时的车数Nm，它等于波wl在时段tc-t0内掠 过的车数，根据波流量公式，可得：
由状态2转变到状态3形成消散波，记其波速为w2
Q3 Q2 1500 1200 w2 6( Km / h) K3 K 2 50 100
受拥挤的N辆车的时间—空 间运行轨迹线如图中的N条 折线所示。虚线OB的斜率等 于w1，虚线AB的斜率等于w2， 以xB、tB表示图中B点的空 间坐标和时间坐标，其它各 点亦然。从图看出，从t0到 tA，拥挤车队愈来愈长，最 长时占路长度等于xA-xc， 过了时刻tA，拥挤车队愈来 愈短，到时刻tB拥挤完全消 除，很自然应把时段tB-tA 称为消散时间ts.由于N条折 车辆运行时间-空间轨迹图 线的斜率表示车速，易得 x 2 tA A 0.167h v2 12
解：把车流经历的疏散一密集一疏散这三个阶段的状态记为 状态l、2、3，相应的流量、速度、密度分别记为Qi，ui， Ki；i＝1，2，3。则由已知车流模型可算出： Q1=1000，u1=50，K1＝20 Q2=1200，u2=12，K2＝100 Q3=1500，u3=30，K3＝50 由状态1转变到状态2形成集结波，记其波速为wl
t B QW 1 (t s t A )QW 1 N L Kj Kj Kj
根据题设条件计算上式中各个量： K j 1000/ 8 125 辆 / km Qm 3600/ 2 1800 辆/ h
) / 125 57.6km / h 则： V f 4Qm / K j (4 1800
tG 0.337 1.641 1.978 小时
例3：某信号灯交叉口的一条进口道上，车流服从V-K线性模 型，饱和车头时距为2s，停车排队的车头空距为8m，到 达流量为720辆／h，红灯时长48.1s，绿灯足够长，求停 车排队最远至几米? 解：利用例1中的公式，可算出停车排队达到的最远距离为
2、波速（集散波集结和消散的 速度） 这个车队从速度V1、密度K1，(对 应于车间距离l1)转变到速度V2、密度 K2(对应于车间距离l2)。O为第一辆车 的变速点，A为第二辆车的变速点、 虚线OA的斜率就是集散波的波速。 V2t 设变速点A的时刻为t，位置为x，则：
t x V1t
l 2 v1t v2 t l1
由图可知拥挤车辆所占用过的道路总长度L即AD长。 L＝LAD＝2Km 由于表示车辆行驶轨迹的各折线是分段等距平行的，不难得 知遭遇拥挤的那些辆车的延误构成等差级数，于是总延误D 的计算为:
t A tF 0.167 2 / 50 DN 335 21.27辆 h 2 2
例题2：一条单向道路的一端伸进学校与居住区中，在此路段 中车速限制为13Km/h，对应的通行能力为3880辆／小时， 高峰是从上游驶来的车流速度为50Km/h，流量为4200辆／ 小时，高峰持续了1.69小时，然后上游车流量降到1950辆 ／小时，速度为59Km/h。是估计此路段入口的上游拥挤长 度和拥挤持续时间。 4200 84辆 / km 解：高峰时上游车流密度： K 1 50 3880 298辆 / km 居住区路段上的密度： K 2 13 在这两股车流之间形成了一集结波其波速为： Q2 Q1 4200 3880 w1 1.495( Km / h) K 2 K1 84 298
如果车流前后两行驶状态的流量和密度非常接近，则： dQ W （5-7） dk 集散波总是从前车向后车传播的，把单位时间内集散波所掠过的 车辆数称为波流量。
Qw 3600 3600 3600 (v2 v1 ) V2 V1 l2 l1 1 1 t l2 l1 v2 v1 k 2 k1
第五节 交通流体力学模拟理论
第五节
交通流的流体力学模拟理论
一、引言 1、流体动力学理论建立 1955年，英国学者莱脱希尔和惠特汉将交通流比拟为一种 流体，对一条很长的公路隧道，研究了在车流密度高的情况下 的交通流规律，提出了流体动力学模拟理论。该理论运用流体 动力学的基本原理，模拟流体的连续性方程，建立车流的连续 性方程。把车流密度的变化，比拟成水波的起伏而抽象为车流 波。当车流因道路或交通状况的改变而引起密度的改变时，在 车流中产生车流波的传播，通过分析车流波的传播速度，以寻 求车流流量和密度、速度之间的关系，并描述车流的拥挤—消 散过程。因此，该理论又可称为车流波动理论。
这是一后退波，表示居 住区路段入口处向上游 形成一列密度为298 辆 ／Km的拥挤车流队列 。 图中tF-tH=tE-t0=1.69， 则tE=1.69小时，OF为W1 的轨迹。在F处高峰流消 失，出现流量为1950辆 ／小时，速度为59Km/h 的低峰流。
1950 K3 33辆 / km 59
车队运行状态变化图为在时间-空间 坐标系下表示的一队n辆车的运行状态变 化图。图中每根曲线表示一辆车运行的时 间—空间轨迹，曲线间的水平距离表示车 头时距，垂直距离表示车头间距，两条虚 线分隔出I、II和III三个时间—空间区域。 在区域I内，车速最高而密度最低。进人 区域II后，车速明显降低而密度明显升高。 进入区域III后，速度有所回升而密度有 所下降。虚线与运行轨迹的交点就是车队 密度不同的两部分的分界(对某一确定时 刻而言)，而虚线则表示此分界既沿车队 向后一辆辆地传播下去，又沿着道路而移 动，虚线的斜率就是波速。虚线AB是低密 度状态向高密度状态转变的分界，它所体 图5-2 车队运行状态变化图 现的车流波称为集结波；而AC是高密度状 态向低密度状态转变的分界，它所体现的 车流波称为疏散波，两种不同的车流波可 统称为集散波。
N m Qw1 (t c t 0 ) Qw1t A V2 V1 12 50 tA 0.167 158辆 1 1 1 1 K 2 K1 100 20
w1掠过的车辆总数就是拥挤过的车辆总数N。
N Qw1 (t B t 0 ) Qw1t B Qw1t j V2 V1 12 50 t j 0.353 335辆 1 1 1 1 K 2 K1 100 20
dv c 2 m 0 dt m x
du du 2 k k( ) 0 dt dk x 3
第五节
交通流的流体力学模拟理论
2、车流连续性方程的建立 假设车辆顺次通过断面I和II的时间间隔为Δ t，两断 面的间距为Δ x。
q k Δx I II
车流在断面I的流入量为q，密度为k。车流在断面II 的流出量为(q+Δ q)，密度为(k-Δ k)。 Δ k前面加一负 号，表示在拥挤状态，车流密度随车流量的增加而减小。
交通流与流体流的比拟
物理特性 连续体
离散元素 变 动 量 量 质量m 速度v 压力p mv P=cmt
流体动力学系统 单向不可压缩流体
分子 密度k 速度u 流量q ku q=ku
交通流系统 单车道不可压缩车流
车辆
状态方程
连续性方程
运动方程
m (mv) 0 t x
k (ku) 0 t x
二、车流波动理论 交通车流和一般的流体一样，当道路具有瓶颈形 式路段，车流发生紊乱拥挤现象，会产生一种与车流 方向相反的波，好像声波碰到障碍物时的反射一样， 阻止车流前进，降低车速。
交通流回波现象
第五节
交通流的流体力学模拟理论
1、集散波的定义 列队行驶的车辆在信号灯交叉口遇到红灯后，即陆 续停车排队而集结成密度高的队列；绿灯启亮后，排队 的车辆又陆续起动而疏散成一列具有适当密度的车队。 车流中密度经过了由低到高，再由高到低两个过程， 车流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆车向车队 后部传播的现象，称为车流的波动。车流波动沿道路移 动的速度，称为波速。
根据物质守恒定律：流入量-流出量＝Δ x内车辆数 的变化，即：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
[q (q q)]t [k (k k )]x
或：
k q 0 t x
取极限可得：
又： 故：
k q 0 t x
q ku
k ( ku ) 0 t x
上式表明，当车流量随距离而降低时，车流密度则 随时间而增大。
所以K-V关系为： V V f
Vf Kj K 57.6 0.4608K
由已知条件，得：
t A 48.1s 0.013361 h
V2 V1 0 V1 Qw1 1 1 1 1 k 2 k1 k j k1
集结波波速：
1950 3880 w2 7.283( Km / h) 33 298
车辆运行时间-空间轨迹图
它的轨迹为FG
根据时间-空间轨迹图可获得如下方程组：
t R (t E t R ) 1.69 t R (W1 ) (t E t R )V1 x R x F
车辆波动图
三、车流波动理论的应用 例1：知某快速干道上车流速度(KM/h)与密度(辆/KM) 具有：u 0.103 1.547 0.00256 K 之关系。现知一列 u1=50KM/h的车流中插入一u2=12KM/h的低速车，并不能超 车而集结形成速度为u2拥挤车流。此低速车在行驶2KM后 离去，拥挤车队随之离散形成具有速度u3=30KM/h的状态。 试求: 1．拥挤车队消散的时间ts； 2．拥挤车队持续的时间tj； 3．拥挤车队最长时的车辆数Nm； 4．拥挤车辆的总数N； 5．拥挤车辆所占用过的道路总长度L； 6．车流速度从Vl降低至V2而延误的总时间T。
将 W1 1.495,V1 50带入方程组，解得： t R 1.641 小时，t E t R 0.049小时， x R x F t R (W1 ) 1.641 1.495 2.453Km
即拥挤流向上游延长的距离为2.453km，共包含车辆为： 2.453×298＝731辆。集结波W2推进到G的历时为： xR xF 2.453 t s tG t R 0.337小时 w 7.283 则拥挤持续的时间为：2
故集散波从第一辆车传到第二辆车所 需时间为: 图5-3 车队前三辆车运行轨迹 l l t 2 1 （5-5） v 2 v1
又因x tv1 l1，于是有
波速:
l1 l1 (v 2 v1 ) l 2 v1 l1v 2 x W v1 v1 t t l 2 l1 l 2 l1 v1 v 2 l l2 k v k 2 v 2 Q1 Q2 1 1 1 1 1 k1 k 2 k1 k 2 （5-6） l1 l 2
（5-8）
在流量—密度相关曲线上，集 散波的波速就是割线的斜率、微弱波 （流量和密度非常接近）的波速就是 切线的斜率。如图所示，当车流从低 密度低流量的A状态转变的高密度高 流量的B状态时，集散波的波速是正 的，即波沿道路前进。当车流从低流 量高密度的C状态转变到高流量而密 度较低的B状态时，集散波的波速是 负的，即波沿道路后退。从A状态到 B状态的波是集结波。而从B状态到A 状态的波是消散波，两者都是前进波。 从B状态到C状态的波是集结波，从C 状态到B状态的波为消散波，两者都 是后退波。
又： 解得： 所以：
xB w1 (t A t s ) 2 w2t s
2 W1t A 2 2.5 0.167 ts 0.186h W1 W2 2.5 (6) t j t A t s 0.353h
由图可知拥挤车队从A点开始消散，所以落在路段AC上的车数 就是拥挤车队最长时的车数Nm，它等于波wl在时段tc-t0内掠 过的车数，根据波流量公式，可得：