第4章 交通流理论

务的车辆。
（4）排队论的应用：电话自动交换机；车辆延误、通行能 力、信号灯配时以及停车场、加油站等交通设施的设计
与管理；收费亭的延误估计。
4.3.2 基本原理
（1）排队系统的3个组成部分
输入过程：各种类型的“顾客(车辆或行人)”
按怎样的规律到达。如定长输入；泊松输入；爱
尔郎输入。（到达时距符合什么样的分布） 排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受 服务。如损失制；等待制；混合制。 服务方式：指同一时刻多少服务台可接纳顾
4.2.3 连续型分布
4.2.3.1 负指数分布
4.2.3.2 移位负指数分布
4.2.3.1 负指数分布
（1） 基本公式：
P(h t ) e t
P(h>t)——到达的车头时距h大于t秒的概率；
λ ——车流的平均到达率(辆/s)。
t 推导：由 P 可知，在计数间隔t内没 e k t 有车辆（k＝0）到达的概率 P ，这表 e 0 明，在具体的时间间隔t内，无车辆到达，则上 次车到达和下次车到达之间，车头时距至少有t， t 即 P(h t ) e 。 ( t ) k k!
车流在断面Ⅱ的流出量为（q+△q），密度为（K-△K）。 根据物质守恒定律，流入量－流出量＝△x内车辆数的变化：
q (q q)t K ( K K )x 或
取极限得：
K t
K t

q x
0

q x
0
K t
当车流量随距离而降低时，车流密度随时间而增大。 又因为q=Kv，交通流的运动方程为
4.2.3.1 负指数分布（续）
（2）负指数分布的均值M和方差D分别为M=1/λ ， D=1/λ 2，用样本均值m代替M、样本的方差S2代替D， 既可算出负指数分布的参数λ 。 （3）适用条件：用于描述有充分超车机会的单列车流 和密度不大的多列车流的车头时距分布，它常与计 数的泊松分布相对应。
（4）负指数分布的概率密度函数 p(t ) e t 是单降的，车头时距越短，其出现的概率越大，但车 头时距至少有一个车长，所以车头时距必有一个大于 零的最小值τ 。
4.4.1 车辆跟驰特性分析
（1）跟驰理论的定义：运用动力学的方法，研究在无法超
车的单一车道上车辆列队行驶时，后车跟随前车的行驶 状态的一种理论。 （2）车辆跟驰特性分析（非自由行驶状态的车队） 制约性：后车紧随前车前进。
传递性：前车的运行状态制约着后车的运行状态。
延迟性（滞后性）：后车运行状态的改变在前车之后。
信号周期内到达的车辆数。
连续型分布：描述事件之间时间间隔的连续型分布为工具， 研究事件发生的间隔时间或距离的统计分布特性。
车头时距分布、速度分布和可穿越空档分布。
4.2.2 离散型分布
4.2.2.1 泊松分布
4.2.2.2 二项分布
4.2.2.1 泊松分布
（1）基本公式
P k
( t ) k k!
P(h t ) e
( t )
(t )
τ —大于零的一个最小车头时距，一般在1.0～1.5s之间。 （2）移位负指数分布的均值M和方差D分别为M=1/λ+τ ， D=1/λ2，用样本均值m代替M、样本的方差S2代替D，则
可算出移位负指数分布的参数λ和τ 。
4.2.3.2 移位负指数分布（续）
e
t
， k＝0，1，2，…
Pk—在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率；
λ —单位时间间隔的平均到达率（辆/s或人/s）；
t—每个计数间隔持续的时间（s）。 若令m=λ t为计数间隔t内平均到达的车辆（人）数， 则
P k
mk em k!
，当m为已知时，可求出在计数
间隔t内恰好有k辆车（人）到达的概率。
n1 (t T ) L 即 xn (t ) xn1 (t ) Tx
n (t ) x n1 (t ) T n1 (t T ) x 对t微分得： x
或
1 n1 (t T ) T n (t ) x n1 (t ) x x
n1 (t T ) 为后车在时刻（t＋T）的加速度，称为后车 x 其中
并描述车流的拥挤——消散过程。
适用条件：流体力学模拟理论假定在车流中各个 单个车辆的行驶状态与它前面的车辆完全一样， 这与实际不符，因此该模型运用于车辆拥挤路段 较为合适。
4.5.2 车流连续性方程
假设车辆顺次通过断面Ⅰ和Ⅱ的时间间隔为dt，两断面的
间距为dx。同时，车流在断面Ⅰ的流入量为q，密度为K。
4.2.2.1 泊松分布（续）
（5）应用举例
例4-1 某路段每小时有120辆车通过，假设车辆到达服从泊松 分布，问在指定的某一分钟内有 3 辆车通过的概率是多大，
而一分钟内不超过3辆车的概率又是多大。
例 4-2 某信号灯交叉口的周期 C=97s, 有效绿灯时间 g =44s,
在有效绿灯时间内排队的车流以 S=900（辆/h）的交通量
4.3 排队论模型
4.3.1 基本概念 4.3.2 基本原理 4.3.3 排队系统的表示
4.3.1 基本概念
（1）排队论：是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生
等待行列(即排队)的现象，以及合理协调“需求”与
“服务”关系的一种数学理论。 （2）排队：单指等待服务的车辆，不包括正在被服务的车 辆。 （3）排队系统：既包括了等待服务的，又包括了正在被服
4.2.2.1 泊松分布（续）
（2）递推公式：
P0 e
， m
Pk 1
m k 1
Pk
（3）适用条件：车流密度不大，车辆间相互影响较弱，其他外 界干扰因素基本上不存在，即车流是随机的。 （4）泊松分布的均值M和方差D都等于λ t，而观测数据的均值m 和方差S2均为无偏估计，因此，当观测数据表明S2/m显著地不 等于1.0时，就是泊松分布不合适的表示。 m—在某一给定时间间隔周期内到达车辆的平均数； S2—各车辆到达数与均值之差的平方和的平均数。

( Kv ) x
0
4.5.3 车流波动理论
（1）基本概念
车流的波动：车流中两种不同密度的分界面经过
一辆辆车向后部传播的现象。
波速：车流波动沿道路移动的速度。
前进波：沿道路前进的波，波速为正。
4.1.2.2 二项分布（续）
（2）递推公式：
P0 (1 p)
（3）适用条件：
n
Pk 1
n k k 1

p 1 p
P k
车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。 （4）分布的均值M和方差D分别为M=np，D=np(1-p)， 显然有M>D。用观测数据计算出来的样本均值m和方差 S2代替M和D，当S2/m显著大于1.0时，就是二项分布不 适的表示。
4.2.3.1 负指数分布（续）
（5）应用举例
例4－3 某交通流属泊松分布，已知交通量为1200 辆/h，求：
a) 车头时距t≥5s的概率； b）在1小时内，车头时距t＞5s所出现的次数； c）车头时t>5s时车头间隔的平均值。
4.2.3.2 移位负指数分布
（1）基本公式
为克服负指数分布的车头时距趋近于零其频率出现 愈大这一缺点，可将负指数分布曲线从原点O沿t向右移 一个最小间隔长度τ ，得到移位负指数分布曲线：
客，每一顾客服务了多少时间。如定长分布；负
指数分布；爱尔朗分布。
4.3.2 基本原理（续）
（2）排队系统的主要数量指标 队长和排队长：若排队系统中的顾客数为n，排
队顾客数为q，正在被服务的顾客数位s，则n=q+s。
队长是排队系统提供的服务水平的一种衡量。
逗留时间和等待时间 ：逗留时间是指一个顾客
逗留在排队系统中的总时间。等待时间是指从顾客到 达时起到他开始接受服务时止这段时间。 忙期和闲期：忙期是指服务台连续繁忙的时期， 相对应的是闲期，这关系到服务台的工作强度。
4.3.3 排队系统的表示
类别 输入分布 M—泊松或负指数分布 符号 含义 D—定长 Ek —爱尔朗分布 服务方式 M—负指数分布 D—定长 Ek —爱尔朗分布 服务台 数量 1 N
M/M/N——泊松输入、负指数分布服务、N个服务台
M/D/1——泊松输入、定长服务、单个服务台
4.4 跟驰模型
4.4.1 车辆跟驰特性分析 4.4.2 线形跟驰模型
11 11 i 9.9 9 . 9 P ( 11 ) 1 P ( 11 ) P e 0.29 i i！ i0 i0
即到达车辆不致两次排队的周期数最多占71％。
4.2.2.2 二项分布
（1）基本公式：
P 1 k C ( n ) (
k n k
t
t
n
)
nk
（3）适用条件
用于描述不能超车的单列车流的车头时距分布和 车流量低的车流的车头时距分布。
（4）移位负指数分布的局限
移位负指数分布的概率密度函数曲线是随 t-τ 单 调递降的，车头时距愈接近τ ，其出现的可能性愈大。 这在一般情况下是不符合驾驶员的心理习惯和行车特 点的。从统计角度看，车头时距分布的概率密度曲线 一般总是先升后降的。
，k＝0，1，2，…
Pk—在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率；
λ —单位时间间隔的平均到达率（辆/s或人/s）； t—每个计数间隔持续的时间（s）或距离（m）； n—观测次数，正整数。 通常记 p
t
n
，则二项分布为：
k Pk Cn ( p)k (1 p)nk
(0 p 1)
4.2 交通流的统计分布特性
4.2.1 交通流统计分布的含义
4.2.2 离散型分布
4.2.3 连续性分布