第4章交通流理论
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24 24
2015-6-11
二、连续性分布
解：行人横过单向行车道所需要的时间： t =7.5/1=7.5s 因此，只有当h≥7.5s时，行人才能安全穿越，由 于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指 数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大 于7.5s的概率为：
P( h7.5) e
Qt 3600
2015-6-11
11 11
一、离散型分布
k
0 1
P(k)
P(≤k)
k
5 6
P(k)
P(≤k)
0.0183 0.0183 0.0733 0.0916
0.1563 0.7852 0.1042 0.8894
2
3 4
0.1465 0.2381
0.1954 0.4335 0.1954 0.6289
7
8
0.0595 0.9489
28 28
2015-6-11
二、排队论的基本概念
“排队”与“排队系统” 当一队车辆通过收费站，等待服务（收费）的车 辆和正在被服务（收费）的车辆与收费站构成一 个“排队系统”。 等候的车辆自行排列成一个等待服务的队列，这 个队列则称为“排队”。 “排队车辆”或“排队（等待）时间”都是指 排队的本身。 “排队系统中的车辆”或“排队系统消耗时间 ”则是在指排队系统中正在接受服务（收费）和 排队的统称。
4 4
一、离散型分布
泊松分布 适用条件：车流密度不大，其他外界干扰因素基 本上不存在，即车流是随机的 。 基本公式:
P( k )
( t ) k t e k!
式中： P(k) —在计数间隔t 内到达 k 辆车的概率; λ —平均到车率(辆/s) ； t —每个计数间隔持续的时间(s) 。
e
3607.5 3600
0.4724
对于 Q=360辆/h的车流，1h车头时距次数为360， 其中h≥7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：
360 0.4724 170
2015-6-11
（次）
25 25
二、连续性分布
当Q = 900辆/h时，车头时距大于7.5s的概率为：
Qt 3600 9007.5 3600
P( ht ) 1 e
2015-6-11
t
18 18
二、连续性分布
例4：对于单向平均流量为360辆/h的车流，求车头 时距大于或等于10s的概率。 解：车头时距大于或等于10s的概率也就是10s以内 无车的概率。 由λ=360/3600=0.1 P( ht ) e t
P( h10 ) e 0.110 0.37
21 21
2015-6-11
二、连续性分布
移位负指数分布 适用条件：用于描述不能超车的单列车流的车头 时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。 移位负指数分布公式:
P( ht ) e ( t ) P( ht ) 1 e ( t )
(t ) (t )
2 2
概述
交通流理论是发展中的科学，有很多理论在探讨 各种交通现象： 交通流量、速度和密度的相互关系及量测方法； 交通流的统计分布特性； 排队论的应用； 跟驰理论； 交通流的流体力学模拟理论； 交通波理论。
2015-6-11
3 3
第二节 交通流的统计分布特性
2015-6-11
2015-6-11 16 16
二、连续性分布
负指数分布 适用条件:用于描述有充分超车机会的单列车流和 密度不大的多列车流的车头时距分布。 负指数分布常与泊松分布相对应，当来车符合泊 松分布时，车头时距则符合负指数分布。 由公式： P( 0) e t 可知，当车辆平均到达率为λ时 ，P(0)为计数间隔t 内无车到达的概率。 可见，在具体的时间间隔 t 内，如无车辆到达， 则在上一次车和下一次车到达之间车头时距h至 少有t，即h≥t。
第四章 交通流理论
第一节 概述
2015-6-11
1 1
概述
作为交通工程学理论基础的交通流理论是运用 物理和数学的方法来描述交通特性的一门边缘科 学，它用分析的方法阐述交通现象及其机理，使 我们能更好地理解交通现象及其本质，并使城市 道路与公路的规划设计和营运管理发挥最大的功 效。
2015-6-11
0 5 0
5 0
0.168
1 P(1) C5 0.3(1 0.3)51 0.36
P( k 2 ) P( 0 ) P(1) 0.528
3）由： p =30%，n=30，k=0
k k 根据： P( k ) Cn p (1 p) nk 0 P( 0 ) C30 0.30 (1 0.3) 30 0.000023
k k 由 ：P( k ) Cn p (1 p) nk
P( 2) C 0.3 (1 0.3)
2 5 2
2015-6-11
5 2
0.309
15 15
一、离散型分布
2）由： p =30%，n=5，k=2
k k 根据： P( k ) Cn p (1 p) n k
P( 0 ) C 0.3 (1 0.3)
P( h7.5) e
e
0.1534
1h内车头时距次数为900，其中h≥7.5s的车头时 距为可以安全横穿的次数：
900 0.1534 138 （次）
2015-6-11
26 26
第三节
排队论的应用
2015-6-11
27 27
一、引言
排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产 生等待行列（即排队）的现象，以及合理协调“ 需求”与“服务”关系的一种数学理论，是运筹 学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称随机 服务系统理论。 排队论是20世纪初由丹麦电信工程师欧兰最先提 出，在二战期间排队论在战时后勤保障、军事运 输等方面得到了广泛应用，发展成为军事运筹学 的一个重要分支。 在交通工程中，排队论被用来研究车辆延迟、信 号配时、收费站、加油站等设施的设计与管理。
2015-6-11
P( 0 ) e 0.3 0.819
10 10
一、离散型分布
2）有95%臵信度的每个周期来车数的含义为：来 车数小于或等于k辆的概率≥95%时的k值，即： P( k ) 0.95 ，求这时的k 即λ=240/3600（辆/s ），当t=60s时，m=λt=4 来车的分布为： m k m 4 k 4 P( k ) e e k! k! 求：P( k ) 0.95 的k值。
m 6
2015-6-11
8 8
一、离散型分布
无车的概率为： P(0) 0.0025 小于5辆车的概率为： P( k5) 0.2850 不多于5辆车的概率为：P( k5) 0.4456
P( k6) 1 P( k5) 0.5544 6辆及其以上的概率为：
至少为3辆但不多于6辆的概率为： P( 3k6) 0.5442
2015-6-11 17 17
二、连续性分布
或者说： P(0)也就是车头时距h大于或等于t 的概 率。对于任意的t ，如果在t 内没有车辆到达，上 一次车和下一次车到达之间车头时距必然大于或 等于t ，即： P( 0 ) e t P( h t )
P( h t ) e t 式中：λ—车辆平均到达率（辆/s） P(h≥t)—车头时距大于或等于t (s)的概率 车头时距小于t (s)的概率，可有下式求得：
0.0298 0.9787
P( k8) 0.95
设计上具有95%臵信度的来车数不多于8辆。
2015-6-11 12 12
一、离散型分布
二项分布 适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的 车流。交通流具有较小的方差时，来车符合二项 分布。 k k nk P C p ( 1 p ) n 基本公式： ( k ) 式中： P（k）—在计数间隔t 内到达k 辆车的概率; λ—平均到车率（辆/s）； t —每个计数间隔持续的时间（s）； n—正整数 ； p—二项分布参数，p t / n 。
2015-6-11 5 5
一、离散型分布
令m=λt,则：
P( k )
m k m e k!
递推公式：
P( 0 ) e
m
P( k 1)
m P( k ) k 1
分布的均值M和方差D都等于m
2015-6-11
6 6
一、离散型分布
应用举例 例1：设60辆车随机分布在10km长的道路上，其中 任意1km路段上，试求： 无车的概率； 小于5辆车的概率； 不多于5辆车的概率； 6辆及其以上的概率； 至少为3辆但不多于6辆的概率； 恰好为5辆车的概率。
1 M 1 D 2
2015-6-11
20 20
二、连续性分布
车头时距服从负指数分布的车流特性 见图，曲线 是单调下降的，说明车头时距愈短，出现的概率 愈大。这种情形在不 能超车的单列车流中 是不可能出现的，因 为车辆的车头与车头 之间至少存在一个车 长，所以车头时距必 有一个大于零的最小 值τ。
2015-6-11 13 13
一、离散型分布
递推公式： P( 0 ) (1 来自百度文库 P )n
nk p P( k 1) P( k ) k 1 1 p
均值M和方差D分别为: M=np D=np(1-p)
2015-6-11
14 14
一、离散型分布
例3：在一交叉口，设臵左转弯信号相，经研究来 车符合二项分布，每一周期平均来车30辆，其中 有30%的左转弯车辆，试求： 到达的5辆车中，有2辆左转弯的概率； 到达的5辆车中，少于2辆左转弯的概率； 某一信号周期内没有左转弯车辆的概率。 解：1）由： p =30%，n=5，k=2
分布的均值M和方差D分别为： 1 1 M D 2
22 22
2015-6-11
二、连续性分布
移位负指数分布的局限性： 服从移位负指数分布的车头时距愈接近τ出现的 可能性愈大。这在一般情况下是不符合驾驶员的 心理习惯和行车特点的。 车头时距分布的概率密度曲线一般总是先升后 降。
2015-6-11
29 29
2015-6-11
恰好为5辆车的概率为：P( 5) 0.1606
2015-6-11 9 9
一、离散型分布
例2：已知某信号灯周期为60s，某一个入口的车流 量为240辆/h，车辆到达符合泊松分布，求： 在1s、2s、3s内无车的概率； 求有95%的臵信度的每个周期来车数。 解：1）1s、 2s、3s内无车的概率 λ=240/3600（辆/s ），当t=1s时， m= λt=0.067 P(0) e 0.067 0.9355 当t=2s时， m= λt =0.133， P( 0 ) e 0.133 0.875 当t=2s时， m= λt =0. 3，
同样，车头时距小于10s的概率为： t P( ht ) 1 e 0.63
2015-6-11 19 19
二、连续性分布
由上例可见，设车流的单向流量为Q（辆/h）， 则λ=Q/3600，于是负指数公式可改写成：
P( ht ) e
Qt 3600
负指数分布的均值M和方差D分别为：
2015-6-11 7 7
一、离散型分布
解：这里t 理解为车辆数的空间间隔，λ为车辆平 均分布率，m 为计数空间间隔内的平均车辆数。 由λ=60/10 t=1 ，因此m =λt=6（辆） 这里m即为计数空间间隔内的平均车辆数。
m P( 0 ) e e 0.0025 P(1) P( 0 ) 0.0149 1 m m P( 2) P(1) 0.0446 P( 3) P( 2) 0.0892 2 3 m m P( 4 ) P( 3) 0.1338 P( 5 ) P( 4 ) 0.1606 4 5 m P( 6 ) P( 6 ) 0.1606 6
23 23
二、连续性分布
例5 ：在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向 流量为360辆/h，该方向路宽7.5m，设行人步行速 度为1m/s，求1h中提供给行人安全横过单向车道 的次数，如果单向流量增加到900辆/h， 1h中提 供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减 少。
Q=360辆/h
7.5m
2015-6-11
二、连续性分布
解：行人横过单向行车道所需要的时间： t =7.5/1=7.5s 因此，只有当h≥7.5s时，行人才能安全穿越，由 于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指 数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大 于7.5s的概率为：
P( h7.5) e
Qt 3600
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11 11
一、离散型分布
k
0 1
P(k)
P(≤k)
k
5 6
P(k)
P(≤k)
0.0183 0.0183 0.0733 0.0916
0.1563 0.7852 0.1042 0.8894
2
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0.1465 0.2381
0.1954 0.4335 0.1954 0.6289
7
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0.0595 0.9489
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二、排队论的基本概念
“排队”与“排队系统” 当一队车辆通过收费站，等待服务（收费）的车 辆和正在被服务（收费）的车辆与收费站构成一 个“排队系统”。 等候的车辆自行排列成一个等待服务的队列，这 个队列则称为“排队”。 “排队车辆”或“排队（等待）时间”都是指 排队的本身。 “排队系统中的车辆”或“排队系统消耗时间 ”则是在指排队系统中正在接受服务（收费）和 排队的统称。
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一、离散型分布
泊松分布 适用条件：车流密度不大，其他外界干扰因素基 本上不存在，即车流是随机的 。 基本公式:
P( k )
( t ) k t e k!
式中： P(k) —在计数间隔t 内到达 k 辆车的概率; λ —平均到车率(辆/s) ； t —每个计数间隔持续的时间(s) 。
e
3607.5 3600
0.4724
对于 Q=360辆/h的车流，1h车头时距次数为360， 其中h≥7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：
360 0.4724 170
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（次）
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二、连续性分布
当Q = 900辆/h时，车头时距大于7.5s的概率为：
Qt 3600 9007.5 3600
P( ht ) 1 e
2015-6-11
t
18 18
二、连续性分布
例4：对于单向平均流量为360辆/h的车流，求车头 时距大于或等于10s的概率。 解：车头时距大于或等于10s的概率也就是10s以内 无车的概率。 由λ=360/3600=0.1 P( ht ) e t
P( h10 ) e 0.110 0.37
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二、连续性分布
移位负指数分布 适用条件：用于描述不能超车的单列车流的车头 时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。 移位负指数分布公式:
P( ht ) e ( t ) P( ht ) 1 e ( t )
(t ) (t )
2 2
概述
交通流理论是发展中的科学，有很多理论在探讨 各种交通现象： 交通流量、速度和密度的相互关系及量测方法； 交通流的统计分布特性； 排队论的应用； 跟驰理论； 交通流的流体力学模拟理论； 交通波理论。
2015-6-11
3 3
第二节 交通流的统计分布特性
2015-6-11
2015-6-11 16 16
二、连续性分布
负指数分布 适用条件:用于描述有充分超车机会的单列车流和 密度不大的多列车流的车头时距分布。 负指数分布常与泊松分布相对应，当来车符合泊 松分布时，车头时距则符合负指数分布。 由公式： P( 0) e t 可知，当车辆平均到达率为λ时 ，P(0)为计数间隔t 内无车到达的概率。 可见，在具体的时间间隔 t 内，如无车辆到达， 则在上一次车和下一次车到达之间车头时距h至 少有t，即h≥t。
第四章 交通流理论
第一节 概述
2015-6-11
1 1
概述
作为交通工程学理论基础的交通流理论是运用 物理和数学的方法来描述交通特性的一门边缘科 学，它用分析的方法阐述交通现象及其机理，使 我们能更好地理解交通现象及其本质，并使城市 道路与公路的规划设计和营运管理发挥最大的功 效。
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0 5 0
5 0
0.168
1 P(1) C5 0.3(1 0.3)51 0.36
P( k 2 ) P( 0 ) P(1) 0.528
3）由： p =30%，n=30，k=0
k k 根据： P( k ) Cn p (1 p) nk 0 P( 0 ) C30 0.30 (1 0.3) 30 0.000023
k k 由 ：P( k ) Cn p (1 p) nk
P( 2) C 0.3 (1 0.3)
2 5 2
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5 2
0.309
15 15
一、离散型分布
2）由： p =30%，n=5，k=2
k k 根据： P( k ) Cn p (1 p) n k
P( 0 ) C 0.3 (1 0.3)
P( h7.5) e
e
0.1534
1h内车头时距次数为900，其中h≥7.5s的车头时 距为可以安全横穿的次数：
900 0.1534 138 （次）
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26 26
第三节
排队论的应用
2015-6-11
27 27
一、引言
排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产 生等待行列（即排队）的现象，以及合理协调“ 需求”与“服务”关系的一种数学理论，是运筹 学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称随机 服务系统理论。 排队论是20世纪初由丹麦电信工程师欧兰最先提 出，在二战期间排队论在战时后勤保障、军事运 输等方面得到了广泛应用，发展成为军事运筹学 的一个重要分支。 在交通工程中，排队论被用来研究车辆延迟、信 号配时、收费站、加油站等设施的设计与管理。
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P( 0 ) e 0.3 0.819
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一、离散型分布
2）有95%臵信度的每个周期来车数的含义为：来 车数小于或等于k辆的概率≥95%时的k值，即： P( k ) 0.95 ，求这时的k 即λ=240/3600（辆/s ），当t=60s时，m=λt=4 来车的分布为： m k m 4 k 4 P( k ) e e k! k! 求：P( k ) 0.95 的k值。
m 6
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8 8
一、离散型分布
无车的概率为： P(0) 0.0025 小于5辆车的概率为： P( k5) 0.2850 不多于5辆车的概率为：P( k5) 0.4456
P( k6) 1 P( k5) 0.5544 6辆及其以上的概率为：
至少为3辆但不多于6辆的概率为： P( 3k6) 0.5442
2015-6-11 17 17
二、连续性分布
或者说： P(0)也就是车头时距h大于或等于t 的概 率。对于任意的t ，如果在t 内没有车辆到达，上 一次车和下一次车到达之间车头时距必然大于或 等于t ，即： P( 0 ) e t P( h t )
P( h t ) e t 式中：λ—车辆平均到达率（辆/s） P(h≥t)—车头时距大于或等于t (s)的概率 车头时距小于t (s)的概率，可有下式求得：
0.0298 0.9787
P( k8) 0.95
设计上具有95%臵信度的来车数不多于8辆。
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一、离散型分布
二项分布 适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的 车流。交通流具有较小的方差时，来车符合二项 分布。 k k nk P C p ( 1 p ) n 基本公式： ( k ) 式中： P（k）—在计数间隔t 内到达k 辆车的概率; λ—平均到车率（辆/s）； t —每个计数间隔持续的时间（s）； n—正整数 ； p—二项分布参数，p t / n 。
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一、离散型分布
令m=λt,则：
P( k )
m k m e k!
递推公式：
P( 0 ) e
m
P( k 1)
m P( k ) k 1
分布的均值M和方差D都等于m
2015-6-11
6 6
一、离散型分布
应用举例 例1：设60辆车随机分布在10km长的道路上，其中 任意1km路段上，试求： 无车的概率； 小于5辆车的概率； 不多于5辆车的概率； 6辆及其以上的概率； 至少为3辆但不多于6辆的概率； 恰好为5辆车的概率。
1 M 1 D 2
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20 20
二、连续性分布
车头时距服从负指数分布的车流特性 见图，曲线 是单调下降的，说明车头时距愈短，出现的概率 愈大。这种情形在不 能超车的单列车流中 是不可能出现的，因 为车辆的车头与车头 之间至少存在一个车 长，所以车头时距必 有一个大于零的最小 值τ。
2015-6-11 13 13
一、离散型分布
递推公式： P( 0 ) (1 来自百度文库 P )n
nk p P( k 1) P( k ) k 1 1 p
均值M和方差D分别为: M=np D=np(1-p)
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一、离散型分布
例3：在一交叉口，设臵左转弯信号相，经研究来 车符合二项分布，每一周期平均来车30辆，其中 有30%的左转弯车辆，试求： 到达的5辆车中，有2辆左转弯的概率； 到达的5辆车中，少于2辆左转弯的概率； 某一信号周期内没有左转弯车辆的概率。 解：1）由： p =30%，n=5，k=2
分布的均值M和方差D分别为： 1 1 M D 2
22 22
2015-6-11
二、连续性分布
移位负指数分布的局限性： 服从移位负指数分布的车头时距愈接近τ出现的 可能性愈大。这在一般情况下是不符合驾驶员的 心理习惯和行车特点的。 车头时距分布的概率密度曲线一般总是先升后 降。
2015-6-11
29 29
2015-6-11
恰好为5辆车的概率为：P( 5) 0.1606
2015-6-11 9 9
一、离散型分布
例2：已知某信号灯周期为60s，某一个入口的车流 量为240辆/h，车辆到达符合泊松分布，求： 在1s、2s、3s内无车的概率； 求有95%的臵信度的每个周期来车数。 解：1）1s、 2s、3s内无车的概率 λ=240/3600（辆/s ），当t=1s时， m= λt=0.067 P(0) e 0.067 0.9355 当t=2s时， m= λt =0.133， P( 0 ) e 0.133 0.875 当t=2s时， m= λt =0. 3，
同样，车头时距小于10s的概率为： t P( ht ) 1 e 0.63
2015-6-11 19 19
二、连续性分布
由上例可见，设车流的单向流量为Q（辆/h）， 则λ=Q/3600，于是负指数公式可改写成：
P( ht ) e
Qt 3600
负指数分布的均值M和方差D分别为：
2015-6-11 7 7
一、离散型分布
解：这里t 理解为车辆数的空间间隔，λ为车辆平 均分布率，m 为计数空间间隔内的平均车辆数。 由λ=60/10 t=1 ，因此m =λt=6（辆） 这里m即为计数空间间隔内的平均车辆数。
m P( 0 ) e e 0.0025 P(1) P( 0 ) 0.0149 1 m m P( 2) P(1) 0.0446 P( 3) P( 2) 0.0892 2 3 m m P( 4 ) P( 3) 0.1338 P( 5 ) P( 4 ) 0.1606 4 5 m P( 6 ) P( 6 ) 0.1606 6
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二、连续性分布
例5 ：在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向 流量为360辆/h，该方向路宽7.5m，设行人步行速 度为1m/s，求1h中提供给行人安全横过单向车道 的次数，如果单向流量增加到900辆/h， 1h中提 供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减 少。
Q=360辆/h
7.5m