第4章交通流理论
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第四章 交通流理论
第一节 概述-2
交通流理论是发展中的科学，虽然现在还没有形成完 整的体系，但有很多理论在探讨各种交通现象，它们是： （1）交通流量、速度和密度的相互关系及量测方法；。 ＊（2）交通流的统计分布特性； ＊（3）排队论的应用； ＊（4）跟驰理论； （5）驾驶员处理信息的特； ＊（6）交通流的流体力学模拟理论； （7）交通流模拟。
8 10
3. 在交通工程学中应用二项分布时： （1）适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。 （2）基本公式： （3）递推公式： p C p (1 p) , (k 0,1,2,, n)
k 1 k n k nk
p k 1
（4）分布的均值和方差分别为 M＝np, D＝np(1-p) （5）如果通过观测数据计算样本均值m和方差，则可分别 代替M和D，用下式求出p和n的估计值：
第二节 交通流的统计分布特性-11
P（t）的图象如图所示， 曲线是单调下降的，说明车头 时距愈短，其出现的概率愈大。 这种情形在不能超车的单列车 流中是不可能出现的。因为车 辆的车头至车头的间距至少为 一个大于零的最小值τ 。负指 数分布在应用中的局限性即在 于此。
第二节 交通流的统计分布特性-12
xn 1 (t T )为后车在时刻(t T )的加速度，
1 称为后车的反应； 称为敏感度； xn (t ) xn 1 (t ) T 称为时刻t的刺激。
反应 敏感度 刺激
第五节 流体动力学模拟理论-1
一、引言 A 连续理论： Q1＝Q2 A1*V1＝A2*V2 Q：立方米/秒 A2V2Q2
第五节 流体动力学模拟理论-3
虚线与运行轨迹的交点就是车队密度不同的两部分的 分界（对某一确定时刻而），而虚线则表示此分界既沿车 队向后一辆辆地传播下去，又沿着道路而移动，虚线的斜 率就是波速。虚线AB是低度状态向密度状态转变的分界， 它所体现的车流波称为集结波；而Ac是高密度状态向低密 度状态转变的分界，它所体现的车流波称为疏散波，两种 不同的车流波可统称为集散波。
交通流理论(4)
第4章 交通流理论
The theory of traffic flow
2009年3月 年 月
4.6 车流波理论
车流波理论运用流体动力学的基本原理，模拟流体的连续性方程， 车流波理论运用流体动力学的基本原理，模拟流体的连续性方程， 建立车流的连续性方程。 建立车流的连续性方程。该理论把车流密度的疏密变化比拟成水波的 起伏而抽象成车流波。 起伏而抽象成车流波。当车流因道路或交通状况的改变而引起密度的 改变时，在车流中产生车流波的传播。该理论通过分析车流波的传播 改变时，在车流中产生车流波的传播。该理论通过分析车流波的传播 速度来得到流量、速度、密度三者之间的关系。 速度来得到流量、速度、密度三者之间的关系。 来得到流量
二、 车流中的波
流量密度曲线上的车流波分析
Q B
A C 0 Kj K
二、 车流中的波
车辆运行时间-空间轨迹图 车辆运行时间 空间轨迹图
X
Ⅲ G C Ⅱ D B E 1 2 3 4 F Ⅰ 5 6 t A
内容提要： 内容提要： 车流连续性方程 车流波 车流波的应用
一、车流连续性方程
q
k
q+dq
k -dk
Ⅰ
Ⅱ
由质量守恒定律可知：流入量－流出量 数量上的变化 由质量守恒定律可知：流入量－流出量=数量上的变化 (dk/ dt)+( dq / dx)=0 上述的守恒等式表明： 上述的守恒等式表明： 当流量随距离降低时，密度则随着时间而增大。 当流量随距车流中的波
波速公式
Vw V1 K1 A K2 X S B V2
波速公式：
VW=（q1－q2）/（K1－K2）.
二、 车流中的波
集结波与疏散波 由低密度状态向高密度状态转变时所形成的车流波叫集结波； 由低密度状态向高密度状态转变时所形成的车流波叫集结波； 由高密度状态向低密度状态转变时所形成的车流波叫疏散波。 由高密度状态向低密度状态转变时所形成的车流波叫疏散波。 前进波与后退波 当车流波的波速＞ 时 我们称为前进波； 当车流波的波速＞0时，我们称为前进波； 当车流波的波速＜ 时 我们称为后退波。 当车流波的波速＜0时，我们称为后退波。
The theory of traffic flow
2009年3月 年 月
4.6 车流波理论
车流波理论运用流体动力学的基本原理，模拟流体的连续性方程， 车流波理论运用流体动力学的基本原理，模拟流体的连续性方程， 建立车流的连续性方程。 建立车流的连续性方程。该理论把车流密度的疏密变化比拟成水波的 起伏而抽象成车流波。 起伏而抽象成车流波。当车流因道路或交通状况的改变而引起密度的 改变时，在车流中产生车流波的传播。该理论通过分析车流波的传播 改变时，在车流中产生车流波的传播。该理论通过分析车流波的传播 速度来得到流量、速度、密度三者之间的关系。 速度来得到流量、速度、密度三者之间的关系。 来得到流量
二、 车流中的波
流量密度曲线上的车流波分析
Q B
A C 0 Kj K
二、 车流中的波
车辆运行时间-空间轨迹图 车辆运行时间 空间轨迹图
X
Ⅲ G C Ⅱ D B E 1 2 3 4 F Ⅰ 5 6 t A
内容提要： 内容提要： 车流连续性方程 车流波 车流波的应用
一、车流连续性方程
q
k
q+dq
k -dk
Ⅰ
Ⅱ
由质量守恒定律可知：流入量－流出量 数量上的变化 由质量守恒定律可知：流入量－流出量=数量上的变化 (dk/ dt)+( dq / dx)=0 上述的守恒等式表明： 上述的守恒等式表明： 当流量随距离降低时，密度则随着时间而增大。 当流量随距车流中的波
波速公式
Vw V1 K1 A K2 X S B V2
波速公式：
VW=（q1－q2）/（K1－K2）.
二、 车流中的波
集结波与疏散波 由低密度状态向高密度状态转变时所形成的车流波叫集结波； 由低密度状态向高密度状态转变时所形成的车流波叫集结波； 由高密度状态向低密度状态转变时所形成的车流波叫疏散波。 由高密度状态向低密度状态转变时所形成的车流波叫疏散波。 前进波与后退波 当车流波的波速＞ 时 我们称为前进波； 当车流波的波速＞0时，我们称为前进波； 当车流波的波速＜ 时 我们称为后退波。 当车流波的波速＜0时，我们称为后退波。
[工学]交通流理论
![[工学]交通流理论](https://img.taocdn.com/s3/m/8ef2b977b9d528ea80c779a9.png)
Fi 为理论上观测数值出现在第i组的频数。
且有：∑fi =N，∑Fi =N
3、确定统计量的临界值χ2a
χ2a值与置信水平α和自由度DF有关，α通常取0.05 。
DF=g-q-1，式中，q为约束数，指原假设中需确定的未知数的个 数，对泊松分布q=1（只有m需确定），对二项分布和负二项分布 q=2（需确定P、n两个参数）。
N1=λ·P(h≥a1)= λe-λa1 主要道路车流中车头时距大于a2的数目：N2= λe-λa2
…… 则，主要道路车流中允许一辆车穿过的车头间隔数目为：N1-N2
主要道路车流中允许二辆车穿过的车头间隔数目为：N2-N3 主要道路车流中允许三辆车穿过的车头间隔数目为：N3N4
……
15
∴到达率为λ的车流允许穿越的车辆数总和为： Q次=1（N1-N2）+2（N2-N3）+3（N3-N4）+… =N1+N2+N3+N4+…=λ[e-λa1 + e-λa2 + e-λa3 +…] =λ[e-λa + e-λ(a+a0) + e-λ(a+2a0) +…]
P(h≥t) =e-λ（t-τ） t≥τ 其概率密度函数为： λe-λ（t-τ） t≥τ
P(t) =
0
t＜τ
1
1
移位负指数分布的均值M= +τ ，方差D= 2
用样本的均值（平均车头时距）m和方差S2代替M、D，即可求
得λ和τ。
17
2、适用条件 用于描述不能超车的单列车流和车流量低的车流的车头时距分布。 3、移位负指数分布的局限性
2
第一节 离散型概率统计模型
我们在观测交通量或车辆的车头时距时，会发现在固定的计 数时间间隔内，每个间隔内查到的车辆数是变化的，所观测到 的连续车头时距也是不同的，这说明车辆的到达是有一定随即 性的，为了描述这种随机性而采用的概率统计方法可分为两种： 离散型和连续型。
且有：∑fi =N，∑Fi =N
3、确定统计量的临界值χ2a
χ2a值与置信水平α和自由度DF有关，α通常取0.05 。
DF=g-q-1，式中，q为约束数，指原假设中需确定的未知数的个 数，对泊松分布q=1（只有m需确定），对二项分布和负二项分布 q=2（需确定P、n两个参数）。
N1=λ·P(h≥a1)= λe-λa1 主要道路车流中车头时距大于a2的数目：N2= λe-λa2
…… 则，主要道路车流中允许一辆车穿过的车头间隔数目为：N1-N2
主要道路车流中允许二辆车穿过的车头间隔数目为：N2-N3 主要道路车流中允许三辆车穿过的车头间隔数目为：N3N4
……
15
∴到达率为λ的车流允许穿越的车辆数总和为： Q次=1（N1-N2）+2（N2-N3）+3（N3-N4）+… =N1+N2+N3+N4+…=λ[e-λa1 + e-λa2 + e-λa3 +…] =λ[e-λa + e-λ(a+a0) + e-λ(a+2a0) +…]
P(h≥t) =e-λ（t-τ） t≥τ 其概率密度函数为： λe-λ（t-τ） t≥τ
P(t) =
0
t＜τ
1
1
移位负指数分布的均值M= +τ ，方差D= 2
用样本的均值（平均车头时距）m和方差S2代替M、D，即可求
得λ和τ。
17
2、适用条件 用于描述不能超车的单列车流和车流量低的车流的车头时距分布。 3、移位负指数分布的局限性
2
第一节 离散型概率统计模型
我们在观测交通量或车辆的车头时距时，会发现在固定的计 数时间间隔内，每个间隔内查到的车辆数是变化的，所观测到 的连续车头时距也是不同的，这说明车辆的到达是有一定随即 性的，为了描述这种随机性而采用的概率统计方法可分为两种： 离散型和连续型。
交通工程学 第4章 交通流理论
k
j 1
g
j
fj
k
j 1
g
j
fj
fj
N
式中：g——观测数据分组数； fj——计算间隔t内到达kj辆车(人)这一事件发生的次(频)数； kj——计数间隔t内的到达数或各组的中值； N——观测的总计间隔数。
(2)递推公式
P(0) e m P(k 1) P(k ) k 1
(3)应用条件
• 在第一个环节上，重点研究设计什么样的模型才能对所 关心的交通流现象有一个很好的描述，此环节的关键是 对系统的识别，也即对所研究对象的充分认识。这种认 识越深刻，所建立的模型就越符合实际； • 在第二个环节上，重点研究如何确定模型中的参数使模 型得以具体应用，参数的确定是一项非常具体、细致的 工作，其好坏直接决定了模型的应用效果。优秀的交通 流模型应该只包含若干个有现实的变量和参数，而且它 们是容易测量的。 • 此外，一个好的模型还应在理论上前后一致，便于进行 数值模拟且能做出新的预测，简单而言，优秀的交通流 模型必须有鲁棒性、现实性、一致性和简单性。 • 无论是模型结构的建立还是模型参数的标定，简单和适 用是第一原则 ，但随着计算手段的改善和交通工程技 术人员素质的提高，复杂交通流模型推广和应用的也日 益广泛了。
§4－2 概率统计模型
本节内容
• • • • 离散型分布特征、分布函数 排队论模型的基本概念 M/M/N与N个M/M/1的指标计算与比较 流体模拟理论及实例分析
问题的提出
一个实际问题及其解决方法的思路分析
1.某随机车流，求30秒内平均到达的车辆数（均值）、方差（参考p74 4-8 4-10 ） 2.假定该车流服从泊松分布，求没有车到达的概率、到达四辆车的概率、到达 大于四辆车的概率分别是多少 ）
交通流理论
第四章交通流理论交通流理论（TrafficFlowTheory）是研究交通流随时间和空间变化规律的模型和方法体系，被广泛应用于交通系统规划与控制的各个方面。
第一节交通流理论的发展历程在本节中，我们一起回顾交通流理论的发展历程。
交通流理论的兴起大致在20世纪30年代，在20世纪50年代到60年代经历了繁荣和快速发展，70年代以后，主要是对既有理论的发展完善和应用拓展。
一、交通流理论的萌芽期萌芽期从20世纪30年代到第二次世界大战结束。
由于发达国家汽车使用和道路建设的发展，需要探索道路交通流的基本规律，产生了研究交通流理论的初步需求。
Adams在1936发表的论文中将概率论用于描述道路交通流，格林息尔治（Greenshields）在1935年开创性提出了流量和速度关系式（也就是格林息尔治关系），并调查了交叉口的交通状态。
二、交通流理论的繁荣期繁荣期从第二次世界大战结束到20世纪50年代末。
汽车使用显着增长和道路交通系统建设加快，应用层面对交通特性和交通流理论的研究提出了急切需求。
此阶段是交通流理论最为辉煌的时期，经典交通流理论和模型几乎全部出自这一时期。
交通流理论中的经典方法、理论和模型相继涌现，如车辆跟驰（Car-following）模型、车流波动（KinematicWave）理论和排队论（QueuingTheory）。
这一时期群星闪耀，许多在自然科学其他领域中的大师级人物（如数学家、物理学家、力学家、经济学家）都投入到交通流理论的研究中，其中不乏诺贝尔奖金的获得者，如1977年的诺贝尔化学奖获得者伊利亚?普列高津（IlyaPrigogine）。
着名人物有赫曼（Herman）、鲁切尔（Reuschel）、沃德卢普（Wardrop）、派普斯（Pipes）、莱特希尔（Lighthill）、惠特汉（Whitham）、纽维尔（Newell）、盖热斯（Gazis）、韦伯斯特（Webster）、伊迪（Edie）、福特（Foote）和钱德勒（Chandler）。
4-3 交通流理论-跟驰模型
2/42
跟驰理论——研究在限制超车的单车道上，行驶车队中前 车速度的变化引起的后车反应。
研究条件——限制超车、单车道 研究前提——前车行驶状态变化 研究对象——后车的行驶状态 研究目的——单车道交通流特性
3/42
一、跟驰状态的判定
跟驰状态临界值的判定是车辆跟驰研究中的一个关键， 现有的研究中，对跟驰状态的判定存在多种观点。
10/42
最早出现的跟弛模型 形式简单 是其他跟弛模型的基础
2辆车跟驰
N+1 S(t) Xn+1(t)
某时刻N+1车位置 正常情况下两车间距 N车停车位置
N
Xn(t) 某时刻N车的位置
N车开始减速位置
d3:N车的制动距离
N+1 N+1 N
d1
反应时间T内N+1 车的行驶距离
d2
N+1车的制动距离
线性模型的缺憾！！！
(t T ) [ X (t ) X (t )] X n 1 n n 1
两边对时间积分
n 1 (t T ) [ xn (t ) xn 1 (t )] C0 x
n 1 (t T ) [ xn (t ) xn 1 (t )] C0 x
(t T ) [ X (t ) X (t )] X n 1 n n 1
1/ T
Xn1(t T) [ Xn (t) Xn1(t)]
反 应
灵敏度
刺 激
反应 灵敏度 刺激
驾驶员，T约为1.5秒
8/42
3、传递性
由制约性可知，第一辆车的运行状态制约着第二辆车的运
行状态，第二辆车又制约着第三辆车，…，第n辆车制约 着第n+1辆。一旦第一辆车改变运行状态，它的效应将会 一辆接一辆的向后传递，直至车队的最后一辆，这就是传 递性。
跟驰理论——研究在限制超车的单车道上，行驶车队中前 车速度的变化引起的后车反应。
研究条件——限制超车、单车道 研究前提——前车行驶状态变化 研究对象——后车的行驶状态 研究目的——单车道交通流特性
3/42
一、跟驰状态的判定
跟驰状态临界值的判定是车辆跟驰研究中的一个关键， 现有的研究中，对跟驰状态的判定存在多种观点。
10/42
最早出现的跟弛模型 形式简单 是其他跟弛模型的基础
2辆车跟驰
N+1 S(t) Xn+1(t)
某时刻N+1车位置 正常情况下两车间距 N车停车位置
N
Xn(t) 某时刻N车的位置
N车开始减速位置
d3:N车的制动距离
N+1 N+1 N
d1
反应时间T内N+1 车的行驶距离
d2
N+1车的制动距离
线性模型的缺憾！！！
(t T ) [ X (t ) X (t )] X n 1 n n 1
两边对时间积分
n 1 (t T ) [ xn (t ) xn 1 (t )] C0 x
n 1 (t T ) [ xn (t ) xn 1 (t )] C0 x
(t T ) [ X (t ) X (t )] X n 1 n n 1
1/ T
Xn1(t T) [ Xn (t) Xn1(t)]
反 应
灵敏度
刺 激
反应 灵敏度 刺激
驾驶员，T约为1.5秒
8/42
3、传递性
由制约性可知，第一辆车的运行状态制约着第二辆车的运
行状态，第二辆车又制约着第三辆车，…，第n辆车制约 着第n+1辆。一旦第一辆车改变运行状态，它的效应将会 一辆接一辆的向后传递，直至车队的最后一辆，这就是传 递性。
第四章 交通流理论ppt课件
度的时间内到达某场所交通的间隔时间的统计分布； 4) 研究交通分布的意义：预测交通流的到达规律（到达数及到
达时间间隔），为确定设施规模、信号配时、安全对策提供依 据；
.
4.2.1 离散型分布
车辆的到达具有随机性
描述对象：
在一定的时间间隔内到达的车辆数, 在一定长度的路段上分布的车辆数
4.2 概率统计模型
.
4.2 概率统计模型
4.2.1 离散型分布
2. 二项分布：
适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流 基本模型：计数间隔t内到达k辆车的概率
P (k)C n k n t k 1 n t nk,k1 ,2,.n ..
λ：平均到达率（辆或人/秒） 令：p＝λt/n， 0 <p <1
出分布参数 p 和 n；
.
4.2 概率统计模型
4.2.1 离散型分布
3. 负二项分布：
适用条件：到达的车流波动性很大时适用。 典型：信号交叉口下游的车流到达。
4. 离散型分布拟合优度检验——χ2检验
用于根据现场实测数据来判断交通流服从何种分布 原理和方法：
1) 建立原假设：随机变量X服从某给定的分布 2) 选择合适的统计量 3) 确定统计量的临界值 4) 判断检验结果
.
4.2 概率统计模型
4.2.1 离散型分布
1. 泊松分布：
递推公式：由参数m及数量k可递推出Pk+1；
P0 em
Pk1
m k 1Pk
分布的均值M与方差D皆等于λt，这是判断交通流到达规律是否 服从泊松分布的依据。
运用模型时的留意点：关于参数m＝λt可理解为时间间隔 t 内的 平均到达车辆数。
4. 有效性指标——延误
达时间间隔），为确定设施规模、信号配时、安全对策提供依 据；
.
4.2.1 离散型分布
车辆的到达具有随机性
描述对象：
在一定的时间间隔内到达的车辆数, 在一定长度的路段上分布的车辆数
4.2 概率统计模型
.
4.2 概率统计模型
4.2.1 离散型分布
2. 二项分布：
适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流 基本模型：计数间隔t内到达k辆车的概率
P (k)C n k n t k 1 n t nk,k1 ,2,.n ..
λ：平均到达率（辆或人/秒） 令：p＝λt/n， 0 <p <1
出分布参数 p 和 n；
.
4.2 概率统计模型
4.2.1 离散型分布
3. 负二项分布：
适用条件：到达的车流波动性很大时适用。 典型：信号交叉口下游的车流到达。
4. 离散型分布拟合优度检验——χ2检验
用于根据现场实测数据来判断交通流服从何种分布 原理和方法：
1) 建立原假设：随机变量X服从某给定的分布 2) 选择合适的统计量 3) 确定统计量的临界值 4) 判断检验结果
.
4.2 概率统计模型
4.2.1 离散型分布
1. 泊松分布：
递推公式：由参数m及数量k可递推出Pk+1；
P0 em
Pk1
m k 1Pk
分布的均值M与方差D皆等于λt，这是判断交通流到达规律是否 服从泊松分布的依据。
运用模型时的留意点：关于参数m＝λt可理解为时间间隔 t 内的 平均到达车辆数。
4. 有效性指标——延误
第四章交通流理论(详细版)
34
二、排队论的基本原理
幻灯片 35§4-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如： 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务，服务次序有先到先服务(这是最通常的
36
二、排队论的基本原理
幻灯片 37-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (3) 服务方式：指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。每次服务可以成批接待，例如公
7.5m
Q=360辆/h
Qt
3607.5
P(h7.5) e 3600 e 3600 0.4724
360 0.4724 170
（次）
幻灯片 27 当 Q = 900 辆/h 时，车头时距大于 7.5s 的概率为：
26 §4-2 交通流的统计分布特性
1h 内车头时距次数为 900，其中 h≥7.5s 的车头时距为可以安全横穿的次数：
33
二、排队论的基本原理
幻灯片 34§4-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (1) 输入过程：就是指各种类型的"顾客(车辆或行人)"按怎样的规律到达。有各式各样的输入过程，例如： D—定长输入：顾客等时距到达。 M—泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。 Ek—爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
p m s2 m
m
1 N
N
i
i 1
n
m2 m s2
s 2
1 N 1
N i 1
(i
m)2
14 幻灯片 15 【例 4-2】：在一交叉口，设置左转弯信号相，经研究来车符合二项分布，每一周期平均来车 30 辆，其中有 30%
二、排队论的基本原理
幻灯片 35§4-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如： 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务，服务次序有先到先服务(这是最通常的
36
二、排队论的基本原理
幻灯片 37-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (3) 服务方式：指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。每次服务可以成批接待，例如公
7.5m
Q=360辆/h
Qt
3607.5
P(h7.5) e 3600 e 3600 0.4724
360 0.4724 170
（次）
幻灯片 27 当 Q = 900 辆/h 时，车头时距大于 7.5s 的概率为：
26 §4-2 交通流的统计分布特性
1h 内车头时距次数为 900，其中 h≥7.5s 的车头时距为可以安全横穿的次数：
33
二、排队论的基本原理
幻灯片 34§4-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (1) 输入过程：就是指各种类型的"顾客(车辆或行人)"按怎样的规律到达。有各式各样的输入过程，例如： D—定长输入：顾客等时距到达。 M—泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。 Ek—爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
p m s2 m
m
1 N
N
i
i 1
n
m2 m s2
s 2
1 N 1
N i 1
(i
m)2
14 幻灯片 15 【例 4-2】：在一交叉口，设置左转弯信号相，经研究来车符合二项分布，每一周期平均来车 30 辆，其中有 30%
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2 2
概述
交通流理论是发展中的科学，有很多理论在探讨 各种交通现象： 交通流量、速度和密度的相互关系及量测方法； 交通流的统计分布特性； 排队论的应用； 跟驰理论； 交通流的流体力学模拟理论； 交通波理论。
2015-6-11
3 3
第二节 交通流的统计分布特性
2015-6-11
第四章 交通流理论
第一节 概述
2015-6-11
1 1
概述
作为交通工程学理论基础的交通流理论是运用 物理和数学的方法来描述交通特性的一门边缘科 学，它用分析的方法阐述交通现象及其机理，使 我们能更好地理解交通现象及其本质，并使城市 道路与公路的规划设计和营运管理发挥最大的功 效。
2015-6-11
1 M 1 D 2
2015-6-11
20 20
二、连续性分布
车头时距服从负指数分布的车流特性 见图，曲线 是单调下降的，说明车头时距愈短，出现的概率 愈大。这种情形在不 能超车的单列车流中 是不可能出现的，因 为车辆的车头与车头 之间至少存在一个车 长，所以车头时距必 有一个大于零的最小 值τ。
P( h7.5) e
e
0.1534
1h内车头时距次数为900，其中h≥7.5s的车头时 距为可以安全横穿的次数：
900 0.1534 138 （次）
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第三节
排队论的应用
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一、引言
排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产 生等待行列（即排队）的现象，以及合理协调“ 需求”与“服务”关系的一种数学理论，是运筹 学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称随机 服务系统理论。 排队论是20世纪初由丹麦电信工程师欧兰最先提 出，在二战期间排队论在战时后勤保障、军事运 输等方面得到了广泛应用，发展成为军事运筹学 的一个重要分支。 在交通工程中，排队论被用来研究车辆延迟、信 号配时、收费站、加油站等设施的设计与管理。
分布的均值M和方差D分别为： 1 1 M D 2
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二、连续性分布
移位负指数分布的局限性： 服从移位负指数分布的车头时距愈接近τ出现的 可能性愈大。这在一般情况下是不符合驾驶员的 心理习惯和行车特点的。 车头时距分布的概率密度曲线一般总是先升后 降。
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m 6
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一、离散型分布
无车的概率为： P(0) 0.0025 小于5辆车的概率为： P( k5) 0.2850 不多于5辆车的概率为：P( k5) 0.4456
P( k6) 1 P( k5) 0.5544 6辆及其以上的概率为：
至少为3辆但不多于6辆的概率为： P( 3k6) 0.5442
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P( 0 ) e 0.3 0.819
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一、离散型分布
2）有95%臵信度的每个周期来车数的含义为：来 车数小于或等于k辆的概率≥95%时的k值，即： P( k ) 0.95 ，求这时的k 即λ=240/3600（辆/s ），当t=60s时，m=λt=4 来车的分布为： m k m 4 k 4 P( k ) e e k! k! 求：P( k ) 0.95 的k值。
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二、连续性分布
移位负指数分布 适用条件：用于描述不能超车的单列车流的车头 时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。 移位负指数分布公式:
P( ht ) e ( t ) P( ht ) 1 e ( t )
(t ) (t )
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二、排队论的基本概念
“排队”与“排队系统” 当一队车辆通过收费站，等待服务（收费）的车 辆和正在被服务（收费）的车辆与收费站构成一 个“排队系统”。 等候的车辆自行排列成一个等待服务的队列，这 个队列则称为“排队”。 “排队车辆”或“排队（等待）时间”都是指 排队的本身。 “排队系统中的车辆”或“排队系统消耗时间 ”则是在指排队系统中正在接受服务（收费）和 排队的统称。
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二、连续性分布
例5 ：在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向 流量为360辆/h，该方向路宽7.5m，设行人步行速 度为1m/s，求1h中提供给行人安全横过单向车道 的次数，如果单向流量增加到900辆/h， 1h中提 供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减 少。
Q=360辆/h
7.5m
恰好为5辆车的概率为：P( 5) 0.1606
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一、离散型分布
例2：已知某信号灯周期为60s，某一个入口的车流 量为240辆/h，车辆到达符合泊松分布，求： 在1s、2s、3s内无车的概率； 求有95%的臵信度的每个周期来车数。 解：1）1s、 2s、3s内无车的概率 λ=240/3600（辆/s ），当t=1s时， m= λt=0.067 P(0) e 0.067 0.9355 当t=2s时， m= λt =0.133， P( 0 ) e 0.133 0.875 当t=2s时， m= λt =0. 3，
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二、连续性分布
负指数分布 适用条件:用于描述有充分超车机会的单列车流和 密度不大的多列车流的车头时距分布。 负指数分布常与泊松分布相对应，当来车符合泊 松分布时，车头时距则符合负指数分布。 由公式： P( 0) e t 可知，当车辆平均到达率为λ时 ，P(0)为计数间隔t 内无车到达的概率。 可见，在具体的时间间隔 t 内，如无车辆到达， 则在上一次车和下一次车到达之间车头时距h至 少有t，即h≥t。
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二、连续性分布
解：行人横过单向行车道所需要的时间： t =7.5/1=7.5s 因此，只有当h≥7.5s时，行人才能安全穿越，由 于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指 数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大 于7.5s的概率为：
P( h7.5) e
Qt 3600
k k 由 ：P( k ) Cn p (1 p) nk
P( 2) C 0.3 (1 0.3)
2 5 2
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5 2
0.309
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一、离散型分布
2）由： p =30%，n=5，k=2
k k 根据： P( k ) Cn p (1 p) n k
P( 0 ) C 0.3 (1 0.3)
0 5 0
5 0
0.168
1 P(1) C5 0.3(1 0.3)51 0.36
P( k 2 ) P( 0 ) P(1) 0.528
3）由： p =30%，n=30，k=0
k k 根据： P( k ) Cn p (1 p) nk 0 P( 0 ) C30 0.30 (1 0.3) 30 0.000023
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二、连续性分布
或者说： P(0)也就是车头时距h大于或等于t 的概 率。对于任意的t ，如果在t 内没有车辆到达，上 一次车和下一次车到达之间车头时距必然大于或 等于t ，即： P( 0 ) e t P( h t )
P( h t ) e t 式中：λ—车辆平均到达率（辆/s） P(h≥t)—车头时距大于或等于t (s)的概率 车头时距小于t (s)的概率，可有下式求得：
P( ht ) 1 e
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t
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二、连续性分布
例4：对于单向平均流量为360辆/h的车流，求车头 时距大于或等于10s的概率。 解：车头时距大于或等于10s的概率也就是10s以内 无车的概率。 由λ=360/3600=0.1 P( ht ) e t
P( h10 ) e 0.110 0.37
0.0298 0.9787
P( k8) 0.95
设计上具有95%臵信度的来车数不多于8辆。
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一、离散型分布
二项分布 适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的 车流。交通流具有较小的方差时，来车符合二项 分布。 k k nk P C p ( 1 p ) n 基本公式： ( k ) 式中： P（k）—在计数间隔t 内到达k 辆车的概率; λ—平均到车率（辆/s）； t —每个计数间隔持续的时间（s）； n—正整数 ； p—二项分布参数，p t / n 。
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一、离散型分布
泊松分布 适用条件：车流密度不大，其他外界干扰因素基 本上不存在，即车流是随机的 。 基本公式:
P( k )
( t ) k t e k!
式中： P(k) —在计数间隔t 内到达 k 辆车的概率; λ —平均到车率(辆/s) ； t —每个计数间隔持续的时间(s) 。
同样，车头时距小于10s的概率为： t P( ht ) 1 e 0.63
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二、连续性分布
由上例可见，设车流的单向流量为Q（辆/h）， 则λ=Q/3600，于是负指数公式可改写成：
P( ht ) e
Qt 3600
负指数分布的均值M和方差D分别为：
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一、离散型分布
k m e k!
递推公式：
P( 0 ) e
m
P( k 1)
m P( k ) k 1
分布的均值M和方差D都等于m
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一、离散型分布
应用举例 例1：设60辆车随机分布在10km长的道路上，其中 任意1km路段上，试求： 无车的概率； 小于5辆车的概率； 不多于5辆车的概率； 6辆及其以上的概率； 至少为3辆但不多于6辆的概率； 恰好为5辆车的概率。