高一数学下学期第二次月考试题
高一下学期数学第二次月考试卷
高一下学期数学第二次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，） (共12题；共60分)1. （5分）对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是（）A . 棱柱B . 棱锥C . 棱台D . 一定不是棱柱、棱锥2. （5分） (2016高一下·平罗期末) 已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为2的正三角形，则△ABC 的面积为（）A . 2B .C . 2D . 43. （5分）三角形ABC中，,AB=3,BC=1 ，以边AB所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A .B .C . .D .4. （5分） (2016高三上·沙市模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .5. （5分）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A .B .C .D .6. （5分） (2018高二上·万州期中) 已知水平放置的，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原的面积是（）A .B .C .D .7. （5分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD 上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积（）.A . 与ｘ，ｙ，ｚ都有关B . 与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关C . 与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关D . 与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关8. （5分）棱长为a的正方体可任意摆放，则其在水平平面上投影面积的最大值为（）A . a2B . a2C . a2D . 2a29. （5分） (2016高一下·辽源期中) 已知{an}为等差数列，a3=7，a1+a7=10，Sn为其前n项和，则使得Sn 达到最大值的n等于（）A . 4B . 5C . 6D . 710. （5分）等差数列{an}中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（）A .B . 12C .D . 611. （5分） (2019高三上·赤峰月考) 已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项是，第二项是1，接着两项为，，接着下一项是2，接着三项是，，，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前项和为，则满足的最小的正整数的值为（）A . 65B . 67C . 75D . 7712. （5分） (2019高二上·上海月考) 设等差数列前项和为，且满足，，则、、、、中，最大项为（）A .B .C .D .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分。
2023-2024学年湖北省学高一下册2月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年湖北省学高一下册2月月考数学试题一、单选题1．已知πcos()63x -=，则πcos cos(3x x +-等于（）A B ．±C ．－1D ．1【正确答案】D【分析】根据两角差的余弦公式以及辅助角公式即可求解.【详解】π1πcos cos()cos cos sin cos 132263x x x x x x ⎛⎫+-=++-⨯= ⎪⎝⎭，故选：D2．已知a ，b ∈R ，则“0ab ≠”的一个必要条件是（）A ．0a b +≠B ．220a b +≠C ．330a b +≠D ．110a b+≠【正确答案】B【分析】利用3,3a b ==-否定ACD 选项，进而得答案.【详解】解：对于A 选项，当3,3a b ==-时，0ab ≠，此时0a b +=，故0a b +≠不是0ab ≠的必要条件，故错误；对于B 选项，当0ab ≠时，220a b +≠成立，反之，不成立，故220a b +≠是0ab ≠的必要条件，故正确；对于C 选项，当3,3a b ==-时，0ab ≠，但此时330a b +=，故330a b +≠不是0ab ≠的必要条件，故错误；对于D 选项，当3,3a b ==-时，0ab ≠，但此时110a b +=，故故110a b+≠不是0ab ≠的必要条件，故错误.故选：B3．函数()()23log 45f x x x =-++的单调减区间是（）A ．(),2∞-B ．()2,∞+C ．()2,5D ．()1,2-【正确答案】C【分析】先求出函数定义域，再根据复合函数单调性的判断法则求解单调区间.【详解】由题：2450x x -++>，()()150x x +-<，解得：()1,5x ∈-，()()23log 45f x x x =-++的减区间，即245y x x =-++的减区间，对称轴为2x =结合二次函数单调性，所以()()23log 45f x x x =-++的减区间()2,5.故选：C此题考查求复合函数的单调区间，需要熟练掌握单调性的讨论方式，易错点在于漏掉考虑定义域，导致出错.4．在平行四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上靠近点C 的三等分点，点F 在BE 上，若13AF x AB AD =+，则x =（）A ．23B ．45C ．56D ．67【正确答案】C【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.【详解】由题可知()23AE AB AD =+，∵点F 在BE 上，∴()1AF AB AE λλ=+- ，∴2133AF λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 2233AB AD λ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ．∴221333λ-=，12λ=．∴21153326x =+⨯=．故选：C ．5．设(0,)x π∈，则函数()f x =）A．⎡⎣B ．[]0,2C．⎡⎣D ．[)0,2【正确答案】A利用二倍角公式化简函数表达式，再利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】由(0,)x π∈，则0,22x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()f x ==sin 2sin 2224x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又,2444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以sin 2242x π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，所以0sin 242x π⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以()0f x ≤<故选：A本题考查了三角恒等变换、求三角函数的值域，考查了基本运算求解能力，属于中档题.6．已知0x >，0y >，且420x y xy +-=，则2x y +的最小值为（）A ．16B ．8+C ．12D ．6+【正确答案】A【分析】由题意得，241x y+=，再根据基本不等式乘“1”法即可得最小值.【详解】由题可知241x y+=，乘“1”得24822(2)82816x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当82x y y x =时，取等号，则2x y +的最小值为16.故选：A7．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，过点,012A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,23B π⎛⎫⎪⎝⎭，当5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()2cos 43g x mf x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为9，则m 的值为（）A ．2B ．52C ．2和52D ．2±【正确答案】B由图可得()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()4sin 26g x m x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭212sin 26x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，令sin 2[0,1]6x t π⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，转化为求2241y t mt =-++的最大值问题.【详解】由已知，43124T πππ=-=，所以2T ππω==，2ω=，又()23f π=，||2ϕπ<，所以sin(2)13πϕ⨯+=，6πϕ=-，故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()()2cos 43g x mf x x π⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭4sin 26m x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭212sin 26x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以220,63x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，sin 2[0,1]6x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，令sin 26x t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则[0,1]t ∈，故2241y t mt =-++，若0m ≤，易得max 1y =，不符合题意；若01m <<，易得2max 129y m =+=，解得2m =±（舍）；若m 1≥，易得max 419y m =-=，解得52m =.故选：B.本题考查已知正弦型函数的最大值求参数的问题，涉及到由图象确定解析式、二次函数最值等知识，是一道有一定难度的题.8．已知平面向量a 、b 、c满足2a b a c ==⋅= ，且12a c a λ+≥- 对任意实数λ恒成立，则1122a b b c ++-的最小值为（）A 31B ．23C 35D ．5【正确答案】B【分析】不等式12a c a c λ+≥- ，两边平方得到关于实数λ的不等式，进而得到2c =，再利用模长公式将1122a b b c ++- 转化为1122a b c b ++- ，再利用不等式a b a b +≥+即可得解.【详解】由12a c a c λ+≥- ，两边平方得22222124a a c c a a c cλλ+⋅+⋅≥-⋅+ 又2a c ⋅=，且12a c a λ+≥- 对任意实数λ恒成立，即22214204c c λλ⋅++-≥ 恒成立，所以221164204c c ⎛⎫∆=-⋅-≤ ⎪⎝⎭ ，即()2240c -≤ ，所以24c =，即2c = .由2a b c ===，知1122a b a b +=+ ，1122b c c b -=-所以11112222a b b c a b c b a c ++-=++-≥+=当且仅当12a b + 与12c b -同向时取等号.故选：B关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用12a c a c λ+≥- 对任意实数λ恒成立，求得2c =，再利用a b a b +≥+ 求最值，考查了转化思想与运算能力.二、多选题9．若函数()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当(0,1]x ∈时，()ln f x x =，则（）A ．()f x 为偶函数B ．()e 1f =C ．141e f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D ．当[1,2)x ∈时，()ln(2)f x x =--【正确答案】ACD【分析】根据题意可得()f x 关于2x =与()1,0对称，再根据对称性满足的等式化简，逐个选项判断即可【详解】对A ，因为函数()22f x +为偶函数，故()()2222f x f x +=-+，故()f x 关于2x =对称.又()1f x +为奇函数，关于原点对称，故()f x 关于()1,0对称.综上，()f x 关于2x =与()1,0对称.关于2x =对称有()()4f x f x =-，关于()1,0对称有()()42f x f x -=--，()()=2f x f x --，故()()22f x f x --=--，即()()=f x f x -，所以()f x 为偶函数，故A正确；对B ，由A ，因为()e 2,3∈，()()()()e 2e e 2ln e 2f f f =--=--=--，故B 错误；对C ，由A ，1114ln 1e e e f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对D ，当[1,2)x ∈时，(]20,1x -∈，故()()()2ln 2f x f x x =--=--，故D 正确；故选：ACD10．设a ，b是互相垂直的单位向量，2AB a b λ=+ ，()1AC a b λ=+- ，下列选项正确的是（）A ．若点C 在线段AB 上，则2λ=B ．若AB AC ⊥，则23λ=C ．当1λ=时，与AB+ D ．当1λ=-时，a 在AC 上的投影向量为1255a b-【正确答案】ABD【分析】对A ：根据向量共线分析运算；对B ：根据向量垂直运算求解；对C ：根据单位向量分析运算；对D ：根据投影向量分析运算.【详解】由题意可得：221,0a b a b ==⋅=r r r r，对A ：若点C 在线段AB 上，则[),1,AB k AC k =∈+∞uu u r uuu r，则()()211a b k a b ka k b λλλ⎡⎤+=+-=+-⎣⎦r r r r r r，可得()12k k λλ=⎧⎨-=⎩，解得2k λ==或1k λ==-（舍去），故A 正确；对B ：由AB AC ⊥，可得()()()()22221221320AB AC a b a b a a b b λλλλλλλ⎡⎤⋅=+⋅+-=+-+⋅+-=-=⎣⎦uu u r uuu r r r r r r r r r ，解得23λ=，故B 正确；对C ：当1λ=时，则2AB a b =+===uu u r r r与AB共线的单位向量是⎫=±⎪⎪⎝⎭，故C 错误；对D ：当1λ=-时，可得()22221,a AC a a b a a b AC ⋅=⋅-=-⋅====r uuu r r r r r r r uuu r 则a 在AC上的投影向量为()2112cos ,555AC a AC AC a AC a a AC a AC AC a bAC a ACAC AC⋅⋅<>====-uuu r r uuu ruuu r r uuu rr r uuu r r uuu r uuu r r ruuu r r uuu ruuu r uuu r ，故D 正确.故选：ABD ．11．某摩天轮共有32个乘坐舱，按旋转顺序依次为1～33号（因忌讳，没有13号），并且每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角均相等，已知乘客在乘坐舱距离底面最近时进入，在min t 后距离地面的高度()()()()sin 0,0,0,2πf t A t B A ωϕωϕ=++>>∈，已知该摩天轮的旋转半径为60m ，最高点距地面135m ，旋转一周大约30min ，现有甲乘客乘坐11号乘坐舱，当甲乘坐摩天轮15min 时，乙距离地面的高度为(75m +，则乙所乘坐的舱号为（）A ．6B ．7C ．15D ．16【正确答案】BD【分析】先由最小正周期求出15πω=，进而由最高点和最低点与地面的距离求出6075A B =⎧⎨=⎩，由甲乘坐摩天轮15min 时，距底面为最大高度，求出3π2ϕ=，得到解析式，令()075f t =+求出0454t =min 或754min ，求出每相邻两个乘坐舱旋转到同一高度的时间间隔，分别求出0454t =min 和754min 时，甲乙相差的乘坐舱个数，得到答案.【详解】由题意得：30T =min ，故2π2ππ3015T ω===，摩天轮最低点距底面13560215-⨯=m ，故13515A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得：6075A B =⎧⎨=⎩，故()π60sin 7515f t t ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由于30T =min ，故甲乘坐摩天轮15min 时，距地面为最大高度，即()π1560sin 157513515f ϕ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭，故()sin π1ϕ+=，因为()0,2πϕ∈，所以()ππ,3πϕ+∈，故5ππ2ϕ+=，解得：3π2ϕ=，故()π3π60sin 75152f t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令()00π3π60sin 7575152f t t ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭()00,30t ∈，解得：0π3πsin 1522t ⎛⎫+=⎪⎝⎭，令0π3ππ2π1524t k +=+，Z k ∈，解得：075304t k =-+，Z k ∈，因为()00,30t ∈，所以()07530,403k +∈-，解得：1k =，此时0454t =令0π3π3π2π1524t k +=+，Z k ∈，解得：045304t k =-+，Z k ∈，因为()00,30t ∈，所以()04530,403k +∈-，解得：1k =，此时0754t =综上：0454t =min 或754min ，每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角为π16，故每相邻两个乘坐舱旋转到同一高度的时间间隔为π1516minπ1615=，当0454t =min 时，乙比甲晚出发45151544-=min ，甲乙相差15441516=个乘坐舱，由于没有13号乘坐舱，故乙在16号乘坐舱，当0754t =min 时，乙比甲早出发75151544-=min ，甲乙相差15441516=个乘坐舱，故乙在7号乘坐舱.故选：BD12．对任意两个非零的平面向量α 和β，定义αβαβββ⋅=⋅，若平面向量a b ､满足0,a b a≥> 与b 的夹角π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且a b 和b a都在集合Z,Z n m n m ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭∣中．给出以下命题，其中一定正确的是（）A ．若1m =时，则1a b b a ==B ．若2m =时，则12a b =C ．若3m =时，则a b的取值个数最多为7D ．若2014m =时，则a b的取值个数最多为220142【正确答案】AC【分析】由新定义可知22||cos ||cos ,||||a b a b a b a b b a a a b bθθ⋅⋅====，再对每个命题进行判断，即可得出结论.【详解】对A ，若1m =时，'22||cos ||cos ,||||a b a b a b a b n b a n a a b bθθ⋅⋅======，两式相乘得2'cos n n θ=⋅，又π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，21cos 12θ∴≤≤，即'112n n ≤⋅≤，'1n n ∴==，即1a b b a ==，故A 正确；对B ，若2m =时，则2||cos 2||a b a n a b b bθ⋅=== ，同理||cos ||2b n b a a θ'==，相乘得到2cos 4nn θ'=，又π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以21cos 12θ≤≤，即1124nn '≤≤，则()',n n 取值(2,1)时符合1124nn '≤≤，此时1a b = ，故B 错误；对C ，若3m =时，则2||cos 3||a b a n a b b bθ⋅===，同理||co |3s |b n b a a θ'==，相乘得2cos 9nn θ'=，又π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，21cos 12θ∴≤≤，1129nn '∴≤≤，又0≥> a b ，得'n n ≥，3,2,3n n '∴==，4,2n n '==，5,6,7,8,9,1n n '==，a b ∴的取值个数最多为7个，故C 正确；对D ，若2014m =时，由上面推导方法可知22014112nn '≤≤，2220142n nn '≥∴≥，n ∴≥214252014n ∴≤≤，a b ∴ 的取值个数最多为2220141425202114-+≠，故D 错误.故选：AC.数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.三、填空题13．210341272(e 1)16lglg254+--+-=__________．【正确答案】5+5【分析】根据指数幂和对数公式计算即可.【详解】210341272(e 1)16lglg254+-+-()()21343411322lg 425⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭92222=++--5=故答案为.5+14．已知平面上不共线的向量,,a b c的夹角两两相等，且a b c == ，则,a b b c +-=__________．【正确答案】π6##30︒【分析】由题可得,,a b c两两的夹角为2π3，根据平面向量数量积的定义，运算律及向量夹角公式即得.【详解】因为平面上不共线的向量,,a b c的夹角两两相等，且a b c == ，,,a b c ∴两两的夹角为2π3，22πcos 32a a a b b ∴⋅=⨯=-，22a c c ab ⋅=⋅=- ，∴()()22222223222a b a c b b a a a a a b c b c a ⋅-⋅+-⋅=+⋅-=-+++=，()2222222222a a b a a ab a a b ⋅+=-⨯++=+=，即a b a +=r r r ，()22222222322b b a bc c ca a a -⋅+=+⨯+=-=，即b c -= ，所以()()23cos ,2a a b b c a b b c a b b c +⋅-+-=+- [],0,πa b b c +-∈ ，所以π,6a b b c +-=.故答案为.π615．函数()1,111,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨⎛⎫+≠⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程2[f (x )]2－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，则a 的取值范围是________．【正确答案】331,,222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】要使关于x 的方程2[f (x )]2－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，只需使函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝32、y ＝a 共有五个不同的交点，画出函数的大致图象，利用数形结合可得结果．【详解】由2[f (x )]2－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0，得[2f (x )－3][f (x )－a ]＝0，∴f (x )＝32或f (x )＝a ．画出函数y ＝f (x )的大致图象，如图，要使关于x 的方程2[f (x )]2－(2a ＋3)·f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，即要使函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝32、y ＝a 共有五个不同的交点，则a 的取值范围是331,,222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故331,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16．对任意实数11,2x y >>，不等式222241(21)(1)x y a y a x +≥--恒成立，则实数a 的最大值为________．【正确答案】不等式222241(21)(1)x y a y a x +≥--恒成立，转化为2224211x y a y x ≤+--，其中11,2x y >>，令()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----，两次利用基本不等式即可得出结果.【详解】不等式222241(21)(1)x y a y a x +≥--恒成立，可得转化为2224211x y a y x ≤+--，其中11,2x y >>，令()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----≥8=≥=，当且仅当22x y ==时取等号，28a ∴≤，解得a -≤∴实数a 的最大值为.故易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方四、解答题17．已知R a ∈，解关于x 的不等式()2330ax a x +++>．【正确答案】答案见解析【分析】分类讨论求解含参数的一元二次不等式作答即可.【详解】当0a =时，不等式为330x +>，解得1x >-；当0a ≠时，不等式化为()310a x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，当a<0时，不等式为()310x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，解得31x a -<<-；当0a >时，不等式为()310x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，若3a =，不等式为()210x +>，解得1x ≠-；若0<<3a ，解得3x a <-或1x >-；3a >，解得1x <-或3x a>-.综上所述，当a<0时，原不等式的解集是31x x a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭；当0a =时，原不等式的解集是{}|1x x >-；当03a <≤时，原不等式的解集是3|x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >-；当3a >时，原不等式的解集是{|1x x <-或3x a ⎫>-⎬⎭．18．如图所示，在ABC 中，D 是边BC 的中点，E 在边AB 上，2,BE EA AD =与CE 交于点O．(1)若BO x AB y AC =+，求,x y 的值；(2)若6AB AC AO EC ⋅=⋅，求AB AC的值．【正确答案】(1)3,41,4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】（1）由,,E O C 三点共线，以及,,A O D 三点共线结合共线定理得出,x y 的值；（2）由11()23n AO m AB AC AB nAC -=+=+得出,m n ，进而得出2213622AO EC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+ ，结合6AB AC AO EC ⋅=⋅ 得出AB AC的值．【详解】（1）()()BO xAB y AC xAB y BC BA xBA yBA yBC x y BA yBC =+=+-=--+=--+因为12,23BD BC BE BA ==，所以3()2BO x y BE yBC =--+ ，因为,,E O C 三点共线，所以33122x y y --+=①又()2BO x y BA yBD =-++，所以()21x y y -++=②由①②可得，3,41,4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）设1()2AO mAD m AB AC ==+，()AO AE EO AE nEC AE n AC AE =+=+=+-=1(1)3n n AE nAC AB nAC --+=+ 所以11,231,2n m m n -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,21,4m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以111(),243AO AD AB AC EC AC AE AB AC ==+=-=-+.22111366)4322AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⋅=⨯+⋅-+=-+⋅+⎪⎝⎭又6AB AC AO EC ⋅=⋅ ，所以2213022AB AC =-+ ，223ABAC= 即3ABAC= 19．已知,42ππα⎛∈⎫- ⎪⎝⎭，且满足26sin sin24αα=+(1)求sin2α的值；(2)若20,,tan tan 602πβββ⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭，求αβ+的值．【正确答案】(1)45(2)3π4【分析】（1）由平方关系以及商数关系得出tan 2α=，再由22tan sin22sin cos tan 1ααααα==+求解即可；（2）解方程得出tan 3β=，再由()tan 1αβ+=-以及π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭得出αβ+的值．【详解】（1）当0α=时，sin sin20αα==，不满足26sin sin24αα=+，故0α≠.因为26sin sin24αα=+，所以22sin sin cos 2cos αααα=+.即222sin cos 2cos tan 21sin tan αααααα++==，即2tan tan 20αα--=解得tan 2α=或tan 1α=-（舍）故2222sin cos 2tan 4sin22sin cos sin cos tan 15ααααααααα====++（2）()()2tan tan 6tan 3tan 20ββββ--=-+=，解得tan 3β=或tan 2β=-（舍）.由（1）可知，πtan 2tan14α=>=，则,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，同理可得,42ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()tan tan 5tan 11tan tan 16αβαβαβ++===---因为函数tan y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，所以3π4αβ+=20．已知函数()2sin sin 2cos ,R 662x f x x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（其中)0ω>(1)求函数()f x 的最大值；(2)若对任意R a ∈，函数()(],,y f x x a a π=∈+与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，且关于x 的方程()12f x =在(]0,π上有两不等实数解()1212,x x x x <，求()12sin x x -的值．【正确答案】(1)1(2)4-【分析】（1）根据两和差的正弦公式，结合降幂公式、辅助角公式、正弦型函数最值性质进行求解即可；（2）根据正弦型函数的性质，得出2ω=，再由对称性以及诱导公式得出()12sin x x -的值.【详解】（1）2ππ()sin()sin()2cos,R 662x f x x x x ωωω=++--∈3131cos cos (cos 1)2222x x x x x ωωωωω=++--+1πcos )12sin()126x x x ωωω=--=--，所以函数()f x 的最大值为1；（2）若对任意R a ∈，函数(),(,π]y f x x a a =∈+与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，则()y f x =的周期为π，又由0ω>，得2ππω=，得2ω=．1()2f x =，即4πsi 23n 6x ⎛⎫⎪⎝⎭=- 函数(]πsin 2,60,y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭与34y =的图象如下图所示由对称性可得，122π3x x +=，1ππ20,63x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭因为14πsi 23n 6x ⎛⎫⎪⎝⎭=- ，所以1πc os 26x ⎛⎫= ⎝⎭=-⎪()1211112ππππππsin sin(2)sin (2)sin (2)cos(2362266x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-=-=--=---=--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21．已知函数()()2ln f x a a x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ．(1)若函数()()()ln 233F x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦有唯一零点，求实数a 的取值范围；(2)若对任意实数3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对任意[]12,,41x x m m ∈-，恒有()()12ln2f x f x -≤成立，求正实数a 的取值范围．【正确答案】(1)451,2,32⎛⎤⎧⎫-⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭U(2){12a a ≥-【分析】（1）将函数()()()ln 233F x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦有唯一零点转化成方程()()222320a x a x -+--=有唯一解的问题，对二次项系数进行分类讨论即可；（2）由复合函数单调性可知，函数()()2ln f x a a x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 为[],41m m -上的减函数，将()()12ln2f x f x -≤恒成立转化成()24420am a m -++≥在3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，讨论对称轴与区间的位置关系，求出其在区间3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，使最小值大于等于0即可求得正实数a 的取值范围.【详解】（1）函数()()2ln ln 233F x a a x a x ⎛⎫=+--+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭有唯一零点，即()22330a a x a x+=-+->①有唯一零点，即()()222320a x a x -+--=有唯一零点，当2a =时，20x -=，解得2x =，符合题意；当2a ≠时，方程为一元二次方程，其()22Δ(23)82(25)a a a =-+-=-当52a =时，Δ0=，方程有两个相等的实数根2x =，符合题意；当52a ≠时，Δ0>，方程有两个不等的实数根12x =，212x a =-；若12x =为①的解，则()2223302a a a +=-⨯+->，解得1a >-；若212x a =-为①的解，则()212330122a a a a a +=-⨯+->--，解得43a >；要使①有唯一实数解，则413a -<≤．综上，实数a 的取值范围为451,2,32⎛⎤⎧⎫-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭U ．（2）函数()2ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中内部函数2y a x =+在[],41x m m ∈-上为减函数，外部函数ln y x =为增函数，由复合函数性质知()2ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为[],41m m -上的减函数，()()max 2ln f x f m a m ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()min 241ln 41f x f m a m ⎛⎫=-=+ ⎪-⎝⎭，不等式()()12ln 2f x f x -≤转化为()()12max ln 2f x f x -≤，即转化为22ln ln ln 241a a m m ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，即()222ln ln 224420224141a a m m am a m a a m m ⎛⎫++ ⎪≤⇒≤⇒-++≥ ⎪ ⎪++--⎝⎭令()()2442g m am a m =-++，3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()min 0g m ≥．二次函数对称轴为411882a m a a+==+，由0a >，开口向上（i ）当407a <≤时，11182a +≥，函数()g m 在3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()()min 14420g m g a a ==-++≥，解得23a ≥，不符合题意，舍去；（ii ）当4475a <<时，3111482a <+<，函数()g m 在311,482a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递减，在11,182a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦上单调递增，()min 11082g m g a ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即224160a a -+≤，解得1212a -≤+即4125a -≤<；（iii ）当45a ≥时，113824a +≤，函数()g m 在3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 39344204164g m g a a ⎛⎫==⨯-+⨯+≥ ⎪⎝⎭，解得23a ≥，即45a ≥；综上可知，正实数a 的取值范围{12a a ≥-．关键点点睛：本题第二小问的关键是将“对任意[]12,,41x x m m ∈-，恒有()()12ln2f x f x -≤成立”进行等价转化，只需满足()()12max ln2f x f x -≤，再利用函数()f x 的单调性，即可将问题转化成不等式()24420am a m -++≥在3,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立的问题，再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可求得参数的取值范围.22．已知定义域不为R 的函数()212xxk f x k -=+⋅（k 为常数）为奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()()2π(0),2sin cos20,2g x x x h x x x x λ⎛⎫⎡⎤=>=+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，是否存在实数λ，使得()()g h x f h x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)1k =-(2)存在；12λ<<【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，得到函数()h x 的值域，然后根据函数()f x 与()g x 的单调性进行讨论，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，()()0f x f x -+=，则2201212x xx xk k k k ----+=+⋅+⋅化简得()()()()221210x f x f x k +-=+-=，因为2120x +>，所以210k -=，即1k =±当1k =时，()12211212x x xf x -==-+++，其定义域为R ，不符合题意；当1k =-时，()12211212x x xf x --==---，其定义域为{}0x x ≠，满足题意所以，1k =-（2）因为()2(0)g x x x =>，所以()2sin cos20h x x x λ=+>在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，则必有0x =时，()00h λ=>，当π2x =时，π202h λ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则2λ<，所以02λ<<，()22112sin cos22sin 2sin 2sin 22h x x x x x x λλλλλλλ⎛⎫=+=-++=--++ ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 0,1∈x ，当102λ<≤时，()2112sin 22h x x λλλλ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，即()[],2h x λλ∈-当122λ<<时，()2112sin 22h x x λλλλ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦单调递增，先增后减，在0x =或π2处取得最小值，且()0h λ=，π22h λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()max 12h x λλ=+，其中()12ϕλλλ=+为对勾函数，在122λ<<上单调递减，2λ<<上单调递增，又()139,22224ϕϕϕ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故()94ϕλ⎤∈⎦综上，()[]0,3h x ∈因为()2112xf x =--在()0,∞+递减，()2g x x =在()0,∞+递增，当[]0,3x ∈时，令()()()k x g x f x =-，则其单调递增，且()()10,20k k <>，则存在()01,2x ∈，使得()00k x =，又()()g h x f h x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦，故()1h x >，所以()min 1h x >当102λ<≤时，()min 1h x λ=<，不符合要求；当122λ<<时，令()01π212h h λλ⎧=>⎪⎨⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎩所以12λ<<，综上，存在()1,2λ∈。
2013-2014学年度下学期高一第二次月考数学试题
高一下学期第二次月考数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．数列⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是 （ ）。
A ．12)1(3++-=n nn a n nB ．12)3()1(++-=n n n a nnC ．121)1()1(2--+-=n n a nn D ．12)2()1(++-=n n n a n n2.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ） A ．12 B.13 C.14 D.153.已知{a n }是等比数列，2512,4a a ==,则公比q=（ ） A.21-B.-2C.2D.21 4．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是（ ） A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列5. {a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9的值是（ ）A ．24B ．27C ．30D ．336. 在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ） A ．34B ．35C ．36D ．377．数列{}n a 的通项公式是11++=n n a n ，若前n 项的和为10，则项数n 为（ ）A ．11B ．99C ．120D ．1218．不解三角形，下列判断中正确的是（ ）A ．a=7，b=14，A=300有两解B ．a=9，c=10，B=600无解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=30，b=25，A=1500有一解 9. 设a n =－n 2+10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（ ） A ．第10项B ．第11项C ．第10项或11项D ．第12项10．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( )A.10 海里B.5海里C. 56 海里D.53 海里11．在等差数列{a n }中，若S 9=18，S n =240，4n a -=30，则n 的值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．1712．在ABC ∆中，若2sin sin cos2AB C =，则ABC ∆是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形二：填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13 . 等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 则35a a +=_________。
南京师范大学附属中学江宁分校2020-2021学年高一下学期第二次月考数学试题(原卷+解析)
D选项，正方体与以 为球心，1为半径的球的公共部分的体积是 ，D错误.
故选：ABC
三．填空题
13.化简： ＝________.
【答案】1
【解析】
【分析】化简得原式为 ，再进一步化简即得解.
【详解】原式＝
.
故答案为：1
【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变(变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.
14.某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
泥塑
a
b
c
剪纸
x
y
z
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 ，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．
A.-6B.6C.8iD.-8i
【答案】B
【解析】
【分析】首先求得 ，由此求得 .
【详解】依题意 ，
所以 .
故选：B
2.已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得 ，根据平面向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可；
【详解】解：因为 ， ，且 ，所以 ，解得
2020-2021学年度第二学期高一年级阶段性调研
数学学科
一．单选题
1.设复数 在复平面内的对应点关于实轴对称， 则 （）
广东省佛山市实验中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题
答案第41 页，共22 页
【分析】求出 ar × cr 即可判断 A；根据平面向量共线的坐标表示即可判断 B；求出两向量夹 角的余弦值，从而可判断 C，根据投影向量的计算公式计算即可判断 D.
【分析】由 f (x) =
2
cos
æ çè
2x
-
π 4
ö ÷ø
可得
f
(
x)
的最大值为
2 ，故 A 错误；将 y =
2 cos 2x 的
图象向右平移 p 个单位长度得到 y = 2 sin 2x 的图象，所以 B 错误；根据余弦函数的减区 4
间可知
f
(
x)
在
æ çè
ππ, 4
3 8
ö ÷ø
上单调递减，所以
2．下列函数中最小正周期为 π 且是奇函数的为（ ）
D． 5 2
A． y = tan2x
B．
y
=
tan
æ çè
x
+
π 4
ö ÷ø
C．
y
=
cos
æ çè
2πx
+
3 2
ö ÷ø
D．
y
=
sin
æ çè
2x
+
π 2
ö ÷ø
3．
uuur AB
=
ur e1
-
uur e2
，
uuur BC
=
ur 3e1
+
uur 2e2
=
cos
2x
为偶函数，故
D
错误.
故选:C. 3．A
【分析】由已知可求
uuur AC
=
ur 4e1
安徽省阜阳市红旗中学2023-2024学年高一下学期第二次月考(5月)数学试题(含答案)
2023—2024学年高一年级第二学期第二次月考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为（ ）A. B. C. D.2.在中，D 是BC 边上的中点，则（ ）A. B. C. D.3.已知m ，n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则4.如图，的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（）A. B.4 C. D.5.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A.，，B.，C.，， D.，，6.已知不共线平面向量，在非零向量上的投影向量互为相反向量，则（ ）A. B. C. D.z ()1i z 12i +=-z 3i 2-32-12-1i2-ABC △AB = 2AD AC - 2AD AC - 2AD AC + 2AD AC +αβ//m α//n α//m n //m α//m n n α⊥//αβm α⊥//n βm n ⊥//m n n α⊂//m αOAB △y 'A B ''AB =ABC △4a =5b =6c =a =2b =45A =︒10a =45A =︒70B =︒3a =2b =60A =︒a b c ()a b c +⊥ ()a b c -⊥ ()//a b c + ()//a b c -7.已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，平面ABC ，，，若三棱锥P -ABC，则球O 的表面积为（ ）A. B. C. D.8.在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术可以视为将一个圆内按正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（ ）（取近似值3.14）A.0.039 B.0.079 C.0.157 D.0.314二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
高一数学下学期第二次月考试题(新版)人教版
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————2019学年高一数学下学期第二次月考试题A.n a =n a = C. n a = D. n a =2．在等比数列{a n }中，1a =﹣3，2a =﹣6，则4a 的值为（ ） A ．﹣24 B ．24 C ．±24 D ．﹣12 3．已知{n a }为等差数列，2812a a +=，则5a 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．75.已知ABC ∆的面积为2，且2,AC AB ==A ∠等于( ) A. 30 B. 30150或 C. 60 D.60120或6.在△ABC 中，如果4:3:2sin :sin :sin =C B A ，那么C cos 等于（ ）A32 B 32- C 31- D 41- 7．某储蓄所计划从2004年底起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加8％，则到2007年底该蓄所的吸蓄量比2004年的吸蓄量增加（ ）A ．24%B ．32%C ．（308.1－1）100％D ．（408.1－1）100％10．两等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n 、T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5＝( ) A ．7B.23C.278D.21413．已知△ABC 中，2a =，=b ，1c =，则cos B = . 14. 在等差数列{}n a 中，14101619100a a a a a ++++=，则161913a a a -+的值是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．18．（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos 3cos C a cB b-=. (1)求sin B ;(2)若b a c ==，求ABC ∆的面积.19.(本小题满分12分) 在ABC ∆中，已知45B =︒，D 是BC 边上的一点，10AD =,14AC =,6DC =.（1）求ADC ∠的大小；（2）求AB 的长.20．(本小题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和224n n S +=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 满足73b a =，154b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．(本小题满分12分)某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块，计划把图中矩形ABCD 建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 的长度为x 米．(1)求矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式；(2)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，则AB 的长度应在什么范围内？22．（10分）在数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项和为S n ，且S n ＝a n ＋1－12(n ∈N *)．(1)求a n ，S n ；(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n b，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n >2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值．A.n a =n a = C. n a =n a =2．在等比数列{a n }中，1a =﹣3，2a =﹣6，则4a 的值为（ A ） A ．﹣24 B ．24 C ．±24 D ．﹣12 3．已知{n a }为等差数列，2812a a +=，则5a 等于( C ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．75.已知ABC ∆的面积为2，且2,AC AB ==A ∠等于( D ) A. 30 B. 30150或C. 60D.60120或6.在△ABC 中，如果4:3:2sin :sin :sin =C B A ，那么C cos 等于（D ）A32 B 32- C 31- D 41- 7．某储蓄所计划从2004年底起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加8％，则到2007年底该蓄所的吸蓄量比2004年的吸蓄量增加（ C ）A ．24%B ．32%C ．（308.1－1）100％D ．（408.1－1）100％8．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y ≤1x ＋2y ≥1，则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值为( D )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图所示，由图象可知目标函数z ＝5x ＋y 过点A (1,0)时，z 取得最大值，z max ＝5，故选D.的等比中项，则1a ＋1b的最小值为的等比中项， ＋b ＝1.⎭⎪⎫a b ≥2＋2＝4(当且仅当10．两等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n 、T n ，已知n T n ＝7n ＋3，则5b 5＝( D )A ．7B.23C.278D.214所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinB sin A 2－1＝213．已知△ABC 中，2a =，=b ，1c =，则cos B = 34.14. 在等差数列{}n a 中，14101619100a a a a a ++++=，则161913a a a -+的值是 20 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．⎨⎪⎧x －x －，x －2≠0，∴原不等式的解集是{x |x ＜2或x ≥5}．18．（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos B b=. (1)求sin B ;(2)若b a c ==，求ABC ∆的面积.18. (1)在ABC ∆中，由正弦定理及cos 3cos C a c B b-=，可得B CA B C sin sin sin 3cos cos -= 即B A C B C B cos sin 3sin cos cos sin =+化简得C B C B cos sin 3)sin(=+ 又B C A π+=-，所以sin()sin B C A +=∴B A A cos sin 3sin =，又因为sin 0A ≠∴31cos =B ，又因为0B π<<∴sin 3B ===(2)由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，将13b B ==代入得222323a c ac +-=又a c =，故22432243c c =⇒=∴28sin 21sin 212===∆B c B ac S ABC . 19.(本小题满分12分) 在ABC ∆中，已知45B =︒，D 是BC 边上的一点，10AD =,14AC =,6DC =.（1）求ADC ∠的大小；（2）求AB 的长.19. (12分) 解： 222106141cos 21062ADC +-∠==-⨯⨯0ADC π<∠< 23ADC π∴∠=(2)由（1）可知：3ADB ADC ππ∠=-∠=10sinsin34ABππ=AB ∴=20．(本小题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和224n n S +=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 满足73b a =，154b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.（12分）解 (1)224n n S +=- ∴当1,n = 311244a S ==-=当2,n ≥ 2111(24)(24)2n n n n n n a S S +++-=-=---= (2)n ≥ 经检验：2124,a == 1*2(1,)n n a n n N +∴=≥∈（2）等差数列{}n b7316b a ∴==， 1547328b a b d ===+， 2d ∴=1764b b d ∴=-= 23n T n n ∴=+21．(本小题满分12分)某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块，计划把图中矩形ABCD 建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、22．（10分）在数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n ，且S n ＝a n ＋1－2(n ∈N *)． (1)求a n ，S n ；(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n b，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n >2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值． 22. (1)由112n n S a +=-，得S n －1＝a n －12(n ≥2)， 两式作差得a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n ＋1(n ≥2)，∴12(2)n na n a +=≥， 由a 1＝S 1＝a 2－12＝12，得a 2＝1，∴ 212a a =，∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列．则a n ＝12·2n －1＝2n －2，S n＝a n ＋1－12＝2n－1－12. (2)b n ＝log 2(2Sn ＋1)－2＝log 22n－2＝n －2，∴c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n b， 即c n (n ＋1)(n ＋2)＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2，∴c n ＝＋2n －2＝－＋2n －2，∴T n ＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(2－1＋20＋…＋2n －2)＝－＋＝－－＋2n －1＝2n －1－.由4T n>2n＋1－，得4(2n－1－)>2n＋1－.即<，n>2 014. ∴使4T n>2n＋1－成立的最小正整数n的值为2 015.。
高一下学期第二次月考数学试题(含答案)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第二学期第二次月考高一年级 数学试题满分150 时间：120分钟一、单项选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 以3i 2-的虚部为实部，以23i 2i +的实部为虚部的复数是（ ）A. 33i - B. 3i + C. 22i -+ D. 22i+【答案】A 【解析】【分析】确定所求复数的实部和虚部，即可得解.【详解】复数3i 2-的虚部为3，复数23i 2i 32i +=-+的实部为3-，故所求复数为33i -，故选：A.2. 下列命题中，正确的是（ ）A. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C. 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D. 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱【答案】D 【解析】【分析】根据直棱柱，正棱锥，长方体，正棱柱的结构特征及定义逐一判断即可.【详解】解：对于A ，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱，当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样的棱柱不是直棱柱，故A 错误；对于B ，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B 错误；对于C ，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C 错误；对于D ，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直，可得所有的侧棱与底面都垂直，所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D 正确.故选：D .3. 已知ABC V 中，4,30a b A ===°，则B 等于（ ）A. 60°或120°B. 30°或150°C. 60°D. 30°【答案】A 【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得解.【详解】解：ABC V 中，因为4,30a b A ===°，所以B A >，因为sin sin a bA B=，所以sin sin b A B a ==，又0180A <<°°，所以60B =°或120°.故选：A .4. 若复数z 满足()212i z i +=-，则复数z 所对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【详解】解：由题意可得：122iz i -====+ ,据此可知：复数z 所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.5. 已知平面向量,a b rr 满足3,2a b ==r r ，a r 与b r 的夹角为60°,若()a mb a -^r r r ,则实数m 的值为（ ）A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】D 【解析】【详解】,a b r r的夹角为60o ，且3,2a b ==r r ，则·32cos 603a b =´´=o r r ，又由()a mb a -^r r r ，可得()·0a mb a -=r r r ，变形可得2·a ma b=r r r ，即93m =´ ，解可得3m = ，故选D.6. ABC D 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B p=，4C p=，则ABC D 的面积的为A. 2+B.1+C. 2-D.1-【答案】B 【解析】详解】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．7. 已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π【答案】C 【解析】【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==´´==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R p p ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．8. 向量()1,1a =-r ，且向量a r与向量2a b +r r 方向相同，则a b ×r r 的取值范围是（ ）A. ()1,1- B. ()1,-+µ【C. ()1,+µD. (),1-µ【答案】B 【解析】【分析】根据共线向量定理，结合条件列出方程，即可得到结果.【详解】因向量a r与向量2a b +r r 方向相同，则存在实数,0l l >，使得()2a a bl =+r r r 即()12a bl l -=r r所以12b a l l -=r r，因为()1,1a =-r ，所以22a =r 所以2112ab a l ll l --×=×=r r r 因为0l >，所以1a b ×>-r r故选:B .二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 在ABC V 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，则A 可以是（ ）A.π12B.6p C.π3D.2π3【答案】ABC 【解析】【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得cos A 的取值范围，可求得角A 的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】在ABC V 中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，因为222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，可得222b c a bc +-³，则2221cos 22b c a A bc +-=³，0πA <<Q ，π03A \<£.故选：ABC.10. 下列命题中错误的有（ ）A. 若平面内有四点A B C D 、、、，则必有AC BD BC AD +=+uuu r uuu r uuu r uuu r；为B. 若e r为单位向量，且//a e r r ，则a a e =r r r ；C. 3a a a a =r r r r g g ；D. 若a r 与b r 共线，又b r 与c r 共线，则a r 与c r必共线；【答案】BCD 【解析】【分析】利用平面向量的减法化简判断选项A ；由向量共线以及单位向量的性质判断选项B ；由数量积的运算判断选项C ，由向量共线以及零向量的性质判断选项D ．【详解】对于A ，AC BD BC AD -=-uuu r uu uuu r Q u r uuu r ，AC BD BC AD \+=+uuu r uuu r uuu r uuu r，正确；对于B ，e r为单位向量，且//a e r r ，则a a e =±r r r ，错误；对于C ，23a a a a a a =¹r r r r r r g g g ，错误；对于D ，若0b =r r ，则a r 与b r 共线，b r 与c r 共线，而a r 与c r不确定，错误；故选：BCD11. 在四棱锥P ABCD -中，已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，则下列结论中正确的是（ ）A. 平面PAB ^平面PADB. 平面PAB ^平面PBCC. 平面PBC ^平面PCDD. 平面PCD ^平面PAD【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA AB AB AD ^^，且PA AD A Ç=,,PA AD Ì平面PAD ，所以AB ^平面PAD ，又由AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ^平面PAD ，所以A 正确；对于B 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA BC AB BC ^^，且PA AB A =I ,,PA AB Ì平面PAB ，所以BC ^平面PAB ，又由BC Ì平面PBC ，所以平面PAB ^平面PBC ，所以B 正确；对于C 中，假设平面PBC ^平面PCD ，过点B 作BE PC ^，可得BE ^平面PCD ，因为CD Ì平面PCD ，所以BE CD ^，又由CD BC ^，且BE BC B =I ，所以CD ^平面PBC ，可得CD PC ^，这与CD PD ^矛盾，所以平面PBC 与平面PCD 不垂直，所以C 不正确；对于D 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA CD AD CD ^^，且PA AD A Ç=,,PA AD Ì平面PAD ，所以CD ^平面PAD ，又由CD Ì平面PCD ，所以平面PCD ^平面PAD ，所以D 正确.故选：ABD.12. 已知函数()sin f x x x =,则下列命题正确的是（ ）A. 函数π()(0,)2f x x éùÎêúëû的单调递增区间是π0,6éùêúëû；B. 函数()f x 的图象关于点π(,0)6-对称；C. 函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π6；D. 若实数m 使得方程()f x m =在[]02π，上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1237π3x x x ++=．【答案】ACD 【解析】【分析】根据辅助角公式把函数的关系变形为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质应用即可判断各选项.【详解】由()sin f x x x =，得()π2sin 3f x x æö=+ç÷èø.对于A ，当π0,2x éùÎêëû时，ππ56π,33x éù+Îêúëû，当πππ332x £+£即π06x ££时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为π0,6éùêúëû，故A 正确；对于B ，当π6x =-时，ππππsin sin f æöæö-=-+==¹ç÷ç÷èøèø22106636，故B 不正确；对于C ，函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，得到()πsin g x x m æö=++ç÷èø23所得的图象关于y 轴对称，所以πππ(Z)m k k +=+Î32,解得ππ(Z)m k k =+Î6，当0k =时，m 的最小值是π6，故C 正确；对于D ，如图所示，实数m 使得方程()f x m =在[]02π，上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则必有0x =，或2πx =，此时()πsin f x x æö=+=ç÷èø23π3.所以1237π3x x x ++=，故D 正确.故选：ACD.5分，共20分）13. 计算100的结果为______.【答案】1-【解析】【分析】先求出41=-，所以100425´=，代入即可得出答案.)i 1==+，)()221i 12i i 2ù=+==úû，42i 1==-，所以()1004252511´==-=-.故答案为：1-14. 在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______ .【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF ，DF ，则AF BC ^，DF BC ^，即AFD Ð为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC V 中，sin 60AF AB==o sin 60DF BD ==o由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-Ð===××.故答案为：13.15. 若向量a r 、b r 满足1a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3p，则a b -=rr ________．【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律求得2a b -r r的值，进而可求得a b -r r 的值.【详解】由于向量a r 、b r 满足1a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3p ，则cos 13a b a b p ×=×=r r r r ，()222223a b a ba ab b -=-=-×+=r r r rr r r r Q，因此，a b -=r r .【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，考查计算能力，属于基础题.16. ABC V 中60B =o，AC =2AB BC +最大值______．【答案】【解析】【分析】根据余弦定理，列出方程，利用一元二次方程根的判别式，可得答案.详解】设AB c =，AC b =，BC a =，由余弦定理：222cos 2a c b B ac+-=，所以2223a c ac b +-==，设2c a m +=，则2c m a =-，代入上式得227530a am m -+-=，方程有解，所以28430m D =-³，故m £，当m =时，此时a =，c =，符合题意，因此最大值为.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应有文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)．（1）求证：AB uuu r ⊥AD uuu r；（2）要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标．【答案】（1）证明见解析 （2）(0，5)【解析】【分析】（1）计算AB AD ×uuu r uuu r得其为0可证；（2）由AB uuu r ＝DC uuu r可得C 点坐标．【小问1详解】证明：A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)．∴AB uuu r ＝(1，1)，AD uuu r＝(－3，3)．【又∵AB uuu r ·AD uuu r ＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB uuu r ⊥AD uuu r .【小问2详解】∵AB uuu r ⊥AD uuu r ，若四边形ABCD 为矩形，则AB uuu r ＝DC uuu r.设C 点的坐标为(x ，y )，则有(1，1)＝(x ＋1，y －4)，∴11,41,x y +=ìí-=î∴0,5.x y =ìí=î∴点C 的坐标为(0，5)．18. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，D 是1CC 的中点，F 是1A B 的中点.（1）求证：//DF 平面ABC ；（2）求证：AF BD ^ .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点E ，连接CE 、EF ，证明出四边形CDFE 为平行四边形，可得出//DF CE ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出CE ^平面11AA B B ，可得出CE AF ^，可得出AF DF ^，再证明出1AF A B ^，利用线面垂直的判定定理与性质定理可证得结论成立.【小问1详解】证明：取AB 的中点E ，连接CE 、EF ，如下图所示：在正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，因为E 、F 分别为AB 、1A B 的中点，则1//EF AA 且112EF AA =，D Q 为1CC 的中点，则1CD AA //且112CD AA =，//CD EF \且CD EF =，所以，四边形CDFE 为平行四边形，故//DF CE ，DF ËQ 平面ABC ，CE Ì平面ABC ，因此，//DF 平面ABC .【小问2详解】证明：1AA ^Q 平面ABC ，CE Ì平面ABC ，1CE AA \^，ABC Q V 为等边三角形，E 为AB 的中点，则CE AB ^，1AB AA A Ç=Q ，AB 、1AA Ì平面11AA B B ，CE \^平面11AA B B ，AF ÌQ 平面11AA B B ，则AF CE ^，//DF CE Q ，AF DF \^，1AB AA =Q ，F 为1A B 的中点，则1AF A B ^，1A B DF F =Q I ，1A B 、DF Ì平面1A BD ，AF \^平面1A BD ，BD ÌQ 平面1A BD ，AF BD \^.19. 当实数m 为何值时，复数()()2281532i 8z m m m m -+-+=+在复平面内的对应点满足下列条件：（1）位于第四象限；（2）位于实轴负半轴上（不含原点）；（3）在上半平面（含实轴）．【答案】（1）73m -<<（2）4m =（3）7m £-或4m ≥【解析】【分析】（1）由实部大于0且虚部小于0列出不等式组求解；（2）由实部小于0且虚部等于0列式求解；（3）由虚部大于或等于0列出不等式求解．【小问1详解】要使点位于第四象限，则有228150,3280,m m m m ì-+>í+-<î∴35,74,m m m <>ìí-<<î或∴73m -<<；【小问2详解】要使点位于实轴负半轴上（不含原点），则有228150,3280,m m m m ì-+<í+-=î∴35,74,m m m <<ìí=-=î或∴4m =；【小问3详解】要使点在上半平面（含实轴），则有20328m m +-³，解得7m £-或4m ≥．20. 已知ABC V 的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．【答案】845p ，485p 【解析】【分析】根据旋转体的定义，明确组合体是由同底的两个圆锥组成的，结合圆锥的侧面积和体积公式可得答案.【详解】如图，在ABC V 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D .由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，知AC 2＋BC 2＝AB 2，则AC ⊥BC ，∵BC ·AC ＝AB ·CD ，∴CD ＝125，记为r ＝125，那么ABC V 以AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π，V ＝13πr 2(AD ＋BD )＝13πr 2·AB ＝13π×12()52×5＝485π.21. 在锐角三角形ABC V 中，角,,A B C 对边分别为,,a b c2sin 0b A -=．（1）求角B 的大小；（2）若5a c +=，且,a c b >=，求AB AC ×u u u r u u u r的值．的【答案】（1）3B p=；（2）1AB AC ×=uuu r uuu r ．【解析】【分析】（1）利用正弦定理，直接计算求解即可.（2）利用余弦定理，计算求出cos A ，然后，利用向量的内积公式，即可求解.【小问1详解】2sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=，因为sin 0A ¹，所以sin B =，又B 为锐角，所以3B p =．【小问2详解】由（1）知，3B p =，因为b =，所以根据余弦定理得2272cos 3a c ac p =+-，整理得2()37a c ac +-=，又5a c +=，所以6ac =，又a c >，所以3,2a c ==，于是222cos 2b c a A bc +-===所以||||cos 21AB AC AB AC A ×===uuu r uuu r uuu r uuu r ．22. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ======（1）求证：AO ^平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（3）求点E 到平面ACD 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理，结合勾股定理和等腰三角形的性质，可得答案；（2）根据异面直线夹角的定义，结合中位线性质和余弦定理，可得答案；（3）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案.【小问1详解】证明：,,.BO DO AB AD AO BD ==\^Q 则222AO BO AB +=，即1AO =，,,.BO DO BC CD CO BD ==\^Q 则222CO BO BC +=，即CO =，在AOC △中，由已知可得2222,AC AO CO AC =\+=，.AO OC ^BD OC O Ç=Q ，,BD OC Ì平面BCD ，AO \^平面BCD【小问2详解】取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知,ME AB OE DC ////\直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME V 中，111,22EM AB OE DC ====OM Q 是直角AOC △斜边AC 上的中线，11,2OM AC \==222cos 2OE EM OM OEM OE EM +-\Ð==××\异面直线AB 与CD 所成角的大小为；【小问3详解】设点E 到平面ACD 的距离为.h 11,.33E ACD A CED ACDCED V V h S AO S --=\××=××V V Q 在ACD △中，2,CA CD AD ===12ACD S ==\V 而11,12CED AO S ===V，AC CED D AO S h S ×\===V V \点E 到平面ACD。
天津市双菱中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题
天津市双菱中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题一、单选题1．复数z 满足112i i z -=-+，则z =（ ）A ．25BCD 2．有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ）A ．平均数B ．第50百分位数C ．极差D ．众数3．ABC n 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若45A a b =︒==，B 等于 A ．30︒ B ．60︒ C ．30︒或150︒ D ．60︒或120︒4．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若αγ⊥，αβ⊥，则//γβB ．若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβC ．若//m n ，//m α，则//n αD ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ 5．将一个棱长为1cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（ ）A ．3 cm 6πB ．3 cm 3C 3cmD ．3 cm 3π6．若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC V 是（ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为（ ）A B ．23 C D ．128．如图所示，在三棱锥-P ABC 中，PA BC ⊥且1,PA BC PB AC PC =====则下列命题正确的个数是（ ）①平面PAB ⊥平面PBC②平面PAB ⊥平面ABC③平面PAC ⊥平面PAB④平面PAC ⊥平面PBC⑤平面PBC ⊥平面ABC⑥平面PAC ⊥平面ABCA ．3B ．4C ．5D ．69．在ABC V 中，E 为AC 上一点，3AC AE =u u u v u u u v ，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>u u u v u u u v u u u v ，则31m n+的最小值是 A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题10．若向量(6,8)a =-r ，则与a r 平行的单位向量是．11．如图，一个水平放置的正方形ABCD ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为()2,2，则在用斜二测画法画出的正方形ABCD 的直观图A B C D ''''中，顶点B '到x '轴的距离为．12．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为．13．已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为．14．在ABC V 中，90A ︒∠=，3AB =，AC 若2CM MB =u u u u r u u u r ，AN AC AB λ=+u u u r u u u r u u u r ()λ∈R ，且8AN AM ⋅=u u u r u u u u r，则λ的值为.15．如图，三棱锥A BCD -中， 3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是．三、解答题16．天津市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：(1)求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数；(2)求样本数据的中位数的近似值（保留1位小数）；(3)估计这1000名学生的数学平均分．17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 0a b c A C +-=． （1）求C 的值；（2）若c =2b a =，求ABC V 的面积S ．18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面边长AB ＝5，BC ＝4，AC ＝3，侧棱长为D 为BC 中点，CE ⊥AD ，E 为垂足．（1）求证：1AC //平面1AB D ；（2）求证：平面1AB D ⊥平面1CC E ；（3）求直线1DC 与平面1CC E 所成角的正弦值．19．如图所示，正四棱锥P ABCD -中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所(1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；(3)在（2）的条件下，问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由.。
7328高一数学下册第二次月考试题
高一数学下册第二次月考试题命题者：万建中说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，答题时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 以下通项公式中,不是数列3、5、9,…的一个通项公式的是( ) A.21n n a =+ B.23n a n n =-+ C.322255733n a n n n =-+-+ D.21n a n =+2. sin1212ππ的值为 ( )A.2B.-2C.D. 3. (4,3),(0).P m m m ααα-≠已知角的终边过点则2sin +cos 的值是 ( ) A. 1或-1 B. 2255或- C. 215或- D. 215-或 4. {}79412,16,1,n a a a a a +==已知等差数列中则的值是 ( )A.15B.30C.31D.645. {}817181920,1,3,n S a a a a ==+++n n 4等比数列a 的前项和为S 已知S 则 的值为( )A. 4B.8C.16D.32 6.{}123,,n S n n n a n S a a a a n =+++⋅⋅⋅+=2若数列的前项和且满足log {}n a 那么是( )A.公比为2的等比数列B. 12公比为的等比数列 C.公差为2的等差数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列 7.函数cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是 ( ) A.7132,2()1212k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B.7,()1212k k k z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦ C.72,2()1212k k k z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦ D.5,()1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦8. ()(),20,O ABC OB OC OB OC OA -⋅+-=是所在平面内的一点且满足ABC 则的形状一定是 ( )A.正三角形B.直角三角形C. 等腰三角形D. 斜三角形 9. {}()25,10,55,,n n a n S S S P n a ==n 已知等差数列的前项和为且则过点和点()22,n Q n a ++的直线的一个方向向量的坐标可以为 （ ） A. 12,2⎛⎫⎪⎝⎭ B. 1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. ()1,1-- 10．如图所示为函数sin()y A x ωϕ=+A ．102sin()116y x π=+ B. 102sin()116y x π=- C. 2sin(2)6y x π=+D. 2sin(2)6y x π=-11. {}200710,200810nna a -=-n n 共有100项的数列的通项则该数列中最大项与最小项 的情况是 （ ）A.10,a a 1最大项为最小项为B.1,a a 10最大项为最小项为C.5,a a 6最大项为最小项为D.3,a a 4最大项为最小项为 12. {}{}11,,(,),k n a a a m k N m k a k m+==∈≠n m 在等差数列中,已知且则数列 m 的前项之和等于 ( )A.2mk B. 12mk - C. 12mk + D. 12mk +第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题4分，共16分）⎫⎪⎭13、{}1471141446,5,n a a a a a a a =+==若等比数列的公比大于1,且则. 14、231,2cos ,θθθθ⋅⋅⋅数列的前100项的和为0,则角= . 15．{}{}3134,,,,2121n n n k a n a b n B B n b +==-n k n n A 已知等差数列和的前项和分别为A 且若 k =则16、将正整数排成下表 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16… … … … … … … … …则430应出现在表中的第 行高一下学期第二次月考数学试卷答题卷一、 选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题4分，共16分）13、 .14、 .15． . 16、 .三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）(注：以下“A ”代表平行班的学生做,“B ”代表重点班、实验班的学生做) 17.(A) {}5,10,5,;a a S a ==n 688(1)在等差数列中已知求和S {}1516(2),3,6,.a a a a a a a +=+=+n 562526在等比数列中已知求的值17.(B) {}234,64,1,,,a a q a a a =≠n 1已知等比数列中公比又分别是某等差7,.数列的第项第3项,第1项(){}21;(2)log ,.na n n n ab b n =n 求 设求数列的前项和T18．{}*11,1,21()n n a n a a S n N +==+∈n n 数列的前项和为S 且（1）（A 、B ）{}a n 求数列的通项公式; （2）（B ）{}b n n 3等差数列的各项均为正数,其前n 项的和为T ,且T =15,112233.a a a n 又+b ,+b ,+b ,成等比数列,求T19.（A 、B ）据报道，我国森林覆盖率逐年提高，现已达国土面积的14%。
广东省佛山市高一下学期第二次月考数学试题(解析版)
高一数学试题审题人：高一数学备课组本试卷共4页，全卷满分150分．考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1. 已知向量，，则（ ）(2,3)a = (3,2)b =r |2|a b -=A.B. 2C.D.【答案】C 【解析】【分析】求出，求模即可.2(1,4)a b -=【详解】∵，，∴，(2,3)a =(3,2)b =r 2(1,4)a b -=∴. |2|a b -==故选：C.2. 下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（ ） πA.B.tan2y x =πtan 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. D.3cos 2π2y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据正切函数的周期与奇偶性可判断AB ，根据诱导公式化简CD 的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性可判断.【详解】的最小正周期为,故A 错误； tan2y x =π2为非奇非偶函数，故B 错误；πtan 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知为奇函数，且最小正周期为，故C 正确；3cos 2πsin 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2ππ2=为偶函数，故D 错误.πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭故选:C.3. ，，，且三点共线，则=（ ） 12AB e e =- 1232BC e e =+122C e D ke =+ A C D 、、k A. 8B. 4C. 2D. 1【答案】A 【解析】【分析】由已知可求，由三点共线得,根据向量共线的定理即可求出124AC e e =+A C D 、、AC CD A k的值.【详解】由题得,121212324AC AB BC e e e e e e =+=-++=+因为三点共线,A C D 、、所以,AC CD A 所以存在实数,使得,λAC CD λ=所以,()121212422e e ke e k e e λλλ+=+=+所以,解得. 421k λλ=⎧⎨=⎩1,82k λ==故选：A4. 若一个圆锥的侧面展开图是中心角为且面积为的扇形面，则该圆锥的底面半径为（ ）． 90︒πA. 2 B. 1C.D.1214【答案】C 【解析】【分析】根据扇形的面积计算出扇形的半径，即圆锥的母线长，由此可计算出扇形的弧长，即为圆锥的底面圆周长，进而可计算出该圆锥的底面半径.【详解】如图，设扇形的半径，即圆锥的母线长为，圆锥的底面半径为，l r由圆锥的侧面展开图是中心角为且面积为的扇形面，得，则， 90︒π21ππ4l =2l =从而扇形的半径为2，即圆锥的母线长为2. 故扇形的弧长，即圆锥的底面周长为，即，解得， π2π2⨯=2ππr =12r =所以该圆锥的底面半径为. 12故选：C.5. 已知平面向量满足与的夹角为，则实数的值为（ ）,a b a a = b ()30,b a a λ-⊥λA. B. 2C. D.2-12-12【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直时数量积等于0，结合数量积运算律以及数量积的定义，展开计算，即得答案.【详解】因为，所以，()b a a λ-⊥()0b a a λ-⋅=即，故， 20a b a λ⋅-=130,2λλ=∴=故选：B6. 在中，已知，那么一定是（ ）ABC A 2cos c a B =⋅ABC A A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数进行边化角，再利用正弦函数的两角和公式求解即可 【详解】解：已知， 2c a cosB A ＝则：，2sinC sinAcosB ＝整理得：， ()2sin A B sinAcosB +＝则：， ()0sin A B -＝所以：. A B ＝故选：B7. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为，测量小组选OT 取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得，，O A B 105OBA ∠=︒45OAB ∠=︒45m AB =，在点处测得塔顶的仰角为30°，则塔高为（ ）B T OTA. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可. AOB A OB =BOT A tan 30OT OB =︒【详解】依题意，中，，，即，AOB A 30AOB ∠=︒sin sin AB OB AOB OAB ∴=∠∠45sin 30sin 45OB=︒︒解得. OB =在中，，即. BOT A tan tan 30OTOBT OB =∠=︒tan 30OT OB =︒==故选：A.8. 对于函数，下列结论中正确的是（ ） ()2sin (cos sin )1f x x x x =-+A. 的最大值为 ()f x 1B. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 ()f x 2y x =π4C. 在上单调递减 ()f x 3,48ππ⎛⎫⎪⎝⎭D. 的图象关于点中心对称 ()f x π,18⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由可得，故A 错误；将的图象向π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 2y x =右平移个单位长度得到的图象，所以B 错误；根据余弦函数的减区间可知在4π2y x =()f x上单调递减，所以C 正确；由可知D 不正确. 3,48ππ⎛⎫⎪⎝⎭π()8f =【详解】，2π()2sin (cos sin )1sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x x x x ⎛⎫=-+=-+=+=- ⎪⎝⎭所以当，，即，时，，故A 错误； π22π4x k -=Z k ∈ππ8x k =+Z k ∈()f x将的图象向右平移个单位长度得到2y x =4π的图象，所以B 错误；ππ22242y x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得，所以是的一个单调π2π2π2π()4k x k k ≤-≤+∈Z π5πππ()88k x k k +≤≤+∈Z π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 递减区间，所以在上单调递减，所以C 正确； ()f x3,48ππ⎛⎫⎪⎝⎭因为不是的图象的对称中心，所以D 不正确.πππ()884f =⨯-=π,18⎛⎫⎪⎝⎭()f x 故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.已知向量，则（ ）(2,1),(3,1)a b ==-A. ，则B.c = a c ⊥ ()a b a+∥C. 与D. 向量在向量上的投影向量为 a a b - ab 12b - 【答案】ACD 【解析】【分析】求出即可判断A ；根据平面向量共线的坐标表示即可判断B；求出两向量夹角的余弦值，a c ⋅从而可判断C ，根据投影向量的计算公式计算即可判断D. 【详解】解：对于A ，因为， 0a c ⋅==所以，故A 正确；ac ⊥对于B ，，(1,2)a b +=-因为，所以与不平行，故B 错误；112250-⨯-⨯=-≠()a b +a对于C ，，()5,0a b -=则，()cos ,a b a a b a a b a-⋅-===-所以与，故C 正确； aa b -对于D ，向量在向量上的投影向量为，故D 正确. ab 12a b b b bb⋅⋅==-故选：ACD . 10. 已知，关于该函数有下列说法中的是（ ）． ()1sin 22f x x =A. 的最小正周期是 ()f x 2πB. 在上单调递增()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 当时，的取值范围为 ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到()f x ()1πsin 224g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π8【答案】BC 【解析】【分析】对于ABC ，根据正弦函数的性质逐一分析判断即可；对于D ，利用三角函数平移的性质即可判断.【详解】对于，它的最小正周期，故A 错误；()1sin 22f x x =2ππ2T ==当时，， ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又在上单调递增，所以函数在上单调递增，故B 正确；sin y x =ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当时，，所以， ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以的取值范围为，故C 正确； ()f x 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象向左平移个单位长度得到解析式为()1πsin 224g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π8，故D 错误；1ππ1π1sin 2sin 2cos 2284222y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：BC ．11. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，则下ABC A sin :sin :sin 2:A B C =6b =列说法正确的是（ ） A. 为钝角三角形 ABC A B.3C π=C. 周长为ABC A 10+D. 的外接圆面积为ABC A 1123π【答案】BC 【解析】【分析】利用正弦定理可得三边，然后利用余弦定理，正弦定理逐项判断即得. 【详解】因为，sin :sin :sin 2:A B C =所以， ::2:a b c =6b =∴， 4,a c ==∴，故，a cb <<A C B<<，(2222244436a c b +=+=>=所以B 为锐角，故为锐角三角形，故A 错误；ABC A 由，，可得，故B 正确；2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯()0,C π∈3C π=由上可知周长为C 正确；ABC A 10+由正弦定理可得的外接圆直径为，即， ABCA 2sin c R C ===R =的外接圆面积为，故D 错误. ABC A 2283R ππ=故选：BC.12.如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对111ABC A B C -12AA =1AB BC ==90ABC ︒∠=11AACC 角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）O E 1BBA. 直三棱柱的体积是1B. 直三棱柱的外接球表面积是8πC. 三棱锥的体积与点的位置有关 1E AAO -E D. 的最小值为 1AE EC +【答案】AD 【解析】【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的体积即可判断A ；直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B ；由棱锥底面积与高为定值判断C ；将侧面展开即可求出最小值判断D ．【详解】在直三棱柱中，，，， 111ABC A B C -12AA =1AB BC ==90ABC ︒∠=所以其体积， 111212V Sh ==⨯⨯⨯=故A 正确；对于B ，由直三棱柱结构特征及外接球的对称性可得， 111ABC A B C -其外接球即为长宽高分别为2，1，1的长方体的外接球，，=所以其外接球的表面积为， 24π6π⨯=故B 错误；由平面，且点E 是侧棱上的一个动点，1//BB 11AAC C 1BB，111122ABC S =⨯⨯=A三棱锥的高，1E AAO -h111112222AA O AA C S S ==⨯=A A，11136-∴==E AA O V 故三棱锥的体积为定值，故C 错误； 1E AAO -将四边形沿翻折，使四边形与四边形位于同一平面内， 11BCC B 1BB 11ABB A 11BCC B 此时，连接与相交于点E ，此时最小， 1111112=+=AC A B C B 1AC 1BB 1AE EC +即，11AE EC AC +===故D 正确． 故选：AD .三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若且，则__________． 4sin 5α=π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin π2α-=【答案】## 2425-0.96-【解析】【分析】先由三角函数的平方关系求得，再利用正弦函数的倍角公式即可求出结果. 3cos 5α=-【详解】因为，，所以， 4sin 5α=π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5α==-所以. ()4324sin π2sin 22sin cos 25525αααα⎛⎫-===⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故答案为：. 2425-14. 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________ 【答案】13【解析】【分析】利用计算即可.11A NMD D AMN V V --=【详解】因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点 所以 11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯=故答案为：13【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.15. 记函数的最小正周期为T ，若为的()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<()f T =9x π=()f x 零点，则的最小值为____________． ω【答案】 3【解析】【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从T ()f T =ϕπ9x =ω而得解；【详解】解： 因为，（，） ()()cos f x x ωϕ=+0ω>0πϕ<<所以最小正周期，因为， 2πT ω=()()2πcos cos 2πcos f T ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+==⎪⎝⎭又，所以，即，0πϕ<<π6ϕ=()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又为的零点，所以，解得， π9x =()f x ππππ,Z 962k k ω+=+∈39,Z k k ω=+∈因为，所以当时； 0ω>0k =min 3ω=故答案为： 316. 如图,摩天轮的半径为40m ,O 点距地面的高度为50m ,摩天轮作匀速转动,每12分钟转一圈,摩天轮上P 点的起始位置在最低处,那么在t 分钟时,P 点距地面的高度________（m ）．h =【答案】5040cos 6tπ-【解析】【分析】根据每12分钟转一圈,可以求出周期,再根据圆的半径可以求出振幅,最后可以写出在t 分钟时,P 点距地面的高度的表达式. h 【详解】每12分钟转一圈,所以.圆的半径为40,所以振幅A 为40m . 摩天轮上P 点的起2=12=6ππωω⇒始位置在最低处,此时高度为50-40=10,所以P 点距地面的高度.5040cos6h tπ=-【点睛】本题考查了根据实际背景求余弦型函数的解析式,考查了数学阅读能力.四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在菱形中，.ABCD 1,22CF CD CE EB ==（1）若，求的值；EF xAB y AD =+23x y +（2）若，求.6,60AB BAD ∠==AC EF ⋅ 【答案】（1）1（2）9【分析】（1）利用向量的线性运算求，结合平面向量的基本定理求得，进而求得.EF,x y 23x y +（2）先求得，然后利用转化法求得.AB AD ⋅ AC EF ⋅ 【小问1详解】 因为， 1122CF CD AB ==-2CE EB = 所以， 2233EC BC AD == 所以， 21213232EF EC CF BC CD AD AB =+=+=- 所以， 12,23x y =-=故.231x y +=【小问2详解】，AC AB AD =+ ， ()221211223263AC EF AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭为菱形，，ABCD ||||6,60AD AB BAD ∠∴=== 所以，66cos6018AB AD ⋅=⨯⨯= . 2211261869263AC EF ∴⋅=-⨯+⨯+⨯= 18. 如图所示，四边形是直角梯形，其中，，若将图中阴影部分绕旋转ABCD AD AB ⊥//AD BC AB 一周.（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.（2）求阴影部分形成的几何体的体积.【答案】（1）；（2）. 68π1403π【分析】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，求面积之和即可； （2）该几何体为圆台去掉一个半球，根据圆台、球的体积公式求解即可.【详解】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，， 214282S ππ=⨯⨯=半球，(25)35S ππ=+=圆台侧.2525S ππ=⨯=圆台底故所求几何体的表面积为.8352568ππππ++=（2）， 221254523V πππ⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦圆台， 341162323V ππ=⨯⨯=半球所求几何体体积为. 161405233V V πππ-=-=圆台半球【点睛】本题主要考查了旋转体的表面积与体积，考查了台体与球的面积、体积公式，属于中档题. 19. 已知，且 π,,π2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()3cos π5α-=（1）求的值； πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）若，求的值. ()3sin 5αβ-=sin β【答案】（1）7-（2）1【解析】 【分析】（1）结合诱导公式可得，根据同角三角函数关系可得，再由两角差的正切公3cos 5α=-tan α式，即可得出结果；（2）根据题中条件，得到，根据平方关系可得，再由π02αβ<-<()4cos 5αβ-=，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦【小问1详解】因为，所以， ()3cos πcos 5αα-=-=3cos 5α=-又因为，所以， ,2ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4sin 5α==因此， sin tan s 43co ααα==-所以. 4π1tantan π34tan 7π441tan tan 143ααα+-⎛⎫-===- ⎪⎝⎭+⋅-【小问2详解】因为，所以， π,,π2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ22αβ-≤-≤又，所以， ()3sin 5αβ-=π02αβ<-<所以， ()4cos 5αβ-==所以，()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦即. 4433sin 15555β=⨯+⨯=20. 在中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且．ABC A 22cos b c a C =+（1）求角A 的值；（2）若，求面积的最大值．2a =ABCA 【答案】（1）π3（2【解析】【分析】（1）由正弦定理将边化角，再利用正弦函数的和差公式化简即可求得角A ；（2）利用余弦定理与基本不等式求得，从而利用三角形的面积公式即可求得面积的最大4bc ≤ABC A 值.【小问1详解】因为，22cos b c a C =+所以由正弦定理得，2sin sin 2sin cos B C A C =+又，()()sin sin πsin B A C A C =-+⎡=⎤⎦+⎣所以，()2sin cos cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +=+所以，2cos sin sin A C C =因为，则，所以， 0πC <<sin 0C ≠1cos 2A =因为，所以. ()0,πA ∈π3A =【小问2详解】由（1）得，又， π3A =2a =所以由余弦定理，得，即， 2222cos a b c bc A =+-22π42cos 3b c bc =+-224b c bc =+-所以，可得，当且仅当时，等号成立，2242b c bc bc +=+≥4bc ≤2b c ==所以的面积 ABC A 1sin 2S bc A ==≤所以ABC A 21. 建设生态文明是关系人民福祉､关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温0C ︒（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足0C ︒t 024t ≤≤关系. 3π()sin((0,0)4f t A t b A ωω=-+>>（1）求的表达式；()y f t =（2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.【答案】（1） ()()π3π8sin 4024124f t t t ⎛⎫=-+≤≤⎪⎝⎭（2）8小时【解析】【分析】（1）直接利用函数图像，求出，进而求出的表达式； ,,A b ω()f t （2）利用条件和由（1）中所求结果建立不等式，再借助的图像与性质即π3π1sin 1242t ⎛⎫-<-⎪⎝⎭sin y x =可求出结果.【小问1详解】如图，因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为()3πsin (0,0)4f t A t b A ωω⎛⎫=-+>> ⎪⎝⎭()3,4-，()15,12所以， ()1248,15312,448422T A b A --===-==-+=-+=所以，又，所以， 2π24T ω==0ω>π12ω=所以. ()()π3π8sin 4024124f t t t ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭【小问2详解】 根据题设，由（1）得，即， π3π8sin 40124t ⎛⎫-+<⎪⎝⎭π3π1sin 1242t ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭由的图像得， sin y x =7ππ3π11π2π2π,Z 61246k t k k +<-<+∈解得，23243124,Z k t k k +<<+∈又因为，024t ≤≤当时，，当时，，1k =-07t ≤<0k =2324t <≤所以或,07t ≤<2324t <≤所以该商场的中央空调应在一天内开启时长为8小时.22. 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线为湿地两P ,AB AC 边夹角为的公路(长度均超过千米)，在两条公路上分别设立游客接送点,从观景台120︒2,AB AC ,M N 到建造两条观光线路，测得千米，千米．P ,M N ,PM PN 2AM =2AN =(1)求线段的长度；MN (2)若，求两条观光线路与之和的最大值．60MPN ∠=︒PM PN【答案】（1）千米；（2）千米【解析】【分析】（1）在中利用余弦定理即可求得结果；（2）设，根据正弦定理可用表AMN ∆PMN α∠=α示出和，从而可将整理为，根据的范围可知PM PN PM PN +()30α+ α()sin 301α+=时，取得最大值.【详解】（1）在中，由余弦定理得： AMN ∆ 2222212cos12022222122MN AM AN AM AN ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭MN ∴=（2）设，因为，所以PMN α∠=60MPN ∠= 120PNM α∠=- 在中，由正弦定理得： PMN ∆()sin sin sin 120MN PM PN MPN αα==∠-， 4sin MN MPN ==∠ ()4sin 120PM α∴=- 4sin PN α=()14sin 1204sin 4sin 4sin 2PM PN ααααα⎫∴+=-+=++⎪⎪⎭()6sin 30ααα=+=+0120α<< 3030150α∴<+<当，即时，取到最大值∴3090α+= 60α= PM PN +两条观光线路距离之和的最大值为 ∴【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理求解实际问题，涉及到三角函数最值的求解问题，关键是能够将所求距离之和转化为关于角的函数问题，得到函数关系式后根据三角函数最值的求解方法求得结果.。
河北省邯郸市大名县第一高级中学校2022-2023学年高一下学期5月第二次月考数学试题
(1)求该几何体的表面积；
(2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点 A 绕着几何体的侧面爬行一周回到点 A ，求蚂蚁爬行的最短距
离．
19．求解下列问题：
(1)在
ABC
中，若
a
4
，
b
3
，
sin
A
2 3
，求角
B．
(2)在 ABC 中，若 A 105 ， C 30， b 2 2 ，求边 c．
20．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AC 4 ， BC 3， AB 5 ．
(1)证明： EF // 平面 PAB ； (2)求二面角 F ED A 的余弦值．
D．六边形
三、填空题
13．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生 3500 人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，
高二学生人数比高一学生人数多
300，现在按
1 100
的比例分配分层随机抽样的方法抽取样本，则应
抽取高一学生数为________．
14．在三棱锥 P ABC 中，PA PB CA CB 10 ， AB PC 12 ．若三棱锥的四个顶点都在球 O
大名县第一高级中学校 2022-2023 学年高一下学期 5 月第二次月考 数学试题
一、单选题 1．复数1 2i 的虚部为（ ）
A．1
B． 2i
C．2i
D． 2
2．用斜二测法画边长是 4 的正方形直观图，则所得直观图的面积是（ ）
A． 4 2
B．8
安徽省合肥市第七中学2022-2023学年高一下学期第二次单元检测(月考)数学试题(含解析)
安徽省合肥市第七中学2022-2023学年高一下学期第二次单元检测（月考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．24 55 a b-C．2455a b-+(sin2sinA A=A．4B．37．鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔别测塔顶的仰角为30 、45 、A．20米B．70 3米C．803米D．30米8．刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，A ．383rB ．38π3rC ．3163r 二、多选题9．已知平面向量()1,0a =，()1,23b = ，则下列说法正确的是（ ）A ．16a b +=B ．()2a b a +⋅= C ．3cos ,3a b =D ．向量+a b 在a 上的投影向量为,m n ,a βA ．当点P 运动到1BC 中点时，直线B ．无论点P 在1BC 上怎么运动，都有C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有D ．当点P 在1BC 上运动时，直线三、填空题14．在正方体111ABCD A B C D -111113A H C G A D ==，则异面直线15．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为16．已知SAB ∆是边长为2的等边三角形，45ACB ︒∠=其外接球的表面积为__________．(1)如图，若四边形OACB为平行四边形，求点(2)若点P为线段AB的靠近点中，内角A，19．在ABC(1)求角A的大小；(1)证明：PC∥平面EFG；==(2)若22PC PD CD===，AC AD AP21．如图所示，在海岛A上有一座海拔0.5高度忽略不计），已知在某时刻观测员测得一轮船在岛北偏东处，若10分钟后，又测得该船在海岛北偏西(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)若又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的22．如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥线BD 将ABD △折至A BD ' 的位置，记二面角(1)当90θ=︒时，求证：平面A CD '⊥平面A BD '；(2)若E 为BC 的中点，当120θ=°时，求二面角A DE B '--的正切值．参考答案：对B，如图所示的八面体满足每个面都是三角形，但它不是棱锥，故对C，如图所示的三棱锥中有形，但它不是正三棱锥，故对D，各个侧面都是矩形且上下底面也是矩形的棱柱才是长方体，故故选：A则G是DE的中点，且1124 GF EC BC ==14GF AD∴=，对②，因为F ，M ，N ，Q 分别为AB CD ，则FN AB ，故F ，N 错误；对②，E 在过F ，N ，A ，B 四点的平面外，故直线对③，N ，Q 重合，故直线BQ 与直线设建筑物的高为m PO h =，则PA =由余弦定理可得2cos 2PB PBA PB +∠=22223cos 22h PB BC PC PBC PB BC +-∠==⋅因为PBA PBC π∠+∠=，故cos PBA ∠即22222230h AB AB h +-+=，可得对于C ，在长方体111ABCD A B C -平面ABCD ，平面11CDD C 分别为平面显然满足,ααβ⊥⊥m ，而m β⊂【点睛】关键点点睛：图形中向量的数量积问题，通过找基底并将未知的待计算的向量表示为基底的形式去计算能很大程度上简化计算即EP ⊥平面111A B C ，所以直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值，因为112EP BB =，1AE A B =所以15tan 5PA E ∠=，故A 正确；由题意知，11B BCC 为正方形，即有所以111A B BC ⊥，又111A B B C 所以1BC ⊥面11A B C ，1OB ⊂面同理可证：11A B OB ⊥，又1A B所以Q 为中线的交点，即Q 为所以根据重心的性质有1PQ QA =对于D ：由于11//A B AB ，直线结合下图分析知，点P 在BC 当P 在B 或1C 上是，11B A P ∠当P 在1BC 的中点时，11B A P ∠所以11B A P ∠不可能是30︒，故故选：AB ．13．414．513.【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为则有(0,0,0)D ，(3,3,0)B 1315．32/1.5【分析】根据水的体积与棱柱体积的关系得出结论．【详解】棱柱的体积公式是V =在图2中，水面是中截面，水面以上部分是一个三棱柱，棱柱底面的14，从而这个小三棱柱的体积是大棱柱体积的。
高一数学第二次月考试题含解析 试题
实验中学2021-2021年度第二次月考高一数学一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题4分，一共48分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的.〕{}n a 中，11a =，48a =，那么公比q 等于〔 〕A. -2B. 2C. ±2D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，得到341a a q =，即可求解公比，得到答案. 【详解】由题意，根据等比数列的通项公式，可得33418a a q q ===，解得2q，应选B.【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.{}n a 中,1352,10aa a =+=，那么7a =〔 〕A. 5B. 8C. 10D. 14【答案】B 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，12610a d +=，所以，110216a d -== 所以，716268a a d =+=+= 应选B.考点：等差数列通项公式.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，假设2cos a b C =，那么ABC ∆的形状是〔 〕 A. 等腰三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理和2cos a b C =，可得sin 2sin cos A B C =，在利用三角恒等变换的公式，化简得sin()0B C -=，即可求解. 【详解】在ABC ∆中，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===， 由2cos a b C =，可得sin 2sin cos A B C =，又由A B C π++=，那么sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 即sin cos cos sin 2sin cos B C B C B C +=，即sin cos cos sin sin()0B C B C B C -=-=，解得B C =， 所以ABC ∆为等腰三角形，应选A.【点睛】此题主要考察了正弦定理的应用，以及三角形形状的断定，其中解答中纯熟应用正弦定理的边角互化，合理利用三角恒等变换的公式化简是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，():():()4:5:6b c c a a b +++=，那么sin :sin :sin A B C =〔 〕A. 6:5:4B. 7:5:3C. 3:5:7D. .4:5:6【答案】B 【解析】 【分析】设4,5,6b c c a a b +=+=+=，解得753,,222a b c ===，由正弦定理，即可求解. 【详解】由题意，在ABC ∆中，():():()4:5:6b c c a a b +++=， 设4,5,6b c c a a b +=+=+=，解得753,,222a b c ===， 又由正弦定理知2sin sin sin a b cR A B C===， 所以sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，应选B.【点睛】此题主要考察了正弦定理的应用，其中解答中熟记正弦定理，合理运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.{}n a 的通项公式为1(1)n a n n =+，其前n 项和910n S =，那么n =〔 〕 A. 8 B. 9C. 10D. 1【答案】B 【解析】 【分析】由数列{}n a 的通项公式为111(1)1n a n n n n ==-++，利用裂项法，求得1n nS n =+，即可求解，得到答案.【详解】由题意，数列{}n a 的通项公式为111(1)1n a n n n n ==-++，所以111111(1)()()1223111n n S n n n n =-+-++-=-=+++，又由910n S =，即9110n n =+，解得9n =，应选B. 【点睛】此题主要考察了数列的求和的应用，其中解答中根据题设条件，化简111n a n n =-+，利用“裂项法〞求得n S 是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的对边分别为a ，b ，c ，假设()()()b c b c a a -+=+，那么B =〔 〕 A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】D 【解析】 【分析】由()()()b c b c a a -+=+，化简得222a c b +-=，由余弦定理，即可求解.【详解】由题意，在ABC ∆中，()()()b c b c a a -+=，化简可得222b c a -=，即222a c b +-=，又由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-===， 又因为(0,180)B ∈，所以150B =，应选D.【点睛】此题主要考察了余弦定理的应用，其中解答中准确化简题设条件，合理利用余弦定理求解是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.ABC ∆中，假如60A =︒，4c =，4a <<，那么此三角形有〔 〕A. 无解B. 一解C. 两解D. 无穷多解【答案】C 【解析】【分析】首先利用正弦定求得sin C 的范围，然后根据条件和三角形的内角，即可作出断定，得到答案.【详解】根据正弦定理，可得sin sin a c A C =，所以sin 23sin c A C a a⋅==， 因为234a <<，所以3sin (,1)2C ∈， 又由c a >，那么(60,120)C ∈，有两个C 满足条件，所以此三角形由两解，应选C. 【点睛】此题主要考察了正弦定理的应用，以及三角形解得个数的断定问题，其中解答中纯熟应用正弦定理求得sin C 的范围，再根据角C 进展断定是解答此题的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.{}n a 是首项为1a 、公差为1的等差数列，n S 为其前n 项和，假设1S ，2S，4S 成等比数列，那么1a =〔 〕 A. 2 B. -2C.12D. 12-【答案】D 【解析】试题分析：由题设可得,解之得,故应选D ．考点：等差数列等比数列的通项与前项和等知识的综合运用.9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，假设∠C=120°，2a ，那么 A. a ＞b B. a ＜bC. a ＝bD. a 与b 的大小关系不能确定【答案】A 【解析】试题分析：由余弦定理2222cos c a b ab C=+-得2222,0aba b ab a b a b a b∴-=-=>∴>+ 考点：余弦定理及不等式性质{}n a 前n 项和为115913172(1)(43)n n S n -=-+-+-++--，那么152231S S S +-的值〔 〕 A. 13 B. -76C. 46D. 76【答案】B 【解析】 【分析】由得S 15＝﹣4×7+4×15﹣3＝29，S 22＝﹣4×11＝﹣44，S 31＝﹣4×15+4×31﹣3＝61，由此能求出S 15+S 22﹣S 31的值．【详解】∵S n ＝1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+〔﹣1〕n +1〔4n ﹣3〕， ∴S 15＝﹣4×7+4×15﹣3＝29，S 22＝﹣4×11＝﹣44， S 31＝﹣4×15+4×31﹣3＝61，∴S 15+S 22﹣S 31＝29﹣44﹣61＝﹣76． 应选：B ．【点睛】此题考察数列的前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意数列的前n 项和公式的合理运用．11.?算法统宗?是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，一共灯三百八十一〞，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，一共有381盏灯，那么塔从上至下的第三层有〔 〕盏灯. A. 14 B. 12C. 8D. 10【答案】B 【解析】 【分析】设第一层有1a 盏灯，那么由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以1a 为首项，以12为公比的等比数列，求得第一层的盏数，由此即可求解，得到答案.【详解】设第一层有1a 盏灯，那么由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以1a 为首项，以12为公比的等比数列， 所以七层宝塔的灯的盏数的总数为711[1()]2381112a -=-，解得1192a =， 所以从上至下的第三层的灯的盏数为44511192()122a a q ==⨯=盏，应选B.【点睛】此题主要考察了等比数的应用，其中解答中认真审题，得到第一层至第七层的等的盏数构成一个以1a 为首项，以12为公比的等比数列是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列，那么角B 的取值范围是〔 〕A. 0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B. ,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 0,3π⎛⎤⎥⎝⎦D. ,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】设公比为q ，得到三角形三边为b a q =，c bq =，利用余弦定理和根本不等式，求得1cos 2B ≥，即可求解，得到答案.【详解】由题意，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列， 设公比为q ，那么0q >，所以ba q=，c bq =， 由余弦定理得22222cos 2b b q b qB b bq q+-=⨯⨯221112q q ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭112122q ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当1q =时等号成立，又因为B 是ABC ∆的内角，所以03B π<<，所以角B 的取位范围是0,3π⎛⎤⎥⎝⎦，应选：C .【点睛】此题主要考察了余弦定理的应用，以及根本不等式的应用，其中解答中根据题设条件，利用余弦定理和根本不等式，求得1cos 2B ≥是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分〕{}n a 的前n 项和为n S ，假设19a =，464a a +=，当n S 取最大值时，n =______.【答案】6 【解析】由题意可得：465524,2a a a a +==∴=， 数列的公差：512975144a a d --===--，那么数列的通项公式为：()1743144n a a n d n =+-=-+， 数列单调递减，据此求解不等式组：()7430447431044n na n a n ⎧=-+>⎪⎪⎨⎪=-++<⎪⎩，可得：364377n <<， 结合*n N ∈可得：6n =ABC ∆的内角为A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，2A B =.那么sin()4A π+的值是______.【解析】 【分析】由正弦定理和题设条件，求得6cos a B =，又由余弦定理，解得a =进而求得cos B 和sin B 的值，再利用三角恒等变换的公式，即可求解.【详解】由题意，根据正弦定理sin sin a b A B=，那么sin sin b A a B =又由3,2b A B ==，所以3sin 26cos sin Ba B B==，又由余弦定理可得2222221366221a cb a a ac a +-+-=⨯=⨯⨯，解答a =所以cos 6a B ==，所以sin B =又由sin sin 22sin cos 2A B B B ====， 21cos cos 22cos 13A B B ==-=-，所以2242sin()sin cos 4226A A A π-+=+=. 【点睛】此题主要考察了正弦定理和余弦定理的应用，以及三角恒等变换的化简求值，其中解答中合理应用正弦定理和余弦定理，求得a 的值，再准确利用三角恒等变换的公式化简是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题.{}n a 的前n 项和为n S ，且23n n a S =-，那么数列{}n a 的通项公式是n a =______.【答案】13(1)n n a -=⋅-【解析】试题分析：∵23n n a S =-，∴1123n n a S --=-，∴两式相减得：12n n n a a a --=，即1n n a a -=-，又∵1123a a =-，即13a =，2223a S =-，即23a =-，符合上式，∴数列{}n a 是以3为首项、-1为公比的等比数列，∴．考点：等比数列的证明和通项公式．16.定义平面中没有角度大于180°的四边形为凸四边形，在平面凸四边形ABCD 中，45A ∠=︒，120B ∠=︒，2AB =，2AD =，设CD t =，那么t 的取值范围是______.【答案】2,312⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭【解析】在△ABD 中，∵∠A=45°，∠B=120°，2，AD=2，由余弦定理得BD 2=AD 2+AB 2﹣2AD•ABcosA=2．∴，即△ABD 为等腰直角三角形，角ABD 为九十度．∴角DBC 为三十度，所以点C 在射线BT 上运动〔如图〕，要使ABCD 为平面四边形ABCD ，当DC ⊥BT 时，CD 最短，为2， 当A ，D ，C 一共线时，如图，在△ABC 2中，由正弦定理可得200sin120sin15AC AB =解得2231AC DC ==∴设CD=t ，那么t 的取值范围是12⎫⎪⎪⎣⎭.故答案为：12⎫⎪⎪⎣⎭． 点睛：此题主要考察正弦定理在解决三角形问题中的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要根据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中假如边和正弦、余弦函数穿插出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进展解答.有时也需要结合图形特点来找到详细的做题方法.三、解答题〔本大题一一共4小题，一共36分〕{}n a 满足32a =，前3项和392S =. 〔1〕求{}n a 的通项公式. 〔2〕设等比数列{}n b 满足11b a =415b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) 12n n a +=(2) 21n n T =- 【解析】分析：〔Ⅰ〕数列为等差数列，且知3a 与3S 的值，设首项与公差，代入解方程即可； 〔Ⅱ〕求出1a 、15a 即1b 、4b ，设首项与公比，列式解出.代入前n 项和公式即可. 详解：〔Ⅰ〕设{}n a 的公差为d ，那么由条件得122a d +=，1329322a d ⨯+=， 化简得122a d +=，132a d +=，解得11a =，12d =， 故{}n a 的通项公式112n n a -=+，即12n n a +=. 〔Ⅱ〕由〔1〕得11b =，41515182b a +===.设{}n b 的公比为q ，那么3418b q b ==，从而2q =，故{}n b 的前n 项和()()1111221112nnnn b q T q -⨯-===---.点睛：此题综合考察等差等比数列的通项公式与前n 项和公式，需要纯熟掌握，代入公式，解得首项与公差公比即可.ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且sin 22sin cos sin()A C B C B +=-. 〔1〕求角A ；〔2〕假设3sin 4sin B C =，ABC S ∆=a .【答案】〔1〕23A =π；〔2【解析】【分析】〔1〕由题设条件和三角恒等变换的公式，化简2sin cos sin A A A =-，解得1cos 2A =-，即可求解A 的值；〔2〕由正弦定理，求得34b c =，再由三角形的面积公式，求得12bc =，联立方程组，求得4b =，3c =，利用余弦定理，即可求解a 的值.【详解】〔1〕由题意，因为sin 22sin cos sin()A C B C B +=-，那么2sin cos 2sin cos sin cos cos sin A A C B C B C B +=-，整理可得：2sin cos (cos sin sin cos )A A C B C B =-+sin()sin B C A =-+=-， 因为(0,)A π∈，sin 0A ≠，解得1cos 2A =-，23A =π. 〔2〕因为3sin 4sinBC =，由正弦定理可得：34b c =， ①因为11sin 22ABC S bc A ∆===，解得：12bc =， ② 所以由①②可解得：4b =，3c =，由余弦定理可得：a ===. 【点睛】此题主要考察了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，纯熟掌握定理、合理运用是解此题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或者两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或者两边及其夹角时，运用余弦定理求解.ABC ∆中，1AC =，120ABC ∠=︒，BAC θ∠=，记()f AB BC θ=⋅.求()f θ的值域. 【答案】1()0,6f θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】【分析】在ABC ∆中，由正弦定理，得求得1||sin sin120BC θ=︒，()sin 60||sin120AB θ︒-=︒，再根据三角恒等变换的公式，化简得11()sin 203663f ππθθθ⎛⎫⎛⎫=+-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解. 【详解】在ABC ∆中，由正弦定理，得()||1||sin sin120sin 60BC AB θθ==︒︒-，所以1||sin sin120BC θ=︒，()sin 60||sin120AB θ︒-=︒，所以()f AB BC θ=⋅()4121sin sin 60sin sin 32322θθθθθ⎛⎫=⋅︒-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭ 11sin 203663ππθθ⎛⎫⎛⎫=+-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由5023666ππππθθ<<⇒<+<，∴1sin 2126πθ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 所以1()0,6f θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 【点睛】此题主要考察了正弦定理的应用，以及三角恒等变换的化简和三角函数的性质的应用，其中解答中根据正弦定理的求得,BC AB ，进而利用三角恒等变换的公式得到()f θ的表示是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题.{}n a 满足11a =，且()12n n n a a n N ++=+∈〔1〕求234,,a a a ；〔2〕求数列{}n a 的通项公式；〔3〕()1n n b n a =+，求{}n b 的前n 项和n S .【答案】〔1〕23a =，37a =，415a =；〔2〕21n n a =-；〔3〕1(1)22n n S n +=-+【解析】【分析】〔1〕由11a =，()12n n n a a n N ++=+∈，代入即可求解234,,a a a 的值；〔2〕由12n n n a a +=+，那么12112212,2,2n n n n n n a a a a a a -----=+=+=+，利用累加法，即可求解数列{}n a 的通项公式；〔3〕由()1n n b n a =+，所以2n n b n =⋅ ，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前n 项和.【详解】〔1〕由题意，数列{}n a 满足11a =，且()12n n n a a n N ++=+∈，那么12123a a =+=，23227a a =+=，343215a a =+=，即23a =，37a =，415a =.〔2〕由题意，知12n n n a a +=+，那么12112212,2,2n n n n n n a a a a a a -----=+=+=+，累加法可得()2111212211()2222n n n n a a a --=+=--=++++，所以数列{}n a 的通项公式21n n a =-.〔3〕由()1n n b n a =+，所以2n n b n =⋅ ，所以1212222n n S n =⋅+⋅+⋅ ①两边同时乘2可得，23121222(1)22n n n S n n +=⋅+⋅++-+⋅ ② ②-①得()112122(1)2212n n n n S n n ++-=⋅-=-+-，即数列{}n b 的前n 项和1(1)22n n S n +=-+.【点睛】此题主要考察等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法〞求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是根底，准确计算求和是关键，易错点是在“错位〞之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考察考生的数形结合思想、逻辑思维才能及根本计算才能等.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
广西贺州市贺州第一高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题
广西贺州市贺州第一高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则下列说法正确的是（ ）A ．应采用分层随机抽样抽取B ．应采用抽签法抽取C ．三种型号的轿车依次抽取6辆，30辆，10辆D ．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的10．已知m n l ，，为空间中三条不同的直线，a b g ，，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）A ．若,m m a b g Ç=^，则,a g b g ^^B ．若,m n a a ÌË，则m 与n 为异面直线C ．若,,l m n a b b g g a Ç=Ç=Ç=，且l m P =I ，则P n ÎD ．若,,//m m a b a g ^^，则//b g11．已知锐角ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b，c ，且ABC V 的面积为(1)证明：平面ECD^平面(2)求二面角D EC B--的余弦值．22．设A是如下形式的2行3列的数表，1．D【分析】利用复数的运算，得到i z a b =+的形式，再由复数的几何意义得到对应复平面内的点(),Z a b ，从而判断出所在象限.【详解】由题得()()213i 1i 1i 3i 3i 1i 3i 342i z =-+=+--=+-+=-，则在复平面内对应的点的坐标为()4,2-，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D 2．C【分析】（方法一）由,a b r r 的坐标，求得2a b +r r的坐标，利用向量垂直的坐标表示式列出方程求解即得；（方法二）先由()2a b b +^r r r化简，再代入,a b r r 得坐标计算即得.【详解】（方法一）由()1,a l =r ，()2,1b =-r ，得()25,2a b l +=-r r ．由()2a b b +^r r r ，得()20a b b +×=r r r，即()()52210l ´+-´-=，解得12l =．故选：C ．（方法二）由()2a b b +^r r r ，得()20a b b +×=r r r，即220a b b ×+=r r r ，将()1,a l =r，()2,1b =-r 代入得，()()221212210l éù´+´-+´+-=ëû，解得12l =．22．(1)0.7(2)1【分析】（1）根据题意，分别求（2）根据题意，结合1-比较得到其中的最小值，。
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2019（高一阶段）第二学期第二次月考数学试卷(实验)时间 100分钟 总分150 一、选择题(本题共14小题,每题5分,共70分)1.已知集合{}{}22(,)1,(,)A x y x y B x y y x =+===，则A B ⋂中元素的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D.02．已知函数b a x a b x x f ++--+=)2()(22是偶函数，则此函数的图象与y 轴交点的纵坐标的最大值为（ ）A ．2B ．2C ．4D ．－2 3．倾斜角为135，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ） A. 01=+-y x B. 01=--y x C. 01=-+y xD. 01=++y x4．函数f(x )的图象与函数g (x )=(21)x的图象关于直线y =x 对称，则f (2x -x 2)的单调减区间为（ ）A ．（-∞，1）B ．[1，+∞]C ．（0，1）D ．[1，2] 5.方程3log 3x x =-+的解所在的区间是（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,+∞6a b a ,75sin 415sin 2︒︒==与的夹角为︒30，则⋅等于（ ）（A ）3 （B ）23（C ）32 （D ）21 7．如果)(x f '是二次函数, 且)(x f '的图象开口向上,顶点坐标为(3 , 那么曲线)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是 （ ）A．]3,0(πB．)2,3[ππC．]32,2(ππD．),3[ππ8．各项为正数的等比数列{}n a的公比1q≠，且2311,,2a a a成等差数列，则3445a aa a++的值是（）A．512+B．512-C．152-D．512+或512-9．已知函数xxxf cossin)(λ+=的图象的一个对称中心是点)0,3(π，则函数()g x＝xxx2sincossin+λ的图象的一条对称轴是直线（）A．65π=x B．34π=x C．3π=x D．3π-=x10．已知ABC∆中，若sin(cos cos)sin sinA B C B C+=+，则ABC∆是（）A.直角三角形B．等腰三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形11．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出//AB平面MNP的图形的序号是( )A. ①、③B. ①、④C. ②、③D. ②、④12．函数ln xyx=的图像大致是( )A．B．C．D．13.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）．A .62B .42C .6D .414．已知函数()||––10||f x mx x m =>（），若关于x 的不等式()0f x ＜的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为（ ）． （A ）0＜m ≤1 （B ）34m ≤＜23（C ）1＜m ＜23 （D ）23≤m ＜2二、填空题(本题共6小题,每题5分,共30分) 15.设1a >，0b >，若2a b +=，则121a b+-的最小值为( ) 16.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度为____rad17.若数列{n a }的前n 项和为S n ＝2133n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______. 18.已知1sin ,123πα+=（）则7cos 12πα+=（）_____.19. 如图所示,E 、F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D 、DD 2的中点沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作D 。
给出下列位置关系:①SD ⊥面DEF; ②SE ⊥面DEF; ③DF ⊥SE; ④EF ⊥面SED,其中成立的有20.设函数()3sin x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取SD1D2DEF值范围是__________三、解答题(21,22,23题每题12分,24题14分,共50分) 21．（本小题12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且22()(23)a b c bc --=-，2cos sin sin 2CB A =，BC 边上的中线AM 的长为7． (Ⅰ) 求角A 和角B 的大小； (Ⅱ) 求ABC ∆的面积．22．（本小题12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别相交于,A B 两点AOB ∆的内切圆为⊙M（1）如果⊙M 的半径为1，l 与⊙M 切于点33(,1)2C +，求直线l 的方程（2）如果l 的方程为220x y +--=，P 为⊙M 上任一点，求222PA PB PO ++的最值23．（本小题12分） 如图，过四棱柱1111ABCD A B C D -形木块上底面内的一点P 和下底面的对角线BD 将木块锯开，得到截面BDEF .(1)请在木块的上表面作出过P 的锯线EF ，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形时矩形11BB D D ，试证明：平面BDEF ⊥平面11AC CA .24．（本小题14分） 已知函数()3212f x x x bx c =-++，且()f x 在1x =处取得极值. （1）求b 的值；（2）若当[]1,2x ∈-时，()2f x c <恒成立，求c 的取值范围；（3）对任意的[]()()12127,1,2,2x x f x f x ∈--≤是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由.答案1B 2A 3.D 4【答案】C 5.【答案】C 6．A 7．B 8．B9．D 10．A 11．B 12【答案】A 13【答案】：C 14【答案】B15.3+16.13分 21．(Ⅰ) .6A π=6π=B(Ⅱ) 3232221=⋅⋅⋅=∆ABC S【解析】解：(Ⅰ)由22222()(2,a b c bc a b c --=--=得222cos 22b c a A bc +-∴==∴.6A π=由2cos sin sin 2C B A =，得2cos 1sin 21CB +=即sin 1cos B C =+ 则0cos <C ，即C 为钝角，故B 为锐角，且π65=+C B则πππ321)3cos(cos 1)65sin(=⇒-=+⇒+=-C C C C 故6π=B ．(Ⅱ)设x AC =，由余弦定理得22227)21(224=-⋅⋅-+=x x x x AM ，解得2=x故3232221=⋅⋅⋅=∆ABC S ．22【解析】(1)MC k =(1分), l k =分):1l y x =+.(3分) (2)设(,0),(0,)A a B b , (2,2)a b >>,:0l bx ay ab +-=.1d ==,(4分)(2)(2)2a b --=,2()20,ab a b -++= 22()4ab a b ab +=+≥, (5分)22,ab ≥+ (6分) 642ab ≥+.当且仅当22a b ==+时, 642ab =+.面积13222S ab =≥+, 此时AOB ∆为直角边长为22+的等腰直角三角形. (7分) 周长2222(22)L a b a b ab ab ab =+++≥+=+ 2(22)642≥+=+.此时AOB ∆为直角边长为22+的等腰直角三角形. ∴此时的AOB ∆为同一三角形. (8分)(3) l 的方程为220x y +--=，得(22,0),(0,22)A B ++,(9分) ⊙M :22(1)(1)1x y -+-=,设(,)P m n 为圆上任一点,则:22(1)(1)1m n -+-=,222()1m n m n +=+-,(10分)222(2)(1)(1)12m n m n +--+-=≥,2222m n -≤+≤+.(11分) 22222233(422)()2(2+2PA PB PC m n m n ++=+-+++）(982)(222)()m n =+--+.(13分)当22m n +=-时, 222max ()(982)(222)(22)172 2.PA PB PO ++=+---=+ 此时,21.2m n ==-(14分) 当22m n +=+时, 222min ()(982)(222)(2+2)9+6 2.PA PB PO ++=+--=(15分) 此时,21m n == (16分)23如图 (2)详见解析 【解析】试题分析：(1)本题实质为确定截面与上底面的交线，这利用面面平行性质定理，可得交线相互平行:即由平面ABCD//平面A 1B 1C 1D 1,平面BDFE I 平面ABCD=BD ，平面BDFE I 平面A 1B 1C 1D 1=EF ，得EF//BD,又 B 1B//D 1D,从而EF// B 1D 1 (2)证明面面垂直，一般利用其判定定理，即证线面垂直：由BD ⊥A 1A ，BD ⊥AC 得到BD ⊥平面A 1C 1CA ，从而平面BDFE ⊥平面A 1C 1CA 试题解析：(1)在上底面内过点P 作B 1D 1的平行线分别交A 1D 1,A 1B 1于F,E 两点，则EF 为所作的锯线. 2分在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱B 1B//D 1D,B 1B=D 1D ， 所以四边形BB 1D 1D 是平行四边形，B 1D 1//BD 4分又平面ABCD//平面A 1B 1C 1D 1,平面BDFE I 平面ABCD=BD ，平面BDFE I 平面A 1B 1C 1D 1=EF ，所以EF//BD,从而EF// B 1D 1 7分(2) 证明：由于四边形BB 1D 1D 是矩形，所以BD ⊥B 1B ，又A 1A//B 1B 所以BD ⊥A 1A 9分又四棱柱的底面为菱形，所以BD ⊥AC因为AC I A 1A=A ，AC ⊂平面A 1C 1CA, A 1A ⊂平面A 1C 1CA 所以BD ⊥平面A 1C 1CA 12分 因为BD ⊂平面BDFE所以平面BDFE ⊥平面A 1C 1CA 14分 考点：面面平行性质定理，面面垂直判定定理24.【答案】（1）2-=b （2）21>-<c c 或（3）不等式恒成立，证明：当1=x 时，()x f 有极小值c +-23又()c c f +->+=-23211∴[]2,1-∈x 时，()x f 最小值为c +-23∴()()()()27min max 21=-≤-x f x f x f x f ，故结论成立.【解析】试题分析：（1）()b x x x f +-='23∵()x f 在1=x 处取得极值， ∴()0131=+-='b f∴2-=b 经检验，符合题意. （2）∵()()()123232-+=--='x x x x x fx1-⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,1 32- ⎪⎭⎫⎝⎛-1,32 1 ()2,1 2 ()x f '+0 -0 +()x f ()1-fc +2722c +-23()2f∴当3-=x 时，()x f 有极大值c +27又()()c c f c c f +<+=-+>+=2722211,272222∴[]2,1-∈x 时，()x f 最大值为()c f +=22∴c c +>22故21>-<c c 或（3）对任意的[]()()27,2,1,2121≤--∈x f x f x x 恒成立. 由（2）可知，当1=x 时，()x f 有极小值c +-23 又()c c f +->+=-23211∴[]2,1-∈x 时，()x f 最小值为c +-23∴()()()()27min max 21=-≤-x f x f x f x f ，故结论成立.。