自动控制根轨迹课程设计(精髓版)
自动控制原理4根轨迹
4.1 控制系统的根轨迹
根轨迹定义
[根轨迹]：控制系统的某一参数由零变化到无穷大时， 闭环系统的特征根（闭环极点）在[s]平面上形成的轨 迹。
[例]：如图所示二阶系统， R(s)
+
E ( s)
开环传递函数： K k G( s) , k 2 K s0.5s 1 ss 2 开环极点： p1 0， p2 2
nm
k
（ 3）
与横轴的交角： 2l 1 s a l 0,1,2,, n m 1 （4） nm 即，根轨迹渐近线是n-m条直线，它们有一个公共点 a，j0 ，与横轴有不同的交角。
渐近线与实轴的交点为 a 利用多项式除法和乘法，由（1）、（2）、（3）式， n m 得： pi z j i 1 j 1 （ 5） a nm 若开环传递函数无零点，取 z j 0 规则四 如果控制系统的开环零点数目m小于开环极点 数目n，当k→∞时，伸向无穷远处根轨迹的渐近线共 有（n-m）条。这些渐近线在实轴上交于坐标为 a，j 0 的一点，而渐近线与实轴正向的夹角为（4）式。
渐近线与实轴的交点：
a
pi z j
i 1
3
nm
1 5 2 30
5
2 1
0
渐近线与实轴倾角：
5 l 0， ； l 1， ； l 2， 3 3 3
零极点分布和渐近线 （红线）如图所示。
5
j
180
”
z1
p3
再看s2点： 不满足根轨迹相角条件， 所以不是根轨迹上的点。
s s
p2
2
1
p1
自动控制原理第4章根轨迹
本章教学目标与要求
掌握根轨迹的概念、根轨迹相角条件与模值条件，熟悉 根轨迹绘制法则，了解主导极点的概念。
熟练绘制以开环增益为变量的根轨迹（正反馈和负反 馈），了解参数根轨迹的含义。
了解控制系统性能与系统闭环传递函数零点、极点在与 s平面分布的密切关系。初步掌握根轨迹分析法在控制 系统分析与设计中的应用。
（4-8）
上式中， ， z j ( j 1 ~ m) pi (i 1 ~ n) 分别为控制系统的
开环零点和极点，他们可以是复数范围内的
任何数。开环传递函数分子有理式的阶数是m，
分母有理式的阶数是n。当系统的开环传递函
数写成上述形式时， 称为K *根轨迹增益，为参
变量，其值从零变化到无穷大。
系统的开环传递函数还可以写成下述 时间常数的形式
（1）劳斯判据；
（2）令闭环系统特征方程中的s=jω ，并令虚 部和实部分别为零而求得。
【例4.3】设系统的开环传递函数为
G(s)H (s)
K*
s(s 1)(s 2)
试绘制系统的根轨迹。
解：（1）系统的开环极点为0，-1，-2是根轨 迹各分支的起点。由于系统没有有限开环零点， 三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。
了解利用根轨迹估算阶跃响应的性能指标。
引言
设计磁盘驱动器系统可以练习如何进行折衷 和优化。磁盘驱动器必须保证磁头的精确位置， 并减小参数变化和外部振动对磁头定位造成的影 响。机械臂和支撑簧片将在外部振动的频率点上 产生共振。对驱动器产生的干扰包括物理振动， 磁盘转轴的磨损和摆动，以及元器件老化引起的 参数变化等。
从上式可以看出，根轨迹的模值增益条件与 根轨迹增益K*有关，而相角条件与K*无关。我们 说，相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要 条件，这就是说，绘制根轨迹时，可用相角条件 确定轨迹上的点，用模值条件确定根轨迹上该点 对应的K*值。
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
自动控制原理根轨迹
D( s ) 1 G( s ) H ( s ) 0 G( s ) H ( s ) 1
根轨迹方程
G ( s)
C (s)
H (s)
(i 0,1, 2)
m
G( s) H ( s) e jG( s ) H ( s ) 1 e j ( 180 i360 )
1、幅值条件
1、根轨迹分支数等于4；
-2.73 0
2、根轨迹起点和终点；
3、根轨迹的渐近线：n=4,m=0,四条
n m
a
p z
i 1 i j 1
j
nm
0 1 j 1 j 2.73 1.18 4
渐近线与实轴正向夹角分别是
(2l 1) a ,( l 0,1, 2, 3), 45,135, 135, 45 nm
G( s ) H ( s ) 1
即 |G(s)H(s)|
k | s zi | | s pi |
i 1 i 1 n
1
2、相角条件
G( s ) H ( s ) 180 i 360
G(s)H(s) (s-zi )- (s-pi )
i 1 i 1 m n
同样s3点也不是根轨迹上的点。
结论
实轴上某段区域右边的开环实数零点和开环实数极点总 数为奇数时，这段区域必为根轨迹的一部分。
p3
j
0
p2
°
z2
p1
°
z1 p4
六.根轨迹与实轴的交点
分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。 分离点 会合点
K 0
d
K 0
K
自动控制原理根轨迹法
21
二、根轨迹绘制的基本法则（4）
法则2
根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m），或与开
环有限零点数m相等（n<m)。 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连
续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数
或共轭复数。
22
二、根轨迹绘制的基本法则（5）
法则3
s(s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j1.5)
试绘制该系统概略根轨迹。
解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤
1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域
和
为轨迹。
0，－1.5
2）确定－根2.轨5，迹－的渐 近线。本例n＝4，m＝3，故只有
一条 的渐近线。 180
36
K均* 有关。
15
一、 根轨迹法的基本概念（13）
4 -1- 4 根轨迹方程
1、系统闭环特征方程
由闭环传函可得系统闭环特征方程为：
(s)
G(s)
1 G(s)H(s)
1 G(s)H (s) 0
2 、根轨迹方程
当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为
根轨迹方程
m
(s z j )
K * j1 n
i 1
j 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 ... (si ) 0
i 1
i 1
i 1
式中，s i 为闭环特征根。
31
二、根轨迹绘制的基本法则（14）
当n m 2 时，特征方程第二项系数与K * 无关，无
论 K * 取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n
自动控制原理实验报告根轨迹分析法
相关根轨迹知识
根轨迹的概念 根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时， 闭环系 统特征根在 s 平面上变化的轨迹。 增设零、极点对根轨迹的影响 (1)增加开环零点对根轨迹的影响 第一，加入开环零点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环零点，相当于增加微分作用，使根轨迹向左 移动或弯曲，从而提高了系统的相对稳定性。系统阻尼增加，过 渡过程时间缩短； 第三，增加的开环零点越接近坐标原点，微分作用越强，系 统的相对稳定性越好。 (2)增加开环极点对根轨迹的影响 第一，加入开环极点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环极点，相当于增加积分作用，使根轨迹向右 移动或弯曲，从而降低了系统的相对稳定性。系统阻 尼减小，过渡过程时间加长；
-4-
五、实验过程
第一题 Gc=1：
Gc=s+5：
Gc=(s+2)(s+3)：
-5-
Gc=1/(s+5)：
第二题 第 一 步 : 在 MATLAB 的 命 令 窗 口 中 键 入 “ num=[1 3];den=[1 2 0];rlocus(num,den)” ，得图如下：
第二步： 第三步：
第三题 第一步：由已知条件 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％得
s ( s 2)
1 。作 s5
确定系统具有最大的超调量时的根轨迹增益，并作时域 仿真验证;(2)确定系统阶跃响应无超调时的根轨迹取值 范围，并作时域仿真验证 3、已知一单位反馈系统的开环传递函数为 ss 0.8试加入一 个串联超前校正控制（其中，|z|<|p|） ，使得闭环系统 的 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％。
-7-
本为图标的切线与 K 的横坐标的交点所得的纵坐标再减去延迟时间。 随后按图慢慢调整数值，一定要有耐心。 第二题中，Step 的属性不能忘改，否则横轴（0，1）处恒为 1。 分母出 S 前的系数必须小于 1（阻尼比小于 1） ，之后改改分子，调整 调整 S 前的系数并保持 S^2 前的系数不变 （因为分子分母都可约分） ， 曲线即可得出。
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
自动控制原理第4章根轨迹法精
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
《自动控制原理》实验报告(线性系统的根轨迹)
实验四 线性系统的根轨迹一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
基础知识及MATLAB 函数根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。
这个参数一般选为开环系统的增益K 。
课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。
而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。
假设系统的对象模型可以表示为nn n n m m m m a s b s a s b s b s b s b K s KG s G ++++++++==--+-11111210)()(ΛΛ 系统的闭环特征方程可以写成： 0)(10=+s KG对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。
如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。
若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。
1）绘制系统的根轨迹rlocus （）MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为：rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。
rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。
rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。
r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。
[r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向量k 。
其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。
K 为根轨迹增益，可设定增益范围。
例3-1：已知系统的开环传递函数924)1()(23++++=*ssssKsG，绘制系统的根轨迹的MATLAB的调用语句如下：num=[1 1]; %定义分子多项式den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式rlocus (num,den)%绘制系统的根轨迹grid%画网格标度线xlabel(‘Real Axis’),ylabel(‘Imaginary Axis’) %给坐标轴加上说明title(‘Root Locus’) %给图形加上标题名则该系统的根轨迹如图3-1所示：若上例要绘制K在（1，10）的根轨迹图，则此时的MATLAB的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-2所示。
根轨迹法(自动控制原理)
i1
l 1
nm
规则4：实轴上的根轨迹
➢ 实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，对其中任一段，如果其右
边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。
❖ 该规则用相角条件可以证明，设实轴上有一试验点s0。 ➢ 任一对共轭开环零点或共轭极点（如p2，p3），与其对应的相角（如θ2，θ3）
第四章 根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制典型根轨迹 4.3 特殊根轨迹图 4.4 用MATLAB绘制根轨迹图 4.5 控制系统的根轨迹分析
内容提要
➢ 根轨迹法是一种图解法，它是根据系统的开环零 极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的 特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进 行定性分析和定量计算。
规则3：渐近线
❖ 当n>m时，根轨迹一定有n－m支趋向无穷远；当n<m时，根轨迹一定有m－n支 来自无穷远。可以证明：
➢ 当n≠m时，根轨迹存在|n－m|支渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：
所有渐近线交于k实轴上(2的k一n点1，)m1其8坐00标,为 k 0,1,2,,| n m | 1
n
m
pi zl
之和均为360°，也就是说任一对共轭开环零、极点不影响实轴上试验点s0的相 角条件。
➢ 对于在试验点s0左边实轴上的任一开环零、极点，与其对应的相角（如θ4，φ3） 均为0。
➢ 而试验点s0右边实轴上任一开环零、极点，与其对应的相角（如θ1，φ1，φ2） 均为180°。
所以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零、极点总数必须是奇数。
❖ 1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法，它不 直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环 特征根。
自动控制第五章根轨迹法
C(s)
G(s) H(s)
+
C ( s) G( s) ( s) R( s) 1 G ( s) H ( s)
﹣
该系统的特征方程为:
或， 上式称为系统的根轨迹方程。
7
二、根轨迹方程
系统的开环传递函数G(s)H(s)写成如下形式：
8
绘制根轨迹的基本条件
s p
根轨迹的幅值条件：
n
sz
j 1
i 1 m
i
K1
j
负反馈根轨迹的相角条件：
(s z ) (s p ) (2q 1)
j 1 j i 1 i
m
n
满足此式的根轨迹，称为1800根轨迹；
正反馈根轨迹的相角条件：
(s z ) (s p ) (2q)
根轨迹方程左边 lim
s
(s z ) (s pi )
i 1 j 1 n j
m
lim n m
s i 1
1
i
1 根轨迹方程右边 lim 0 K1 k1
(s p )
0
我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点 的个数等于极点数。 那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？
幅值条件确定K1
i 1 m j 1
n
s pi
j
p3
K1 12.15
11
z1
p2
p1 0
sz
第二节 绘制根轨迹的基本规则
法则1：根轨迹的分支数和对称性：根轨迹的分支数等于闭环特 征根的个数，也等于系统的阶数。闭环系统的特征根只有实根和 共轭复根两类，因此根轨迹对称于实轴。
自动控制原理根轨迹
等效为：
D( s ) = ∏ ( s + p j ) = 0
j =1
n
得：s = − p j
说明当 Kg = 0时，根轨迹始于各开环极点。
22
根轨迹终点条件: Kg = ∞ 当 Kg =∞时，闭环系统的特征方程
等效为:
N ( s) = ∏ ( s + z i ) = 0
i =1
m
得：s = − zi
24
3. 实轴上的根轨迹
判断准则: 实轴上若有根轨迹分布的线段，则该线段右侧的 开环有限零极点个数之和必为奇数。否则不存在根轨迹。 可用相角条件证明此规则，基于以下事实：
■ 复平面上的所有零、极点是共轭的，它们到实轴上根轨迹
（任意试验点）的矢量辐角之和总为零。
■ 根轨迹（任意试验点）左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量
θ p = 180 − [∑ ∠( pk − p j ) − ∑ ∠( pk − zi )]
k
n
m
j =1 j≠k
i =1
= 180 − [∑ β j −∑ α i ]
j =1 i =1
36
n −1
m
终止角计算公式（第K个零点的入射角）:
θ z = 180 + [∑ ∠( z k − p j ) − ∑ ∠( z k − zi )]
整理为:
（µ为自然数）
( N z + N z − N z )π − N pπ = 2 N zπ − ( N z + N p )π = ±π (1 + 2 µ )
所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足:
N z + N p = 1 + 2µ
即实轴上根轨迹右侧的开环有限零、极点的个数之和为奇数.
根轨迹法校正课程设计
根轨迹法校正 课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解根轨迹法的概念，掌握根轨迹的基本绘制方法。
2. 学生能够运用根轨迹法分析控制系统的稳定性，并识别系统的性能指标。
3. 学生能够掌握通过根轨迹法进行控制系统校正的基本原理和步骤。
技能目标：1. 学生能够独立绘制根轨迹图，并分析控制系统的稳定性。
2. 学生能够运用根轨迹法设计简单的控制系统校正方案，提高系统性能。
3. 学生能够通过实际案例，运用所学知识解决控制系统中的实际问题。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对自动控制系统的兴趣，激发他们的探究欲望。
2. 培养学生严谨的科学态度，使他们认识到理论知识在实际工程中的重要性。
3. 培养学生的团队协作意识，使他们能够在小组合作中发挥自己的专长，共同解决问题。
课程性质：本课程为自动控制系统相关内容的深化学习，旨在帮助学生掌握根轨迹法校正的基本原理和方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。
学生特点：学生已具备一定的自动控制理论知识，具有一定的数学基础和动手能力。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，通过案例分析和实际操作，使学生能够将所学知识应用于控制系统设计和分析中。
同时，注重培养学生的团队合作能力和创新意识。
在教学过程中，关注学生的学习进度，及时调整教学方法和节奏，确保课程目标的实现。
二、教学内容1. 根轨迹基本概念：根轨迹的定义、意义及其在控制系统中的应用。
- 教材章节：第三章第二节- 内容：根轨迹图的绘制方法、关键点和关键轨迹的特点。
2. 控制系统稳定性分析：利用根轨迹分析系统稳定性，判断系统性能。
- 教材章节：第三章第三节- 内容：稳定性的判定条件、稳定性分析步骤。
3. 根轨迹校正原理：介绍根轨迹法校正控制系统的基础知识。
- 教材章节：第三章第四节- 内容：校正的基本原理、常用校正方法及效果分析。
4. 校正方案设计：结合实际案例，设计控制系统校正方案。
- 教材章节：第三章第五节- 内容：校正方案的设计步骤、参数计算方法、系统性能优化。
自动控制原理根轨迹
自动控制原理根轨迹自动控制系统的根轨迹是描述系统稳定性和性能的重要工具之一。
根轨迹是以闭环传递函数的极点和零点的运动轨迹形状为基础绘制而成的。
在绘制根轨迹时，假设系统的闭环传递函数为G(s)，其极点和零点分别为p1, p2, ..., pn和z1, z2, ..., zm。
根轨迹将从零点或者无穷远点开始，经过一系列的线段和曲线，最终到达极点或无穷远点。
根轨迹的演变与系统的开环传递函数有关，而开环传递函数可以表示为G(s) = K(s + z1)(s + z2)...(s + zm)/(s + p1)(s + p2)...(s + pn)，其中K是系统的增益。
根轨迹的绘制规则如下：1. 根轨迹总是从系统的零点（实部为负的零点或倾角为奇数倍的复的零点）或者无穷远点开始。
2. 根轨迹图的总数等于系统的开环极点数和零点数之差。
3. 根轨迹的虚轴交点总数等于零点数和极点数之差的绝对值。
4. 根轨迹总是对称于实轴。
5. 根轨迹总是在实轴的左半平面。
通过绘制根轨迹，可以分析系统的稳定性和性能。
当根轨迹与虚轴相交时，系统就有可能发生震荡或振荡。
当根轨迹与实轴相交时，可以得到系统的过渡过程、稳态误差以及系统的稳定性等信息。
绘制根轨迹可以通过手绘或者使用计算机辅助工具进行。
一般来说，使用计算机辅助工具可以更加方便和准确地绘制根轨迹，并且可以对参数和增益进行调整来观察系统的性能变化。
常用的计算机辅助工具有MATLAB、Simulink等。
总之，根轨迹是描述自动控制系统稳定性和性能的重要工具，可以通过绘制闭环传递函数的极点和零点的运动轨迹来得到。
绘制根轨迹可以用于分析系统的震荡性质、过渡过程、稳定性和稳态误差等，并可以通过调整参数和增益来改善系统的性能。
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
自动控制原理第四章根轨迹法
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
自动控制 根轨迹
【如何绘制根轨迹】首先写出开环根轨迹传递函数标准型：1.在复平面上标注开环极点和零点：n=？m=？2.确定实轴上根轨迹：右侧-奇数3.定分离点或汇合点d ：实轴上根轨迹如果在两极点间有分离点；如果在两零点间有汇合点。
要取舍））（对多个无零点时等号右边d 0(11=-=-∑∑jiZd P d4.定渐近线：πϕσm-n 12k m -n Z -P a jia +±==∑∑与水平线夹角：与实轴交点：根不存在。
极点-出射角：11(21)()()k mnp kj kij i j kk pz pp θπ==≠=++∠--∠-∑∑ 零点-入射角：11(21)()()k n mz ki kj i j j kk zp zz θπ==≠=++∠--∠-∑∑6.与虚轴交点处的ω及K*令闭环特征方程中的s j ω=，令其实部为零、虚部为零；联立解方程求出*K 值和ω值 7.以极点为起点、零点为终点绘制8.绘制后检验：是否有n 条；是否关于实轴对称例题【2010.10】36)1)(1()2(15.0)15.0()()(2j s j s s K s s s K s H s G -++++=+++=1.在复平面上标注开环极点和零点：n=2、m=1 P 1= -1+j 、P 2= -1-j 、Z 1= -22.确定实轴上根轨迹：3.定汇合点d ：实轴上根轨迹在两零点间有汇合点。
舍弃）、解得：即(586.0-414.3-1)1()1(22111-1111212==+++=+=++++-=-∑∑d d d d d jd jd Zd Pd ji4.定渐近线：︒=+±===∑∑-180m-n 12k 0m -n Z-P a jia πϕσ与水平线夹角：与实轴交点：5.定出射角：有共轭复根时需计算极点-出射角：11(21)()()k mnp kj ki j i j kk pz pp θπ==≠=++∠--∠-∑∑︒=︒=︒-︒+︒=-∠--∠+︒=-1171179045180180p221111θθ，所以因为关于实轴的对称性p p z p p6.以极点为起点、零点为终点绘制7.绘制后检验：是否有n 条；是否关于实轴对称【2011.1】36)21)(21()2()32()2()()(2j s j s s s K s s s s K s H s G -++++=+++=1.在复平面上标注开环极点和零点：n=3、m=1 P 1= -1+j √2、P 2= -1-j √2、P 3=0、Z 1= -2 2.确定实轴上根轨迹： 3.定渐近线：︒±=+±===∑∑90m-n 12k 0m -n Z-P a jia πϕσ与水平线夹角：与实轴交点：4.定出射角：有共轭复根时需计算极点-出射角：11(21)()()k m np k j ki j i j kk p z pp θπ==≠=++∠--∠-∑∑︒=︒=-︒-︒-+︒=-∠--∠--∠+︒=-20202180(902180180p23121111θθ，所以因为关于实轴的对称性arctg arctg p p p p z p p 5.以极点为起点、零点为终点绘制6.绘制后检验：是否有n 条；是否关于实轴对称【2012.1】36.)2)(1()()(++=s s s K s H s G1.在复平面上标注开环极点和零点：n=3、m=0 P 1= -1、P 2= -2、P 3=0 2.确定实轴上根轨迹：3.定分离点d ：实轴上根轨迹在两极点间有分离点舍弃）、解得：即-1.577(-0.420121111121===++++-=-∑∑d d dd d ZdP dji+1+14.定渐近线：︒±︒=+±===∑∑60/-180m-n 12k -1m -n Z-P a jia πϕσ与水平线夹角：与实轴交点：5.与虚轴交点处的ω及K*令闭环特征方程中的s j ω=，令其实部为零、虚部为零；联立解方程求出*K 值和ω值6/223K 0-2j 3-K 220)2)(1(323223=⇒±=⇒===+=+++==+++K s rad j s K s s s K s s s ωωωωωωωω、）（）即（令6.以极点为起点、零点为终点绘制7.绘制后检验：是否有n 条；是否关于实轴对称+1。
自动控制系统的根轨迹
m
) ( s pi ) (2k 1)
k 0,1,2
根轨迹绘制的基本法则
法则一 根轨迹的起点是开环传递函数的极点，根轨迹 的终点是开环传递函数的零点
法则二 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点 数n中的大者相等，它们是连续的并且对称于实 轴
法则三 实轴上的根轨迹右侧的极点和零点数之和为奇 数
[ K , poles] rlocfind(sys, P) 会提取给定极点位置的“ P ” 矢量，然后，对于每一个这些位置计算其根轨迹增益，也 即其中一个闭环极点与给定位置很接近的增益
举例
设有一负反馈系统，其开环传递函数为：
K (s z) G( s) H ( s) 2 s (0.1s 1)
法则八
当 n m 2 时，无论 K 取何值，开环 总是等于闭环特征方程 n个根之和
n个极点之和
s p
i 1 i i 1
n
n
i
使用MATLAB绘制根轨迹
1、求系统根轨迹的函数 rlocus()
rlocus(sys) 函数主要用于绘制单输入单输出系统的根轨迹 图；而 rlocus(sys1, sys2,) 函数则可用来同时在一个图上
法则四 趋向无穷远的根轨迹的渐进线与实轴的夹角为：
(2k 1) a ， k 0， 1， 2， n - m -1 nm
根轨迹的渐进线与实轴的交点坐标为：
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
法则五 实轴上根轨迹的分离点与分离角。两条或两条以上根轨迹 分支点在S平面上相遇又立即分开的点，称为分离点，分 离点的坐标d是下列方程的解：
根轨迹与系统性能之间的关系
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西安石油大学
课程设计
电子工程学院自动化专业 1203班题目根轨迹法校正的设计
学生郭新兴
指导老师陈延军
二○一四年十二月
目录
1. 任务书．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 2．设计思想及内容．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 3．编制的程序．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 3.1运用MATLAB编程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2
3.2由期望极点位置确定校正器传递函数．．．．．．．．．．．4
3.3 校正后的系统传递函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 4．结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 5．设计总结．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 6．参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8
《自动控制理论》课程设计任务书
2.设计内容及思想 ：
1) 内容：已知单位负反馈系统被控对象传递函数为：
)
25(2500
)(0
0+=s s K s G ，试用根轨迹几何设计法对系统进行滞后串联校正
设计，使之满足：
（1）阶跃响应的超调量：σ%≤15%； （2）阶跃响应的调节时间：t s ≤0.3s ； （3）单位斜坡响应稳态误差：e ss ≤0.01。
2）思想： 首先绘出未校正系统得bode 图与频域性能，然后利用MATLAB 的SISOTOOL 软件包得到系统的根轨迹图，对系统进行校正，分析系统未校正前的参数，再按题目要求对系统进行校正，计算出相关参数。
最后观察曲线跟题目相关要求对比看是否满足要求，并判断系统校正前后的差异。
3 编制的程序： 3.1运用MATLAB 编程：
根据自动控制理论，对
I
型系统的公式可以求出静态误差系数
K 0=1。
再根据要求编写未校正以前的程序 %MATLAB PROGRAM L1.m
K=1; %由稳态误差求得； n1=2500;d1=conv([1 0],[1 25]); %分母用conv 表示卷积；
s1=tf(K*n1,d1); %生成系统开环传递函数；sisotool(s1); %得到开环根轨迹图和Bode图figure(2);sys=feedback(s1,1);step(sys) %系统阶跃响应图
程序运行后，可得到如图1-1所示由sisotool设计画面得到的未校正的系统的开环根轨迹图和Bode图和如图2未校正的系统的单位阶跃响应曲线。
图1由sisotool得到的未校正的系统的开环根轨迹图和Bode图
图2未校正系统的阶跃响应曲线
阶跃响应的超调量：σ%=44%；
阶跃响应的调节时间：t s=0.32s；
由以上图像知道不满足题目要求。
3.2由期望极点位置确定校正器传递函数。
求校正需确定闭环主导极点S1的位置。
回执未校正系统的根轨迹，轨迹无零点，有两个极点:P1=0,P2=-25. n1=2500;
d1=conv([1 0],[1 25]);
s1=tf(n1,d1);
rlocus(s1)
用以下程序可以求出校正装置的传递函数： clear
essv=0.01;x=-12.5;z1=0;p1=0;p2=25; zeta=0.54;acos(zeta);ta=tan(acos(zeta)); y1=x*ta;y=abs(y1);s1=x+y*i; Kr=abs(s1+p1)*abs(s1+p2); K=Kr/(p1+p2);K0=1/essv;
beta=K0/K;T=1/((1/20)*abs （x ））； betat=beta*T;
gc=tf((1/beta)*[1 1/T][1 1/betat]) 再次通过sisotool 设计工具
实现对原系统的校正。
使
得本设计的校正装置的开环传递函数为10049.01
02.0)(++=
s s s G c ，满足指标
要求。
3.3校正后的系统传递函数
对校正后系统的稳定的并且包括校正装置的系统传递函数为
1
0049.01
02.0)25(2500)()(0
+++=
s s s s s s c
G G
根据校正后的结构与参数，编写绘制Bode 图的程序L3.m % MATLAB PROGAM L3.m clear
k=1;
n1=2500;d1=conv([1 0],[1 25]);
s1=tf(k*n1,d1); %生成系统开环传递函数；
n2=[0.02 1];d2=[0.0049 1];
s2=tf(n2,d2);
sop=s1*s2;
sisotool(sop); %利用sisotool得到开环根轨迹图和Bode图figure(2);sys=feedback(sop,1);step(sys)
程序运行后，可得到如图3所示由sisotool设计得到的校正的系统的开环根轨迹图和Bode图和如图4校正后的系统的单位阶跃响应曲线。
图3由sisotool得到的校正后的系统的开环根轨迹图和Bode图
图4 校正后的系统的单位阶跃响应曲线
4.结论：
通过用MATLAB对该题进行滞后串联校正的解析,求得校正前各项参数：
阶跃响应的超调量：σ%=44%；
阶跃响应的调节时间：t s=0.32s；
单位斜坡响应稳态误差：e ss≤0.01；
校正后各项参数：
阶跃响应的超调量：σ%=13%≤15%；
阶跃响应的调节时间：t s=0.09≤0.3s；
单位斜坡响应稳态误差：e ss≤0.01。
校正前系统不稳定，各参数不符合要求，校正后各参数系统稳定，并且各参数符合题目要求。
校正后系统稳定性提高。
5.设计总结：
本次课程设计的整个过程中有遇到了些许困难。
首先是对课程内容了解不深入，尤其是滞后串联校正。
拿到设计题目后分析不到位，反复几次才找到正确的方法。
另外在对MATLAB运用中遇到许多问题，对该软件并不熟悉程度不够，只能通过摸索学会简单的应用。
同时收获颇多，深刻体会到用MATLAB这个强大的数学工具来解决一些算法和仿真的问题的方便，并精确地反映系统的阶跃响应，还能通过图形和数据一起分析。
与此同时也通过此次设计学习更深入了解了校正的过程，而不在像以前局限于理论计算。
6.参考文献：
[1]《自动控制理论》课程设计指导书薛朝妹霍爱清西安石油大学。
[2]《自动控制理论》教材汤楠霍爱清石油工业出版社。
[3]《MATLAB从入门到精通》周建兴岂兴明等编著人民邮电出版社。
[4]《控制系统MATLAB计算与仿真》黄忠霖黄京编著国防工业出版社。