正比例函数定义y
正比例函数知识点整理
正比例函数知识点整理一、正比例函数的定义。
1. 定义形式。
- 一般地，形如y = kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
例如y = 2x，y=(1)/(3)x都是正比例函数，这里k = 2和k=(1)/(3)分别是它们的比例系数。
2. 对定义的理解。
- 函数表达式必须是y = kx这种形式，x的次数为1，且不能有其他项。
比如y = 2x+1就不是正比例函数，因为它多了常数项1；y=x^2也不是，因为x的次数是2。
- k不能为0，如果k = 0，那么函数y = 0× x=0，它是一个常数函数，而不是正比例函数。
二、正比例函数的图象与性质。
1. 图象。
- 正比例函数y = kx（k≠0）的图象是一条经过原点(0,0)的直线。
- 当k>0时，例如y = 2x，图象经过一、三象限，从左向右上升；当k < 0时，比如y=-2x，图象经过二、四象限，从左向右下降。
2. 性质。
- 增减性。
- 当k>0时，y随x的增大而增大。
例如在y = 3x中，如果x_1 = 1，y_1 = 3×1 = 3；当x_2=2时，y_2 = 3×2 = 6，因为2>1且6 > 3，所以y随x增大而增大。
- 当k < 0时，y随x的增大而减小。
例如在y=-2x中，若x_1 = 1，y_1=-2×1=-2；当x_2 = 2时，y_2=-2×2=-4，因为2 > 1且-4<-2，所以y随x增大而减小。
- 倾斜程度。
- | k|越大，直线越靠近y轴，即直线越陡。
例如y = 5x比y = 2x的图象更陡，因为|5|>|2|；y=-5x比y=-2x的图象更陡，同样是因为| - 5|>|-2|。
三、正比例函数解析式的确定。
1. 方法。
- 因为正比例函数y = kx（k≠0），只需要知道一个点的坐标（除原点外）就可以确定k的值，从而确定函数解析式。
§11.2.1 正比例函数(2)
3、将长为30cm,宽为10cm的长方形白纸,按 下图的方法黏合起来,黏合部分宽为3cm, (1)求5张白纸黏合后的长度. (2)设x张白纸黏合后的总长度为ycm,写出y 与x之间的函数关系.
11、 如图(1)，直线a、b、c的解析式分别为y1=k1x， y2=k2x，y3=k3x，则k1、k2、k3的大小关系是（ A ） (A)k1＜k2＜k3 (B)k1＞k2＞k3 (C)k2＞k1＞k3 (D)k3＞k1＞k2 c y B y b k3 c b a
k2 k1 1
a
x
0 k1 k2 k3
4050
Y（元）
居室 客厅
2750
O
20 25
X（m2）
（3）已知在小亮的预算中，铺设1平米的瓷砖比铺设 1平米的木地板的工钱多5元，购买1平米的瓷砖是购 买1平米的木地板费用的3/4，则铺设每平米木质地板、 瓷砖的工钱各是多少元？购买每平方米木质地板、瓷 砖的工钱各是多少元？（预算中铺设居室的费用 为 135元/平方米，铺设客厅的费用为110元/平方米）
y=-4x y=kx
若经过原点与(1,k) 的直线是哪个函数的图象?
8、已知 y-1与x+1成正比例，当x= -2时， y= -1；则当x=-1时，y= ?
解: 设 y-1= k(x+1),
把 x= -2,y = -1代入得: -1-1= k(-2+1) 解得 k=2 ∴ 当 x= -1 时, y =2(-1) +3 =1
1、正比例函数y = kx 的图象经过第 二、四象限，则( B ) A. y随x的增大而增大。 B. y随x的增大而减小。 C. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小。 D. 不论x如何变化，y不变。
正比例函数基本概念
正比例函数是一种基本的一次函数，其定义和基本概念如下：
1. 定义：
正比例函数是形如y = kx 的数学函数，其中k 是一个非零常数（即k ≠ 0），x 是自变量，y 是因变量。
当自变量x 变化时，因变量y 会按照与x 成固定比例的方式变化。
2. 特性：
- 函数图像：正比例函数的图像是经过原点（0,0）的一条直线，斜率为k。
- 方向与斜率：当k > 0 时，图像从左下方向右上方倾斜，表示随着x 增大，y 也相应增大；当k < 0 时，图像从左上方向右下方倾斜，表示随着x 增大，y 反而减小。
- 比例系数：k 称为比例系数或斜率，它反映了y 随着x 改变的增长速度或者减少速度。
3. 一次函数与正比例函数的关系：
所有一次函数都可以写成y = mx + b 的形式，其中m 是斜率，b 是截距。
如果b = 0，那么该一次函
数就简化为正比例函数的形式，即只含有斜率项没有截距项。
4. 性质：
- 在同一坐标系中，不同的正比例函数，它们的形状都是直线，但斜率不同，因此图像的位置和倾斜程度各不相同。
- 正比例函数具有线性增长或减少的特点，不涉及任何转折点或拐点。
- 当x 的值发生变化时，y 的变化与其成正比，具体比例关系由k 确定。
综上所述，正比例函数是最简单的一类函数之一，它直观地表达了两个变量之间按一定比例相互关联的关系。
七年级正比例函数知识点
七年级正比例函数知识点正比例函数是数学中的重要概念之一，其涉及到很多知识点。
本文将就七年级正比例函数的相关知识进行详细的阐述。
一、正比例函数的定义正比例函数是一种特殊的函数，它的函数图像是一条经过原点的直线，且直线斜率为常数k。
如果一个函数y=kx，其中k为常数，则称该函数为正比例函数。
二、正比例函数的图象正比例函数的图像是一条直线，它经过原点，斜率为k。
如果k>0，则函数图象为上升的直线，如果k<0，则函数图象为下降的直线。
三、正比例函数的性质正比例函数具有以下性质：1.函数图像经过原点。
2.函数图像是一条直线。
3.斜率是常数，即k不随着自变量的变化而变化。
4.函数值随着自变量的变化而变化。
5.函数值与自变量成比例关系。
四、正比例函数的应用正比例函数在现实生活中有很广泛的应用，如：1.比较两个物品价格之间的比例。
2.计算两个物品的长、宽、高的比例。
3.计算两个物品的速度、时间和距离之间的比例。
五、正比例函数的例题1.已知正比例函数y=5x，求当x=2时，y的值。
解：当x=2时，y=5×2=10。
2.已知正比例函数y=kx，当x=5，y=25。
求k的值。
解：因为y=kx，所以k=y/x=25/5=5。
3. 已知正比例函数y=kx，当x=4，y=20；当x=6时，y的值是多少？解：因为y=kx，所以k=y/x=20/4=5。
当x=6时，y=kx=5×6=30。
以上就是七年级正比例函数的相关知识点的详细阐述，希望对大家有所帮助。
正比例函数
正比例函数正比例函数是一类具有特定形式的数学函数，它是数学中重要的概念之一。
正比例函数在各个学科领域都有广泛的应用，无论是自然科学、社会科学还是工程技术等领域，都可以找到正比例函数的身影。
正比例函数的基本形式可以表示为 y = kx，其中 k 是常数，表示比例系数。
可以看出，正比例函数中，自变量 x 和因变量 y 成正比关系，其比例系数 k 则表示了两个变量之间的比例关系。
当 x 变化一倍时，y 也会相应变化一倍，所以正比例函数也被称为直线函数。
正比例函数的图像在数学坐标系中是直线，其斜率就是比例系数 k。
当比例系数为正数时，图像呈斜正直线，斜率表示了函数的走向与增长速度；当比例系数为负数时，图像呈斜负直线，斜率表示了函数的走向与减小速度。
正比例函数可以用来描述各种实际问题中的变化规律。
比如，在物理学中，牛顿的第二定律 F = ma 中，力 F 和加速度 a 的关系可以用正比例函数来表达。
力的大小正比于物体的加速度，比例系数即为物体的质量。
在经济学中，成本和生产量之间的关系也可以用正比例函数来表示。
成本与生产量正好成正比，比例系数则表示单位生产量的成本。
在生物学中，体积和质量之间的关系也可以用正比例函数来描述。
当生物体的体积增加时，质量也会相应增加，比例系数就是体密度。
在工程中，速度和时间的关系也可以用正比例函数来表达。
车辆行驶的速度和行驶的时间成正比，比例系数就是车辆的平均速度。
通过使用正比例函数，我们可以更加深入地理解各种问题中的变化规律，并可以预测未知情况下的数值。
通过观察其图像特征和计算比例系数，可以直观地了解变量之间的关系。
在实际应用中，我们可以通过观察和分析数据，找到合适的比例系数，并运用正比例函数来解决问题。
除了基本形式 y = kx，正比例函数还可以有其他形式。
比如当自变量和因变量都经过了平移或伸缩时，正比例函数可以写成 y = k(x - a) 或者 y = k(x - a)+b 的形式。
正比例函数的坐标公式
正比例函数（也称为一次函数）是数学中的常见函数类型之一。
它在代数、几何以及实际问题的建模中都起着重要的作用。
本文将介绍正比例函数的坐标公式及其应用。
一、正比例函数的定义正比例函数可以表示为y = kx的形式，其中k是常数，表示比例系数。
在这个函数中，y的值和x的值成正比。
二、坐标公式的推导假设有一组坐标点(x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)……，这些点满足正比例函数的关系，即y₁= kx₁, y₂ = kx₂, y₃ = kx₃……。
我们可以根据这些点来推导正比例函数的坐标公式。
首先，考虑点(x₁, y₁)。
根据正比例函数的定义，我们有y₁ = kx₁。
可以简单地得到k = y₁ / x₁。
接下来，我们使用这个k值来验证其他的点。
例如，对于点(x₂, y₂)，根据正比例函数的定义，我们有y₂ = kx₂。
代入之前得到的k = y₁ / x₁，可以得到y₂ = (y₁ /x₁) * x₂。
同样的，对于点(x₃, y₃)，我们有y₃ = kx₃。
代入得到的k值，可以得到y₃ = (y₁ / x₁) * x₃。
依此类推，我们可以推导出一般形式的坐标公式：y = (y₁ / x₁) * x，其中y₁和x₁为已知点的横坐标和纵坐标。
三、正比例函数的应用正比例函数在许多领域中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1.比例尺：在地图上，比例尺可以用正比例函数来表示。
比例尺通常指示实际距离和地图上的距离之间的比例关系。
2.购物折扣：在商场中，某些商品价格通常根据数量有折扣。
例如，当你购买多件商品时，商家可能会给予一定的折扣。
这也可以用正比例函数来建模。
3.工时与产量：在工业生产中，工时和产量之间通常存在正比关系。
工人工作的时间越长，生产的产品数量就越多。
4.驱动距离与燃料消耗：在汽车行驶中，驱动距离和燃料消耗也通常呈正比例关系。
行驶的距离越长，消耗的燃料就越多。
这些只是正比例函数在实际问题中的一些应用示例，实际上正比例函数在许多方面都有广泛的应用。
第02讲 正比例函数(知识解读+题型精讲+随堂检测)(原卷版)
第02讲正比例函数1. 理解正比例函数的定义2. 学会观察正比例函数图像并分析，判断函数值随自变量的变化而变化3. 掌握正比例函数性质知识点1：正比例函数的定义一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.知识点2：正比例函数图像和性质正比例函数图象与性质用表格概括下：知识点三3：待定系数法求正比例函数解析式1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式．2.确定正比例函数表达式的一般步骤：(1)设——设出函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——把已知条件代入y＝kx中；(3)求——解方程求未知数k；(4)写——写出正比例函数的表达式【题型1：正比例函数的定义】【典例1】（2023春•永定区期末）下列函数中，是正比例函数的是（）A．B．C．y＝x2D．y＝2x﹣1【变式1-1】（2023春•赣州期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（）A．y＝3x2B．C．D．y2＝3x【变式1-2】（2023春•洪江市期末）下列函数中，是正比例函数的是（）A．y＝2x﹣1B．C．D．y＝2x2+1【变式1-3】（2023春•朝阳区校级期中）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（）A．正方形的面积S随边长x的变化而变化B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化D．水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：min）的变化而变化【典例2】（2023春•兴隆县期末）已知y＝（m+1）x|m|，若y是x的正比例函数，则m的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．0【变式2-1】（2023春•南皮县月考）若函数y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数，则（）A．k≠﹣1，b＝﹣2B．k≠1，b＝﹣2C．k＝1，b＝﹣2D．k≠﹣1，b＝2【变式2-2】（2023春•永春县期末）若y＝x+b是正比例函数，则b的值是（）A．0B．﹣1C．1D．任意实数【变式2-3】（2023春•孝感期末）若函数y＝﹣2x m﹣2+n+1是正比例函数，则m+n（）A．3B．2C．1D．﹣1【题型2：判断正比例函数图像所在象限】【典例3】（2023春•朔州期末）正比例函数的图象经过（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【变式3-1】（2023春•凤庆县期末）正比例函数y＝﹣3x的图象经过（）象限．A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、四象限D．第二、三象限【变式3-2】（2023春•南岗区期末）在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣4x 的图象经过（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限【题型3：正比例函数的性质】【典例4】（2023春•乐陵市期末）关于函数y＝2x，下列说法错误的是（）A．它是正比例函数B．图象经过（1，2）C．图象经过一、三象限D．当x＞0，y＜0【变式4-1】（2022秋•东胜区期末）关于函数y＝﹣3x，下列说法正确的是（）A．该函数的图象经过点（﹣3，1）B．是一次函数，但不是正比例函数C．该函数的图象经过第一、三象限D．随着x的增大，y反而减小【变式4-2】（2023•金山区二模）已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y 随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（）A．（0.5，1）B．（2，1）C．（﹣2，4）D．（﹣2，﹣2）【变式4-3】（2022•临渭区二模）已知正比例函数y＝kx（k≠0），当自变量的值减小1时，函数y的值增大3，则k的值为（）A．B．C．3D．﹣3【题型4：判断正比例函数的比例系数大小】【典例5】（2022春•南城县校级月考）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx．将a，b，c按从小到大排列并用“＜”连接，正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b【变式5-1】（2022秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【变式5-2】（2023秋•太仓市期末）如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【题型5：待定系数法求正比例函数解析式】【典例6】（2023春•鼓楼区校级期末）已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝4．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点（a，3）在这个函数图象上，求a的值．【变式6-1】（2023春•荆门期末）已知y与x成正比例，且x＝﹣2时y＝4，（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a．【变式6-2】（2022秋•城关区期末）已知点（，1）在函数y＝（3m﹣1）x的图象上，（1）求m的值，（2）求这个函数的解析式．【变式6-3】（2022秋•江宁区校级月考）已知y＝y2﹣y1，其中y1与x成正比例，y2与x+2成正比例，当x＝﹣1时，y＝2，当x＝2时，y＝10．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x取何值时，y的值为30？【题型6：正比例函数的图像性质综合】【典例7】（2022春•老城区校级期中）已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为5，且△AOH的面积为10．（1）求正比例函数的解析式．（2）在坐标轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为8？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式7】（2022春•德城区校级期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8．（1）求正比例函数的解析式．（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．1．（2019•梧州）下列函数中，正比例函数是（）A．y＝﹣8x B．y＝C．y＝8x2D．y＝8x﹣4 2．（2023•陕西）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a为常数，a＜0）的图象可能是（）A．B．C．D．3．（2020•上海）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而．（填“增大”或“减小”）4．（2019•本溪）函数y＝5x的图象经过的象限是．1．（2023秋•于洪区期中）以下y关于x的函数中，是正比例函数的为（）A．y＝x2B．C．D．2．（2022秋•烟台期末）若y关于x的函数y＝（a﹣2）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（）A．a≠2B．b＝0C．a＝2且b＝0D．a≠2且b＝0 3．（2023春•兴隆县期中）已知点P（m，0）在x轴负半轴上，则函数y＝mx 的图象经过（）A．二、四象限B．一、三象限C．一、二象限D．三、四象限4．（2023•玉环市校级开学）若函数y＝kx的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＜y2，则k的值可以是（）A．﹣2B．0C．1D．2 5．（2022春•利川市期末）已知正比例函数y＝﹣3x，则下列说法正确的是（）A．函数值y随x的增大而增大B．函数值y随x的增大而减小C．函数图象经过一，三，四象限D．函数图象经过二，三，四象限6．（2023•金山区二模）已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（）A．（0.5，1）B．（2，1）C．（﹣2，4）D．（﹣2，﹣2）7．（2023秋•黄浦区期中）下列各图象中，表示函数y＝x的大致图象是（）A．B．C．D．8．（2023春•青龙县期末）函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣2，1），则这个函数的解析式是（）A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y＝x D．y＝﹣x 9．（2023秋•法库县期中）一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），B（a，﹣3），则a＝．10．（2023秋•金山区期中）已知正比例函数y＝（m﹣1）x，且y随着x的增大而减小．（1）求m的取值范围；（2）已知点P（m，6）在该函数图象上，求出这个正比例函数解析式．11．（2023春•青云谱区校级期末）已知y关于x的函数y＝（2m+6）x+m﹣3，且该函数是正比例函数．（1）求m的值；（2）若点（a，y1），（a+1，y2）在该函数的图象上，请直接写出y1，y2的大小关系．12．（上城区一模）定义运算“※”为：a※b＝（1）计算：3※4；（2）画出函数y＝2※x的图象．。
正比例函数条件
正比例函数条件
正比例函数是数学中的一个概念，它指的是形如 y=kx 的函数，其中 k 是常数且k ≠ 0。
以下是对正比例函数条件的详细解释：
1. 两个变量：正比例函数涉及两个变量 x 和 y。
这两个变量是自变量和因变量的关系，当 x 变化时，y 会按照一定的规律变化。
2. 比例系数：正比例函数中有一个比例系数 k，这个系数不能为0。
如果
k=0，那么 y 也将等于0，这就不符合正比例函数的定义。
3. 一次式：正比例函数的表达式必须是 y=kx 的一次式。
这意味着 x 和 y
的次数都必须是1，不能有更高次或更低次的项。
4. 线性关系：在正比例函数中，x 和 y 之间存在线性关系，即它们的比值是恒定的。
这意味着无论 x 的值如何变化，y 的值都会按照固定的比例 k 变化。
5. 单调性：正比例函数的图像是一条通过原点的直线。
当 k>0 时，图像经
过第一、三象限，从左往右上升，y 随 x 的增大而增大，即函数是增函数；当k<0 时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y 随x 的增大而减小，即函数是减函数。
6. 对称性：正比例函数的图像关于原点成中心对称，也就是说，如果 (x, y) 在图像上，那么 (-x, -y) 也一定在图像上。
总的来说，正比例函数是一种特殊的线性函数，其特点是当一个变量变化时，另一个变量会按照固定的比例变化。
这种函数在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
正比例函数的定义
02
正比例函数的应用
物理应用
自由落体运动
在自由落体运动中，物体的速度 与时间成正比，即速度v=gt，其
中g是重力加速度。
弹簧伸长
在弹性限度内，弹簧的伸长量与作 用在其上的力成正比，即x=F/k， 其中F是力，k是弹簧的劲度系数。
电流与电压
在纯电阻电路中，电流与电压成正 比，即I=U/R，其中U是电压，R是 电阻。
数学应用
线性回归分析
函数单调性
在回归分析中，当自变量和因变量之 间存在线性关系时，可以使用正比例 函数进行拟合。
正比例函数在其定义域内是单调递增 或递减的，取决于其系数k的正负。
斜率计算
在平面坐标系中，直线的斜率等于其 上两点间纵坐标差与横坐标差之商， 即m=(y2-y1)/(x2-x1)，当x2=x1时， 斜率不存在。
04
正比例函数与其他函数的区别与 联系
与一次函数的区别与联系
一次函数的一般形式为 $y = ax + b$，其中 $a neq 0$，而正比例函数 是特殊的一次函数，形式为 $y = kx$，其中 $k neq 0$。正比例函数可 以看作是一次函数中 $b = 0$ 的特殊情况。
正比例函数和一次函数的图像都是直线，但正比例函数的图像过原点， 而一次函数的图像不过原点。
类比学习
通过与其他函数进行类比，找出正比例函数的特殊性质和一般规律。
解题技巧
掌握解题技巧，如代数运算、函数代换等，提高解题效率。
学习建议
1 2
注重基础
在学习正比例函数时，应注重基础知识的学习， 不要急于求成。
多做练习
通过大量的练习，加深对正比例函数的理解和掌 握。
3
及时复习
求正比例函数解析式的方法
求正比例函数解析式的方法正比例函数是数学中的一种重要函数形式，它的特点是：当它的输入变化时，它的输出也会成比例地变化，而且，其图形呈现出直线性特征。
正比例函数具有重要地研究和应用价值，甚至可以拓展到其他数学问题中，因此，求正比例函数解析式的方法具有重要意义。
首先，有关正比例函数的定义及概念要清楚。
正比例函数的定义是，它是一种线性函数，其标准形式为： y=ax，其中x是任意实数，a为实数，而y是其相应的函数值。
正比例函数的概念是，它是关于表达式y=ax的变量x的函数，它表示一个让变量在同一比例下发生变化的函数。
正比例函数是变量x和变量y之间的函数关系，可以用斜率表示，即斜率a=y/x，表示变量x变化一个单位，变量y就会变化a个单位。
它的解析式可以这样表示：y=ax，其中x和y都是实数，而a为实数的常数。
正比例函数的性质有很多，其中最重要的一条性质是它的斜率是常数，即斜率a即相同，不会随着x变化而变化。
接下来，就是求正比例函数解析式的方法。
首先，如果给出正比例函数的斜率a和一个实数点(x0，y0)，那么就可以求出该正比例函数的解析式，即：y=ax+b，其中b=y0-ax0。
这里，如果x0=0，则解析式可以简写为：y=ax。
其次，如果给出正比例函数的斜率a和一条直线的方程式，即y=kx+m，那么也可以求出该正比例函数的解析式，此时正比例函数的解析式为： y=ax+b，其中b=m-ka。
最后，如果已知正比例函数的点（x1，y1）和（x2，y2），则可以求出该正比例函数的解析式，即：y=ax+b，其中，a=(y2-y1)/(x2-x1)，b=y1-ax1。
正比例函数是常见的数学函数形式，它在求解数学问题、在常见的生活现象中都有着重要的应用。
本文通过定义、概念和求解解析式的方法，简要地介绍了正比例函数的相关知识，以期能够更加清楚地了解该函数形式，并在实际应用中能够更好地进行掌握使用。
正比例函数的图象与性质
(2)函数 y=4x 经过 一、三 增大 . y随x y x的增大而 的减小而减小
象限，
(3)如果函数 y= - ax 的图像经过 一、三象限,那么y = ax 的图像经 过 二、四象限 . b (4)已知ab 0 , 则函数y x 的图 a 像经过哪些象限?
y
0 1
x
0
k
1
x
作下列正比例函数的图像时你会连接哪两个点？
y=-4x y=¾ x
（0，0）（4，3）
y=3x y=-½ x
（0，0）（2，-1）
（0，0）（1，-4） （0，0）（1，3）
（0，0）（1，¾ ） （0，0）（1，-½ ）
在同一坐标系内画下列正比例函数的图像：
1 y 3x y x y x y 3
二、四象限
3.下列图像哪个可能是函数y=-8x 的图像（ B ）
A
B
C
D
思考
如图,三个正比例函数的图 像分别对应的解析式是 ① y=ax② y=bx ③ y=cx, 则a、b、c的大小关系是( ) C
A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.b>c>a
y ③
② b ① a 1 c x
例1. 如果正比例函数y=(8-2a)x的图像 经过二、四象限，求a的取值范围。 解：∵该函数图像经过二、四象限
正比例函数的图象和性质
1.正比例函数的定义
一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函 数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
2.画函数图象的步骤
列表、描点、连线
正比例函数的概念
正比例函数的概念
正比例函数是一种特殊的函数，它的定义形式为 y = kx，其中 k 是常数，称为比例系数。
在这种函数中，当 x 增加时，y 也会按照同样的
比例增加。
因此，这种函数被称为正比例函数。
正比例函数在数学中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，速度和时
间之间的关系就可以用正比例函数来表示。
如果我们假设一个物体沿
着直线运动，并且它的速度是恒定不变的，则它所运动的距离与时间
之间就存在着一个正比例关系。
另外，在经济学中，收入和消费之间也可以用正比例函数来表示。
假
设一个人每月的收入是固定不变的，则他所能够消费的金额也会随着
收入而按照同样的比例增加。
需要注意的是，在正比例函数中，当 x = 0 时，y 的值也必须等于 0 。
这是因为如果 x = 0 而 y 不等于 0 ，则这个函数就不能被称为正比例
函数了。
此外，在实际应用中，我们还需要注意到一些特殊情况。
例如，在某
些情况下，当 x 增加到一定程度时，y 的增长可能会出现饱和现象。
这时，我们就需要重新考虑这个函数是否还能够被称为正比例函数。
总之，正比例函数是一种非常基础的数学函数，它在各个领域都有着广泛的应用。
通过对正比例函数的研究，我们可以更好地理解和应用它在实际问题中的作用。
正比例函数y1=根号3x与反比例函数
y2=3/x的图像一、概述正比例函数和反比例函数是数学中常见的两种基本函数类型。
它们在数学和现实生活中都有着重要的应用和意义。
本文将对正比例函数和反比例函数的性质、图像以及在现实生活中的应用进行详细的介绍和探讨。
二、正比例函数的定义与性质1. 正比例函数的定义：正比例函数是指函数y1=根号3x，其中x为自变量，y1为因变量，满足y1与x成正比例关系。
即当x增大时，y1也增大，且二者的比例关系为y1/x=根号3。
2. 正比例函数的性质：2.1. 图像特点：正比例函数的图像是一条斜率为正的直线，且经过原点。
随着自变量x的增大，因变量y1也随之增大，直线呈现出从左下至右上的趋势。
2.2. 定义域和值域：正比例函数的定义域是所有正实数（x>0），值域是所有非负实数（y1>=0）。
2.3. 单调性：正比例函数是增函数，即当x1<x2时，有y1(x1)<y1(x2)。
2.4. 运算性质：正比例函数的运算规律与一般函数相同，能够进行加减乘除等基本运算。
三、反比例函数的定义与性质1. 反比例函数的定义：反比例函数是指函数y2=3/x，其中x为自变量，y2为因变量，满足y2与x成反比例关系。
即当x增大时，y2会减小，且二者的乘积为一个常数3。
2. 反比例函数的性质：3.1. 图像特点：反比例函数的图像是一条经过原点并且在一定范围内开口朝上的双曲线。
随着自变量x的增大，因变量y2呈现出递减的趋势。
3.2. 定义域和值域：反比例函数的定义域是所有实数（x≠0），值域是所有非零实数（y2≠0）。
3.3. 单调性：反比例函数的单调性随着x的正负号而变化，当x>0时，y2随之减小，当x<0时，y2随之增大。
3.4. 运算性质：反比例函数的运算规律与一般函数相同，能够进行加减乘除等基本运算。
四、正比例函数与反比例函数的图像对比1. 正比例函数与反比例函数的图像展示：4.1. 正比例函数y1=根号3x的图像为一条斜率为正的直线。
正比例函数概念
一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。
正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|
5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则b²+4k·m≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。
[编辑本段]反比例函数的应用举例
【例1】反比例函数的图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式．
分析：
要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程．
解：∵m, n是关于t的方程t2-3t+k=0的两根
∴m+n=3，mn=k,
又PO=根号13，
正比例函数的定义
正比例函数的定义
正比例函数的定义
正比例函数的定义：形如 y=kx(k≠0)的函数，叫做正 比例函数，其中k叫比例系数。
1、形式上是一个一次单项式，单项式 系数就是比例系数k
2、正比例函数的特征：（1）k≠0；（2） 自变量的指数为“1”
3、一般情况下正比例函数自变量取值范 围为一切实数，但在特殊情况下自变量 取值范围会有所不同
一、设所求的正比例函数解析式。 二、把已知的自变量的值和对应的函数值代入 所设的解析式，得到以比例系数k为未知数的 方程，解这个方程求出比例系数k。 三、把k的值代入所设的解析式。
不是正比例函数
是正比例函数，正比例系数为2
判定一个函数是否是正比例函数，要从化简后来判断！
待 4、已知y与x成正比例，当x=4时，y=8，试求
定 系 数
y与x的函数解析式
解：∵y与x成正比例 又∵当x=4时，y=8
∴y=kx ∴8=4k
法 ∴k=2
∴y与x的函数解析式为：y=2x
待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
正比例函数的定义
3.下列式子，哪些表示y是x的正比例函的）值y ．2x
是正比例函数， 正比例系数为-0.1
是正比例函数， 正比例系数为0.5
（3）y=2x2
（4）y2=4x
不是正比例函数
不是正比例函数
（5）y=-4x+3
（6） y=2(x－x2 )+2x2
正比例函数的定义
正比例函数的定义：形如 y=kx(k≠0)的函数，叫做正 比例函数，其中k叫比例系数。
4、y与x成正比例函数 y=kx(常数k≠0)
5、从函数关系看，关键是比例系数k，比例 系数k一确定，正比例函数就确定了；只需知
初中数学知识归纳正比例函数的概念和性质
初中数学知识归纳正比例函数的概念和性质正比例函数是初中数学中重要的概念之一。
在学习正比例函数的过程中，我们需要了解它的定义、性质以及相关的应用。
本文将对正比例函数的概念和性质进行归纳，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、正比例函数的定义正比例函数是指两个变量之间的关系是成正比的函数。
具体地说，设变量x和y成正比，通常表示为y=kx，其中k是比例系数。
在正比例函数中，两个变量的比值始终保持不变。
二、正比例函数的性质1. 变量之间的比值恒定：正比例函数中，变量y与变量x的比值为常数k。
无论x的取值如何变化，y与x的比值始终保持不变。
2. 图像通过原点：正比例函数的图像必定经过坐标原点(0,0)，这是因为当x为0时，根据函数公式y=kx，可以得到y=0。
这也符合正比例性质，即当x变为0时，y也会变为0。
3. 图像为一条直线：正比例函数的图像是一条直线，且直线的斜率为比例系数k。
这是因为正比例函数可以表示为y=kx，其一阶导数为常数k，因此函数图像为直线。
4. 图像延伸性：正比例函数可以根据比例系数的正负值得到不同的图像。
当k>0时，函数图像从原点向右上方延伸；当k<0时，函数图像从原点向右下方延伸。
5. 当k=1时的特殊情况：当比例系数k=1时，正比例函数变为一次函数y=x。
这是因为正比例函数中的比值恒定为1，即y与x相等。
三、正比例函数的应用正比例函数在实际生活中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的例子：1. 比例尺：在地图中，比例尺用来表示实际距离和地图上的距离之间的关系。
当实际距离和地图上的距离成正比时，我们可以利用比例尺来测量实际距离。
2. 每小时行驶的里程：在汽车行驶中，速度与时间的关系通常是成正比的。
例如，一辆汽车每小时行驶60英里，那么2个小时行驶的里程将是120英里。
3. 电话费用：电话费用通常根据通话时间计算。
如果电话费用与通话时间成正比，我们可以根据通话时间来计算电话费用。
人教版同步教参数学八年级下册-一次函数(一)：正比例函数
一次函数第 1 节正比例函数【知识梳理】1、正比例函数的定义一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
备注：（1）正比例函数y=kx必须满足两个条件：①比例系数k≠0，②自变量x的次数是1（2）在判断一个函数是否是正比例函数时，只要看其是否满足y=kx（k≠0）的形式即可；若求函数的解析式，只要求出比例系数k的值，解析式就可以确定了。
（3）求正比例函数的解析式采用待定系数法，即设所求解析式为y=kx,将图象上的点的坐标代入解析式，求出k即可。
2、正比例函数的图象与性质=（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点与点（1，k）的直线，我们称正比例函数y kx=。
其图象和性质如下表：它为直线y kx3、确定正比例函数的关系式=（k是常数，k≠0），就是确定比例系数k（k≠0）的值，一确定正比例函数的关系式y kx般步骤如下：（1）先根据条件设出函数解析式y kx =；（2）确定一对自变量和函数的对应值（或图象上一个点的坐标）； （3）把对应值代入函数解析式，列出方程，解方程求出k 的值； （4）确定函数解析式。
【诊断自测】1、下列函数中是正比例函数的有（ ） ①y kx =；②13y x =-；③1y x=；④2y x =-；⑤1y x =-+ A.①③ B.② C.①③⑤ D.①②④2、如果正比例函数y kx =的图象经过点（1，-2），那么k 的值等于________。
3、画正比例函数2y x =的图象。
4、如图所示的函数图象中，正比例函数的图象是（ ）。
A ． B. C. D.5、111(,)P x y ，222(,)P x y 是正比例函数y x =-图象上的两点，则下列判断正确的是（ ）。
A. 12y y > B. 12y y < C.当12x x <时，12y y > D.当12x x <时，12y y < 6、正比例函数y kx =的图象经过点A （1,3）， （1）求这个函数的解析式；（2）请判断点B （2,6）是否在这个正比例函数的图象上，并说明理由。
正比例函数知识点总结
正比例函数知识点总结正比例函数知识点总结正比例函数属于一次函数，是一次函数的一种特殊形式。
即一次函数形如：y=kx+b（k为常数，且k≠0）中，当b=0时，则叫做正比例函数。
下面是小编收集整理的正比例函数知识点总结，希望对您有所帮助！—正比例函数公式正比例函数要领：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，那么y就叫做x的正比例函数。
正比例函数的性质定义域：R(实数集)值域：R(实数集)奇偶性：奇函数单调性：当>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x 的增大而增大(单调递增)，为增函数;当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x 的增大而减小(单调递减)，为减函数。
周期性：不是周期函数。
对称性：无轴对称性，但关于原点中心对称。
图像：正比例函数的图像是经过坐标原点(0，0)和定点(1，k)两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。
正比例函数的图像是一条过原点的直线。
正比例函数y=kx(k≠0)，当k的绝对值越大，直线越“陡”;当k的绝对值越小，直线越“平”。
正比例函数求法设该正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，将已知点的坐标代入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。
另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的'函数解析式联立成方程组，求出其x，y 值即可。
正比例函数图像的作法1、在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y的值;2、根据第一步求的x、y的值描出点;3、作出第二步描出的点和原点的直线(因为两点确定一直线)。
温馨提示：正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
19.2.1正比例函数的概念(教案)
1.语言表达要更加简洁明了，避免使用复杂的术语和概念，让学生更容易理解。
2.课堂氛围要活跃，鼓励学生积极参与，提高他们的学习热情。
3.注重培养学生的数据分析能力，让他们在实际问题中学会运用正比例函数。
关于小组讨论，我觉得可以适当增加一些具有挑战性的问题，让学生在讨论中深入探讨正比例函数的内涵和实际应用。同时，我要关注每个小组的讨论进度，适时给予引导，帮助他们解决问题。
在总结回顾环节，我发现部分学生对正比例函数的知识点掌握不够扎实。因此，我需要在课后加强个别辅导，关注这部分学生的学习情况，确保他们能够跟上教学进度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正比例函数的定义和性质这两个重点。对于难点部分，比如比例系数k的理解，我会通过实际案例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正比例函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如测量物体质量和重力之间的关系，演示正比例函数的基本原理。
4.培养学生的逻辑推理核心素养，让学生在学习过程中学会运用严密的数学逻辑进行推理，提高思维品质。
5.培养学生的数据分析核心素养，通过对正比例函数实例的分析，学会收集、整理、分析数据，提高数据解读能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正比例函数的定义：y=kx（k为常数，k≠0），这是本节课的核心内容。教师应重点讲解比例系数k的意义，以及自变量x与因变量y的关系。
(1)如果一辆自行车的速度保持不变，那么它行驶的距离与时间之间的关系可以用正比例函数表示。
(2)当物体的质量与重力的关系遵循正比例函数时，可以通过测量质量来计算重力，反之亦然。
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课堂检测
• 1.下列函数是正比例函数的是（ ）
A.y=2x+1
C.y=2x
2
B.y=8+2(x-4)
D.y=
1 2x
• 2.若y=kx+2k-3是y关于x的正比例函数，则 k=______________. • 3.若y=(k-2)x是y关于x的正比例函数，则k满足的条件是
______________.
（3）每个练习本的厚度为0.5cm， 一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm）随练习本的本数n的 变化而变化．
h=0.5n
（4）冷冻一个0°C的物体，使它每 分钟下降2°C，物体问题T（单位：°C） 随冷冻时间t（单位：min）的变化而变 化．
T=-2t
认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪 些是常数、自变量和函数．
y=kx
• 2.请你尝试给这类特殊函数下个定义： 形如 y=kx(k≠0)的函数，叫做正比例函数， 其中k叫比例系数 • 3.这个函数表达式在形式上是一个单项式还是多 项式？你能指出它的系数是什么？次数为多少？ 形式上是一个一次单项式，单项式系数就是比 例系数k
应用新知：
• 1.下列式子，哪些表示y是x的正比例函数？如果 是，请你指出正比例系数k的值．
与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？
• y=300t（0≤t≤4.4）
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，
是否已经过了距始发站1 100 km的南京站？
• y=300×2.5=750（km）, 这是列车尚未 到
达 距 始 发 站 1 100km的南京站.
思考下列问题： • 1.在 y=300t中， • （1）变量和常量分别是什么？
19.2.1 正比例函数
问题： • 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以 下问题： （1）乘京沪高速列车，从始发站北京南站到
终点站海虹桥站，约需要多少小时（结果
保留小数点后一位）？
• 1318÷300≈4.4（h）
问题：
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）
• 4.已知y关于x成正比例函数，当x=3时,y=-9，则y与x的关 系式为_______. • 5.若y=(k+3)x|k|-2是y关于x的正比例函数，试求k的值，并 指出正比例系数。
• 扩展提高
• 若y关于x-2成正比例函数，当x=３时，y=-4.试求出y与x的 函数关系式.
速战速决：
• 2.列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出 哪些是正比例函数． （1）正方形的边长为xcm，周长为ycm. （2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12 个月）的总收入为y元． （3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为
xcm ，体积为ycm3.
大显身手
1.如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数， k≠1 则k满足________________. 2.如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数， 2 则k=__________. 3.如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数， 4 则k=_________.
函数解析式 常数 2π 7.8 0.5 －2 自变量 r V n t 函数 l m h T
（1）l=2πr
这些函数有什 么共同点？ 这些函数都是 常数与自变量 的乘积的形式！ 自变量的次数 是1
（2）m=7.8V
（3）h=0.5n
（4）T= －2t
• 1.如果我们把这个常数记为k，你能用数学式子表 达吗？
思考
• 在正比例函数y=kx(k为常数，k≠0)中关键是确定哪个量？ • 比例系数k一经确定，正比例函数确定了吗？怎样确定k呢？
• 1.已知正比例函数y=kx，当x=3时，y=-15，求k的值． • k=-5 • 2.若y关于x成正比例函数，当x=4时，y=-2. • （1）求出y与x的关系式. • y=0.5x （2）当x=6时，求出对应的函数值y. y= -3
（1）y=-0.1x （3）y=2x2
x （2）y= 4
（4）y2=4x
（5）y=-4x+3
（6）y=2(x－x2 )+2x2
判定一个函数是否是正比例函数，要从化简后来 判断！
火眼金睛
• 下列说法正确的打“√”，错误的打“×”
（1）若y=kx，则y是x的正比例函数（ × ） （2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（ ×） （3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（ √ ） （4）若y=2(x-1) ，则y是x-1的正比例函数（ √ ） 在特定条件下自变量可能不单独就是x了， 要注意自变量的变化
• （2）其对应关系式是函数关系吗？
• （3）谁是自变量，谁是函数？ 2.自变量与常量按什么运算符号连接起来的？
思考：
• 下列问题中，变量之间的对应关系是 函数关系吗？如果是，请写出函数解 析式： （1）圆的周长l 随半径r的变化而变 化．
l=2 πr
（2）铁的密度为7.8g/c化而变化． m=7.8V