函数的概念与正比例函数
正比例函数及性质
x的正比 的正比
例函数， 例函数，则m= (-1) ）、已知一个正比例函数的比例 （5）、已知一个正比例函数的比例 ）、 系数是-5，则它的解析式为： 系数是 ，则它的解析式为：( y=-5x)
例1:画出下列正比例函数 的图 画出下列正比例函数 象（1）y=2x （2） y=-2x ） ）
画图步骤： 画图步骤： １、列表； 列表； ２、描点； 描点； ３、连线。 连线。
h=0.5n
（4）冷冻一个 ℃物体，使它每分下降 ℃， ）冷冻一个0℃物体，使它每分下降2℃ 物体的温度T（单位： 随冷冻时间t（ 物体的温度 （单位：℃）随冷冻时间 （单 的变化而变化。 位：分）的变化而变化。
T=-2t
（1）l=2πr （2）m=7.8V ） ） （3）h=0.5n （4）T= -2t ） ） （5）y=200x （0≤x≤128） ） ） 这些函数有什么共同点？ 这些函数有什么共同点？
2.函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变 函数图象的定义：一般的，对于一个函数， 函数图象的定义 量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标， 量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么 坐标平面内由这些点组成的图形， 坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图 象． 3.函数的三种表示方法： 函数的三种表示方法： 函数的三种表示方法 ①列表法 ②图象法 ③解析式法
2.图像： 正比例函数 kx (k 是常数， 图像： 正比例函数y= 是常数， 图像 k≠0) 的图象是经过原点的一条直线，我 的图象是经过原点的一条直线， 直线y= 们称它为直线 们称它为直线 kx 。 3.性质：当k>0时,直线 kx经过第三， 性质： 直线y= 经过第三 经过第三， 性质 时 直线 一象限，从左向右上升，即随着x的增大 一象限，从左向右上升，即随着 的增大 y也增大；当k<0时,直线 kx经过二 四 也增大； 时 直线y= 经过二,四 也增大 直线 经过二 象限，从左向右下降， 的增大y 象限，从左向右下降，即随着 x的增大 的增大 反而减小。 反而减小。
初中函数概念与正比例函数
一、常量与变量的概念：常量：在某一变化过程中,始终保持不变的量．变量：在某一变化过程中,可以取不同数值的量．二、自变量、函数的概念设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
1．圆周长公式C=2πR中，下列说法正确的是( )(A)π、R是变量，2为常量(B)C、R为变量，2、π为常量(C)R为变量，2、π、C为常量(D)C为变量，2、π、R为常量2、一辆汽车以40千米/小时的速度行驶，写出行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)的关系式。
关系式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（是自变量，是因变量）；一辆汽车行驶5小时，写出行驶路程s(千米)与行驶速度v(千米/小时)之间的关系式。
关系式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（是自变量，是因变量）3、写出下列函数关系式，并指出关系式中的自变量与因变量：⑴每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，总金额Y（元）与学生数n（个）的函数关系式；关系式为（是自变量，是因变量）⑵计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价a（元）的函数关系式．关系式为（是自变量，是因变量）（3）、用长20m的篱笆围成一个矩形，则矩形的面积S与它一边的长x的关系是什么？关系式为 （ 是自变量， 是因变量） 4、用长20m 的篱笆围成矩形，使矩形一边靠墙，另三边用篱笆围成， ⑴ 写出矩形面积S （m 2）与平行于墙的一边长x （m ）的关系式；关系式为 （ 是自变量， 是因变量）⑵ 写出矩形面积S （m 2）与垂直于墙的一边长x （m ）的关系式．关系式为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（ 是自变量，是因变量）5：指出下列变化关系中，哪些x 是y 的函数，哪些不是，说出你的理由。
物理中的正比例反比例函数关系
物理中的正比例反比例函数关系正比例函数和反比例函数是物理学中非常重要的概念，被广泛应用于各种物理学问题中。
正比例函数指的是两个变量之间存在着线性关系，而反比例函数则指的是两个变量之间存在着倒数的关系。
在物理学中，这些函数关系经常出现在各种实验测试和数据记录中，因此了解和理解这些函数关系是非常重要的。
一、正比例函数的定义正比例函数是指，存在两个变量之间的线性关系，即当一个变量的值增加时，另一个变量也随之增加，且两个变量在图表上形成一条直线。
具体地说，一个变量的值随着另一个变量的值增加而增加，且增加的幅度与另一个变量的值成比例。
当我们测量一个运动物体的速度时，如果我们将时间和速度作为两个变量绘制成图表，我们会发现，当时间增加时，速度也随之增加，并形成一条经过原点的直线。
这种关系就是正比例函数关系，表达式为：v = k*t，其中v表示速度，t表示时间，k是速度和时间的比例系数。
三、正比例函数和反比例函数的应用正比例函数和反比例函数在物理学中有广泛的应用，下面分别介绍一些常见的应用：（1）正比例函数的应用在机械学中，正比例函数关系最广泛地应用于速度和加速度之间的关系。
当一个物体的速度越快，它的加速度也会越大，它受到的阻力也会越大。
而这种关系可以用正比例函数来表示，表达式为：a = k*v，其中a表示加速度，v表示速度，k是加速度和速度的比例系数。
在空气中飞行的飞机所受到的空气阻力就是一个正比例函数关系。
电阻与电流的关系也可以用正比例函数来表示。
当电路中的电流增加时，电阻也会随之增加，这是因为电流的增加会导致电路中的热量增加，而热量又会引起电阻的增加。
这种关系可以用欧姆定律来表示，即R = V/I，其中R表示电阻，V表示电压，I表示电流。
压力和体积之间的关系也可以用反比例函数来表示。
根据波义尔定理，当温度不变时，气体的体积和压力呈反比例关系，即P1V1 = P2V2，其中P1和V1表示气体压力和体积的初始值，P2和V2表示气体压力和体积的末值。
沪教版八年级数学第一学期18.1：函数的概念、正比例函数
第七讲 函数的概念、正比例函数函数的概念 一、知识点 1. 变量与常量在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量. 2. 函数的定义在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量。
3. 函数的定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域. 如果y 是x 的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x a =时的函数值.符号“()y f x =”表示y 是x 的函数，f 表示y 随x 变化而变化的规律. 二、例题讲解例1 物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G mg =，其中，m 表示质量，G 表示重力，9.8g =牛/千克，物体所受的重力G 是不是它的质量m 的函数？解：物体所受的重力G 随它的质量m 的变化而变化，由G mg =可知，这两个变量之间存在确定的依赖关系，所以物体所受的重力G 是它的质量m 的函数.例2 汽车的速度为50千米/时，写出汽车匀速运动时行驶的路程y （千米）关于时间x （时）的函数解析式及定义域.分析： 本题依据公式“路程=时间Ｘ速度”列出数量关系，因为时间为非负数，所以定义域为0x ≥. 解：函数解析式为50y x =，定义域为0x ≥. 例3 求下列函数的定义域：（1）23y x =+; （2）11y x =-； （3）y = 解：（1）对于整式23x +，无论x 取什么实数，它都有意义，所以函数23y x =+的定义域是一切实数；（2）对于分式11x -，当1x =时，它没有意义.所以函数11y x =-的定义域是1x ≠；（3，当12x ≥-时，它有意义，所以函数y = 域是12x ≥-.说明：求函数的定义域应该根据解析式的特征进行思考. 例4 已知()f x =12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 分析：函数与函数值是不同的概念.函数是指两个变量之间的某种关系，而函数值指的是当自变量取某一数值时，函数的一个对应值.求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，就是当12x =-时，求21y x =-+的值，只需要把12x =-代入后计算即可. 解：131322.241212f ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-==- ⎪⎝⎭⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭例5 等腰三角形的周长等于20cm ，请写出这个等腰三角形的底边长()x cm 和腰长()y cm 之间的解析式. 分析 根据周长的定义，得220x y +=，整理得20220,2xy x y -=-=， 即 1102y x =-+.函数解析式就是一个等式，求函数解析式时，有时可以利用一些现成的等式或公式，比如周长公式、面积公式等等.答案：1102y x =-+ 说明：1. 变量2x +是不是变量x 的函数？解： 对于代数式2x +，给定x 的一个值，可以求出这个代数式的一个值.所以2x +与x 有着确定的依赖关系，可以把变量2x +看做y .由函数的概念：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的2. 对于“”中的“f ”怎样理解？答：记号“()f x ”表示“y 是x 的函数”，这个记号比较抽象，“f ”并不是表示一个变量，()f x 也不是表示“f ”与“x ”的积，而是指明在变化过程中的自变量为x ，用f 表示变量y 随着x 的变化而变化的规律；在同时研究几个函数时，应选用不同字母表示不同函数变量间相互依赖的变化规律，如()()g x h x 、等，以免引起混乱.三、 巩固练习1. 说出下列变化过程中，哪些量是常量，哪些量是变量，变量之间是函数关系吗？ （1）正方形的周长C 与它的边长a ；（2）银行一年定期存款的本金x 元与利息y 元； （3）等腰三角形顶角的度数x 与底角的度数y ； （4）长方形的宽一定时，其长与面积； （5）等腰三角形的底边长与面积；（6）关系式y x=中的y 与x .答案：（1）变量是周长C 与边长a ，是函数关系；（2）变量是本金x 元与利息y 元，是函数关系； （3）变量是顶角的度数x 与底角的度数y ，是函数关系；（4）变量是长方形的宽与面积，是函数关系； （5）变量是等腰三角形的底边长与面积，不是函数关系；（6）变量是y 与x ，不是函数关系. 2. 写出下列个函数的定义域；（1）2y x =-； （2）y =答案： 一切实数 答案：1x ≥- （3）234y x x =+-； （4）11y x =-；答案：一切实数 答案：1x ≠（5）1y x x =+； （6）y =答案：0x ≠ 答案：0x ≥≠且x 23. 在ABC 中，它的底边长是a ，底边上的高是h ，则三角形面积12S ah=，当a 为定长时，在此式子中（ A ）.A. S 、h 是变量，a 是常量B. ,,S h a 是变量，12是常量 C. ,a h 是变量，1,2S 是常量 D. S 是变量，1,,2a h是常量4. 下列函数中，自变量的取值范围是113x <<的是（ D ）.A.y =B.y =C.y = D.y = 5. 如果()f x =()3f =___6. 已知()234x f x x +=+，则()0f =___34____,f=____814_____. 7. 若12y x y -=+，则y 用x 的代数式表示为y =___211x x+-___.8. 设某种电报收费标准是每个字0.1元，写出电报费y （元）与字数x （个）之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围.答案：()0.10y x x x =≥且是整数 提高题1. 若函数2221x x y x --=-，则与函数值0y =对应的x 的值是（ D ）. A. 1x =-或2x =B. 1x =或2x =-C. 1x =-且2x =D. 2x = 2. 把一块边长为20厘米的正方形铁皮，四角各截去边长为x 厘米的小正方形后折成一个无盖盒子，则盒子的容积V （立方厘米）关于自变量x （厘米）的函数解析式为__()2202V x x =-__,定义域为_010x <<_. 3. 洗衣机在洗衣的过程中经历了进水、清洗、排水等过程.下图能反映洗衣机工作时的水量y （升）与时间x （分）之间关系的图像大致是（ C ）A.正比例函数 一、知识点1. 正比例函数的概念如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么称两个变量成正比例.用数学符号语言记为yk x =或()0y kx k =≠.解析式形如()0y kx k =≠的函数叫做正比例函数，其中，常数k 叫做比例系数，正比例函数y kx =的定义域是一切实数.2. 正比例函数的图像和基本性质 XXX二、例题 例1 若函数()31m y m x -=-是正比例函数，则m =_________,函数的图像经过_________象限.分析 由正比例函数的解析式可知，31m -=，所以4m =.把4m =代入函数解析式，得3y x =，再由正比例函数的性质，得到它的图像经过第一、三象限. 解：4m =，图像经过第一、三象限. 例2 若y 与21x +成正比例，且函数图像经过点()3,1A -,求y 与x 的函数解析式. 分析 由y 与21x +成正比例，可以设()()210y k x k =+≠.再把点A 的坐标()3,1-代入函数解析式，即可求出k 的值，这种求函数解析式的方法叫做待定系数法.解:y 与21x +成正比例，∴ 设()()210y k x k =+≠.把点A()3,1-代入，得15k =-，()1215y x ∴=-+例3 已知点()11,x y 和()22,x y 在正比例函数()2y k x =-的图像上，当12x x >时，12y y <，那么k 的取值范围是多少？ 分析 由条件当12x x >时，12y y <，联系正比例函数的图像和性质，可知函数值y 随着x 的值增大而减小，即比例系数小于零.解 ：由题意，函数值y 的值随着x 的值增大而减小，0,2k k ∴<<例4 直角三角形的一条直角边是6，写出它的面积y 关于另一条直角边x 的函数关系式并画出这个函数的图像.解：由直角三角形的面积公式，得162x y ⨯=.()30y x x ∴=>说明：由于直角三角形的边长为正数，在画函数图像时要特别注意自变量x 的取值范围，因为定义域为X0x >，此时函数图像为一条射线，并且要除去端点.1. 如何理解正比例函数的性质：当0k >时，y 随着x 的值增大而逐渐增大，当0k <时，y 随着x 的值增大而逐渐减小？答：从解析式来看，当0k >时，若12x x <，由不等式的性质有12kx kx <，即12y y <；当0k <时，若12x x <由不等式的性质有12kx kx >，即12y y >;也可以结合正比例函数的图像去理解：当0k >时，从左往右看，直线上的点的横坐标从小到大逐渐变化，点的位置随着从低到高逐渐变化，说明此时函数值y 相应地从小到大逐渐变化.当0k <时类似.2. 学习函数的性质要掌握的一个重要数学思想是“数形结合”，学会利用函数的图像直观的研究函数的性质.三、 巩固练习 1. 填空：（1）如果正比例函数的图像过点（1，-2），那么它的解析式是_2y x =-__;函数的图像经过第__二、四__象限.（2）正比例函数2y x =-的图像上一点横坐标为2，纵坐标是__-4___, 函数值随x 的值增大而__减小___. （3）由图写直线PO 的解析式：___34y x =___. （4）某函数具有下列两条性质：① 它的图像是经过 原点（0,0）的一条直线；② y 的值随x 的值增大而增大.请你举出一个满足上述条件的函数：____2y x =_（答案不唯一）___. 2. 选择：（1）下列函数中，正比例函数的是（ B ）A.3y x =B. 32y x =- C.213x y += D. 2y x = （2）下列各点中，在直线2y x =上的点有（ A ）.A.21⎫-⎪⎪⎝⎭ B. (2,2 C. 5,10D. ()2,1-（3）函数y kx =的图像经过点（1,4），那么()2y k x=-的图像经过第（ B ）象限.P-3/2-20yXA. 一、三B. 二、四C. 一、二D. 三、四 3. 已知y 是x 的正比例函数，当2x =时，12y =（1）求y 与x 的函数解析式； （2）求当x =y 的值； （3）在直角坐标系内画出该函数的图像. 答案：（1）14y x =；（2）4y =；（3）略 4. 正比例函数2112y k x k ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的图像经过第二、四象限，求函数的解析式.答案：12y x =-5. 已知3y -与x 成正比例函数，且它的图像经过点（2,7） （1）求y 与x 的函数解析式； （2）求当4x =时，y 的值； （3）求当3y =-时，x 的值.答案：（1）23y x =+； （2）11； （3）-3 6. 如果28my mx -=是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值(),x y ，有0xy <.求m 的值.答案：-37. 小明早上骑自行车离开家去学校，下图反映了小明离开家的距离y （米）与时间x （分）之间的关系.根据图像回答：（1） 小明家与学校的距离是___3000__米；（2） 小明骑自行车的平均速度是___200___米/分； （3） 写出小明汽车途中，离开家的距离y （米）与时间x （分）的函数关系式及定义域：___()200015y x x =≤≤提高题1. 正比例函数y kx =的图像上有一点A ，过点A 向x 轴作垂线，垂足为点B ，点B 的坐标为（2,0）.若三角形OAB 的面积为6，试求k 的值. 答案：3或-32. 已知正比例函数的自变量x 减小2时，对应的函数值增加4.求该正比例函数的解析式. 答案：2y x =-3. 已知点()()122,,1,A y B y -是正比例函数y kx =的图像上的两个点.若12y y >，试判断k 的取值范围. 答案：0k <家庭作业一、 填空题： 1. 若()21m y m x=+是正比例函数，则m =___1___.2. 已知函数()g x =，则()2g =___3___. 3. 在直角坐标系中，若点(),4M x -和点()3,N y 关于x 轴对称，则x y +=_7__.4. 如果正比例函数3xy =的图像过点()6,k ，那么k =___2___. 5. 已知矩形的周长为12，若矩形一边长为x ，面积为y ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()2606y x x x =-+<<___.6. 若等腰三角形顶角的度数为y ，底角的度数为x ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()1802090y x x =-<<___.7. 若等腰三角形的周长是20cm ，腰长与底边长分别是ycm 和xcm ，那么y 与x 的函数关系式为__102xy =-__,定义域为__010x <<__. 8. 若()25y a x b =+-+是正比例函数，且其图像恰为第二、四象限的角平分线，则a b +=__2__. 9. 若等腰梯形的周长为20cm ，上底长ycm ，底角为30，腰长xcm ，则y 与x 的函数关系式为__2102y x +=-__.10. 若y 成正比例，且当4x =时，3y =-则当32x =时，y =__-___. 二、选择题11. 若()2,P x y 是1P 关于y 轴的对称点，而点1P 在第三象限内，则（ A ）A. 0,0x y >>B. 0,0x y ><C. 0,0x y <<D. 0,0x y <> 12. 若点()111,P x y 与()222,P x y 在同一个正比例函数的图像上，则（ D ）A. 1212x x y y +=+；B. 1212x x y y -=-；C.1212y y x x =； D. 1221x y x y =. 13. 平面直角坐标系中有点()4,3A -,那么点A 到x 轴的距离是（ A ）A. 3 ;B. -3 ;C. 4 ;D. -4. 14. 点()11,A x y 与()11,B y y 之间的距离是（ A ）A. 11x y -；11y - ；C.D. 15. 下列问题中，两个变量成正比例的是（ D ） A. 三角形的面积一定，它的底边与底边上的高； B. 等边三角形的面积与它的高；C. 长方形的一边长确定，它的周长与另一边长；D. 商品的价格确定时，销售额与销售量；E. 点到横坐标的距离确定时，它的纵坐标与横坐标；F. 商品的价格确定时，利润与成本. 三、 简答题16. 求下列函数的定义域：（1）322612y x x x =--+； （2）y =；答案：一切实数 答案：72x ≥（3）6y x =-； （3）y =答案：126x x ≥-≠且 答案：143x <17. 已知()225f x x =-+，求()()5+13f f a f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、、.答案：5539f ⎛⎫-=-⎪⎝⎭；()225f a a =-+；2243a a --+ 18. 已知正比例函数23y x =-. (1) 当x 取何值时，3y >-； (2) 当x 取何值时，3y =-； (3) 当x 取何值时，3y <-；(4) 画出图像，并结合图像说明理由. 答案：（1）()()999;2;3(4)222x x x <=>略 四、综合题已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，依照要求画图，并完成以下各 （1） 在函数34y x =的图像上取一点A （横坐标为4），点A 的坐标是__()4,3__;设点A 关于y 轴对称的点为A ’，那么A ’的坐标是__()4,3-__;（2） 过原点和点A ’画直线OA ’，它与直线34y x =关于y 轴对称吗？___对称____; （3） 如果在函数34y x =的图像上选取另一点B ，点B 关于y 轴对称的点B ’在直线OA ’上吗？ ________在_______;（4） 已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，那么k 的值是多少？ _____34y x =-____.x(分)。
函数的概念
问题：请大家回忆一下我们初 中的函数定义是怎样的？
函数的定义（初中）：
在某变化过程中有两个变量x,y，如果 对于x在某个范围内的每一个确定的值， 按照某个对应法则f,y都有唯一确定的值 和它对应，那么y就是x的函数，x叫自变 量，y是因变量，记为y=f(x).
问题：
自变量x范围组成一个集合，函数值组成一个 集合，能否从集合的观点来定义函数呢？
2)函数的三要素：定义域,值域,对应法则f
①定义域：自变量 x的允许取值范围的集合A ②值域：集合{f(x)|x∈A} ③函数关系式：y=f(x), f是对应法则 初中学过的哪些函数？定义域，值域怎样？ (1)正比例函数：y=kx (k≠0) 定义域为R
值域为R
(2)反比例函数：y= k (k 0)
x (3)一次函数：y=kx+b(k≠0)
定义域为{x|x≠0,且x∈R} 值域为{y|y≠0}
定义域为R 值域为R
y=
k x
(k
0)
(4)二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0)
定义域为R
值域：
4ac b2
a 0, y
4a
4ac b2 a 0, y
4a
3)要研究函数，我们必须了解区间
习惯上我们称y是x的函数
同学们思考一下：函数的三要 素是什么？
；图文快印 图文快印
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别来无恙乎，挑帘入座，可对弈纵横、把盏擎歌，可青梅煮酒、红袖添香 国学大师陈寅恪，托十载光阴，毕暮年全部心血，著皇皇80万言《柳如是别传》。我想，灵魂上形影相吊，慰先生枯寂者，唯有这位300年前的秦淮女子了。其神交之深、之彻，自不待言。 6 古人尚神交古人，今 人当如何？ 附庸风雅的虚交、名利市场的
正比例函数讲义含答案
正比例函数一、教学目标1．理解函数的定义以及函数的定义域、值域. 2．掌握正比例函数的概念、图像和性质.二、重点难点重点：正比例函数的概念、图像和性质的应用.难点：利用正比例函数的相关知识解决实际问题，学会数形结合.三、考点分析：这部分的知识应用性较强，一般以填空、判断、选择、读图题、解答题的形式考查四、提分技巧1、学会读图，加强数形结合思想2、考虑问题要全面，还要善于从问题情境中抽象出数学知识（一）函数的意义【例1】1、如果函数：()x x x f 22-=，试求：（1）()1-a f ； （2）()12+a f 【解析】（1）()1-a f ()1212---=a a（2）()12+a f ()122122+-+=a a2、如果函数：()112-=-x x f ,试求：（1）()2f ； （2）()x f【解析】（1）()2f ()813132=-=-=f（2）()1-x f ()()()()[]()()121211112-+-=+--=+-=x x x x x x()x x x f 22+=∴【拓展1】如果函数：()x x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+12，,试求)(x f 的解析式 【解析】()x x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+12x x f x f 11121=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛⇒()xx f x f 112=⎪⎭⎫ ⎝⎛+② 联立①②，解得()332x x x f -=【拓展2】如果，()b ax x f +=,其中a 和b 是两个常数。
（1）()()34-=x x f f ，试求()x f 的表达式； （2）()()()78+=x x f f f ,求()x f 的表达式。
【解析】（1）()b ax x f +=∴()()()()342-=++=++=+=x b ab x a b b ax a b x af x f f⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==∴3212b a b a 或 ()()3212+-=-=∴x x f x x f 或（2） ()()()()()782322+=+++=+++=++=x b ab b a x a b b ab x a a b ab x a f x f f f⎪⎩⎪⎨⎧=++=∴7823b ab b a a ⎩⎨⎧==⇒12b a ()12+=∴x x f（二）正比例函数解析式【例2】已知y 与x －1成正比例，且当x =3时，y =4，求：（1）函数解析式；（2）x =1-时，y 的值【解析】设()1-=x k y ，代入x =3，y =4，解得2=k （1）所以函数解析式为22-=x y （2）当x =1-时，y =-4【拓展1】y 与3x 成正比例，当x =8时，y =－12，则y 与x 的函数解析式为___________. 【解析】设kx y 3=，代入x =8，y =－12，解得21-=k 所以函数解析式为x y 23-=【拓展2】已知2y －3与3x ＋1成正比例，且x=2时，y=5,求：（1）求y 与x 之间的函数关系式（2）若点（a ，2）在这个函数的图象上，求a . 【解析】设()133-2+=x k y ，代入x=2时，y=5，解得1=k（1）所以函数解析式为223+=x y （2）当2=y 时，0=a三）正比例函数的图像及性质【例3】已知直线y =kx 过点（-2，1），A 是直线y =kx 图象上的点，若过A 向x 轴作垂线， 垂足为B ，且ABO S ∆=9，求点A 的坐标。
初中数学知识点精讲精析 一次函数与正比例函数
4.2 一次函数与正比例函数学习目标1.理解一次函数和正比例函数的概念。
2.能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力。
知识详解1．一次函数的定义若两个变量x，y之间的关系式可以表示成y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x是自变量）．一次函数的条件：函数是一次函数必须符合下列两个条件：（1）关于两个变量x，y的次数是1；（2）必须是关于两个变量的整式．2．正比例函数的定义对于一次函数y＝kx＋b，当b＝0，即y＝kx（k为常数，且k≠0）时，我们称y是x 的正比例函数．一次函数与正比例函数的关系：需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b＝0，且k≠0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数．正比例函数的判断：要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为y＝kx＋b（k≠0）的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为y＝kx（k≠0）的形式．3．根据条件列一次函数关系式列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式．如何列函数关系式：列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量．4．一次函数与正比例函数的联系与区别若两个变量x，y之间的关系可以表示成y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数，特别地当b＝0时，称y是x的正比例函数，显然正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情况．区别：①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；②正比例函数的图象一定经过原点及经过两个象限，但一次函数一般不经过原点，通常情况下要经过三个象限．联系：①两种函数的图象都是一条直线；②两种函数的增减性相同；③当b＝0时，一次函数转化为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例．5．用一次函数解决实际问题函数与我们的生活息息相关，生活中的许多问题可以通过函数得以解决，如何才能正确地确定两个变量之间的函数关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式．写解析式，定自变量的范围：通常确定一个函数，不仅要确定这个函数的解析式，还要确定这个函数的自变量的取值范围．【典型例题】例1. 鲁老师乘车从学校到省城去参加会议，学校距省城200千米，车行驶的平均速度为80千米/时．x小时后鲁老师距省城y千米，则y与x之间的函数关系式为（）A．y=80x-200B．y=-80x-200C．y=80x+200D．y=-80x+200【答案】D【解析】依题意有y=200-80x=-80x+200．例2. 十堰市五堰商场为了增加销售额，推出“五月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡五月份在该商场一次性购物超过50元以上者，超过50元的部分按9折优惠”．在大酬宾活动中，李明到该商场为单位购买单价为30元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（）A．y=27x（x＞2）B．y=27x+5（x＞2）C．y=27x+50（x＞2）D．y=27x+45（x＞2）【答案】B【解析】∵x＞2，∴销售价超过50元，超过部分为30x-50，∴y=50+（30x-50）×0.9=27x+5（x＞2）例3. 等腰三角形顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式及x的取值范围是（）A．y=100-2x（0＜x≤90）B．y=180-x（0＜x＜90）C．y=180-2x（0＜x＜90）D．y=180-x（0＜x≤90）【答案】C【解析】因为三角形内角和为180°，两底角相等，所以可知顶角的度数y与底角的度数x 之间的函数关系式为：y=-2x+180；x取值范围是：0＜x＜90．【误区警示】易错点1：根据条件列一次函数关系式1.小明每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，为了不迟到他加快了速度，以每分45米的速度行走完剩下的路程，设该天小明上学行走t分时行走的路程为S米，则当l5＜t≤25时，s与t之间的函数关系是（）A．s=30tB．s=900-30tC．S=45t-225D．s=45t-675【答案】C【解析】当l5＜t ≤25时，小明的速度为每分45米，从而可得出s 与t 的关系式 易错点2：结合实际理解自变量2. 一天老王骑摩托车外出旅游，刚开始行驶时，油箱中有油9 L ，行驶了1 h 后发现已耗油1.5 L.(1)求油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求出自变量t 的取值范围；(2)如果摩托车以60 km/h 的速度匀速行驶，当油箱中的剩余油量为3 L 时，老王行驶了多少千米？【答案】(1)Q ＝9－1.5t ，由9－1.5t ＝0，得到t ＝6，故t 的取值范围为0≤t≤6.(2)由3＝9－1.5t ，得t ＝4.于是s ＝vt ＝60×4＝240(km)．故老王行驶了240 km.【解析】根据油箱中原有油9 L,1 h 耗油1.5 L ，则t h 耗油1.5t L ，得到行驶t h 后油箱中剩余油量为(9－1.5t)L ，由此可得出函数关系式．【综合提升】针对训练1. 从A 地向B 地打长途电话，通话3分以内收费2.4元，3分后每增加通话时间1分加收1元，若通话时间为x （单位：分，x ≥3且x 为整数），则通话费用y （单位：元）与通话时间x （分）函数关系式是（ ）A ．y=0.8x （x ≥3且x 为整数）B ．y=2.4+x （x ≥3且x 为整数）C ．y=x-0.6（x ≥3且x 为整数）D ．y=x （x ≥3且x 为整数）2. 如果y 是x 的正比例函数，x 是z 的一次函数，那么y 是z 的（ ）A ．正比例函数B ．一次函数C ．正比例函数或一次函数D ．不构成函数关系3. 下列问题中，变量y 与x 成一次函数关系的是（ ）A ．路程一定时，时间y 和速度x 的关系B ．长10米的铁丝折成长为y ，宽为x 的长方形C ．圆的面积y 与它的半径xD ．斜边长为5的直角三角形的直角边y 和x1.【答案】C【解析】由题意得，通话时间不超过3分钟收费均为2.4元，超过3分钟后，每分钟收取1元，x ≥3且x 为整数，故可得函数关系式为：y=2.4+（x-3）=x-0.6（x ≥3且x 为整数）．2.【答案】C【解析】根据正比例函数的定义，得y=kx ，根据一次函数的定义，得x= 1k z+b ，代入即可得出y 与z 的函数关系．3.【答案】B【解析】一次函数y=kx+b 的定义条件是：k 、b 为常数，k ≠0，自变量次数为1．课外拓展巴霍姆之死19世纪俄国文学巨匠列夫·托尔斯泰在《一个人需要很多土地吗？》这本小册子中叙述了这样一个故事。
函数的概念及正比例函数
授课类型T - 函数的概念 C - 正比例函数的概念 C 正比例函数的图像与性质授课日期及时段 教学内容函数的概念知识要点一：常量和变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，而数值始终保持不变的量为常量.判断一个量是常量还是变量，需看两个方面：①看它是否在一个变化的过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况。
知识要点二：定义在某个变化过程中有两个量x 和y ，如果在x 的允许范围内，变量y 随x 的变化而变化，它们之间存在确定的依么变 量y 叫做变量x 的函数，x 叫自变量，y 叫做因变量。
自变量与函数概念的形成过程：①一个变化过程；②两个变量；③一个量随另一个量的变化而变化。
若两个量满足上述三个条件，就说这两个量具有函数关系。
对于函数的关系，即两个变量的对应关系，有三种表示方法：（1）解析法（2）列表法（3）图象法表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式.知识要点三：定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。
求自变量的取值范围的两个依据是：（1）自变量取值范围是使函数解析式(即是函数表达式)有意义．（2）自变量取值范围要使实际问题有意义．对自变量x 在定义域内的每一个值，变量y 都有唯一确定的值与它对应。
在定义域内，取x=a 对应的y 值叫x=a 时的函数值。
有时把y 用()f x 来代替，所以x=a 时的函数值也可以用()f a 来表示。
如()()()()211,0,1,,12x f x f f f f a x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭求 理解函数概念把握三点：①一个变化过程，②两个变量，③一种对应关系。
判断两个量是否具有函数关系也以这三点为依据。
各类型函数的定义域（1）整式-----一切实数 （2）分式-----分母不为零（3）根式-------()()⎩⎨⎧≥被开方数为一切实数奇数根式被开方数偶数根式0（4）零指数-----底数≠01．汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y (千米)与行驶时间x 之间的函数关系是 。
函数的概念y=fx
A={t︱1979≤t≤2001} 空洞面积S的变化范围： B={m︱0≤m≤26}
5
0
1997 1981 1983 1987 1989 1991 1993 1997 1999 2001
t/年
实例三：国际上常用恩格尔系数反映一个 国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越 低，生活质量越高，表1—1中恩格尔系数 随时间变化的情况表明，“八五”计划以 来，我国城镇居民的生活质量发生了显著 的变化。
定义的说明
⑴．A、B必须是非空的数集；且对于集合A中的任 意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它 对应； ⑵．f(x)的符号含义：y=f(x)为“y是x的函数”的数 学表示，仅是一个函数符号，表示集合A到集合B 的一个特殊对应，并非表示f(x)是f与x相乘 ； ⑶．函数必须具备三个要素：定义域A，对应关系f， 值域B，缺一不可。
正比例函数反比例函数一次函数二次函数等初中对于函数的定义主要是从初中对于函数的定义主要是从变量变量之间的依赖关系来表述那么我们刚刚学之间的依赖关系来表述那么我们刚刚学习了集合的相关知识这种变量之间的依习了集合的相关知识这种变量之间的依赖关系能不能通过集合间的关系来表示赖关系能不能通过集合间的关系来表示从而利用集合对函数进行重新定义呢
x
(2) f(x) = (3) f(x) =
x
x
2 , g(x)=
, g(x)=
( x)
4
x
2
一个函数由定义域、对应关系、值域三个要素确定， 缺一不可，当两个函数定义域、对应关系、值域都相同时， 则这两个函数相同。
六、小结
（1）函数的概念及简单应用； （2）确定函数的三要素； （3）区间的表示方法。
变量t的变化范围：
八年级同步第13讲：函数的概念及正比例函数的概念
1 / 16函数的概念及正比例函数的概念是八年级数学上学期第三章第一节、第二节内容，主要对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数的概念理解，难点是函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习正反比例函数提供依据．1、函数的概念a) 在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量； b) 2.在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 允许的取值范围内，变量y随着x 变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量.函数用记号()y f x =表示，()f a 表示x a =时的函数值；表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．函数的概念及正比例函数的概念 知识结构模块一：函数的概念知识精讲内容分析例题解析【例1】（1）瓜子每千克12元，买x千克瓜子需付款y元，用x的代数式表示y,并指出这个问题中的变量和常量；（2）写出圆周长公式，并指出公式中每个字母所表示的量是常量还是变量．【难度】★【答案】【解析】【例2】下列变量之间的变化关系不是函数关系的是（）A、三角形的面积与底边的长B、2x-与xC、圆的面积和它的半径D、矩形的宽一定时，周长与长【难度】★【答案】【解析】【例3】下列各式中，y是否是x的函数？为什么？（1）2y x3=．y x=；（2）23【难度】★【答案】【解析】【例4】已知汽车驶出A站3千米后，以40千米∕小时的速度行驶了40分，请将这段时间内汽车与A站的距离S（km）表示成t（时）的函数．【难度】★【答案】【解析】2/ 16【例5】 扇形的面积公式是2360nS r π=，其中S 表示面积，n 表示圆心角，r 表示半径，π表示圆周率，则其中常量是————．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例6】 物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G mg =，其中m 表示质量，G 表示重力，9.8g =牛/千克，物体所受重力G 是不是它的质量m 的函数？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例7】 已知变量y 随着变量x 的变化而变化，且满足下列关系，试把它们改写成()y f x =的形式（1）951x y =+；（2）34xy y x +=； （3）31()212y x x y -=≠+；（4）223520x xy y --=．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例8】 某厂有一水池，可贮水900吨，池内原有水100吨，现在以每小时15吨的速度注水，t 时后，池内贮水量是吨，注满为止，求与之间的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】4/ 161.函数的定义域和函数值a) 函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．b) 函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．【例9】 求下列函数的定义域. （1）10y x =-； （2）2y x =+； （3）11y x =+；（4）22x y x -=-+．【难度】★ 【答案】 【解析】【例10】（1）如果函数5()51x f x x =-+，那么()1f -=——————；（2）如果函数4()2xf x x -=+， 那么()2f -=——————；（3）如果函数2223()231x x g x x x +-=++，那么12g ⎛⎫⎪⎝⎭=——————．【难度】★ 【答案】 【解析】【例11】求函数2021(2)y x x=-+的定义域．【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析知识精讲模块二：函数的定义域和函数值【例12】求函数y 的定义域．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例13】若函数1y =2211556y x x =++，求函数12y y y =⋅中自变量x 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例14】已知长方形面积为602cm ，长为x 厘米，求宽y 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例15】已知13()21xf x x -=+． (1)求(0)f ，(1)f ，1(3f ，1()()2f a a ≠-；(2)当x 为何值时，()f x 没有意义？ (3)当x 为何值时，()2f x =-？【难度】★★ 【答案】 【解析】【例16】 等腰三角形的周长是10厘米，腰长是x 厘米，底边长是y 厘米，求y 关于x 的函数关系式，并求自变量x 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例17】已知：2()34,()53,f x x x g x x =+=-求：（1）()()f x g x +；（2）(1)(2)f g -+；（3）(1)(1)f a g a +--．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例18】已知函数y =的定义域是1x ≤且1x ≠-，求的a 、b 值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例19】收割机的油箱里盛油65kg ，使用时，平均每小时耗油6kg（1）如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？（2）如果油箱里用掉36kg 油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？ （3）写出油箱里剩下的油y 与使用收割机时间t 之间的函数关系式？ （4）在此函数关系式中，求函数定义域？ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】7 / 161．正比例函数的概念a) 如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x 、y 成正比例，就是yk x=，或表示为y kx =（x 不等于0），k 是不等于零的常数.b) 解析式形如y kx =（k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数.正比例函数y kx =的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式.【例20】下列那些函数是正比例函数？哪些不是?如果是，请指出比例系数．（1）2x y =； （2）12y x =；（3）2y x =+；(4)2y x =．【难度】★ 【答案】 【解析】【例21】（1）已知2()(3)f x m x =-是正比例函数，求m 的取值范围．（2）若函数2()(3)3f x m x m =-+-是正比例函数，那么m 的值是多少？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析知识精讲模块三：正比例函数的概念【例22】 已知y 是x 的正比例函数，且当3x =时，24y =，求y 与x 之间的比例系数，并写出函数解析式和函数定义域． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例23】如果23(23)t y t x +=-是正比例函数，求出函数解析式，当x 取何值时，12y <？【难度】★★ 【答案】 【解析】【例24】已知函数221(2)mm y m m x +-=+(m 是常数)，当m 是什么数时221(2)mm y m m x +-=+是正比例函数？并求出解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】已知122y y y =-，1y 与3x 成正比例，2y 与()5x +成正比例，且1x =时，12y =，1x =-时2y =-，求y 与x 的函数解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】9 / 16【例26】点燃的蜡烛，长度按照与时间成正比例缩短，一支长21cm 的蜡烛，点燃6分钟后，缩短3.6cm ．设蜡烛点燃x 分钟后，缩短y cm ，求y 的函数解析式和x 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例27】已知21()(2)kk f x k x +-=+是正比例函数，求k 的值，写出这个正比例函数的解析式，并求出当变量x 分别取-3，0，5时的函数值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例28】已知y 与2x 成正比例，并且25x =时，4y =． （1） 写出y 与x 之间的函数关系式；（2） 当58x =-时，求y 的值；（3） 当12y =-时，求x 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】师生总结1. 求正比例函数的解析式用什么方法？2. 一个正比例函数需要注意的地方有哪些？10/ 16【习题1】 在圆的面积公式2S r π=中，变量是_______，常量是_______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y 元与买鲜鸡蛋个数x （个）之间的函数关系式是______________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 平行四边形相邻的两边长为x 、y ，周长是30，则y 与x 的函数关系式是___________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题4】 函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是_________________． 【难度】★ 【答案】 【解析】随堂检测【习题5】写出下列各题中x与y的关系式，并判断y是否是x的正比例函数？（1）圆面积y（cm2）与半径x（cm）的关系；（2）地面气温是28℃，如果每升高1km，气温下降5℃，则气温x（℃）与高度y（km）的关系；（3）电报收费标准是每个字0.1元，电报费y（元）与字数x（个）之间的函数关系．【难度】★【答案】【解析】【习题6】函数y的自变量x的取值范围是__________________．【难度】★★【答案】【解析】【习题7】在函数y x的取值范围是__________．【难度】★★【答案】【解析】【习题8】函数y中，自变量x的取值范围是___________________．【难度】★★【答案】【解析】【习题9】 已知函数1231xy x -=-，x =__________时，y 的值时0，x =______时，y 的值是1；x =_______时，函数没有意义． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题10】 出租车收费按路程计算，3km 内（包括3km ）收费8元；超过3km 每增加1km加收1元，则路程x ≥3km 时，车费y （元）与x (km )之间的函数关系式是_____________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题11】 求下列各式的定义域：（1）y ；（2）0(1)y x =-+．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题12】 若x 、y 是变量，且函数2(1)k y k x =+是正比例函数，则k =_________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题13】 已知函数2(1)56y k x k k =++--是正比例函数，求k 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题14】 一种豆子在市场上出售，豆子的总售价与所售豆子的数量之间的数量关系如下（1）上表反映的变量是_____和_____，___________是自变量，___________是因变量， _____随_____的变化而变化，___________是___________的函数． （2）若出售2.5千克豆子，售价应为_____元．（3）根据你的预测，出售_____千克豆子，可得售价21元．（4）请写出售价与所售豆子数量的函数关系式. ________________（解析式）． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题15】 已知y 与x 成正比例，且x =2时y =-6；则y =9时，x =________． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题16】 如果431(23)t y t x +=-是关于x 的正比例函数，又函数431(23)t y t x +=-，当x 取何值时12y y >？ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】14/ 16【作业1】 设(1)(2)1x y +-=，写出y 关于x 的函数关系式______________，自变量x 的取值范围是______________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】 在函数xy =中，自变量x 的取值范围是______________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业3】 已知2244x y x x -=-+的定义域为______________，当函数值为0时，自变量x 的取值为______________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业4】 矩形的周长为20，矩形面积S 与其一边长x 之间的函数关系式______________，自变量x 的取值范围是______________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】课后作业【作业5】 等腰三角形中，底角的度数用x 表示，顶角的度数用y 表示，写出y 关于x 的函数解析式及函数的定义域． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】 已知23y -与45x +成正比例，且当x =1时，y =15，求y 与x 的函数关系式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业7】 函数()2(2)2k y k x -=-是正比例函数，求k 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 已知()226y k x k k =-++-为正比例函数． （1）求k 的值及函数解析式； （2）当x． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业9】甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离为S（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）AB的路程是多少？（2）甲比乙先出发多长时间？（3）整个过程中甲的平均速度是多少？（4）大约在乙出发多长时间时两人相遇，相遇时距离A地多远？【难度】★★★【答案】【解析】。
正比例函数
正比例函数一、函数概念及性质理解 1、函数的概念：函数的定义：一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x 与y,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x 是自变量,y 是x 的函数．函数值是指自变量在数值范围内取某个值时,因变量与之对应的确定的值。
（一般的,自变量确定可以求函数值,函数值确定可以求自变量的值）一般的,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么在坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象． 2、函数中自变量取值范围的求法：（1）用整式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数,自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
（3）用奇次根式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数,自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。
（4）若解析式由上述几种形式综合而成,须先求出各部分的取值范围,然后再求其公共范围,即为自变量的取值范围。
（5）对于与实际问题有关系的,自变量的取值范围应使实际问题有意义。
3、正比例函数表达式,图像,象限,趋势（上升or 下降）,与坐标轴交点 例题例1、齿轮每分钟120转,如果n 表示转数,t 表示转动时间,那么用n 表示t 的关系是 ,其中 为变量, 为常量例2、函数=y x 的取值范围是 ；n 边形的内角和(2)180s n =-,其中自变量n 的取值范围是 例3、点A （1,m ）在函数y=2x 的图象上,则m 的值是例4、.当3-=x 时,函数732--=x x y 的函数值为 ；在函数32-=x y 中,当3=y 时,=x二、正比例函数 【知识要点】一般地,形如y=kx （k 是常数,k ≠0）的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数． 【经典例题】例1、下列函数中,哪些是正比例函数？为什么？(1)5xy -=; (2)5x y =; (3)y=3-x; (4)22x y =(2)例2:下列函数关系中,属于正比例关系的是( D ) A. 正方形面积与它的边长B. 面积是常数S 时,矩形长y 与宽xC. 路程是常数S 时,行驶的速度v 与时间tD. 三角形的底边是常数a 时,它的面积S 与这条边上的高h 例3：已知y=(k-1)x+k ²-1是正比例函数,求k 的值例4.已知y-1与2x 成正比例,当x=-1时,y=5,求y 与x 的函数解析式。
函 数 的 概 念
练习：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域： 练习：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域：
一次函数 函 数 y＝ax＋b (a≠0) ＝ ＋
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) ＝ ＋ a＞0 ＞ a＜0 ＜
反比例函数 k y = (k ≠ 0) x
对应关 系 定义域 值 域
二、对函数符号y=f(x)的理解 对函数符号 的理解
1、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是 、 为 是 的函数”的数学表示， 的函数 一个函数符号， 不是f与 相乘 一个函数符号， f(x)不是 与x相乘 不是 例如： 可以写成f(x)= 3x+1 例如：y=3x+1可以写成 可以写成 可以写成f(2)=7 当x=2时y=7可以写成 时 可以写成 想一想 f(1)表示什么意思？ 表示什么意思？ 表示什么意思 f(1)与f(x)有什么区别？ 与 有什么区别？ 有什么区别 一般地， 表示当 表示当x=a时的函数值，是一个常量。 时的函数值， 一般地，f(a)表示当 时的函数值 是一个常量。 f(x)表示自变量 的函数，一般情况下是变量。 表示自变量x的函数 表示自变量 的函数，一般情况下是变量。
五、如何求函数的定义域
1 、 y=2x 3+3x 定义域是 定义域是R
—如果 如果f(x)是整式，函数的定义域是实数集 是整式， 如果 是整式 函数的定义域是实数集R
2、 y=1/x 定义域是 、 定义域是{x|x≠0}
—如果 如果f(x)是分式，函数的定义域是使分母不等于 的 是分式， 如果 是分式 函数的定义域是使分母不等于0的 实数的集合 —如果 如果f(x)是偶次根式，函数 是偶次根式， 如果 是偶次根式 3 、y= x − 1 的定义域是使根号内的式子大 定义域是{x|x≥1} 定义域是 于或等于0的实数的集合 的实数的集合； 于或等于 的实数的集合；如 果如果f(x)是奇次根式，函数 如果 是奇次根式， 是奇次根式 3 x 的定义域？ R 的定义域是 的定义域？ 的定义域是R. 4 、 y=X2（其中 表示正方形的边长） 其中X表示正方形的边长 定义域： | x > 0} 表示正方形的边长） {x —遇到实际问题时，自变量受实际条件的约束 遇到实际问题时， 遇到实际问题时
八年级上册一次函数与正比例函数
八年级上册一次函数与正比例函数一、一次函数与正比例函数的概念。
1. 一次函数。
- 定义：一般地，形如y = kx + b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。
- 当x = 0时，y=b，所以b为函数y = kx + b在y轴上的截距。
例如，y =2x+3是一次函数，其中k = 2，b = 3。
2. 正比例函数。
- 定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
例如，y = 3x是正比例函数，比例系数k = 3。
- 正比例函数是特殊的一次函数，当b = 0时，一次函数y=kx + b就变成了正比例函数y = kx。
二、一次函数与正比例函数的图象与性质。
1. 正比例函数y = kx的图象与性质。
- 图象：- 当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大。
例如y = 2x的图象是一条经过原点且过一、三象限的直线，随着x的值增大，y的值也增大。
- 当k < 0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
例如y=-3x的图象经过原点且在二、四象限，x增大时y减小。
- 性质：- 正比例函数y = kx的图象是一条经过原点(0,0)的直线。
- 直线的倾斜程度由k决定，| k|越大，直线越靠近y轴。
2. 一次函数y = kx + b的图象与性质。
- 图象：- 一次函数y = kx + b的图象是一条直线，它可以由正比例函数y = kx的图象平移得到。
当b>0时，将y = kx的图象向上平移b个单位；当b < 0时，将y = kx的图象向下平移| b|个单位。
例如，y = 2x+1的图象是将y = 2x的图象向上平移1个单位得到的。
- 性质：- 当k>0时，y随x的增大而增大。
此时直线从左到右上升。
- 当k < 0时，y随x的增大而减小。
此时直线从左到右下降。
- 直线与y轴的交点坐标为(0,b)，与x轴的交点坐标为(-(b)/(k),0)（k≠0）。
专题：函数的概念及正比例函数重难点有答案
初中数学.精品文档如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯专题：函数的概念及正比例函数重难点考点一函数的概念及表示1．函数的概念：一般地，在某一变化过程中有个变量x和y，对于x的值，y都有______确定的值与它对应，那么就说y是x的，其中x是，y是．注意：在一个函数中，x和y的对应有和两种；2．函数的表示：(1) ；(2)________；(3) ．3．求自变量取值范围的基本思路：使函数关系式．【例1】1．下列式子中，y是x的函数的是()A．y＝2x B．y2＝2x C．y＝±2x D．|y|＝2x2．如图是一组有规律的图案，设第n(n是正整数)个图案是由y个基础图形组成的，则y与n之间的关系式是()A．y＝4n B．y＝3n C．y＝6n D．y＝3n＋13．一水池的容积是100 m3，现有蓄水10 m3，用水管以每小时6 m3的速度向水池中注水，请写出水池蓄水量V(m3)与进水时间t(小时)之间的关系式，其中自变量的取值范围是．4．分别求下列函数的自变量取值范围：(1) y＝1x－2；(2) y＝x4－x；(3) y＝1x＋3＋4－x；变式训练1：1．如图，能表示y是x的函数的是( )2．函数y＝x－2x－4中自变量x的取值范围是()A．x>2且x≠4 B．x≥2 C．x≠4 D．x≥2且x≠43．函数y＝1x－1＋(x－3)0自变量取值范围是．4．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D点在AC上运动，设AD长为x，△BCD的面积为y，则y与x之间的关系式和自变量的取值范围．图1考点二函数图像的画法及应用1．函数图像的画法：法，具体作图步骤如下：(1) ：列一张表，第一行在内取自变量的部分值，第二行写出与自变量相应的；(2) ：建立，并以自变量的值为，相应的函数值为，在坐标平面内描出表格中对应的点；(3) ：按照自变量的顺序，把所描出的各点用连接起来．注意：描出的点越多，最后形成的函数图像；【例2】1．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图2所示，这个容器的形状是下图的()图22．已知点A(2，7)在函数y=ax+1的图象上，则a=．3．有一个安装有进、出水管的30升容器，每单位时间内进出的水量是一定的，设从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系如图3．给出下列说法：①每分钟进水5升；②每分钟放水1.25升；③若12分钟后只放水，不进水，还要8分钟可以把水放完；④若从一开始进出水管同时打开，需要24分钟可以灌满．其中说法正确的有．图3变式训练2：1．甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程s(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图4所示，则下列说法错误的是( ) A．甲乙两人进行1000米赛跑B．甲先慢后快，乙先快后慢C．比赛2分钟时，甲、乙两人路程相等D．甲先到达终点图4 图52．已知A，B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A 地出发到B地，9：10乙开车从B地出发到A地，甲、乙两人距A地的距离y(千米)与甲所用的时间x(分钟)之间的关系如图5所示，则乙到达A地的时间为．考点三正比例函数图像及性质1．一次函数和正比例函数的概念(1)一次函数：形如()的函数；(2)正比例函数：当b＝____时，一次函数y＝kx＋b变为(k是常数且)，这时y叫做x的正比例函数，并且称y与x成关系，正比例函数是一种特殊的函数．2．正比例函数的图像与性质函数k 图象经过象限增减性y＝kx(k≠0)k＞0y随x增大而，即．k＜0y随x增大而，即．【例3】1．下列函数中，正比例函数是()A．y＝－8x B．y＝8x C．y＝8x2D．y＝8x－4 2．关于例函数y＝－2x，下列结论正确的是()A．图象必经过点(－1，－2) B．图象经过第一、三象限C．y随x的增大而减小D．不论x取何值，总有y<0 3．若函数y＝(m＋1)x＋m2－1是正比例函数，则m=. 4．已知正比例函数y＝(2m＋4)x．求：(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限；(2)m为何值时，y随x的增大而减小；(3)m为何值时，点(1，3)在该函数图象上．初中数学.精品文档变式训练3：1．已知正比例函数y ＝kx (k ＜0)的图象上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且x 1＜x 2，则下列不等式一定成立的是( )A ．y 1＋y 2＞0B ．y 1＋y 2＜0C ．y 1－y 2＞0D ．y 1－y 2＜0 2．若正比例函数y=mx (m 是常数，m ≠0)的图象经过点A (m ，4)，且y 的值随x 值的增大而减小，则m 等于 ．3．已知函数y ＝23x 的图象经过点A (－1，y 1)， B (－2，y 2)，则y 1与y 2的大小关系是：y 1 y 2(填“>”“<”或“＝”)． 4．已知一个正比例函数图像过点（2，－6）， (1)求该函数的关系式；(2)已知函数图像上有两点(a ，m +3）、(b ，－2m +6）且a >b ， 求m 的取值范围．考点四 正比例函数综合问题1．如图，已知正比例函数y ＝kx 经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，点A 横坐标为3，△AOH 的面积为3. (1)求该函数的解析式；(2)在x 轴上能否找到一点P ，使△AOP 的面积为5？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．※课后练习1．下列曲线中，不能表示y 是x 的函数的是( )2．函数y ＝1x －2的自变量x 的取值范围是( )A ．x >2B ．x <2C ．x ≤2D ．x ≥23．关于函数y ＝12x ，下列结论正确的是( )A ．图象必经过点(1，2)B ．图象必经过第二、四象限C ．不论x 取何值，总有y ＞0D ．y 随x 的增大而增大4．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是正比例函数y ＝－12x 图象上的两点．下列判断正确的是( ) A ．y 1>y 2 B ．y 1<y 2 C ．当x 1<x 2时，y 1<y 2D ．当x 1<x 2时，y 1>y 2 5．一天，小明、小刚兄弟俩.同时从家里出发到5 km 之外的学校上学 ．小刚匀速跑步到学校；小明骑自行车出发，匀速骑行一段路程后，因自行车故障，修车耽误了一些时间，然后以比出发时更快的速度匀速赶往学校，结果比小刚早一点到了学校．下列能正确反映两人离家的距离y (km)与时间x (h)之间的函数关系的图象是( ) (小明：┄，小刚：─)A ．B ．C ．D ． 6．已知正比例函数y ＝(k ＋5)x －2m ＋4的 y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 ，m 的值为 ．7．函数y ＝x ＋1＋2x自变量取值范围是 ．8．某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一 段时间后，提高了工作效率．该绿化组完 成的绿化面积S (单位：m 2)与工作时间t (单 位：h)之间的函数关系如图1所示，则该绿 化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是 m 2． 图19．将3张长为30 cm ，宽为10 cm 的长方形白纸按图所示的方法黏起来，黏合部分的宽为3 cm.(1) 5张白纸黏合后的长度为 ；(2)设x 张白纸黏合后的总长度为y cm ，则y 与x 的关系式为： ．10．已知函数y ＝(6－2m )x +m 2－9，当m 为何条件时： (1)此函数为正比例函数； (2)此函数为一次函数； (3)此函数图像过原点．11．已知y +2与2x －3成正比例，且当x = 1时，y =0． (1)求y 关于x 的函数关系式；(3)若点（a ，2）在该函数图像上，求a 的值．12．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD 和折线OABC 表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，回答下列问题．(1)填空：折线OABC 表示赛跑过程中 的路程与时间的关系，线段OD 表示赛跑过程中 的路程与时间的关系．赛跑的全程是 米．(2)兔子在起初每分钟跑多少米?乌龟每分钟爬多少米? (3)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子?(4)兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟?初中数学.精品文档。
函数的概念与正比例函数
函数的概念与正比例函数八年级数学学科总计20 课时第课时课题函数的概念与正比例函数概念回顾：1、在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做；保持数值不变的量叫做。
2、函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的。
3、如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a，变量y 的对应值叫做当x=a 时的。
4、解析式形如的函数叫做正比例函数。
5、正比例函数的图像是。
一、求函数定义域应注意的问题○5 若函数中含有x0，则应x 0例：求下列函数的定义域二、 y f （x ）的相关问题把语句“y 是 x 的函数”用记号 y f （x ）来表示， 这里括号内的字母 x 表示自变量， 括号外的字母 f 表示 y 随着 x 变化的规律。
练习：已知 2x （y 2） 3 x 2 ，把它改写成 y=f （x ）的 形式，并求 f （3）的值 三、成正比例的相关问题 例 3、已知 y+1 与 x 2成正比例，且当 x 2时, y 9。
求（1）y 关于 x 函数的解析式；（2）若点 A （2， a ）和点 B （b,-13）也是函数图像上的点，求 a 、 b 的值 .练习： y-1 与 2x+3 成正比例，且当 x 1,时 y 3 求（1）y 关于 x 函数的解析式；（2）若点 A （0， a ）和点 B （ b ，0）也是函数图像上的点，点 O 为坐标原点，求△ AOB 的面积。
练习： 1）y 4x 4x 21 ；2）x3 y2x 2 ；3）y 3(x 2)04) y 2x 4 3x 9 ；5）y四、正比例函数y kx（k 0）的概念注：1、系数k 不能为0；2、x 的次数为 1 例4、若函数y （k2k） x k2 k 1是正比例函数，求函数的解析式。
练习：若函数y （k 1）x k2 2k 22k 6是正比例函数，求函数的解析式。
五、已知点的坐标用待定系数法求正比例函数的解析式例5、已知正比例函数图像经过点（3,5），（a，-15），求函数的解析式与 a 的值。
函数及正比例函数复习(1)
1、在问题研究进程中，可以取不同数值的量叫 _____，保持数值不变的量叫_______；
写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量 (1)圆的周长C 与半径 r 的关系式;
C = 2πr 2π是常量; C 与 r是变量
(2)火车以60千米/时的速度行驶,它 驶过的路程
s (千米） 和所用时间 t （时）的关系式;
第二、四 k 0 范围是________，图像经过_______象限。 （3）.如果正比例函数y＝（k－1）x的图象经过第二 、四象限，那么k的取值范围是 k 1 ．
（4）若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点
A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1<x2时,y1>y2, 则m的取值范围是(
y ６ 6 4 ４ 2 -6 -4 －2 -2
∵图象过点（1，2）
∴k =2
∴y与x的函数解析式 为 y = 2x
2 4 6 ６
o
-2
-4 -6
x
y kx 3
②正比例函数 的图像 过点（6，2），那么函数 1 y x 解析式是____. 3
已知y是x的正比例函数，并且当x=3时，y=6，如 果点A（a，a+3）是它的图象上的点，(1)求a的值
生活问题:
几何问题:
x0 y0
题目要求 整数
x0 y0
题目要求(三角形的内角小于 度） 180
x 0 等腰三角形: y0 2腰和底边
（二）填空题
1. 函数y 2 x 2 3x 1的定义域为 X为一切实数 3x 1 x2 2. 函数y 的定义域为 2 x 1 x 3. 函数y 2 x 1的定义域为 2 2x 6 4. 函数y 的定义域为 7x 1 5. 函数y 的定义域为 1 1 x2
正比例函数和反比例函数
正比例函数和反比例函数（1）【知识要点】1、函数的概念（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量（2）在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量（3）表达两个变量之间依赖关系的为函数解析式()y f x =（4）函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去取的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值2、正比例函数（1）如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例（2）正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数（3）对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像（4）一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =（5）正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且有如下性质：当k>0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大当k ＜0时 ，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小3、反比例函数（1）如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例。
（2）解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数。
函数的概念
3)要研究函数，我们必须了解区间
区间：设a,b是两个实数，且a<b，规定：
定义
名称
符号
几何表示
{x|a≤x ≤b} 闭区间 {x|a<x<b} 开区间
[a,b] (a,b)
a· ·b
a
b
{x|a ≤x<b} 左闭右开区间[a,b) {x|a<x ≤b} 左开右闭区间(a,b]
·a
b
a
·b
R
x≥a X>a x ≤b X<b
f (a) 3a2 5a 2
f (a 1) 3(a 1)2 5(a 1) 2 3a2 a
练习2: P21 2
例3，求下列函数的值域
(1) y 2x 1, x {1,2,3,4,5}
(2) y x 1 (3) y x2 4x 6, x R (4) y x2 4x 6, x [1,5)
1.2.1 函数的概念
问题：请大家回忆一下我们初 中的函数定义是怎样的？
函数的定义（初中）：
在某变化过程中有两个变量x,y，如果 对于x在某个范围内的每一个确定的值， 按照某个对应法则f,y都有唯一确定的值 和它对应，那么y就是x的函数，x叫自变 量，y是因变量，记为y=f(x).
问题：
自变量x范围组成一个集合，函数值组成一个 集合，能否从集合的观点来定义函数呢？
习惯上我们称y是x的函数
同学们思考一下：函数的三要 素是什么？
2)函数的三要素：定义域,值域,对应法则f
①定义域：自变量 x的允许取值范围的集合A ②值域：集合{f(x)|x∈A} ③函数关系式：y=f(x), f是对应法则 初中学过的哪些函数？定义域，值域怎样？ (1)正比例函数：y=kx (k≠0) 定义域为R
一次函数和正比例函数
一次函数和正比例函数一次函数和正比例函数是初中数学中常见的两种函数类型，它们在数学中具有重要的地位和作用。
本文将分别从理论和实际应用的角度对一次函数和正比例函数进行详细的介绍，并分析它们之间的联系和区别。
一、一次函数的基本概念1.1一次函数的定义一次函数又称为线性函数，其一般形式可以表示为y = kx + b，其中k和b分别为常数，且k ≠ 0。
其中x称为自变量，y称为因变量。
一次函数的图像是一条直线，因此又称为线性函数。
1.2一次函数的性质一次函数的图像是一条直线，因此具有以下性质：（1）经过直线上的任意两点(x1, y1)和(x2, y2)，连接这两点的直线段都在函数的图像上。
（2）一次函数的图像不会与x轴平行也不会与y轴平行。
（3）一次函数的图像的斜率k表示为函数y = kx + b的k，即斜率表示了函数图像的倾斜程度。
（4）一次函数的图像在b轴上的截距b表示为函数y = kx + b 的b，即截距表示了函数图像与y轴之间的距离。
1.3一次函数的应用一次函数在实际生活中有着广泛的应用，例如直线运动、成本与产量的关系、温度随时间的变化等。
另外，一次函数还是其他函数的基础，更多复杂的函数都可以通过一次函数进行逼近和分析。
二、正比例函数的基本概念2.1正比例函数的定义正比例函数又称为比例函数，其一般形式可以表示为y = kx，其中k为常数，且k ≠ 0。
正比例函数的图像是一条直线通过原点。
2.2正比例函数的性质正比例函数的图像是一条通过原点的直线，因此具有以下性质：（1）正比例函数的图像过原点。
（2）正比例函数的图像经过直线上的任意两点(x1, y1)和(x2, y2)，连接这两点的直线段都在函数的图像上。
（3）正比例函数的图像的斜率k表示为函数y = kx，即斜率表示了函数图像的倾斜程度。
2.3正比例函数的应用正比例函数在实际生活中同样有着广泛的应用，例如单位换算、图像相关性质分析、物体的数量与质量的关系等。
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函数的概念与正比例函数
八年级数学学科总计20 课时第课时
课题函数的概念与正比例函数
概念回顾：
1、在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做；保持数值不变的量叫做。
2、函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的。
3、如果变量y是自变量x的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的。
4、解析式形如的函数叫做正比例函数。
5、正比例函数的图像是。
一、求函数定义域应注意的问题
○5若函数中含有0x，则应0
x
例：求下列函数的定义域
练习：（1）4
241
y x x =+-；（2）3
22
x y x --=+；（3）0
3(2)y x =- （4）2439
y x x =---+；（5）24
x y -=
二、()y f x =的相关问题
把语句“y 是x 的函数”用记号()y f x =来表示，这里括号内的字母x 表示自变量，括号外的字母f 表示y 随着x 变化的规律。
练习：已知2(2)32
x y x -=-，把它改写成y=f （x ）的
形式，并求f （3）的值。
三、成正比例的相关问题
例3、已知y+1与2
x 成正比例，且当2,9x y =-=-时。
求（1）y 关于x 函数的解析式；（2）若点A （2，a ）和点B （b,-13）也是函数图像上的点，求a 、b 的值.
练习：y-1与2x+3成正比例，且当1,x =-时3y =。
求（1）y 关于x 函数的解析式；（2）若点A （0，a ）和点B （b ，0）也是函数图像上的点，点O 为坐标原点，求△AOB 的面积。
四、正比例函数(0)y kx k =≠的概念
注：1、系数k 不能为0；2、x 的次数为1 例4、若函数2
2
1
()k
k y k k x --=+⋅是正比例函数，求函数
的解析式。
练习：若函数222
(1)26
k k y k x k --=-+-是正比例函数，求
函数的解析式。
五、已知点的坐标用待定系数法求正比例函数的解析式
例5、已知正比例函数图像经过点（3,5），（a ，-15），求函数的解析式与a 的值。
练习：已知正比例函数经过点(2,0)a -、(1,3)a a -+，求函数的解析式。
六、画正比例函数的图像分三步：列表；描点；连线
例6、在同一坐标系中画出下列函数的图像 （1）2y x = （2）13y x =-
练习：（1）2y x =- （2）1
3
y x =
七、正比例函数的性质：
①当k>0时，正比例函数的图像经过第一、
三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大.即y 随x 的增大而增大。
②当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小.即y 随x 的增大而减小。
例7、已知23
(21)a y a x -=-是正比例函数，且y 随着x
的增大而增大。
（1）求该函数的解析式；
（2）若点A （2，b ）在该函数的图像上，求b 的值；
（3）在（2）的条件下，过点A 作AB x ⊥交x 轴于点B ，求△AOB 的面积。
练习：已知函数
221
1()2
a y a x
-=-+是正比例函数，且函
数经过二、四象限。
（1）求该函数的解析式；
（2）若点A（4，b）和点B都在该函数图像上，求点B的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A作AC⊥x交x 轴于点C，点B作BD⊥y轴交y轴于点D，求四边形ACDB的面积。
巩固练习
一、填空题：
16、直线2
(1)y k
x
=+经过第 象限，y 随x
的增大而
17、已知点(,)P m n 在第三象限，直线y mnx =经过第 象限，y 随x 的增大而
18、已知点(,)P m n 在第二象限，直线n
y x m
=经过第 象限，y 随x 的增大而
19、已知2,4，m 是三角形的三边长，直线(6)y m x =-经过第 象限
20、已知3,4，m 是三角形的三边长，直线(1)y m x =-经过第 象限
二、写出下列各函数的定义域： （1
）y=-3x
（2）3
24
y x x =-+-
（3）3
4y x =- （4）
y = （5）
y = （6）
y =
三、求值：
1、当x 为下列各值时，求代数式3
1
x x +-的值。
（1）x=-2 （2）x=3 （3）x=8
2、已知2
()1
x f x x +=+，求(2),(1),()
f f f f a -
3、已知x 、y 有下列关系，把它改写成()y f x =的
形式： （1）2
122x
y x
-= （2）
256120
x y ++=
（3）31
x y =+ （4）2(2)3
x y -=
（5）31
x y =+ （6）3
23
x y =
-
四、在同一坐标平面内画出下列函数的图像： （1）3y x =与3y x =- （2）
14
y x =
与14
y x =-
五、解答题：
1、已知y与x成正比例，且当x=1
2时，3
4
y=，求
y与x的函数关系式。
2、已知y与3x-1成正比例，当x=-3时，y=-1，求当
x=y的值。
3、已知y 是x+3的正比例函数，且当12x =时，1y =-，求y 与x 的函数关系式。
4、如果23
(63)t y t x -=-是正比例函数，求函数的解析式。
5、如果正比例函数图像经过点（2，-4），判定点A （-4,16）是否在这个函数图像上。
能力提高
一、填空题：
1、点（1,5）与（1，-5）关于轴对称；
2、如果函数(3)
y kx k
=+-是正比例函数，则这个正比例函数的解析式是。
3、若1
y 与x成正比例，且当x=2时，1
4
y=，则函
数的解析式为。
4、y-3与x+5成正比例，当x=-3时，y=7，则当y=9时，x= 。
5、如果(2)(3)
y m x n
=++-是正比例函数，且图像经过点（2,6），则m= .
6、已知正比例函数(32)
y a x
=-+，当 a 时，y随x的增大而增大。
7、直线5
y x
=与5
y x
=-关于轴对称；
8、直线y=kx与y=-kx(k ≠0)关于轴对称。
二、解答题：
3.当m为何值时，255
=+是正比例函数，
(1)m m
y m x++
（1）求出函数的解析式；
（2）判定A（2,3）B（-1，3）C11
(,)
-是否在这
62
条直线上。
5、已知正比例函数过点A （2，-4），点P 在此正比例函数图像上，若直角坐标平面内另有一点B （0,4），且8ABP S
∆=.求点P 的坐标。
6、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P是AB上的一个动点（不与点B重合），PD⊥BC，垂足为D，设PD的长为x,△PBC 的面积为y.
（1）请写出y关于x的函数关
系式；
（2）写出函数的定义域；（3）写出函数的值域。
P
D C B
A
7、已知
12y y y =+，1y 成正比例，2
y 与x 成正比例，且当x=4时，y=0,当x=9时，y=-3,求y 与x 的函数关系式。
8、已知y-1与x+1成正比例关系，比例系数k>0，函数的图像是一条直线，它与坐标轴围成的三角形面积为2个平方单位，求这个函数的关系式。