11.1 二进制及其转换
各种进制之间的转换方法
各种进制之间的转换方法在计算机科学和数学领域中，我们经常会遇到各种不同进制的数，比如二进制、八进制、十进制和十六进制。
而在实际应用中，我们有时需要将一个数从一种进制转换成另一种进制。
本文将介绍各种进制之间的转换方法，帮助读者更好地理解和运用这些知识。
首先，我们来介绍二进制和十进制之间的转换方法。
二进制是计算机中最常用的进制，而十进制则是我们最为熟悉的进制。
将一个二进制数转换成十进制数，我们只需要按照权重相加的原理进行计算即可。
比如，二进制数1011，其对应的十进制数为12^3 +02^2 + 12^1 + 12^0 = 11。
而将一个十进制数转换成二进制数，则可以通过不断除以2取余数的方法进行计算，最后将余数倒序排列即可得到对应的二进制数。
接下来，我们来介绍八进制和十进制之间的转换方法。
八进制是基数为8的一种进制，而十进制则是基数为10的进制。
将一个八进制数转换成十进制数，同样可以按照权重相加的原理进行计算。
比如，八进制数36，其对应的十进制数为38^1 + 68^0 = 24。
而将一个十进制数转换成八进制数，则可以通过不断除以8取余数的方法进行计算，最后将余数倒序排列即可得到对应的八进制数。
再来介绍十六进制和十进制之间的转换方法。
十六进制是基数为16的一种进制，常用于表示颜色、存储地址等。
将一个十六进制数转换成十进制数，同样可以按照权重相加的原理进行计算。
比如，十六进制数2A，其对应的十进制数为216^1 + 1016^0 = 42。
而将一个十进制数转换成十六进制数，则可以通过不断除以16取余数的方法进行计算，最后将余数倒序排列即可得到对应的十六进制数。
除了以上介绍的几种进制之间的转换方法外，我们还可以利用计算机编程语言中的函数来进行进制转换。
比如，在Python语言中，可以使用bin()、oct()、hex()等函数将一个十进制数转换成二进制、八进制、十六进制数。
而int()函数则可以将一个二进制、八进制、十六进制数转换成十进制数。
二进制转换算法
二进制，八进制，十进制，十六进制之间的转换算法一、十进制与二进制之间的转换(1) 十进制转换为二进制，分为整数部分和小数部分①整数部分方法：除2取余法，即每次将整数部分除以2,余数为该位权上的数，而商继续除以2,余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数。
下面举例：例：将十进制的168转换为二进制得出结果将十进制的168转换为二进制，(10101000 ) 2分析：第一步，将168除以2,商84,余数为0。
第二步，将商84除以2,商42余数为0。
第三步，将商42除以2,商21余数为0。
第四步，将商21除以2,商10余数为1。
第五步，将商10除以2,商5余数为0。
第六步，将商5除以2,商2余数为1。
第七步，将商2除以2,商1余数为0。
第八步，将商1除以2,商0余数为1。
第九步，读数，因为最后一位是经过多次除以2才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，即10101000(2) 小数部分方法：乘2取整法，即将小数部分乘以2,然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以2,然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以2, 一直取到小数部分为零为止。
如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，按照要求保留多少位小数时，就根据后面一位是0还是1,取舍，如果是零，舍掉，如果是1,向入一位。
换句话说就是0舍1入。
读数要从前面的整数读到后面的整数，下面举例：例1 :将0.125换算为二进制得出结果：将0.125换算为二进制(0.001 ) 2分析：第一步，将0.125乘以2,得0.25，则整数部分为0,小数部分为0.25;第二步，将小数部分0.25乘以2,得0.5，则整数部分为0,小数部分为0.5;第三步，将小数部分0.5乘以2,得1.0,则整数部分为1,小数部分为0.0；第四步，读数，从第一位读起，读到最后一位，即为0.001。
例2,将0.45转换为二进制(保留到小数点第四位)大家从上面步骤可以看出，当第五次做乘法时候，得到的结果是0.4,那么小数部分继续乘以2,得0.8, 0.8又乘以2的，到1.6这样一直乘下去，最后不可能得到小数部分为零，因此，这个时候只好学习十进制的方法进行四舍五入了，但是二进制只有0和1两个，于是就出现0舍1入。
计算机二进制转换
计算机二进制转换计算机中的数据都是以二进制形式存储和处理的。
在计算机科学和计算机工程领域，了解二进制的转换是非常重要的基础知识。
本文将介绍二进制的转换方法，包括二进制到十进制、十进制到二进制、二进制到十六进制、十六进制到二进制的转换方法。
二进制到十进制转换将一个二进制数转换为十进制数的方法非常简单。
首先，从二进制数的最右边开始，给每个位数赋予对应的权值。
第一位的权值为1，第二位的权值为2，依次类推。
然后，将每个位上的数字与其对应的权值相乘，再将这些乘积相加即可得到十进制数值。
例如，要将二进制数1101转换为十进制数。
从右到左，给每个位数分配权值：第一位的权值为1，第二位的权值为2，第三位的权值为4，第四位的权值为8。
然后将每个位数与对应的权值相乘：1x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 = 13。
十进制到二进制转换将一个十进制数转换为二进制数的方法也很简单。
首先，将十进制数不断地除以2，取余数，并保留商数。
将所得的余数从最后一次除法开始，从下往上排列起来即可得到二进制数。
以将十进制数13转换为二进制数为例。
13除以2得到商6余1，再将商6除以2得到商3余0，再将商3除以2得到商1余1，最后将商1除以2得到商0余1。
将这四个余数从下到上排列起来，即得到二进制数1101。
二进制到十六进制转换二进制数转换为十六进制数时，首先将二进制数每4位一组，从低位开始依次进行分组。
然后，将每一组的二进制数转换为对应的十六进制数。
以将二进制数10111010转换为十六进制数为例。
可以将二进制数分为两组：1011和1010。
然后将每一组的二进制数转换为对应的十六进制数：1011转换为B，1010转换为A。
因此，二进制数10111010转换为十六进制数BA。
十六进制到二进制转换十六进制数转换为二进制数时，首先将十六进制数的每个数字转换为对应的4位二进制数。
然后，将这些二进制数连接起来即可得到二进制数。
以将十六进制数D8转换为二进制数为例。
常用进制间的相互转换
0
( 7831 ) 10
2.十进制数转换成二进制数 1）整数部分—除2取余
例：把253转换成二进制数 转换结果的最低位 2 253 ………………1 2 126 ………………0 2 63 ………………1 2 31 ………………1 2 15 ………………1 2 7 ………………1 2 3 ………………1 2 1 ………………1 转换结果的最高位 0 转换结果： ( 253 ) 10 (11111101 ) 2
方法2：先将十进制数转换成二进制 数，然后再将二进制数转换成相应 的十六进制或八进制数。
几种进制的对应关系
ÊÊÊÊ ÊÊÊÊ ù Ê °ÊÊÊ ÊÊÊÊ 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 10 3 3 3 11 4 4 4 100 5 5 5 101 6 6 6 110 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 8 9 A B C D E F 7 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
2）小数部分—乘2取整
例：将十进制数0.45转换成二进 制小数（取4位）
0.45 0.9 0.8 0.6 *2=0.9…………0 *2=1.8…………1 *2=1.6…………1 *2=1.2…………1
转换结果的最高位
转换结果的最低位
转换结果为: ( 0 . 45 ) 10 ( 0 . 0111 ) 2
总结
权展开式
R进制
除r取余 乘r取整
十进 制 乘除 权
展 开 式
2 2 取取 整余
二进制
4 位 对 应 1 位
1 位 对 应 4 位
3位对应1位 1位对应3位
八进制
十六进 制 进位制之间的相互转换
二进制及其转换
1、（1010101.1011）2=（）10
解：（1010101.1011）2=26+24+22+20+2-1+2-3+2-4=64+16+4+1+0.5+0.125+0.0625=85.6875
2、(105.625)10=（）2
解：
（四）小结
本节课我们主要讲了数制的概念以及二——十进制转换，这节课的难点就是要理解位权的概念。重点掌握的内容当然这二进制和十进制之间的相互转换方法，下面我们来一起回顾一下，二进制转化成十进制用的是——（生）“按权相加法”。十进制转化成二进制既是重点也是难点，不大容易掌握，大家下去要认真思考一下，看能不能用自己的话把这些规则表达出来，成为自己的东西。十进制转化成二进制，整数部分是——（师生）“除2取余，逆序排列”，小数部分是——（师生）“乘2取整，顺序排列”。
生一小时等于60分钟，一分钟等于60秒。师那我们平时会不会说我做这件事情用了102分钟呢？不是吧？我们一般会说，我花了一个小时零42分钟，也就是说逢六十进一，这就是60进制。由此也可以推断出，每一种数制的进位都遵循一个规则，那就是——逢N进1。这里的N叫做基数。所谓“基数”就是数制中表示数值所需要的数字字符的总数，比如，十进制中用0——9来表示数值，一共有10个不同的字符，那么，10就是十进制的基数，表示逢十进一。下面我们再引入一个新概念——“位权”。什么是位权呢？大家看一下这个十进制数，1111.111，那么，这其中的7个1是不是完全一样呢？
十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余，逆序排列"法。具体做法是：用2去除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为零时为止，然后把所有余数按逆序排列，也就是把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。这就是所谓“除2取余，逆序排列”。
中职教材 11.1 二进制及其转换
作业: 书本P5 1、2、3
十进制、二进制、八进制、十六进制
八进制的每个数位上可以使用8个数码：0， 1，2，3，4，5，6，7， 十进制的基数为8
进位规则：逢八进一
十六进制的每个数位上可以使用16个数码：0，1，2， 3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F 十进制的基数为16 进位规则：逢十六进一
（1 ）(1001)2 ； （4 ）(110101)2 ；
十进制数转换成二进制数 方法:除2取余,逆向收集
例2 将下列十进制数换算成二进制数: (1 ) (101)10 ; (2 ) (87)10 .
练习: 书本P5 1
十
二
(1 ) (9)10 ; (2 ) (16)10 ; (3) (45)10 ; (4) (78)10 ;
例：(78)10可能是个八进制数吗？
作业: 书本P5 1、2、3
1 、 3 、6、5、8等等 十进制数的意义：各个数位的数码与其 位权数乘积之和
3 2 1 0 1 10 3 10 6 10 5 10 1365.18= 1 2 按权展开式 110 8 10
十进制的每个数位上可以使用10个数码：0， 1，2，3，4，5，6，7，8，9
第11章
逻辑代数初步
11.1 二进制及其转换 1、二进制的含义 2、二进制与十进制的相互转换
几个概念： 基数：每个数位上可以使用的数码的个数。 数位 千 百 十 个 十分 百分
数码所在的位置
十进制数： 1
位权数
3
3
6
2
5 .
1
1
8
10
10
10
10
0
10
-1
10-2
二进制是怎样换算的？
二进制是Hale Waihona Puke 样换算的？二进制是怎样换算的？
二进制，比如，十进制中的0、l、2、3、4，在二进制中用0、10、11、100来表示，所以0和1之外的.数字在二进制中就不需要了。二进制不仅可以表示出来所有的数字，还可以进行加、减、乘、除运算。电路中通电和断电的两种情况，可以用开关的ON(开)、OFF(关)来表示。如果把这种开、关作用理解成二进制的0和1，就能明白在电子计算机中运用二进制的优越性了。
进制之间的转换关系表
进制之间的转换关系表进制是数学中重要的概念，用于表示数字的一种方式。
常见的进制包括十进制、二进制、八进制和十六进制。
在不同进制之间进行转换是计算机科学和信息技术领域中的基础操作之一。
本文将介绍进制之间的转换关系表，帮助读者更好地理解和应用进制转换。
在十进制系统中，我们使用的是基数为10的进制。
它是人类社会中最常用的进制，因为我们有十根手指，可以按照个位、十位、百位等顺序进行计数。
相对于十进制，其他进制系数的基数不同。
二进制是计算机内部使用的进制，它的基数是2。
在二进制中，只有两个数字，即0和1。
转换二进制到十进制的方法是每一位的数字乘以2的幂次方，然后将结果相加。
例如，二进制数1001可以转换为十进制数9，计算方式是1*2^3 + 0*2^2+ 0*2^1 + 1*2^0 = 9。
八进制是基数为8的进制系统。
八进制中使用的数字是0到7。
转换八进制到十进制的方法类似于二进制。
每一位的数字乘以8的幂次方，然后将结果相加。
例如，八进制数123可以转换为十进制数83，计算方式是1*8^2 + 2*8^1 + 3*8^0 = 83。
十六进制是基数为16的进制系统。
除了0到9的数字，十六进制还使用A到F的六个字母表示10到15的数字。
转换十六进制到十进制的方法和前面两种进制类似。
每一位的数字乘以16的幂次方，然后将结果相加。
例如，十六进制数1A可以转换为十进制数26，计算方式是1*16^1 + 10*16^0 = 26。
除了从较低的进制转换到较高的进制，我们还可以从较高的进制转换到较低的进制。
转换的方法与前面相反，即将原数除以对应基数并取余数，然后将余数从低位到高位排列。
这样可以得到新的进制表示。
在计算机科学中，进制转换是一个基础的操作。
计算机内部的运算都是使用二进制进行的，但人们更习惯于使用十进制进行计算。
因此，在数据传输和存储中，常常需要将十进制转换为二进制，然后再进行处理。
同样地，在计算机程序中，十六进制经常用于表示内存地址和数据的编码。
二进制及其转换PPT课件
2020/10/13
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中国与十进制
中国是世界上第一个同时使用“十进制”和 “位值制”的国家。古埃及、古希腊和古罗马都没 有发明位值制。古代美洲玛雅人和两河流域的古巴 比伦人虽然发明了位值制，却分别使用的是20进制 和60进制计数法。
今天通用的十进制阿拉伯数字系统，实际上是 10世纪后由印度传入地中海沿岸及西欧各国。 考证 历史，直到6世纪末以后，印度才开始使用十进制 计数法。于是，有学者认为，印度的十进制计数法 可能源自中国，古代中国才是今天通行的十进制计 数法的真正源头。
2020/10/13
2
中国与十进制
中国古代使用的是十进制计数法，即每满10个 数目就进一个单位，如10个1进为10，10个10进为 100等。十进制起源于何时已不可考，但至迟春秋时 期，中国古人就已经能够熟练使用十进制进行计数 和运算了。
中国古代的十进制计数方法实际包括了“位值
制”十进制”和“位值制”两种计数方法。位值制 就是以位置定数目，如22，同样是两个2，第一个2 因位于十位上，故代表20，第二个2因位于个位上， 故代表2。可以看出，由于使用了位值制，就可以很 简捷地记录较大的数目。
104 万 1028 穰 1052 恒河沙 1076 全仕祥 10-23 阿摩罗
108 亿 1032 沟 1056 阿僧祇
10-24 涅盘寂静
5
十进制的定义
把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数码放到相应的位 置来表示数。
数码所在的位置叫做数位，个位、十位、百位、 千位……等等。
每个数位上可以使用的数码的个数叫做这种计数 制的基数，十进制的基数是10。
每个数位所代表的数叫做位权数，进位规则“逢 十进一”。
2020/10/13
二进制数的认识与转换知识点总结
二进制数的认识与转换知识点总结在计算机科学与信息技术领域中，二进制数起着非常重要的作用。
正因如此，了解二进制数的基本概念以及相关的转换知识点对于理解计算机内部原理和编程语言十分重要。
本文将介绍二进制数的基本概念、二进制转换为十进制数和十进制数转换为二进制数的方法，以及如何进行二进制数的运算。
一、二进制数的基本概念二进制数是一种由两个数字0和1组成的数制系统。
与我们常用的十进制数系统不同，二进制数系统只包含两个数字，这是因为计算机中使用的基本单位是电子开关（开或关），分别对应于二进制数中的0和1。
二进制数采用权值的概念，根据每一位上数的权值不同来表示数的大小。
从右到左，每一位的权值是2的幂，依次增加。
例如，二进制数1010表示的是10，计算方法是0×2^0 + 1×2^1 + 0×2^2 + 1×2^3。
二、二进制转换为十进制数将二进制数转换为十进制数是我们最常遇到的问题之一。
下面是一个简单的例子，帮助我们理解该转换过程：例子：将二进制数1101转换为十进制数。
解:1×2^0 + 0×2^1 + 1×2^2 + 1×2^3 = 1 + 0 + 4 + 8 = 13通过这个例子可以看出，将二进制数转换为十进制数的方法是将每个二进制位上的数与相应的权值相乘，再将它们相加。
三、十进制数转换为二进制数除了将二进制数转换为十进制数，我们也需要了解将十进制数转换为二进制数的方法。
下面是一个例子：例子：将十进制数21转换为二进制数。
解：首先将21除以2，得到商10和余数1。
接着将商10除以2，得到商5和余数0。
然后将商5除以2，得到商2和余数1。
最后将商2除以2，得到商1和余数0。
将最后一个商1和余数0相连，得到二进制数10101，即21的二进制表示。
通过这个例子可以看出，将十进制数转换为二进制数的方法是使用除以2的整数除法，直到商为0，然后将每一步的余数从下往上排列。
二进制及其转换教案
二进制及其转换教案本节课将介绍二进制及其转换。
我们知道计算机中使用的进位制是二进制，但是什么是二进制，它与我们数学上使用的十进制有什么关系？本节课将为大家补充二进制的知识，这对于理解计算机原理非常重要。
首先，我们来了解什么是进位制。
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
最常见的进位制是十进制，它由10个数码组成，进位方法是逢十进一。
在幼儿园时，我们从最简单的个位数相加学起，逐渐学会了进位。
这是我们约定了10作为进位基数，以方便运算。
除了十进制，还有其他常见的进位制，比如60进制（时分秒的换算）、360进制（1周=360度）等。
接下来我们将重点介绍二进制。
二进制是一种进位制，由0和1两个数码组成，进位方法是逢二进一。
计算机中使用二进制是因为计算机的内部电路只能识别0和1，所以采用二进制能够更方便地进行运算。
我们将介绍十进制和二进制的相互转换，以及二进制的运算规则。
通过本节课的研究，我们可以拓展思维能力，激发探索计算机奥秘的欲望。
由于数学知识的复杂性，学生的数学要求较高，因此不同班级的课堂效果略有差异。
那些数学成绩较好的班级通常表现出更高的听课热情，而且学生研究新知识的速度也有所不同。
在板书设计方面，老师需要注意让内容简明易懂。
一、进位制是为了方便计数和运算而约定的记数系统。
它由十个数码组成，基数为10.进位方法是逢十进一，并采用位权表示法，即一个数码在不同位置上所代表的值不同。
二、二进制是另一种记数系统，同样由三部分组成：1和0两个数码来描述，基数为2，逢二进一，位权大小为2-n、2-n-1、2-n-2、……、2、21、22、……、2n。
三、在二进制和十进制之间进行转换时，有两种方法。
首先，将二进制转换为十进制，可以按照权位展开的方式进行。
其次，将十进制转换为二进制，则可以使用除2取余法。
四、课后思考：如何将45转化为5进制？。
数字的进制转换
数字的进制转换1. 概述数字的进制（进位制）是指数与位权系数的乘积相加表示数的一种方法。
常见的数字进制有十进制、二进制、八进制和十六进制。
不同进制间的转换在计算机科学、数学和信息技术等领域中有着重要的应用。
本文将介绍如何进行进制转换，并提供一些实际示例。
2. 二进制转换为十进制将二进制数转换为十进制数是一种常见的进制转换操作。
以二进制数1011为例，我们可以按照如下步骤进行转换：（1）从二进制数的最右侧开始，将每一位的数与2的幂相乘，得到对应位的值；（2）将每一位的值相加，即可得到最终的十进制数。
按照上述步骤，对于二进制数1011，我们可以计算得到：1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11。
因此，二进制数1011转换为十进制数为11。
3. 八进制转换为十进制与二进制转换为十进制类似，将八进制数转换为十进制数也涉及到将每一位的数与8的幂相乘，并将结果相加。
例如，八进制数35转换为十进制数的计算过程如下：3 * 8^1 + 5 * 8^0 = 24 +5 = 29。
因此，八进制数35转换为十进制数为29。
4. 十六进制转换为十进制将十六进制数转换为十进制数的计算规则与二进制和八进制相似，不同的是，需要将每一位的数与16的幂相乘，并将结果相加。
例如，十六进制数AF转换为十进制数的计算过程如下：A * 16^1 + F * 16^0 = 10 * 16 + 15 = 160 + 15 = 175。
因此，十六进制数AF转换为十进制数为175。
5. 十进制转换为二进制将十进制数转换为二进制数是一个比较常见的操作，可以使用除2取余法进行计算。
具体步骤如下：（1）将十进制数不断除以2，直到商为0为止；（2）将每一步得到的余数从最后一步开始，依次排列，即可得到对应的二进制数。
以十进制数13为例，我们可以按照如下步骤进行转换：（1）13 ÷ 2 = 6 余 1；（2）6 ÷ 2 = 3 余 0；（3）3 ÷ 2 = 1 余 1；（4）1 ÷ 2 = 0 余 1。
二进制及其转换教案
二进制及其转换[教学目标]1、认知目标（1）掌握进位制概念；（2）理解进制的本质；（3）掌握十进制和二进制的相互转换；（4）了解计算机所采用的数制及计算机采用二进制数的原因。
2、技能目标掌握二进制数和十进制数转换以及运算规则。
3、能力目标对学生思维能力进行拓展，激发他们探索计算机奥秘的欲望。
[教学重点]（1）进制的本质组成（2）十进制与二进制间的相互转换[难点]（1）进制的本质组成（2）十进制与二进制间的相互转换[教学方法]讲授法???举例法?[授课地点]普通教室，不用多媒体[教学过程]一、? 引入新课对计算机稍微了解的同学就知道计算机中使用的进位制是二进制，那什么是二进制，它跟我们数学上使用的十进制有什么联系。
这节课准备给大家补充点二进制的知识，这跟数学关系很密切，请同学务必认真听课。
二、? ?切入课堂内容1、什么是进位制提出问题：什么是进位制？最常见的进位制是什么？学生普遍回答是十进制。
教师继续提问：那十进制为什么叫十进制？引起学生的思考。
(部分经过思考的学生回答是约定的)教师提醒学生一起回忆幼儿园开始学习算术的情景。
当是我们是从最简单的个位数相加学起，比如2+3=？，当时我们会数手指，2个手指+3个手指等于5个手指，答案为5。
那4+6呢？4个手指+6个手指等于10个手指，10个手指刚好够用。
那6+9呢？当时我们就困惑了。
记得当时老师是告诉我们把6拆成1+5，9+1=10，这时老师跟我们约定用一个脚趾表示10，另外用5个手指表示5。
这样通过脚趾，我们就成功解决了两个数相加超过10的问题。
教师提问：那当时我们为什么要约定10呢，为什么用9或11？引起学生思考。
(部分经过思考的学生回答为了方便运算)教师提问：除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明。
拓展学生的思维。
有学生回答60进制(时分秒的换算)，360进制(1周=360度)，二进制等等。
教师和学生一起归纳进位制的概念，学生和老师形成共识：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
二进制及其转换2014
这种逢几进一的计数法，称为进位计数制。 简称“数制”或“进制”。
3
十进制特点是逢十进一
(3333)=3×103+3×102+3×101+3×100
十进制数位就是个位、十位、百位、千位、 万位、十分位、百分位，千分位等等。 每个数位可以使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十个数码， 基数是10。 十进制位权数：
13
四、知识背景介绍
莱布尼兹 （Gottfriend Wilhelm von Leibniz 1646.7.1.—1716.11.14.） 德国最重要的自然科学家、数学家、 物理学家、历史学家和哲学家，一个举世 罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创 建人。在数学史上，他应该是第一个明确 提出二进制数这个概念的科学家。
第11章 逻辑代数初步
11.1 二进制及其转换
1
网购：
日常生活中， 我们经常会使用各 种数字，如一部苹 果iPhone 4S手机淘 宝不同卖家的价格 分别为3440.67元、 4080.32元、4080.10 元、3350.38元等。 这些数都是十进制 数。
2
在实际应用中，还使用其他的计数制， 如三双鞋（两只鞋为一双）、两周实习（七 天为一周）、4打信封（十二个信封为一打）、 半斤八两（一斤十六两）、三天（72小时）、 一刻钟（15分）、二小时（120分）等等。
2
1
0
9
三、例题与练习
练习：将下列二进制数换算成十进制数 （1）(101)2 ; （2）(101011)2 解：（1） (101)2 = 1×22+0×21+1×20=4+0+1=(5)10 （2）(101011)2 = 1×25+0×24+1×23 +0×22 +1×21 +1×20= 32+0+8+0+2+1=(43)10
数字二进制转换方法
数字二进制转换方法主要包括二进制与十进制、八进制以及十六进制之间的转换。
以下是具体的转换步骤：1.二进制与十进制之间的转换：二进制转十进制：将二进制数按权展开，然后相加即可得到十进制数。
例如，二进制数1011转换为十进制为：1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11。
十进制转二进制：采用除2取余法，即将十进制数除以2，得到的商再除以2，依次类推直至商为0或1时为止，然后在旁边标出各步的余数，最后倒着写出来（高位补零）。
例如，十进制数23转换为二进制为：23÷2=11余1，11÷2=5余1，5÷2=2余1，2÷2=1余0，1÷2=0余1，所以23（十进制）=10111（二进制）。
2.二进制与八进制之间的转换：二进制转八进制：将3位二进制数按权展开相加得到1位八进制数。
例如，二进制数101101（共6位，不足8位，高位补0）分节得001 011 010，每三位二进制转换成一位八进制：001→1，011→3，010→2，得到八进制数132。
八进制转二进制：将八进制数通过除2取余法，得到二进制数，对每个八进制为3个二进制，不足时在最左边补零。
3.二进制与十六进制之间的转换：二进制转十六进制：与二进制转八进制方法近似，十六进制是取四合一，即每四位二进制数转换为一位十六进制数。
例如，二进制数10110111011转换为十六进制为：10110111011（共11位，不足16位，高位补0）= 0B7B（十六进制）。
十六进制转二进制：将十六进制数通过除2取余法，得到二进制数，对每个十六进制为4个二进制，不足时在最左边补零。
1。
计算机常用数制之间的转换
计算机常用数制之间的转换计算机常用的数制包括二进制（Binary）、十进制（Decimal）、八进制（Octal）和十六进制（Hexadecimal）。
以下是它们之间的转换方法：1. 二进制转十进制：将二进制数每一位乘以对应位权重（2的幂），然后相加得到十进制数。
例如：二进制数 1011 转为十进制数：(1 × 2^3) + (0 × 2^2) + (1 × 2^1) + (1 × 2^0) = 8 + 2 + 1 = 112. 十进制转二进制：将十进制数连续除以2取余数，直至商为0，将所有余数倒序排列就是二进制数。
例如：十进制数 27 转为二进制数：27 ÷ 2 = 13 余 113 ÷ 2 = 6 余 16 ÷ 2 = 3 余 03 ÷ 2 = 1 余 11 ÷2 = 0 余 1将余数倒序排列得到二进制数 110113. 八进制转二进制：将八进制数每一位转为对应的三位二进制数。
例如：八进制数 753 转为二进制数：7=111，5=101，3=011合并得到二进制数 11110114. 二进制转八进制：将二进制数每三位分组，转为对应的一位八进制数。
例如：二进制数 11011 转为八进制数：11=3，011=3合并得到八进制数 335. 十六进制转二进制：将十六进制数每一位转为对应的四位二进制数。
例如：十六进制数 BA1C 转为二进制数：B=1011，A=1010，1=0001，C=1100合并得到二进制数 10111010000111006. 二进制转十六进制：将二进制数每四位分组，转为对应的一位十六进制数。
例如：二进制数 1011101000011100 转为十六进制数：1011= B，1010= A，0001=1，1100= C合并得到十六进制数 BA1C。
二进制的转化方法
二进制的转化方法嘿，咱就来说说二进制的转化方法。
二进制呢，就是只有0 和 1 这俩数字。
跟咱平时用的十进制可不一样。
十进制有十个数字，从0 到9。
但二进制就简单多啦，不是0 就是1。
要是把十进制数转化成二进制呢，有个办法。
比如说咱有个十进制数10。
咱就拿这个数不断地除以2。
10 除以 2 等于5，这时候没余数，咱就记个0。
接着 5 再除以 2 等于 2 余1，咱就记个1。
然后 2 除以 2 等于1，又没余数，再记个0。
最后 1 除以 2 等于0 余1，记个1。
把咱记的这些数字倒过来，就是1010，这就是十进制数10 转化成的二进制。
反过来，要是把二进制数转化成十进制呢，也不难。
比如说有个二进制数1101。
咱从右边开始，第一位数字是1，这代表的就是 1 乘以 2 的0 次方，等于1。
第二位数字是0，这就是0 乘以 2 的 1 次方，还是0。
第三位数字是1，这就是 1 乘以 2 的 2 次方，等于4。
第四位数字是1，这就是 1 乘以 2 的 3 次方，等于8。
然后把这些数加起来，1 加0 加 4 加8 等于13，这就是二进制数1101 转化成的十进制。
咱再举个例子，要是有个十进制数15。
咱就这么算，15 除以2 等于7 余1，记个1。
7 除以2 等于3 余1，再记个1。
3 除以 2 等于 1 余1，又记个1。
1 除以 2 等于0 余1，最后记个1。
倒过来就是1111，这就是十进制数15 转化成的二进制。
反过来，要是有个二进制数1011。
咱从右边开始，第一位数字是1，这就是 1 乘以 2 的0 次方，等于1。
第二位数字是1，这就是 1 乘以 2 的 1 次方，等于2。
第三位数字是0，这就是0 乘以 2 的 2 次方，等于0。
第四位数字是1，这就是 1 乘以 2 的 3 次方，等于8。
加起来就是 1 加 2 加0 加8 等于11，这就是二进制数1011 转化成的十进制。
俺记得有一回，俺帮俺朋友弄电脑。
他那电脑出了点问题，需要用二进制来调试。
2进制、10进制和16进制的相互转换
整数时十进制与二进制相互转换：二进制的1101转化成十进制1101（2）=1*2^0+0*2^1+1*2^2+1*2^3=1+0+4+8=13转化成十进制要从右到左用二进制的每个数去乘以2的相应次方，不过次方要从0开始。
相反，用十进制的13除以2，每除一下将余数就记在旁边，最后按余数从下向上排列就可得到1101。
由二进制数转换成十进制数的基本做法是，把二进制数首先写成加权系数展开式，然后按十进制加法规则求和。
这种做法称为“按权相加”法。
2的0次方是12的1次方是22的2次方是42的3次方是82的4次方是162的5次方是322的6次方是642的7次方是1282的8次方是2562的9次方是5122的10次方是10242的11次方是20482的12次方是40962的13次方是81922的14次方是163842的15次方是32768有小数点的十进制与二进制之间的转换：十进制数转换为二进制数时，由于整数和小数的转换方法不同，所以先将十进制数的整数部分和小数部分分别转换后，再加以合并。
例如19.95 转2进制分为两个步骤：(1) 小数点前：19/2=9余19/2=4 余14/2=2 余02/2=1 余01/2=0 余1由下往上取余数10011(2) 小数点后0.95*2 = 1.9 取整1（1.9-1）*2 = 1.8 取整1（1.8-1）*2 = 1.6 取整1（1.6-1）*2 = 1.2 取整1（1.2-1）*2 = 0.4 取整0（0.4-0）*2 = 0.8 取整0（0.8-0）*2 = 1.6 取整1（1.6-1）*2 = 1.2 取整1假设小数精度为8位，从上往下去则小数点后为0.11110011故19.95 转化为二进制为10011.11110011整数时八进制数转换为十进制数：八进制就是逢8进1。
八进制数采用0～7这八数来表达一个数。
八进制数第0位的权值为8的0次方，第1位权值为8的1次方，第2位权值为8的2次方，以此类推。
二级进制转换
二级进制转换在计算机科学中，二进制转换是一项非常重要的技能。
它涉及将数字或其他数据从十进制转换为二进制或从二进制转换为十进制。
在这篇文章中，我将详细阐述二进制转换的过程，并提供一些示例来帮助读者更好地理解。
二进制(Binary)是一种适用于计算机和电子设备的数制系统。
它只包含两个数字，即0和1。
这与我们平常使用的十进制(Decimal)数制不同，十进制数有0-9共计10个数字。
让我们首先看看将十进制数转换为二进制数的过程。
为了将一个十进制数转换为二进制数，我们可以使用“除以2”的方法。
这个方法涉及到反复地将给定的十进制数除以2，直到商为0，并记录下所有的余数。
举个例子，考虑将十进制数27转换为二进制数的过程。
我们首先将27除以2并记录下商和余数。
商为13，余数为1。
然后我们将13再次除以2，并记录下商和余数。
商为6，余数为1。
我们重复这个过程，直到商为0。
这时我们就可以将所有的余数，“从下往上”排列，得到二进制数10101，这就是27的二进制表示。
接下来，我们将介绍将二进制数转换为十进制数的过程。
这个过程比较简单，只需要将二进制数的每一位乘以2的n次方，其中n表示二进制数的位置(从右到左递增)。
然后将所有乘积相加，即可得到对应的十进制数。
让我们通过一个例子来说明这个过程。
考虑将二进制数10101转换为十进制数的过程。
我们将二进制数的每一位乘以2的n次方。
最右边的位乘以2的0次方，得到1。
下一位乘以2的1次方，得到2。
我们继续这个过程，直到最左边的位乘以2的4次方，得到16。
然后将所有乘积相加，1+2+16，得到十进制数19。
在计算机系统中，二进制转换是非常常见的。
计算机系统只能理解二进制数，因此在进行实际计算时，我们经常需要将数据从十进制转换为二进制，然后再进行相关操作。
例如，在计算机内部，所有的整数和字符都以二进制形式表示。
此外，二进制转换还有其他一些相关的领域。
例如，将二进制数转换为十六进制数或八进制数。
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问题解决：
1.你能将八进制各个数位的权数填在下表中吗 位置 位权数 整数部分
…
...
第三位
第二位
第一位
82
81
80
2.将（11）2和（11）8分别换算成十进制，它们相等吗？
1 0 （ 11 ） =1 2 +1 2 3 2
(11)8 1 81 +1 80 =9
5 4 3
0 22 1 21 1 20
2018/10/10 数学 13
例2 将下列二进制数转换成十进制数
步骤：①将二进制数写为按权展开式形式； ②计算按权展开式得十进制数. （1） (110)2 （2） (101011)2
解：
（1）（ 110） 2 1 2 1 2 0 2 (6)10
2018/10/10
数学
7
2. 十进制 特点:逢十进一
数位： 个位、十位、百位、千位、万位、十分位、百分位，千分位等等。 数码： 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 基数： 10 十进制位权数：
位置
整数部分 …
第三位 第二位 第一位
小数部分 第一位 第二位 …
-1
位权数 ...
2018/10/10
2018/10/10 数学 18
作业：
课本P5
1，2，3
2018/10/10
数学
19
2018/10/10 数学 16
例3： 将十进制（101）10数换算成二进制数
解：
2 101 1 2 50 0 2 25 1 2 12 0 26 23 1 0 1 1
读 数 方 向 由 下 往 上
（ 101 ） 1100101 ） 所以， 10 =（ 2
数学
11
二进制数的意义是各个数位的数码 与其位权数乘积之和。
(110)2
= 1×22+1×21+0×20
2018/10/10
数学
12
例1.写出下列各数的按权展开式
(1)（532） 10
（2） （ 12.35） 10
（3）（ 1100） 2
（4） （ 100011 ） 2
2 1 0 (1) （ 532 ） =5 10 +3 10 +2 10 解： 10
10
2
10 10 10
数学
1
0
10
-2
...
8
十进制数的意义是各个数位的数码与其位权数乘积之和。
例如，
365=3X 102+6X101+5X100 2.68=2X100 +6X10-1 +8X10-2
这种式子叫做按权展开式
2018/10/10
数学
9
探究
你一定也听说过二进制，与十进制类比，你能回 答下面的问题吗？ （1）二进制的基数是什么？
2018/10/10
数学
3
11.1 二进制及其转换
2018/10/10
数学
4
日常生活中， 我们经常会使用各 种数字，如一部苹 果iPhone 8Plus手机 淘宝不同卖家的价 格分别为3788元、 3900元、3422元等。 这些数都是十进制 数。
2018/10/10
数学
5
在实际应用中，还使用其他的计数制， 如三双鞋（两只鞋为一双）、两周实习（七 天为一周）、4打信封（十二个信封为一打）、 三天（24小时为一天）、一刻钟（15分）、 二小时（60分钟为一小时）等等。
如何将一个十进制数换算成二进制数？
2018/10/10
数学
15
探究：十进制数8和21转换成二进制数分别是多少？
把十进制化成2的各次幂之和的形式，并且各 次幂的系数只能取0和1
除2取余法：不断用2去除要换算的十进制数，
若余数为1，则相应数位的数码为1，若余数为0，则 相应数位的数码为0，一直除到商是1为止，然后按 照从高位到低位的顺序写出换算结果。
这种逢几进一的计数法，称为进位计数 制。简称“数制”“进制”。
2018/10/10
数学
6
11.1 二进制及其转换 1. 数制的概念
用一组固定的数码(数字和符号)和一套统一的 规则(逢N进一)来表示数目的方法。
• 数位：数码所在的位置。 • 基数：每个数位上可以使用的数码的个数。 • 位权数：每个数位所代表的数。
（2）二进制每个数位上有几个不同的数码？分别是什么？
（3）二进制的进位规则是什么？
位置
位权数
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整数部分
…
…
数学 10
第3位
第2位
第1位
3. 二进制
二进制特点是逢二进一
• 基数：2 • 数码：0,1 • 位权数：
位置 整数部分 …
第三位 第二位 第一位
位权数
...
22
21
20
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1 0 1 2 （2） （ 12.35） 1 10 2 10 3 10 5 10 10
3 2 1 0 （ 3）（ 1100） 1 2 1 2 0 2 0 2 2
（4） （ 100011 ） 2 1 2 0 2 0 2
第11章 逻辑代数初步
2018/10/10
数学
1
主要内容：
11.1 二进制及其转换 11.2 命题逻辑与条件判断 11.3 逻辑变量与基本运算 11.4 逻辑式与真值表
11.5 逻辑运算律
2018/10/10 数学 2
逻辑代数的产生：
1849年英国数学家乔治.布尔 (George Boole)首先提出，用来描 述客观事物逻辑关系的数学方法— —称为布尔代数。后来被广泛用于 开关电路和数字逻辑电路的分析与 设计，所以也称为开关代数或逻辑 代数。 逻辑代数中用字母表示变量——逻辑变量， 每个逻辑变量的取值只有两种可能——0和1。它 们也是逻辑代数中仅有的两个常数。0和1只表示 两种不同的逻辑状态，不表示数量大小。
2 1 0
5 4 3 （2） （ 101011 ） 1 2 0 2 1 2 2
0 22 1 21 1 20
(43)10
2018/10/10
P3 练习 2
数学
14
二进制------十进制
将这个二进制数写成各个数位的数 码与其位权数乘积之和的形式，然后 计算出结果。