几何证明中常用辅助线——中线倍长法及截长补短

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几何证明中常用辅助线

(一)中线倍长法:

例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. 3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF （二）截长补短法

教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补

D

A

B

C

M

T

E

A

B

C

D

图1-1

短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1.

已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +

∠BCD =180°.

分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺

⎩

⎨

⎧==BP BP PD

PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .

N

图3-1

P

1

2

N

A

B

C

D

E

图3-2

∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE . 在Rt △APE 与Rt △CPD 中,

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°

例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.

求证：AB =AC +CD .

（三）其它几种常见的形式：

1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。

例1、如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF.

2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

A B

C

D E

F

N

1

图123

4

C

A 12

例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF.

练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4，求证EF ＝2AD 。 3、延长已知边构造三角形：

例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ，

（1）若2AE =，求EF 的长； （2）求证：PF EP EB =+。

9．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ．点E 是线段DO 上

一点，连结CE ．点F 是∠OCE 的平分线上一点，且BF ⊥CF 与CO 相交于点M ．点G 是线段CE 上一点，且CO =CG ． （1）若OF =4，求FG 的长； （2）求证：BF =OG +CF ．

A

B

C

D

E

F

4

图 D

9题图