弹簧-质量-阻尼实验指导书
弹簧-质量-阻尼实验指导书
质量-弹簧-阻尼系统实验教学指导书北京理工大学机械与车辆学院2016.3实验一：单自由度系统数学建模及仿真 1 实验目的（1）熟悉单自由度质量-弹簧-阻尼系统并进行数学建模； （2）了解MATLAB 软件编程，学习编写系统的仿真代码； （3）进行单自由度系统的仿真动态响应分析。
2 实验原理单自由度质量-弹簧-阻尼系统，如上图所示。
由一个质量为m 的滑块、一个刚度系数为k 的弹簧和一个阻尼系数为c 的阻尼器组成。
系统输入：作用在滑块上的力f (t )。
系统输出：滑块的位移x (t )。
建立力学平衡方程：m x c x kx f ∙∙∙++=变化为二阶系统标准形式：22f x x x mζωω∙∙∙++=其中：ω是固有频率，ζ是阻尼比。
ω=2c m ζω== 2.1 欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f (t )和非零初始状态的响应：()()sin()))]t t x t t d e ζωττζωττ+∞--=∙-=-+-⎰2.2 欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f(t)=f0*cos(ω0*t) 和非零初始状态的的响应：02230022222002222222()cos(arctan())2f[(0)]cos()[()(2)]sin(ttx t tx ekeζωζωζωωωωωζωωωωζωω-∙-=--++-++)输出振幅和输入振幅的比值：A=3 动力学仿真根据数学模型，使用龙格库塔方法ODE45求解，任意输入下响应结果。
仿真代码见附件4 实验4.1 固有频率和阻尼实验（1）将实验台设置为单自由度质量-弹簧-阻尼系统。
（2）关闭电控箱开关。
点击setup菜单，选择Control Algorithm，设置选择Continuous Time Control，Ts=0.0042，然后OK。
（3）点击Command菜单，选择Trajectory，选取step,进入set-up,选取Open Loop Step 设置(0)counts, dwell time=3000ms,(1)rep, 然后OK。
弹簧检验操作作业指导书(一)2024
弹簧检验操作作业指导书（一）引言：弹簧是一种常见的机械零件，广泛应用于各种领域。
为了确保弹簧的质量和性能，进行弹簧检验是非常重要的。
本文档将详细介绍弹簧检验的操作作业指导，并根据不同的检验要求将其分为5个大点进行阐述。
正文：一、弹簧尺寸检验1. 准备检验工具和设备：游标卡尺、显微镜等。
2. 测量弹簧的直径、螺距和总圈数。
3. 根据设计要求，将测量结果与允许偏差进行比对。
4. 如有偏差，记录并汇报给相关部门进行处理。
二、弹簧力学性能检验1. 准备检验工具和设备：弹簧压缩试验机、弹簧硬度测试仪等。
2. 进行弹簧的压缩试验，并记录压缩高度和受力情况。
3. 使用弹簧硬度测试仪测量弹簧的硬度指标。
4. 根据设计要求和标准，将测量结果与标准值进行比较。
5. 如有不符合要求的情况，记录并进行进一步分析，找出原因并提出改进建议。
三、表面质量检验1. 准备检验工具和设备：放大镜、平板、光源等。
2. 检查弹簧表面是否平整、无裂纹和变形等缺陷。
3. 观察弹簧表面是否存在氧化、锈蚀等情况。
4. 按照质量检验标准，将表面质量进行等级划分，并记录检验结果。
四、弹簧材料检验1. 准备检验工具和设备：金相显微镜、拉力试验机等。
2. 从弹簧样品中取出试样，并进行金相显微镜观察。
3. 使用拉力试验机进行拉伸试验，记录材料的拉伸强度和伸长率等指标。
4. 将试验结果与材料要求进行对比分析，并做出评估。
五、工艺检验1. 准备检验工具和设备：显微镜、热处理设备等。
2. 检查弹簧的工艺流程是否符合要求。
3. 使用显微镜观察弹簧的金相组织，判断热处理效果。
4. 检查工艺记录和工艺控制是否完整和准确。
总结：本文档通过引言、5个大点的阐述以及相关的小点，详细介绍了弹簧检验的操作作业指导。
弹簧尺寸检验、弹簧力学性能检验、表面质量检验、弹簧材料检验和工艺检验是确保弹簧质量的重要环节。
通过合理的操作和准确的测量判断，可以保证弹簧的质量和性能符合设计要求，并为进一步的生产和使用提供可靠的保障。
弹簧检验操作作业指导书(二)2024
弹簧检验操作作业指导书（二）引言概述：本文旨在为弹簧检验操作提供详细指导，以确保操作人员能够正确、高效地完成弹簧检验工作，并确保产品质量符合标准要求。
本指导书分为五个大点，分别为弹簧外观检查、弹簧尺寸测量、弹簧硬度检测、弹簧负荷测试及弹簧表面处理检验。
正文：一、弹簧外观检查1. 检查弹簧表面是否存在明显的划痕、磨损或氧化等缺陷。
2. 观察弹簧的形状是否符合要求，是否存在扭曲或变形。
3. 检查弹簧上的标识、图案或雕纹等是否清晰可辨。
二、弹簧尺寸测量1. 使用合适尺寸的千分尺或游标卡尺测量弹簧的直径、长度等关键尺寸。
2. 对于螺旋弹簧，测量每个圈的直径，并确保直径的变化范围在标准允许的范围内。
3. 检查圈数是否符合要求，测量圈数时应排除两端的两个圈。
三、弹簧硬度检测1. 使用硬度计等设备，对弹簧进行硬度的检测。
2. 检查弹簧的硬度是否在规定的范围内。
四、弹簧负荷测试1. 使用负荷测试设备，对弹簧进行负荷测试。
2. 根据产品要求，施加标准负荷并检查弹簧的压缩或拉伸情况。
3. 检查弹簧在负荷下的变形情况是否符合规范要求。
五、弹簧表面处理检验1. 检查弹簧的表面处理是否符合要求，如电镀、喷涂等。
2. 检查表面处理的效果，如颜色、光泽等。
3. 检查是否存在气泡、斑点或麻点等表面缺陷。
总结：通过对弹簧的外观检查、尺寸测量、硬度检测、负荷测试以及表面处理检验等方面的综合操作，我们可以确保弹簧的质量符合标准要求，并为产品的正常运行提供充分保障。
在操作过程中，操作人员应严格按照操作规程进行操作，并及时记录和报告任何异常情况，以便及时采取纠正措施。
科学探索：初中物理实验指导手册
科学探索：初中物理实验指导手册初中物理实验是培养学生科学思维和实践能力的重要环节。
为了帮助初中生更好地进行物理实验，我们编写了这本《初中物理实验指导手册》，旨在提供清晰、详细的步骤和操作指导。
下面将以几个具体例子，介绍一些常见的初中物理实验。
1. 弹簧测量弹性系数实验目标：通过测量弹簧伸长量和所加力的关系，计算出弹簧的弹性系数。
实施步骤：- 准备工作：取一根未拉伸过的弹簧，并用尺子测量其长度L0。
- 操作步骤：a) 将一个质量m挂在弹簧下方，并记录此时所产生的伸长长度x。
b) 根据胡克定律（F=kx），画出m与x之间的线性关系图。
c) 通过拟合直线求得斜率k即为该弹簧的弹性系数。
2. 热传导速度实验目标：观察不同材料对于温度变化传播速度及传导特点，并探索相关因素影响程度。
实施步骤：- 准备工作：准备不同材料（如金属、塑料）的棒状样本。
- 操作步骤：a) 在棒状样本两端分别固定温度计，并记录精确的初始温度T1。
b) 在一端加热或冷却，保持另一端温度不变，观察到达指定位置时的时间t2，并记录此时的温度T2。
c) 计算传导速率v=Δx/Δt=(L2-L1)/(t2-t1)，其中L为指定位置距离初始点长度差值。
3. 牛顿第二定律实验目标：验证牛顿第二定律并测量物体受力与加速度之间的关系。
实施步骤：- 准备工作：准备小车、光电门和重物等实验器材。
- 操作步骤：a) 将一个已知质量m的重物挂在小车上，并将小车放在平滑水平面上。
b) 通过设置合适大小和方向的拉力F，使小车处于匀加速运动状态。
利用光电门检测小车经过不同位置所花费的时间，并记录数据。
c) 根据公式F=ma，绘制出力与加速度之间的线性关系图，并通过拟合直线求得斜率m即为该重物的质量。
这些实验只是《初中物理实验指导手册》中的一小部分，帮助初中生更好地进行物理实验。
通过这些实践探索和操作过程，学生可以培养科学思维和动手能力，同时深入了解物理规律。
我们希望这本指导手册能够成为他们在学校或家庭进行实验时的有益工具，并引发对于科学知识进一步探索、创新和应用的热情。
阻尼振动实验
阻尼振动实验阻尼振动是物体在受到外力作用后产生的振荡现象，其中阻尼力的大小和形式对振动的行为有着重要的影响。
通过进行阻尼振动实验，可以更好地理解振动现象并研究其特性。
本文将介绍关于阻尼振动实验的设备和步骤，并探讨实验结果的分析。
一、实验设备为了进行阻尼振动实验，我们需要以下设备：1. 阻尼振动实验装置：包括弹簧、振动台和负载等。
2. 振动传感器：用于测量物体的振动幅度和频率等参数。
3. 计时器：用于测量振动周期和周期的变化。
二、实验步骤1. 设置实验装置：将弹簧固定在振动台上，确保其垂直并能自由振动。
将负载挂在弹簧下方，用以增加振动的阻尼。
2. 测量振动周期：将振动台拉开一定距离使其振动，并使用计时器测量振动的周期。
多次测量取平均值以提高准确性。
3. 引入阻尼：在一定条件下改变负载的大小，观察振动的行为。
可尝试多组不同负载以获得不同阻尼下的振动数据。
4. 记录振动数据：使用振动传感器测量振动的幅度和频率等参数，并将数据记录下来。
5. 分析数据：根据实验数据绘制振动幅度和频率的图表，并对其进行比较和分析。
三、实验结果分析根据实验数据的分析，我们可以得出以下结论：1. 阻尼力的大小和形式对振动的行为有着显著影响。
负载的增加会导致阻尼力的增加，从而减小振动的幅度和频率。
当负载达到一定值后，振动将完全停止。
2. 随着阻尼力的增加，振动的周期也会变化。
阻尼越大，周期越长。
3. 不同阻尼下的振动行为有所差异。
当阻尼较小时，振动呈现较大的幅度和较高的频率；而当阻尼较大时，振动幅度和频率均减小。
总结：通过阻尼振动实验，我们可以更好地理解物体振动的特性。
实验结果表明阻尼力对振动现象的影响是显著的。
在实际应用中，对于需要控制振动的系统，合理选择和调整阻尼力是十分重要的。
通过综合分析不同阻尼下的振动行为，我们可以更好地优化系统设计，提高其性能和安全性。
附：实验注意事项1. 确保实验装置的稳定性和安全性。
2. 准确测量振动参数，避免误差。
弹簧检验操作作业指导书
弹簧检验操作作业指导书弹簧检验操作作业指导书一、文章类型及目的本文旨在为进行弹簧检验操作的人员提供一份详细的作业指导书，以便正确地完成弹簧检验过程，确保产品质量和生产效率。
二、关键词弹簧、检验、操作、指导、质量、生产。
三、操作流程1、准备工作：检查弹簧是否符合检验要求，确定检验工具和设备，准备好防护措施。
2、外观检查：观察弹簧的外观是否存在明显的缺陷或损伤，如弯曲、变形、裂纹等。
3、尺寸测量：使用测量工具对弹簧的尺寸进行测量，包括直径、长度、间距等，确保符合设计要求。
4、性能测试：采用专用设备对弹簧进行拉伸、压缩、弯曲等性能测试，以验证其是否符合产品标准。
5、记录分析：将检验结果记录下来，进行数据分析和对比，确定弹簧的合格与否。
6、后续处理：根据检验结果对弹簧进行分类处理，对不合格品进行修复或报废，对合格品进行包装和发货。
四、常见问题及解决方法1、弹簧变形：可能是由于加工工艺不当或使用不当导致的，解决方法是重新加工或更换弹簧。
2、弹簧断裂：可能是由于材料缺陷或加工不当导致的，解决方法是更换弹簧或改进加工工艺。
3、尺寸超差：可能是由于制造误差或使用不当导致的，解决方法是重新加工或更换弹簧。
五、安全注意事项1、操作前必须认真检查工具和设备是否完好，以防发生意外事故。
2、操作时应注意避免受伤，如戴好手套、防护眼镜等。
3、在操作过程中，禁止将工具放在不安全的地方，以防造成伤害。
六、总结及建议本文提供了一份详细的弹簧检验操作作业指导书，旨在帮助操作人员正确地完成弹簧检验过程，确保产品质量和生产效率。
为了更好地完成弹簧检验工作，建议加强操作人员的培训和学习，不断完善检验流程和设备，以确保生产出更高质量的弹簧产品。
弹簧-质量-阻尼系统的建模及控制系统设计说明书
分数: ___________任课教师签字：___________华北电力大学研究生结课作业学年学期：第一学年第一学期课程名称：线性系统理论学生姓名：学号：提交时间：2014.11.27目录1 研究背景及意义 (3)2 弹簧-质量-阻尼模型 (3)2.1 系统的建立 (3)2.1.1 系统传递函数的计算 (5)2.2 系统的能控能观性分析 (7)2.2.1 系统能控性分析 (8)2.2.2 系统能观性分析 (9)2.3 系统的稳定性分析 (10)2.3.1 反馈控制理论中的稳定性分析方法 (10)2.3.2 利用Matlab分析系统稳定性 (10)2.3.3 Simulink仿真结果 (12)2.4 系统的极点配置 (15)2.4.1 状态反馈法 (15)2.4.2 输出反馈法 (16)2.4.2 系统极点配置 (16)2.5系统的状态观测器 (18)2.6 利用离散的方法研究系统的特性 (20)2.6.1 离散化定义和方法 (20)2.6.2 零阶保持器 (21)2.6.3 一阶保持器 (24)2.6.4 双线性变换法 (26)3.总结 (28)4.参考文献 (28)弹簧-质量-阻尼系统的建模与控制系统设计1 研究背景及意义弹簧、阻尼器、质量块是组成机械系统的理想元件。
由它们组成的弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统，在生活中具有相当广泛的用途，缓冲器就是其中的一种。
缓冲装置是吸收和耗散过程产生能量的主要部件，其吸收耗散能量的能力大小直接关系到系统的安全与稳定。
缓冲器在生活中处处可见，例如我们的汽车减震装置和用来消耗碰撞能量的缓冲器，其缓冲系统的性能直接影响着汽车的稳定与驾驶员安全；另外，天宫一号在太空实现交会对接时缓冲系统的稳定与否直接影响着交会对接的成功。
因此，对弹簧-质量-阻尼系统的研究有着非常深的现实意义。
2 弹簧-质量-阻尼模型数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。
质量弹簧阻尼课程设计
质量弹簧阻尼课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解质量弹簧阻尼模型的基本原理，掌握其数学表达和物理意义。
2. 学生能运用质量弹簧阻尼模型分析简单的动力系统，解释实际工程中的振动现象。
3. 学生能掌握质量弹簧阻尼系统的自由振动和受迫振动的区别，并描述它们的特点。
技能目标：1. 学生能够运用所学知识，建立简单的质量弹簧阻尼系统的数学模型，进行数值模拟和结果分析。
2. 学生能够设计简单的实验，验证质量弹簧阻尼系统的动态特性，提高实验操作和数据分析能力。
3. 学生能够运用现代技术工具，如计算软件，进行质量弹簧阻尼系统的模拟和分析。
情感态度价值观目标：1. 学生通过本课程的学习，培养对物理现象的好奇心，激发对科学研究的兴趣。
2. 学生通过团队合作解决问题，培养合作精神和沟通能力，增强解决问题的自信心。
3. 学生能够认识到质量弹簧阻尼系统在工程实际中的应用价值，理解科技与生活的紧密联系，提高社会责任感和创新意识。
本课程针对高中物理相关内容，结合学生年龄特点和认知水平，注重理论与实践相结合，培养学生科学思维和动手能力。
通过课程学习，使学生能够将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的综合能力。
二、教学内容1. 质量弹簧阻尼模型的基本概念与原理- 质量弹簧系统的自由振动- 阻尼对振动系统的影响- 质量弹簧阻尼系统的数学描述2. 质量弹簧阻尼系统的动态特性分析- 自由振动的解析解- 受迫振动的稳态响应- 阻尼对系统响应的影响3. 实际工程中的质量弹簧阻尼应用案例- 汽车悬挂系统- 建筑结构减震设计- 机械设备的振动控制4. 实验教学- 质量弹簧阻尼系统的搭建与测试- 实验数据采集与分析- 验证理论模型的准确性5. 教学软件应用- 使用物理仿真软件进行数值模拟- 模拟不同参数下的振动响应- 分析结果与理论模型的对比本教学内容基于课本相应章节，结合课程目标进行系统组织。
教学大纲明确教学内容安排和进度，注重理论与实践相结合，使学生在掌握基本原理的基础上，学会分析实际问题，提高综合运用能力。
用静态法和动态法测弹簧的质量指导书
用静态法和动态法测弹簧的质量实验目的:1、先用静态的方法测量弹簧的质量，再用外推发求算弹簧的等效质量。
2、要求测出2种情况下的质量，并进行数据的分析和比较。
3、测出数据后，思考哪个更加精确，进而思考产生的误差又是什么原因造成的。
实验仪器：1、焦里氏秤2、砝码3、秒表4、游标卡尺实验原理：1、在一竖直悬挂的螺旋形弹簧下端挂一物体，可使其上下做简谐运动。
在弹簧限度内，弹力与位移成正比，即有：F= -KX式中：K为弹簧的倔强系数，“-”表示F与X始终反向。
其振动周期为：2T=式中：m为悬挂物体的质量，K为忽略弹簧质量时，弹簧的倔强系数。
若m及T 已知，则可以求得K，但实际上弹簧本身是有质量的，所以上式为：T=2式中：Ko为考虑弹簧质量时，弹簧的倔强系数，Δm为弹簧的等效质量。
由上式可以知道弹簧的等效质量可以由m-2T图线在轴上之交点A求得，如图1所示。
2、取一没有形变的弹簧，在没有拉伸的情况下有游标卡尺测出它的长度，记录之。
然后将弹簧挂在焦里氏秤上，下面不加任何砝码，然后再次测量它的长度，记录之。
最后将两者的数据相减求得的数据就是弹簧在自身重力下所伸长的长度，然后根据公式：F= -KX其中F=G=mg，K是忽略弹簧质量时的倔强系数（将弹簧自身的重量看成是砝码的重量）。
这样就可以测出弹簧的质量了。
实验步骤：一、动态法1、如图所示，首先，调节焦里氏秤下部的三只底脚整平螺丝，使支架呈铅直状态。
2、将需要测量的弹簧挂在横梁上，并将带刻线的小铝竿一端挂砝码盘，另一端穿过玻璃管与弹簧的下端想连接。
3、调整“米尺调节旋钮“，使米尺上升（或下降）直到小铝杆上的中间刻线与玻璃管刻线对齐为止，记下米尺的读数L o。
4、在砝码盘内加2克的砝码，由于重力的作用，弹簧伸长到小铝杆中间刻度不再与玻璃管刻线对齐。
通过调节“米尺调节旋钮“可以使小铝杆中间刻线上升，再次与玻璃管刻线对齐，记下此时的米尺读数为L1，然后逐次加2克，共加4次，一一读数L2，L3，L4，L5，利用逐差法和公式（1），求K。
阻尼振动实验方法
阻尼振动实验方法一、实验目的本实验旨在通过研究阻尼振动的实验方法，探究振动系统的特性，并了解振动的阻尼对系统的影响。
二、实验原理阻尼振动是指振动系统在受到阻尼力的作用下进行的振动。
振动系统一般由弹簧和质量块组成，阻尼力是质量块速度的线性函数。
当阻尼力与弹簧力恰好平衡时，振动系统达到平衡位置，形成阻尼振动。
实验中，我们可以通过改变阻尼力的大小，来观察振动系统的响应。
三、实验器材1. 弹簧振子：质量块与弹簧相连，用于产生振动。
2. 摆放台：用于固定弹簧振子，并减小外界干扰。
3. 指示波器：用于测量振动系统的运动状态。
四、实验步骤1. 将弹簧振子固定在摆放台上，保持振子水平。
2. 调整指示波器，使其准备好记录振动。
3. 给弹簧振子施加外力，使其开始振动。
4. 使用指示波器记录振动系统的运动状态。
5. 改变阻尼力的大小，并观察振动系统的响应。
6. 重复步骤4和步骤5，记录不同阻尼力下的振动状态。
五、实验结果与分析根据实验步骤所记录的数据和观察到的现象，我们可以得出以下结论：1. 阻尼力的增加会导致振动幅度减小，振动周期变长。
2. 当阻尼力为零时，弹簧振子将进行无阻尼振动，振幅保持不变，周期恒定。
3. 随着阻尼力的增加，弹簧振子的振动逐渐减弱，最终停止振动。
六、实验误差分析在实验中，可能存在以下误差：1. 实际操作中，无法完全消除外界干扰，可能对振动系统产生一定影响。
2. 弹簧的弹性系数可能存在一定误差，会导致实际振动与理论振动有一定差异。
3. 实验环境中的温度、湿度等因素也会对实验结果产生影响。
七、实验结论通过本实验的研究，我们可以得出以下结论：1. 阻尼振动是振动系统在受到阻尼力的作用下进行的振动。
2. 阻尼力的增加会导致振动幅度减小，振动周期变长。
3. 当阻尼力为零时，弹簧振子将进行无阻尼振动。
4. 实际操作中的误差以及其他环境因素会影响实验结果的准确性。
八、实验拓展1. 可以尝试改变弹簧的刚度，观察对振动的影响。
质量弹簧阻尼课程设计
质量弹簧阻尼课程设计一、教学目标本课程旨在通过质量、弹性和阻尼这三个基本物理概念的学习，使学生掌握它们的基本定义、性质和应用。
在知识目标方面，要求学生能够准确地描述质量、弹性和阻尼的概念，理解它们之间的关系，并掌握它们在现实生活中的应用。
在技能目标方面，希望学生能够运用所学的知识解决简单的物理问题，具备一定的实验操作能力和数据分析能力。
在情感态度价值观目标方面，本课程旨在培养学生的科学思维和创新意识，提高他们对物理学科的兴趣和热情。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括质量、弹性和阻尼三个方面的知识。
首先，我们会从质量的概念入手，介绍质量的定义、性质和测量方法，并通过实例让学生了解质量在实际生活中的应用。
接着，我们会讲解弹性的基本原理，包括弹簧的弹性模量、弹性势能等，并通过实验让学生亲身体验弹性的现象。
最后，我们会引入阻尼的概念，介绍阻尼的类型、阻尼系数等，并探讨阻尼在各种物理现象中的作用。
三、教学方法为了提高学生的学习兴趣和主动性，本课程将采用多种教学方法。
首先，我们会运用讲授法，系统地讲解质量、弹性和阻尼的基本概念和原理。
其次，我们会采用讨论法，引导学生就一些具体的实例进行分析讨论，以培养他们的科学思维和创新意识。
此外，我们还会运用案例分析法和实验法，让学生通过分析实际案例和亲身体验实验，加深对质量、弹性和阻尼知识的理解和应用。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，我们将选择和准备一系列的教学资源。
教材方面，我们将使用国内权威的物理教材，结合相关的参考书籍，为学生提供系统的知识体系。
多媒体资料方面，我们会准备一些相关的视频、图片等，以丰富学生的视觉体验。
实验设备方面，我们将准备一些弹簧、阻尼器等实验器材，让学生能够亲身体验质量、弹性和阻尼的现象。
通过这些教学资源的整合和利用，我们将为学生提供一个丰富、多元的学习环境。
五、教学评估本课程的评估方式将包括平时表现、作业和考试三个部分，以全面、客观、公正地评估学生的学习成果。
弹簧拉压实验操作指导书
弹簧拉压实验操作指导书弹簧拉压实验操作指导书一、介绍弹簧拉压实验是力学实验中一种基本的实验方法，用于测试材料的弹性性质、弹簧的刚度和强度等。
通过本实验，学生可以更深入地理解弹性力学的基本原理，提高他们的实验技能和数据分析能力。
二、实验目的本实验的目的是通过测量弹簧的力和位移关系，验证胡克定律，并分析弹簧的刚度和强度。
同时，实验还可以考察学生的实验操作技巧和数据记录与分析能力。
三、实验原理根据胡克定律，在弹性范围内，弹簧的力F与弹簧的伸长量x成正比，即F=kx，其中k为弹簧的刚度系数。
通过实验，我们可以测量弹簧在拉伸和压缩状态下的力和位移关系，进而求得弹簧的刚度系数和强度。
四、实验材料和方法实验材料：胡克定律实验装置、测量尺、砝码实验方法：采用逐步增加砝码的方法，分别测量不同拉伸长度下的弹簧力和位移关系。
同时，通过改变砝码的数量，可以模拟不同大小的载荷对弹簧性能的影响。
五、实验步骤1、准备实验器材，检查实验装置是否完好。
2、将弹簧安装到实验装置上，确保其稳固不动。
3、将测量尺与弹簧的一端连接，并确保测量尺紧贴弹簧。
4、逐个增加砝码，并记录每个拉伸长度下的弹簧力和位移。
5、重复步骤4，不断增加砝码，测量更多点的弹簧力和位移数据。
6、在实验过程中，注意观察弹簧是否出现塑性变形或断裂等异常情况。
如有异常，应立即停止实验。
7、整理实验数据，为数据分析做准备。
六、实验结果及分析根据实验所得的数据，以弹簧伸长量为横坐标，弹簧力为纵坐标，绘制胡克曲线。
通过这条曲线，可以观察到弹簧力与伸长量之间近似成正比的关系，从而验证胡克定律。
同时，根据胡克定律的公式，可以计算出弹簧的刚度系数。
通过对实验数据的分析，可以进一步了解弹簧在不同载荷下的性能表现。
例如，通过比较不同拉伸长度下的弹簧力，可以分析弹簧的强度；通过观察胡克曲线的线性程度，可以评估弹簧的弹性性能等。
七、实验总结通过本次实验，学生对胡克定律有了更深入的理解，掌握了弹簧拉压实验的基本操作方法。
弹簧-质量-阻尼系统的建模及控制系统设计说明书
分数: ___________任课教师签字：___________华北电力大学研究生结课作业学年学期：第一学年第一学期课程名称：线性系统理论学生姓名：学号：提交时间：2014.11.27目录1 研究背景及意义 (3)2 弹簧-质量-阻尼模型 (3)2.1 系统的建立 (3)2.1.1 系统传递函数的计算 (5)2.2 系统的能控能观性分析 (7)2.2.1 系统能控性分析 (8)2.2.2 系统能观性分析 (9)2.3 系统的稳定性分析 (10)2.3.1 反馈控制理论中的稳定性分析方法 (10)2.3.2 利用Matlab分析系统稳定性 (10)2.3.3 Simulink仿真结果 (12)2.4 系统的极点配置 (15)2.4.1 状态反馈法 (15)2.4.2 输出反馈法 (16)2.4.2 系统极点配置 (16)2.5系统的状态观测器 (18)2.6 利用离散的方法研究系统的特性 (20)2.6.1 离散化定义和方法 (20)2.6.2 零阶保持器 (21)2.6.3 一阶保持器 (24)2.6.4 双线性变换法 (26)3.总结 (28)4.参考文献 (28)弹簧-质量-阻尼系统的建模与控制系统设计1 研究背景及意义弹簧、阻尼器、质量块是组成机械系统的理想元件。
由它们组成的弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统，在生活中具有相当广泛的用途，缓冲器就是其中的一种。
缓冲装置是吸收和耗散过程产生能量的主要部件，其吸收耗散能量的能力大小直接关系到系统的安全与稳定。
缓冲器在生活中处处可见，例如我们的汽车减震装置和用来消耗碰撞能量的缓冲器，其缓冲系统的性能直接影响着汽车的稳定与驾驶员安全；另外，天宫一号在太空实现交会对接时缓冲系统的稳定与否直接影响着交会对接的成功。
因此，对弹簧-质量-阻尼系统的研究有着非常深的现实意义。
2 弹簧-质量-阻尼模型数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。
弹簧-质量-阻尼模型
弹簧-质量-阻尼系统1 研究背景及意义弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。
因此研究弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。
2 弹簧-质量-阻尼模型的建立数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。
其中，微分方程是基本的数学模型 ，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。
微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。
所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提 。
通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。
弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。
机械系统如图2.1所示，图2.1 弹簧-质量-阻尼系统简图其中1m ，2m 表示小车的质量，i c 表示缓冲器的粘滞摩擦系数，i k 表示弹簧的弹性系数，i F （t ）表示小车所受的外力，是系统的输入即i U （t ）=i F （t ）,i X (t)表示小车的位移，是系统的输出，即i Y （t ）=i X (t)，i=1,2。
设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中1m =1kg ，2m =2kg ，1k =3k =100N/cm ，2k =300N/cm ，1c =3c =3N •s/cm ，2c =6N •s/cm 。
由图2.1，根据牛顿第二定律,，建立系统的动力学模型如下： 对1m 有：（2-1）对2m 有：（2-2）3 建立状态空间表达式令31421122,,,x x x x u F u F ====&&,则原式可化为：13123241212212423423232212()()()()()()m x l l x l x k k x k x u t m x l l x l x k k x k x u t ++-++-=++-++-=&&化简得：1221211232431()()()u t k x k k x l l x l x x m +-++++=& （2-3）2211223242342()()()u t k x k k x l l x l x x m +-+-++=& （2-4）整理得：12112212211111324323222222221234001000000100()()10()()1010000100x x u k k k l l l xm m m m m x u x k k l l k l m m m m m x x y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦& （2-5）121321321,2,100,3003,6m m k k k l l l ========代入数据得：00100001400300961502003 4.5A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦ 00001000.5B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10000100C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则系统的状态空间表达式为x y ux x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=001000015.000100005.43200156930040010000100.4 化为对角标准型当系统矩阵A 有n 个不相等的特征根...)3,2,1(=i iλ时，相应的有n 个不相等的特征向量...)3,2,1(=i m i，所以有矩阵A 的特征矩阵[]m m m m M 4321...=根据矩阵论线性变换得：Mz x Tx z M T =⇒=⇒=-1可以使用matlab 进行对角标准型的运算，matlab 作为一种数学运算工具，很大程度的方便了了我们的计算，对于这个弹簧-质量-阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式，所以可以用matlab 简化计算。
阻尼振动实验阻尼振子的振动特性
阻尼振动实验阻尼振子的振动特性振动是物体在平衡位置附近沿着某个轨道往复运动的现象。
在物体振动中，除了受到弹簧、重力等恢复力的作用，还可能受到摩擦力的阻碍，从而产生阻尼振动。
通过实验，我们可以探究阻尼振动实验中阻尼振子的振动特性。
一、实验目的本实验的目的是研究阻尼振子的振动特性，了解阻尼对振动幅度、周期和频率的影响。
二、实验器材1. 阻尼振子实验装置：包括一个支架、一个弹簧、一个振子。
2. 轻质刻度尺：用于测量振动幅度。
3. 计时器：用于测量振动周期。
三、实验步骤1. 将阻尼振子实验装置悬挂在支架上，并调整振子的初始位置。
2. 用轻质刻度尺测量振动幅度：将刻度尺固定在振子的侧面，当振动过程中刻度尺的指针达到最大偏移时，读取该位置所对应的振动幅度。
3. 用计时器测量振动周期：将计时器设置为适当的时间间隔，记录振子从一个极点振动到下一个极点的时间，即振动周期。
4. 重复以上步骤，分别记录不同阻尼下的振动幅度和周期。
四、实验结果与分析在进行实验的过程中，我们可以通过改变阻尼的大小来观察振动的变化。
当阻尼较小或接近于零时，振动幅度较大，振动周期较短；而当阻尼较大时，振动幅度逐渐减小，振动周期逐渐增大。
根据实验结果，我们可以得出以下结论：1. 阻尼对振动幅度的影响：阻尼越小，振动幅度越大；阻尼越大，振动幅度越小。
2. 阻尼对振动周期的影响：阻尼越小，振动周期越短；阻尼越大，振动周期越长。
3. 阻尼对振动频率的影响：振动频率与振动周期的倒数成正比，因此阻尼越小，振动频率越大；阻尼越大，振动频率越小。
五、实验结论通过本次实验，我们深入了解了阻尼振动实验中阻尼振子的振动特性。
阻尼对振动幅度、周期和频率均产生影响。
当阻尼较小时，振动幅度较大，周期较短，频率较高；当阻尼较大时，振动幅度逐渐减小，周期逐渐增大，频率逐渐减小。
六、实验注意事项1. 在实验过程中，要确保实验环境的稳定性，减少外界因素对实验结果的干扰。
2. 调整振子初始位置时，要注意使振子处于平衡状态，避免摩擦或其他因素的影响。
弹簧质量阻尼实验指导书
质量-弹簧-阻尼系统实验教学指导书北京理工大学机械与车辆学院2016.3实验一：单自由度系统数学建模及仿真 1 实验目的（1）熟悉单自由度质量-弹簧-阻尼系统并进行数学建模； （2）了解MATLAB 软件编程，学习编写系统的仿真代码； （3）进行单自由度系统的仿真动态响应分析。
2 实验原理单自由度质量-弹簧-阻尼系统，如上图所示。
由一个质量为m 的滑块、一个刚度系数为k 的弹簧和一个阻尼系数为c 的阻尼器组成。
系统输入：作用在滑块上的力f (t )。
系统输出：滑块的位移x (t )。
建立力学平衡方程：m x c x kx f •••++=变化为二阶系统标准形式：22f x x x mζωω•••++=其中：ω是固有频率，ζ是阻尼比。
ω=2c m ζω== 2.1 欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f (t )和非零初始状态的响应：()()sin()))]t t x t t d e ζωττζωττ+∞--=•-=-+-⎰2.2 欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f (t )=f 0*cos(ω0*t ) 和非零初始状态的的响应：02230022222002222222()cos(arctan())2f [(0)]cos()[()(2)]sin(t t x t t x e k e ζωζωζωωωωωζωωωωζωω-•-=--++-++)输出振幅和输入振幅的比值：A =3 动力学仿真根据数学模型，使用龙格库塔方法ODE45求解，任意输入下响应结果。
仿真代码见附件 4 实验4.1 固有频率和阻尼实验（1）将实验台设置为单自由度质量-弹簧-阻尼系统。
（2）关闭电控箱开关。
点击setup 菜单，选择Control Algorithm ，设置选择Continuous Time Control ，Ts=0.0042，然后OK 。
（3）点击Command菜单，选择Trajectory，选取step,进入set-up,选取Open Loop Step设置(0)counts, dwell time=3000ms,(1)rep, 然后OK。
弹簧振子的阻尼实验探究
弹簧振子在阻尼作用下的运动规律
阻尼系数对振幅的影响
阻尼系数对周期的影响
阻尼系数与振幅、周期的关系
弹簧振子阻尼实验的结论是：阻尼的存在使得振幅逐渐减小，周期变长。
阻尼系数与质量、弹簧常数、阻尼系数有关，可以通过实验测量得到。
阻尼系数的大小反映了系统能量耗散的快慢，对振动的持续时间和幅度有影响。
实验原理：通过改变阻尼系数，观察振荡幅值和频率的变化
实验步骤：搭建实验装置、设定初始条件、逐步改变阻尼系数并记录数据
掌握阻尼系数的测量方法
探究阻尼系数对弹簧振子振动的影响
了解弹簧振子阻尼现象
学习阻尼系数的概念和意义
阻尼现象：物体在振动过程中因摩擦或介质阻力产生的能量损耗现象
阻尼系数：描述阻尼大小的一个无量纲常数，用于表征物体阻尼性能
准备实验器材：弹簧振子、阻尼器、测量仪器等
安装实验器材：将弹簧振子安装在阻尼器上，连接测量仪器
通过数据记录和处理，可以更准确地评估弹簧振子的阻尼性能。
实验过程中，需要实时记录弹簧振子的位移、速度和加速度等数据。
在实验结束后，对所记录的数据进行整理、分析和处理，以得出阻尼常数和阻尼比等参数。
在实验过程中，需要注意数据的准确性和可靠性，避免误差和异常值对实验结果的影响。
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了解弹簧振子的阻尼现象
分析阻尼对弹簧振子振动的影响
探究阻尼系数与弹簧振子运动的关系
掌握实验方法与技巧，提高实验能力
实验目的：探究弹簧振子在不同阻尼情况下的振荡规律
弹簧的阻尼运动实验
实验原理振动现象在自然界十分普遍，如喇叭，机械表，共振筛等，从普遍意义上讲，如果一个物理量在某一数值附近反复的变化，都可以称为振动，如：电压，电流，位移等，因此自然界存在着各种各样的振动，而描写振动的数学方程也存在着许多共同之处。
振动和波动的理论是声学、地震学、建筑力学、光学、无线电技术等学科的基础。
而简谐振动又是振动和波的理论基础，在数学上，任何一个复杂的函数，都可以通过傅里叶级数展开成一系列正弦函数和余弦函数的和。
在物理上，一切复杂的振动都可以看作是多个简谐振动的合成。
因此熟悉简谐振动的规律及其特征，对于学习振动和波的理论是十分必要的。
气垫导轨是一种采用气垫进行实验的装置，它可以消除导轨对运动滑块的直接摩擦。
将两根劲度系数分别为k1，k2的弹簧一端固定，另一端系一个质量为m的物体，以物体的平衡位置为坐标原点，如图1所示。
在弹簧的弹性限度内，物体离开平衡位置的位移与它所受到弹力的关系为：F ＝－k x （1）若忽略空气阻力，由牛顿第二定律得，令，则前面公22d xm kx dt=-2k m ω=式又可写成：（2）由此可知，系统作的是谐振动，其振动周期是 或者写成（3），以上各式中，k=k1+k2。
公式（3）说明：T 仅决定于振子本身的特性，与初始条件无关；当k 一定时，正比于m ，即～m 图为一直线，其斜率为b=实验仪器简谐振动实验所需的仪器：气垫导轨，光电门计时系统，电子天平，滑块，弹簧两根实验内容1.调节气垫导轨水平：打开起源，给导轨充气，适当调节充气量旋钮，直到小车可以无摩擦的自由滑动，然后调节导轨的单垫脚螺丝，使放在导轨上的滑块不动，或者移动非常缓慢，这是将手指放在滑块前方，当滑块与手指接触时，立即改变运动方向而不停止，如此反复几次，都是这样，就认为气垫调平了。
2.采用拉伸法测量弹簧的劲度系数：将待测弹簧一端固定在气垫导轨上，另一端与小车相连，用细线栓住小车，并通过定滑轮，在细线的末端系一砝码，记下小车的初始位置x 0，增加一个砝码，记下下车的位置x 1，依次记0222=+x dtxdω2T =224T m kπ=2T 2T 24kπ下x2，x3；然后再逐次减去砝码，再次记下x3’，x2’，x1’，x0’，然后求出位置的平均值；3.换另外一个弹簧，重复步骤2；4.先测量小车的振动周期T0，然后在小车上加砝码，每个砝码的质量为50g，直到加满四个砝码为止，依次记下T1，T2，T3，T4，并测量振子经过中间平衡位置时的最大速度Vmax0，Vmax1，Vmax2，Vmax3，Vmax4，注意每次测量前，应保持振子的初始振幅恒定；4.卸下全部砝码，改变初始振幅，研究振幅的改变对振子周期的影响，并依次测出不同振幅下，振子经过平衡位置时的最大速度Vmax A；数据处理弹簧劲度系数的测量：验证弹簧振子周期与质量关系：验证弹簧振子周期与振幅关系（不加砝码进行试验）：用origin画出V2—A2图，T2—m图，并求出弹簧振子的最大动能，并计算实验值和理论值的相对误差，分析误差来源。
物理初中教材实验设计与操作指导
物理初中教材实验设计与操作指导实验一：测量弹簧的弹性系数实验目的：掌握测量弹簧的弹性系数的方法，并了解弹簧的特性。
实验材料：- 弹簧- 直尺- 倒计时器- 重物（如钢球）- 电子天平实验原理：弹簧的弹性系数是指单位长度的弹簧在受到单位力作用后产生的变形量，通常用符号k表示。
弹性系数k与弹簧的材料、长度和直径有关。
实验步骤：1. 将弹簧固定在垂直的支架上，使其悬挂在空中。
2. 待弹簧平稳静止后，用直尺测量弹簧的长度L0。
3. 将重物（如钢球）挂在弹簧下端，并记录弹簧的长度L1。
4. 将重物移除，记录弹簧恢复到原长度L0的时间t。
5. 重复上述步骤3和步骤4，分别增加重物的质量，并记录每次弹簧的长度和恢复时间。
数据处理：1. 根据实验记录的数据，计算每次重物增加时弹簧的变形量ΔL，即ΔL = L1 - L0。
2. 计算每组实验的弹性系数k，即k = (mg) / ΔL，其中m为重物的质量，g为重力加速度。
3. 将每次实验得到的k值取平均值，即为测量得到的弹簧的弹性系数。
实验安全注意事项：1. 实验中要小心操作，防止受伤。
2. 在进行实验时，注意不要用手直接触摸弹簧，以防烫伤。
实验二：探究波的传播实验目的：通过实验观察和测量，了解波的基本特性以及波的传播规律。
实验材料：- 弹簧成波器- 波浪池（或其他容器）- 果冻（或水）作为介质- 钢球或手指作为波的源实验原理：波是由于介质的振动而传播的能量传递过程。
波有机械波和电磁波两种类型，其中机械波需要介质才能传播。
实验步骤：1. 在波浪池中注入足够多的果冻（或水），使其表面平静。
2. 用弹簧成波器蘸取适量的果冻，将果冻波源放在波浪池中央。
3. 缓慢而有规律地振动弹簧成波器，产生波浪。
4. 观察波浪的传播情况：传播方向、传播速度、波浪的类型（如横波或纵波）等。
5. 用测尺测量波浪的波长λ。
6. 根据实验测得的波长和波的传播时间计算波速v，即v = λ / t，其中t为波从源点到指定位置的传播时间。
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质量-弹簧-阻尼系统实验教学指导书理工大学机械与车辆学院2016.3实验一：单自由度系统数学建模及仿真 1 实验目的（1）熟悉单自由度质量-弹簧-阻尼系统并进行数学建模； （2）了解MATLAB 软件编程，学习编写系统的仿真代码； （3）进行单自由度系统的仿真动态响应分析。
2 实验原理单自由度质量-弹簧-阻尼系统，如上图所示。
由一个质量为m 的滑块、一个刚度系数为k 的弹簧和一个阻尼系数为c 的阻尼器组成。
系统输入：作用在滑块上的力f (t )。
系统输出：滑块的位移x (t )。
建立力学平衡方程：m x c x kx f •••++=变化为二阶系统标准形式：22f x x x mζωω•••++=其中：ω是固有频率，ζ是阻尼比。
ω=2c m ζω== 2.1 欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f (t )和非零初始状态的响应：()()sin()))]t t x t t d e ζωττζωττ+∞--=•-=-+-⎰2.2 欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f(t)=f0*cos(ω0*t) 和非零初始状态的的响应：02230022222002222222()cos(arctan())2f[(0)]cos()[()(2)]sin(ttx t tx ekeζωζωζωωωωωζωωωωζωω-•-=--++-++)输出振幅和输入振幅的比值：A=3 动力学仿真根据数学模型，使用龙格库塔方法ODE45求解，任意输入下响应结果。
仿真代码见附件4 实验4.1 固有频率和阻尼实验（1）将实验台设置为单自由度质量-弹簧-阻尼系统。
（2）关闭电控箱开关。
点击setup菜单，选择Control Algorithm，设置选择Continuous Time Control，Ts=0.0042，然后OK。
（3）点击Command菜单，选择Trajectory，选取step,进入set-up,选取Open Loop Step 设置(0)counts, dwell time=3000ms,(1)rep, 然后OK。
此步是为了使控制器得到一段时间的数据，并不会驱动电机运动。
（4）点击Data菜单，选择Data Acquisition,设置选取Encoder#1 ，然后OK离开；从Utility菜单中选择Zero Position使编码器归零。
（5）从Command菜单中选择Execute，用手将质量块1移动到2.5cm左右的位置（注意不要使质量块碰触移动限位开关），点击Run, 大约1秒后，放开手使其自由震荡，在数据上传后点击OK。
（6）点击Plotting菜单，选择Setup Plot，选取Encoder #1 Position；然后点击Plotting 菜单，选择Plot Data，则将显示质量块1的自由振动响应曲线。
（7）在得到的自由振动响应曲线图上，选择n个连续的振幅明显的振动周期，计算出这段振动的时间t，由n/t即可得到系统的频率，将Hz转化为rad/sec即为系统的振动频率ω。
（8）在自由振动响应曲线图上，测量步骤7选取时间段初始振动周期的振幅X0以及末尾振动周期的振幅Xn。
由对数衰减规律即可求得系统阻尼比。
（9）实验数据记录（10）在仿真代码基础上，计算出实验结果对应的理论结果。
对比分析理论和实验结果的差异。
完成实验报告。
4.2 幅频特性实验（1）点击Command菜单，选择Trajectory，选取Sinuscidal，进入set-up,选取Open LoopStep设置Amplitude(0.5V), Frequency(2Hz),Repetition(8)，然后OK。
（2）从Utility菜单中选择Zero Position使编码器归零。
从Command菜单中选择Execute，点击Run,在数据上传后点击OK。
（3）然后点击Plotting菜单，选择Plot Data，则将显示滑块的受迫振动响应曲线。
在响应曲线图上，测量出振动振幅，计算出振动的频率并于输入的正弦曲线频率比较。
（4）根据实验情况，改变输入的正弦曲线频率的大小，重复上述，纪录实验数据。
（5）在仿真代码基础上，实现正弦激励代码，计算出实验结果对应的理论结果。
对比分析理论和实验结果的差异。
完成实验报告。
实验二：双自由度系统数学建模及仿真 1 实验目的（1）熟悉双自由度质量-弹簧-阻尼系统并进行数学建模； （2）了解MATLAB 软件编程，学习编写系统的仿真代码； （3）进行双自由度系统的仿真动态响应分析。
2 实验原理 2.1 数学建模双自由度质量-弹簧-阻尼系统，如上图所示。
由两个质量为m 1和m 2的滑块、两个刚度系数为k 1和k 2的弹簧和两个阻尼系数为c 1和c 2的阻尼器组成。
系统输入：作用在滑块上的力f (t )。
系统输出：滑块的位移x 1(t )和x 2(t )。
建立力学平衡方程：112111111222122211122211()m x c x c x k x k x f t m x c x c x c x k x k x k x •••••••••⎧+-+-=⎪⎨⎪++-++-=⎩ 2.2 固有频率将动力学方程写成矩阵形式：11111111211211222201()0()()0x m c c k k x x f t m c c c k k k x x x ••••••⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⋅+⋅+⋅=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得到系统的质量矩阵M 和刚度矩阵K 。
解行列式可得固有频率方程：2||0K M ω-= 可计算出固有频率方程：211211,21210.5[(k k kk k m m m m ω+=+-两个振动模态，两个固有频率：高模和低模。
2.3 解耦通过数学变换将微分方程变化为以下形式：21111111222222222()2()y y y f t y y y f t ζωωϕζωωϕ••••••⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ 注意：y 1和y 2不是滑块的位移。
滑块的位移x 1(t )和x 2(t )是y 1和y 2的函数。
3 动力学仿真根据数学模型，使用龙格库塔方法ODE45求解，任意输入下响应结果。
仿真代码见附件 4 实验4.1 固有频率分析（1）将实验台设置为双自由度质量-弹簧-阻尼系统，第一个滑块没有阻尼器可以不接，认为第一个阻尼为零。
（2）闭合控制器开关，点击setup 菜单，选择Control Algorithm ，设置选择Continuous Time Control ，Ts=0.0042,然后OK 。
点击Command 菜单，选择Trajectory ，选取step,进入set-up,选取Open Loop Step 设置(0)counts, dwell time=3000ms, (1)rep, 然后OK 。
此步是为了使控制器得到一段时间的数据，并不会驱动电机运动。
（2）点击Data 菜单，选择Data Acquisition,设置分别选取Encoder#1，Encoder#2，然后OK 离开；从Utility 菜单中选择Zero Position 使编码器归零。
（4）从Command 菜单中选择Execute ，用手将质量块1移动到2.5cm 左右的位置（注意不要使质量块碰触移动限位开关），点击Run, 大约1秒后，放开手使其自由振荡，在数据上传后点击OK 。
（5）点击Plotting 菜单，选择Setup Plot ，分别选取Encoder #1 Position ，Encoder #2 Position ；然后点击Plotting 菜单，选择Plot Data ，则将显示质量块1，2的自由振动响应曲线。
（6）实验数据纪录：实验条件：滑块质量m 1和m 2，弹簧刚度k 1和k 2，阻尼系数c 1和c 2。
实验数据：时间-滑块1位移数据；时间-滑块2位移数据。
问题1：两个滑块位移的频率测量值是高模和低模频率么？问题2：实际的机械系统是多自由度的，如何通过实验法测试系统固有频率？ （7）实验报告。
关键点是理论和实验结果对比分析。
4.2幅频特性实验（1）点击Command 菜单，选择Trajectory ，选取Sinuscidal,进入set-up,选取Open Loop Step 设置(200counts)Amplitude, Frequency(2Hz),Repetition （8），然后OK 。
（2）从Utility 菜单中选择Zero Position 使编码器归零。
从Command 菜单中选择Execute ，点击Run,在数据上传后点击OK 。
（3）然后点击Plotting 菜单，选择Plot Data ，则将显示质量块1，2的受迫振动响应曲线。
在响应曲线图上，即可测量出振动振幅。
问题1：单自由度和双自由度系统的幅频特性有何差异？ 问题2：高模贡献分析。
实验三：PID 控制 1 实验目的（1）学习PID 闭环控制结构和系统闭环传递函数计算； （2）PID 控制器参数设计； （3）控制性能分析。
2 实验原理上图给出闭环控制系统原理框图。
单自由度质量-弹簧-阻尼系统结构下，断开弹簧和阻尼，仅仅保留滑块质量m 。
m x f ••=电控箱可以看做比例增益k hw 。
hw f k u =其中：u 是控制器输出。
PID 控制：p i d k e k edt k e u •++=⎰其中：e 是比较器输出，参考输入与实际输出的偏差值。
e r x =-根据全部上式，可得闭环结构微分方程：hw d hw p hw i hw d hw p hw i m x k k x k k x k k x k k r k k r k k r •••••••••+++=++对应的传递函数：232()()()()()()()()hw d hw p hw i hw d hw p hw i k k s k k s k k x s r s ms k k s k k s k k ++=+++ 3 PID 设计PID 控制器中设置积分因子k i 为零，则为PD 控制。
传递函数变为：2()()hw phw dhw phw d k k k k s x s m m k k k k r s s s m m+=++闭环特征方程是分母：ω=2hw d k k m ζω==设计频率ω4 实验 4.1 频率（1）在控制器断开的情况下，拆除与质量块1连接的弹簧，使其余元件远离质量块1的运动围，为其安装4个500g 的铜块，加上小车本身的质量，标定总质量m=2.6kg。
（2）实验标定k hw值：根据估计出的k hw值，设置控制器k i=0和k d=0，调整k p来估计系统系统频率ω=4Hz。