弹簧-质量-阻尼模型
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
弹簧-质量-阻尼模型
弹簧-质量-阻尼系统
1 研究背景及意义
弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统,研究这种系统对于我们的生活与科技也是具有意义的,生活中也随处可见这种系统,例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量的装置,是保证驾驶员行车安全的必备装置,再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器,改变结构的自振特性,增加结构阻尼,吸收地震能量,降低地震作用对建筑物的影响。因此研究弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。
2 弹簧-质量-阻尼模型的建立
数学模型是定量地描述系统的动态特性,揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。其中,微分方程是基本的数学模型,
不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所以,建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提。通常情况下,列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。
弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图2.1所示,
图2.1 弹簧-质量-阻尼系统简图
其中1
m ,2
m 表示小车的质量,i
c 表示缓冲器的粘滞摩擦系数,i
k 表示弹簧的弹性系数,i F (t )表示小车所受的外力,是系统的输入即i
U (t )=i
F (t ),i
X (t)表示小车的位移,是系统的输出,即i
Y (t )=i
X (t),i=1,2。设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比,其中1m =1kg ,2
m =2kg ,1k =3k =100N/cm ,2k =300N/cm ,1c =3
c =3N ∙s/cm ,2
c =6N ∙s/cm 。
由图 2.1,根据牛顿第二定律,,建立系统的动力学模型如下: 对1
m 有:
(2-1)
对2
m 有:
(2-2)
3 建立状态空间表达式
令3
1421122
,,,x
x x x u F u F ====,则原式可化为:
13123241212212423423232
21
2
()()()()()()
m x l l x l x k k x k x u t m x l l x l x k k x k x u t ++-++-=++-++-= 化简得:
12212112324
31
()()()u t k x k k x l l x l x x m +-++++=
(2-3)
22112232423
42
()()()u t k x k k x l l x l x x m +-+-++=
(2-4)
整理得:
12112
21221
1111
32432322
222
2
2
212340010
00000100()()1
0()()1010000100x x u k k k l l l x m m m m m x u x k k l l k l m m m m m x x y x x ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
-++⎣⎦⎢
⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦⎡⎤⎢⎥
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎢⎥⎣⎦
(2-5)
121321321,2,100,3003,6
m m k k k l l l ========
代入数据得:
01
0000140030096150200
3 4.5A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=
⎢⎥
-⎢
⎥
--⎣⎦ 00001000.5B ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
10000100C ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
则系统的状态空间表达式为
x y u
x x ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡---=001000015.000100005.4320015
6930040010
000100
.
4 化为对角标准型
当系统矩阵A 有n 个不相等的特征根...)3,2,1(=i i λ时,相应的有n 个不相等的特征向量...)3,2,1(=i m i
,
所以有矩阵A 的特征矩阵[]m m
m m M 4
3
2
1
...
=
根据矩阵论
线性变换得:Mz
x Tx z M
T =⇒=⇒=-1
可以使用matlab 进行对角标准型的运算,matlab 作为一种数学运算工具,很大程度的方便了了我们的计算,对于这个弹簧-质量-阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式,所以可以用matlab 简化计算。
(1)求特征值与特征向量
A=[0 0 1 0;0 0 0 1;-400 300 9 6;150 -200 3 -4.5]
B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5]
C=[1 0 0 0;0 1 0 0]
[P,J]=eig(A)
求得结果:
P =
0.0007 - 0.0402i 0.0007 + 0.0402i 0.0401 - 0.0698i 0.0401 + 0.0698i
-0.0171 + 0.0157i -0.0171 - 0.0157i 0.0176 - 0.0792i 0.0176 + 0.0792i
0.8650 0.8650 0.6682 + 0.2084i 0.6682 - 0.2084i
-0.3442 - 0.3621i -0.3442 + 0.3621i 0.7050 0.7050
J =
0.3667 +21.5183i 0
0 0