弹簧质量阻尼系统模型

弹簧质量阻尼系统模型 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

自动控制原理综合训练项目

题目：关于MSD系统控制的设计

目录

弹簧-质量-阻尼器系统建模与频率特性分析

1设计任务及要求分析

初始条件

已知机械系统如图。

1

k y

p

2

k

图机械系统图

要求完成的任务

（1）推导传递函数)

(

/)

(s

X

s

Y，)

(

/)

(s

P

s

X，

（2）给定m

N

k

m

N

k

m

s

N

b

g

m/

5

,

/

8

,

/

6.0

,

2.0

2

1

2

=

=

•

=

=，以p为输入)(t u （3）用Matlab画出开环系统的波特图和奈奎斯特图，并用奈奎斯特判据分析系统的稳定性。

（4）求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。

（5）对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含Matlab源

程序或Simulink仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。

任务分析

由初始条件和要求完成的主要任务，首先对给出的机械系统进行受力分析，列出相关的微分方程，对微分方程做拉普拉斯变换，将初始条件中给定的数据代入，即可得出)(/)(s X s Y ，)(/)(s P s X 两个传递函数。由于本系统是一个单位负反馈系统，故求出的传递函数即为开环传函。后在MATLAB 中画出开环波特图和奈奎斯特图，由波特图分析系统的频率特性，并根据奈奎斯特判据判断闭环系统位于右半平面的极点数，由此可以分析出系统的稳定性。最后再计算出系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度，并进一步分析其稳定性能。

2系统分析及传递函数求解

系统受力分析

单自由度有阻尼振系的力学模型如图2-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x 。则物体运动微分方程为

kx x c x

m －＝－ （2-1） 式中 ： x

c -为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。 图2-1

将上式写成标准形式，为

0=++kx x c x

m (2-2） 令p 2=

m k , m

c

n =2, 则上式可简化为 022=++p x n x

(2-3) 这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取st e x =，其中

s 是待定常数。代入（2-1）式得 0)2(22=++st e p ns s ，要使所有时间内上式都能满足，必须0222=++p ns s ，此即微分方程的特征方程，其解为

222,1p n n s -±-= （2-4）

于是微分方程（2-1）的通解为

)(2222212121t

p n t

p n nt t s t s e c e

c e e c e c x --

--+=+= （2-5）

式中待定常数c 1与c 2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式

22p n -是实数、零、还是虚数。对应的根s 1与s 2可以是不相等的负实根、相等

的负实根或复根。若s 1与s 2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为c c ，即c c ＝2mp 。引进一个无量纲的量ζ，称为相对阻尼系数或阻尼比。

c c c mp c p n /2//===ζ （2-6）

当n>p 或ζ>1,根式22p n -是实数，称为过阻尼状态，当n

22p n -是虚数，称为弱阻尼状态，当n ＝p ，即ζ＝1，称为临界阻尼状态。现

分别讨论三种状态下的运动特性。

1.过阻尼状态

此时ζ>1，即22p n -

均为负值，则t s e 1

及t s e 2

是两根下降的指数曲线，故（2-2）

式所表示的是两条指数曲线之和，仍按指数衰减，不是振动。图3-2所示为c 1>c 2,c 1<0时的情况。 图2-2

2.临界阻尼状态

此时ζ＝1，（b ）式中s 1＝s 2＝－n ＝－p ，特征方程的根是重根，方程（2-1）的另一解将为te －pt ，故微分方程（2-1）的通解为

x ＝（c 1＋c 2t ）e －pt （2-7）

式中等号右边第一项c 1e －pt 是一根下降的指数曲线，第二项则可应用麦克劳林级数展开成以下形式：

!

/!3/!2//12322

/22n t p t p t p p t c e c te c n n t pt pt +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++==

- （2-8） 从上式看出，当时间t 增长时，第二项c 2te －pt 也趋近于零。因此（c ）式表示的运动也不是振动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。

3.弱阻尼状态

此时p>n,或ζ<1。利用欧拉公式

t n p i t n p e

e

t

n p t

p n 2222sin cos 2222-±-==-±-±（2-9）

可将（2-2）式改写为

)

sin cos ()(222221212222t n p D t n p D e e C e C e x nt t

n p i

t

n p i

nt -+-=+=-----（2-10）

或

)sin(22ϕ+-=-t n p Ae x nt （1-11） 令22n p p d -=，则

)sin(ϕ+=-t p Ae x d nt （2-12）

式中A 与ϕ为待定常数，决定于初始条件。设t ＝0时，x ＝x 0，0x x

=，则可求得 00012002

0,)(

x nx x

p

x tg p nx x A d d +=++=- ϕ （2-13）

将A 与ϕ代入（2-4）式，即可求得系统对初始条件的响应，由式（2-13）可

知，系统振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线nt

Ae

-+-之内随时间不断衰减的衰减振动。如图3-3所示。

图2-3

这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为