弹簧质量阻尼系统模型
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弹簧质量阻尼系统模型
自动控制原理综合训练项目题目:关于
MSD系统控制的设计
目录
1设计任务及要求分析 (5)
1.1初始条件 (5)
1.2要求完成的任务 (6)
1.3任务分析 (7)
2系统分析及传递函数求解 (7)
2.1系统受力分析 (7)
2.2传递函数求解 (13)
2.3系统开环传递函数的求解 (13)
3.用MATLAB寸系统作开环频域分析 (14)
3.1开环系统波特图 (14)
3.2开环系统奈奎斯特图及稳定性判断.16
4.系统开环频率特性各项指标的计算 (19)
总结 (21)
参考文献 (22)
弹簧-质量-阻尼器系统建模与频率特
性分析
1设计任务及要求分析
1.1初始条件
已知机械系统如图。
//////////
--- NN\/V-------
b2
NW
k i
IP k2
x
图 1.1 机械系统图
1.2要求完成的任务
(1)推导传递函数 Y(s)/X(s) , X(s)/P(s),
(2)给定m=0.2g,b2 =0.6N-s/mK =8N/m,k2 =5N/m,以p 为输入
u(t)
(3)用Matlab画出开环系统的波特图和奈奎斯特图,并用奈奎斯特判据分
析系统的稳定性。
(4)求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。
(5)对上述任务写出完整的课程设计说明书,说明书中必须进行原理分
析,写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果,并包含Matlab
源程序或Simulink仿真模型,说明书的格式按照教务处标准书写
1.3任务分析
由初始条件和要求完成的主要任务,首先对给出的机械系统进行受力分析,列出相关的微分方程,对微分方程做拉普拉斯变换,将初始
条件中给定的数据代入,即可得出 Y(s)/X(s),X(s)/P(s)两个传递函
数。由于本系统是一个单位负反馈系统,故求出的传递函数即为开环传
函。后在MATLAB中画出开环波特图和奈奎斯特图,由波特图分析系统
的频率特性,并根据奈奎斯特判据判断闭环系统位于右半平面的极点
数,由此可以分析出系统的稳定性。最后再计算出系统的截止频率、相
角裕度和幅值裕度,并进一步分析其稳定性能。
2系统分析及传递函数求解
2.1系统受力分析
单自由度有阻尼振系的力学模型如图2-1所示,包括弹簧、质量及阻尼器。
以物体的平衡位置0为原点,建立图示坐标轴X。则物体运动微分方程为
mx = —ex —kx (2-1)
式中:-CX为阻尼力,负号表示阻尼力方向与速度方向相反。
将上式写成标准形式,为
令p2= —, 2n = C,贝U上式可简化为
m m
2
x 2nx p 0 (2-3)这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取x = e st,其中
s是待定常数。代入(2-1)式得(s2• 2ns p2)e st = 0,要使所有时间内上式都
能满足,必须s2 2ns • p2 =0,此即微分方程的特征方程,其解为
3,2 二-n 一. n2- p2(2-4) 于是微分方程(2-1 )的通解为
. . . 2 2 2 2.
x = C i e° +C2e s2=e』(C i e'n " +c2n ) ( 2-5)
式中待定常数C1与C2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式
■ n2二p2是实数、零、还是虚数。对应的根s与S2可以是不相等的负实根、相
等的负实根或复根。若S1与S2为等根时,此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系
数,记为c c,即e c= 2mp。引进一个无量纲的量,称为相对阻尼系数或阻尼比。
=n/ p = c/2mp = c/c C(2-6)
当n>p或'>1,根式i n2- p2是实数,称为过阻尼状态,当n
:.n2 -p2是虚数,称为弱阻尼状态,当n = p,即•二1,
称为临界阻尼状态。现分别讨论三种状态下的运动特性。
1■过阻尼状态
此时【>1,即Jn2-p2 负值,则e sit及e s2t是两根下降的指数曲线,故(2-2) 式所表示的是两条指数曲线之和,仍按指数衰减,不是振动。图 3-2所示为 c i >C 2,c i <0时的情况。 图2-2 2■临界阻尼状态 此时 =1, (b )式中s i = sz =-n =— p ,特征方程的根是重根,方程(2-1) 的另一解将为te —叭故微分方程(2-1)的通解为 x =( c i + C 2t ) e pt (2-7) 式中等号右边第一项c i e -pt 是一根下降的指数曲线,第二项则可应用麦克劳林级 数展开成以下形式: 从上式看出,当时间t 增长时,第二项c 2te — pt 也趋近于零。因此(c )式表示的 运动也不是振动,也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。 3■弱阻尼状态 此时p>n,或<1 o 利用欧拉公式 二cos., p 2 - n 2t 士i sin .. p 2 - n 2t (2-9) 可将(2-2)式改写为 x = Ae" sin(.. p 2 _ n 2 t ) 令 P d — p 2 - n 2 ,则 C 2te 4 C 2 ~pTTt e ________________ C2 _________________ 1/t p p 2t/2! p 3t 2 /3L ...... - p n t n / n! (2-8) ■ nt 二 e (Ge i p 2 -n 2t . 2 2. ■ C 2e^ p e Jnt (D i cos . p 2 「n 2 t D 2 sin . p 2 「n 2 t) (2-10) (1-11)