弹簧质量阻尼系统模型

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弹簧质量阻尼系统模型

自动控制原理综合训练项目题目:关于

MSD系统控制的设计

目录

1设计任务及要求分析 (5)

1.1初始条件 (5)

1.2要求完成的任务 (6)

1.3任务分析 (7)

2系统分析及传递函数求解 (7)

2.1系统受力分析 (7)

2.2传递函数求解 (13)

2.3系统开环传递函数的求解 (13)

3.用MATLAB寸系统作开环频域分析 (14)

3.1开环系统波特图 (14)

3.2开环系统奈奎斯特图及稳定性判断.16

4.系统开环频率特性各项指标的计算 (19)

总结 (21)

参考文献 (22)

弹簧-质量-阻尼器系统建模与频率特

性分析

1设计任务及要求分析

1.1初始条件

已知机械系统如图。

//////////

--- NN\/V-------

b2

NW

k i

IP k2

x

图 1.1 机械系统图

1.2要求完成的任务

(1)推导传递函数 Y(s)/X(s) , X(s)/P(s),

(2)给定m=0.2g,b2 =0.6N-s/mK =8N/m,k2 =5N/m,以p 为输入

u(t)

(3)用Matlab画出开环系统的波特图和奈奎斯特图,并用奈奎斯特判据分

析系统的稳定性。

(4)求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。

(5)对上述任务写出完整的课程设计说明书,说明书中必须进行原理分

析,写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果,并包含Matlab

源程序或Simulink仿真模型,说明书的格式按照教务处标准书写

1.3任务分析

由初始条件和要求完成的主要任务,首先对给出的机械系统进行受力分析,列出相关的微分方程,对微分方程做拉普拉斯变换,将初始

条件中给定的数据代入,即可得出 Y(s)/X(s),X(s)/P(s)两个传递函

数。由于本系统是一个单位负反馈系统,故求出的传递函数即为开环传

函。后在MATLAB中画出开环波特图和奈奎斯特图,由波特图分析系统

的频率特性,并根据奈奎斯特判据判断闭环系统位于右半平面的极点

数,由此可以分析出系统的稳定性。最后再计算出系统的截止频率、相

角裕度和幅值裕度,并进一步分析其稳定性能。

2系统分析及传递函数求解

2.1系统受力分析

单自由度有阻尼振系的力学模型如图2-1所示,包括弹簧、质量及阻尼器。

以物体的平衡位置0为原点,建立图示坐标轴X。则物体运动微分方程为

mx = —ex —kx (2-1)

式中:-CX为阻尼力,负号表示阻尼力方向与速度方向相反。

将上式写成标准形式,为

令p2= —, 2n = C,贝U上式可简化为

m m

2

x 2nx p 0 (2-3)这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取x = e st,其中

s是待定常数。代入(2-1)式得(s2• 2ns p2)e st = 0,要使所有时间内上式都

能满足,必须s2 2ns • p2 =0,此即微分方程的特征方程,其解为

3,2 二-n 一. n2- p2(2-4) 于是微分方程(2-1 )的通解为

. . . 2 2 2 2.

x = C i e° +C2e s2=e』(C i e'n " +c2n ) ( 2-5)

式中待定常数C1与C2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式

■ n2二p2是实数、零、还是虚数。对应的根s与S2可以是不相等的负实根、相

等的负实根或复根。若S1与S2为等根时,此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系

数,记为c c,即e c= 2mp。引进一个无量纲的量,称为相对阻尼系数或阻尼比。

=n/ p = c/2mp = c/c C(2-6)

当n>p或'>1,根式i n2- p2是实数,称为过阻尼状态,当n

:.n2 -p2是虚数,称为弱阻尼状态,当n = p,即•二1,

称为临界阻尼状态。现分别讨论三种状态下的运动特性。

1■过阻尼状态

此时【>1,即Jn2-p2

负值,则e sit及e s2t是两根下降的指数曲线,故(2-2)

式所表示的是两条指数曲线之和,仍按指数衰减,不是振动。图

3-2所示为

c i >C 2,c i <0时的情况。

图2-2

2■临界阻尼状态

此时 =1, (b )式中s i = sz =-n =— p ,特征方程的根是重根,方程(2-1) 的另一解将为te —叭故微分方程(2-1)的通解为

x =( c i + C 2t ) e pt

(2-7)

式中等号右边第一项c i e -pt 是一根下降的指数曲线,第二项则可应用麦克劳林级 数展开成以下形式:

从上式看出,当时间t 增长时,第二项c 2te — pt

也趋近于零。因此(c )式表示的 运动也不是振动,也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。

3■弱阻尼状态

此时p>n,或<1 o 利用欧拉公式

二cos., p 2 - n 2t 士i sin .. p 2 - n 2t (2-9)

可将(2-2)式改写为

x = Ae" sin(.. p 2 _ n 2

t

)

令 P d — p 2 - n 2

,则

C 2te 4 C 2

~pTTt

e

________________ C2 _________________

1/t p p 2t/2! p 3t 2 /3L ...... - p n t n

/

n! (2-8) ■ nt

二 e

(Ge

i p

2

-n 2t

. 2 2.

■ C 2e^ p

e Jnt

(D i cos . p 2

「n 2

t D 2 sin . p 2

「n 2

t)

(2-10)

(1-11)

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