弹簧质量阻尼系统模型
三级质量-弹簧-阻尼系统的特性分析
—
０． ３ ０ ９０ —０． １ １ ０ ２ ０． ０ ０ ００ —０． ９ ０ ５ ５ —０． ９ ２ ９４ —０． ９８ ９ ５
矩阵 表达 式 （ ８ ） （ ９ ） 。
图１ 三级质量－ 弹 簧－ 阻 尼 系 统 模 型 图
ｘ ￣ ７ ： Ｍ。 有： １ ｄ ｖ ｌ ＝Ｋ ｚ （ ｙ ２一ｙ １ ）＋Ｂ ２ （ ２一
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ４ — １ ２ － ０ ７
三级质量一 弹簧－ 阻尼 系统 的特性分析
三级 质 量 一 弹簧一 阻尼 系统 的特 性 分 析
单 长 吉
（ 昭通 学 院 ， 云南 昭 通 ６ ５ ７ ０ ０ ０ ）
摘 关 键
要： 利用控制理论 中的 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 方法对三级质量． 弹簧一 阻尼系统进行稳定性分析 ， 并用信号流 词： Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ ； 信号流 ； 控制理论 ； 可控性 ； 稳定 性
）邶 ，
一
的装置 ， 为设 备安 全运行 提供 保 障 ； 在 建筑 结构 中 加 入抗 震能 量 吸 收器 ， 降低 和 减 缓地 震 冲击 波 对 建 筑物 的破 坏 。此外 还有许 多工 程 中 的实 际应 用 都 可 以用 质 量一 弹 簧． 阻尼模型进行分 析 ， 本 文 针
对 三级 质 量． 弹 簧一 阻尼系统进行数 学建模 ， 并 讨 论 此模 型特性 。
一
）一 （ Ｙ ２一Ｙ １ ）一Ｂ ２ （ ２一 １ ）
对 于 有 ： ｄ ｒ ３ ）
＝
（ ２ ）
，一Ｋ ３ （ Ｙ ， 一 ｙ ： ）一Ｂ ３ （ 。
（ ３）
１ 三 级 质 量一 弹 簧一 阻 尼 系 统 数 学 建 模
质量弹簧阻尼系统数学模型matlab辨识
在MATLAB中，对质量-弹簧-阻尼系统（Mass-Spring-Damper System）进行数学模型的辨识通常涉及系统识别或参数估计。
这个系统可以用二阶微分方程来描述，形如：[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t) ]其中：∙( m ) 是质量∙( c ) 是阻尼系数∙( k ) 是弹簧常数∙( x ) 是位移∙( F(t) ) 是外部作用力∙( \dot{x} ) 和( \ddot{x} ) 分别是一阶和二阶导数，表示速度和加速度为了在MATLAB中进行辨识，你需要有系统的输入和输出数据。
通常，输入是施加到系统上的力，输出是系统的响应（位移、速度或加速度）。
以下是一个简单的步骤，说明如何在MATLAB中辨识质量-弹簧-阻尼系统的参数：1.收集数据：首先，你需要收集系统的输入和输出数据。
这可以通过实验或模拟来完成。
2.数据预处理：确保数据是干净的，没有噪声或异常值。
可能需要进行滤波或平滑处理。
3.选择辨识方法：MATLAB提供了多种系统辨识方法，如最小二乘法、频域分析等。
选择最适合你数据的方法。
4.实现辨识算法：使用MATLAB编程实现所选择的辨识算法。
5.参数估计：应用算法来估计系统的参数（质量、阻尼和弹簧常数）。
6.验证模型：使用估计的参数构建系统模型，并与原始数据进行比较，以验证模型的准确性。
以下是一个简化的MATLAB代码示例，使用最小二乘法来估计质量-弹簧-阻尼系统的参数：matlab复制代码% 假设你已经有了一些输入（力F）和输出（位移x）数据% F - 输入力向量% x - 位移向量% t - 时间向量% 计算速度和加速度dx = diff(x) ./ diff(t);ddx = diff(dx) ./ diff(t);% 构建系统矩阵A和输出向量bA = [diff(t)' diff(t)'];b = -ddx;% 最小二乘法估计参数params = A \ b;% params(1) 是阻尼系数 c% params(2) 是弹簧常数 k% 输出参数估计值fprintf('Estimated damping coefficient (c): %f\n', params(1));fprintf('Estimated spring constant (k): %f\n', params(2));% （可选）验证模型% 使用估计的参数构建模型，并与原始数据进行比较% ...请注意，上述代码是一个非常简化的示例，实际情况可能更加复杂。
弹簧-质量-阻尼模型
弹簧-质量-阻尼模型弹簧-质量-阻尼系统1 研究背景及意义弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。
因此研究弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。
2 弹簧-质量-阻尼模型的建立数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。
其中，微分方程是基本的数学模型，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。
微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。
所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提。
通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。
弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。
机械系统如图2.1所示，图2.1 弹簧-质量-阻尼系统简图其中1m ，2m 表示小车的质量，ic 表示缓冲器的粘滞摩擦系数，ik 表示弹簧的弹性系数，i F （t ）表示小车所受的外力，是系统的输入即iU （t ）=iF （t ）,iX (t)表示小车的位移，是系统的输出，即iY （t ）=iX (t)，i=1,2。
设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中1m =1kg ，2m =2kg ，1k =3k =100N/cm ，2k =300N/cm ，1c =3c =3N ∙s/cm ，2c =6N ∙s/cm 。
由图 2.1，根据牛顿第二定律,，建立系统的动力学模型如下： 对1m 有：（2-1）对2m 有：（2-2）3 建立状态空间表达式令31421122,,,xx x x u F u F ====,则原式可化为：13123241212212423423232212()()()()()()m x l l x l x k k x k x u t m x l l x l x k k x k x u t ++-++-=++-++-= 化简得：1221211232431()()()u t k x k k x l l x l x x m +-++++=（2-3）2211223242342()()()u t k x k k x l l x l x x m +-+-++=（2-4）整理得：12112212211111324323222222221234001000000100()()10()()1010000100x x u k k k l l l x m m m m m x u x k k l l k l m m m m m x x y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2-5）121321321,2,100,3003,6m m k k k l l l ========代入数据得：0100001400300961502003 4.5A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦ 00001000.5B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦10000100C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则系统的状态空间表达式为x y ux x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=001000015.000100005.43200156930040010000100.4 化为对角标准型当系统矩阵A 有n 个不相等的特征根...)3,2,1(=i i λ时，相应的有n 个不相等的特征向量...)3,2,1(=i m i，所以有矩阵A 的特征矩阵[]m mm m M 4321...=根据矩阵论线性变换得：Mzx Tx z MT =⇒=⇒=-1可以使用matlab 进行对角标准型的运算，matlab 作为一种数学运算工具，很大程度的方便了了我们的计算，对于这个弹簧-质量-阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式，所以可以用matlab 简化计算。
第5章弹簧阻尼系统建模
2
7
第五章
MATLAB车辆工程应用实战
5.4 单自由度弹簧阻尼系统
根据单自由度弹簧阻尼系统建立相应平衡方程为：
yt 1 atyk btyk -1 ct f k
c= 2*ksin*wn*m; %阻尼系数
num=[wn^2];
den=[1,2*ksin*wn,wn^2];
G=tf(num,den); %系统开环传递函数
rlocus(G)
impulse(G)%脉冲响应
12
第五章
MATLAB车辆工程应用实战
5.4 单自由度弹簧阻尼系统
5.4.1 机械系统
1.2
5.4 单自由度弹簧阻尼系统
根据单自由度弹簧阻尼系统建立相应平衡方程为：
yt 1 atyk btyk -1 ct f k
at 1.9961 bt -0.9970
0.25
ct 9.9850 10-5 y1 y-1 t2 f 0
u- c1x1 - u - x1 - c2x2 -
k2
x1
x2
-
x1
c2
x2
-
x1
求拉普拉斯变换得：
s2
15s
25
s2
s s2
2
x2
s
5s
1us
20s
1x2
s
17
5.5 多自由度振动系统
第五章
MATLAB车辆工程应用实战
5.3 一阶延迟环节
弹簧阻尼系统动力学模型adams仿真
震源车系统动力学模型分析报告一、项目要求1）独立完成1个应用Adams软件进行机械系统静力、运动、动力学分析问题，并完成一份分析报告。
分析报告中要对所计算的问题和建模过程做简要分析，以图表形式分析计算结果。
2）上交分析报告和Adams的命令文件，命令文件要求清楚、简洁。
二、建立模型1）启动admas，新建模型，设置工作环境。
对于这个模型，网格间距需要设置成更高的精度以满足要求。
在ADAMS/View菜单栏中，选择设置（Setting）下拉菜单中的工作网格（WorkingGrid）命令。
系统弹出设置工作网格对话框，将网格的尺寸(Size)中的X和Y分别设置成750mm和500mm，间距（Spacing）中的X和Y都设置成50mm。
然后点击“OK”确定。
如图2-1所表示。
图2-1设置工作网格对话框2）在ADAMS/View零件库中选择矩形图标，参数选择为“onGround”，长度（Length）选择40cm高度Height为1.0cm，宽度Depth为30.0cm，建立系统的平台，如图2-2所示。
以同样的方法，选择参数“NewPart”建立part-2、part-3、part-4，得到图形如2-3所示，图2-2图2-3创建模型平台3）施加弹簧拉力阻尼器，选择图标，根据需要输入弹簧的刚度系数K和粘滞阻尼系数C，选择弹簧作用的两个构件即可，施加后的结果如图2-4图2-4创建弹簧阻尼器4）添加约束，选择棱柱副图标，根据需要选择要添加约束的构件，添加约束后的模型如2-5所示。
图2-5添加约束至此模型创建完成三、模型仿真1)、在无阻尼状态下，系统仅受重力作用自由振动，将最下层弹簧的刚度系数K设置为10，上层两个弹簧刚度系数均设置为3，小物块的支撑弹簧的刚度系数为4，阻尼均为0，进行仿真，点击图标，设置EndTime为5.0，StepSize为0.01，Steps为50，点击图标，开始仿真对所得数据进行分析。
选择物块的位移、速度、加速度与时间的图像如图3-1、3-2、3-3所示，经过傅里叶变换之后我们可以清楚地看到系统的各阶固有频率。
弹簧阻尼系统动力学模型ams仿真
弹簧阻尼系统动力学模型a m s仿真公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]震源车系统动力学模型分析报告一、项目要求1）独立完成1个应用Adams 软件进行机械系统静力、运动、动力学分析问题，并完成一份分析报告。
分析报告中要对所计算的问题和建模过程做简要分析，以图表形式分析计算结果。
2）上交分析报告和Adams 的命令文件，命令文件要求清楚、简洁。
1K 1C 2K 2C 3C 3K 3M 1M 2M二、建立模型1）启动admas ，新建模型，设置工作环境。
对于这个模型，网格间距需要设置成更高的精度以满足要求。
在ADAMS/View 菜单栏中，选择设置（Setting ）下拉菜单中的工作网格（Working Grid ）命令。
系统弹出设置工作网格对话框，将网格的尺寸(Size)中的X 和Y 分别设置成750mm 和500mm ，间距（Spacing ）中的X 和Y 都设置成50mm 。
然后点击“OK ”确定。
如图2-1所表示。
图 2-1 设置工作网格对话框2）在ADAMS/View零件库中选择矩形图标，参数选择为“on Ground”，长度（Length）选择40cm高度Height为1.0cm，宽度Depth为30.0cm，建立系统的平台，如图2-2所示。
以同样的方法，选择参数“New Part”建立part-2、part-3、part-4，得到图形如2-3所示，图 2-2 图 2-3创建模型平台3）施加弹簧拉力阻尼器，选择图标，根据需要输入弹簧的刚度系数K和粘滞阻尼系数C，选择弹簧作用的两个构件即可，施加后的结果如图2-4图 2-4 创建弹簧阻尼器4）添加约束，选择棱柱副图标，根据需要选择要添加约束的构件，添加约束后的模型如2-5所示。
图2-5 添加约束至此模型创建完成三、模型仿真1)、在无阻尼状态下，系统仅受重力作用自由振动，将最下层弹簧的刚度系数K设置为10，上层两个弹簧刚度系数均设置为3，小物块的支撑弹簧的刚度系数为4，阻尼均为0，进行仿真，点击图标，设置End Time为，StepSize为，Steps为50，点击图标，开始仿真对所得数据进行分析。
建立弹簧-质量-阻尼系统数学模型的数轴法
ｍ ａｉ ｉ ｅ ｅ ｔ ｌ ｑ ａ ｉ ｎ ｆ ｈ ｓ —ｐ ｉ ｇ ｄ ｍｐ ｒｓ ｓｅ ． ｔ ｄ ｆ ｒ ｎ ｉ ｕ ｔ ｓｏ ｔ ｅｍａ ｓｓ ｒ ・ ａ ｅ ｙ ｔｍｓ ｃ ａｅ ｏ ｎ Ｋｅ ｒ ｓ： ｉｒ ｔｏ ｎ ｖ ｙ ｗｏ ｄ ｖ ｂ ａ ｉ ｎ ａ ｄ ｗａ ｅ； ｃ ａ ｉ ａ ｉｒ ｔ ｎ ； ｓ －ｐ ｎ － ａ ｅ ｙ ｔ ｍ ； ｔ ｅ ｔ ａ ｄ ｌ； ｕ ｒ ｍｅ ｈ ｎ ｃ ｌ ｂ ａｉ ｖ ｏ ｍａ ｓ ｓ ｒ ｇ ｄ ｍｐ ｒｓ ｓｅ ｉ ｍａ ｍａ ｉ ｌｍｏ ｅ ｎ ｍｅ ｉ ｈ ｃ －
ｔ ｒ ｓ ｕ ｌ ａ ｄ ｔ ｅ ｄ ｓ ｌｃ ｍｅ ｔ ｆｔ ｅｓ ｒｎ ｒｔ ｅ ｄ ｍｐ ｒｗｅ ｅｔａ ｓａ ｅ ｅｒ ｔ ｎ ｌ ｕ ｅ ｗａ ｉ ， ｎ ｉｐ ａ ｅ ｎ ｓｏ ｐ ｇ ｏ ａ ｅ ｒ ｎ ｌｔ ｄｔ ｔ ａ ｉ ａ ｍｂ ｒ ｉｈ ｗｅ ｅｍａ ｋ ｄ ｎ ｂ ｔ ｈ ｈ ｉ ｈ ｒ ｏｈ ｏ ｎ ｅｓ ｗｈ ｃ ｒ ｒ ｅ
ＢＡ ａ －ａ Ｚ Ｉ Ｙ ｎｙ ｎ． ＨＡＮＧ Ｘｉｏ／ｎ ａ： ｕ
（Ｃｏｌｇ ｆ ｅ ｈ ｎｃ ｌ ｎ ｉ ｅ ｒ ｇ ａｙ ａ ｉ ｅｓ ｙｏ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ，Ｔ ｉｕ ｎ ０ ０ ２ ，Ｃｈｎ ｌ ｅｏ Ｍ ｃ ａ ｉａ ｇｎ ｅ ｉ ，Ｔ ｉｕ ｎＵｎｖ ｒｉ ｆ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ａｙ ａ ３ ０ ４ ｅ Ｅ ｎ ｔ ｉａ）
弹簧阻尼系统的数学模型
弹簧阻尼系统的数学模型弹簧阻尼系统的基本模型图1所示，其中m表示系统质量，c表示粘滞摩擦系数，K表示弹簧系数，q表示系统位移。
图1 弹簧阻尼系统基本示意图结合图1，得到系统的模型的方程如下：mq¨+cq˙+kq=u，其中u表示输入作用力大小。
切换成状态空间表达式，设定系统的状态量为同时设置y=q为系统输出，因此得到的表达式为假设输入为正弦信号：u=Asinwt ,考虑到通用的状态空间系统方程dxdt=f(x,u)采用欧拉积分的方法，考虑在t时刻的系统状态x，在极短的时间内h>0, 状态变化率时f(x,u)是个常量，在时刻t到时刻（t+h）内，x(t+h)=x(t)+hf(x(t),u(t))进行一些简答图形绘制绘制输入信号图：输入信号为正弦信号，给定相应的幅值和角频率，表示输入作用力的大小部分代码：t = 0:0.1:100;u = 20*sin(0.5*t);plot(t,u,'r','LineWidth',2);xlabel('Time[sec]');ylabel('Force [N]');绘制基于状态方程的系统响应曲线，根据状态方程，在输入作用力下，观察系统的输出，即位置与时间的关系。
由图可知，黑色的曲线，则是表示系统的响应，采用的是matlab自带的函数。
其他颜色则是测试欧拉积分的方法，观察系统的输出响应曲线，发现时间间隔h越小，跟踪效果越好。
ys,ts] = lsim(sys,u,t);hvec = [10.50.1]; clear x;for iter = 1:length(hvec)x(:,1) = [0; 0];h = hvec(iter);maxi(iter) = max(t)/h;for i = 1:maxi(iter);x(:,i+1) = x(:,i) + h*(A*x(:,i) + B*u(h/0.1*i));td(i,iter) = (i-1)*h;yd(i,iter) = C*x(:,i);endendfigure(1); clf; plot(t, u);xlabel('time [sec]');ylabel('F [N]');figure(2); clf; subplot(211); hold on;analh = plot(ts, ys, 'k-', 'LineWidth',AM_data_linewidth);simh = plot(...td(1:maxi(1),1), yd(1:maxi(1),1), 'g+--', ...td(1:maxi(2),2), yd(1:maxi(2),2), 'ro--', ...td(1:maxi(3),3), yd(1:maxi(3),3), 'b--', ...'MarkerSize', 4, 'LineWidth', AM_ref_linewidth ...);当系统的输入是单位阶跃响应时，也需要观察系统的阶跃响应曲线。
37弹簧质量阻尼器系统建模与频率特性分析
37弹簧质量阻尼器系统建模与频率特性分析在工程中，弹簧质量阻尼器系统是一种常见的机械系统，广泛应用于减震、减振和隔振等方面。
弹簧质量阻尼器系统由弹簧、质量和阻尼器组成，其中弹簧用于提供系统的弹性支撑，质量用于惯性作用，阻尼器用于消散系统的振动能量。
建立弹簧质量阻尼器系统的数学模型并进行频率特性分析对于系统的设计和性能评估至关重要。
1.弹簧质量阻尼器系统建模弹簧质量阻尼器系统可以用简谐振动模型来描述。
假设系统由质量m、弹簧刚度k和阻尼系数c组成，其受到外力F(t)作用。
系统的运动方程可以写成如下形式：m*x''(t)+c*x'(t)+k*x(t)=F(t)其中，x(t)为系统的位移，x'(t)为系统的速度，x''(t)为系统的加速度。
频率特性分析是对弹簧质量阻尼器系统在不同频率下的响应进行研究。
在频率特性分析中，通常会研究系统的振幅-频率曲线和相位-频率曲线。
首先，通过对系统的运动方程进行拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数：H(s) = X(s) / F(s) = 1 / (ms^2 + cs + k)其中，s为复频域变量。
利用传递函数可以计算系统在不同频率下的振幅和相位。
根据传递函数的模和幅角，可以画出系统的振幅-频率曲线和相位-频率曲线。
3.频率特性分析实例假设一个简单的弹簧质量阻尼器系统由质量m=1kg、弹簧刚度k=10N/m、阻尼系数c=1N·s/m组成，外力F(t)为正弦函数。
通过对系统进行频率特性分析，可以得到系统在不同频率下的响应。
对于该系统，可以计算其传递函数为：H(s)=1/(s^2+s+10)通过传递函数可以计算系统在不同频率下的振幅和相位，并绘制出振幅-频率曲线和相位-频率曲线。
通过频率特性分析，可以得到系统的共振频率、共振幅值、相位延迟等重要参数，从而对系统的性能进行评估和优化。
总之，对弹簧质量阻尼器系统进行建模和频率特性分析是非常重要且必要的。
弹簧-高质量-阻尼模型
弹簧-质量-阻尼系统1 研究背景及意义弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。
因此研究弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。
2 弹簧-质量-阻尼模型的建立数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。
其中，微分方程是基本的数学模型 ，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。
微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。
所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提 。
通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。
弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。
机械系统如图2.1所示，图2.1 弹簧-质量-阻尼系统简图其中1m ，2m 表示小车的质量，i c 表示缓冲器的粘滞摩擦系数，i k 表示弹簧的弹性系数，i F （t ）表示小车所受的外力，是系统的输入即i U （t ）=i F （t ）,i X (t)表示小车的位移，是系统的输出，即i Y （t ）=i X (t)，i=1,2。
设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中1m =1kg ，2m =2kg ，1k =3k =100N/cm ，2k =300N/cm ，1c =3c =3N ∙s/cm ，2c =6N ∙s/cm 。
由图2.1，根据牛顿第二定律,，建立系统的动力学模型如下： 对1m 有：（2-1）对2m 有：（2-2）3 建立状态空间表达式令31421122,,,x x x x u F u F ====,则原式可化为：13123241212212423423232212()()()()()()m x l l x l x k k x k x u t m x l l x l x k k x k x u t ++-++-=++-++-=化简得：1221211232431()()()u t k x k k x l l x l x x m +-++++= （2-3）2211223242342()()()u t k x k k x l l x l x x m +-+-++=（2-4）整理得：12112212211111324323222222221234001000000100()()10()()1010000100x x u k k k l l l x m m m m m x u x k k l l k l m m m m m x x y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ （2-5）121321321,2,100,3003,6m m k k k l l l ========代入数据得：00100001400300961502003 4.5A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦ 00001000.5B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦10000100C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则系统的状态空间表达式为x y ux x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=001000015.000100005.43200156930040010000100.4 化为对角标准型当系统矩阵A 有n 个不相等的特征根...)3,2,1(=i iλ时，相应的有n 个不相等的特征向量...)3,2,1(=i m i，所以有矩阵A 的特征矩阵[]m m m m M 4321...=根据矩阵论线性变换得：Mz x Tx z M T =⇒=⇒=-1可以使用matlab 进行对角标准型的运算，matlab 作为一种数学运算工具，很大程度的方便了了我们的计算，对于这个弹簧-质量-阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式，所以可以用matlab 简化计算。
质量弹簧阻尼系统数学模型matlab辨识
质量弹簧阻尼系统数学模型matlab辨识全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：质量弹簧阻尼系统是工程学中常见的一个系统模型，它描述了一个质量、被弹簧连接和被阻尼器连接的系统。
这种系统经常出现在机械、土木、航空等领域中，用于分析和优化系统的动态特性。
在工程实践中，我们常常需要通过实验数据来确定系统的性能，并建立数学模型来描述系统的运动规律。
在本文中，我们将讨论如何利用MATLAB进行质量弹簧阻尼系统的数学模型辨识。
我们将介绍质量弹簧阻尼系统的理论基础和运动方程。
然后，我们将讨论如何利用MATLAB进行数据处理和数学模型辨识。
我们将通过一个案例来展示如何使用MATLAB建立和验证质量弹簧阻尼系统的数学模型。
质量弹簧阻尼系统理论基础和运动方程质量弹簧阻尼系统是一个常见的动力学系统，它由一个质量、一个弹簧和一个阻尼器组成。
质量受到外力作用时，将受到弹簧和阻尼器的约束，从而产生运动。
系统的动力学方程可以表示为：m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = f(t)m是质量，c是阻尼系数，k是弹簧刚度，x是位移，f(t)是外力。
这是一个二阶线性常微分方程，描述了系统在外力作用下的运动规律。
MATLAB数据处理和数学模型辨识在实际工程中，我们需要通过实验数据来确定系统的参数，以建立数学模型。
MATLAB是一个强大的数学计算软件，可以方便地处理数据和建立模型。
我们可以利用MATLAB进行数据导入、处理、拟合和模拟，从而辨识质量弹簧阻尼系统的数学模型。
我们需要采集实验数据，包括质量弹簧阻尼系统的位移、速度和加速度等信息。
然后，我们可以利用MATLAB进行数据处理，比如绘制位移-时间曲线、速度-时间曲线和加速度-时间曲线等。
接下来，我们可以利用MATLAB的曲线拟合工具来拟合实验数据，从而确定系统的参数。
第二篇示例：质量弹簧阻尼系统是工程领域中常见的一种动力学系统，其在机械、航空航天、汽车等领域中都有广泛的应用。
弹簧质量阻尼系统的建模与控制系统设计
弹簧质量阻尼系统的建模与控制系统设计对于弹簧质量阻尼系统的建模，我们可以采用牛顿第二定律来描述其运动状态：$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F$$其中，$m$是质量，$\ddot{x}$是加速度，$b$是阻尼系数，$\dot{x}$是速度，$k$是弹簧系数，$x$是位移，$F$是外力。
这个方程描述了质量受到弹簧力、阻尼力和外力的合力时的运动状态。
在实际应用中，通常外力可以忽略不计或者可以进行补偿处理。
为了进一步进行控制系统设计，我们可以将建模方程进行转换，转换成状态空间形式：$$\dot{x} = Ax + Bu$$$$y=Cx+Du$$其中，$x$是状态向量，包含位置和速度信息；$u$是输入向量，即控制器的输出；$y$是输出向量，即系统的状态信息。
$A$、$B$、$C$和$D$是矩阵。
通过选取合适的状态变量和引入控制器后，可以使得转移矩阵、输入矩阵、输出矩阵和直通矩阵达到所需的性能指标。
针对弹簧质量阻尼系统，我们可以设计不同类型的控制器来实现不同的控制目标。
常见的控制器有比例控制器、积分控制器和微分控制器，以及它们的组合，即PID控制器。
其中，比例控制器能够实现快速的响应速度，但可能会造成稳态误差；积分控制器能够消除稳态误差，但会引入超调；微分控制器能够提高稳定性和抑制振荡，但容易引入噪声。
在实际控制系统设计中，我们可以根据系统性质和控制目标的不同，选择合适的控制器类型和参数。
一般情况下，通过系统建模和参数估计，可以利用控制理论和分析工具进行开环和闭环的系统性能分析和调节，从而实现系统的精确控制和稳定性。
总结起来，弹簧质量阻尼系统的建模和控制系统设计是一项重要的工程任务。
通过建立系统的动力学方程和状态空间模型，我们可以对其进行控制系统设计和分析。
根据实际需求和控制目标，选择合适的控制器类型和参数，并进行系统性能分析和优化。
这样可以实现弹簧质量阻尼系统的精确控制和稳定性。
工程力学中的弹簧力学模型
工程力学中的弹簧力学模型弹簧力学模型是工程力学中常用的一种力学模型，广泛应用于机械工程、土木工程、航空航天工程等领域。
弹簧是一种能够储存和释放弹性势能的装置，通过对弹簧力学模型的研究，我们可以更好地理解和应用弹簧的特性。
本文将介绍弹簧力学模型的基本原理、常见的弹簧类型以及相关应用。
一、弹簧力学模型的基本原理弹簧力学模型的基本原理是胡克定律，即弹簧的变形与所受外力成正比。
胡克定律可以用公式表示为F = kx，其中F表示作用在弹簧上的力，k表示弹簧的劲度系数，x表示弹簧的变形量。
根据胡克定律，弹簧力学模型可以用线性模型描述，即弹簧的变形与受力之间是线性关系。
除了线性模型，还存在其他的非线性弹簧力学模型，如阻尼弹簧模型和非线性弹簧模型。
阻尼弹簧模型考虑了弹簧系统中的阻尼效应，非线性弹簧模型考虑了弹簧本身的非线性特性。
这些模型在具体应用中可以更好地描述实际情况，进一步提高工程设计的准确性。
二、常见的弹簧类型根据应用场景的不同，弹簧可以分为多种类型。
以下是常见的几种弹簧类型：1. 螺旋弹簧：螺旋弹簧是一种以螺旋形状为基础的弹簧，广泛用于机械工程和汽车制造中。
螺旋弹簧的特点是结构简单、承载能力大，适用于承受较大变形和载荷的情况。
2. 压缩弹簧：压缩弹簧是一种可以压缩变形的弹簧，常见于各种机械和电子设备中。
压缩弹簧的特点是体积小、变形范围大，适用于限制空间的场合。
3. 张力弹簧：张力弹簧是一种通过拉伸变形储存弹性势能的弹簧，常见于门把手、悬挂装置等物品中。
张力弹簧的特点是结构简单、使用方便。
4. 扭转弹簧：扭转弹簧是一种通过扭转变形储存弹性势能的弹簧，常见于各种机械传动系统中。
扭转弹簧的特点是对扭转力有良好的响应，适用于需要传递扭矩的情况。
三、弹簧力学模型的应用弹簧力学模型在工程领域有广泛的应用。
以下是几个常见的应用案例：1. 悬挂系统：汽车、自行车等交通工具的悬挂系统中采用弹簧力学模型来实现对路面不平度的缓冲和悬挂系统的稳定性。
弹簧质量阻尼系统参数辨识
弹簧质量阻尼系统是一种常见的工程系统，广泛应用于航空航天、机械工程等领域。
该系统由弹簧、质量块和阻尼器组成，能够实现能量的储存、转换和耗散。
在实际应用中，弹簧质量阻尼系统的性能参数对系统的动态特性有着重要影响。
因此，参数辨识是优化系统性能的关键之一。
弹簧质量阻尼系统通常可以表示为一个二阶常微分方程，其数学模型为：$\ddot{x}(t) + 2\zeta\omega\dot{x}(t) + \omega^{2}x(t) = 2\zeta\omega^{3}Cx(t) + m\omega^{3}f(t)$，其中$x(t)$表示位移，$\dot{x}(t)$表示速度，$\zeta$表示阻尼比，$\omega$表示系统的固有频率，C表示阻尼系数，$m$表示质量块的质量，$f(t)$表示外部激励。
参数辨识是指通过测量系统输出，利用测量数据与理论模型的误差来估计系统的参数。
常用的参数估计方法包括最小二乘法、卡尔曼滤波等。
在弹簧质量阻尼系统的参数辨识中，需要根据系统的动态特性选择合适的参数估计方法，并建立相应的估计模型。
为了进行参数辨识，需要先采集系统的动态响应数据。
通常可以采用传感器、示波器等设备对系统的位移、速度、加速度等输出信号进行测量。
在实际应用中，由于系统受到各种干扰因素的影响，测量数据可能存在误差和噪声。
因此，需要对测量数据进行预处理和去噪处理，以提高参数估计的准确性和可靠性。
在参数估计过程中，需要注意估计模型的精度和稳定性。
为了提高模型的精度，可以采用高精度的测量设备和方法，并选择合适的参数估计方法。
同时，需要考虑到系统的非线性、时变性等因素，对模型进行动态修正和优化。
经过参数辨识后，可以得到系统的性能参数，如阻尼比、固有频率等。
这些参数对系统的动态特性有着重要影响，可以通过优化这些参数来提高系统的性能和稳定性。
在实际应用中，可以根据系统的具体需求和约束条件，对参数进行合理调整和优化，以达到最佳的系统性能。
弹簧质量阻尼系统的无量纲化
弹簧质量阻尼系统的无量纲化
弹簧质量阻尼系统是工程力学与振动学中常见的一个系统模型，用于描述弹簧、质量和阻尼器之间的动态关系。
在进行弹簧质量阻尼系统的分析和研究时，常常需要对其进行无量纲化处理，以便更好地理解系统的特性和行为。
无量纲化是一种将物理问题转化为无量纲形式的方法，通过选取适当的基本量纲和参考量纲，将物理量表示成无量纲形式，从而简化问题的计算和分析。
对于弹簧质量阻尼系统来说，无量纲化可以帮助我们更好地理解系统的动态特性和响应。
在无量纲化的过程中，我们首先需要选择适当的基本量纲。
对于弹簧质量阻尼系统来说，通常选择力F、质量m和长度L作为基本量纲。
然后，我们需要选择适当的参考量纲，例如弹簧的刚度k、振动的频率ω和阻尼系数c。
通过将物理量表示为无量纲形式，可以得到无量纲化的动力学方程，从而更方便地进行分析和求解。
利用无量纲化的方法，我们可以得到弹簧质量阻尼系统的无量纲频率、阻尼比和无量纲振幅等重要无量纲参数，这些参数对系统的动态特性和稳定性具有重要的影响。
通过对这些无量纲参数的分析，可以更好地了解弹簧质量阻尼系统的振动特性和响应。
除了对系统的动态特性进行分析外，无量纲化还可以帮助我们进行系统的优化设计和参数选择。
通过对无量纲参数的研究和分析，可以找到系统的最佳工作状态和参数配置，从而提高系统的性能和稳定性。
总之，无量纲化是对弹簧质量阻尼系统进行分析和研究的重要方法，通过将系统的物理量表示为无量纲形式，可以更好地理解系统的动态特性和响应。
同时，无量纲化还可以帮助我们进行系统的优化设计和参数选择，从而提高系统的性能和稳定性。
质量块-弹簧-阻尼系统的Simulink仿真
质量块-弹簧-阻尼系统的Simulink仿真
1、问题描述
⼀个简单的质量块-弹簧-阻尼系统如下图所⽰，质量块的质量为m=1kg，阻尼器的阻尼系数为2N•s/m，弹簧的弹性系数为k=100N/m，质量块的初始位移为x(0)=0.05m，初始速度v(0)=0m/s，仿真该质量块的运动位移和速度。
2、Simulink模型搭建
主要⽤到了积分模块、增益模块、求和模块和显⽰模块，Simulink模型如下图所⽰。
3、仿真结果
仿真结果如下图所⽰，可以看到质量块在弹簧和阻尼器的作⽤下，呈现逐渐衰减振荡的运动现象，直到储存在弹簧的弹性势能逐渐被阻尼器转化为热能消耗掉。
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弹簧质量阻尼系统模型自动控制原理综合训练项目题目：关于MSD系统控制的设计目录1设计任务及要求分析 (5)1.1初始条件 (5)1.2要求完成的任务 (6)1.3任务分析 (7)2系统分析及传递函数求解 (7)2.1系统受力分析 (7)2.2传递函数求解 (13)2.3系统开环传递函数的求解 (13)3.用MATLAB寸系统作开环频域分析 (14)3.1开环系统波特图 (14)3.2开环系统奈奎斯特图及稳定性判断.164.系统开环频率特性各项指标的计算 (19)总结 (21)参考文献 (22)弹簧-质量-阻尼器系统建模与频率特性分析1设计任务及要求分析1.1初始条件已知机械系统如图。
//////////--- NN\/V-------b2NWk iIP k2x图 1.1 机械系统图1.2要求完成的任务(1)推导传递函数 Y(s)/X(s) , X(s)/P(s),(2)给定m=0.2g,b2 =0.6N-s/mK =8N/m,k2 =5N/m,以p 为输入u(t)(3)用Matlab画出开环系统的波特图和奈奎斯特图，并用奈奎斯特判据分析系统的稳定性。
(4)求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。
(5)对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含Matlab源程序或Simulink仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写1.3任务分析由初始条件和要求完成的主要任务，首先对给出的机械系统进行受力分析，列出相关的微分方程，对微分方程做拉普拉斯变换，将初始条件中给定的数据代入，即可得出 Y(s)/X(s)，X(s)/P(s)两个传递函数。
由于本系统是一个单位负反馈系统，故求出的传递函数即为开环传函。
后在MATLAB中画出开环波特图和奈奎斯特图，由波特图分析系统的频率特性，并根据奈奎斯特判据判断闭环系统位于右半平面的极点数，由此可以分析出系统的稳定性。
最后再计算出系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度，并进一步分析其稳定性能。
2系统分析及传递函数求解2.1系统受力分析单自由度有阻尼振系的力学模型如图2-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。
以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴X。
则物体运动微分方程为mx = —ex —kx (2-1)式中：-CX为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。
将上式写成标准形式，为令p2= —, 2n = C，贝U上式可简化为m m2x 2nx p 0 (2-3)这就是有阻尼自由振动微分方程。
它的解可取x = e st，其中s是待定常数。
代入(2-1)式得(s2• 2ns p2)e st = 0,要使所有时间内上式都能满足，必须s2 2ns • p2 =0，此即微分方程的特征方程，其解为3,2 二-n 一. n2- p2(2-4) 于是微分方程(2-1 )的通解为. . . 2 2 2 2.x = C i e° +C2e s2=e』(C i e'n " +c2n ) ( 2-5)式中待定常数C1与C2决定与振动的初始条件。
振动系统的性质决定于根式■ n2二p2是实数、零、还是虚数。
对应的根s与S2可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。
若S1与S2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为c c，即e c= 2mp。
引进一个无量纲的量，称为相对阻尼系数或阻尼比。
=n/ p = c/2mp = c/c C(2-6)当n>p或'>1,根式i n2- p2是实数，称为过阻尼状态，当n<p或<1，根式：.n2 -p2是虚数，称为弱阻尼状态，当n = p,即•二1，称为临界阻尼状态。
现分别讨论三种状态下的运动特性。
1■过阻尼状态此时【>1，即Jn2-p2<n，(b)式中S1及S2均为负值，则e sit及e s2t是两根下降的指数曲线，故(2-2)式所表示的是两条指数曲线之和，仍按指数衰减，不是振动。
图3-2所示为c i >C 2,c i <0时的情况。
图2-22■临界阻尼状态此时 =1, （b ）式中s i = sz =-n =— p ,特征方程的根是重根，方程（2-1） 的另一解将为te —叭故微分方程（2-1）的通解为x =（ c i + C 2t ） e pt（2-7）式中等号右边第一项c i e -pt 是一根下降的指数曲线，第二项则可应用麦克劳林级 数展开成以下形式：从上式看出，当时间t 增长时，第二项c 2te — pt也趋近于零。
因此（c ）式表示的 运动也不是振动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。
3■弱阻尼状态此时p>n,或<1 o 利用欧拉公式二cos., p 2 - n 2t 士i sin .. p 2 - n 2t (2-9)可将（2-2）式改写为x = Ae" sin(.. p 2 _ n 2t)令 P d — p 2 - n 2，则C 2te 4 C 2~pTTte________________ C2 _________________1/t p p 2t/2! p 3t 2 /3L ...... - p n t n/n! (2-8) ■ nt二 e(Gei p2-n 2t. 2 2.■ C 2e^ pe Jnt(D i cos . p 2「n 2t D 2 sin . p 2「n 2t)(2-10)(1-11)式中A 与「为待定常数，决定于初始条件。
设 t = 0时，x = x o, x = x o ，则可求 得A 品（30心赵」厘乩（2-13）V P dXo + nx o将A 与「代入（2-4）式，即可求得系统对初始条件的响应，由式（2-13）可知, 系统振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线_Ae 』之内随时间不 断衰减的衰减振动。
如图3-3所示。
图2-3这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为P d = 、P 2— n 2二 PJ — 2( 2-14)(2-15)2 2 二 _ 2_ ____ 二 2 二 1 二 丁 1—P 21 n 2「P 、一1- 2「1- 2式中P、f、T是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期由上可见，阻尼对自由振动的影响有两个方面：一方面是阻尼使自由振动的周期增大、频率减小，但在一般工程问题中n都比P小得多，属于小阻尼的情况。
例=n/p=0.05 时，f d=0.9990f, T d=1.00125T;而在=0.20 时，f d=0.98f, T d=1.02T,所以在阻尼比较小时，阻尼对系统的固有频率和周期的影响可以略去不计，即可以近似地认为有阻尼自由振动的频率和周期与无阻尼自由振动的频率和周期相等。
另一方面，阻尼对于系统振动振幅的影响非常显著，阻尼使振幅随着时间不断衰减，其顺次各个振幅是：t=t i时，A i=Ae-nt i ；t=t i+T d时，A2=A e』（tlTd） ; t=t i+2T d时，A3=A e』（t「2Td），…..。
而相邻两振幅之比是个常数。
即(2-i6)式中n称为减幅系数或振幅衰减率，n称为衰减系数，n越大表示阻尼越大，振幅衰减也越快。
当'=0.05时，n= i・37, A2=A i/i.37=0.73A i，每一个周期内振幅减少27%，振幅按几何级数衰减，经过i0次振动后，振幅将减小到初值的4.3%。
可见，衰减是非常显著的。
在工程上，通常取（2-6）式的自然对数以避免取指数的不便，即-=Ln(A j / A j = nT d 式中S称为对数减幅或对数衰减率。
将T d =2 / ... p2-n2代入，得当<<1时,(2-17):=2”p2 -n2=2^/..1- 2(2-18)A / A ? = A 2 / A 3 = A 3 / A 4 = .......... = A j / A j 1 = e = e故有A/A H =(A/A 2)(A 2/A 3)……(A j /A® =e 诸因此对数减幅S 也可表达为A A (j 4)此外，根据(3-6)式，可以用实测法来求得系统的阻尼系数。
因为c 旦Ln 旦T d A j *所以只要实测得出衰减振动的周期 T d 及相邻两次振幅A j 和A j+i ,即可计算出系 统的阻尼系数C 。
根据弹簧和阻尼器的特性可得以下关系式：F ki (t)=k i x(t),F k2(t)=k 2[x(t) — y(t)],F b2(t)=b 2dy(t)/dt设不加p(t)时，质量块处于平衡状态，此时 x=0, y=0,即x(0)=0, y(0)=0, 根据受力平衡方程，在不计重力时，可得出以下方程：k 2[x(t)-y(t)]=b 2dy(t)/dt(2-22)(2-20)A jLnnT d -■A j *n 二丄 LnT dc 2m二丄Ln A j TdAj 1(2-21)又根据牛顿第二定律，有方程:2 2md2x(t)/dt2=p(t) —F ki(t) —F k2(t) —F b2(t) (2-23)2.2传递函数求解(1)求Y(s)/X(s):对式(2-1)进行拉普拉斯变换，得：k2X(s)—k2Y(s)=b2*sY(s),化简得传递函数：Y(s)/X(s)=k 2/(b2s+k2) (2-24) (2)求X(s)/P(s):一2对式(2-2)进行拉普拉斯变换，得：ms X(s)=P(s)—k i X(s) —2k2[X(s) —Y(s)],并将式(2-3)代入可解得传递函数：3 2X(s)/P(s)=(b2s+k2)/[mb2s3+mk2s2+b2(k i+2k2)s+k i k2] (2-25)已知条件为：给定m 二0.2g, b2 = 0.6N *s/m, k^ 8N /m,k2 = 5N /m，设 p(t)是输入 u(t)的阶跃力。
将所给参数代入传递函数式(2-3)和式(2-4)中，可求得具体的传递函数如下：Y(s)/X(s)=5/(0.6s+5) (2-26) X(s)/P(s)=(0.6s+5)/ (1.2*10A-4s3+10A-3s2+10.8s+4Q (2-27) 2.3系统开环传递函数的求解(1)对于Y(s)/X(s):由微分方程Y(s)/X(s)=5/(0.6s+5)可画出单位负反馈系统方框结构图如下：2(s) X (s)5/(0.6s+5) —故开环传递函数为：G (S) =5/(0.6s+5)(2)对于X(s)/P(s):由微分方程ms2X(s)=P(s) —k1X(s) —2k2[X(s) —Y(s)]及Y(s)/X(s)=k2/(b2s+k2)可画出系统方框结构图如下：P(s) X(s) 故开环传递G(s)=3.用MATLAB寸系统作开环频域分析3.1开环系统波特图(1)对于Y(s)/X(s):(画波特图时采用的MATLAB语句如下：>> num=[5];den=([0.6,5]);>> margin(num,den)特性运行结果如图3-1%画系统的开环对数幅频、相频10 10"Frequency (rad/B)图3-1 Y(s)/X(s)的开环波特图(2)对于 X(s)/P(s):G(s)=画波特图时采用的MATLAB 语句如下：>> num=[0.6,5];den=([]);>> margin(num,den)特性运行结果如图3-2所示:GB MC JiagremGm« iif ,Pm - -1 BO deg fat 0 rad/s}101J10%画系统的开环对数幅频、相频3od« DiagnfnGrr - Inf dB (at hf radJs) , Pn- 1&7de-g 但t3唱ra岀s)(S4pjesgulxio T101w' iMiaFrequency (ra^s)图3-2 X(s)/P(s)的开环波特图3.2开环系统奈奎斯特图及稳定性判断(1)对于Y(s)/X(s)画奈奎斯特图时MATLAB语句如下：>> num=[5];>> den=[0.6,5];>> nyquist(num,den)运行结果如图3-3所示:图 3-3Y (s ) /X (s )开环奈奎斯特图开环传函()，由于系统开环传递函数不存在右半平面的 极点，故p=0,从 变到 时，系统的开环幅相曲线不能包围(-1，j0)点周数N=0，则系统位于右半平面的闭环极点数为:Z=P-2N=0,故系统是稳定的。