弹簧-质量-阻尼实验指导书

质量-弹簧-阻尼系统实验教学指导书

北京理工大学机械与车辆学院

2016.3

实验一：单自由度系统数学建模及仿真 1 实验目的

（1）熟悉单自由度质量-弹簧-阻尼系统并进行数学建模； （2）了解MATLAB 软件编程，学习编写系统的仿真代码； （3）进行单自由度系统的仿真动态响应分析。 2 实验原理

单自由度质量-弹簧-阻尼系统，如上图所示。由一个质量为m 的滑块、一个

刚度系数为k 的弹簧和一个阻尼系数为c 的阻尼器组成。系统输入：作用在滑块上的力f (t )。系统输出：滑块的位移x (t )。

建立力学平衡方程：

m x c x kx f ∙∙∙

++=

变化为二阶系统标准形式：

22f x x x m

ζωω∙∙

∙

++=

其中：ω是固有频率，ζ是阻尼比。

ω=

2c m ζω=

= 2.1 欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f (t )和非零初始状态的响应：

()()sin()))]

t t x t t d e ζωττζωττ

+∞

--=∙

-=

-+-+

⎰

2.2 欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f(t)=f0*cos(ω0*t) 和非零初始状态的的响应：

022

3

00

22222

00

222222

2

()cos(arctan())

2f

[(0)]cos()

[()(2)]

sin(

t

t

x t t

x e

k

e

ζω

ζω

ζωω

ω

ωω

ζωω

ωωζωω

-

∙

-

=-

-

++

-+

+)

输出振幅和输入振幅的比值：A=

3 动力学仿真

根据数学模型，使用龙格库塔方法ODE45求解，任意输入下响应结果。

仿真代码见附件

4 实验

4.1 固有频率和阻尼实验

（1）将实验台设置为单自由度质量-弹簧-阻尼系统。

（2）关闭电控箱开关。点击setup菜单，选择Control Algorithm，设置选择Continuous Time Control，Ts=0.0042，然后OK。

（3）点击Command菜单，选择Trajectory，选取step,进入set-up,选取Open Loop Step 设置(0)counts, dwell time=3000ms,(1)rep, 然后OK。此步是为了使控制器得到一段时间的数据，并不会驱动电机运动。

（4）点击Data菜单，选择Data Acquisition,设置选取Encoder#1 ，然后OK离开；从Utility菜单中选择Zero Position使编码器归零。

（5）从Command菜单中选择Execute，用手将质量块1移动到2.5cm左右的位置（注意不要使质量块碰触移动限位开关），点击Run, 大约1秒后，放开手使其自由震荡，在数据上传后点击OK。

（6）点击Plotting菜单，选择Setup Plot，选取Encoder #1 Position；然后点击Plotting 菜单，选择Plot Data，则将显示质量块1的自由振动响应曲线。

（7）在得到的自由振动响应曲线图上，选择n个连续的振幅明显的振动周期，计算出这段振动的时间t，由n/t即可得到系统的频率，将Hz转化为rad/sec即为系统的振动频率ω。

（8）在自由振动响应曲线图上，测量步骤7选取时间段内初始振动周期的振幅

X0以及末尾振动周期的振幅Xn。由对数衰减规律即可求得系统阻尼比。

（9）实验数据记录

（10）在仿真代码基础上，计算出实验结果对应的理论结果。对比分析理论和实验结果的差异。完成实验报告。

4.2 幅频特性实验

（1）点击Command菜单，选择Trajectory，选取Sinuscidal，进入set-up,选取Open LoopStep设置Amplitude(0.5V), Frequency(2Hz),Repetition(8)，然后OK。

（2）从Utility菜单中选择Zero Position使编码器归零。从Command菜单中选择Execute，点击Run,在数据上传后点击OK。

（3）然后点击Plotting菜单，选择Plot Data，则将显示滑块的受迫振动响应曲线。在响应曲线图上，测量出振动振幅，计算出振动的频率并于输入的正弦曲线频率比较。

（4）根据实验情况，改变输入的正弦曲线频率的大小，重复上述，纪录实验数据。

（5）在仿真代码基础上，实现正弦激励代码，计算出实验结果对应的理论结果。对比分析理论和实验结果的差异。完成实验报告。

实验二：双自由度系统数学建模及仿真 1 实验目的

（1）熟悉双自由度质量-弹簧-阻尼系统并进行数学建模； （2）了解MATLAB 软件编程，学习编写系统的仿真代码； （3）进行双自由度系统的仿真动态响应分析。 2 实验原理 2.1 数学建模

双自由度质量-弹簧-阻尼系统，如上图所示。由两个质量为m 1和m 2的滑块、

两个刚度系数为k 1和k 2的弹簧和两个阻尼系数为c 1和c 2的阻尼器组成。系统输入：作用在滑块上的力f (t )。系统输出：滑块的位移x 1(t )和x 2(t )。 建立力学平衡方程：

112111111222122211122211()

m x c x c x k x k x f t m x c x c x c x k x k x k x ∙∙

∙∙

∙∙∙∙∙

⎧+-+-=⎪⎨⎪++-++-=⎩ 2.2 固有频率

将动力学方程写成矩阵形式：

1111

1111211211222201()0()()0x m c c k k x x f t m c c c k k k x x x ∙∙∙∙∙∙⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⋅+⋅+⋅=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣

⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

得到系统的质量矩阵M 和刚度矩阵K 。 解行列式可得固有频率方程：2||0K M ω-= 可计算出固有频率方程：

2

1121,2

120.5[k k k m m ω

+=+