讲解：求解共点力平衡问题的八种方法

求解共点力平衡问题的八种方法一、分解法一个物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将其中任意一个力沿其他两个力的反方向分解，这样把三力平衡问题转化为两个方向上的二力平衡问题, 小相等。

二、合成法对于三力平衡时，将三个力中的任意两个力合成为一个力，则其合力与第三个力平衡, 把三力平衡转化为二力平衡问题。

［例1］如图1所示，重物的质量为m轻细绳AO和B0的A端、B端是固定的，平衡时A0是水平的，BC与水平面的夹角为0 , A0的拉力F i和BC的拉力F2的大小是（）［解析］解法一（分解法）用效果分解法求解。

H共产生两个效果：一个是水平方向沿A T 0拉绳子A0另一个是拉着竖直方向的绳子。

如图2甲所示，将H分解在这两个方向上，结合力的平衡等知识解0= .mg。

显然，也可以按mg或F i）产生的效果分解mg或V sin0 F i）来求解此题。

解法二（合成法）则每个方向上的一对力大A. F i = mg cosB. F i = mg potC. F2= mg inD. F2= mg/sin得F i = F2 ‘= mg cot 0F2〃由平行四边形定则，作出F i、F2的合力F I2, 如图乙所示。

又考虑到F I2= mg解直角三角形得F i= mg cot 0 ,冃=mg/sin 0，故选项B D正确。

整体法和隔离法。

对于多物体问题， 如果不求物体间的相互作用力，优先采用整体法,这样［答案］BD三、正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用处于平衡状态时，常用正交分解法列平衡方程求解:F x 合=0, F 合=0。

为方便计算，建立坐标系时以使尽可能多的力落在坐标轴上为原则。

［例2］如图3所示，用与水平成0角的推力F 作用在物块上，随着 0逐渐减小直到［解析］对物体受力分析，建立如图 由平衡条件得F eos 0 — F f = 0F N — (m 叶 F sin 0 ) = 0又 F f = (I F N联立可得F=eos 0 — m ；in 0可见，当0减小时，F一直减小，故选项 B 正确。

［答案］B四、整体法和隔离法水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动。

关于物块受到的外力， 下列判断正确的A. 推力F 先增大后减小B. 推力F 一直减小C. 物块受到的摩擦力先减小后增大D. 物块受到的摩擦力一直不变若一个系统中涉及两个或者两个以上物体的平衡问题, 在选取研究对象时，要灵活运用4所示的坐标系。

涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；很多情况下，通常采用整体法和隔离法 相结合的方法。

［例3］（多选）如图5所示，放置在水平地面上的质量为M 的直角劈上有一个质量为 m若物体在直角劈上匀速下滑，直角劈仍保持静止，那么下列说法正确的是［解析］方法一：隔离法对直角劈进行受力分析， 建立坐标系如图乙所示，由牛顿第三定律得 F N = F N ', F f = F f ',在水平方向上，压力F N ’的水平分量 F N sin 0 = mg pos 0 • sin量 F f ‘ cos 0 = mg sin0 • cos 0 ,可见 F f ‘ cos 0 = F N ’ sin 0有运动趋势，所以地面对直角劈没有摩擦力。

=mg+ Mg方法二：整体法的物体, A. B. C.D. 直角劈对地面的压力等于 （阿m ）g 直角劈对地面的压力大于 （俯m ）g地面对直角劈没有摩擦力 地面对直角劈有向左的摩擦力先隔离物体，物体受重力mg 斜面对它的支持力 F N 、沿斜面向上的摩擦力 F f ，因物体沿斜面匀速下滑，所以支持力 F N 和沿斜面向上的摩擦力F f 可根据平衡条件求出。

再隔离直角劈，直角劈受竖直向下的重力 Mg 地面对它竖直向上的支持力F N 地，由牛顿第三定律得, 物体对直角劈有垂直斜面向下的压力F N 和沿斜面向下的摩擦力F f '，直角劈相对地面有没有运动趋势，关键看F f '和F N 在水平方向上的分量是否相等, 若二者相等，则直角劈相对 地面无运动趋势，若二者不相等，则直角劈相对地面有运动趋势, 而摩擦力方向应根据具体的相对运动趋势的方向确定。

对物体进行受力分析, 建立坐标系如图6甲所示，因物体沿斜面匀速下滑， 由平衡条件 得：支持力F N = mg cos 0 ,摩擦力F f = mg sin0，摩擦力F f '的水平分，所以直角劈相对地面没在竖直方向上，直角劈受力平衡，由平衡条件得:F N 地=F f ’ sin 0 + F N ‘ cos 0 + Mg图5re 。

图6当一个物体受三个力作用而处于平衡状态， 如果其中两个力的作用线相交于点，则第三个力的作用线必通过前两个力作用线的相交点，把则重心C 一定在过Q 点的竖直线上，如图8所示。

由几何知识可知：BQ= 2A B= 1 m BC= ^BQ=0.5 m ，故重心应在距 B 端0.5 m 处。

A 项正确。

(}图8［答案］A六、正弦定理法直角劈对地面的压力和地面对直角劈的支持力是一对作用力和反作用力,大小相等、方向相反。

而地面对直角劈的支持力、 地面对直角劈的摩擦力是直角劈和物体整体的外力, 以要讨论这两个问题，可以以整体为研究对象。

整体在竖直方向上受到重力和支持力， 因物体在斜面上匀速下滑、直角劈静止不动，即整体处于平衡状态，所以竖直方向上地面对直角 劈的支持力等于物体和直角劈整体的重力。

水平方向上地面若对直角劈有摩擦力，无论摩擦力的方向向左还是向右， 水平方向上整体都不能处于平衡状态， 所以整体在水平方向上不受摩擦力，整体受力如图丙所示。

［答案］AC五、三力汇交原理物体受三个共面非平行力作用而平衡时，这三个力必为共点力。

［例4］ 一根长2 m 重为G 的不均匀直棒 AB 用两根细绳水平悬挂在天花板上，当棒平衡时细绳与水平面的夹角如图7所示，则关于直棒重心 C 的位置下列说法正确的是 （）A. 距离 B 端0.5 m 处B. 距离 B 端0.75 m 处C. 距离D. 距离［解析］0A 和QB 延长相交于 O 点,三力平衡时，三力合力为零。

三个力可构成一个封闭三角形，如图则有：一^― == —F3—。

Sin a si- 3 sin —¥ 图1011所示，据三力平衡特点可知： 0A 0B 对0点的作用力在^ OTT 中，/ TOT = 90° — 又/ OTT =/ TOA =卩,故/ OTT = 180°— (90° — a ) — 3 = 90°+ a — 3T BT由正弦定理得乔—3 =Sin90° + a - 3②联立①②解得T B= cos °： — 3因3不变，故当 a = 3 = 30°时，T B 最小，且T B = Gsin 3 = G 2。

G［答案］30°2七、相似三角形法物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行四边形中， 可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似, 形与几何三角形对应边成比例，根据比值便可计算出未知力的大小与方向。

9所示。

［例5］ 一盏电灯重力为G 悬于天花板上A 点，在电线0处系一细线0B 使电线OA与竖直方向的夹角为 3 = 30°,如图10所示。

现保持 卩角不变，缓慢调整 0B 方向至0B线上拉力最小为止，此时 0B 与水平方向的夹角a 等于多少？最小拉力是多少?T A 、T B 的合力T 与G 等大反向，即 ［解析］对电灯受力分析如图 进而得到力的三角图9T =［例6］如图12所示是固定在水平面上的光滑半球，球心O 的正上方固定一小定滑轮,细线一端拴一小球 A 另一端绕过定滑轮。

今将小球从如图所示的初位置缓慢地拉至 半球对小球的支持力F N 及细线的拉力F 1的大小变化情况是图13所示,所以F L GO C F ，F N =霉，OA 减小，OO 不变，R 不变，故F i 减小，F N 不变，故 C对。

［答案］C八、图解法1.图解法对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下力的矢 量图（画在同一个图中），然后根据有向线段（表示力）的长度变化情况判断各个力的变化情 况。

2•图解法主要用来解决三力作用下的动态平衡问题所谓动态平衡问题就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化。

从宏观上看,B 点。

在小球到达B 点前的过程中, A. F N 变大，F i 变小 B. F N 变小，F i 变大 C.F N 不变，F 变小D.F N 变大，F i 变大［解析］由于三力F i 、F N 与G 首尾相接构成的矢量三角形与几何三角形AOO 相似，如所以有G = OCA ，F N _G = OO ，由题意知当小球缓慢上移时,图12F图13物体是运动的，但从微观上理解，物体是平衡的，即任一时刻物体均处于平衡状态。

3.利用图解法解题的条件是(1)物体受三个力的作用而处于平衡状态。

(2) —个力不变，另一个力的方向不变或大小不变，第三个力的大小、方向均变化。

［例7］如图14所示，一个重为 G 的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态，今使板与斜面的夹角 大，问：在此过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化?［解析］取球为研究对象，球受重力G 斜面支持力F i 、挡板支持力F 2,于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三个力构成封闭的三角形，当挡板逆时针转动时,F 2的方向也逆时针转动，作出如图15所示的动态矢量三角形，由图可见，F 2先减小后增大,F i 始终随卩增大而减小。

由牛顿第三定律可知，球对挡板压力先减小后增大，球对斜面压力减小。

［答案］见解析a ，在斜面卩缓慢增因为球始终处。