现代控制理论-现代控制理论课件第六章_状态反馈与状态观测器-568

存在估计误差 x x 0
为了消除误差，在观测器中引入原系统和模拟系统输
出的差值进行反馈。
33
u
.
x Ax Bu y cx
6.3 状态观测器
.
Ｂ
x 1/S x
+
Ａ
y
Ｃ
原系统
Ｂ +
xˆ Axˆ Bu G( y yˆ) yˆ cxˆ
.
^
x
+
1/S
Ａ
G
^
^
xＣ y
-
+
状 态 观 测 器
34
10
6.1 状态反馈和输出反馈
三、闭环系统的能控性与能观性
1、定理：状态反馈不改变受控系统的能控 性；但不保证系统的能观性不变。
状态反馈可以任意改变系统传函的极点，但不能改变 其零点，故可能出现零极点相消，导致能观性的改变。
2、定理：输出反馈不改变受控系统的能控
性和能观性。
证明思路： 引入反馈前、后的能控性和能观性
7
6.1 状态反馈和输出反馈
二、输出反馈
1、定义：将系统的输出量乘以相应的系数反 馈到输入端与参考输入相加，其和 作为受控系统的控制输入。
2、基本结构 （控制输入不直接作用到输出，即D=0）
输出反馈矩阵
输出反馈控制 r×m
律为: u v Hy
输出反馈系统
用输出 信号
8
6.1 状态反馈和输出反馈 输出反馈系统的状态空间表达式为 ： u v Hy
x Ax Bu Ax Bv Hy
Ax Bv BHCx A BHC x Bv
y Cx
对应的传递函数矩阵为：
∴ 输出反馈中的 HC 与状态反馈中的 K 相当；
但 H可供选择的自由度远比 K 小（因m小于n）；
∴ 输出反馈一般只能相当于部分状态反馈。
只有当 HC=K时，输出反馈等同于全状态反馈。
6.3 状态观测器
3、状态观测器的设计 xˆ Axˆ Bu G( y yˆ)
yˆ cxˆ y cx
进而，状态观测器的状态空间表达式为：
xˆ Axˆ Bu G(cx cxˆ)
( A Gc)xˆ Bu Gy
yˆ cxˆ
A Gc----观测器的系统阵/系数矩阵
G Rnm----观测器的输出反馈阵
2、以上原理同样适用于多输入系统，但具体设 计较困难。
22
6.2 极点配置问题
3、对于低阶系统（n≤3），求解状态反馈
阵K时，并不一定要进行能控标准型的变 换； 可以直接计算状态反馈后的特征多项式 （其系数均为k的函数），然后与闭环系 统希望的特征多项式的系数相比较，确定 出矩阵K——另一种解题思路.
1 0
2
能观
12
6.1 状态反馈和输出反馈
2）引入状态反馈： u v Kx K 1 0
则：
.
x
(
A
bK
)
x
bV
y Cx
可得：
则： rank b
A'b rank10
1 0
2
能控！
C
0
rank
CA'
rank
0
1 0
1
不能观！
引入状态反馈
后出现了零极
点对消。
13
总结：
不改变 系统的 能控性
也不能采用输出反馈来实现闭环系统极点 的任意配置。
x (A BfC)x Bv, y Cx
因为只有一个可调参数f，不可能做到任意配置系 统的n个特征值。
30
6.3 状态观测器
问题的提出：
极点的任意配置离不开全状态反馈；
而系统的状态变量并不都是易于直接检测得到
的，有些甚至根本无法检测
状态观测或状
状态微分 x 处
u
B
x
x
y
1/s
C
-+
.
x
A
.
x
h
.
x Ax Bu hy, y Cx
.
x (A hC)x Bu, y Cx 28
6.2 极点配置问题
2. 输出反馈至参考输入的极点配置：
v
u B
x
x
1/s
C
y
-
+
A
f
引入输出反馈：
x (A BfC)x Bv, y Cx
29
6.2 极点配置问题 注意：关于输出反馈，有如下定理： • 定理：对单入单出系统，即使完全能控，
a1*
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a0*
并确定出 a0 , a1的,值, 。an1
(5)求出变换前系统的状态反馈增益矩阵K:
K KP a0* a0 a1* a1 an*1 an1 P
K
18
6.2 极点配置问题
例6.2、 已知系统状态方程为
0 1 0 0
x 0 1
1
x
0 u
试设计状态反馈控制器，使闭环极点为 0 0 2 1
K
闭环状态反馈系统
y
原系统
6
6.1 状态反馈和输出反馈
若控制输入不直接作用到输出，即D=0，则：
x (A - BK )x Bv y Cx
此时对应的传递函数矩阵为：
Gk s CsI A BK1B
对应特征方程：a() I A BK 0
比较开环系统和闭环系统，可见：
状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但 通过K的选择，可以改变闭环系统的特征值，从 而使系统达到所要求的性能.
2
第六章 状态反馈和状态观测器
经典控制：只能用系统输出作为反馈控制器的输入； 现代控制：由于状态空间模型刻画了系统内部特征， 故而还可用系统内部状态作为反馈控制器的输入。 根据用于控制的系统信息：状态反馈、输出反馈
• 控制系统的动态性能，主要由其状态矩阵的特征 值（即闭环极点）决定。
• 基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈 控制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有 期望的动态特性。
f () ( 2)( 1 j)( 1 j) 3 42 6 4 19
6.2 极点配置问题
特征多项式的系数为
（4）根据 K a0* a0
可求得 K [4 4 1]
a1* a1 an*1 an1
（5）计算能控标准形变换矩阵 x P1x（第四章能控标准形）
p1 0 0 0
3
第六章 状态反馈和状态观测器
本章主要内容 ➢ 状态反馈与输出反馈 ➢ 极点配置问题 ➢ 状态观测器的设计
4
6.1 状态反馈和输出反馈
一、状态反馈
1、定义：将系统的每一个状态变量乘以相应
的反馈系数，然后反馈到输入端，
与参考输入相加形成控制律，作为
受控系统的控制输入。
给定线性定常被控系统： x Ax Bu
(2)列写系统矩阵A的特征多项式
确定出的 a0 , a2 ,值。, an1
17
6.2 极点配置问题
(3)寻找使系统状态方程变换为能控标准形的变
换矩阵P，若给定的状态方程已是能控标准
型，则：P=I。
x P1x
(4)写出期望的特征多项式
a*() ( 1*)( *2）（ *n )
n
a* n1 n1
不改变 系统的 能控性 和能观 性
6.1 状态反馈和输出反馈
状态反馈 — 效果佳
都不改变
系统维数
输出反馈 — 实现方便
（因为两种 反馈形式均 未增加新的
但能力有限 状态变量）
14
6.2 极点配置问题
• 系统性能：稳态性能和动态性能
– 稳态性能：稳定性、静态误差 – 动态性能：调节时间、响应速度...
• 影响系统稳定性、动态性能的因素：
– 极点位置（系统矩阵的特征值）
通过反馈控制器的设计，可使得闭环系 统的极点位于预先给定的期望位置。
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6.2 极点配置问题
定义：通过选择反馈增益矩阵K,将闭环 系统的极点恰好配置在根平面上 所期望的位置，以获得所希望的 动态性能。
极点配置的方法：
一、采用状态反馈
态重构问题
状态观测器 状态估计器 状态重构
原系统状态： x Rn
估计状态：x Rn
状态观测器
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6.3 状态观测器
1、基本原理
带观测器的闭环系统
.
vu -
b
x 1/S x C
y
A 原系统
^
k x 状态观测器
• 观测器以原系统的输入u和输出y为其输入量；
• 观测器的状态 xˆ ，应以足够快的速度接近实际
y Cx Du
状态反馈（增
益）矩阵
r×n
选取状态反馈控制律为： u v - Kx
参考输入，
r×1 维矩阵
5
6.1 状态反馈和输出反馈
代入可得，状态反馈系统： x ( A - BK )x Bv y (C - DK )x Dv
2、基本结构
v
u
B
—
—
D
x∫ x
C
+
A
状态反馈控制律：
u v Kx
判别矩阵；
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
（过程略）
11
6.1 状态反馈和输出反馈
例6.1、试分析引入状态反馈 K 1 0前后系统的能控
性和能观性。
. 0
解：
x 1
1 0
x
10u
y 0 1x
1）判断原系统的能控性，能观性。
rankb
Ab
rank
0 1
1 0
2
能控
rank
C CA
rank
0 1
Modern Control Theory
第六章
状态反馈和状态观测器
1
第六章 状态反馈和状态观测器
目前为止，我们已经： ➢ 建立了系统的状态空间模型 ➢ 提出了基于状态空间模型的系统的运动分析 ➢ 探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性 “认识了世界” ⇒ 如何来“改变世界”？！ 设计控制系统！ 系统的控制方式----反馈？：开环控制、闭环控制
K KP KI K
26
6.2 极点配置问题
方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为：K [k1 k2 k3] 引入反馈后：
对应闭环系统的特征方程为： 期望的特征方程为：
相应有：
比较系数，所以： k1 199 , k2 55, k3 8
27
6.2 极点配置问题
二、输出反馈实现极点配置
1. 输出反馈
0 1b Ab A2b
An1b1
其逆
20
6.2 极点配置问题
x P1x（第四章能控标准形）
其逆
因而，所要确定的反馈增益阵：
21
6.2 极点配置问题
注意：
1、对于单输入系统，只要系统能控必能通过状 态反馈实现闭环极点的任意配置，而且不影 响原系统零点的分布。 但若极点重新配置后出现零极点对消，则此 时闭环系统是不能观的。
(Ⅰ)定理：线性定常系统可通过线性状态反馈 任意地配置其全部极点的充要条件
是：此被控系统状态完全能控。
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6.2 极点配置问题 (Ⅱ)方法：
单输入单输出线性定常系统的状态方程为：
x Ax Bu
若线性反馈控制律为：u v - Kx
极点配置状态反馈增益阵K的设计步骤为：
(1)判断系统状态的能控性（极点配置可解的前提条件）
36
6.3 状态观测器
定理：若系统 (A, B, C)
• (1) 完全能观----充分条件； 或者 • (2) 不能观部分是渐近稳定----充要条件； 均可构造如下的全维观测器对原状态进行重构：
xˆ ( A Gc)xˆ Bu Gy
23
6.2 极点配置问题
例6.3 考虑线性定常系统
x Ax Bu
0
1
0
0
A 0
0
1 , B 0
1 5 6
1
利用状态反馈控制 u v - Kx
希望使该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。 试设计状态反馈增益矩阵K。
24
6.2 极点配置问题
0 1
0
0
A 0
0
1
,
B 0
9
6.1 状态反馈和输出反馈
与状态反馈相比较，输出反馈：
缺点 在不增加补偿器的条件下，输出反馈 改变系统性能的效果不如状态反馈 好，不能任意配置系统的全部特征值；
（输出反馈只是状态反馈的一种特例，它能 达到的系统性能，状态反馈一定能达到；反之 则不然。）
优点 输出反馈在技术实现上很方便； 而状态反馈所用的系统状态可能不能直接 测量得到（需要状态观测器重构状态）。
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6.3 状态观测器
x xˆ ( A Gc)(x xˆ) x xˆ e(A Gc)t[x(0) xˆ(0)]
结论：
满足估计误差衰减至零的条件是：矩阵 A Gc 的特
征值具有负实部，且距虚轴越远则观测器的状态逼近 实际状态就越快。
所以，状态观测器的设计过程是： 人为根据需要确定状态观测器的极点位置，反过 来确定状态观测器的输出反馈阵G的取值。
2, 1 j1 。
0 0 1
解：（1）判断系统能控性 Qc B AB A2B 0 1 3
rankQc n 3
1 2 4
系统状态完全能控，所以可以采用状态反馈进行极点的任意配置。
（2）系统的特征多项式为
1 0
I A 0 1 1 3 32 2
0 0 2
（3）根据给定的期望闭环极点值，得到期望的特征多项式
1 5
解：能控性矩阵为
6
1
0
Qc [ B AB A2B ] 0
rankQc n 3
1
0 1
1
6
6 31
故系统状态完全能控，所以可以采用状态反馈进行极点的
任意配置。
方法1：原被控系统的特征方程为：
25
6.2 极点配置问题
期望的特征方程为：
因为原系统为能控标准型，可得：
K [ 200 1 60 5 14 6 ] [199 55 8]
原系统的状态 x ，即满足 lim xˆ x 0 。 t
32
6.3 状态观测器
2、状态观测器的构成
.
原系统： x Ax Bu y cx
.
^
^
^
^
模拟系统： x A x Bu y c x
由于：实际中很难做到模拟系统与原系统的初
始条件完全一致，即
^
x(t0 ) x(t0 )
^
存在初始误差