一次函数的应用(知识点+例题)

1.（2013•鄂州）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？
（2）求线段CD对应的函数解析式．
（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）．
一次函数的应用
知识点一：一次函数与坐标轴交点和面积问题
1：交点问题
一次函数b kx y +=的图象是经过（0，b ）和（-
k
b
，0）两点。

【典型例题】
1．直线y=－x+2与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 2．直线y=－x －1与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 3．函数y=x+1与x 轴交点为（ ）
A ．（0，-1）
B ．（1，0）
C ．（0，1）
D ．（-1，0）
4．直线y=-3
2
x+3与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为（ ） A ．3 B ．6 C ．34 D ．3
2
5．直线y=-2x-4交x 轴、y 轴于点A 、B ，O 为坐标原点，则S △AOB = 。

6．若直线y=3x+b 与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则b 的值是 。

7．如图所示，已知直线y=kx-2经过M 点，求此直线与x 轴交点坐标和直线与两坐标轴围成三角形的面积．
2：面积问题
面积：一次函数y=kx+b 与x 、y 轴所交的两点与原点组成的三角形的面积为2
b k
(1)：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解。

(2)：复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）。

(3)：往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。

1. 直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。

2. 已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （4,3），且OA=OB （1）求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；
3. 已知：m x y l +=2:1经过点（-3，-2），它与x 轴，y 轴分别交于点B 、A ，直线b kx l +=:2经过点（2，-2），且与y 轴交于点C （0，-3），它与x 轴交于点D （1）求直线21,l l 的解析式；
（2）若直线1l 与2l 交于点P ，求ACD ACP S S ∆∆：的值。

4. 如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P （2，p ）在第一象限，直线PA 交y 轴于点C （0,2），直线PB 交y 轴于点D ，△AOP 的面积为6； （1）求△COP 的面积；
（2）求点A 的坐标及p 的值；
（3）若△BOP 与△DOP 的面积相等，求直线BD 的函数解析式。

5. 如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：m x y +-
=2
1
与x 、y 轴的正半轴分别相交于点A 、B ，过点C （-4，-4）画平行于y 轴的直线交直线AB 于点D ，CD=10．
（1）求点D 的坐标和直线l 的解析式； （2）求证：△ABC 是等腰直角三角形；
（3）如图2，将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l 与x 、y 轴分别相交于点A′、B′，在直线CD 上存在点P ，使得△A′B′P 是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．（不必书写解题过程）
知识点二：一次函数应用题
一次函数解决实际问题的步骤：
(1)认真分析实际问题中变量之间的关系；
(2)若具有一次函数关系，则建立一次函数的关系式；
(3)利用一次函数的有关知识解题。

题型1：一次函数图象的应用
例1：甲、乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲同学和乙同学沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，各自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：
（1）分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式；（不要求写出自变量t的取值范围）
（2）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；
（3）在（２）的条件下，设乙同学从A处继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B处与乙相遇，此时点B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自按原来的路线下山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？
例2：为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费y（元）与用电量x（度）间的函数关系式．
（1）根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：
档次第一档第二档第三档
每月用电量x（度） 0＜x≤140
（2）小明家某月用电120度，需交电费元；
（3）求第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式；
（4）在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电
费m元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求m的值．
【同步训练】
1. 甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(时)的函数图象如图所示．
（1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式．（2分）
（2）求乙组加工零件总量a的值．（3分）
（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？（5分）
题型2：表格信息类
例1：为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费．小兰家4、5月份的用水量及收费情况如下表：
（1）求该市每吨水的基本价和市场价．
（2）设每月用水量为n吨，应缴水费为m元，请写出m与n之间的函数关系式．
（3）小兰家6月份的用水量为26吨，则她家要缴水费多少元？
例2：小明练习100米短跑，训练时间与100米短跑成绩记录如下：
（1）请你为小明的100米短跑成绩y（秒）与训练时间x（月）的关系建立函数模型；
（2）用所求出的函数解析式预测小明训练6个月的100米短跑成绩；
（3）能用所求出的函数解析式预测小明训练3年的100米短跑成绩吗？为什么？
【同步训练】
1. 湿地公园计划在园内坡地上造一片有A，B两种树的混合林，需要购买这两种树苗2 000棵，种植A，B两种树苗的相关信息如下表：
设购买A种树苗x棵，造这片林的总费用为y元，解答下列问题：
（1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式及x的取值范围．
（2）假设这批树苗种植后刚好成活1980棵，则造这片林的总费用需多少元？
题型3：实际问题中的一次函数
【典型例题】
例1：小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：
请根据图2中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球量桶中水面升高___________cm；
（2）求放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？
例2：如图，某花园的护栏是用直径80cm的条形刚组制而成，且每增加一个半圆
形条钢，半圆护栏长度增加acm，（a＞0）设半圆形条钢的个数为x（x为正整数），
护栏总长为ycm
（1）当a=60时，y与x之间的函数关系式为；
（2）若护栏总长度为3380cm，则当a=50时，所用半圆形条钢的个数为；
（3）若护栏总长度不变，则当a=60时，用了n个半圆形条钢，当a=50时用了（n+k）个半圆形条钢，请求出n，k之间的关系式．
题型4：文字信息类
例1：某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元。

（1）试写出总费用y（元）与销售套数x（套）之间的函数关系式。

（2）如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本。

例2：某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．
（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？
（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？
【同步训练】
1. 我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？
题型5：一次函数最优化问题
例1：库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为y A元，y B元．
（1）请填写下表，并求出y A，y B与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，A村的运费较少？
（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．
【同步训练】
1. 现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨．
（1）设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：
（2）设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式．
（3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？
【巩固训练】
1. 某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家订月租车合同.设汽车每月行驶x千米,应付给个体车主月租费是y1元,应付给出租车公司的月租费是y2元,y1和y2分别与x之间的函数关系图象（两条射线）如图4,观察图象回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内时,租国营公司的车合算？
（2）每月行驶的路程等于多少时,两家车的费用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米,那么这个单位租那家的车合算
2. 我市某商场有甲、乙两种商品，甲种每件进价15元，售价20元；乙种每件进价35元，售价45元．
（1）若商家同时购进甲、乙两种商品100件，设甲商品购进x件，售完此两种商品总利润为y 元．写出y与x 的函数关系式．
（2）该商家计划最多投入3000元用于购进此两种商品共100件，则至少要购进多少件甲种商品？若售完这些商品，商家可获得的最大利润是多少元？
（3）“五•一”期间，商家对甲、乙两种商品进行表中的优惠活动，小王到该商场一次性付款324元购买此类商品，商家可获得的最小利润和最大利润各是多少？
3. 工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
A种产品B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
海豚教育错题汇编
1. 均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的（）
A．B．C．D．
;..
海豚教育个性化作业
1. 某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发、广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元.
（1）试写出总费用y(元)与销售套数x(套)之间的函数关系式；
（2）如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本？
2. 某公司市场营销部的营销员的个人月收入与该营销员每月的销量成一次函数关系，其图象如图所示. 根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)求出营销人员的个人月收入y 元与该营销员每月的销售量x 万件(x≥0)之间的函数关系式: (2)已知该公司营销员李平5月份的销售量为1.2万件，求李平5月份的收入.
3. 如图是某汽车行驶的路程S(km)与时间t(min) 的函数关系图.观察图中所提供的信息，解答下列问题： （1）汽车在前9分钟内的平均速度是多少？ （2）汽车在中途停了多长时间？ （3）当16≤t≤30时，求S 与t 的函数关系式.
4. 在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C 港．设甲、乙两船行驶x （h ）后，与．B ．港的距离．．．．分别为1y 、2y （km ），1y 、2y 与x 的函数关系如图所示．
（1）填空：A 、C 两港口间的距离为 km ， a ； （2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两船的距离不超过10 km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x 的取值范围．
O y/km 90
30 a
0.5
3
P
甲 乙
x/h
160
x(万件) y(元)
0 1 400 2
;..。